Sistema de ejercicios para la formulación de problemas en sexto grado
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(2) Síntesis Sistema de ejercicios para la formulación de problemas en sexto grado. Por Dunia Pérez Jiménez. Sede Municipal Camajuaní, 2011. La tesis cuyo objetivo general es proponer un sistema de ejercicios para la formulación de problemas en sexto grado, ofrece una amplia variedad de problemas dirigidos al logro de la formulación de problemas matemáticos en los alumnos de sexto grado de la escuela primaria Camila Sobrado. Su novedad está dada en que permite contar con ejercicios encaminados a facilitar el trabajo con la formulación de problemas, a partir de situaciones diferentes que responden a una graduación de dificultades que está didácticamente argumentada, puesto que inicialmente deberán realizarse variaciones a problemas dados que constituyen un modelo, para de una manera progresiva y aplicando las técnicas para la estimulación del desarrollo intelectual, asociadas a las distintas formas de trabajo heurístico hagan posible el logro de la independencia cognoscitiva y creativa en el proceso de formulación. Emplea métodos de los niveles: teórico; empírico y estadístico-matemático, integrados en un pre-experimento pedagógico donde se emplean, entre otros, la entrevista, la observación a los alumnos, pruebas pedagógicas y el análisis porcentual. Arriba a conclusiones entre las que se destacan, la existencia por parte de los alumnos de la muestra, de deficiencias para la formulación de problemas al no ser capaces de identificar dicha actividad, no mostrar dominio de las operaciones básicas partiendo de sus significados lo que les impide formular o crear problemas que se ajusten a la tipología y estructura matemática y verbal indispensables; la validez del sistema de ejercicios, lo que se pudo constatar en los resultados obtenidos con su puesta en práctica, resultados que se corresponden con el diagnóstico de necesidades..
(3) El educador no debe sentirse nunca satisfecho con sus conocimientos. Debe ser un autodidacta que perfeccione permanentemente su método de estudio, de indagación, de investigación. Fidel Castro..
(4) Agradecimientos. •. A todos los que de una forma u otra me han ayudado a la realización de este trabajo y especialmente a mi tutor Pablo Lázaro Valdés Martínez por brindarme su sabiduría y ayuda incondicional.. •. A mi esposo que con su apoyo absoluto y comprensión me ayudó a realizar este sueño.. •. A la Revolución por haberme dado la posibilidad de superarme..
(5) Dedicatoria. •. A mis tres hijas por ser la principal fuente de motivación en mi vida.. •. A mi madre que todavía me ayuda a crecer.. •. A mis alumnos que con su inocencia y ternura son los protagonistas de mis ideas..
(6) Índice. Contenidos. Página. Introducción. 1. Capítulo 1 Fundamentación teórica de la propuesta. 1.1 Consideraciones acerca del concepto problema desde diferentes posiciones y autores.. 8. 1.2 Potencialidades de los escolares de sexto grado para enfrentar el proceso de formulación de problema.. 13. 1.3 Criterios de diferentes autores y las tendencias actuales acerca de los significados prácticos de las cuatro operaciones de cálculo con números naturales.. 20. Capítulo 2. Modelación teórico práctica de la propuesta. 2.1 Diagnóstico y determinación de necesidades y potencialidades de los escolares.. 27. 2.2 Modelación teórica de la propuesta de solución al problema científico.. 34. 2.3 Modelación práctica de la propuesta de solución al problema científico.. 53. 2.4 Validación de la propuesta.. 57. Conclusiones. 60. Recomendaciones. 62. Referencias Bibliográficas. 63. Bibliografía. 64. Anexos. 70.
(7) Introducción El desarrollo impetuoso que ha alcanzado la humanidad en los últimos años se evidencia en la aparición de un sinnúmero de equipamientos tecnológicos que simplifican los distintos procesos a la vez que los hacen más eficientes, de manera paralela a este desarrollo se pone de manifiesto una evidente contradicción al ser cada vez mayor el número de personas que no tienen acceso a los beneficios que se obtienen como parte del desarrollo alcanzado, situación esta que se hace más aguda en algunas regiones de la tierra como África, Asia y América Latina. La situación antes descrita repercute en los sistemas educativos a la vez que depende, en gran medida del desarrollo de estos. En nuestro país a pesar de las consecuencias del subdesarrollo, de la crisis capitalista y del criminal bloqueo se ha producido un desarrollo impetuoso del Sistema Nacional de Educación al constituir una prioridad sostenida del Estado y del Partido. El referido desarrollo se evidencia en la eliminación del analfabetismo y los bajos niveles de escolarización y por los resultados demostrados a través de investigaciones. nacionales y regionales, dirigidas en muchos casos por la. organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO), sin embargo aún persisten insuficiencias acumuladas como parte de los saberes escolares que se hacen evidentes en el nivel primario, por lo que, garantizar una educación basada en el desarrollo integral de todos los educandos constituye un precepto martiano, quien en tal sentido expresó: No hay igualdad social posible sin igualdad de cultura (1). Como parte fundamental de dicho desarrollo integral la escuela debe garantizar una serie de acciones concretas que cumplan como requisito esencial convertir al alumno en un constante descubridor, artífice de su propio aprendizaje. Lograr ante todo, y de manera continua, el desarrollo del pensamiento lógico y creador de sus alumnos. Se hace evidente que la enseñanza de la Matemática no escapa de tales niveles de exigencia, aun cuando sabemos que corresponde a esta ciencia un papel instrumental a la vez que los conocimientos adquiridos acerca de los dominios numéricos, la simbología utilizada, las distintas cualidades de magnitud que.
(8) permiten cuantificar los datos existentes en el mundo circundante, así como el reconocimiento y aplicación de las formas geométricas, sirven de base no solo para el trabajo de otras disciplinas, sino para interiorizar los distintos objetos y fenómenos que conforman el mundo material. La solución de problemas constituye un complejo proceso en el que intervienen múltiples y variados factores dentro de los que resalta, en primer plano, el sujeto que debe resolverlos, es decir el alumno con sus potencialidades y limitaciones, con su disposición para resolver la tarea, portador o no de las habilidades y conocimientos mínimos indispensables para enfrentar, sus características y complejidades, de acuerdo con los niveles de exigencia declaradas en los objetivos y contenidos de cada uno de los grados, los que tienen como momento culminante el correspondiente a sexto grado. En el texto. Aprender a resolver problemas matemáticos. los doctores. Campistrous Pérez, Luis y Rizo Cabrera, Celia, plantean que las investigaciones demuestran muchas dificultades en los alumnos para resolver problemas en general, pero muy en especial cuando la vía de solución es aritmética. En la profundización que se ha realizado sobre las causas de este problema, pueden verse algunas muy importantes relacionadas con la metodología de su tratamiento. En el material Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas Labarrere Sarduy, Alberto F. da una contribución al aumento de los conocimientos de los maestros, respecto a los problemas y a la forma de preparar a los alumnos, desde los primeros grados para la solución independiente de estos. Además plantea que, prácticamente en el mundo, y nuestro país no es una excepción, la escuela no realiza de manera óptima la función de preparar al alumno para que pueda enfrentar y solucionar independientemente los problemas tanto en la propia escuela, como fuera de ella y tampoco son capaces de formularlos, como vía para aplicar el concepto problema, la estructura de estos y los significados prácticos que intervienen en su formulación. A pesar de que en la escuela están creadas las condiciones para un óptimo desarrollo del aprendizaje, donde el escolar de sexto grado se encuentre.
