Espacios vectoriales (Curso )

ALGEBRA´ Pr´actica 5

Espacios vectoriales (Curso 2006–2007)

1.– En el espacio vectorial real IR² consideramos los siguientes subconjuntos:

(a) A = {(x, y) ∈ IR²| x²+ y² = 1}.

(b) B = {(x, y) ∈ IR²| x = 3y}.

(c) C = {(x, y) ∈ IR²| x + y = 1}

(d) D = {(x, y) ∈ IR²| x = y; e y ≥ 0}.

(e) E = {(x, y) ∈ IR²| x²+ y² ≥ 0}.

- Representarlos gr´aficamente.

- Bas´andose en su representaci´on gr´afica deducir cuales son subespacios vectoriales y cu´ales no.

- Probarlo.

2.– Comprobar que el conjunto V de las funciones f : IR → IR, con las operaciones habituales de suma de funciones y producto de un n´umero real por una funci´on, tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IR. Decidir cu´ales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de V :

(a) Funciones f tales que 2f (0) = f (1).

(b) Funciones que toman valores distintos de 0 en todo punto.

(c) Funciones f tales que f (x) = f (−x) ∀x ∈ IR.

(d) Funciones f tales que f (1) = f (0) + 1.

(e) Funciones f tales que f (0) es un n´umero racional.

3.– Se considera el espacio vectorial V de las funciones f : IR → IR que son derivables. Sea S el subconjunto de V formado por las funciones que coinciden con su derivada, es decir,

S = {f ∈ V : f (x) = f⁰(x) ∀x ∈ IR}

Demostrar que S es un subespacio de V . (Primer parcial, febrero 2003)

4.– En IR⁴, se consideran los sistemas S = {¯x₁, ¯x₂, ¯x₃, ¯x₄} y T = {¯y₁, ¯y₂, ¯y₃, ¯y₄, ¯y₅}, donde:

¯

x₁ = (1, 2, 1, 1), ¯x₂= (1, −1, 2, −1), ¯x₃= (2, 5, 1, 3), ¯x₄ = (0, −1, 3, −2),

¯

y₁ = (−2, 1, 3, −2), ¯y₂ = (1, 0, −1, 1), ¯y₃ = (3, −2, 1, 0), ¯y₄ = (0, 4, 2, 1), ¯y₅ = (1, 0, 1, 0).

Comprobar si S y T son sistemas equivalentes. Hallar bases de L(S) y de L(T ).

5.– En el espacio vectorial de las funciones de IR en IR, con las operaciones habituales de suma de funciones y producto por un escalar, se tiene un subespacio vectorial V , generado por las funciones {1, senx, cosx, sen²x, cos²x, sen2x, cos2x}. Hallar una base de V .

(Primer parcial, enero 2002)

6.– Sean U y V dos subespacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, de dimensiones m y n, respectivamente. Demostrar que el conjunto U × V tambi´en es un espacio vectorial sobre K, indicando su dimensi´on. Dar una base de U × V a partir de una de U y otra de V.

7.– Llamamos P_n(x), al conjunto de los polinomios en x de coeficientes reales y de grado menor o igual que n.

(a) Demostrar que P_n(x) tiene estructura de espacio vectorial sobre IR.

(b) Demostrar que el sistema formado por un polinomio y sus derivadas no nulas es libre.

(c) ¿Para qu´e polinomios p(x) ∈ P_n(x) el sistema

B = {p(x), p⁰(x), p⁰⁰(x), . . . , p⁽ⁿ⁾(x)}

es una base de P_n(x)?

(d) Siendo n = 3 y p(x) = x³ − x, dar las f´ormulas que transforman las coordenadas contravariantes de un polinomio con respecto a la base can´onica en las coordenadas contravariantes con respecto a la base {p(x), p⁰(x), p⁰⁰(x), p⁰⁰⁰(x)}, y viceversa.

8.– Para cada k ∈ IN, sea P_k el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que k y coeficientes reales.

(a) Demostrar que el conjunto

B_k= {1, x − 1, (x − 1)², (x − 1)³, . . . , (x − 1)^k} es una base de P_k.

(Primer parcial, febrero 2003)

9.– En el espacio vectorial real IR³ consideramos las siguientes bases:

- la base can´onica C = {¯e₁, ¯e₂, ¯e₃} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

- la base B⁰ = {¯u₁, ¯u₂, ¯u₃} = {(0, 1, 1), (2, 0, 0), (1, 0, 1)}.

- la base B⁰⁰= {¯v₁, ¯v₂, ¯v₃} = {(1, −1, 0), (0, 0, −1), (1, 1, 1)}.

