Matem´atica Discreta

Matem´ atica Discreta

Agust´ın G. Bonifacio

UNSL

Teor´ıa de Grafos

Problema de los 7 puentes de Konigsberg (Leonhard Euler, 1736).

Problema: encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad,

pasando exactamente una vez por cada uno de los puentes y

regresando al punto de inicio.

A B C D

1

2

3

4

5

6 7

Los v´ertices intermedios necesariamente deben estar conectados a un n´ umero par de aristas.

Los v´ertices inicial y final, en principio, son los ´ unicos que podr´ıan tener un n´ umero impar de aristas incidentes, pero como el v´ertice inicial debe coincidir con el final, esto tampoco puede ser.

En el diagrama que acabamos de ver ning´ un v´ertice tiene un

n´ umero par de aristas incidentes. Por lo tanto, es imposible

encontrar un recorrido como el especificado en el problema.

Definici´ on

Un grafo (no dirigido) G consiste en un conjunto V de v´ertices (o nodos) y un conjunto E de aristas (o arcos) tal que cada arista e ∈ E se asocia con un par (no ordenado) de v´ertices. Si existe una

´

unica arista e asociada con los v´ertices v y w, se escribe

e = {v, w}.

Definici´ on

Un grafo dirigido (o digrafo) G consiste en un conjunto V de

v´ertices y un conjunto E de aristas tal que cada arista e ∈ E se

asocia con un par ordenado de v´ertices. Si existe una ´ unica arista e

asociada con el par ordenado e = (v, w), se escribe e = (v, w).

Observaciones

(a) Una arista e asociada con el par de v´ertices v y w es incidente sobre v y w, y se dice que v y w son adyacentes.

(b) Si G es un grafo con v´ertices V y aristas E, escribimos G = (V, E).

(c) Dos aristas asociadas al mismo par de v´ertices se dicen paralelas.

(d) una arista incidente en un ´ unico v´ertice se llama lazo.

(e) Un v´ertice sobre el que no incide ninguna arista se denomina v´ertice aislado.

(f) Un grafo sin lazos ni aristas paralelas se llama grafo simple.

e

y e

son aristas paralelas.

e

es un lazo.

v

es un v´ertice aislado.

El grafo de la figura

no es simple.

Definici´ on

El grafo completo sobre n v´ertices, denotado K

es el grafo simple con n v´ertices en el que hay una arista entre cada par de v´ertices distintos.

El grafo completo K

.

Definici´ on

Un grafo es bipartito si existen dos subconjuntos V

y V

(con alguno posiblemente vac´ıo) de V tales que: V

∩ V

= ∅,

V

∪ V

= V y cada arista en E es incidente sobre un v´ertice en V

y un v´ertice en V

.

Grafo bipartito. V

= {v

, v

, v

}, V

= {v

, v

}.

Grafo no bipartito:

Supongamos que es bipartito. Entonces existe partici´on de V en V

y V

tal que, por ejemplo, v

∈ V

y v

∈ V

.

Como v

∈ V

y v

es adyacente a v

, entonces v

∈ V

. Como v

∈ V

y v

es adyacente a v

, entonces v

∈ V

. Pero esto implica v

∈ V

∩ V

!!!

Por lo tanto, el grafo no es bipartito.

Definici´ on

El grafo bipartito completo sobre m y n v´ertices, denotado K

, es el grafo simple en el cual: (i) el conjunto de v´ertices tiene una partici´on en los conjuntos V

de m v´ertices y V

de n v´ertices, y (ii) el conjunto de aristas consiste en todas las aristas e = {v

, v

} con v

∈ V

y v

∈ V

.

El grafo bipartito completo K

.

Un grafo ponderado:

Aplicaciones:

(a) Redes: internet, sociales, econ´ omicas, contagios, etc.

(b) Asignaciones de trabajos en grafos bipartitos.

(c) Rutas en grafos ponderados.

Definici´ on

Sean v

y v

v´ertices en un grafo. Una trayectoria de v

a v

de longitud n es una sucesi´on alternante de n + 1 v´ertices y n aristas que comienza en v

y termina en v

:

(v

, e

, v

, e

, v

, . . . , e

, v

),

donde la arista e

es incidente sobre v

y v

para todo i = 1 . . . , n.