(9) preparado para responder a un nivel más alto de exigencia y asimilar los contenidos correspondientes al grado, existen dificultades en la formulación de problemas lo que se manifiesta al no ser capaces de: •. Variar la formulación de los problemas, sin variar el contenido básico de la situación inicial.. •. Hacer un mismo tipo de problemas a partir de diferentes situaciones iniciales.. •. Modificar los datos y la pregunta, manteniendo constante el resto del problema.. •. Formular problemas con diferentes grados de dificultad.. Todo esto se evidencia mediante los resultados de comprobaciones, visitas a clases, operativos del Sistema de Evaluación de la Calidad de la Educación (SECE) y en intercambios realizados con otros docentes en el colectivo de ciclo y en otros espacios del trabajo metodológico. Esta situación dista considerablemente del estado deseado, donde se aspira que el alumno de sexto grado desarrolle habilidades en la formulación de problemas cuando sea capaz de ajustarse a las exigencias estructurales y formales de estos, teniendo en cuenta los significados prácticos de las operaciones de cálculo con números naturales y las fracciones aplicados a diversas situaciones del grado como son los problemas típicos con fracciones y el tanto por ciento de modo que puedan realizarlo con relativa independencia mostrando creatividad. Dadas las contradicciones que se evidencian entre el estado real y el estado deseado la autora considera que existen aristas no explotadas que pueden tenerse en cuenta para la capacitación de los alumnos de sexto grado con vista a formular problemas con calidad, por tanto, resulta posible, de lo anterior derivar el siguiente: Problema científico: ¿Cómo contribuir al desarrollo de habilidades para la formulación de los problemas matemáticos en los alumnos de sexto grado? Objeto: El proceso de enseñanza-aprendizaje de los problemas en sexto grado. Campo: El proceso de enseñanza-aprendizaje de la formulación de problemas matemáticos en sexto grado..
(10) Objetivo general: Proponer un sistema de ejercicios para la formulación de problemas matemáticos en sexto grado. Durante el curso de la investigación se dará respuesta a las siguientes: Interrogantes científicas: 1.- ¿Cuáles son los fundamentos teóricos-metodológicos que sustentan el trabajo con la formulación de problemas en los alumnos de sexto grado? 2.- ¿Cuál es la situación real de los alumnos de sexto grado en cuanto a las habilidades para la formulación de problemas? 3.- ¿Qué características deberá reunir un sistema de ejercicios que favorezca el trabajo para la formulación de problemas en sexto grado? 4.- ¿Resulta efectivo el sistema de ejercicios elaborado para la formulación de problemas? En correspondencia con estas interrogantes se trazan como: Tareas Científicas: 1.- Elaboración de los fundamentos teóricos y metodológicos que sustentan el trabajo con la formulación de problemas matemáticos en sexto grado. 2.- Diagnóstico de la situación real que presentan los alumnos de sexto grado en cuanto a la formulación de problemas matemáticos. 3.- Elaboración de un sistema de ejercicios que favorezcan las habilidades para la formulación de problemas matemáticos en sexto grado. 4.- Validación de la efectividad de los ejercicios para la formulación de problemas matemáticos en los alumnos de la muestra. El presente trabajo utiliza métodos teóricos, empíricos y matemáticos. Del nivel teórico: Analítico-sintético: presente en todos los momentos de la investigación, teniendo en cuenta la relación existente entre las partes y el todo, y también en un sentido recíproco, para de esta forma establecer inferencias teóricas y formular conclusiones de acuerdo con los resultados obtenidos mediante la aplicación de otros métodos..
(11) Inductivo-deductivo: contribuye a la realización de un estudio sobre la base de un conjunto de resultados obtenidos, partiendo de elementos particulares para llegar a conclusiones generalizadoras. Está presente a lo largo de toda la investigación. Triangulación: es una técnica que nos permite contrastar los resultados obtenidos a partir de las diversas fuentes y métodos y evaluar integralmente el problema que se investiga. Modelación: Permite ofrecer un modelo como parte de la propuesta de solución. Sistémico estructural: se emplea para la elaboración del sistema propuesto teniendo en cuenta la estructura de acuerdo con las relaciones entre las distintas actividades de cada subsistema y de estos con el sistema como un todo. Del nivel empírico: Análisis de la documentación escolar: Se empleó al revisar los documentos propios de la enseñanza primaria: modelo de la escuela primaria, ajustes curriculares, programas, orientaciones metodológicas, libros de textos y cuadernos de trabajo, para la formulación de problemas. Entrevista: Se aplicó con el objetivo de conocer las causas que provocan la actual situación, así como buscar posibles vías de solución, mediante sugerencias. Prueba pedagógica: Se utilizó para diagnosticar los conocimientos y habilidades de los alumnos de sexto grado de la muestra en cuanto a la formulación de problemas. Pre-experimento pedagógico: Es una forma elemental y práctica del experimento que abarca tres fases: constatativa, formativa y de control permitiendo constatar el nivel de desarrollo alcanzado en cuanto a la formulación de problemas en alumnos de sexto grado y para comprobar la efectividad del sistema de ejercicios después de su aplicación en la muestra seleccionada. Etapas: Constatativa: Se emplea la prueba pedagógica a los alumnos de la muestra para comprobar el nivel de desarrollo alcanzado en cuanto a la formulación de problemas, el análisis a un sistema a clases se aplica con el objetivo de determinar la proyección de la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje para el tratamiento metodológico a la formulación de problemas..
(12) Formativa: Se elabora el sistema de ejercicios y se pone en práctica. Control: Se controlan los resultados mediante la aplicación de pruebas pedagógicas. No es una fase final, sino íntegramente relacionada con las restantes. Del nivel estadístico-matemático: Análisis porcentual, además se emplean recursos de la estadística descriptiva como tablas y gráficos, confeccionados mediante la aplicación Excel. El análisis porcentual: nos permite cuantificar los datos obtenidos en el análisis de la actividad, pruebas pedagógicas y otros métodos aplicados. Para el desarrollo de la investigación se tuvieron en cuenta las siguientes variables relevantes: Variable Independiente: Sistema de ejercicios para la formulación de problemas en sexto grado. Variable Dependiente: Formulación de problemas matemáticos en sexto grado. Sistema de ejercicios: Conjunto de elementos motivantes relacionados entre sí, mutuamente condicionados, dirigidos a desarrollar un fin determinado: la formulación de problemas. Población y Muestra: Para la realización de la investigación, de los 78 alumnos de sexto grado se toma como muestra a los 20 alumnos del grupo sexto C de la escuela primaria Camila Sobrado, ubicada en el consejo popular de Vueltas, en el municipio de Camajuaní. La referida escuela tiene régimen de seminternado. En cuanto a los niveles de desempeño cognitivo para formular problemas, 9 de estos alumnos se encuentran en el primer nivel de desempeño, 7 en el segundo nivel y 4 en el tercero. Las dificultades que presentan los alumnos en lo referente a la formulación de problemas son: •. No siempre identifican la situación de partida.. •. No realizan la trasformación pedida o varían en forma total la situación inicial..
