Tema 2: Los números enteros (Z)

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Tema 2: Los n´ umeros enteros (Z)

∗ ¿Por qu´e introducir los n´umeros enteros?

◦ Para dar respuesta a necesidades de c´alculo en la pr´actica.

◦ Por necesidades propias de la aritm´etica (para hacerla

“completa”).

∗ ¿C´omo introducir los n´umeros enteros?

∗ Es un detalle importante:

Los n´umeros enteros son el primer concepto abstracto con que se encuentra un estudiante.

De hecho, hace unos pocos cientos de a˜nos los

matem´aticos discut´ıan sobre si los n´umeros enteros son

“realmente n´umeros”.

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Definici´ on de n´ umeros enteros

1. Z = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .

Problema: ¿c´omo se opera con ellos?

2. Los enteros son pares de n´umeros naturales:

(5, 2), (7, 4), (15, 12) representan al entero +3.

(3, 7), (1, 5), (15, 19) representan al entero −4.

∗ ¿C´omo introducir los n´umeros enteros?

3. Recurriendo a la geometr´ıa: la recta de los enteros.

0 +5

−3 0

Un n´umero entero es un vector.

La longitud es el “valor absoluto”.

El signo da la direcci´on.

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Algunos ejemplos de libros

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Algunos ejemplos de libros

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Algunos ejemplos de libros

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Operaciones con n´ umeros enteros

∗ ¿C´omo se suman n´umeros enteros?

0

+3 +2

(+2) + (+3) = +5 2 + 3 = 5

+2 0

−5

(+2) + (−5) = −3 2 − 5 = −3

∗ Antes de pasar a la resta, un comentario importante: En expresiones como

(+2) + (−3) = −1, (+2) − (+3) = −1 hay signos + (y −) que significan cosas distintas.

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Operaciones con n´ umeros enteros

∗ Una idea para evitar confusiones al principio:

(+4) − (3) − (+5) + (+3) = . . .

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Operaciones con n´ umeros enteros

∗ El opuesto de un n´umero entero a es aqu´el que al sum´arselo da como resultado el 0.

¿Cu´al es el opuesto de −3?

0

−3

• Antes del opuesto de un n´umero, un comentario importante: En expresiones como

(+2) + (−3) = −1, (+2) − (+3) = −1 hay signos + (y −) que significan cosas distintas.

∗ ¿C´omo se restan n´umeros enteros?

5 0 5 − 3 = 2 3

2. Introduciendo una idea nueva (e importante): el opuesto.

1. Analog´ıa con los naturales.

+5

0 ¿Cu´al es el opuesto de +5?

∗ Restar es lo mismo que sumar el opuesto.

0 +5

5 − 3 = 5 + (−3)

−3

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Resta de n´ umeros enteros

3. Usando la idea de “distancia con signo”.

Para n´umeros naturales, positiva o negativa seg´un cu´al sea el mayor.

5 − 3 = 2 3 − 5 = −2 5

3 0

0

−2 4

−5

Se generaliza al resto de los casos:

4 − (−2) =

−2 − (+4) =

−2 − (−5) =

−5 − (−2) =

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Operaciones con n´ umeros enteros

∗ Ya podemos “quitar los par´entesis” en expresiones del tipo (−3) + (−5) − (+4) + (+2) + (−3) − (−7)

es decir, ya tenemos una “regla de los signos”.

(−3) + (−5) − (+4) + (+2) + (−3) − (−7) = −3 − 5 − 4 + 2 − 3 + 7 = −6

∗ En la ´ultima igualdad, hemos utilizado que la suma de

n´umeros enteros (ya no hablaremos de la resta) cumple las siguientes propiedades:

1. es conmutativa, 2. es asociativa,

3. existe un elemento neutro (el 0), 4. todo elemento tiene un opuesto.

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Orden en Z, valor absoluto

∗ Tener la recta de los enteros nos permite dar dos visiones alternativas de la relaci´on de orden:

1. Dados dos n´umeros enteros a y b, se dice que a ≤ b si b − a ≥ 0.

2. Dados dos enteros a y b, se dice que a ≤ b si el extremo del vector a est´a a la izquierda del extremo del vector b.

∗ El valor absoluto de un n´umero entero a es la longitud del vector correspondiente. En otras palabras,

|a| =

 a si a ≥ 0

−a si a < 0

∗ Ejemplos: −8 ≤ −7, −1 ≤ 2 , 2 ≤ 5.

∗ Ejemplos: | − 8| = 8, |3| = 3.

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El producto de n´ umeros enteros

∗ Hay que darle sentido a una expresi´on como (−2) · (−3), es decir, “−2 veces” −3.