Observaci´on

En ausencia de aristas paralelas, al denotar una trayectoria se

pueden suprimir las aristas.

(1, e

, 2, e

, 3, e

, 4, e

, 2) es una trayectoria de longitud 4 del v´ertice 1 al 2.

(6) es una trayectoria de longitud 0 del v´ertice 6 a s´ı mismo.

Definici´ on

Un grafo G es conexo si para todo par de v´ertices v y w en G, existe una trayectoria de v a w.

Grafo no conexo o disconexo.

Definici´ on

Sea G = (V, E) un grafo. Diremos que G

= (V

, E

) es un subgrafo de G si:

1

V

⊆ V y E

⊆ E,

2

para toda arista e

∈ E

, si e

incide en v

y w

, entonces

v

, w

∈ V

.

El grafo G y todos sus subgrafos.

Definici´ on

Sea G un grafo y sea v un v´ertice de G. El subgrafo G

de G que consiste en todas las aristas y v´ertices de G que est´ an contenidos en alguna trayectoria que comienza en v se llama componente (conexa) de G que contiene a v.

Observaci´on

Un grafo es conexo si y s´ olo si tiene exactamente una componente.

Observaci´on

Otra caracterizaci´ on de las componentes de un grafo G = (V, E) se obtiene al definir una relaci´on R en el conjunto de v´ertices V mediante la regla

v

Rv

si existe una trayectoria de v

a v

. Se puede demostrar (ejercicio) que R es una relaci´on de equivalencia y que, si v ∈ V, el conjunto de v´ertices en la componente que contiene a v es la clase

[v] = {w ∈ V : wRv}.

El grafo G = (V, E) tiene tres componentes:

1

G

= (V

, E

) con V

= {v

, v

, v

} y E

= {e

, e

, e

},

2

G

= (V

, E

) con V

= {v

} y E

= ∅,

3

G

= (V

, E

) con V

= {v

, v

} y E

= {e

}.

Definici´ on

Sean v y w v´ertices en un grafo G.

(a) Una trayectoria simple de v a w es una trayectoria de v a w sin v´ertices repetidos.

(b) Un ciclo (o circuito) es una trayectoria de longitud no nula de v a v sin aristas repetidas.

(c) Un ciclo simple es un ciclo de v a v en el que no hay v´ertices

repetidos excepto v.

Definici´ on

Un ciclo en un grafo G que incluye todas las aristas y todos los v´ertices de G se llama ciclo de Euler.

aSi G= (V, E) es tal que V ={v} y E = ∅, vamos a considerar que (v) es un ciclo de Euler.

Definici´ on

El grado de un v´ertice v, denotado δ(v), es el n´ umero de aristas

que inciden en v.

Teorema

Todo grafo con n v´ertices y k aristas tiene al menos n − k componentes.

Prueba. Un grafo con n v´ertices y 0 aristas tiene n componentes.

Al agregar una arista, la cantidad de componentes se reduce en 0 o en 1, por lo que cuando se han agregado k aristas el n´ umero de

componentes es de al menos n − k. 

Teorema 8.2.17

Si un grafo G tiene un ciclo de Euler, entonces G es conexo y todos sus v´ertices tienen grado par.

Prueba. Supongamos que G tiene un ciclo de Euler C. Cada paso de C a trav´es de un v´ertice usa dos aristas incidentes, y la primera arista se conecta con la ´ ultima en el primer v´ertice. Por lo tanto, todo v´ertice tiene grado par. Si v y w son v´ertices en G, la porci´on de C que va de v a w sirve como trayectoria de v a w. Por lo

tanto, G es conexo. 

Teorema 8.2.18

Si un grafo G es conexo y cada v´ertice tiene grado par, entonces G tiene un ciclo de Euler.

Prueba. (por inducci´ on sobre el n´ umero de aristas n en G).

Paso Base (n = 0). Como G es conexo, consiste de un solo v´ertice

v. Entonces (v) es un ciclo de Euler.

Paso Inductivo.Supongamos que G tiene n aristas.

Hip´otesis Inductiva: Cualquier grafo conexo con k aristas, k < n, y todos sus v´ertices de grado par, tiene un ciclo de Euler.

Ejercicio: Ver que todo grafo conexo con uno o dos v´ertices, cada uno de grado par, tiene un ciclo de Euler.

Suponemos entonces que G tiene al menos 3 v´ertices.