(13) •. No establecen las relaciones necesarias de modo que el problema formulado responda a las exigencias estructurales y de contenido de un problema.. •. Tienen muy poca independencia en el proceso de formulación de problema.. •. No aplican de manera consciente los significados prácticos de las operaciones de cálculo con números naturales y los significados de las fracciones asociados a los problemas típicos.. Novedad y aporte: la novedad está dada fundamentalmente por las consideraciones metodológicas que se ofrecen para el empleo sistemático y eficiente de un sistema de ejercicios que podrá contribuir a la formulación de problemas en los alumnos de sexto grado de la muestra, en la asignatura Matemática, teniendo en cuenta además la variedad y calidad de cada uno de los ejercicios elaborados, su riqueza de contenido a partir de las situaciones que presentan las que constituyen un reflejo del entorno más o menos cercano al alumno en lo referente a temáticas socioeconómicas y culturales. Otro elemento novedoso lo constituye sin duda el empleo consciente de los recursos heurísticos. Desde el punto de vista práctico aporta un sistema de ejercicios para ser aplicados en la clase de Matemática a partir de los objetivos y contenidos del grado, demuestra cómo utilizar los programas de la Revolución, va a enriquecer el proceso de aprendizaje y el volumen de conocimientos de Matemática en los alumnos, al favorecer el tránsito por los distintos niveles de desempeño potenciando el aprendizaje con procedimientos variados y medios novedosos y el suministro de ayuda oportuna, así como la socialización del aprendizaje en correspondencia con las exigencias del Modelo de la Escuela Primaria. La tesis está estructurada de la siguiente forma: una introducción donde se destaca la importancia y pertinencia del problema y se presenta el diseño teóricometodológico y dos capítulos; el capítulo I se dedica a los fundamentos teóricos y metodológicos indispensables para la preparación de los alumnos en sexto grado en cuanto a la formulación de problemas. En el capítulo II se determinan las necesidades de investigación, además se fundamenta o presenta la propuesta.
(14) elaborada y su validación. Otros elementos de la tesis son las Conclusiones, Recomendaciones, Referencias bibliográficas, Bibliografía y Anexos. La investigación se enmarca en el Programa Ramal No. 3: El Cambio Educativo Actual y Perspectivo y en la línea de investigación de la Maestría en Ciencias de la Educación Problemas de Aprendizaje de los diferentes niveles educativos Capítulo 1: Fundamentación teórica de la propuesta. 1.1 Consideraciones acerca del concepto problema desde diferentes posiciones y autores. Los problemas constituyen uno de los recursos didácticos más empleados en el proceso de enseñanza-aprendizaje; no solamente en la Matemática, sino en las restantes ciencias, por considerarse uno de los aspectos más efectivos para promover y fortalecer el conocimiento científico. En relación con el concepto problema, son muchas las definiciones que se han dado, tanto desde el punto de vista psicológico como pedagógico. En el ámbito de la enseñanza es común emplear el término problema para designar algún tipo de tarea que se plantea al alumno, pero no toda tarea constituye en realidad un problema. Un problema es toda situación en la cual, dada determinadas condiciones, se plantean determinadas exigencias. Estas exigencias no pueden ser cumplidas o realizadas directamente con la aplicación inmediata de procedimientos y conocimientos asimilados, sino que requiere la combinación y transformación de estos en el curso de la actividad que se denomina solución. A partir de lo psicológico y metodológico, lo que debe comprenderse como problema cuenta con múltiples concepciones que, aunque difieren a partir de sus ciencias, no son contradictorias contempladas desde la metodología de su enseñanza. La concepción psicológica del problema tiene como rasgo fundamental el considerarlo según su contenido subjetivo, psicológico. Este punto de vista coloca en un primer plano no al problema, considerado en sí mismo, sino al sistema cuyo núcleo es la relación sujeto-objeto (alumno-problema)..
(15) A.N.Leontiev (1972) considera que debe entenderse por problema un fin dado en determinadas condiciones. Este autor tiene en cuenta el hecho de que cada problema le plantea a quien lo resuelve; la necesidad de obtener determinado fin, que solo puede ser alcanzado por aquella vía que permite las condiciones del problema. Desde el punto de vista psicológico el factor principal en el problema lo ocupa la actividad psíquica del sujeto como un reflejo psicológico de una situación material determinada; reflejo que se expresa como la conciencia de la unidad entre fin y condiciones según (Leontiev), o como surgimiento en el sujeto, de la necesidad de realizar determinadas acciones que transforman la situación (Esaulov y Ball). Según S.L. Rubinstein: un problema tiene ese carácter, ante todo, porque nos presenta puntos desconocidos en los que es necesario poner lo que falta (2) Un rasgo peculiar de los problemas en su sentido psicológico, radica en que no pueden ser resueltos a partir de la aplicación mecánica y directa de la experiencia anterior, es decir que un verdadero problema surge cuando el sujeto no tiene acceso a la respuesta solo a través de su memoria, sino que está obligado a pensar, a razonar, para encontrar los conocimientos necesarios que conducen a la solución del problema. El concepto problema en el marco de la Metodología de la Enseñanza de la Matemática hace especial énfasis en el contenido objetivo, sin hacer intervenir el aspecto psicológico. Según (L. M. Fridman, 1977), el problema es visto como determinado sistema material, que para su caracterización, no requiere del sujeto de la acción. En la enseñanza de la solución de problemas, el maestro debe tener en cuenta ambas peculiaridades, y está obligado a prestar atención tanto a las situaciones (problemas) que presenta el alumno, y a la forma peculiar (psicológica) en que este se relaciona con ellas, debe contemplar entonces, los aspectos psicológicos (subjetivos) y propiamente matemáticos (objetivos) de los problemas. Desde el punto de vista matemático diversos autores han planteado lo que entienden por problema: En el libro. Metodología de la Enseñanza de la. Matemática , Ellen Bülow y otros plantean:.
(16) Los problemas son ejercicios en los cuales se representan las relaciones entre los conjuntos o las magnitudes, en el lenguaje matemático (3). Para Labarrere: un problema matemático con texto puede considerarse como una exposición en el lenguaje cotidiano, de determinado hecho, proceso u objeto, del cual nos dan directamente ciertas características (magnitudes, valores) y se nos pide (exige) hallar otras, que no son directamente ofrecidas en el enunciado (4). Para que un problema sea considerado como tal deben existir elementos desconocidos que inciten a darle solución a la situación planteada. L. Campistrous y Celia Rizo, a su vez plantean que: Se denomina problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida y la persona debe querer hacer la transformación (5). Entiéndase entonces que no toda situación que se le plantee a los alumnos puede considerase como un problema, sino solo aquellas que los hagan pensar, reflexionar, indagar, formular hipótesis en relación con la situación dada. Problema se identifica así con razonamiento, análisis, síntesis; que son términos propios de la actividad mental, cognoscitiva y del pensamiento en particular. Un problema es un ejercicio que refleja determinadas situaciones a través de elementos y relaciones del dominio de las ciencias o la práctica, en el lenguaje común y exige de medios matemáticos para su solución. Se caracteriza por tener una situación inicial (elementos dados, datos) conocida y una situación final (incógnita, elementos buscados) desconocida, mientras que su vía de solución, también desconocida, se obtiene con ayuda de procedimientos heurísticos. M.J: Llivina considera que un ejercicio es un problema si y solo si la vía de solución es desconocida para la persona (6). Por su parte Marta Martínez Llantada nos dice que. el problema es la. contradicción dialéctica asimilada por el sujeto en el proceso de estudio del material. Esta contradicción debe resolverla utilizando los medios que encuentre bajo la dirección directa o no del profesor en correspondencia con los objetivos de la asignatura y con el movimiento dialéctico del conocimiento hacia la verdad (7)..
