MATE 3040: Teoría de Números. 1. Demuestre que τ(n) es impar sii n es un cuadrado perfecto.

Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras Facultad de Ciencias Naturales

Departamento de Matem´aticas San Juan, Puerto Rico

MATE 3040: Teor´ıa de N´umeros Soluci´on Asignaci´on 6.

1. Demuestre que τ (n) es impar sii n es un cuadrado perfecto.

Demostraci´on: Suponga que la factorizaci´on prima de n es n = p^e₁¹· · · p^e_r^r. Entonces,

τ (n) = (e₁+ 1) · · · (e_r+ 1).

Ahora, si n es un cuadrado perfecto, entonces todos los e_i’s son pares y por lo tanto, todos los n´umeros e_i+ 1 son impares. Como impar por impar es impar, entonces τ (n) es impar.

Reciprocamente, si τ (n) es impar, entonces todos los e_i + 1 son impares (si alguno fuera par, entonces el producto ser´ıa par, contradiciendo la hip´otesis).

Esto implica que todos los e_i’s son pares y por lo tanto, n es un cuadrado

perfecto. 

2. Demuestre que σ(n) es impar sii n es un cuadrado perfecto o el doble de un cuadrado perfecto.

Demostraci´on: Suponga que la factorizaci´on prima de n es n = 2^e0p^e₁¹· · · p^e_r^r con e₀ ≥ 0 y e_i ≥ 1 para 1 ≤ i ≤ r (note que si n es impar, entonces e₀ = 0).

Entonces,

σ(n) =  2^e0+1− 1 2 − 1

  p^e₁¹⁺¹− 1 p₁− 1



· · · p^e_r^r+1− 1 p_r− 1



= 2^e0+1− 1
 p^e₁¹⁺¹− 1 p₁− 1



· · · p^e_r^r+1− 1 p_r− 1

 .

Note que el factor 2^e0+1− 1 es siempre impar, as´ı que no ayuda en nada para determinar la paridad de σ(n).

Considere ahora la expresi´on  p^e_iⁱ⁺¹− 1 p_i− 1



para 1 ≤ i ≤ r. Note que p^e_iⁱ⁺¹− 1

p_i− 1 = 1 + pi+ p²_i + · · · + p^e_iⁱ

| {z }

ei+1- t´erminos

.

Como p_i es impar y como la suma tiene e_i+ 1 t´erminos (todos impares, pues p_i es impar), entonces p^e_iⁱ⁺¹− 1

p_i− 1



es impar si y solo si e_i+ 1 es impar. O sea, si y solo si e_i es par. Sea e_i = 2k_i para 1 ≤ i ≤ r. Entonces,

n = 2^e0p^2k₁ ¹· · · p^2k_r ^r.

Note que si e₀ es par, entonces n es un cuadrado perfecto. Por el contrario, si e₀ es impar, digamos que e₀ = 2k₀+ 1, entonces

n = 2^2k0+1p^2k₁ ¹· · · p^2k_r ^r = 2 2^2k0p^2k₁ ¹· · · p^2k_r ^r
. Como 2^2k0p^2k₁ ¹· · · p^2k_r ^r = 2^k0p^k₁¹· · · p^k_r^r
2

es un cuadrado perfecto, entonces n es el doble de un cuadrado perfecto. Concluimos que σ(n) es impar sii n es un cuadrado perfecto o el doble de un cuadrado perfecto. Muerto el Pollo.  3. Suponga que k ≥ 2, demuestre lo siguiente:

(a) Si n = 2^k−1, entonces n satisface σ(n) = 2n − 1.

Demostraci´on: Note que los divisores de n = 2^k−1 son 1, 2, 2², · · · , 2^k−1.

Por lo tanto,

σ(n) = σ(2^k−1) = 1 + 2 + 2²+ · · · + 2^k−1

= 2^k− 1

2 − 1 = 2^k− 1 = 2(2^k−1) − 1

= 2n − 1.

Muerto el Pollo. 

(b) Si 2^k− 1 es primo, entonces n = 2^k−1(2^k− 1) satisface σ(n) = 2n.

Demostraci´on: Suponga que 2^k− 1 es primo, entonces n = 2^k−1(2^k− 1) ya est´a escrito en su factorizaci´on prima. Entonces,

σ(n) = σ(2^k−1(2^k− 1)) =  2^k− 1 2 − 1

  (2^k− 1)²− 1 (2^k− 1) − 1



= 2^k− 1
 (2^2k− 2^k+1+ 1) − 1 2^k− 2



= 2^k− 1
 2^2k− 2^k+1 2^k− 2



= 2^k− 1
 2^k(2^k− 2) 2^k− 2



= 2^k− 1
2^k

= 2(2^k−1(2^k− 1))

= 2n.

Muerto el Pollo. 

4. Defina la funci´on ρ como ρ(1) = 1 y ρ(n) = 2^r is la factorizaci´on de n > 1 es n = p^k₁¹p^k₂²· · · p^k_r^r. Por ejemplo, ρ(8) = 2 y ρ(10) = ρ(36) = 2².

(a) Demuestre que ρ es multiplicativa.

Demostraci´on: Suponga que m y n son coprimos. Suponga que las factor- izaciones primas est´an dadas por

m = p^e₁¹· · · p^e_r^r y n = q₁^k1· · · q_s^ks.

Claramente, la hip´otesis gcd(m, n) = 1 implica que todos los primos p_i son distintos a los primos q_j. Entonces, la factorizaci´on prima de mn es

mn = p^e₁¹· · · p^e_r^rq₁^k1· · · q^k_s^s. Por lo tanto,

ρ(mn) = 2^r+s= 2^r· 2^s = ρ(m)ρ(n).

Concluimos que ρ es multiplicativa. 

