Uso de la Teoría de Juegos al proceso enseñanza aprendizaje para lograr una mejor comprensión de los conceptos de la teoría de probabilidades

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(1)FACULTAD MATEMATICA – FISICA - COMPUTACION. DEPARTAMENTO DE MATEMATICA. Uso de la Teoría de Juegos al proceso enseñanza – aprendizaje para lograr una mejor comprensión de los conceptos de la teoría de probabilidades. TRABAJO DE DIPLOMA. Autor: Antón Luisovich Rivero Rivero. Tutor: Dr. Uvedel Bernabé Del Pino Paz.. 2008 Año 50 de la Revolución.

(2) Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Licenciatura en Matemáticas, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad. Antón L Rivero Rivero _____________________ Firma del autor. Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. ________________ Firma del tutor. _________________________ Firma del jefe del Seminario.

(3) Investigar es ver lo que todo el mundo ha visto, y pensar lo que nadie más ha pensado.. Albert Szent-Györgi (1893-1986).

(4) A mi mamá, mi papá y mi hermana..

(5) AGRADECIMIENTOS • A mi mamá por su gran ayuda, comprensión, por haber aguantado tanto, enseñarme el valor del estudio y la felicidad de ser su hijo. • A mi papá y abuela por haber tenido la paciencia de esperar por este día y no haberme hecho caso nunca. • A mi hermana que supo enderezar mi camino, por aconsejarme y saber tanto de amor. • A mis abuelos Rudolf y Valentina, a mi tía Verónica, mi tío Zhenia y mi primita “Nasti” que hace mucho que no los veo, pero sé que siempre estoy con ellos. • A mi sobrino David al que quiero mucho y a Carlos mi cuñado por sus chistes. • Al DoTTa por haberme quitado tantas horas de estrés. • A la Srta. M por haberme dado la felicidad de haberla conocido y por sus interminables pláticas. • A Alejandro mi inseparable amigo, a Freddy, Darien, Yunior y Julio por haber compartido muchas aventuras y las que faltan. • A mi tutor por haberme aceptado como su tesiante y haber aprendido muchos los dos acerca de esta maravillosa teoría. • A Luis Peña Catalán por sugerirme el tema y ver lo maravilloso de este. • A Redamy por haberme prestado su ayuda desde tan lejos. • A Sarahí, Nena y Dania por la ayuda prestada en todo momento. A todos muchas gracias.

(6) ÍNDICE INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………1 CAPÍTULO 1. Teoría de los juegos. Sus antecedentes y características……4 1.1 Objetivos de la teoría de juegos. ...8. 1.2 Aplicaciones. .9. 1.3 Conceptos fundamentales. ...12. 1.3.1 Estrategias.Tipos de Estrategia……………………………………..………...12 1.3.2 Resultados de los juegos……………………………………………………...14 1.3.3 Jugada………………………………………………………………………....14 1.3.4 Ganancia…………………………………………………………………….....15 1.3.5 Racionalidad…………………………………………………………………...15 1.3.6 Formas normal y extensa………………………………………………...……15 1.3.7 Información completa………………………………………………………....16 1.3.8 La elección con riesgo……………………………………………………...…16 1.3.9 Elección con certeza………………………………………………………..…17 1.3.10 Incertidumbre …………………………………………………………............17 1.4 Teoría de Juegos y el teorema del punto fijo………………………………………18 1.5 Tipos de juegos…………………………………………………………………….19 1.5.1 Juegos individuales……………………………………………………………..20 1.5.2 Juegos de dos jugadores…………………………...……………………………20 1.5.3 Juegos en forma de árbol………………………………………………...…….20 1.5.4 Juegos en forma estratégica………………………………………...…….…....21 1.5.4.1 Equilibrio de Nash………………………………………………………..…22 1.5.4.2 Importancia y límites del equilibrio de Nash………………………….……24 1.5.4.3 Estrategia MAXIMIN………………………………………………….…...25 1.5.5 Juegos en forma gráfica…………………………………………………....…29 1.5.6 Juegos en forma coalicional ………………….…………………………….…..29 1.6 Juegos bipersonales de suma nula………………………………….………….........34 1.7. Juegos bipersonales de suma no nula …………………………………………...…37 1.8. Modelos más importantes………………………………………………………....38 CAPÍTULO 2. La Teoría de Juegos en la enseñanza ..........................................46 2.1 Algunas consideraciones previas. .... ... ..46. 2.2 Dos tipos de juegos .................................................................................... 49 2.3 Relación entre juego y matemáticas .......................................................... 51 2.4 Efectos que pueden producir los juegos..................................................... 53 2.5 Los juegos y la enseñanza ......................................................................... 57 2.5.1. Matemáticas con sabor a juego ....................................................... 63. 2.5.2. Tipos de Juegos en la Enseñanza................................................... 64.

(7) CAPÍTULO 3. Uso de la teoría de juego en el proceso de aprendizaje de la teoría de probabilidades ............................................................................................ 69 3.1 Juegos por puntos...................................................................................... 70 3.2 Juegos por estrategias ............................................................................... 71 3.2.1 Tipos de juegos de estrategia. ……………..………………………….72. 3.3 Aplicación de un juego por puntos a la asignatura Probabilidades .....7Error! Bookmark not defined. 3.4 Juego Batalla – tierra - aire - tierra ........................................................... 78 CONCLUSIONES.......................................................................................................... 81 RECOMENDACIONES................................................. 8Error! Bookmark not defined. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................. 83 ANEXOS ........................................................................................................................ 89.

(8) Introducción La teoría de juegos en la actualidad es ampliamente usada en diversas ramas del saber humano. Entre esta amplia gama de usos está incluida la actividad docente.. Con el fin de conocer la esencia, origen, desarrollo y las principales aplicaciones de la teoría de juegos se realiza el presente trabajo.. La teoría de juegos surge con el simple hecho de que un individuo se relacione con otro u otros. Hoy en día está presente cotidianamente esta teoría, en cualquier momento puede tener que usarse, por ejemplo: •. Cuando un estudiante se inscribe en un nuevo semestre en la universidad y tiene que decidir entre asignaturas optativas.. •. Cuando la directiva de un banco tiene que tomar la decisión sobre el monto que va a cobrar en un cliente moroso.. •. Cuando la dirección de una empresa tiene que decidir entre perforar o no un nuevo pozo petrolero.. Actualmente la teoría de juegos se ocupa sobre todo lo relacionado en la toma de decisiones entre diferentes alternativas cuando los hombres tienen que decidir frente a oponentes inteligentes.. Problema.. Los estudiantes de Matemática y Computación tienen dificultades en la comprensión y consolidación de los principales conceptos y reglas de la teoría de probabilidades. Junto a estas dificultades está la falta de motivación de los estudiantes por esta disciplina.. Interrogantes. 8.

