Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

(1)

Soluci´on de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Jos´ e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´ anica.

Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.

Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.

CP 36730, Salamanca, Gto., M´ exico Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.

E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx

1 Introducci´ on

Estas notas tienen como objetivo presentar los conceptos fundamentales de la solución de sistemas de ecuaciones lineales as´ı como los métodos computacionales mas eficientes para llevar a cabo la solución de los sistemas de ecuaciones lineales. Es importante señalar que algunos de los métodos empleados en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, durante la educación media superior y en el curso previo de álgebra lineal, aún cuando son válidos, no son computacionalmente eficientes. Por ejemplo, la solución de un sistema de 100 ecuaciones con 100 incógnitas no homogeneo por el m´etodo de Cramer, basado en determinantes, necesitaria, con las mas poderosas computadoras de la actualidad, una cantidad de tiempo mayor que la edad estimada del universo desde el ”Big Bang”. Si para resolver el sistema de ecuaciones se determina previamente la matriz inversa, también empleando determinantes, el tiempo necesario para resolver el sistema es semejante al anterior. Por lo tanto, si se reconoce que los métodos de elemento finito, en operación, requieren la solución de sistemas de 10, 000 ecuaciones con 10, 000 inc´ognitas, es evidente la necesidad de métodos mucho mas eficientes que el método de Cramer o la determinación de la matriz inversa.

2 Establecimiento del problema y notaci´ on.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas no homogeneo es una expresi´on dada por la ecuaci´on (1)

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃+ . . . + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃+ . . . + a_2nx_n = b₂ ... ... ... ... ... ... ...

a_m1x₁+ a_m2x₂+ a_m3x₃+ . . . + a_mnx_n = b_m (1) El sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como

⎡

⎢⎢

⎢⎣

a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . . a_2n ... ... ... ... ... a_m1 a_m2 a_m3 . . . a_mn

⎤

⎥⎥

⎥⎦

⎡

⎢⎢

⎢⎣ x₁ x₂ ... x_m

⎤

⎥⎥

⎥⎦=

⎡

⎢⎢

⎢⎣ b₁ b₂ ... b_m

⎤

⎥⎥

⎥⎦ o A x = b, (2)

(2)

donde la matrix A se conoce como la matriz de coeficientes del sistema, el vector x se conoce como el vector de inc´ognitas y el vector b se conoce como el vector de t´erminos independientes. Adem´as la matriz

A_b=

A| b

se conoce como la matriz aumentada del sistema. Debe notarse que si se conoce la matriz aumentada del sistema, A_b, se conoce el sistema de ecuaciones lineales no homogeneo; además, no es importante, en esta parte de las notas, si el número de ecuaciones es igual, mayor o menor que el número de incógnitas; o bién si las ecuaciones son o no linealmente independientes. Finalmente, el sistema dado por la ecuación (3)

⎡

⎢⎢

⎢⎣

a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . . a_2n ... ... ... ... ... a_m1 a_m2 a_m3 . . . a_mn

⎤

⎥⎥

⎥⎦

⎡

⎢⎢

⎢⎣ x₁ x₂ ... x_m

⎤

⎥⎥

⎥⎦=

⎡

⎢⎢

⎢⎣ 0 0 ... 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦ o A x = 0, (3)

se conoce como el sistema de ecuaciones lineales homogeneas asociado al sistema original dado por la ecuaci´on (1) o la ecuaci´on (2).

Definición del problema. La soluci´on del sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener el conjunto solución del sistema; es decir, el conjunto formado por todas las posibles soluciones del sistema de ecuaciones lineales dado por la ecuación (1) o, en forma matricial, por la ecuación (2).

Definici´on: Rango de una Matriz. Dada una matriz A, el rango de la matriz es el n´umero de columnas (o filas) linealmente independientes.

Los siguientes resultados del álgebra lineal son bien conocidos y permiten determinar si un sistema de ecuaciones lineales no homogeneo tiene solución y cuales son las caracter´ısticas de esa solución.

Teorema I. El sistema de ecuaciones dado por la ecuaci´on (2), con m ecuaciones y n inc´ognitas, tiene, al menos, una soluci´on si, y s´olo si,

Rango (A) = Rango(A_b). (4)

Si la condici´on dada por la ecuaci´on (4) se satisface, el sistema de ecuaciones es consistente, en caso contrario, el sistema de ecuaciones es inconsistente y no tiene soluci´on alguna.