∗ Si queremos que el producto de n´umeros enteros tenga las mismas propiedades que el producto de n´umeros naturales (en particular, la propiedad distributiva), entonces (−1) · a tiene que ser el opuesto de a, es decir, (−1) · a = (−a).

∗ De aqu´ı sale la “regla de los signos”:

 (+2) · (+3) = +6.

 (−2) · (+3) = (−1) · (+2) · (+3) = (−1) · (+6) = −6.

 (−2)·(−3) = (−1)·(+2)·(−1)·(+3) = (+2)·(+3) = +6.

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Orden de las operaciones

∗ Con el fin de simplificar en lo posible las expresiones, se establece la siguiente prioridad en las operaciones:

- Los par´entesis se efect´uan “de dentro hacia afuera”.

- La multiplicaci´on y la divisi´on tienen prioridad sobre la suma y la resta.

∗ Ejemplo:

−3 · (4 : (7 − 10 : 2)) + 2 · 5 − (4 + 6) : (2 + 3)

{

5

{

5

= −3 · (4 : 2) + 10 − 2 = −6 + 8 = 2.

{

10

{

10

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Ejercicios

∗ Calcula

a) −2 · (10 : 5 + 2 · (5 − 8) − 6 : (1 + 4 : 2)).

b) (−4) · (2 − (3 − 5) − 2 · (4 : 2 + 3) − (5 + 8 : 2)).

∗ Coloca los par´entesis necesarios para que cada expresi´on tenga el valor indicado:

a) 36 : 3 · 4 + 2 = 2.

b) 6 − 3 + 2 + 4 = 5.

c) 2 + 4 · 5 − 3 = 27.

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Repaso de potencias

∗ Potencias de exponente natural:

1. an · am = an+m 2. (an)m = an·m 3. an/am = an−m

∗ Las propiedades anteriores se generalizan a exponentes enteros. Por ello,

1. a0 = 1 2. a−n = 1 an

∗ Y a exponentes racionales.

Por ello, a1/n = √n

a. Y, en general, ap/q = √q

ap.

∗ La potencia de un producto (y un cociente) son sencillas:

1. (a · b)n = an · bn 2. (a/b)n = an/bn

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Ejercicios

1. Si 23 · 8 = 2m, ¿cu´anto vale m?

2. Si 315 ÷ 9 = 3r, ¿cu´anto vale r?

3. Si y−3 = 27, ¿cu´anto vale y?

4. Si 9r = √

243, ¿cu´anto vale r?

5. Si 27s = 19, ¿cu´anto vale s?

6. Si x−1/3 = 2, ¿cu´anto vale x?

7. Simplifica 22 + 25 24 − 23 . 8. Calcula 24 · 82

45 + 26

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Introducci´ on al lenguaje algebraico

∗ La aritm´etica se ocupa de las operaciones con n´umeros.

El ´algebra se ocupa de las operaciones con s´ımbolos.

∗ El ´algebra es muy antigua. Griegos y babilonios hac´ıan razonamientos algebraicos.

Los matem´aticos de la Edad Media hablaban de “la cosa”

(para referirse a la inc´ognita).

∗ En el siglo XVI se introducen los s´ımbolos modernos.

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Introducci´ on al lenguaje algebraico

∗ Permite enunciar propiedades generales:

Para cualesquiera a y b, se cumple que a + b = b + a.

∗ Permite razonar sobre cantidades desconocidas, estableciendo relaciones entre ellas:

Juan se ha presentado a un concurso en el que le hicieron 40 preguntas. Le daban 150 euros de premio por cada respuesta acertada, y le restaban 60 euros por cada fallo. Si no pod´ıa dejar preguntas en blanco y se llevo 4530 euros de premio,

¿cu´antas respuestas acert´o?

150x − 60 · (40 − x) = 4530

∗ Permite manipular expresiones como la anterior (ecuaciones) y encontrar las soluciones.

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Breve repaso de ecuaciones lineales

∗ Resolver una ecuaci´on como

150x − 60 · (40 − x) = 4530

es encontrar el valor de x para el que se cumple la igualdad.

∗ La x se encuentra (“despeja”) utilizando estas dos propiedades de las igualdades:

1. Si a los dos t´erminos de una igualdad se le suma un mismo n´umero, la igualdad sigue siendo cierta.

2. Si los dos t´erminos de una igualdad se multiplican por un mismo n´umero, la igualdad sigue siendo cierta.

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Problemas

∗ Un padre tiene 47 a˜nos y su hijo 11. ¿Cu´antos a˜nos tienen que pasar para que la edad del padre sea el triple que la del hijo?

