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Instituto de Física, UASLP, San Luis Potosí, México, Marzo 2018

Luis A. Orozco www.jqi.umd.edu

Funciones de correlación en óptica; ejemplos clásicos y

cuánticos 2.

(3)

Correlaciones en óptica

(4)

El estudio de las señales ruidosas utiliza funciones de correlación.

Fotocorriente con ruido:

<F(t) F(t+ τ ) >

<F(t) G(t+ τ )>

Para señales ópticas las

variables a

correlacionar son:

Campo e

Intensidad.

(5)

G

⁽¹⁾

( τ ) = <E(t) E

^*

(t+ τ )> campo-campo

G

⁽²⁾

( τ ) = <I(t) I(t+ τ )> intensidad-intensidad H( τ ) = <I(t) E(t+ τ )> intensidad-campo

¿Cómo medir estas funciones?

(6)

•  Las funciones de correlación nos

dicen algo sobre las fluctuaciones.

•  Las funciones de correlación tienen límites clásicos.

•  Están relacionadas a mediciones condicionales, nos dan la

probablilidad de un evento una vez que otro evento ya ha

pasado.

(7)

Interferómetro de Mach Zehnder o de Michelson Correlación Campo-Campo

) (

) ) (

(

* )

1 (

t I

t E t

g E τ

τ = ⁺

τ τ

π ωτ

ω ^e^xp ⁱ ^g ^d

F ( ) ( )

2 ) 1

( ⁼

∫

⁽¹⁾

Espectro de la señal :

Base de la espectroscopía de Fourier

(8)

(9)

Hanbury-Brown and Twiss Intensidad- Intensidad

2 )

2 (

) (

) ) (

( I t

t I t

g I τ

τ = ⁺

HBT: ¿Podemos utilizar las fluctuaciones en

la intensidad para medir el tamaño de una

estrella? Eran radio astrónomos.

(10)

Correlaciones de la intensidad τ=0

Claramente ven la varianza

(11)

Correlaciones de la intensidad (cotas)

La correlación es máxima a tiempos iguales (τ=0), no puede incrementarse.

) (

) ( )

( )

(

2 I t I t + τ ≤ I

²

t + I

²

t + τ

Cauchy-Schwarz

(12)

¿Cómo se miden?

Construllendo un “Periodograma”. La fotocorriente es proporcional a la intensidad I(t)

n i M

i

N n

i j

i

I I t

I t I

I t

I

I t

I

+

= =

∑∑

→ +

→

0 0

) (

τ τ

•  Discretizar la serie de tiempo.

•  Aplicar el algoritmo moviendo un vector sobre si mismo.

•  Cuidado con la normalización pues la longitud es finita.

(13)

I_i

I_i+n

Multiplicar por sigo misma con desplazamiento:

Discretizar^:

Summar y promediar:

(14)

Otra forma de medir la correlación es con la

distribucion de tiempos de espera de los fotones.

•  Medir la separación entre dos pulsos consecutivos (start and stop)

•  Histogramar las separaciones

•  El resultado es g⁽²⁾(τ) si las fluctuaciones son escasas.

•  Trabajar a intensidades bajas.

tiempo Intensidad (fotones)

(15)

Ejemplo de cómo medir g

⁽²⁾

( τ ) con la serie de tiempo y la distribucion de tiempos de espera.

El osciloscopio digital (DO) captura la fotocorriente del tubo fotomultiplicador

(PMT) y la almacena para después procesar la serie de tiempo.

Correlacionador de fotones con fotodiodos de avalancha (APD), para medir la

distribución del tiempo de espera. El TDC guarda los intervalos para luego hacer el histograma.

(16)

Correlaciones en la intensidad de un laser de diodo con una fuente de corriente ruidosa.

Usamos el teorema Wiener-Khintchine- Kolmogorov para obtener G⁽²⁾(t) de la

densidad de potencia espectral del ruido.

(17)

Espectro de potencia de la fuente de corriente ruidosa.

(18)

Compación de g ⁽²⁾ (τ) conteo de fotones (a), y serie de tiempo(b).

(19)

•  El fotón es la mas pequeña fluctuación de la intensidad del campo

electromagnético, de su varianza.