(9) •. ¿Cómo incrementar la motivación por la teoría de probabilidades?. •. ¿La teoría de juegos puede ser un factor que ayude a incrementar la comprensión de las probabilidades?. •. ¿Es posible elaborar y aplicar en nuestras aulas juegos que motiven a los estudiantes por esta disciplina?. Objeto de estudio. El objeto de estudio es la aplicación de la Teoría de Juegos en el proceso enseñanzaaprendizaje dentro de la Educación Superior. En particular, los métodos que permiten facilitar la comprensión de diversos conceptos de la teoría de probabilidades.. Hipótesis. El uso de juegos docentes en las Probabilidades permite incrementar la motivación, comprensión y profundización de los estudiantes por esta disciplina.. Delimitados el objeto de estudio y la hipótesis se procede a definir los objetivos (general y específico) y las tareas científicas.. Objetivo general de investigación:. Desarrollar juegos docentes fundamentados por la Teoría de Juegos que permitan mejorar el proceso enseñanza – aprendizaje de la disciplina Probabilidades.. Objetivos específicos: •. Realizar entrevistas a especialistas en la materia de los juegos al azar.. •. Observar las aplicaciones de la teoría de los juegos y ver si tiene aplicación dentro de nuestro sistema docente o aulas universitarias.. 9.

(10) •. Observar los métodos de la teoría de juegos con el propósito de elaborar juegos docentes que incrementen la motivación de los estudiantes.. Tareas científicas a acometer. •. Recopilación bibliográfica preliminar, definición, aprobación del tema y elaboración del plan de trabajo.. •. Estudio bibliográfico y análisis del estado de la temática.. •. Redacción de la primera versión del Capitulo I.. •. Redacción de la primera versión del Capitulo II.. •. Elaborar juegos utilizando la Teoría de Juegos.. •. Redacción de la primera versión del Capitulo III.. •. Redacción de la primera versión de las Conclusiones y Recomendaciones del trabajo.. •. Análisis del contexto global de la tesis y redacción definitiva de la misma.. Aportes científicos relevantes. •. Implementación de juegos docentes de dos tipos: por puntos y por estrategias para aplicarlos al proceso de enseñanza- aprendizaje.. •. Adaptación de actuales conceptos de la Teoría de Juegos a la Educación Superior.. •. Incremento de la motivación de los estudiantes.. •. Facilitar la comprensión y profundización de los principales conceptos de la teoría de probabilidades.. 10.

(11) 1. Teoría de los juegos. Sus antecedentes y características La teoría de juegos describe las situaciones envueltas en conflictos en los cuales el beneficio es afectado por las acciones y contra-reacciones de oponentes inteligentes. Ella fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro The Theory of Games and Economic Behavior , abrió un insospechadamente amplio campo de estudio en el que actualmente trabajan miles de especialistas de todo el mundo. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.. Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.. En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.. En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce and Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953) que permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin Nash (1950) quien definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la teoría de juegos no-cooperativos más generales que los de suma cero. Durante esa época, el Departamento de Defensa de los EE.UU. fue el que financió las investigaciones en el. 11.

(12) tema, debido a que la mayor parte de las aplicaciones de los juegos de tipo suma-cero se concentraban en temas de estrategia militar.. John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría de juegos. A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta páginas en la que expuso por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamó "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas.. A principio de los años cincuenta, en una serie de artículos muy famosos John Nash rompió dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se había auto-impuesto. En el frente no cooperativo, estos parecen haber pensado que en estrategias la idea de equilibrio, introducida por Cournot en 1832, no era en sí misma una noción adecuada para construir sobre ella una teoría (de aquí que se restringieran a juegos de suma cero). Sin embargo, la formulación general de Nash de la idea de equilibrio hizo ver claramente que una restricción así es innecesaria. Hoy día, la noción de equilibrio de Nash, la cual no es otra cosa que cuando la elección estratégica de cada jugador es la respuesta óptima a las elecciones estratégicas de los otros jugadores. Es tal vez, el más importante de los instrumentos que los especialistas en Teoría de Juegos tienen a disposición. Nash también hizo contribuciones al planteamiento cooperativo de Von Neumann y Morgenstern.. El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar pero sólo para los juegos de suma cero. Para la solución formal del problema, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y Kakutani.. Nash no aceptó la idea de que la Teoría de Juegos debe considerar indeterminados problemas de negociación entre dos personas y procedió a ofrecer argumentos para determinarlos. Sus ideas sobre este tema fueron generalmente incomprendidas y, tal vez. 12.

(13) como consecuencia de ello, los años que la Teoría de Juegos pasó en el olvido se gastaron principalmente desarrollando el planteamiento cooperativa de Von Neumann y Morgenstern en direcciones que finalmente resultaron improductivas.. En los años siguientes publicó nuevos escritos con originales soluciones para algunos problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha dado en llamar "el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un marco no cooperativo. A los veintinueve años se le diagnosticó una esquizofrenia paranoica que lo dejó prácticamente marginado de la sociedad e inútil para el trabajo científico durante dos décadas. Pasado ese lapsus, en los años setenta, recuperó su salud mental y pudo volver a la docencia y la investigación con nuevas geniales aportaciones, consiguiendo en 1994 el Premio Nóbel de Economía compartido con John C. Harsanyi y Reinhart Selten por sus pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos no cooperativos.. En los 60 y 70 Harsanyi (1967) extendió la teoría de juegos de información incompleta, es decir, aquellos en que los jugadores no conocen todas las características del juego: por ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa. Ante la multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones razonables a juegos, Selten (1975) definió el concepto de equilibrio perfecto en el subjuego para juegos de información completa y una generalización para el caso de juegos de información imperfecta.. La última aportación importante a la teoría de juegos es de Robert J. Aumann y Thomas C. Schelling, por la que han obtenido el premio Nóbel de economía en el año 2005.. En The Strategy of Conflict, Schelling, aplica la teoría del juego a las ciencias sociales. Sus estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho del empeoramiento de sus propias opciones de decisión y cómo la capacidad de represalia puede ser más útil. 13.