(17) Como se observa existe gran variedad de criterios en cuanto a lo que se entiende por problema desde el punto de vista que se tiene para abordarlos, no obstante a esa variedad, no se muestran contradicciones pues de una forma u otra todos coinciden en señalar que la realidad debe ser un reflejo psicológico de una situación material determinada. La autora asume el concepto de problema dado por los doctores L. Campistrous y Celia Rizo por entender que es el que más se ajusta a nuestro trabajo; en este concepto se le da fuerza al aspecto de que la vía que se utilice por el alumno debe ser desconocida para él, de lo cual se infiere que no existe un algoritmo predeterminado que permita darle solución, lo que resulta de gran importancia para el proceso de enseñanza-aprendizaje, pues se aprecia que lo que para un alumno es un problema para otro no lo es. Además tiene en cuenta la aplicación de los conocimientos y habilidades con que cuenta el alumno, así como el aspecto motivacional de esta tarea. En sexto grado los alumnos se enfrentan a la solución de problemas simples y compuestos (independientes y dependientes) cuyo dominio en cuanto a su tipología y estructura lo tienen garantizado desde el primer ciclo y que han sistematizado en quinto grado a la vez que han incorporado otros problemas como los de promedio o aquellos que se relacionan con el cálculo de las fracciones y la determinación del área y el perímetro de figuras dadas. A partir de los intereses de este trabajo consideramos una amplia variedad de problemas: todos los conocidos o tratados en los grados anteriores y aquellos que corresponden a nuevas situaciones y contenidos de este grado, prestando especial atención a los problemas típicos con fracciones, puesto que ya en sexto grado se profundiza en los mismos a partir de un proceso numérico de cálculo para su solución y en los problemas de tanto por ciento, dada la analogía existente entre ambos tipos de problemas lo que permite profundizar en la forma de trabajo heurístico no solo en el proceso de solución sino durante la formulación de los problemas. Para enfrentar el proceso de formulación de problemas el dominio de los significados prácticos de las cuatro operaciones de cálculo con números naturales resulta de gran importancia pues constituye la base para la comprensión de los.
(18) significados prácticos de las operaciones con fracciones, en gran medida transferibles de uno a otro dominio (naturales y fraccionarios).. Potencialidades de los alumnos de sexto grado para enfrentar el proceso de formulación del problema. Un aspecto de gran importancia para hacer una propuesta que tienda al desarrollo de habilidades en los alumnos de sexto grado en cuanto a la formulación de problemas, lo constituye sin dudas, el dominio real de la situación que presentan los alumnos, tanto de sus necesidades como de sus potencialidades, pero es indiscutible que estas últimas pueden ser utilizadas de manera beneficiosa para el desarrollo de tales habilidades. El proceso. de enseñanza-aprendizaje de la formulación de problemas. matemáticos en sexto grado se ve ampliamente favorecido a partir de las profundas transformaciones que se han venido operando en la escuela primaria, que cuentan con un sustento teórico en el orden psicológico, pedagógico y sociológico para el logro de un aprendizaje desarrollador. La formulación de problemas matemáticos es un aspecto de la enseñanza de la Matemática como la resolución misma, a través de esta actividad se contribuye a la formación lingüística, es decir, a la expresión oral y escrita, al desarrollo de operaciones mentales generales como: el análisis, la síntesis, la generalización y la abstracción, al desarrollo del pensamiento heurístico, flexible y creativo con fantasía, y a la formación de habilidades generales y específicas, estrechamente relacionadas con la resolución de problemas. Estos aspectos han sido constatados en investigaciones realizadas por A. Labarrere (1983-1987); L. Campistrous y C. Rizo (1996); C. Suárez y otros (1995); y D. González (1996). Por otra parte al arribar a este momento del desarrollo 5.. 6. grados es posible. apreciar que los alumnos cuentan con las condiciones intelectuales indispensables para un aprendizaje reflexivo, pues tienen todas las potencialidades para la asimilación consciente de los conceptos científicos (en este caso el concepto problema, estructura de un problema, significados prácticos de las operaciones de.
(19) cálculo, entre otros) y en este momento ya ha surgido un pensamiento que opera con las abstracciones inherentes a estos conceptos mediante procesos lógicos como son: la comparación, la clasificación, el análisis y la síntesis y la generalización, entre otros, como condiciones para enfrentar el proceso de formulación de problemas, pues los alumnos deben aprender a identificar, formular y resolver problemas matemáticos en nuestras escuelas; la identificación y la formulación pueden ser medios importantes y necesarios para que los alumnos puedan resolver problemas matemáticos, vinculados con otras asignaturas y problemas de la vida en general. La formulación de los problemas matemáticos es una de las tres capacidades importantes que deben trabajarse en la escuela como parte de la situación típica de la enseñanza de la Matemática: El tratamiento de ejercicios de aplicación y de ejercicios con textos (identificación, formulación y resolución). Por consiguiente tiene su fundamento filosófico en el materialismo dialéctico e. histórico y. particularmente en la teoría del conocimiento. Este se concibe como un proceso histórico social de la actividad humana, orientada en la mente del hombre. Es importante considerar que de acuerdo con el desarrollo alcanzado hasta este momento el alumno dispone de la posibilidad de plantearse hipótesis como juicios, enunciados verbalmente o por escrito, los cuales puede argumentar o demostrar mediante un proceso reflexivo que parte de lo general a lo particular, proceso que tiene lugar durante la formulación de problemas como elemento importante de la misma que constituye además un aspecto básico del tratamiento de los problemas. Todos estos beneficios que se obtienen de la formulación de problemas matemáticos no se derivan de dicho proceso en sí mismo, sino que depende en gran medida de la forma en que se organice, se planifique, se dirija y controle el proceso de enseñanza-aprendizaje de la formulación de problemas, ya que el mismo demanda del alumno un máximo de protagonismo caracterizado por la reflexión y autorreflexión, de modo que puedan aplicar conscientemente los conocimientos. de. que disponen y alcancen progresivamente. independencia posible.. la mayor.
(20) Para poder comprender todo lo argumentado hasta aquí, resulta indispensable analizar el término formulación de problemas matemáticos según diferentes autores: Formular: Expresar algo en términos claros y precisos. Recitar. Expresar, manifestar . (8) Expresar formalmente. Recitar conforme a fórmula. Expresar, manifestar . (9) Plantear un problema es expresar en términos del lenguaje una situación contradictoria de un objeto o un fenómeno de la realidad . (10) Formulación de problemas por el alumno: Es el tipo de tarea docente que consiste en que el escolar debe crear, construir problemas de manera relativamente independiente . (11) De acuerdo con Labarrere la actividad de formulación comienza cuando al escolar se le ofrece determinada información o situación inicial a partir de la cual debe hacer el problema. Según otros autores formular un problema matemático con texto, relacionado con la práctica es la actividad de estudio que consiste en identificar, crear, narrar, redactar un problema matemático en forma colectiva o individual, a partir de una situación inicial dada o creada por la o las personas que la realizan. El éxito que el alumno pueda encontrar durante la formulación de problemas, considerada esta como una actividad de creación está en correspondencia con una de las aspiraciones fundamentales de la adolescencia que consiste en encontrar un lugar en el grupo de iguales que le proporcione un bienestar emocional a partir de la aceptación que encuentre en el grupo, aceptación esta que parte en muchos casos de los logros que alcanza en el orden intelectual, es decir de sus saberes y de sus posibilidades de saber hacer. Dada la concepción asumida por M. LLivina y otros autores que consideran como acciones intelectuales necesarias para formular problemas las siguientes: •. Describir los dos términos esenciales del problema.. •. Relacionar ambos términos.. •. Expresar en términos del lenguaje.. •. Valorar el proceso..