1 Como G es conexo, existen v´ertices v1, v2y v3y aristas e1y e2 tales que e1

incide en v1y y v2 y e2incide en v2 y v3.

2 Creamos un nuevo grafo G^′eliminando las aristas e1 y e2y agregando una arista e incidente en v1 y v3. G^′tiene menos de n aristas y todos sus v´ertices tienen grado par.

3 G^′tiene a lo sumo dos componentes. Sea v un v´ertice cualquiera, sea P una trayectoria en G de v a v1 y sea P^′la porci´on de P que est´a en G^′.Entonces v est´a en la componente de v1o en la de v2.

4 Si G^′tiene una componente, porH.I. tiene un ciclo de Euler C^′. Podemos modificar el ciclo de Euler en G^′para obtener uno en G reemplazando la ocurrencia de e en C^′por las aristas e1y e2.

5 Si G^′tiene dos componentes, porH.I. la componente de v1tiene un ciclo de Euler C^′y la componente de v2 tiene un ciclo de Euler C^′′.Podemos obtener un ciclo de Euler en G modificando C^′de la siguiente manera: si C^′va de v1a v3,sustituimos e por e1seguido de C^′′seguido de e2,si C^′ va de v3 a v1, sustituimos e por e2 seguido de C^′′seguido de e1.

El paso inductivo queda completo. Por lo tanto G tiene un ciclo de Euler. 

G

Verificar que G tiene un ciclo de Euler.

G es conexo, δ(v

) = δ(v

) = δ(v

) = δ(v

) = 4, δ(v

) = 6 y δ(v

) = δ(v

) = 2, por el Teorema anterior, G tiene un ciclo de Euler.

El ciclo es

(v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

, v

).

Teorema 8.2.21

Si G es un grafo con m aristas y n v´ertices v1, . . . , vn,entonces

Xn i=1

δ(vi) = 2m.

En particular, la suma de los grados de todos los v´ertices de un grafo es siempre par.

Prueba. Cuando se suman los grados de todos los v´ertices del grafo se cuenta cada

arista dos veces. 

Corolario 8.2.22

En todo grafo existe un n´umero par de v´ertices de grado impar.

Prueba. Sean x1, . . . , xmlos v´ertices de grado par y sean y1, . . . , ynlos de grado impar. Definamos

S= δ(x¹) + . . . + δ(x^m) y T = δ(y¹) + . . . + δ(yⁿ).

Por el Teorema anterior, S+ T es par. Como S es par, T tambi´en lo es. Esto implica

que n es par. 

Teorema 8.2.23

Un grafo G tiene una trayectoria sin aristas repetidas de v a w, con v 6= w, que contiene a todas las aristas y v´ertices si y s´olo si G es conexo y v y w son los ´unicos v´ertices de grado impar.

Prueba. (=⇒) Supongamos que G tiene una trayectoria sin aristas repetidas de v a w, con v 6= w, que contiene a todas las aristas y v´ertices. Entonces es conexo. Si agregamos una arista entre v y w, el grafo resultante tiene un ciclo de Euler. Por el Teorema 8.2.17, todo v´ertice tiene grado par. Si sacamos la arista entre v y w, tanto v como w quedan de grado impar.

(⇐=). Supongamos que G es conexo y v y w son los ´ unicos v´ertices de

grado impar. Insertemos una arista de v a w. El nuevo grafo G

que se

obtiene es conexo y todos sus v´ertices tienen grado par. Por Teorema

8.2.18, G

tiene un ciclo de Euler. Removiendo la arista entre v y w

llegamos a que G tiene una trayectoria sin aristas repetidas de v a w, con

v 6= w, que contiene a todas las aristas y v´ertices. 

Teorema 8.2.19

Si un grafo contiene un ciclo de v a v, entonces contiene un ciclo simple de v a v.

Prueba. Sea C = (v

, e

, v

, . . . , e

, v

, e

, . . . , e

, v

, e

, . . . , e

, v

) un ciclo con v

= v

= v. Si C no es simple, entonces v

= v

para alg´ un par i, j tal que i < j < n. Sustituyamos C por

C

= (v

, e

, v

, . . . , e

, v

, e

, . . . , e

, v

).

Si C

no es simple, se repite el proceso anterior. En alg´ un momento se

obtiene un ciclo simple de v a v.