(14) que la habilidad para resistir un ataque .Esto trajo luz para explicar la carrera armamentista entre Estados Unidos y Rusia.. Además, Schelling analizó metódicamente situaciones cotidianas en las que dos individuos o grupos interactúan. Con modelos simples, logró explicar numerosos casos de interacción entre personas. Schelling también mostró como se puede mejorar una situación a largo plazo creando un clima de confianza que permita una situación de cooperación en vez de una situación de conflicto.. Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de los juegos con sucesos repetidos. Aumann observó que la cooperación suele ser “una solución de equilibrio” en juegos repetitivos a largo plazo entre agentes que en el corto plazo tienen grandes conflictos de intereses. La teoría de los juegos repetidos es útil para entender los requisitos para una cooperación eficiente y explica por qué es más difícil la cooperación cuando hay muchos participantes y cuándo hay más probabilidad de que se rompa la interacción. La profundización en estos asuntos ayuda a explicar algunos conflictos, como la guerra de precios y las guerras comerciales.. El mérito de Aumann se basa en el uso de la matemática para el desarrollo de hipótesis, mientras que Schelling se caracteriza por introducir ideas originales con un pequeño instrumental matemático. Aumann y Schelling han enriquecido la teoría de juegos con desarrollos formales y aplicaciones a las ciencias sociales.. ¿Qué es la teoría de juegos? Los juegos de sociedad constituyen un ejemplo tipo y depurado de las elecciones conscientes interactivas; tal teoría se denominó teoría de juegos, nombre que se ha mantenido a pesar de que se aborda todo tipo de situaciones, a tal punto que para algunos, la teoría de juegos tiene por meta dar cuenta del conjunto de temas tratados por las ciencias humanas, o al menos los que tienen que ver con comportamientos racionales. 14.

(15) ¿Qué es un juego? Un juego es: •. Cualquier situación de interacción o interdependencia estratégica:. •. Cualquier situación en que individuos (u organizaciones) se relacionan conscientes de que los resultados obtenidos por todos y cada uno dependen no solo de sus propias decisiones sino de las decisiones de todos.. •. Juegos de diversión (póquer, ajedrez,). •. Guerras, divorcios, relaciones con hijos, pareja.. •. En economía: Oligopolio, Asignación de recursos como subastas, negociaciones, incentivos al esfuerzo, relaciones comerciales.. 1.1 Objetivos de la teoría de juegos. El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las acciones de jugadores interdependientes.. Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores. El Ajedrez y el Póker son buenos ejemplos, pero también lo son el duopolio y el oligopolio en los negocios. La extensión con que un jugador alcanza sus objetivos en un juego depende del azar, de sus recursos físicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de los cursos de acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias. Una estrategia es una especificación de la acción que ha de emprender un jugador en cada contingencia posible del juego.. Igualmente, en una gran variedad de juegos, el resultado es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidades debe ser establecida para que pueda ser posible una solución para el juego. A este respecto, debe observarse que las decisiones de los. 15.

(16) jugadores interdependientes no se toman en un vacío y que los pagos resultantes de estas decisiones dependen de las acciones emprendidas por todos los jugadores. Esta interdependencia implica que puede ser inapropiado suponer que los pagos están siendo generados por un proceso probabilista invariante que no es afectado por el curso de acción que uno escoja. En otras palabras, la acción que emprende un jugador puede dictar los actos de otros jugadores o influir en la probabilidad de que se comporten en una forma particular. Esta potencialidad de posibles efectos en los resultados es la que distingue la toma de decisiones en conflictos y la toma de decisiones en un medio incierto. La clase más sencilla de modelo de juego rigurosamente adversario, en el que los resultados posibles son calificados en orden opuesto por los jugadores.. Entre esta clase, él más común es el juego de suma constante, en el que la suma de las ganancias de los jugadores es igual, cualesquiera que sea su distribución entre ellos. Un caso especial, y el único que consideraremos, de juegos de suma constante se llama juego de suma cero de dos personas.. 1.2 Aplicaciones. El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las acciones de jugadores interdependientes.. Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores. El Ajedrez es un muy buen ejemplo.. Se supone que, en un juego, todos los jugadores son racionales, inteligentes y están bien informados. En particular, se supone que cada jugador conoce todo el conjunto de estrategias existentes, no solo para él, sino también para sus rivales, y que cada jugador conoce los resultados de todas las combinaciones posibles de las estrategias.. 16.

(17) La teoría de juegos está básicamente ligada a las matemáticas, ya que es principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, aunque los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de esta ciencia, en particular las probabilidades, la estadística y la programación lineal en conjunto con la teoría de juegos. Pero la mayoría de la investigación fundamental es desempeñada por especialistas en otras materias.. Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, como las ciencias políticas o la estrategia militar, que fomentó algunos de los primeros desarrollos de esta teoría. La biología evolutiva, donde se ha utilizado ampliamente para comprender y predecir ciertos resultados de la evolución, como el concepto de estrategia evolutiva estable introducido por John Maynard Smith en su ensayo "Teoría de Juegos y la Evolución de la Lucha", así como en su libro "Evolución y Teoría de Juegos" o la psicología, donde puede utilizarse para analizar juegos de simple diversión o aspectos más importantes de la vida y la sociedad también son claros ejemplos de aplicaciones.. Pero sin duda, su principal aplicación la encontramos en las ciencias económicas porque intenta encontrar estrategias racionales en situaciones donde el resultado depende no solamente de la estrategia de un participante y de las condiciones del mercado, sino también de las estrategias elegidas por otros jugadores, con objetivos distintos o coincidentes.. No debería sorprender que la Teoría de Juegos haya encontrado aplicaciones directas en economía. Esta triste ciencia se supone que se ocupa de la distribución de recursos escasos. Si los recursos son escasos es porque hay más gente que los quiere de la que puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos los ingredientes necesarios para un juego. Además, los economistas neoclásicos adoptaron el supuesto de que la gente actuará racionalmente en este juego. En un sentido, por tanto, la economía neoclásica no es sino una rama de la Teoría de Juegos.. 17.

(18) Sin embargo, aunque los economistas pueden haber sido desde siempre especialistas camuflados en Teoría de Juegos, no podían progresar por el hecho de no tener acceso a los instrumentos proporcionados por Von Neumann y Morgenstern.. En esta ciencia se ha evolucionado notablemente, ya que a partir de los instrumentos proporcionados por Von Neumann y Morgenstern se comenzó a progresar en el conocimiento de la competencia imperfecta, porque hasta entonces solo tenían explicación “juegos” particularmente simples, como el monopolio o la competencia perfecta, ya que el monopolio puede ser tratado como un juego con un único jugador, y la competencia perfecta puede ser entendida teniendo en cuenta un número infinito de jugadores, de manera que cada agente individual no puede tener un efecto sobre agregados de mercado si actúa individualmente.. La Teoría de Juegos no ha tenido el mismo impacto en la ciencia política que en economía. Tal vez esto se deba a que la gente se conduce menos racionalmente cuando lo que está en juego son ideas que cuando lo que está en juego es su dinero. Sin embargo, se ha convertido en un instrumento importante para clarificar la lógica subyacente de un cierto número de problemas más paradigmáticos.. Los especialistas en Teoría de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por qué incluso el individuo más egoísta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con sus vecinos en una relación a largo plazo redundará en su propio interés ilustrado.. Con este fin estudian los equilibrios de juegos con repetición (juegos que los mismos jugadores juegan una y otra vez). Pocas cosas han descubierto en esta área hasta el presente que hubieran sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos años articuló los mecanismos esenciales. Estas ideas, sin embargo, están ahora firmemente basadas en modelos formales. Para avanzar más, habrá que esperar progresos en el problema de la selección de equilibrios en juegos con múltiples equilibrios. Cuando estos progresos se den, sospecho que la filosofía social sin Teoría de Juegos será algo. 18.