Teorema II. El sistema de ecuaciones dado por la ecuaci´on (2), con m ecuaciones y n inc´ognitas, tiene solución única si, y sólo si, es consistente y el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas, n; es decir si, y s´olo si,

Rango (A) = Rango(A_b) y Rango (A) = n. (5)

De manera semejante, el sistema de ecuaciones dado por la ecuaci´on (2), con m ecuaciones y n inc´ognitas, tiene soluciones múltiples si, y sólo si, es consistente y el rango de la matriz de coeficientes es menor al número de inc´ognitas, n; es decir si, y s´olo si,

Rango (A) = Rango(A_b) y Rango (A) < n. (6)

Aún cuando es posible emplear métodos computacionales, como el empleo de programas de cómputo de

´

algebra simbólica, en la determinación de las soluciones múltiples de sistemas de ecuaciones lineales que satisfacen la condición dada por la ecuación (6). Los métodos numéricos que se presentan en este curso tienen como objetivo la determinación de la solución única de los sistemas de ecuaciones lineales que satisfacen la condición dada por la ecuación (5). La figura 1 muestra la clasificación de los sistemas lineales y los resultados que se obtienen en cada uno de esos casos.

3 Soluci´ on de sistemas de ecuaciones triangulares.

Un sistema de ecuaciones tiene forma triangular superior, cuando todos los elementos de su matriz de coeficientes por abajo de la diagonal principal son iguales a cero. En t´erminos matem´aticos, una matriz U y, por lo tanto,

(3)

Figure 1: Clasificaci´on y resultados de los diferentes sistemas de ecuaciones lineales.

el sistema de ecuaciones lineales asociado, Ux = b, es triangular superior si y s´olo si u_ij= 0 ∀ i > j.

De manera semejante, un sistema de ecuaciones tiene forma triangular inferior, cuando todos los elementos de su matriz de coeficientes por arriba de la diagonal principal son iguales a cero. En términos matemáticos, una matriz L y, por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales asociado, Lx = b, es triangular inferior si y sólo si

l_ij = 0 ∀ i < j.

Finalmente, una matriz, T, se dice que es triangular unitaria si la matriz es triangular, superior o inferior, y los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. En t´erminos de ecuaciones,

t_ii= 1, y {tij = 0 ∀ i > j o tij = 0 ∀ i < j} .

A menos que se indique lo contrario, en el resto de estas notas se supondrá que los sistemas son consistentes, que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y que las ecuaciones son linealmente independientes.

El primer y mas simple caso de soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales ocurre cuando el sistema tiene forma triangular, ya sea triangular superior, vea ecuaci´on (7)

⎡

⎢⎢

⎢⎣

u₁₁ u₁₂ u₁₃ . . . u_1n 0 u₂₂ u₂₃ . . . u_2n 0 0 u₃₃ . . . u_3n ... ... ... ... ...

0 0 0 . . . u_nn

⎤

⎥⎥

⎥⎦

⎡

⎢⎢

⎢⎣ x₁ x₂ x₃ ... x_n

⎤

⎥⎥

⎥⎦

=

⎡

⎢⎢

⎢⎣ b₁ b₂ b₃ ... b_n

⎤

⎥⎥

⎥⎦

o U x = b, (7)

o triangular inferior, vea ecuaci´on (8).

⎡

⎢⎢

⎢⎣

l₁₁ 0 0 . . . 0 l₂₁ l₂₂ 0 . . . 0 l₃₁ l₃₂ l₃₃ . . . 0 ... ... ... ... ... l_n1 l_n2 l_n3 . . . l_nn

⎤

⎥⎥

⎥⎦

⎡

⎢⎢

⎢⎣ x₁ x₂ x₃ ... x_n

⎤

⎥⎥

⎥⎦

=

⎡

⎢⎢

⎢⎣ b₁ b₂ b₃ ... b_n

⎤

⎥⎥

⎥⎦

o L x = b. (8)

(4)

Puede probarse que la consistencia del sistema y la igualdad entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones se satisface, para una matriz triangular superior, cuando Rango (U) = Rango(U| b) = n, o en términos de los elementos de la matriz

Rango (U) = n⇔ⁿ

i=1

u_ii= 0. (9)

Si la matriz U satisface esas condiciones, se dice que es no-singular o invertible.

Similarmente la consistencia del sistema y la igualdad entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones se satisface, para una matriz triangular inferior, cuando Rango (L) = Rango(L| b) = n, o en términos de los elementos de la matriz

Rango (L) = n⇔ n i=1

l_ii= 0. (10)

Nuevamente, si la matriz L satisface esas condiciones, se dice que es no-singular o invertible.

3.1 Soluci´ on de un Sistema Triangular Superior.

La solución de un sistema de ecuaciones triangular superior no homogeneo, vea ecuación (7), que satisface la condición indicada por la ecuación (9) es muy simple y está dada por

x_i =

b_i−_n

j=i+1u_ijx_j

u_ii ∀ i = n, n − 1, . . . , 1. (11)

Debe notarse que la condici´on (9) implica necesariamente que u_ii = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , n; por lo tanto, el algoritmo dado por la ecuaci´on (11) est´a bien definido. Este algoritmo, se conoce como sustituci´on inversa o

“backward”.