∗ De un n´umero de dos cifras sabemos que al invertir el

orden se obtiene un n´umero 36 unidades mayor. Encuentra el n´umero sabiendo que la suma de las cifras es 10.

∗ En un garaje hay 110 veh´ıculos, entre coches y motos. Si hay en total 360 ruedas, ¿cu´antos coches hay?

∗ Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, con la mala fortuna de que se tropieza y se le rompen 2/5 de los que llevaba. Entonces vuelve al gallinero, recoge 21 huevos m´as, y resulta que ahora tiene 1/8 m´as de los que ten´ıa al principio. ¿Cu´antos huevos ten´ıa al principio?

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Cuadrado de una suma

? (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

? (a − b)2 = (a + (−b))2

a b

ab ´Area total: (a + b)2

a2

b2 ab

ab

Descompuesta en cuadril´ateros:

a2 + b2 + 2ab

= a2 + b2 − 2ab

? Calcula (2x − 3y)2 + (x/2 + y/3)2.

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Ecuaciones de segundo grado

∗ Una ecuaci´on de segundo grado es una expresi´on de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son n´umeros conocidos.

∗ Ejemplo:

encuentra las soluciones de la ecuaci´on x2 + 4x − 12 = 0.

∗ Las soluciones de la ecuaci´on ax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la f´ormula

x = −b ± √

b2 − 4ac 2a

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L´ ogica

∗ Una proposici´on es una oraci´on declarativa que es cierta o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

∗ Ejemplos de proposiciones:

a) Madrid es la capital de Espa˜na.

b) 2 + 2 = 7.

c) Existen infinitos n´umeros primos.

∗ No son proposiciones a) ¿Hace fr´ıo?

b) Pr´estame el libro, por favor.

c) Me gustar´ıa sacar buena nota en matem´aticas.

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Operaciones con proposiciones

∗ La negaci´on de la proposici´on p se denota ¬p, p0 ´o p.¯

∗ La conjunci´on de p y q, denotada p ∧ q, es la proposici´on que es cierta cuando tanto p como q son ciertas (y falsa en cualquier otro caso).

∗ La disyunci´on de p y q, denotada p ∨ q, es la proposici´on que es cierta cuando al menos una de las proposiciones p y q son ciertas (y falsa, por tanto, cuando p y q son falsas).

∗ Ejemplo: considera las proposiciones:

p ≡ “Esta tarde har´e deporte”

q ≡ “Esta noche ir´e al cine”

¿Cu´ales son las proposiciones ¬p, p ∧ q, p ∨ q ?

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La implicaci´ on

∗ La implicaci´on es la base del razonamiento (no s´olo del razonamiento matem´atico).

∗ La expresi´on p → q se lee “si p, entonces q” o “p implica q”

p → q dice que si p es cierta, entonces q tambi´en es cierta (y no dice nada en el resto de los casos).

∗ Consideremos las proposiciones:

p ≡ “Toby es un perro sano”

q ≡ “Toby tiene cuatro patas”

∗ Estudia si son ciertas las implicaciones

a) p → q b) q → p c) ¬p → ¬q d) ¬q → ¬p

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La implicaci´ on

∗ El error m´as frecuente en l´ogica es confundir la implicaci´on

“p → q” con “¬p → ¬q” o con “q → p”.

∗ Ojo: si sabemos que p → q es cierta,

- si p es falsa, no podemos asegurar que q sea falsa.

- si q es cierta, no podemos asegurar que p sea cierta.

∗ Considera las proposiciones:

p: “a y b son n´umeros pares”

q: “a + b es par”

∗ Estudia si son ciertas las implicaciones

a) p → q b) q → p c) ¬p → ¬q d) ¬q → ¬p

∗ Obs: Si p → q es cierta, entonces ¬q → ¬p tambi´en es

cierta. contrarrec´ıproca

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Juegos de l´ ogica

∗ De caballeros y escuderos: En una isla hay dos tipos de habitantes: los caballeros, que siempre dicen la verdad, y los escuderos, que siempre mienten. Supongamos que nos encontramos a dos habitantes. A nos dice “B es un

caballero” y B nos dice “Los dos somos de tipos opuestos”. ¿Qu´e son A y B?

∗ El dilema del prisionero: Un prisionero est´a encerrado en una celda con dos puertas. Una de ellas conduce a la

libertad; la otra, a otra celda sin salida. En cada celda hay un guardi´an. El prisionero sabe que un guardi´an siempre dice la verdad, y el otro siempre miente, pero no sabe

identificarlos. Le permiten hacer una sola pregunta. ¿Qu´e pregunta podr´ıa hacer el prisionero para conseguir la

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Ejemplos de razonamiento l´ ogico

∗ ¿Puedes extraer alguna conclusi´on de las siguientes afirmaciones?