•  El fotón es el cuanto de enegía del

campo electromagnético. Con un campo de frecuencia ω la energía ħω.

Optica cuántica

(20)

Un punto importante sobre

el cálculo cuántico de g

⁽²⁾

(τ)

(21)

El operador de la intensidad I es proporcional a el número de fotones, pero los operadores deben

ordenarse en forma normal: todos los operadores de aniquilación a la derecha y los de creación a la

izquierda (asi funcionan los detectores de luz).

Ademas los operadores deben actuar en orden temporal.

Cálculo con Mecánica Cuántica (Glauber)

^:

(22)

Algebra del operador (normal) a tiempos iguales:

Conmutador : ˆa

⁺

â = â â

⁺

−1

ˆa

⁺

ˆa

⁺

â â = â

⁺

( ˆa ˆa

⁺

−1) ˆa = ˆa

⁺

ˆa ˆa

⁺

ˆa − ˆa

⁺

ˆa ˆa

⁺

ˆa

⁺

ˆa ˆa = ˆn

²

− ˆn donde ˆn = ˆa

⁺

ˆa

La correlación requiere detectar dos fotones por

lo tanto si le quitamos uno al campo, debemos

tener eso en cuenta para la segunda detección.

(23)

En función de la varianza del número de fotones; de la intensidad:

El resultado clásico dice:

(24)

El valor de la función de correlación cuántica si puede ser cero, pues la

detección cambia el número de fotones en el campo (conmutador). Mas

generalmente puede ser menor que uno si la varianza es menor que la media

(Subpoisoniano).

(25)

El valor a tiempos iguales:

g

⁽²⁾

(0)=1 Poissonian

g

⁽²⁾

(0)>1 Superpoissonian g

⁽²⁾

(0)<1 Subpoissonian

La pendiente a tiempos iguales:

g

⁽²⁾

(0)>g

⁽²⁾

(0

⁺

) Bunched

g

⁽²⁾

(0)<g

⁽²⁾

(0

⁺

) Antibunched

Clásicamente no puede haber

subpoassonian ni antibunched.

(26)

2 6

Correlaciones de fotones (Glauber):

Si detectamos un fotón al tiempo t la g⁽²⁾(τ) da la probabilidad de detectar un segundo fotón

después de un tiempo τ .

g

⁽²⁾

( τ ) = : ˆI( τ ^{) :}

c

: ˆI :

(27)

Las funciones de correlación en óptica cuántica son mediciones condicionales.

•  La detección del primer fotón nos da la condición inicial del estado que va a

evolucionar en el tiempo.

•  Piensen en terminos de probabilidades de Bayes.

•  g

⁽¹⁾

(t) Interferogramas.

•  g

⁽²⁾

(t) Hanbury-Brown and Twiss.

•  Puede utilizarse en un proceso de

retroalimientación cuántica.

(28)

Ejemplo con nanofibras

(29)

Nanofibras ópticas

(30)

3 0

Correlaciones con fotones emitidos por

átomos fríos

(31)

Ê ÊÊ

ÊÊ ÊÊ

Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê

Ê Ê ÊÊÊÊ

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ÊÊÊÊÊÊ Ê Ê Ê

Ê Ê ÊÊ

Ê

Ê ÊÊÊÊÊ

ÊÊ Ê Ê ÊÊ

Ê ÊÊÊÊ

ÊÊÊ ÊÊ

ÊÊ

ÊÊÊ

-4 -2 0 2 4

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

t HmsL

gH2L HtL

Correlaciones clásicas y cuánticas

Antibunching Clasicas dan el

tiempo que el

átomo pasa en el modo, su

velocidad.

(32)

Relación temperatura velocidad

(33)

¿Hay efectos cuánticos en la

electrodinámica cuántica de cavidades (cavity QED)?

Veamos las fluctuaciones en la intensidad

(34)

Optical Cavity QED

Electrodinámica cuántica para peatones. No es necesario renormalizar. Un modo del campo

electromagnético de la cavidad.

ATOMOS + CAVIDAD

Perturbativo: Acoplamiento << Disipación.

Decaimiento suprimido o aumentado (cavidad menor a λ), Cambios en los niveles de energía.

