Integrales definidas. Teoremas2º Bachillerato

(1)

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Integrales definidas. Teoremas

2º Bachillerato

(2)

Esquema

(3)

Área bajo una curva

Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX

en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).

(4)

Sumas de Riemann

Las sumas inferiores(suma de los rectángulos) s(f; P

_n

) = m

₁

. x

₁

+ m

₂

.  x

₂

+ ... + m

_n

.  x

_n

Las sumas superiores (suma de los rectángulos superiores) se expresan así

S(f; P

_n

) = M

₁

.  x

₁

+ M

₂

.  x

₂

+ ... + M

_n

.  x

_n

Cualquiera de los valores s(f; P

_n

) o S(f; P

_n

) es una aproximación al área R(f; [a, b] ) Sea m

_i

el mínimo de f(x) en I

_i

= [x

_i-1

, x

_i

]

Sea M

_i

el máximo de f(x) en I

_i

= [x

_i-1

, x

_i

]

Como la función es contínua en cada

intervalo existen un mínimo y un máximo

(Tª de Weiersstra)

(5)

Cálculo de áreas

• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.

• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante aproximaciones

Área (Trapecio rectilíneo) =

= f(a) + f(b)



^.

(b – a)

Área (Trapecio curvilíneo) 

 f(a) + f(b)



^.

(b – a) Error que se comete al

tomar una por otra

(6)

Integral definida

Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva) en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la partición P

_n

.

s(f; P

_n

) = m

₁

.  x

₁

+ m

₂

.  x

₂

+ ... + m

_n

.  x

_n

S(f; P

_n

) = M

₁

.  x

₁

+ M

₂

.  x

₂

+ ... + M

_n

.  x

_n

Sea m

_i

el mínimo de f(x) en I

_i

= [x

_i-1

, x

_i

]

Sea M

_i

el máximo de f(x) en I

_i

= [x

_i-1

, x

_i

]

(7)

Integral definida y área bajo una curva I

f(x)  0 x[a, b] f(x)

A(R) =

_^^^

a

b

f(x) dx f(x)

R

f(x)  0 x[a, b]

A(R) = _ ^ ^ ^

a b

– f(x) dx = – _ ^ ^



a

b

f(x) dx =

= | _ ^ ^ ^

_a^b

^{f(x) dx} |

(8)

A(R) = _ ^ ^ ^

a

c

f(x) dx – _   

c

d

f(x) dx + _ ^ ^ ^

d

e

f(x) dx – _   

e

b

f(x) dx

Integral definida y área bajo una curva II

Si f(x) toma valores

positivos y negativos

en el intervalo [a, b],

se calculan cada una

por separado y se

suman los resultados

teniendo en cuenta los

signos.

(9)

Propiedades de la integral definida

2. ( ) 0.

a

f x dx 



3. ( ) siendo un número real.

b

a

kdx k b a   k



 

4. ( ) ( ) ( ) ( ) .

b b b

a a a

f x  g x dx  f x dx  g x dx

  

5. ( ) ( ) siendo un número real.

b b

a a

kf x dx k f x dx  k

 

1. ( ) ( ) .

a b

b a

f x dx   f x dx

 

(10)

Propiedades de la integral definida

8. Si ( ) ( ) para todo [ , ],

( ) ( ) .

b b

a a

f x g x x a b

f x dx g x dx

 

  

9. Si ( ) para todo [ , ],

( ) ( ) ( ).

b

a

n f x m x a b

n b a f x dx m b a

  

    

. )

( )

( .

10 _

_a^b

f x dx  _

_a^b

f x dx

7. Si ( ) 0 para todo [ , ], ( ) 0.

b

a

f x  x  a b  f x dx 

6. ( ) ( ) ( ) para cualquier [ , ].

b c b

a a c

f x dx  f x dx  f x dx c  a b

  

(11)

Función área o función integral

Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:



^x

^

a

x F

dt t

f ( ) ( )

(12)

Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).

Por tanto R

₁

= R

₂

Teorema del valor medio: interpretación geométrica

Enunciado: Si f es continua existe c[a,b] en el que 

^b

^ ^

a

) c ( f )·

a

b

(

dx

)

x

(

f

(13)

Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los valores entre m y M. Por tanto existe un c  [a, b]

tal que:

1 b – a ^ ^ ^ a b f(x) dx = f(c)

Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función integral

Enunciado:

Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c  [a, b] en el que

_^^

a b f(x) dx = (b – a) f(c).

m (b – a) 



 a

b

f(x) dx  M (b – a)

m  1

b – a

^^^a^b

f(x) dx  M

a b

m M

1 b – a _ ^ ^

 a

b f(x) dx

c ¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.

Teorema del valor medio para integrales

Demostración: área pequeña < A.curva < área grande

(14)

x x+h

Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica

Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).

Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)

( ) ( )

( ) F x h F x ( )

f x f x h

h

    

Sea x  ( , ) y a b h  0.

( ) f x

( )

f x h  F x h F x (   ) ( )

( ) ( ) ( )

h f x  F x h   F x  h f x h (  )

X Y

área pequeña < A.curva < área grande

(15)

Teorema fundamental del cálculo

Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el

intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).

 

 

    

^









h

dt )t ( f dt

)t ( f h lim

dt )t ( f dt )t ( f h lim

) x ( F ) h x ( lim F )

x (' F

h x

a

x 0

h h

x

a

x

a 0

h 0

h

Dem.:

) x ( f ) c ( f h lim

h ) c ( lim f

h

) x h x )·(

c ( lim f medio

valor del

teorema el

por h y

dt ) t ( f lim

0 h 0

h

0 h h

x

x 0 h



 

 











a c b

Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)

(16)

Regla de Barrow

Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x) en [a, b], entonces

_^^

a

b f(x) dx = G(b) – G(a).

• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x) se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.

• Como F(a) = 0  C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).

• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).

Demostración:

Por tanto F(b) = = G(b) - G(a) 

a^b

f ( x ) dx

(17)

El método de «cambio de variable» para integrales definidas

Cambio u = 5 + x

²

= g(x) du = 2xdx g(–5) = 30; g(8) = 69

 



 

 –1 2u

30

1

69

2 _ ^



30 69

du

u ² dx = ⁼ _{138 +} ^–1 _{60 =} ¹ ₁₃₈₀ ¹³ Ejemplo: _ ^ ^