- “Si juego al f´utbol, estoy dolorido al d´ıa siguiente”

- “Uso la ba˜nera de hidromasaje si estoy dolorido”

- “Ayer no utilic´e la ba˜nera de hidromasaje”.

∗ Estudia si el siguiente razonamiento es o no correcto, y explica por qu´e.

Todos los estudiantes de Ingenier´ıa estudian C´alculo

diferencial. Julia estudia C´alculo diferencial. Por tanto, Julia es estudiante de Ingenier´ıa.

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Un juego de l´ ogica

∗ http://www.philosophyexperiments.com/wason/

∗ Jugamos con una baraja de cartas que tienen un n´umero en una cara y un color en la otra.

3 8

∗ Averigua a qu´e carta (o cartas) debo dar la vuelta para comprobar si la siguiente proposici´on es cierta o no:

Si una carta muestra un n´umero par por un lado, entonces la cara opuesta es roja

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Tipos de argumentos matem´ aticos: demostraciones

∗ Supongamos que queremos comprobar que la proposici´on p → q es cierta.

a) Demostraci´on directa.

Comprobamos que si p es verdadera, entonces q es verdadera.

Ejemplo: da una demostraci´on directa del resultado

“Si n es impar, entonces n2 + 4 es impar”

b) Demostraci´on indirecta.

Utilizando el hecho de que p → q y ¬q → ¬p son equivalentes.

Ejemplo: da una demostraci´on indirecta del resultado

“Si n2 + 7 es par, entonces n es impar”

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Tipos de demostraciones

c) Demostraci´on por “reducci´on al absurdo”.

Con el fin de demostrar que p es cierta, demostramos que

¬p implica una contradicci´on.

Ejemplo: demuestra (por reducci´on al absurdo) que

“ √

2 no es racional”

d) Demostraci´on por casos.

Demuestra, considerando casos, el siguiente resultado:

“Si n es par, entonces n4 termina en 0 ´o en 6”

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Gr´ aficas. Interpretaci´ on.

∗ Supongamos que ponemos un cubo vac´ıo en el jard´ın, y

que medimos la altura que alcanza el agua de la lluvia una tarde de tormenta. Representamos los datos y obtenemos la gr´afica de la figura. ¿Qu´e podemos decir del tiempo esa tarde?

4h10’ 4h20’ 4h30’ 4h40’ 4h50’ 5h00’ 5h10’ 5h20’ 5h30’ 5h40’

alturamm

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Gr´ aficas. Interpretaci´ on.

5

altura

10 15 20 25 30 35 40

tiempo

∗ Ahora la gr´afica representa la altura del agua en la ba˜nera mientras Felipe se da un ba˜no. ¿Qu´e se puede decir de

c´omo ha ido el ba˜no?

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Gr´ aficas. Representaci´ on.

∗ Veamos ahora el problema inverso. Tenemos recipientes como los de la figura, y nos ponemos a llenarlos con un

grifo de caudal constante. Medimos la altura alcanzada por el agua en distintos momentos. ¿Qu´e aspecto tendr´ıa la

gr´afica en cada caso?

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

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Ejercicio

∗ Luis sali´o de su casa a las 8:40, andando hacia el colegio.

Iba andando, a velocidad constante, hasta que a las 8:45, cuando pasaba por delante de la tienda de caramelos, se dio cuenta de que se hab´ıa olvidado el bocadillo. Volvi´o

corriendo a su casa, recogi´o el bocadillo, y a las 8:50 volv´ıa a pasar por delante de la tienda de caramelos. Dej´o de

correr, y sigui´o andando hasta las 8:55, cuando se dio cuenta de que iba a llegar tarde, de manera que hizo un

´

ultimo esfuerzo y volvi´o a echar a correr, para conseguir llegar a las 9 a su colegio. Dibuja una gr´afica que

represente la distancia de Luis hasta el colegio, en funci´on de la hora.

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Un problema de PISA (2000)

1. ¿Cu´al es la distancia aproximada desde la l´ınea de salida hasta el comienzo del tramo recto m´as largo que hay en la pista?

2. ¿D´onde alcanz´o el coche la velocidad m´as baja durante la segunda vuelta?

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Un problema de PISA (2000)

3. ¿Qu´e se puede decir sobre la velocidad del coche entre el km. 2,6 y el 2,8?

4. En la figura aparecen 5 circuitos. ¿Sabr´ıas decir en qu´e circuito corri´o el coche de la gr´afica anterior?

Figure

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