3.2 Soluci´ on de un Sistema Triangular Inferior.

La solución de un sistema de ecuaciones triangular inferior no homogeneo, vea ecuación (8), que satisface la condición indicada por la ecuación (10) es muy simple y está dada por

x_i=

b_i−_i−1

j=1l_ijx_j

l_ii ∀ i = 1, 2, . . . , n. (12)

Debe notarse que la condici´on (10) implica necesariamente que l_ii = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , n; por lo tanto, el algoritmo dado por la ecuaci´on (11) est´a bien definido. Este algoritmo, se conoce como sustituci´on directa o

“forward”.

Teorema III. Sean L₁y L₂dos matrices triangulares inferiores del mismo orden, entonces la multiplicaci´on de las dos matrices L₁· L₂es tambi´en triangular inferior. Similarmente, si L₁y L₂son dos matrices triangulares inferiores unitaria del mismo orden, entonces la multiplicaci´on de las dos matrices L₁· L₂es tambi´en triangular inferior unitaria.

Prueba: Suponga que L₁= [a_ij] y L₂[b_ij] son dos matrices triangulares inferiores de orden n y sea L₁· L2= [c_ij]. Entonces, se tiene que

c_ij =

n k=1

a_ikb_kj.

Es suficiente probar que

c_ij = 0 ∀ i < j.

(5)

Considere 1≤ i < j ≤ n, entonces c_ij =

n k=1

a_ikb_kj = a_i,10_1,j+· · · + ai,j−10_j−1,j+ 0_i,jb_j,j+ 0_i,j+1b_j+1,j+· · · + 0i,nb_n,j= 0

Similarmente, si las matrices son triangulares inferiores unitarias, entonces son triangulares inferiores, y c_ij = 0 ∀ i < j, adem´as

c_ii=

n k=1

a_ikb_ki= a_i,10_1,i+· · · + a_i,i−10_i−1,i+ 1_i,i1_i,i+ 0_i,i+1b_i+1,i+· · · + 0_i,nb_n,i= 1

Un resultado similar puede probarse para matrices triangulares superiores y matrices triangulares superiores unitarias.

3.3 El M´ etodo de Gauss-Jordan y la factorizaci´ on LU.

En esta sección se mostrará el método de Gauss-Jordan para la solución de sistemas de ecuaciones lineales no homogeneas y la factorizaci´on L U de una matriz. El m´etodo de Gauss-Jordan consiste en convertir un sistema de ecuaciones lineales en un sistema equivalente de forma triangular superior, y a continuación emplear el método de sustitución inversa para obtener la solución del sistema empleando el métdo indicado en la ecuación (11). Además se mostrará que el método de Gauss-Jordan es equivalente a emplear la factorizaci´on LU de la matriz de coeficientes.

Considere el sistema mostrado en la ecuaci´on (2) y reproducido a continuaci´on A x = b,

si, de alguna manera, la matriz de coeficientes A se factoriza como A = L U entonces, el sistema original puede resolverse mediante la soluci´on de dos sistemas triangulares,

Ly = b y Ux = y de modo que A x = L U x = Ly = b, (13) que, como ya se indic´o, son muy simples de resolver.

Iniciemos el estudio del m´etodo de Gauss-Jordan y de la factorizaci´on LU con un ejemplo. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales no homogeneo.

x₁+ x₂+ x₃ = 6,

2 x₁+ 4 x₂+ 2 x₃ = 16, (14)

−x₁+ 5 x₂− 4 x₃ = −3.

En forma matricial, el sistema est´a dado por

⎡

⎣ 1 1 1

2 4 2

−1 5 −4

⎤

⎦

⎡

⎣ x₁ x₂ x₃

⎤

⎦ =

⎡

⎣ 6 16

−3

⎤

⎦ o Ax = b (15)

Como se prueba en un curso introductorio de ´algebra lineal, el sistema puede analizarse considerando exclu- sivamente la matriz aumentada

A| b

, dada por

A| b

=

⎡

⎣ 1 1 1 6

2 4 2 16

−1 5 −4 −3

⎤

⎦ (16)

A fin de introducir ceros por debajo de la diagonal principal en la primera columna:

(6)

• Se suma a la segunda fila, la primera fila multiplicada por −2.

• Se suma a la tercera fila, la primera fila multiplicada por 1.

El resultado despu´es de este primer paso es

A| b

1=

⎡

⎣ 1 1 1 6

0 2 0 4

0 6 −3 3

⎤

⎦ (17)

A fin de introducir ceros por debajo de la diagonal principal en la segunda columna:

• Se suma a la tercera fila, la segunda fila, de la nueva matriz, multiplicada por −3.