(21) A partir de esta concepción y sobre la base de la experiencia acumulada durante varios años la autora coincide con algunos autores al considerar como acciones intelectuales esenciales, necesarias e imprescindibles para formular problemas matemáticos las siguientes: •. Identificar la situación, para lo cual es necesario analizar la información dada para la formulación del problema, valorar los elementos conocidos y determinar el tipo de problema que se debe formular.. •. Determinar los contenidos matemáticos a utilizar, analizando el tipo de problema a formular y la información disponible para precisar la operación u operaciones relacionadas con el tipo de problema y decidir los significados prácticos de las que abordará, entre otros contenidos.. •. Elaborar los elementos estructurales del problema matemático. Para ello es preciso buscar o crear los datos apropiados, determinar las relaciones matemáticas a reflejar en forma explícita y las no explícitas que pudieran ser incluidas y redactar la o las preguntas del problema a partir del tipo de pregunta a utilizar. Todo esto permitirá describir y relacionar los elementos estructurales de forma que revelen la contradicción entre lo conocido y lo desconocido.. •. Precisar y redactar el problema matemático, para lo cual es preciso analizar el hecho, el fenómeno o la situación que se narrará en el problema y su vinculación con la realidad, así como el mensaje educativo que será incluido; hay que vincular estos aspectos con los elementos estructurales del problema, expresar en lenguaje común los términos matemáticos a utilizar, describir, narrar o redactar el problema teniendo presente los aspectos relacionados con el uso de la lengua materna. Finalmente deberá resolver y evaluar el problema, valorar el proceso para comprobar la presencia innecesaria y la carencia o no de elementos en el problema . (12). Para formular problemas matemáticos, con cierto nivel de calidad, es condición necesaria poseer conocimientos generales de diferentes esferas del saber y demostrar una amplia cultura general. El hábito de crear un banco de datos por parte de los alumnos de forma sistemática, puede hacer un aporte considerable al.
(22) conocimiento de las diferentes esferas del saber, por cuanto los alumnos pueden buscar en diversas fuentes: publicaciones periódicas, datos relacionados con la escuela misma y otros de los centros económicos, de servicios, sociales, existentes en el territorio son portadores de gran información y resultan más atractivos e interesantes para los alumnos a partir de la búsqueda, análisis de su contenido y clasificación previamente realizada por ellos. También resulta imprescindible el dominio de conocimientos matemáticos específicos como: •. Significados prácticos de las operaciones aritméticas.. •. Traducción del lenguaje común, de expresiones dadas en el lenguaje matemático y viceversa.. •. Búsqueda de relaciones matemáticas entre números dados. Clasificación de problemas matemáticos.. •. Técnicas para la resolución de problemas matemáticos.. En cuanto a este último aspecto se puede encontrar la información necesaria en el orden metodológico en diversos textos, no obstante la autora asume la propuesta de técnicas que ofrecen los doctores Luis Campistrous y Celia Rizo en el texto Aprende a resolver problemas matemáticos (2002). Dichos autores proponen las técnicas siguientes: •. Modelación, que como su nombre lo dice permite modelar la situación objeto de estudio, para hacerla lo más objetiva y concreta posible.. •. Lectura analítica y reformulación. El primer aspecto de técnica guarda una relación directa con el primer momento de contacto del alumno con el material objeto de estudio, en este caso un problema matemático, en cuanto al segundo aspecto: reformulación, implica una transformación a partir de la situación inicial dada.. •. Técnica de la determinación de problemas auxiliares. La determinación de problemas auxiliares o subproblemas forma parte del proceso de reformulación puesto que es una manera de desmembrar analíticamente la situación planteada en el problema hacia otras parciales que integran la misma..
(23) •. Técnica del tanteo inteligente. Aunque el término tanteo sugiere una idea que en muchos casos puede resultarnos un tanto empírica, y de hecho lo es, esta técnica ofrece amplias posibilidades a los alumnos para formular hipótesis y probar en forma práctica, una y otra vez hasta encontrar el resultado.. •. Técnica de la comprobación. Esta es una técnica muy importante pues le brinda seguridad al alumno en cuanto al proceso seguido y al resultado encontrado. No debe confundirse con la comprobación de las operaciones de cálculo realizadas durante el proceso de solución, es decir, no restringirse a dicha comprobación aun cuando forma parte del proceso total de comprobación donde interviene la autocorrección y la autorregulación del aprendizaje.. Requisitos para considerar un problema matemático bien formulado: •. Relacionado con las exigencias iniciales:. . Ajustarse a la situación inicial dada (si existe). . Responder al tipo de problema previsto (a partir del grado de dificultad prefijado según cada parámetro). . Paso del texto al modelo: - Estructural. - Del lenguaje. •. Vinculados con la estructura del problema:. . No incluir en el enunciado del problema el elemento pedido en la pregunta. . No omitir datos necesarios. . No incluir datos innecesarios si no es de forma intencional. . Expresar, con suficiente claridad, las relaciones matemáticas explícitas entre los valores. . Establecer correctamente las relaciones matemáticas no explícitas entre lo dado y lo buscado. . Expresar el texto del problema con la suficiente información respecto a los tres elementos de su estructura. . No omitir la pregunta..
(24) . No plantear una pregunta sin relación con el texto del problema. .No plantear preguntas que no se correspondan con las operaciones indicadas. •. En relación con los significados prácticos de las operaciones:. . Expresar el texto del problema de modo que sea posible determinar el o los significados prácticos de las operaciones que se aplican (si es necesario). .No utilizar significados que no se correspondan con la operación u operaciones indicadas (si corresponde). •. Vinculados con el ajuste a la realidad:. . Utilizar datos reales o que se ajusten a la realidad. . Describir situaciones reales o que sean posibles, con sentido común. •. En relación con el mensaje educativo:. . Describir situaciones cuyos datos y condiciones lleven un mensaje educativo (siempre que sea posible). •. Relacionados con el aspecto lingüístico:. . Expresarse en oraciones completas, con ideas claras. Correcta redacción en general. . Empleo adecuado de términos matemáticos. . Correcta ortografía. Por último es necesario considerar que durante todo el proceso de formulación de problemas debe estimularse la imaginación creadora de los alumnos para que los problemas que formulen resulten novedosos, interesantes y atractivos, pues aunque un problema es en alguna medida un texto científico breve, esta condición no está reñida con la presencia de aspectos novedosos y un estilo agradable en la redacción.. 1.3 Criterios de diferentes autores y las tendencias actuales acerca de los significados prácticos de las cuatro operaciones de cálculo con números naturales. Diversos autores se han referido a la situación problémica planteada. La comprensión del significado práctico de las operaciones de cálculo con números naturales ha preocupado siempre a maestros, pedagogos y especialistas.
(25) relacionados con la enseñanza de la Matemática en la escuela primaria la cual obedece a razones metodológicas fundamentales, toda vez que la comprensión del significado de cada una de las operaciones constituye el punto de partida en el proceso de elaboración de estos conceptos y es, al mismo tiempo, un elemento recurrente indispensable a la hora de aplicar las habilidades y conocimientos por parte de los alumnos que les permite operar en situaciones disímiles. En el texto Cómo enseñar la Aritmética en la escuela primaria de la doctora Gloria Ruiz de Ugarrio aparece lo siguiente: Suma: Asociación con la idea de reunir dos grupos de objetos en uno solo y contar los elementos del grupo resultante. Resta: Cuando aplica la resta en la resolución de problemas le atribuye tres significados: 1. Sustraer un número de otro mayor ¿Cuánto queda? 2. Averiguar cuánto le falta a un número menor para llegar a otro mayor ¿Cuánto falta? 3. Comparar dos números. ¿Cuánto más? ¿Cuánto menos? ¿Cuál es la diferencia? Multiplicación: Le atribuye un solo significado: 1. Siempre que el multiplicador es un número natural la multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales. División: Se le pueden atribuir cuatro significados: 1. Equipartición. 2. Operación inversa de la multiplicación. 3. Averiguar las veces que un número está contenido en otro. 4. Comparación. Expresa la relación entre dos cantidades o entre dos números, expresada en dos sentidos; del número menor al número mayor o viceversa. El doctor Alberto Laberrere Sarduy en su obra Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria.