(a) Si (1, 3, 2) es un vector de IR³ calcular sus coordenadas en cada una de las bases anteriores.

(b) Denotamos por (y¹, y², y³) las coordenadas de un vector en la base B⁰. Consideramos el subespacio vectorial dado por la ecuac´on:

y¹+ y²+ y³ = 0

Calcular las ecuaciones param´etricas y cartesianas de este subespacio con respecto a cada una de las bases dadas.

10.– En el espacio vectorial real de las matrices 2 × 2 con elementos reales, M_2×2(IR), se consideran los subespacios

U = L

½µ1 1 2 1

¶ ,

µ2 2 1 3

¶ ,

µ0 0

3 −1

¶¾

V =

½µa + b a − b

−a 2a + b

¶

, a, b ∈ IR

¾

(a) Determinar α y β para que pertenezca a U la matriz µα 1

β 0

¶ .

(b) Determinar α y β para que pertenezca a V la matriz µ1 0

α β

¶ .

(c) Hallar la dimensi´on y una base de U . (d) Hallar la dimensi´on y una base de V .

(e) Hallar, en la base can´onica, ecuaciones param´etricas y cartesianas de U ∩ V (f) Hallar, en la base can´onica, ecuaciones param´etricas y cartesianas de U + V

11.– Sea M_n×n(IR) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de elementos reales y dimensi´on n.

(a) Demostrar que si A ∈ M_n×n(IR) es una matriz fija, el conjunto S = {B ∈ M_n×n(IR) : AB = Ω}

es un subespacio vectorial de M_n×n(IR).

(b) Si n = 2 y A es de la forma µ α 1 β 1

¶

donde α, β son n´umeros reales, calcular en funci´on de α, β la dimensi´on y una base de S y las ecuaciones impl´ıcitas de un subespacio suplementario de S.

12.– En el espacio vectorial real de las matrices sim´etricas 3 × 3 con elementos reales, S₃, decidir cu´ales de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales, y para los que lo sean hallar una base, as´ı como unas ecuaciones (param´etricas e impl´ıcitas) en la base can´onica y en la base

B⁰ =







1 0 0 0 0 0 0 0 0



_,



1 1 0 1 0 0 0 0 0



_,



0 1 1 1 0 0 1 0 0



_,



0 0 1 0 1 0 1 0 0



_,



0 0 0 0 1 1 0 1 0



_,



0 0 0 0 0 1 0 1 1









(a) Matrices regulares.

(b) Matrices con traza nula.

(c) Matrices cuyas dos primeras filas son iguales.

13.– En el espacio vectorial real V de las funciones continuas de [0, 1] en IR, se consideran los dos conjuntos siguientes:

U₁ =

½

f ∈ V : Z ₁

0

f (x) dx = 0

¾

U₂ = {f ∈ V : f es constante}

(a) Comprobar que U₁ y U₂ son subespacios vectoriales de V . (b) Analizar si U₁ y U₂ son subespacios suplementarios de V .

(c) Hallar, si existe, la proyecci´on de h(x) = 1 + 2x sobre U₁ paralelamente a U₂. (Examen final, setiembre 2002)

14.– Sea M_2×2(IR) el espacio vectorial de matrices reales de dimensi´on 2 × 2. Consideramos el conjunto de matrices:

B =

½µ1 1 0 0

¶ ,

µ−1 1 0 0

¶ ,

µ0 0 1 1

¶ ,

µ 0 0

−1 1

¶¾

(a) Probar que las matrices de B forman una base de M_2×2(IR).

(b) Sea S₂ ⊂ M_2×2(IR) el subespacio vectorial de matrices sim´etricas reales de dimensi´on 2 × 2.

Escribir las ecuaciones cartesianas de S₂ en la base can´onica y en la base B.

(c) Definimos el conjunto:

W = {A ∈ M_2×2(IR)| (1 1)A = (0 0)}.

Probar que es un subespacio vectorial.

(d) Calcular las ecuaciones param´etricas y cartesianas de W y W ∩ S₂ en la base can´onica y en la base B.

(Primer parcial, enero 2005)

15.– Si W₁, W₂ y W₃ son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V , estudiar si son ciertas las f´ormulas:

(a) (W₁+ W₂) ∩ W₃⊂ (W₁∩ W₃) + (W₂∩ W₃).

(b) (W₁∩ W₃) + (W₂∩ W₃) ⊂ (W₁+ W₂) ∩ W₃. (Examen final, junio 2005)

16.– En IR⁴ se define el subespacio F engendrado por los vectores: u₁ = (1, 0, −1, 3), u₂ = (2, −1, 0, 7), u₃ = (3, −1, 5, 0). Adem´as, se define la relaci´on:

∀u, v ∈ IR⁴, uRv ⇔ v − u ∈ F.

