f f f f f , f. f y x DET-385,

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias Económicas, Administrativas y Contables

Departamento de Métodos Cuantitativos Pauta del Examen de Recuperación de DET-385,

Métodos Cuantitativos III

1) Evalúe: (13%)

( )( )

( )

4 2 4 4

2 2 4

2

16 4 4 2

( )

( ) ( )

x x x

x x x

L í m x L í m L í m

x x x x

→ → →

− + −

− = =

− − + + ( x −

4

) ( )

( ) ( ) ^{( ) ( )}

4

4 2

4 2

1 1 1 1

8 2 2 8 4

4 2 4 4 4 2

2 1

16 32

( )

( ) ( )

( ) ( )

x

x

x x

L í m

x x

L í m x x

→

→

+ +

= = = =

+ + + + +

− =

−

2) Dada la ecuación y ln x ( ) + e

^y−1

= 1

a) Encuentre la derivada de y con respecto a x . (7%)

1 1

1

1

1

1

0

( ) ' ( ) '

' ( ) '

( )

y y

y

y x

y ln x e y y ln x y e

y ln x e y

x y y

x ln x e

− −

−

−

+ = ⇒ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + =

⎡ ⎤

⇒ ⎣ + ⎦ = −

⇒ = −

⎡ + ⎤

⎣ ⎦

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y ln x ( ) + e

^y−1

= 1 en el

punto ( 1 , 1 ). (5%)

1 1 1 0

1 1

1 1

1 1 1 1 1 0 1

1 1( 1

1 1 2

1 1

'(1, 1)

( ) , ( )

( ) )

y

m y y

x y e

x ln x e ln e

y y m x x y x

y x y x

y x

− −

= = − = − = − = −

= =

⎡ + ⎤ ⎡ + ⎤ ⎡ ⎣ + ⎤ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− = − ⇒ − = − − ⎫

⇒ − = − + ⎪ ⎬ ⇒ = − +

⇒ = − + + ⎪ ⎭

3) Dada la función f x ( ) = − x

³

+ 3 x − 2. Determine los puntos críticos y posibles puntos

de inflexión de ^f. Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos

dónde f es decreciente ^, así como los puntos máximos ^y mínimos de la gráfica de

f . Encuentre los intervalos dónde

f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde

f es cóncava hacia arriba , así como los puntos de inflexión de la gráfica de f .

Finalmente, haga un bosquejo de la gráfica de la función. (12%)

3 2 2

2 3 3 3 1 3 1 1 6

1 1. 1

( ) 3 '( ) ( ) ( ) ( ). '( )

cos : , Posible punto de inflexión en .

f x x x f x x x x x f x x

Números críti x x x

= − + − ⇒ = − + = − = − + = −

= = − =

Intervalo ] − ∞ , − ¹ [ ] − 1 1 , [ ] , 1 + ∞ [ Valor de prueba f '( − ² ) = − ⁹ f '( ) 0 = 3 f '( ) 2 = − 9

Signo de la 1era derivada – + –

Conclusión f es decreciente f es creciente f es decreciente

Intervalo ] − ∞ , [ ⁰ ] , ₀ + ∞ [

Valor de prueba f ''( − = ¹ ) ⁶ f ''( ) 1 = − 6

Signo de la 2da derivada + –

Conclusión f es cóncava hacia arriba f es cóncava hacia abajo Punto Mínimo: (– 1 , – 4 ). Punto máximo: ( 1 , 0 ). Punto de inflexión: ( 0 , – 2 ).

4) Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de cierto artículo cada mes, el costo total será C(x) = 10 x + 500 lempiras por unidad y las x unidades pueden venderse a un precio de p = ( 100 – x ) lempiras la unidad.

a) ¿Cuál es el nivel de producción que maximiza la utilidad? (6%)

( )

^{2 2}

100 10 500 100 10 500 90 500

2 90 0 45. 45

( ) ( ) ( )

'( )

U x p x C x x x x x x x x x

U x x x La producción que maximiza la untilidad es x

= ⋅ − = − − + = − − − = − + −

= − + = ⇒ = =

b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal utilidad es máxima. (4%)

2 45 2 0.