El resultado despu´es de este primer paso es

A| b

2=

⎡

⎣ 1 1 1 6

0 2 0 4

0 0 −3 −9

⎤

⎦ (18)

El sistema de ecuaciones lineales es triangular superior y puede resolverse con el método indicado en la sección 3.1. De esta ecuaci´on es evidente la matriz U asociada al sistema triangular superior mostrado en la ecuación (18), el resto de esta secci´on muestra como sistematizar este proceso, donde se encuentra la matriz L asociada a la descomposici´on L U y algunos de los problemas que pueden presentarse en este m´etodo.

3.3.1 Las Transformaciones de Gauss y el M´etodo de Gauss Jordan.

Considere el k ´esimo paso del proceso de eliminaci´on Gaussiana de una matriz,

A| b

con m filas y n columnas.

Como se indicó en la sección anterior, el caso más importante es cuando la matriz es la matriz aumentada de un sistema lineal de ecuaciones. Por lo que, usualmente n = m + 1. Entonces, se tiene

A| b

k=

⎡

⎢⎢

⎣

a^k_1,1 a^k_1,2 · · · a^k_1,k a^k_1,k+1 · · · b^k₁ 0 a^k_2,2 · · · a^k_2,k a^k_2,k+1 · · · b^k₂ ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_k,k a^k_k,k+1 · · · b^k_k 0 0 · · · a^k_k+1,k a^k_k+1,k+1 · · · b^k_k+1

... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_m,k a^k_m,k+1 · · · b^k_m

⎤

⎥⎥

⎦

(19)

Considere el vector columna, τ_k, con m elementos, dado por

τ_k =

0, 0, . . . , 0, τ_k+1= a^k_k+1,k

a^k_k,k , . . . , τ_n= a^k_m,k a^k_k,k

_T

, (20)

y el vector columna, _k, con m elementos dado por

_k = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0, 0)^T, (21) donde, el ´unico elemento diferente de cero, es igual a 1, est´a en la k-´esima posici´on.

(7)

Considere, ahora, la transformaci´on de Gauss definida a continuaci´on

L_k= I_m×m− τ_k^T_k =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 · · · 0 · · · 0

0 1 · · · 0 · · · 0

... ... . .. ... . .. ...

0 0 · · · 1 0 0

0 0 · · · −^a^k^k+1,k_ak

k,k 0 0

... ... . .. ... . .. ...

0 0 · · · −^a_a^k^m,kk

k,k 0 · · ·

⎤

⎥⎥

⎥⎦

(22)

donde la ´unica columna que tiene elementos diferentes de 0 fuera de la diagonal principal es la k-´esima. Es importante notar que las matrices o transformaciones L_k son triangulares inferiores unitarias y no-singulares o invertibles, pues su determinante es, siempre, igual a 1.

Teorema IV. Considere una transformaci´on de Gauss dada por L_k = I_m×m− τ_k^T_k, entonces la inversa de la transformaci´on de Gauss est´a dada por

L⁻¹_k = I_m×m+ τ_k^T_k. Prueba: Realizando la multiplicaci´on se tiene que

L⁻¹_k L_k =

I_m×m+ τ_k^T_k

I_m×m− τk^T_k

= I_m×m− τ_k^T_k + τ_k^T_k −

τ_k^T_k

= I_m×m−

τ_k^T_k

= I_m×m (23)

pues, se puede observar que el producto

τ_k^T_k

es la matriz 0_m×m. Premultiplicando la matriz

A| b

k por la matriz L_k tiene como efecto, restar a la j-´esima fila, donde j varia de k + 1 hasta m, de la matriz

A| b

k la k-´esima fila multiplicada por ^a^k^k+1,k_a_k

k,k asegurando de esa manera la eliminaci´on de los elementos en la k-´esima columna de la matriz

A| b

k por debajo de la k-´esima fila. En t´erminos de ecuaciones se tiene que

A| b

k+1= L_k

A| b

k =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

a^k+1_1,1 a^k+1_1,2 · · · a^k+1_1,k a^k+1_1,k+1 · · · b^k+1₁ 0 a^k+1_2,2 · · · a^k+1_2,k a^k+1_2,k+1 · · · b^k+1₂ ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k+1_k,k a^k+1_k,k+1 · · · b^k+1_k 0 0 · · · 0 a^k+1_k+1,k+1 · · · b^k+1_k+1 ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · 0 a^k+1_m,k+1 · · · b^k+1_m

⎤

⎥⎥

⎥⎦

(24)

De esa manera, el proceso de factorizaci´on LU, y el m´etodo de Gauss Jordan, avanza un paso adicional.