(26) ofrece múltiples significados relacionados con las operaciones de cálculo con números naturales, de los que, realizamos una selección teniendo en cuenta la correspondencia con las exigencias de los actuales programas y el contenido de los libros de texto de Matemática de la escuela primaria. Suma: Este significado lo expresa como la determinación de la suma de dos cifras. Resta: Este significado lo incluye básicamente en cuatro grupos fundamentales. 1. Determinación del minuendo, conociendo el sustraendo y la diferencia. 2. Determinación del sustraendo, conociendo el minuendo y la diferencia. 3. Diferencia comparativa de números o determinación de la diferencia de dos números. Multiplicación: Tiene en cuenta un significado. 1. Determinación de suma de sumandos iguales. División: Lo divide en un primer grupo. 1- División en partes diferentes. 2- División por conteo. El proyecto TEDI (técnicas de estimulación del desarrollo intelectual), obra pedagógica cubana encaminada a capacitar a los alumnos, adiestrándolos en el dominio de técnicas elementales expresa: Para establecer el significado práctico de las operaciones aritméticas es muy útil utilizar la relación parte-todo. Esta relación es muy elemental, obvia y relaciona el conjunto completo o todo con sus subconjuntos o partes . La comprensión del significado práctico de cada una de las operaciones constituye un elemento indispensable a la hora de aplicar habilidades y conocimientos por parte de los alumnos es por ello que cada significado está asociado a la introducción de las operaciones de cálculo y a las dificultades de estas que se van presentando en cada grado.. La adición: Esta operación se introduce en primer grado en la unidad No. 2 Temática 2.1 Epígrafe 2.1.1.
(27) Los alumnos deben conocer la operación de adición, deben formar conjuntos de unión y asociarles igualdades de adición. Deben conocer los términos sumando, suma, estos deben favorecer la comprensión del significado primario de esta operación en el sentido de reunir , juntar , colocar juntas . Suma: Dadas las partes hallar el todo. P1. P2. P1+ P2= T. T Ejemplo: Cuando María fue a la cafetería no se fijó en el dinero que llevaba en su cartera. Ella sabe que gastó 5 pesos y que salió de ese lugar con 12 pesos. ¿Podrías decirme con cuánto dinero entró en la cafetería? 2- Dada una parte y el exceso de otra sobre ella, hallar la otra parte.. P1. E. P2. P2 + E = P1 Este significado pudiera reducirse al primero, pues una parte es igual a parte de la otra.. Ejemplo: Ania tiene en su cartera 16 lápices de colores, Luisa tiene 4 más. ¿Cuántos lápices de colores tiene Luisa?.
(28) Resta: Esta operación se presenta en 1er grado en la unidad 2 temática 2.1 epígrafe 2.1.2. El alumno debe conocer que no siempre reunimos cosas, que a veces se quitan, se tachan, o se eliminan . Estas conducen a la comprensión de un primer significado práctico de la sustracción asociado a la idea de quitar separar tachar .Significado este que se materializa con la pregunta ¿Cuánto queda? También se elabora la relación entre adición y sustracción, los alumnos deben conocer que: Si se sustrae un número de otro se obtiene una diferencia. Si a esta diferencia se le adiciona el número que se ha sustraído se obtiene como suma el número inicial. La sustracción debe caracterizarse como operación inversa de la adición. En segundo grado se introduce el segundo significado de la sustracción. 1-Dados el todo y una parte hallar la otra.. P1. P2. T - P2 = P1 T – P1 = P2 T Ejemplo: Pedro compró 25 tomates en el mercado. Cuando llegó a su casa solamente tenía 18. ¿Cuántos tomates perdió en el camino?. 2-Dadas dos partes, hallar el exceso de una sobre otra. P1 Ejemplo:. P2. E.
(29) En una función de teatro hay 12 sillas ocupadas por varones, 15 ocupadas por hembras y 3 vacías. ¿Cuántos varones hay menos que hembras? 3- Hallar el exceso de una parte sobre otra, o dada una parte y su exceso sobre otra, hallar la otra parte.. P1. E. P1 - P2 = E P2. P1 - E = P2 Ejemplo:. Pedro tiene una bolsa que contiene 15 bolas. En esa bolsa hay 3 más que en la bolsa que tiene Luis. ¿Cuántas bolas tiene la bolsa de Luis? Multiplicación: Esta operación se inicia en primer grado de una manera muy somera puesto que no tiene como objetivo la memorización de los ejercicios básicos sino comprender cómo se obtienen los múltiplos de 10 como base indispensable para la ampliación de los números naturales hasta 100. La operación se elabora mediante dos variantes fundamentales: 1-. El conteo de los elementos en las representaciones (límite 20).. 2-. La relación adición- multiplicación, suma de sumandos iguales. (límite10, no se trabajan en el grado los ejercicios básicos de adición con sobrepaso). El procedimiento permite conocer a los alumnos que la multiplicación no es otra cosa que una suma de sumandos iguales. En segundo grado se introduce la multiplicación en la Unidad 2 temática 2.2 epígrafe 2.2.1 Se retoman los significados de la operación ya trabajados en el grado anterior. Suma abreviada de sumandos iguales. El significado referente a hallar un múltiplo de un número se retoma, y se introducen los conceptos el doble y la mitad, el décuplo y la décima parte, se emplean en relación con la división en los epígrafes 2.2.3 y 2.2.4. 1-Reunión de partes iguales para hallar el todo (suma de sumandos iguales)..
(30) Ejemplo: Manuel tenía 4 cajas de crayolas. En cada una de ellas colocó 10 crayolas. ¿Cuántas crayolas tiene en total? 2- Dada la cantidad de partes iguales y el contenido de cada parte hallar el todo.. P1. P1 = P2 = P3 = P4. P2. P3. P4. a . b= T. Ejemplo: ¿Cuántas mesas hay en una biblioteca que tiene 5 salas de lectura con 6 mesas cada una? Para considerar las partes iguales debemos tener en cuenta tres cosas: el todo, la cantidad de partes y el contenido de cada parte. 3-Hallar múltiplos. Ejemplo: En un taller hay 15 máquinas de coser en otro hay el doble. ¿Cuántas máquinas hay en el segundo taller? 4- Conteo: diferentes maneras de hacer algo.. Ejemplo: Tengo 4 blusas y 3 sayas. ¿Cuántas combinaciones diferentes puedo formar con ellas? División: El tratamiento de la división es un contenido nuevo e importante en segundo grado se introduce en la Unidad 2 temática 2.2 epígrafe 2.2.2. Su elaboración debe realizarse mediante el proceso de abstracción a partir del trabajo con conjuntos mediante la descomposición de un conjunto en subconjuntos equipotentes disjuntos, en sus dos variantes. 1- El cociente representa la cantidad de subconjuntos evidenciando de alguna manera dos significados prácticos de la división: equipartición y saber cuántas.
(31) veces un número está contenido en otro (división por contenido) (equipartición, hallar las partes que se forman y parte proporcional). 1- Repartir el todo (hallar el contenido de cada parte). T:A=B. Ejemplo: Se tienen 40 lápices para repartir a 20 niños por igual. ¿Cuántos lápices corresponden a cada niño? 2- Dado el todo y el contenido de cada parte hallar la cantidad de partes (cuántas veces está contenida en el todo). T:B=A partes con cosas en ellas Ejemplo: Si se reparten 40 lápices, de modo que a cada niño le correspondan dos lápices. ¿Para cuántos niños alcanzan? 3-Hallar una parte alícuota (una unidad fraccionaria: mitad, décima parte, etc.). Ejemplo: La quinta parte de los integrantes de un círculo de interés realizan una demostración práctica. Si en el círculo hay 10 alumnos. ¿Cuántos realizan la demostración? Independientemente de las diferencias que se aprecian en cuanto a la denominación de los significados prácticos de las distintas operaciones de cálculo con números naturales según los diferentes autores, hay en todos, un elemento común, las operaciones no se formulan por sí, sino que tanto su formulación como su correspondiente aplicación está vinculada con situaciones concretas, de carácter práctico que rodean al niño en sus más diversas actividades; instructivas, laborales, pioneriles entre otras. Es de gran importancia la capacitación de los alumnos con vistas a la solución independiente, por parte de estos, de los problemas matemáticos, para el logro de esta hay que tener en cuenta, ante todo, una panorámica de la graduación de las.