(19) inconcebible y que David Hume será universalmente considerado como su verdadero fundador.. La teoría de juegos ha venido desempeñando, en los últimos tiempos, un papel cada vez mayor en los campos de lógica y ciencias informáticas. Varias teorías de lógica se basan en la semántica propia a los juegos, e informáticos ya han utilizado juegos para representar computaciones.. El dilema del prisionero, tal y como fue popularizado por el matemático Albert W. Tucker, proporciona un ejemplo de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real.. 1.3 Conceptos fundamentales. En la teoría de juegos, la palabra juego se refiere a un tipo especial de conflicto en el que toman parte n individuos o grupos (conocidos como los jugadores). Hay ciertas reglas del juego que dan las condiciones para que este comience, o sea, se supone un consenso mínimo de los participantes, las posibles jugadas legales durante las distintas fases del juego, el número total de jugadas que constituye una partida completa y los posibles resultados cuando la partida finaliza.. 1.3.1 Estrategias. Tipos de estrategias. Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explica antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.. 19.

(20) Una estrategia es la lista de opciones óptimas para cada jugador en cualquier momento del juego. Una estrategia, teniendo en cuenta todas las posibles jugadas, es un plan que no se puede alterar, pase lo que pase en la partida. Una buena estrategia debe ser:. capaz de alcanzar el objetivo deseado debe realizar una buena conexión entre el entorno y los recursos de una organización y competencia; debe ser factible y apropiada capaz de proporcionar a la organización una ventaja competitiva; debería ser única y mantenible en el tiempo. dinámica, flexible y capaz de adaptarse a las situaciones cambiantes. suficiente por sí misma. Estrategias reactivas: son las que se adoptan en los juegos con repetición y se definen en función de las decisiones previas de otros jugadores.. El ejemplo más conocido es la estrategia OJO POR OJO (en inglés TIT FOR TAT). Se definió como una estrategia colaboradora, dispuesta siempre a pactar, pero justiciera. Si la otra parte le traicionaba una vez, devolvía exactamente la misma medida, otra traición, pero sólo una vez. Era por tanto capaz de perdonar. Generaba confianza, era justiciera, pero no rencorosa y obtenía buenos resultados (o no peores) cualquiera que fuese su oponente.. Otra posible estrategia reactiva es la TORITO (también llamada "GALLITO" en inglés "BULLY"). Esta estrategia consiste en hacer lo contrario que haga el oponente: "Si el otro jugador es leal en una jugada, yo le traicionaré en la siguiente; si el otro jugador me ha traicionado, yo le seré leal a la siguiente oportunidad".. Estrategia analítica: es un modo de identificar y moverse hacia estados futuros deseados. Es el proceso de desarrollo e implementación de planes para alcanzar propósitos y objetivos. La planificación estratégica se aplica sobre todo a asuntos. 20.

(21) militares (donde se llama estrategia militar) y en actividades de negocios. Dentro de los negocios se usa para proporcionar una dirección general a una compañía (llamada dirección estratégica) en estrategias financieras, estrategias de desarrollo de recursos humanos u organizativas, en desarrollos de tecnología de la información y crear estrategias de marketing para enumerar tan solo algunas aplicaciones. Pero también puede ser utilizada en una amplia variedad de actividades desde las campañas electorales a competiciones deportivas y juegos de estrategia como el ajedrez. También se considera la planificación estratégica de una forma genérica de modo que su contenido puede ser aplicado a cualquiera de estas áreas.. Estrategia dominante: es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.. Estrategia mixta: Es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez, según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales elementos de azar.. 1.3.2 Resultados de los juegos. El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.. 1.3.3 Jugada.. 21.

(22) Una jugada o movimiento es cómo progresa el juego de una fase a otra, comenzando con la posición inicial hasta el último movimiento. Las jugadas pueden ser alternativas entre los distintos jugadores de una manera determinada o pueden ser simultáneas, y son el producto de una decisión personal o del azar; en este segundo caso, un cierto objeto como un dado, una tarjeta con instrucciones o una ruleta genera una determinada jugada, cuya probabilidad se puede calcular.. 1.3.4 Ganancia. La ganancia o resultado, designa lo que sucede cuando una partida termina. En algunos juegos, como el ajedrez o las damas, el resultado puede ser tan sencillo como declarar un ganador o un perdedor. En el póquer y otros juegos con apuestas, la ganancia suele ser dinero, cuya cantidad viene determinada por el dinero que cada jugador apuesta y por el número de veces que un cierto jugador gana durante el curso de la partida.. 1.3.5 Racionalidad. Racionalizabilidad: es la forma que se comporta alguien bayesiano-racional cuando ha de tomar una decisión en situaciones donde el resultado de la decisión a tomar depende de sucesos inciertos para quien ha de tomarla. El o ella actúan como si dispusiera de una medida de probabilidad subjetiva a los sucesos de los que no está seguro.. 1.3.6 Formas normal y extensa. Una de las diferencias más importantes al estudiar los juegos es que están dados en forma normal o extensa. Se dice que un juego está en su forma extensa si es definido por un conjunto de reglas que fijan las posibles jugadas en todo momento, incluyendo que jugador tiene que mover, la probabilidad de cada opción si las jugadas se han de hacer de forma aleatoria y el conjunto de resultados finales que relaciona una ganancia o resultado. 22.