(b) Encuentre una f´ormula para F (n) = X

d|n

ρ(d) en t´erminos de la facto- rizaci´on prima de n.

Respuesta: Suponga que n tiene factorizaci´on prima n = p^e₁¹· · · p^e_r^r. Re- cuerde que si una funci´on f (n) es multiplicativa, entonces

F (n) =X

d|n

f (d)

tambi´en lo es. Ahora, sabemos que ρ(n) es multiplicativa, por lo tanto, F (n) =X

d|n

ρ(d)

es multiplicativa.

Considere F (p^e_iⁱ). Note que los divisores de p^ei son 1, p_i, p²_i, · · · , p^e_iⁱ. En- tonces,

F (p^e_iⁱ) = X

d|p^ei

ρ(d)

= ρ(1) + ρ(pi) + ρ(p²_i) + · · · + ρ(p^e_iⁱ)

= 1 + 2 + 2 + · · · + 2

| {z }

ei- veces

= 1 + e_i· 2.

Finalmente, utilizando el hecho de que F (n) es multiplicativa, obtenemos que

F (n) = F (p^e₁¹) · · · F (p^e_r^r) =

r

Y

i=1

(1 + e_i· 2).

Muerto el Pollo. 

5. Demuestre que para todo entero positivo n, tenemos que µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0.

Demostraci´on: Aplique el Algoritmo de la Divisi´on para escribir n = 4q + r con 0 ≤ r < 4. Proseguimos por casos.

Caso 1: Suponga que r = 0, entonces n = 4q y por lo tanto, 4|n. Esto implica que n no es libre de cuadrados, por lo tanto, µ(n) = 0. Concluimos que en este caso,

µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0.

Caso 2: Suponga que r = 1, entonces n = 4q + 1 y n + 3 = 4q + 4 = 4(q + 1).

Esto implica que 4|n + 3 y por lo tanto, µ(n + 3) = 0. Concluimos que en este caso,

µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0.

Caso 3: Suponga que r = 1, entonces n = 4q + 2 y n + 2 = 4q + 4 = 4(q + 1).

Esto implica que 4|n + 2 y por lo tanto, µ(n + 2) = 0. Concluimos que en este caso,

µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0.

Caso 4: Suponga que r = 1, entonces n = 4q + 3 y n + 1 = 4q + 4 = 4(q + 1).

Esto implica que 4|n + 1 y por lo tanto, µ(n + 1) = 0. Concluimos que en este caso,

µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0.

Finalmente, como en todos los casos obtenemos que µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0,

entonces concluimos que el resultado es cierto para todo n ∈ N.  6. Sea n = p^k₁¹p^k₂²· · · p^k_r^r la factorizaci´on prima de un entero n > 1. Si f es una

funci´on multiplicativa, entonces demuestre que X

d|n

µ(d)f (d) = (1 − f (p₁))(1 − f (p₂)) · · · (1 − f (p_r)).

Demostraci´on: Primero note que f (n) no es la funci´on multiplicativa (trivial) que env´ıa todo a cero, pues el resultado no es cierto en ese caso. As´ı que

saquemos ese caso del medio. Total, el resultado en ese caso es que todo es cero, as´ı que olvid´emonos de esa trivialidad por el momento.

Suponga que f (n) es un funci´on multiplicativa distinta a la funci´on multiplica- tiva (trivial) que env´ıa todo a cero. Como 1 es coprimo con ´el mismo, entonces

f (1) = f (1 · 1) = f (1)f (1).

Esto implica que f (1) = 0 ´o f (1) = 1. Si f (1) = 0, entonces, como cualquier n entero positivo es coprimo con 1, tenemos que

f (n) = f (1 · n) = f (1)f (n) = 0 · f (n) = 0,

lo cual contradice nuestra hip´otesis de que f (n) no es la funci´on identica a cero.

Concluimos que f (1) = 1.

Defina ahora la funci´on g(n) := µ(n)f (n). Como µ(n) y f (n) son multiplicati- vas, entonces g(n) es multiplicativa. M´as a´un,

F (n) := X

d|n

µ(d)f (d) = X

d|n

g(d),

es multiplicativa, pues g(n) lo es. Por lo tanto,

F (n) = F (p^k₁¹p^k₂²· · · p^k_r^r) = F (p^k₁¹)F (p^k₂²) · · · F (p^k_r^r).

Solo nos falta calcular el valor de F (p^k_iⁱ) para 0 ≤ i ≤ r.

Note que

F (p^k_iⁱ) = X

d|p^ki_i

g(d)

= g(1) + g(pi) + g(p²_i) + · · · + g(p^k_iⁱ)

= µ(1)f (1) + µ(p_i)f (p_i) + µ(p²_i)f (p²_i) + · · · µ(p^k_iⁱ)f (p^k_iⁱ)

= 1 − f (p_i) + 0 + · · · + 0

= 1 − f (p_i).

Concluimos que

F (n) = F (p^k₁¹p^k₂²· · · p^k_r^r) = F (p^k₁¹)F (p^k₂²) · · · F (p^k_r^r)

=

r

Y

i=1

(1 − f (p_i)).

Muerto el Pollo. 

7. Si n > 1 es un entero con factorizaci´on prima n = p^k₁¹p^k₂²· · · p^k_r^r, entonces demuestre que

(a) X

d|n

µ(d)τ (d) = (−1)^r;

Demostraci´on: Por el ejercicio anterior tenemos que X

d|n

µ(d)τ (d) =

r

Y

i=1

(1 − τ (p_i)) =

r

Y

i=1

(1 − 2) = (−1)^r.

Muerto el Pollo. 

(b) X

d|n

dµ(d) = (1 − p₁)(1 − p₂) · · · (1 − p_r).

Demostraci´on: Consecuencia directa del problema 6.