Debe notarse que el m´etodo de factorizaci´on LU, tal como se indic´o, puede fallar cuando el elemento a_k,k de la matriz

A| b

k es igual a 0, pues, en ese caso, el vector τ y, por consiguiente la transformaci´on de Gauss L_k, no pueden calcularse. Suponga por el momento, que el m´etodo procede sin problema, entonces el proceso

(8)

finaliza en el paso m− 1 y la matriz final A| b

mest´a dada por

A| b

m=

⎡

⎢⎢

⎣

a^m_1,1 a^m_1,2 · · · a^m_1,k a^m_1,k+1 · · · a^m_1,m b^m₁ 0 a^m_2,2 · · · a^m_2,k a^m_2,k+1 · · · a^m_2,m b^m₂ ... ... . .. ... ... . .. ... ... 0 0 · · · a^m_k,k a^m_k,k+1 · · · b^m_k

0 0 · · · 0 a^m_k+1,k+1 · · · a^m_k+1,m b^m_k+1 ... ... . .. ... ... . .. ...

0 0 · · · 0 0 · · · a^m_m,m b^m_m

⎤

⎥⎥

⎦

. (25)

El proceso puede describirse como

A| b

m= L_m−1

A| b

m−1= L_m−1L_m−2

A| b

m−2=· · · = Lm−1L_m−2· · · L2L₁

A| b

(26) o

L⁻¹₁ L⁻¹₂ · · · L⁻¹_m−2L⁻¹_m−1

A| b

m =

A| b

(27) Puesto que ya se mostró que la inversa de una transformación de Gauss es tambien triangular inferior unitaria y que la multiplicación de matrices triangulares inferiores unitarias es triangular inferior unitaria. Por lo tanto, es posible definir

L≡ L⁻¹₁ L⁻¹₂ · · · L⁻¹_m−2L⁻¹_m−1 (28)

Por otro lado, es evidente que la matrix

A| b

m es triangular superior. Asi pues se ha llegado a la descomposici´on LU, dada por

A| b

= L U =

L⁻¹₁ L⁻¹₂ · · · L⁻¹_m−2L⁻¹_m−1 A| b

m (29)

Si como se sugiri´o al inicio de este an´alisis, la matriz

A| b

es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales no homogeneo, entonces el paso final consiste en resolver el sistema de ecuaciones cuando la matriz de coeficientes es triangular superior, un paso que ya se sabe es sencillo.

3.4 Condiciones Suficientes Para Llevar a Cabo la Descomposici´ on L U de una matriz M.

En esta secci´on se presentan las condiciones suficientes para llevar a cabo, sin problema alguno, la descomposici´on L U de una matriz A.

Definici´on: Submatriz Principal Delantera. Suponga que A es una matriz cuadrada de orden n; es decir A∈ ^n×n, con n≥ 2 y sea 1 ≤ k ≤ n. La submatriz principal delantera de orden k de A se define como la matriz A_k∈ ^k×k tal que

A_k[i, j] = A[i, j] ∀i, j = 1, 2, . . . k.

En palabras, los elementos de la submatriz principal delantera A_k son iguales a los elementos correspondientes de la matriz A para las primeras k filas y las primeras k columnas.

Teorema V. Suponga que A es una matriz cuadrada de orden n con n ≥ 2 y suponga que todas las submatrices principales delanteras de orden k; es decir A_k ∈ ^k×k para 1 ≤ k < n son no singulares o invertibles. Entonces, la matriz A admite una factorizaci´on L U; donde L es triangular inferior unitaria y U es triangular inferior.

(9)

Prueba: Por inducci´on, donde el paso inicial se realiza para n = 2, considere la matriz M, est´a dada por M =

a b

c d

, (30)

donde por la suposici´on a= 0. Considere una matrix triangular inferior unitaria L y triangular superior U, dadas por

L =

1 0

u 1

U =

v w 0 x

(31) Por lo tanto, se tiene que

M =

a b

c d

= LU =

v w

u v u w + x

. (32)

De aqu´ı que, el sistema de ecuaciones resultantes est´a dado por

a = v b = w c = u v d = u w + 1. (33)

De aqu´ı que

v = a w = b u = c

av x = d−c b

a. (34)

De nuevo puede observarse que la clave reside en que a= 0. Con esto termina el paso inicial, suponga ahora que la hip´otesis es correcta para n− 1. El paso final consiste en probar que si es v´alida para n − 1, tambi´en es v´alida para n.

Considere ahora una matriz M de orden n. Esta matriz puede escribirse en forma de bloques como M_n×n=

M(n−1)×(n−1) m_c

m_f m_nn

, (35)

donde M(n−1)×(n−1) es la submatriz delantera de M_n×n de orden n− 1, m_c es un vector columna de orden n− 1 y mf es un vector fila de orden n− 1, finalmente mnn es una matriz de orden 1× 1; es decir un escalar.