(23) particular con cada una de las posibles maneras de terminar el juego. Además se asume que cada jugador tiene un conjunto de preferencias para cada jugada, en anticipación de los posibles resultados, para procurarse la máxima ganancia o las mínimas pérdidas. Un juego en su forma extensa contiene, no solo una lista de reglas que controlan la actividad de cada jugador, sino también la pauta de preferencias de cada uno de ellos. Algunos ejemplos son juegos muy conocidos como las damas, tres en raya y cualquier juego de azar con cartas o fichas como el gin rummy, el tute que se juega con baraja española, y el dominó.. Debido a la enorme cantidad de estrategias que aparecen incluso en el más sencillo de los juegos en forma extensa, la teoría de juegos utiliza las llamadas formas normalizadas de los juegos con las que se pueden llevar a cabo cálculos completos. Se dice que un juego está en su forma normal si la lista de todas las posibles ganancias o resultados de cada jugador, con todas las posibles combinaciones de estrategias, viene dada para cualquier secuencia de decisiones en el juego. Este tipo teórico de juego podría ser jugado por cualquier observador neutral y no depende de la elección de estrategia por parte del jugador.. 1.3.7 Información completa. Se dice que en un juego se tiene toda la información si cada uno de los jugadores que toma parte conoce todas las posibles jugadas. Las damas y el ajedrez son dos juegos que ofrecen total información, mientras que el póquer, el bridge y el mus son juegos donde los jugadores solo disponen de parte de la información.. 1.3.8 La elección con riesgo. Una decisión es tomada con riesgo cuando cada elección conduce a un conjunto de posibles resultados, cada uno de los cuales ocurre con una probabilidad conocida por el que toma la decisión. E1 problema de la elección con riesgo surgió con el análisis de las. 23.

(24) juegos equitativos. Las elecciones de un individuo dependen de sus preferencias, en cuyo caso no se impone otro criterio que el de máximo beneficio.. 1.3.9 Elección con certeza. Tomamos una decisión con certeza cuando se sabe que toda acción ejecutada conduce a un determinado y específico resultado. Las principales decisiones en el terreno de la economía, de la psicología, de 1as ciencias experimentales y de los negocios tienen por base el conocimiento cierto de 1os hechos.. Tomar una decisión con certeza quiere decir, en síntesis, lo siguiente: Dado un conjunto de posibles alternativas representadas cada una por una variable, elegir aquella que conduce a un óptimo. Hasta hace muy poco la técnica se reducía a la obtención de rnáximos y mínimos de funciones clásicas no lineales y al cálculo de variaciones.. 1.3.10 Incertidumbre. El término incertidumbre se entiende como duda, ambigüedad, cuestionable, problemático, no seguro.. La incertidumbre puede manifestarse de diversas formas y ser provocada por diferentes causas, que se relacionan como sigue: •. Información o conocimiento impreciso.. •. Información incompleta.. •. Conceptos o palabras inexactas.. •. Agregación de la información desde múltiples fuentes.. •. Relación de causa y efecto no absoluta.. 24.

(25) La primera de estas causas se refiere al hecho de tener que hacer inferencias a partir, por ejemplo, de datos de los cuales no estamos completamente seguros.. La segunda causa es motivada porque simplemente no se tiene toda la información o resulta muy costosa obtenerla o considerarla. La incompletitud de la información puede ser provocada por no tener acceso a todos los datos relativos a las variables del problema o por que sea muy voluminosa la cantidad de datos a considerar y en la práctica no se pueden usar todos.. La tercera causa se refiere a conceptos imprecisos, no claros que han sufrido algún cambio.. 1.4 Teoría de Juegos y el teorema del punto fijo. El teorema del punto fijo es establecido en 1910 por el matemático Jan Brower. Este teorema comprueba que toda función continua y acotada que solo toma valores finitos admite al menos un punto fijo.. Teorema: Sea F una función continua en [a; b] acotada, entonces la ecuación x=F(x) tiene al menos una solución en el intervalo [a; b]. Esta solución se le denomina punto fijo.. Von Newmann es el primero en establecer un nexo entre la noción de equilibrio y la del punto fijo de una función, tal como se emplea en matemáticas; realmente de la misma manera que un punto fijo x de una función f permanece constante mientras se le aplica la función (el punto fijo es tal que (f(x) = x); un equilibrio “no se mueve”, es fijo, cuando está sometido a distintas “fuerzas” de las cuales él es la resultante. De tal manera en una situación de “juego” dónde los individuos toman decisiones, anticipándose a las de otros agentes, hay equilibrio si sus anticipaciones son confirmadas en el momento en el cual las decisiones de cada uno las conocen todos; ahora este equilibrio puede ser considerado como un punto fijo de la función que hace corresponder las selecciones antes que las. 25.

(26) decisiones “de los otros” sean conocidas a las selecciones -eventuales- después de que estas han sido anunciadas.. Mediante el empleo de esta especie de analogía John Nash prueba en 1950, que todo juego no cooperativo, es decir, aquél en el cual cada uno sólo se preocupa por sus propias ganancias, admite al menos un equilibrio. Además, su demostración se apoya de manera decisiva en el teorema del punto fijo. El procedimiento de Nash fue retomado y adaptado por los micro economistas que se preguntaban sobre los equilibrios de sus modelos; en la medida en que el teorema del punto fijo permite generalmente responder a una cuestión como aquella, se puede decir que la microeconomía actual se construye de tal manera que se cumplan las hipótesis de aquel teorema y se asegure en consecuencia la existencia de equilibrios. Esta explicación vale particularmente para el modelo de Arrow-Debreu, que es el modelo básico para la microeconomía.. 1.5 Tipos de juegos. Los juegos se clasifican en muchas categorías, ellas determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos. De hecho, también cómo se define “resolución” en una categoría particular.. En general, se pueden considerar seis clases de juegos:. 1.5.1 Juegos individuales 1.5.2 Juegos de dos jugadores. 1.5.3 Juegos en forma extensiva (árbol). 1.5.4 Juegos en forma estratégica (normal). 1.5.5 Juegos en forma gráfica. 1.5.6 Juegos en forma de coalición.. 26.

(27) Las tres clases de juegos que se ubican antes de la última se analizan en la teoría de juegos no cooperativos y la última corresponde a los juegos cooperativos.. 1.5.1 Juegos individuales. Los juegos como los solitarios son juegos individuales donde no existe realmente un conflicto de intereses. El único interés que interviene es el del propio jugador. En los solitarios, sólo entra en juego el azar al barajar y al repartir las cartas. Los juegos individuales, aunque pueden ser complicados e interesantes desde el punto de vista de la probabilidad, no lo son desde la perspectiva de la teoría de juegos, pues no hay adversario que tome decisiones estratégicas independientes que el jugador deba combatir.. 1.5.2 Juegos de dos jugadores. Los juegos de dos jugadores, o duales, incluyen la mayor parte de los juegos más conocidos, como el ajedrez, las damas o juegos con dos parejas como el bridge y el dominó. Los juegos con dos jugadores han sido estudiados ampliamente. La mayor dificultad para extender los resultados de la teoría con dos jugadores a n jugadores es predecir las relaciones entre los diversos jugadores. En casi todos los juegos para dos personas, las decisiones y posibles resultados son bastante bien conocidos. Sin embargo, cuando hay tres o más jugadores, aparecen interesantes, aunque complicadas, oportunidades de coalición, cooperación y confabulación.. 1.5.3 Juegos en forma de árbol. En la Figura 1 se tienen dos jugadores 1 y 2 que participan en el siguiente juego: En primer lugar el jugador 1 decide ir a la izquierda I ó a la derecha D. Entonces el jugador 2 decide ir a la derecha ó a la izquierda. 27.

