MOMENTO LINEAL, FUERZA Y ENERGIA MECANICA
BERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad de Antioquia
Instituto de Física 2017
Índice general
2. Momento lineal, fuerza y energía mecánica 1
2.1. Introducción . . . 1
2.2. Aceleración de una partícula . . . 2
2.2.1. Vector aceleración (a) . . . . 2
2.2.2. Vector aceleración media (¯a) . . . . 2
2.2.3. Vector aceleración instantánea (a) . . . . 3
2.2.4. Aceleración en el movimiento rectilíneo . . . 4
2.2.5. Movimiento rectilíneo acelerado . . . 4
2.2.6. Movimiento rectilíneo desacelerado o retardado . . . 4
2.2.7. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) . . . 5
2.3. Cambio en el momento lineal y leyes de Newton . . . 7
2.3.1. Diagrama de cuerpo libre . . . 11
2.3.2. Fuerza neta, total o resultante de un sistema de fuerzas concurrentes . . . 13
2.3.3. Resultante de un sistema de fuerzas utilizando componentes rectangulares . 13 2.3.4. Movimiento vertical de los cuerpos . . . 20
2.3.5. Movimiento en un plano con aceleración constante . . . 22
2.3.6. Movimiento en un plano vertical debido a la interacción con la tierra . . . 22
2.3.7. Fuerza elástica . . . 27
2.4. Fuerza trabajo y energía . . . 28
2.4.1. Fuerza, desplazamiento y trabajo . . . 29
2.4.2. Trabajo y potencia . . . 32
2.4.3. Fuerza, trabajo y energía cinética(∆Ek) . . . 33
2.4.4. Casos particulares del teorema del trabajo y la energía . . . 34
2.5. Trabajo, fuerza conservativa y energía potencial . . . 36
2.5.1. Trabajo realizado por una fuerza constante . . . 36
2.5.2. Trabajo realizado por el peso de un cuerpo . . . 36
2.5.3. Trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte . . . 37
2.5.4. Fuerza conservativa y energía potencial . . . 37
2.6. Conservación de la energía para una partícula . . . 39
2.7. Derivada direccional, energía potencial y sistema conservativo . . . 41
2.8. Curvas de energía potencial . . . 43
2.9. Fuerza de fricción entre superficies en contacto . . . 45
2.9.1. Fuerza de fricción en fluidos . . . 52
2.10. Fuerza de fricción y sistema no conservativo . . . 53 3
2.11. ENUNCIADOS . . . 54
Bibliografía 64
Cap´ıtulo 2
Momento lineal, fuerza y energía mecánica
Competencias
En esta unidad se busca que el estudiante Defina, conceptual y matemáticamente, el vector aceleración de una partícula.
Distinga entre movimiento rectilíneo acele- rado y movimiento rectilíneo desacelerado.
Identifique y analice el movimiento rectilí- neo uniformemente acelerado.
Infiera la relación entre interacción y cam- bio en el momento lineal.
Enuncie, analice y aplique las leyes de Newton.
Analice situaciones físicas utilizando las le- yes de Newton.
Obtenga diagramas de cuerpo libre, en el caso de partículas.
Analice el movimiento de caída libre y el movimiento parabólico.
Defina, conceptual y matemáticamente, el trabajo realizado por una fuerza.
Obtenga y aplique el teorema del trabajo y la energía.
Enuncie y aplique la ley de Hooke.
Identifique la relación entre fuerza conser- vativa, energía potencial y derivada direc- cional.
Distinga entre fuerza conservativa y fuerza no conservativa.
Analice el efecto de la fuerza de fricción so- bre el movimiento de los cuerpos.
Distinga entre sistema conservativo y siste- ma no conservativo.
Enuncie y aplique la ley de conservación de la energía.
Analice situaciones físicas empleando los conceptos de trabajo y energía.
CONCEPTOS BASICOS
En esta unidad, se definirán y analizarán los si- guientes conceptos: Vector aceleración (a), Vec- tor fuerza (F), peso (W), diagrama de cuerpo li- bre, trabajo (W), teorema del Trabajo y la Ener- gía, sistema conservativo, energía potencial Ep, fuerza elástica, fuerza central, sistema no con- servativo y energía total E.