(32) distintas dificultades por grado. Para la capacitación se debe tener en cuenta la graduación de las dificultades de los problemas y consecuentemente las técnicas a emplear para ilustrar o facilitar el razonamiento. La comprensión del significado de cada una de las operaciones así como el tratamiento simultáneo de las distintas operaciones (suma-resta; multiplicación-división; suma-multiplicación)..
(33) Capítulo 2. Modelación teórico-práctica de la propuesta. 2.1 Diagnóstico y determinación de necesidades y potencialidades de los alumnos. Para comenzar la investigación resulta imprescindible determinar el estado del problema objeto de estudio en un momento dado, para lo cual se implementa el diagnóstico necesario a partir del establecimiento de la variable dependiente con sus correspondientes indicadores. (Anexo 1). La determinación de las necesidades y potencialidades presentes en los alumnos que conforman la muestra constituye un importante punto de partida para garantizar la preparación de los mismos y que de esta forma lleguen a formular problemas de manera eficiente. La muestra escogida para la presente investigación la constituyen 20 alumnos de sexto grado de la escuela Camila Sobrado del poblado de Vueltas, municipio Camajuaní. Para la realización de esta investigación se utilizaron diferentes métodos, los cuales se encuentran explicados en la introducción de este trabajo. Con la finalidad de conocer la situación existente en cuanto a la formulación de problemas en sexto grado se puso en práctica lo siguiente: Se procede al análisis de los documentos que norman el proceso de formulación de problemas en sexto grado. Para lo cual se emplea la guía que aparece en el (Anexo 2). Los documentos analizados son: Exigencias del modelo de la escuela primaria para la dirección por el maestro de los procesos de educación, enseñanza y aprendizaje de Pilar Rico y colaboradores, el Programa de Matemática de sexto grado, las orientaciones metodológicas de Matemática en sexto grado, así como el libro de texto y los ajustes curriculares. Al analizar las Exigencias del modelo de la escuela primaria, resulta de interés que en la página 19 aparece el fin de la escuela primaria, que por su contenido constituye un elemento de inapreciable valor en el sentido orientador que se corresponde con las exigencias planteadas para la formulación problemas..
(34) En el propio documento en la página 30 aparece, dentro de los objetivos del primer ciclo, (al concluir cuarto grado) lo siguiente: formular y resolver problemas matemáticos compuestos a partir del significado de las operaciones, técnicas de solución de problemas y dominio del cálculo con números naturales cualesquiera y cantidades de magnitud. También en las páginas 21 y 22 se plantea como objetivos generales del nivel aplicar. en distintos tipos de actividades los. conocimientos y habilidades intelectuales adquiridos (identificación, observación, comparación,. definición,. explicación,. clasificación,. argumentación,. control,. valoración y modelación) mediante los cuales pueda conocer e interpretar componentes de la naturaleza, interpretar y ejecutar diferentes órdenes y orientaciones como parte de los ejercicios, que le permitan la búsqueda de alternativas de solución, la realización independiente y en colectivo de las tareas de aprendizaje vinculadas a problemáticas de la vida, mostrando avances hacia un pensamiento crítico, reflexivo y flexible y desplegar imaginación, fantasía y creatividad en lo que hace, interpretar adecuadamente la información cuantitativa que recibe por diferentes vías, así como formular y resolver problemas matemáticos que conduzcan. a describir y crear patrones. Al analizar las. Orientaciones Metodológicas de la Educación Primaria (Ajustes Curriculares) no se aprecian indicaciones específicas para el tratamiento de la formulación de problemas ni para el tratamiento de los problemas más allá de las que se ofrecen para el tratamiento de los problemas de acuerdo con las exigencias del grado y los dominios numéricos que se trabajan en este. El análisis de las Orientaciones Metodológicas de Matemática permite afirmar que las mismas constituyen un valioso instrumento en las manos específicas. del maestro, pues contienen orientaciones. y detalladas para conducir el tratamiento de los problemas. matemáticos en el grado incluyendo sugerencias de actividades y algunos ejemplos, no siendo así para la formulación de problemas. Al realizar un análisis del libro de texto de Matemática en sexto grado se aprecia que en el mismo aparecen suficientes problemas simples y compuestos (independientes y dependientes) con distintos niveles de complejidad desde el punto de vista del lenguaje empleado, así como de las relaciones que se dan.
(35) dentro de los problemas como tal (datos innecesarios ) y la forma en que se plantea la situación y la pregunta, la cual aparece generalmente al final y en algunos casos desde el inicio (las llamadas preguntas problemas). Todos los problemas que aparecen tienen números. Hay pobreza en cuanto a la formulación de problemas. Por otra parte en correspondencia con la fecha de edición inicial, los problemas adolecen de actualización pues en sucesivas reimpresiones no se realizan cambios. De manera general puede resumirse que a través de los documentos analizados se aprecia lo siguiente: •. Existe la suficiente orientación para el tratamiento de los problemas matemáticos en sexto grado.. •. Se dispone de gran número de problemas para la ejercitación y aplicación.. No obstante: •. Los problemas no responden a los distintos niveles de dificultad (problemas sin números, problemas con datos innecesarios, problemas donde falten datos).. •. No existen actividades suficientes para la formulación de problemas.. Otro elemento que se tuvo en cuenta para el diagnóstico de la situación de partida fue la revisión de los sistemas de clases, proceso este que se vio favorecido por el domino teórico logrado por la autora en cumplimiento de la tarea científica 1. Se analizaron 40 clases correspondientes a 8 semanas de clases de la unidad 1 Los números naturales en la cual se incluye el tratamiento de la adición, sustracción, multiplicación, potenciación y división con números naturales, tratamiento que demanda de la inclusión de problemas matemáticos como una forma fundamental de aplicación del contenido, las clases restantes correspondieron a la unidad 2 Los números fraccionarios .. La revisión se realiza teniendo en cuenta los. aspectos que aparecen en el (Anexo 3). Las clases revisadas, como ya se ha dicho corresponden a la unidad 1 del primer período. Como resultado de la revisión puede afirmarse que en ninguna de las clases del sistema se ofrece un tratamiento explícito a la formulación de problemas, pudiendo apreciarse que en 8 clases, para un 20 % se trabaja de.
(36) alguna manera en función de preparar a los alumnos de modo que logren la formulación. Al evaluar la calidad de las actividades propuestas para este propósito se aprecia que están en correspondencia con el nivel de desarrollo alcanzado por los alumnos así como con sus intereses cognoscitivos, pero no cuentan con la necesaria variedad atendiendo a los niveles de exigencia gradual que deben cumplirse durante el proceso de formulación de problemas. En sentido general las actividades propuestas se limitan a la formulación de la pregunta para una situación dada o a la variación de esta de acuerdo con una nueva exigencia planteada. Resulta de interés destacar además que, aunque a lo largo del sistema de clases se incluye un número suficiente de problemas, en la generalidad de los casos están dirigidos a la solución por parte de los alumnos descuidándose la capacitación. En resumen, la planificación docente no propicia el nivel deseado al desarrollo de habilidades para la formulación de problemas ni para la capacitación de alumnos para este proceso. Al revisar las libretas de Matemática de los alumnos, se seleccionó una muestra de 10 de estas, representativas de los distintos niveles de desempeño cognitivo y se consideraron para la revisión los aspectos correspondientes al (Anexo 4) en total se realiza la revisión de 20 clases, seleccionadas de manera aleatoria, en ninguna de las cuales los alumnos muestreados siguen el proceso total de formulación de problemas. Solo en tres de las clases muestreadas se realizan actividades que preparan al alumno para la formulación de problemas por lo que puede afirmarse que la calidad que alcanza la formulación de problemas por parte de los alumnos es mala, mucho más cuando las actividades que realizan no difieren, de acuerdo con los niveles de desempeño cognitivo que estos alcanzan. En resumen puede afirmarse que el proceso que siguen los alumnos para la formulación de problemas es incompleto y adolece de sistematicidad. Un elemento particularmente importante para diagnosticar las necesidades y potencialidades de los alumnos de la muestra en lo referente a la formulación de.