(28) Figura 1 Juego en forma extensiva. Analicemos como deben jugar 1 y 2.. El jugador 2, teniendo en cuenta los pagos que recibiría al terminar el juego, debe elegir la siguiente estrategia: si el jugador 1 elige I, ir a la derecha eligiendo d1; y si el jugador 1 elige D; elegir i2: Esta estrategia se denotará d1 i2: El jugador 1 conoce el árbol y los pagos, luego puede anticipar la conducta del jugador 2 y debe elegir D.. El par de estrategias (D; d1 i2) da lugar a un escenario en el que el jugador 1 recibe 4 y el jugador 2 recibe 8.. ¿Puede alguno de los jugadores mejorar sus pagos?. 1.5.4 Juegos en forma estratégica. En el ejemplo que estamos analizando, el jugador 1 tiene dos estrategias I y D; mientras que el jugador 2 tiene cuatro estrategias dadas por:. i1 i2, i1 d2, d1 i2, d1 d2 Podemos representar los pagos en la siguiente matriz, cuyas entradas son los vectores de pagos,. 28.

(29) i1 i2. i1 d2. d1 i2. d1 d2. I. (5; 1). (5; 1). (3; 2). (3; 2). D. (4; 8). (6; 3). (4; 8). (6; 3). Las matrices de pago para los jugadores 1 y 2 respectivamente,. El par de estrategias (D; d1 i2) es un equilibrio de Nash porque ninguna desviación unilateral de los jugadores permite mejorar sus pagos, dados por (4; 8). Definición 1: Sea N = {1,2,…., n} un conjunto de jugadores. Un juego estratégico de n personas se representa por del jugador i, y ki: ∏. i∈N. x. i. = {(Xi) i N, (Ki) i N,}, donde Xi es el espacio de estrategias. → ℜ es la función de pagos del jugador i.. Cada combinación estratégica x. ∏ Xi se denomina un escenario ó resultado del. i∈N. juego. Dados un escenario x = (x1,;: : : ; xn) y una estrategia y Xi del jugador i, se denota por (x-i; y) el escenario obtenido de x reemplazando su i-ésima componente xi por y. Usándose esta notación se define el concepto más importante de la teoría de juegos no cooperativos.. 1.5.4.1 Equilibrio de Nash. A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias, que es una por jugador, se le asocia una salida del juego, caracterizada por las ganancias expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin embargo, como regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son. 29.

(30) comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un aumento de ganancias para unos y una baja para otros.. Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas limitado, que se puede calificar de “local” en el sentido de estudiar separadamente cada una de las salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le acuerda un estatuto privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los individuos, tomados uno a uno no tienen interés en desechar. El matemático John Nash estableció un importante resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este tipo, se habla entonces de la existencia de equilibrios de Nash.. Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador) que está en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus ganancias por un cambio unilateral de estrategia. Con frecuencia se identifica, por abuso del lenguaje y sin que ello tenga consecuencias, un equilibrio de Nash con la salida que le corresponde.. En la definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, en tanto ello traduce el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (el “cada cual para sí mismo”). Así es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se pueda mejorar para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de varios jugadores.. El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador interesado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros.. 30.

(31) Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la “solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash. Definición 2: Un escenario x* = (x1 *; : : : ; xn*) es un equilibrio de Nash del juego {(Xi) i N, (Ki) i N,}, si para todo jugador i Ki(x-i*, xi). N, y para toda estrategia xi. =. Xi se cumple. Ki (xi*). Definición 3 (Equilibrio de Nash): Todo juego no cooperativo, tiene como mínimo un punto de equilibrio en estrategias combinadas denominadas equilibrio Nash.. 1.5.4.2 Importancia y límites del equilibrio de Nash. El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador interesado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros. Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la “solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash, como se constata en este ejemplo de dos que han propuesto diferentes normas para e cambio de una propuesta dentro de la economía. En efecto, la pareja de estrategias:. (A adopta la norma A, B adopta la norma A). 31.

(32) es un equilibrio de Nash del modelo en tanto A evidentemente no tiene interés de cambiar de estrategia habida cuenta la elección de B; este tampoco ya que la coexistencia de dos normas diferentes es el caso más desfavorable para las dos empresas.. Ahora, la pareja de estrategias:. (A adopta la norma B, B adopta la norma B). es de igual manera un equilibrio de Nash, como se puede verificar de manera inmediata. Ninguno de estos dos equilibrios aparece como una solución evidente porque A prefiere la primera ya que impone su norma y B la segunda, por iguala motivo. Se deduce la posibilidad de que cada uno escoja producir según su propia norma, pensando que el otro lo seguirá, con el resultado de una salida que no es de equilibrio, pues es mala para todos.. 1.5.4.3 Estrategia maximin. En el concepto de equilibrio de Nash es fundamental el supuesto de racionalidad de los agentes. Si un agente sospechara que su adversario no se comporta racionalmente, podría tener sentido que adoptara una estrategia maximin, esto es, aquella en la que se maximiza la ganancia mínima que puede obtenerse. Se considera un juego de suma cero cuando lo que gana un jugador coincide con lo que pierde el otro. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (se supone que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos, en la que para cualquier combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez.. 32.

(33) Matriz de Pagos Estrategias del otro jugador A. B. C. A. 9|1. 1|9. 2|8. Mi. B. 6|4. 5|5. 4|6. Estrategia. C. 7|3. 8|2. 3|7. Por ejemplo, si el lector juega la tarjeta C y el otro jugador juega la tarjeta B, entonces el lector recibe ocho monedas y el otro jugador recibe dos.. Para descubrir qué estrategia es más conveniente para el lector, se analiza la matriz que indica sus pagos. Se ignora cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar por el lector la decisión consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que puede obtener con cada una de sus cartas. En la siguiente tabla se ha añade una columna indicando los resultados mínimos.. Matriz de Pagos Estrategias del otro jugador A. B. C. Mínimos. A. 9. 1. 2. 1. Estrategias. B. 6. 5. 4. 4. del lector. C. 7. 8. 3. 3. En efecto, •. Si el lector elige la tarjeta A, puede obtener 9, 1 ó 2, luego como mínimo obtiene 1.. •. Si el lector elige la tarjeta B, puede obtener 6, 5 ó 4, luego como mínimo obtiene 4.. •. Si el lector elige la tarjeta C, puede obtener 7, 8 ó 3, luego como mínimo obtiene 3.. 33.

