CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES
INTRODUCCIÓN
Formación de los conjuntos numéricos:
ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ….} ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} ℚ = {6; -5; 31 ; 7 6 ; 0,62; 1,65; 1,3; 2,16}
Los números racionales tienen 2 formas de representarse:
División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero)
Ejemplos: a)
1
7 = 7 es natural, entero y racional b) 1 8 = - 8 es entero y racional c) 3 2 = es racional d) 4 5 = es racional
Expresión decimal de los números racionales:
Ejemplos: a) 7 = 7,00 b) – 8 = - 8,00 c) 4 5 = 1,25 d) 3 2 = 0, 666... = 0, 6
Número decimal con período puro e)
5 6
= -1,2
Número decimal terminante f)
11 7
= - 0, 6363... = - 0,63
Número decimal con período puro g)
6
1 = 0,1666... = 0,16
Número decimal con período mixto ℕ ℕ ℤ ℕ ℤ ℚ Transformaremos un decimal a una fracción
0,24 = 25 6 100 24 A) 2,14 = 100 D) 1,21 = B) 6,213 = E) 1, 213 = C) 0,2 = F) 6, 5 =
B) Decimal Periódico Puro:
Veamos el siguiente ejemplo:
0,4242… = 0,42 = 33 14 99 42 3,888… = 3,8 = 3 9 8 = 9 35 A) 0,2727 … 0, = = B) 2,555… 2, = = D) 12,666… 12, = =
C) Decimal Periódico Mixto:
Observemos el siguiente ejemplo: 0,466… 0,46 = 15 7 90 42 90 4 46 2,13 = 2 90 1 13 = 2 90 1 13 = 2 9012 = 32 15 A) 0,42 = 4 = B) 3,13 = 3 = c) 2,15 = 2 = En el numerador se pone el número decimal y como denominador la unidad seguida de ceros como cifras tenga la
parte decimal.
RECUERDA
En el numerador se pone el periodo y como
denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo.
RECUERDA En el numerador se pone la parte no periódica seguida de un periodo, menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo,
y tanto ceros como cifras tiene el no periodo.
OBSERVACIÓN
Existen números con infinitas cifras en su parte decimal y que no presentan período alguno.
Tales números forman parte de un nuevo conjunto de números, “Los Números Irracionales”.
¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL?
Es todo aquel número que en su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar período alguno. Estos números constituyen un conjunto numérico
denominado CONJUNTO DE NÚMEROS
IRRACIONALES y se le representa por I. Ejemplos: i) 2,2360679... ii) 3,14159265... no presentan iii) 1,4142135... Período iv) 2,71828128... v) 1,73231...
NOTA
I. Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna.
II. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo:
2 = 1,4142135... 3 = 1,73231... 5 = 2,2360679...
III. Otros números irracionales son llamados
trascendentes como el
(se lee número “PI”) ye
(se lee número de Neper). = 3,14159265... e = 2,71828128...
IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí
Q I =
V. Al conjunto I también se le simboliza por Q ’
1. Marcar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda: a) 3 N ( ) b) 7/5 Z ( ) c) –7 I ( ) d) 4 I ( ) e) 0,3 I ( ) f) 0 Q ( ) g) 2,2360679... I ( ) h) 1,414141... Q ( ) i) 2,71828128... I ( ) j) 5 N ( ) k) 3 6 Z ( ) l) 1,4142135... I ( ) m) 2,333... Q ( ) n) – 8 N ( ) o) 0 I ( ) p) 1 I ( ) q) 3 Q ( ) r) I ( ) s) 1,7320508 I ( ) t) 81 Z ( ) u) 3 8 Z ( ) v) 532 Q ( )
2. Coloca (V) ó (F) según convenga:
A) Periódico Puro = 0,26 ……… ( ) B) Decimal Exacto = 0,333 ……… ( ) C) Decimal Exacto = 0,25 ……… ( ) D) Periódico Mixto = 8,72 ……… ( ) E) Decimal Exacto = 5 2 ……… ( )
Ejercicios de
aplicación
6 , 3 2 4
4. Une con flechas:
A) Decimal Exacto - 0,23 B) D. Periódico Puro - 0,21 C) D. Periódico Mixto - 0,4 5. Convierte a fracción: A) 0,23 C) 8,316 B) 1,43 D) 12,56 6. Convierte a fracción: A) 0,7 C) 5,16 B) 0,12 D) 12,7 7. Convierte a fracción: A) 0,27 C) 13,126 B) 7,56 D) 9,637 8. Completa:
a , b c d
9. Une con flechas:
A) D. Exacto Denominador formado por (9) B) D. Periódico Puro Denominador
formado por (9) y (0) C) D. Periódico Mixto Denominador
Formado por (0)
10. Que clase de decimal forma:
A) 4 2 D. Exacto B) 117 D. P. Puro C) 15 7 D. P. Mixto a) 3,62 = b) 6,3 = c) 3,618 = d) 0,357 = e) 0,357 = f) 0,357 =
12. Hallar la fracción generatriz de los siguientes
decimales periódico puro: a) 0,3 = b) 0,4 = c) 6,81 = d) 10,31 = e) 2,01 = f) 17, 36 =
13. Hallar la fracción generatriz de los siguientes
números decimales con periodo mixto: a) 7,623 = b) 7,623 = c) 7,623 = d) 2,413 = e) 3,143 = f) 0,123 =
14. Hallar la fracción generatriz de:
a) 7,39 = b) 6,86 = c) 7,423 = d) 6,359 = e) 0,127 = f) 1,34 = 15. Efectuar: 42 1 3 1 7 1 2 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,012 5) 0,175 2) 2,05 6) 6,12 3) 0,35 7) 10,1 4) 0,105 8) 12,25
2. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,63 6) 0,72 2) 0,711 7) 2,2
3) 5,6 8) 9,333...
4) 2,54 9) 1,1818... 5) 0,018 10) 0,756756....
3. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,17 6) 2,7666... 2) 0,56 7) 0,6343434... 3) 0,125 8) 2,15666... 4) 1,23 9) 0,0532 5) 3,165 10) 1,22363636...
4. Después de efectuar las operaciones indicadas a
continuación:
0,2121... – 0,1212... + 0,5666... Indicar el numerador de la fracción generatriz.
5. ¿Qué decimal se obtiene luego de efectuar
operaciones en: 4 1 3 : 2 1 3 1 4 1 ?
6. Después de efectuar las operaciones indicadas en
la expresión: 2 12 1 6 1 4 1 : 4 3 3 2
Indique el decimal que se obtiene.
7. Efectuar operaciones en:
(2-1 + 3-1) (3-1 + 4-1) (4-1 + 5-1)
Indique luego el número decimal que se obtiene.
8. Señalar la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones:
I. Si 2 1; entonces: 22 12
II. Como 5 -7; entonces: 52 (-7)2
III. Como –1 2; entonces: (-1)3 (2)3
9. 3 es un: a) Un número racional b) Un número no racional c) Un periódico puro d) Un decimal exacto e) Un periódico mixto 10. Al efectuar 0,666... – 7 2 el resultado tiene un período de:
a) 3 cifras b) 2 cifras c) 4 cifras d) 6 cifras e) No tiene período
11. Señalar la afirmación correcta:
I. Todo número racional se puede expresar como
b
a (b 0).
II. 0,555... es un número irracional. III. 0,777 0,77
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III
12. ¿A qué es igual la cuarta parte de E?
E = 0,25+ 30,001
a) Un décimo b) Un cuarto c) 4 décimos d) 2 décimos e) 1 centésimo 13. Efectuar 0,555… + 5 2 a) 7/9 b) 2/8 c) 7/10 d) 4/11 e) 7/11
14. Hallar la fracción generatriz de los siguientes
números decimales con periodo mixto: a) 7,634 b) 0,1567 c) 1,3456 d) 8,36 e) 7,56
15. Qué decimal se obtiene luego efectuar:
47 60 x 3 1 4 1 4 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