¿Es R una relaci´on de equivalencia? Si lo es, hallar las clases de equivalencia del espacio cociente.

(Examen extraordinario, diciembre 2005)

17.– Sea U el subespacio de IR³ dado por las ecuaciones cartesianas:

U ≡

(x + y + z = 0 z = 0

¿Es posible determinar un subespacio V de IR³de forma que U ∩V = {¯0} y U +V ≡ x+y +z = 0?. Justifica tu respuesta.

(Examen final, junio 2006)

18.– Consideremos los subespacios U y W de IR³ tales que U est´a generado por los vectores (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2) y la ecuaci´on impl´ıcita de W es x − y + 2z = 0. Se pide:

(a) Bases de U , W , U + W y U ∩ W . (b) Ecuaciones impl´ıcitas de U ∩ W .

(c) Base de un subespacio H suplementario de U ∩ W .

(d) Proyecci´on del vector (2, 3, 5) sobre el subespacio U ∩ W paralelamente a H.

(Examen final, junio 2006)

19.– Encontrar la (´unica) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:

(a) En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 2 y coeficientes reales, el conjunto de los polinomios que admiten el 1 como ra´ız

° no es un subespacio vectorial.

° es un subespacio de dimensi´on 1.

° es un subespacio de dimensi´on 2.

° es un subespacio de dimensi´on 3.

(Examen final, junio 2000)

(b) Sea S = {¯x₁, . . . , ¯x_p} sistema ligado de vectores de un espacio vectorial V.

° Cualquier vector de S se puede poner como combinaci´on lineal de los restantes.

° S contiene alguna base de V.

° dim L(S) < p

° S se puede completar a una base de V . (Primer parcial, febrero 1999)

(c) Sean F y G dos subespacios vectoriales de IR¹⁰⁰ de dimensiones 80 y 50, respectivamente.

° dim (F ∩ G) ≥ 30.

° F + G = IR¹⁰⁰.

° F ∩ G = G

° dim (F ∩ G) ≤ 30.

(Primer parcial, febrero 2001)

(d) Si L₁ y L₂ son dos subespacios de un espacio vectorial V, se tiene

° si dimL₁+dimL₂ > dimV, entonces L₁∩ L₂6= {¯0}.

° si dim(L₁+ L₂) =dimV, entonces L₁∩ L₂= {¯0}.

° si L₁∩ L₂ 6= {¯0}, entonces dimL₁+dimL₂ > dimV.

° si L₁∩ L₂ = {¯0}, entonces dim(L₁+ L₂) =dimV.

(Examen final, junio 2000)

(e) Sea V un espacio vectorial sobre IC y {~a,~b, ~c} una base suya

° V no es un espacio vectorial sobre IR.

° La dimensi´on del espacio vectorial V sobre IR es seis.

° {~a,~b, ~c} es una base del espacio vectorial V sobre IR.

° {~a,~b, ~c,~a − ~b + ~ci} es un sistema ligado del espacio vectorial V sobre IR.

(Primer parcial, enero 2004)

(f) En IR² consideramos las bases C = {(1, 0), (0, 1)}, B₁ = {(1, 2), (3, 5)} y B₂ = {(3, 1), (2, 1)}.

Sean las matrices:

A₁ =

µ1 2 3 5

¶

; A₂ =

µ3 1 2 1

¶

;

Entonces si (x, y) son las coordenadas de un vector en la base B₁, las coordenadas de dicho vector en la base B₂ se obtienen mediante el producto:

° ( x y ) A₁A₂.

° ( x y ) A⁻¹₁ A₂.

° ( x y ) A₁A⁻¹₂ .

° ( x y ) A⁻¹₁ A⁻¹₂ .

(Primer parcial, enero 2004)

(g) En el espacio vectorial V de las matrices cuadradas reales n × n. Llamamos S al subconjunto formado por todas las matrices ortogonales.

° S es un subespacio vectorial de V de dimensi´on ^n·(n+1)₂ .

° S es un subespacio vectorial de V de dimensi´on ^n·(n−1)₂ .

° S no es un subespacio vectorial de V .

° Ninguna de las anteriores es correcta.

(Primer parcial, enero 2005)

(h) Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on 127.

° Puedo escoger 128 vectores de V que sean linealmente independientes.

° En un conjunto de 200 vectores de V siempre puedo seleccionar 127 que sean linealmente independientes.

° Toda aplicacion lineal entre V y IR¹²⁷ es un isomorfismo.

° Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta.

(Primer parcial, enero 2006)