2.1. Introducción
Cuando se analiza el estado de reposo o de mo- vimiento de un cuerpo, es posible hacerlo por dos caminos o métodos diferentes, en uno ellos se utilizan las leyes de Newton y en el otro el
concepto de energía . Estos métodos se conocen en física como métodos dinámicos, ya que per- miten describir de manera adecuada los cam- bios en el estado de los cuerpos, tales como pa- sar del reposo al movimiento o de un movi- miento lento a un movimiento rápido.
2.2. Aceleración de una partícula
2.2.1. Vector aceleración (a)
La velocidad de un cuerpo, respecto a determi- nado sistema de referencia, puede cambiar só- lo en magnitud ó sólo en dirección ó simultá- neamente en magnitud y dirección. Cuando se presenta uno de estos cambios en el vector ve- locidad, o lo que es igual, en el vector momento lineal, se dice que el cuerpo adquiere una acele- ración. De este modo se puede afirmar: La acele- ración de un cuerpo se define como la rapidez con que cambia su vector velocidad al transcurrir el tiempo.
2.2.2. Vector aceleración media (¯a)
En la figura 2.1, la partícula en el tiempo tA se encuentra en el punto A y tiene una velocidad vAy en un instante posterior tB(tB >tA) se en- cuentra en el punto B y tiene una velocidad vB. La aceleración media ¯a durante el movimiento de A a B se define como el cambio de velocidad divi- dido entre el intervalo de tiempo correspondiente, es decir
¯a≡ ∆v∆t = vB−vA
tB−tA
, (2.1)
donde se observa que ¯a es un vector, ya que se obtiene dividiendo el vector ∆v con el escalar
∆t, o sea, que se caracteriza por su magnitud y dirección. Su dirección es la de∆v, que siempre apunta hacia la concavidad, y su magnitud está dada por|∆v/∆t|.
El vector ¯a es una aceleración media ya que no se ha dicho la forma como varía el vector velocidad durante el intervalo de tiempo∆t. Si durante este intervalo de tiempo no hay cambio en el vector velocidad, esto es, si el vector velocidad permanece constante, en magnitud y en dirección, entonces en todo el intervalo de
x y
O i
jA
B
v
BDv
v
Av
B- v
AFigura 2.1: Vector aceleración media.
tiempo∆v=0 y la aceleración sería cero.
Dimensiones y unidades del vector acelera- ción media
De acuerdo con la ecuación (2.1), las dimensio- nes del vector aceleración media son LT−2. Por consiguiente, las unidades son m·s−2en el sis- tema SI, cm·s−2en el sistema gaussiano, p·s−2 en el sistema inglés; y en general, cualquier uni- dad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado, tal como km·h−2.
Ejemplo 2.1 Una partícula pasa por el punto A en el instante tA y por el punto B en el instante tB. Determine el vector aceleración media de la partícula entre estos dos puntos, sabiendo que su vector velocidad está dado por v=i−2tj, donde v está dado en m·s−1y t en s.
Solución
En este caso, la velocidad de la partícula en el punto A está dada por vA = i−2tAjy en el punto B por vB=i−2tBj, o sea que el cambio en la velocidad es
∆v= −2(tB−tA)j. Reemplazando∆v y ∆t= tB− tA en la ecuación (2.1), se encuentra que el vector aceleración media es dado por
¯a=−(2 m·s−2)j.
Por el resultado obtenido, se tiene que la velocidad no cambia en la dirección del eje x y por ello no apa- rece componente de aceleración en dicha dirección, mientras que se presenta un cambio de velocidad en la dirección del eje y lo que hace que se presente una componente de aceleración en esta dirección.
Ejercicio 2.1 Una partícula, de masa 500 g, pasa por el punto A en el instante tA y por el punto B en el instante tB. Determine el vector aceleración media de la partícula entre estos dos puntos, sa- biendo que su vector momento lineal está dado por
p=2ti−1.5t2j, donde p está dado en kg·m·s−1y t en s.