(34) De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiere el lector es 4, ya que es el máximo de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia le garantiza que como mínimo obtendrá 4.. ¿Podemos prever la estrategia del otro jugador? Supongamos que el otro jugador quiere elegir también su estrategia MAXIMIN. Mostramos ahora sólo los pagos asignados al otro jugador en los que destacamos el pago mínimo que puede obtener para cada una de sus estrategias. Subrayamos el máximo de los mínimos y su estrategia maximin.. Matriz de pagos al otro jugador Estrategias del otro jugador A. B. C. A. 1. 9. 8. Mi. B. 4. 5. 6. Estrategia. C. 3. 2. 7. mínimos. 1. 2. 6. En efecto, •. Si él elige A, su peor resultado sería si yo elijo A con lo que yo obtendría 9 y él 1.. •. Si él elige B, su peor resultado sería si yo elijo C con lo que yo obtendría 8 y él 2.. •. Si él elige C, su peor resultado sería si yo elijo B con lo que yo obtendría 4 y él 6.. Su estrategia MAXIMIN consiste por tanto en jugar la carta C con lo que se garantiza que, al menos, obtendrá 6.. Éste es un juego con solución estable. Ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia. Supongamos que se empieza a repetir el juego una y otra vez. Yo jugaré siempre mi estrategia maximin (B) y el otro jugará siempre su estrategia maximin (C). Cada uno. 34.

(35) sabe lo que jugará el otro la siguiente vez. Ninguno estará tentado de cambiar su estrategia ya que el que decida cambiar su estrategia perderá. Se llama punto de silla al resultado en el. que coinciden las estrategias maximin de ambos jugadores. No todos los juegos tienen un punto de silla, una solución estable.. No todos los juegos tienen un punto de silla, una solución estable. La estabilidad del juego anterior desaparece simplemente trastocando el orden de las casillas BB y BC:. Matriz de mis pagos Estrategias del otro jugador A. B. C. A. 9. 1. 2. Mi. B. 6. 4. 5. Estrategia. C. 7. 8. 3. Matriz de pagos del otro jugador Estrategias del otro jugador A. B. C. A. 1. 9. 8. Mi. B. 4. 6. 5. Estrategia. C. 3. 2. 7. En esta nueva tabla mi estrategia maximin sigue siendo la B y la estrategia maximin del otro jugador sigue siendo la C. Pero la solución ahora ya no es estable. Si jugamos repetidas veces y yo repito la estrategia maximín, B, el otro estará tentado de cambiar su estrategia, pasando de la C a la B con lo que obtendrá un pago mayor, 6 en vez de 5.. Claro que si el otro empieza a elegir sistemáticamente la estrategia B yo preferiré cambiar mi estrategia a la C para así obtener 8. Entonces el querrá volver a su estrategia C y así sucesivamente.. 35.

(36) 1.5.5 Juegos en forma gráfica. Fang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo gráfico para un juego no cooperativo. Este consiste en un conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un conjunto U = {1; 2;:::; u} de escenarios, una familia de grafos dirigidos Di = (U; Ai) para cada jugador i N, y una familia de funciones de pago Ki: U → ℜ , i N. El modelo se completa definiendo el conjunto de movimientos que un jugador puede realizar para cambiar (unilateralmente) de escenario y así obtener los grafos dirigidos Di. Dado que en el juego el objetivo es aumentar los pagos que recibe el jugador, se tienen las siguientes definiciones:. Dado un escenario g y un jugador i, el conjunto de los escenarios que el jugador puede alcanzar unilateralmente desde g se denota por Si(g). Si además, i recibe un pago estrictamente mayor, los escenarios de mejora unilateral para i son: Si+(g) = {q Si(g) : Ki(q). Ki(g)}. Se introduce a continuación los conceptos de estabilidad y equilibrio. Definición: a) Un escenario g U es estable Nash para el jugador i si Si+(g) = . b) Un escenario g. U es secuencialmente estable para el jugador i si para cualquier g1. Si (g) existe al menos un escenario gx-i SN+(g1) con Ki Ki(g). *. Definición: Un equilibrio de Nash es un escenario que es estable Nash para todos los jugadores. Un equilibrio secuencial es un escenario que es secuencialmente estable para todos los jugadores.. 1.5.6 Juegos en forma coalicional.. 36.

(37) Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.. Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo antes de los pagos, la problemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos esté interesado en romper la coalición.. Juego 1: Se comienza con el ejemplo más sencillo. Sean tres jugadores, Ana, Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien pesos. El sistema de reparto tiene que ser adoptado democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los pagos entre los tres jugadores.. 1. Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33. 2. Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50. 3. Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66. 4. A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.. El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna coalición estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.. Definición: En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta de coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.. 37.

(38) Juego 2: Se modifica ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto" se considera que hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.. En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese reparto se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana estarán a favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos de 100 pesos y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.. Definición: Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.. En el Juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del juego para Ana es cien pesos, para Benito y Carmen cero pesos.. Juego 3: Se tiene un ejemplo de un país suramericano. Se supone que en un municipio donde cinco partidos políticos se han presentado a las elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático (PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el siguiente número de concejales:. Partidos. Concejales. PA. 11. PB. 8. PC. 5. PD. 2. PE. 1. 38.

(39) Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que se forme una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520 millones de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las responsabilidades del ayuntamiento a los diferentes partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Se supone que no hay simpatías ni antipatías ideológicas y que los cargos y responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto económico que controlan. Se supone, para simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas.. Análisis del juego 3. Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia del juego 2, no hay ningún jugador imprescindible para ganar. Si se utiliza la definición anterior, el valor del juego para todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición vencedora.. Definición 6: Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El criterio consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de coaliciones potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de forma no redundante.. Un jugador es redundante en una coalición si no es imprescindible para que esa coalición resulte vencedora.. Propuesta arbitral de Shapley para el juego 3.. Como hay cinco partidos políticos, las posibles coaliciones son 31. De ellas, 16 son vencedoras. Las coaliciones perdedoras están en rojo. En las coaliciones vencedoras se han marcado en azul los jugadores redundantes.. 39.