No Perturbativo: Acoplamiento>>Disipación Vacuum Rabi Splittings. Dinámica condicional.

(35)

Acoplamiento dipolar entre el átomo y la cavidad.

El campo eléctrico asociado con un promedio de un fotón en la cavidad con volumen V_eff es:

! Ev

g d ⋅

=

eff

v V

E

2

ε

0

!

ω

=

(36)

SIGNAL PD EMPTY CAVITY

LIGHT

(37)

C

₁

= g

²

κγ ^{C =C}

¹

^N g ≈ κ ≈ γ

Acoplamiento Emisión esponánea

Cavity decay

Cooperatividad

para un átomo: C₁ Cooperatividad

para N átomos: C

(38)

y

Excitación x

-2Cx 1+x

²

Polarización atómica:

Transmisión x/y= 1/(1+2C)

Estado Estable

(39)

Dinámica de Jaynes Cummings Oscilaciones de Rabi

Intercambio de la excitación para N atomos:

N

≈ g

Ω

(40)

2g Vacuum Rabi Splitting

Dos modos normales Enredados

No acoplados

(41)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-30 -20 -10 0 10 20 30

Frequency [MHz]

Scaled Transmission

Doblete en la transmisi´øn en vez del singlete de la resonancia del Fabry Perot

(42)

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(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

7 663 536 starts 1 838 544 stops

(65)

Classicamente g

⁽²⁾

(0)> g

⁽²

)( τ ) y tambien |g

⁽²⁾

(0)-1|> |g

⁽²

)( τ )-1|

antibunched

Non-clasico

(66)

¡Usen correlaciones!

(67)

67

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Funciones de correlación en óptica; ejemplos clásicos y

cuánticos 2.

Correlaciones en óptica

El estudio de las señales ruidosas utiliza funciones de correlación.

Fotocorriente con ruido:

<F(t) F(t+ τ ) >

<F(t) G(t+ τ )>

Para señales ópticas las

variables a

correlacionar son:

Campo e

Intensidad.

G

( τ ) = <E(t) E

(t+ τ )> campo-campo

G

( τ ) = <I(t) I(t+ τ )> intensidad-intensidad H( τ ) = <I(t) E(t+ τ )> intensidad-campo

¿Cómo medir estas funciones?

• Las funciones de correlación nos

dicen algo sobre las fluctuaciones.

• Las funciones de correlación tienen límites clásicos.

• Están relacionadas a mediciones condicionales, nos dan la

probablilidad de un evento una vez que otro evento ya ha

pasado.

Interferómetro de Mach Zehnder o de Michelson Correlación Campo-Campo

) (

) (

) ) (

(

t I

t E t

g E τ

τ = +

∫

Espectro de la señal :

Base de la espectroscopía de Fourier

Hanbury-Brown and Twiss Intensidad- Intensidad

) (

) (

) ) (

( I t

t I t

g I τ

τ = +

HBT: ¿Podemos utilizar las fluctuaciones en

la intensidad para medir el tamaño de una

estrella? Eran radio astrónomos.

Correlaciones de la intensidad τ=0

Claramente ven la varianza

Correlaciones de la intensidad (cotas)

La correlación es máxima a tiempos iguales (τ=0), no puede incrementarse.

) (

) ( )

( )

(

2 I t I t + τ ≤ I

t + I

t + τ

Cauchy-Schwarz

I I t

I t I

I t

I

I t

I

∑∑

→ +

→ +

→

) (

) (

) (

) (

τ τ

Ejemplo de cómo medir g

( τ ) con la serie de tiempo y la distribucion de tiempos de espera.

•  Las funciones de correlación nos

•  Las funciones de correlación tienen límites clásicos.

•  Están relacionadas a mediciones condicionales, nos dan la

τ = ⁺

τ = ⁺

•  El fotón es la mas pequeña fluctuación de la intensidad del campo

•  El fotón es el cuanto de enegía del

( τ ) = : ˆI( τ ^{) :}

•  La detección del primer fotón nos da la condición inicial del estado que va a

•  Piensen en terminos de probabilidades de Bayes.

•  g

•  g

•  Puede utilizarse en un proceso de