2.2.3. Vector aceleración instantánea (a) Si una partícula se mueve de tal manera que su aceleración media, medida en varios intervalos de tiempo diferentes no resulta constante, se di- ce que se tiene una aceleración variable. La ace- leración puede variar bien sea en magnitud, en dirección o simultáneamente en magnitud y di- rección. En tales casos, se trata de determinar la aceleración de la partícula en un instante da- do cualquiera, llamada aceleración instantánea a y definida por
a= l´ım
∆t→0
∆v
∆t = dv dt = d
2r
dt2. (2.2) Si el vector velocidad en componentes rectan- gulares está dado por v= vxi+vyj, entonces el vector aceleración se expresa en la forma
a= dvx
dt i+dvy
dt j= axi+ayj. (2.3) De este modo su magnitud y dirección están da- das, respectivamente, por
a =
√
a2x+a2y y θ =tan−1ax
ay
.
x y
i j O
a axi
ayj q
Figura 2.2: Componentes rectangulares del vector aceleración.
Como se muestra en la figura 2.2, el vector aceleración siempre apunta hacia la concavidad de la trayectoria y en general no es tangente ni perpendicular a ella.
Las dimensiones y unidades del vector aceleración instantánea, o simplemente aceleración, son las mismas que las del vector aceleración media.
De la definición de aceleración, ecuación (2.2), se encuentra que
v=vo+
∫t
to
a(t)dt. (2.4)
Esta integral se puede resolver sólo si se conoce la forma como varía la aceleración con el tiem- po.
En el caso particular que el vector acelera- ción permanezca constante, en magnitud y di- rección, entonces
v=vo+a(t−to). (2.5) Reemplazando la ecuación (2.5) en la ecuación (1.7), luego de integrar y evaluar se llega a
r=ro+vo(t−to) + 12a(t−to)2. (2.6) Expresión que únicamente es válida si el vec- tor aceleración permanece constante mientras la partícula está en movimiento.
Ejemplo 2.2 Halle la aceleración de una partícula en función del tiempo, cuya velocidad respecto a determinado sistema de referencia, está dada por v=i−2tj.
Solución
Derivando la expresión anterior respecto al tiempo, se encuentra que la aceleración está dada por
a= (−2 m s−2)j.
Este resultado muestra que la aceleración de la par- tícula es una constante a lo largo de la dirección y, lo que se esperaba ya que coinciden la aceleración media (ejemplo 2.1) y la aceleración instantánea.
Ejercicio 2.2 Halle la aceleración, en función del tiempo, de una partícula de masa 500 g y cuyo vector momento lineal está dada por p=2ti−1.5t2j.
Ejemplo 2.3 Halle, en función del tiempo t , la velocidad de una partícula cuya aceleración está dada por a = (−2 m s−2)j, si vo = (1.0 m s−1)ien to =0.
Solución
Luego de reemplazar a y vo en la ecuación (2.4), al integrar y evaluar se llega a la expresión
v=i−2tj,
que es un resultado idéntico a la expresión dada en el ejemplo 2.2, como se esperaba.
Ejercicio 2.3 Halle, en función del tiempo t , el momento lineal de una partícula de masa 500 g y cu- ya aceleración está dada por a = 4i−6tj, si vo =0 en to=0. Compare con la expresión dada para v en el ejercicio 2.1
En el caso de una partícula que tenga movi- miento rectilíneo, la aceleración tendrá sólo una componente si se hace coincidir la trayectoria con un eje, bien sea el eje x o el eje y. En caso contrario, la aceleración tendrá dos componen- tes rectangulares.
2.2.4. Aceleración en el movimiento rec- tilíneo
De acuerdo con la definición de aceleración y para el caso de movimiento rectilíneo, con el eje de coordenadas coincidente con la trayectoria, un cuerpo posee aceleración si cambia la mag- nitud de la velocidad con el tiempo, es decir, si v = v(t). Teniendo en cuenta la definición de aceleración, esta corresponde a un vector cuya componente está dada por
a = dv
dt, (2.7)
donde la dirección coincide con la del movi- miento o con la opuesta, dependiendo de si la magnitud de la velocidad aumenta o disminu- ye con el tiempo. Igual que para la velocidad, el signo de la aceleración lo da el sistema de refe- rencia.
2.2.5. Movimiento rectilíneo acelerado Si la magnitud de la velocidad aumenta con el tiempo, se tiene movimiento rectilíneo acelerado, y en este caso la velocidad y la aceleración tie- nen el mismo sentido, como se ilustra en la figu- ra 2.3. Esta situación se presenta, por ejemplo,
O O
i
i x
x v >0
v < 0 v
v
a a
a < 0 a > 0
Figura 2.3: Movimiento rectilíneo acelerado.
cuando en un auto se aplica el pedal del acele- rador.