(40) ABCDE ABCD. ABC. ABE. ADE. ABCE. ABD. ACE. BDE. ABDE. ACD. BCE. ACDE. BCD. CDE. BCDE AB. BC. CD. AC. BD. CE. AD. BE. DE. A B C. AE. D E. Por tanto: •. A no es redundante en 10 coaliciones vencedoras.. •. B no es redundante en 6 coaliciones vencedoras.. •. C no es redundante en 6 coaliciones vencedoras.. •. D no es redundante en 2 coaliciones vencedoras.. •. E no es redundante en 2 coaliciones vencedoras.. Si se formara un "gobierno de concentración", una coalición de todos los partidos, podríamos repartir el presupuesto de 520 millones de euros en proporción al valor de Shapley obteniendo los siguientes valores para cada uno de los partidos:. A= 200; B= 120; C= 120; D= 40; E= 40. En cualquier coalición formada por menos de cinco partidos, ninguno de los coaligados debería aceptar un presupuesto inferior al indicado. Sea cual sea la coalición vencedora que se forme, el presupuesto puede ser repartido conforme al criterio del valor de Shapley.. 40.

(41) Obsérvese que la propuesta de arbitraje de Shapley no conduce a una solución única ni absolutamente estable. Sigue habiendo varias soluciones posibles. Pero en cualquier coalición que se forme, si el reparto se hace conforme al criterio de Shapley, no habrá una coalición alternativa más estable que ofrezca a los jugadores un pago superior.. 1.6. Juegos bipersonales de suma nula. En los juegos de suma nula o cero el beneficio total para todos los jugadores, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero, es decir, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros. El póker o el ajedrez son ejemplos de juegos de suma cero, porque un jugador gana exactamente la cantidad que pierde su oponente. Por tanto, un juego en forma estratégica. ∑K i∈N. i. = {(Xi) i ∈ N , (Ki) i ∈ N ,}, es un juego de suma cero si. = 0.. Un juego de dos personas se denota con (X, Y, K, L); donde las estrategias son X={1;2;:::m} e Y ={1;2;:::n}, Entonces este juego bipersonal se puede representar mediante una matriz m×n cuyas entradas son vectores de. ℜ. 2. ,. K(1, 1), L(1, 1). ---. K(1, n), L(1, n). ---. ---. ---. K(i, 1), L(i, 1). ---. K(i, n), L(i, n). ---. ---. ---. K(m, 1), L(m, 1). ---. K(m, n), L(m, n). Las filas (columnas) corresponden a las m (n) estrategias del jugador 1 (2). En el caso bipersonal sea de suma nula, tenemos L = -K, y se representa con la matriz (K (i, j)). m n. 41.

(42) A continuación un ejemplo de un juego bipersonal de suma nula para introducir los principales conceptos.. El jugador I elige una carta de un mazo de tres cartas numeradas 1, 2, 3. El jugador II intenta adivinar la carta que ha elegido el jugador I. Después de cada conjetura el jugador I informa al II diciéndole alto, bajo ó correcto, dependiendo de la conjetura de I. El juego termina cuando el jugador II acierta la carta y paga al jugador I una cantidad igual al número de tentativas que ha hecho. En el siguiente juego I y II intercambian sus papeles.. Las estrategias del jugador I son X = { , , }, donde ¿ es elegir la carta 1, ¿ es elegir la carta 2 y ¿ es elegir la carta 3.. Las estrategias del jugador II (excluyendo algunas tontas) son Y = {a; b; c; d; e}, dadas por:. a: Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo decir bajo, decir 3.. b: Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 3 en la siguiente ronda. Si dice alto, decir 2.. c: Decir 2, si el oponente dice bajo, decir 3; si dice alto, decir 1.. d: Decir 3, si el oponente dice alto, decir 1 en la siguiente ronda. Si después dice bajo, decir 2.. e: Decir 3, si el oponente dice alto, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo dice alto, decir 1.. La matriz de pagos de este juego es:. 42.

(43) a. b. c. d. e. 1. 1. 2. 2. 3. 2. 3. 1. 3. 2. 3. 2. 2. 1. 1. Definición: un par de estrategias (i*; j*) para una matriz de pagos K = {K(i; j)} es un punto de silla si K(i; j*). K(i*; j*). K(i*; j), ∀ i, ∀ j.. Si existe, un punto de silla K (i*; j*) es el pago seguro que tiene el jugador I contra la elección racional del jugador II (que busca minimizar el pago a I). En general, una matriz no tiene puntos de silla y si existe alguno, no necesariamente es único. Si K (i*; j*) es un punto de silla, entonces se verifica:. K(i*; j*) = maxi minj K(i; j) = mini maxi K(i; j) El juego de adivinar la carta numerada no tiene punto de silla porque:. maxi minj K(i; j) = 1 mini maxi K(i; j) = 2 Cuando un juego no tenga puntos de silla, es posible elegir estrategias mixtas, obteniendo un nuevo juego, denominado extensión mixta. Las estrategias mixtas consisten en una combinación de varias estrategias escogidas al azar, una cada vez, según determinadas probabilidades.. Para un juego m×n matricial A = (aij), el conjunto de estrategias mixtas para el jugador I es:. 43.

(44) m. Cada categoría mixta x = (x1,x2,…,xm). consiste en jugar la estrategia de la fila i. con probabilidad xi: De manera análoga, las estrategias mixtas para el jugador II son:. Definición: Sea A un juego matricial n×m. Entonces, la extensión mixta de A es el juego infinito (. m. ,. n. , K, L); definido mediante:. L(x, y) = -K(x, y). Teorema (von Neumann): Sea A un juego matricial n×m. Entonces, existen un par de estrategias mixtas (x*, y*). m. K(x*; y*) = max. n. m. tales que:. min. n. K(x; y) = min. n. max. m. K(x; y). La existencia de estrategias mixtas óptimas no nos da un método para calcularlas. El teorema minimax. También puede probarse usando programación lineal, lo que permite obtener un algoritmo eficiente mediante el método del simplex.. 1.7. Juegos bipersonales de suma no nula En los juegos de suma no cero la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la perdida del otro. La mayoría de ejemplos reales en negocios y política corresponden a este tipo. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor a laque tendría si no. 44.

(45) se hubiera dado el negocio. El dilema del prisionero es un claro ejemplo de juego de suma no cero.. 1.8. Modelos más importantes. Dilema del Prisionero. El Dilema del Prisionero (Prisoner's dilemma) es un modelo de conflictos muy frecuentes en la sociedad que ha sido profundamente estudiado por la Teoría de Juegos.. El planteamiento:. Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo del banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas. Sólo tiene pruebas y puede culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo castigo es de dos años de cárcel. Promete a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si proporciona las pruebas para culpar al otro del robo del banco, pero ellos han prometido no delatarse. Las alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de pagos. La estrategia "lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar pruebas para acusar al compañero. Llamaremos "traición" a la estrategia alternativa.. Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los años de cárcel a los que es condenado el preso X o Y respectivamente según las estrategias que hayan elegido cada uno de ellos. Para que una matriz de pagos represente un”dilema del prisionero” deben concurrir las siguientes circunstancias:. 45.