(37) problemas es la encuesta que se aplica a estos (Anexo 5) cuyos resultados de describen a continuación: Resulta significativo que los 20 alumnos encuestados, para el 60 % refieren que les gusta resolver problemas matemáticos, 8 de estos, para un 40 % consideran suficientes el número de problemas que resuelven en clases mientras que 6 alumnos, para un 30 % no lo consideran así. En la. actividad de la encuesta dirigida a identificar las actividades que. corresponden a la formulación de problemas 6 alumnos para un 30 % logran una identificación acertada, 7 alumnos, para un 35 % logran una identificación parcial, mientras que los 7 alumnos restantes, para un 35 % no logran identificar las actividades propias para la formulación de problemas. Al preguntarles acerca de las temáticas, actividades o asuntos que preferirían para crear o formular problemas las respuestas cubren un espectro de temáticas relacionadas con su vida en la escuela, sus actividades como pioneros, en el huerto o parcela productiva y otros propios del medio circundante a la escuela. Por último al preguntarles en qué medida se consideran preparados para formular o crear problemas, 10, para un 50 % se consideran preparados, 6 para un 30 % se consideran poco preparados y 4 para un 20 % dicen sentirse muy poco preparados. En resumen puede afirmarse que existe una predisposición positiva hacia el trabajo con los problemas por parte de los alumnos de la muestra, a la vez que muestran un aceptable dominio de preparación para enfrentar la formulación de problemas. Luego de haber aplicado y analizado los diferentes instrumentos se aprecian regularidades que hacen posible identificar las siguientes necesidades: •. Empleo adecuado de los documentos normativos en función de la actividad de formulación de problemas.. •. Incorporación sistemática en la planificación docente de Matemática de actividades dirigidas a la formulación..
(38) •. Graduación de las actividades dirigidas a capacitar a los alumnos para la formulación de acuerdo con los niveles de dificultad previstos para esta actividad.. •. Adecuación de los problemas que aparecen en el libro de texto de Matemática de sexto grado en función de las actividades dirigidas a la formulación de problemas.. Independientemente de las necesidades existentes hay potencialidades que pueden ser aprovechadas durante el proceso de enseñanza-aprendizaje de la formulación de problemas matemáticos: •. Disposición de los alumnos para resolver problemas (les gusta).. •. Desarrollo de las habilidades de cálculo así como de la comprensión de los significados prácticos de las distintas operaciones.. •. Existencia de documentos que norman el trabajo con los problemas, incluida la formulación.. •. Transformaciones operadas como parte de la Revolución Educacional.. 2.2 Modelación teórica de la propuesta de solución al problema científico. Teniendo en cuenta que desde los primeros grados los alumnos vienen trabajando con la formulación de problemas matemáticos y tomando en consideración el aporte de este tipo de tares para el razonamiento de los problemas puesto que, a través de la formulación, los alumnos consolidan el concepto de problema, su estructura lógica, el contenido, relaciones y exigencias que se dan en el mismo y considerando que aún en sexto grado no han logrado un desarrollo suficiente de las habilidades relacionadas con la formulación de problemas matemáticos se decide elaborar un sistema de ejercicios que responden a las exigencias del grado y al nivel alcanzado por los alumnos a partir de las características psicopedagógicas de estos y las especificidades existentes a partir del diagnóstico efectuado. La propuesta de solución al problema científico, está dada por un sistema de ejercicios para lograr el desarrollo de habilidades al formular problemas..
(39) Responde a la Teoría General de los Sistemas por la interacción y organización de sus componentes. El empleo del término sistema resulta recurrente en diversas ramas del saber contemporáneo y se ha venido incorporando de forma progresiva su utilización en la pedagogía. No obstante al empleo que se hace de esta teoría y su evolución histórica, no siempre se explica de la misma manera por los diferentes autores. La literatura occidental señala a Van Berthalanfty (1962) como su principal impulsor, aunque reconoce que el término había sido utilizado mucho antes por reconocidos autores como Hegel y Carlos Marx, entre otros. Al analizar la Teoría General de los Sistemas se aprecia la existencia de múltiples definiciones con respecto a su concepto básico: Sistema. Algunas de estas definiciones son: García Ramis, L. U y otros plantean (en su libro Perfeccionamiento docente y creatividad ) un sistema es una totalidad, una configuración de elementos que se integran recíprocamente a lo largo del tiempo y del espacio, para lograr un propósito común, una meta, un resultado. El sistema como un todo tiene propiedades superiores a cada una de sus partes por separado . Para Pablo Cazáu, (2003) es: Conjunto de elementos en interacción. Significa que un elemento cualquiera se comportaría de manera diferente si se relaciona con otro elemento distinto dentro del mismo sistema, si los comportamientos no difieren, no hay interacción y por cierto tampoco sistema . Julio Leiva, (1999) lo define como:. Conjunto delimitado de componentes. relacionados entre sí que constituyen una forma integral . Marcelo Arnold y F. Osorio (2003) llaman sistema a un conjunto de elementos que guardan estrecha relación entre sí, que mantienen al sistema directa o indirectamente unido de forma más o menos estable y cuyo comportamiento global persigue, normalmente un objetivo . Como puede apreciarse existen infinidad de sistemas y tipos de ellos, de ahí, que en la bibliografía se pueden encontrar múltiples clasificaciones y tipologías. De las existentes se ha seleccionado la elaborada por Berthalanfty. Este plantea que los sistemas pueden clasificarse así:.
(40) •. Según el sector de la realidad: biológicos, psicológicos y sociales.. •. Según el nivel de observación: reales y conceptuales.. •. Según su apertura al medio: abiertos y cerrados.. •. Según el modo de concebirlos: pasivos y activos.. Como puede apreciarse, más allá de la diversidad de las definiciones existentes, de las orientaciones de sus autores y de los términos utilizados existe consenso al señalar que: •. El sistema es una forma de existencia de la realidad objetiva, puede ser utilizado y representado por el hombre.. •. Un sistema es una totalidad sometida a determinadas leyes generales.. •. Es un conjunto de elementos que se distinguen por un cierto ordenamiento.. •. Tiene límites relativos, solo son separables , limitados para su estudio con determinados propósitos.. El sistema como resultado científico pedagógico reúne las características generales de los sistemas: totalidad, centralización, complejidad, jerarquización, adaptabilidad, integración, capacidad referencial, grado de amplitud, aproximación analítica al objeto y flexibilidad. A continuación se ofrecen algunas consideraciones de cómo se comportan estas características generales en el sistema propuesto: Totalidad: el sistema de ejercicios elaborados constituye una totalidad que se deriva del carácter sistémico de los distintos componentes que lo integran, puesto que todos los ejercicios dentro de cada subsistema y todos los subsistemas constituyen. una. formación. íntegra,. es. decir. un. todo. inseparable. en. correspondencia con el objetivo propuesto. Centralización: la propia concepción del sistema, en correspondencia con el objetivo propuesto determinan la centralización de dicho sistema pues el propósito fundamental es el desarrollo de habilidades para la formulación, alrededor del cual se mueven todos los ejercicios propuestos. Complejidad: además de ser una característica general de los sistemas constituye un principio didáctico (asequibilidad), razón por la cual los ejercicios propuestos.
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