Es importante notar que por la hip´otesis de inducci´on, M(n−1)×(n−1) es no singular o invertible y tiene una descomposici´on LU; es decir,

M(n−1)×(n−1)= L(n−1)×(n−1)U(n−1)×(n−1) (36)

Adem´as, a partir de la equation

| M(n−1)×(n−1)|=| L(n−1)×(n−1)U(n−1)×(n−1)|=| L(n−1)×(n−1) || U(n−1)×(n−1) | y, puesto que

| L(n−1)×(n−1) |= 1.

Entonces,

| M(n−1)×(n−1) |= 1 | U(n−1)×(n−1)| y puesto que M(n−1)×(n−1) es no singular o invertible

| U(n−1)×(n−1) |=| M(n−1)×(n−1)|= 0.

La conclusi´on es que las tres matrices M(n−1)×(n−1), L(n−1)×(n−1), y U(n−1)×(n−1) son no singulares o invertibles.

(10)

El paso final consiste en determinar la descomposici´on LU de la matriz M_n×n. Considere la ecuaci´on

M_n×n=

M(n−1)×(n−1) m_c

m_f m_nn

=

L(n−1)×(n−1) 0_c

l_f 1_nn

U(n−1)×(n−1) u_c

0_f u_nn

=

U(n−1)×(n−1)L(n−1)×(n−1)+ 0_c0_f L(n−1)×(n−1)u_c+ 0_cu_nn

l_fU(n−1)×(n−1)+ 1_nn0_f l_fu_c+ 1_nnu_nn

(37) Eliminando las indicaciones no indispensables acerca del tama˜no de las matrices se tiene las siguientes equaciones

M(n−1)×(n−1) = U(n−1)×(n−1)L(n−1)×(n−1) (38)

m_c = L(n−1)×(n−1)u_c (39)

m_f = l_fU(n−1)×(n−1) (40)

m_nn = l_fu_c+ 1_nnu_nn (41)

(42) De la ecuaci´on (38) y de las consideraciones indicadas previamente, las matrices U(n−1)×(n−1)y L(n−1)×(n−1)

son no singulares o invertibles, de aqu´ı que, el resto de las inc´ognitas, est´a dado por

u_c=

L(n−1)×(n−1)₋₁

m_c l_f = m_f

U(n−1)×(n−1)₋₁

u_nn= m_nn− lfu_c (43) Nuevamente, es importante notar que las claves para asegurar la existencia de la descomposici´on LU son la existencia de las inversas de las matrices L(n−1)×(n−1) y U(n−1)×(n−1).

El procedimiento indicado en esta secci´on muestra como una matriz, M, que satisface las condiciones del teorema V permite una factorización L U. Sin embargo, existe un buen n´umero de matrices cuadradas que son no-singulares o invertibles — que por lo tanto, el sistema Mx = b tiene una solución única— mas, sin embargo, bajo el procedimiento indicado en esta sección, no pueden factorizarse de la manera indicada en esta sección.

Un ejemplo muy simple, y por lo mismo muy revelador, de estas matrices, es la mostrada a continuaci´on M =

0 1 1 0

.

Es evidente que| M |= −1 y por lo tanto M es no singular o invertible. Mas sin emabargo, la matriz M no satisface las condiciones del teorema V, en particular, la submatriz delantera de orden 1, dada por

M_1×1= [0] ,

es singular o no-invertible, de modo que el primer y ´unico paso del proceso de factorizaci´on no puede llevarse a cabo.

4 El m´ etodo de Gauss-Jacobi, el proceso de pivoteo entre filas.

El método de Gauss-Jacobi, presentado en esta sección, permite obtener la descomposici´on L U de una matriz no singular, de manera que evita los problemas, indicados en la sección anterior, que se presentan en matrices que son no singulares, y por lo tanto son invertibles, pero que no satisfacen las condiciones del teorema V.

Por otro lado, el proceso de pivoteo tiene otra razón de origen práctico, sumamente importante, relacionado con la representatción en punto flotante de números reales en computadoras digitales. Es bien sabido, que es

(11)

imposible representar un número real de manera exacta¹ en computadoras digitales, de manera que su repre- sentación y las operaciones que se realizan entre números reales presentan errores de redondeo. Es importante mantener esos errores de redondeo tan pequeños como sea posible, pues pueden ocasionar que una matriz singular aparezca, después de realizar un buen número de operaciones, como si fuera no-singular y viceversa. Una manera de evitar que ocurra esta situación es evitar, tanto como sea posible, multiplicar números reales por factores de valor absoluto elevado.

En el resto de esta sección se mostrará como realizar el proceso de pivoteo entre filas² y como realizarlo de manera de evitar el crecimiento de los errores de redondeo de los elementos de la matriz. Para tal f´ın, se presentan las definiciones y propiedades de las matrices de permutación.