45

''( ) ''( )

.

U x U Por el criterio de la segunda derivada

U tiene un valor máximo en x

= − ⇒ = − <

=

c) Determine el precio y la utilidad máxima. (3%)

^{2 2}

100 100 45 55.00

90 500 45 45 90 45 500 45 45 90 500

45 45 45 500 2, 025 500 1, 525.00 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

p x L

U x x x U

U L

= − = − =

= − + − ⇒ = − + − = − + −

⇒ = − = − =

5) La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es:

36 2 200

p + x =

Determine la elasticidad puntual de la demanda cuando p = 20 . ¿Es la

demanda elástica ^, inelástica ^{o tiene} elasticidad unitaria en este punto?

Si el precio cuando p = 20 está disminuyendo en 10 %, ¿el ingreso total

crecerá, disminuirá o permanecerá constante? Justifique su respuesta.

( ) ( )

2

2 2

2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

1

36 100

20 20 36 200 36 10

64

36 200 36 40, 000 2 2 36 0

36 36 36

0 0

100 1.5625 1.5625 1.5625 .

64 ,

1 2

Por tanto la deman

p x x x

x

p x p x p x dx p x

dp px

p dx x x x

x dp x η x η x

η η

>

⎧ + =

= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ ⎨ ⎪

⎪⎩ =

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

+ = ⇒ + = ⇒ ⎢ ⎣ + + = ⎥ ⎦ ⎝ ⎜ ⎟ ⎠

+ + +

⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ = −

⇒ = − = − ⇒ = − =

1 20 8 160.00

10% 20 2 18

,

, .

: ( ) .

, ,

da es elástica

El ingreso total crecerá porque cuando la demanda es elástica una disminución en el precio provoca un incremento en el ingreso

Ingreso inicial R L

El de es lempiras el nuevo precio es lempiras

= =

2

2 2 2

2

18 36 200.

100 10, 000 10, 000

36 36 36 87.45679012 9.35

9 81 81

18 9.35) 168.30

: ( .

luego x

x x x x

Ingreso Nuevo R L

+ =

+ = ⇒ + = ⇒ = − = ⇒ =

= =

6) Mediante una sustitución apropiada determine la integral:

2 100

x .

dx x −

∫

(12%)

(13%)

( )

1/ 2

1/ 2

2 100

1/ 2 1/ 2 2 1

100 2

2 2

100 100

2 100 2 100

1 1

2 2

2 2

/ 2

z

z x dz x dx dz x dx

x dz

dx z dz C z C

x z

x C x C

x dx x C

x

⎛ ⎞

− ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − ⇒ = ⇒ =

= = = + = +

−

= − + = − +

= − +

−

∫ ∫ ∫

∫

7) Utilice integración por partes para evaluar

1

1 2

2

.

x

x

e dx +

−

∫

1 2 u x +

=

^x₂¹

dv e dx

−

=

1 2

du = dx

₂¹

2

x

v e

−

=

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2

1 1

2 2

1 1 1

2

1

1 1

2

2

2

( ) ( )

[( ) ]

( )

x x x x x

x

x x

x dx x dx x C

x C

x dx x C

e e e e e

e

e e

− − − − −

−

− −

+ = + − = + − +

= + − +

+ = − +

∫ ∫

∫

8) Dibuje la región limitada por las curvas: y = − 4 x + 4, y = − − 5 4 x + x

²

. Luego, encuentre el área de la región.

UNAH/FCEAYC/Métodos Cuantitativos/23-mayo-2008

(13%)

(12%)

( )

( )

( )

3 3

3 3

2 2

2

3 3

2

3 3

5 4 4 4 9

4 4 5 4

9 9

27 9 27 9 18 18

36

3 3

( )

( ) ( )

x x x x

x ó x

Área x x x dx

Área x dx x x

Área

Área unidades cuadradas

−

−

− − + = − + ⇒ =

= − =

⎡ ⎤

= ⎣ − + − − − + ⎦

= − = −

−

= − − − + = − −

=

∫

∫