4.1 Matrices de permutaci´ on y matrices de permutaci´ on simples.

Definición: Matrices de Permutaci´on. Considere la matrix identidad de orden n, I_n×n, cualquier matriz P, obtenida a partir de la matriz identidad realizando un número arbitrario de permutaciones de las columnas de la matriz identidad se denomina una matriz de permutación. Adem´as, si la matriz de permutación se obtiene realizando unicamente una permutación de las columnas de la matriz identidad, la matriz se denomina una matriz de permutación simple, P_s. ³

De manera mas espec´ıfica, si se representa la matriz identidad de orden n como I = [e₁e₂ . . . e_i . . . e_j . . . e_n] ,

una matriz de permutaci´on simple estar´a dada por

P_s= [e₁e₂ . . . e_j . . . e_i . . . e_n] , donde 1≤ i < j ≤ n

donde se puede apreciar que para obtener P_s, a partir de la matriz identidad, se han intercambiado las columnas i y j.

Teorema VI. Propiedades de las matrices de permutaci´on simples. Las matrices de permutaci´on simples tienen las siguientes propiedades.

1. Son no-singulares o invertibles; es decir existe P⁻¹_s . 2. Su determinante es−1; es decir | Ps|= −1.

3. Si una matriz de permutaci´on P_sse obtiene intercambiando las columnas i y j de la matriz identidad, esa misma matriz de permutaci´on se obtiene intercambiando las filas i y j de la matriz identidad. Cuando se desee indicar de manera expl´ıcita cuales fueron las columnas, y filas, que se intercambiaron, esta matriz de permutaci´on se denominara como P_s(i, j).

4. Sea M una matriz arbritaria de orden n, entonces al premultiplicar M por la matriz de permutaci´on P_s= [e₁e₂ . . . e_j . . . e_i . . . e_n]

tiene como efecto intercambiar las filas 1≤ i < j ≤ n de la matriz M.

5. Su inversa es la misma matriz de permutaci´on simple; es decir P⁻¹_s = P_s.

1A menos que uno emplee programas de ´algebra simb´olica.

2Existe también la técnica del proceso de pivoteo entre filas y columnas o pivoteo completo, pero su desarrollo y empleo está fuera del alcance de estas notas.

3Es posible permitir permutaciones entre las filas de la matriz identidad y aún, de esta manera, obtener matrices de computación, sin embargo no será necesario para los propósitos de estas notas.

(12)

Prueba: Primeramente, como las columnas de una matriz de permutaci´on, no necesariamente simple, son las mismas columnas de la matriz identidad, el rango de P es n y la matriz es invertible. En segundo lugar, es bien sabido que el valor del determinante de una matriz cuadrada no-singular cambia de signo cuando se intercambian dos columnas de la matriz, puesto que una matriz de permutaci´on simple, se obtiene intercambiando dos columnas de la matriz identidad, se tiene que

| Ps|= −1 | I |= −1(1) = −1.

Para la tercera parte, considere la matriz de permutaci´on, con 1≤ i < j ≤ n

P_s= [e₁e₂. . . e_j . . . e_i . . . e_n] =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

, (44)

puede observarse de la ecuaci´on (44) que, respecto de la matriz identidad de orden n, la matriz P_s tiene intercambiadas las filas i y j. Por lo tanto, es posible escribir la matriz de permutaci´on como

P_s= [e₁e₂. . . e_j . . . e_i . . . e_n] =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

e₁^T

e₂^T ...

e_j^T ...

e_i^T ...

e_n^T

⎤

⎥⎥

⎥⎦

(45)

Para la cuarta parte, considere la multiplicaci´on P_sM donde la primera matriz est´a escrita en filas y la segunda est´a escrita en columna.

P_sM =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

e₁^T ...

e_j^T ...

e_i^T ...

e_n^T

⎤

⎥⎥

⎥⎦

[ m_c1 . . . m_ci . . . m_cj . . . m_cn]

donde debe notarse que para todo 1≤ k ≤ n, se tiene que

e_k^T[ m_c1 · · · mci · · · mcj · · · mcn] =

m_k1 · · · m_ki · · · m_kj · · · m_kn ,

(13)

es decir, el efecto de premultiplicar la matriz M por el vector e_k^T es el de producir la k-´esima fila de la matriz M. Por lo tanto

P_sM =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

e₁^T

...

e_j^T

...

e_i^T

...

e_n^T

⎤

⎥⎥

⎥⎦

[ m_c1 . . . m_ci . . . m_cj . . . m_cn] =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

m_f1

...

m_fj

...

m_fi

...

m_fn

⎤

⎥⎥

⎥⎦

Es evidente que el producto de matrices P_sM tiene las filas i y j intercambiadas respecto a la matriz original, M.

Finalmente, considere el producto P_sP_s, donde ambas matrices se escriben por filas

P_sP_s=

⎡

⎢⎢

⎢⎣

e₁^T ...

e_j^T ...

e_i^T

...

e_n^T

⎤

⎥⎥

⎥⎦

⎡

⎢⎢

⎢⎣

e₁^T ...

e_j^T ...

e_i^T ...

e_n^T

⎤

⎥⎥

⎥⎦

=

⎡

⎢⎢

⎢⎣

e₁^T ...

e_i^T

...

e_j^T ...

e_n^T

⎤

⎥⎥

⎥⎦

= I_n×n.

Es pues evidente que

P⁻¹_s = P_s.

4.2 El M´ etodo de Gauss-Jacobi.

De manera similar al m´etodo de Gauss, considere el k ´esimo paso del proceso de Gauss-Jacobi de una matriz,

A| b

con m filas y n columnas, donde n = m + 1. Entonces, se tiene

A| b

k=

⎡

⎢⎢

⎣

a^k_1,1 a^k_1,2 · · · a^k_1,k a^k_1,k+1 · · · b^k₁ 0 a^k_2,2 · · · a^k_2,k a^k_2,k+1 · · · b^k₂ ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_k,k a^k_k,k+1 · · · b^k_k 0 0 · · · a^k_k+1,k a^k_k+1,k+1 · · · b^k_k+1

... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_j,k a^k_j,k+1 · · · b^k_j

... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_m,k a^k_m,k+1 · · · b^k_m

⎤

⎥⎥

⎦

(46)

A diferencia del método de Gauss-Jordan, el primer paso consiste en determinar cuales de los términos de la k-ésima columna por debajo de la k-´esima fila tiene mayor valor absoluto.⁴ Suponga por un momento que ese es el t´ermino a^k_j,k, donde k≤ j ≤ n, entonces, se satisface que

| a^k_jk|≥| a^k_ik | ∀k ≤ i ≤ m (47)

4Unicamente se analizan los elementos por debajo de lak-´esima fila para evitar disturbios en la diagonalizaci´on de las primeras k − 1 filas.

(14)

El siguiente paso consiste en premultiplicar la matriz

A| b

k por la matriz de permutaci´on simple dada por P_s(k, j) de esta manera se obtiene

A| b

kp= P_s(k, j)

A| b

k=

⎡

⎢⎢

⎣

a^k_1,1 a^k_1,2 · · · a^k_1,k a^k_1,k+1 · · · b^k₁ 0 a^k_2,2 · · · a^k_2,k a^k_2,k+1 · · · b^k₂ ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_j,k a^k_j,k+1 · · · b^k_j 0 0 · · · a^k_k+1,k a^k_k+1,k+1 · · · b^k_k+1 ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_k,k a^k_k,k+1 · · · b^k_k ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k_m,k a^k_m,k+1 · · · b^k_m

⎤

⎥⎥

⎦

(48)

donde el subscrito adicional p indica que la matriz tiene filas permutadas.

De esa manera el vector columna, τ_k, con m elementos, dado por

τ_k =

0, 0, . . . , 0, τ_k+1= a^k_k+1,k

a^k_j,j , . . . , τ_n= a^k_m,k a^k_j,j

_T

, (49)

y el vector columna, _k, con m elementos dado por

_k = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0, 0)^T, (50) donde, el único elemento diferente de cero, es igual a 1, est´a en la k-´esima posición. Ademas, debido a la condición dada por la ecuaci´on (47), los elementos del vector τ_k tienen todos valor absoluto menor que 1. De esa manera, los errores de redondeo no crecen al propagarse.

El siguiente paso es idéntico al método de Gauss Jordan, es decir se premultiplicará la matriz

A| b

kppor la transformaci´on de Gauss dada por

L_k = I_m×m− τk^T_k. La premultiplicaci´on de la matriz

A| b

kp por la matriz L_k tiene como efecto asegurar la eliminaci´on de los elementos en la k-´esima columna de la matriz

A| b

kppor debajo de la k-´esima fila. En t´erminos de ecuaciones se tiene que

A| b

k+1= L_k

A| b

kp=

⎡

⎢⎢

⎢⎣

a^k+1_1,1 a^k+1_1,2 · · · a^k+1_1,k a^k+1_1,k+1 · · · b^k+1₁ 0 a^k+1_2,2 · · · a^k+1_2,k a^k+1_2,k+1 · · · b^k+1₂ ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · a^k+1_j,k a^k+1_j,k+1 · · · b^k+1_j 0 0 · · · 0 a^k+1_k+1,k+1 · · · b^k+1_k+1 ... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · 0 a^k+1_k,k+1 · · · b^k+1_k

... ... . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · 0 a^k+1_m,k+1 · · · b^k+1_m

⎤

⎥⎥

⎥⎦

(51)

De esa manera, el proceso de factorizaci´on LU, y el m´etodo de Gauss Jacobi, avanza un paso adicional.