En síntesis, un cuerpo tiene movimiento recti- líneo acelerado, cuando tanto la velocidad como la aceleración tienen el mismo signo.
2.2.6. Movimiento rectilíneo desacelera- do o retardado
Cuando la magnitud de la velocidad disminu- ye con el tiempo, se tiene movimiento rectilí- neo desacelerado o retardado, es decir, cuan- do la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos, como se muestra en la figura 2.4. Es- ta situación se presenta, por ejemplo, cuando en un auto se aplican los frenos.
O O
i
i x
x v >0
v < 0 v
v
a a
a > 0 a < 0
Figura 2.4: Movimiento rectilíneo retardado.
En síntesis, un cuerpo tiene movimiento rec- tilíneo desacelerado o retardado, cuando la ve- locidad y la aceleración tienen signos opuestos.
Para movimiento en una dimensión, la ecua- ción (2.7) se puede escribir en forma integral y es posible resolverla si se conoce la forma fun-
cional de a(t).
v= vo+
∫t
to
a(t)dt. (2.8)
Ejercicio 2.4 Determine, en función del tiempo, la velocidad de una partícula que se mueve a lo lar- go del eje x, si la ecuación cinemática de aceleración está dada por a = 18t−8, con vo = −1 m s−1 en to =0.
2.2.7. Movimiento rectilíneo uniforme- mente acelerado (MRUA)
Este es un movimiento en el cual la magnitud de la aceleración permanece constante, es decir, a(t) = a = Constante. De este modo, la ecua- ción (2.8) toma la forma
v=vo+a(t−to), (2.9) que corresponde a la ecuación cinemática de velo- cidad para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
v v
vo
to
t O t
Area = Dx
Figura 2.5: Gráfica de la velocidad en función del tiempo para un MRUA.
La ecuación (2.9) corresponde a la ecuación de una línea recta, donde su pendiente es la magnitud de la aceleración del movimiento. En las figuras 2.5 y 2.6 se muestran las gráficas de velocidad y aceleración en función del tiempo, para el caso de movimiento rectilíneo uniforme- mente acelerado.
De la figura 2.5, se tiene que la pendiente de la gráfica de velocidad en función del tiempo está dada por:
Pendiente= v−vo
t−to
=a. (2.10)
Al comparar la ecuación (2.10) con la ecuación (2.9), se encuentra que la pendiente de la rec- ta corresponde a la aceleración de una partícula con movimiento rectilíneo uniformemente ace- lerado.
a a
to t
O t
Area = Dv
Figura 2.6: Gráfica de la aceleración en función del tiempo para un MRUA.
La ecuación cinemática de posición de una partícula con movimiento rectilíneo uniforme- mente acelerado, se obtiene al sustituir la ecua- ción (2.9) en la ecuación (1.8), donde al integrar y evaluar se llega a la expresión
x= xo+vo(t−to) +12a(t−to)2, (2.11) expresión que sólo es válida si la magnitud de la aceleración permanece constante.
x x
xA xo
O to tA t
t A
Figura 2.7: Gráfica de la posición en función del tiempo para un MRUA.
Cuando se grafica la posición de una partí- cula con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en función del tiempo, se obtiene una parábola cuya concavidad depende del signo de la aceleración. En la figura 2.7 se muestra la grá- fica en el caso de una aceleración positiva.
La pendiente de la recta tangente en un pun- to, tal como A en la figura 2.7, corresponde a la
velocidad de una partícula cuando pasa por la posición xA. En forma matemática
vA = dx
dt |x=xA.
Ejercicio 2.5 Demuestre que el área sombreada, en la gráfica de la figura 2.6, es igual al cambio en la velocidad∆v de una partícula en el intervalo de tiempo∆t=t−to, cuando se tiene movimiento rec- tilíneo uniformemente acelerado.
Ejercicio 2.6 Demuestre que el área sombreada, en la gráfica de la figura 2.5, es igual al desplaza- miento∆x de una partícula en el intervalo de tiem- po∆t = t−to, cuando tiene movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Ejemplo 2.4 Un autobús viaja con una rapidez de 60 km·h−1 a lo largo de una pista recta. El con- ductor del autobús ve una camioneta que se mueve delante de él a una distancia de 30 m y con una velocidad de 13.89 m·s−1. El conductor del autobús aplica los frenos a los 2 s de haber observado la ca- mioneta, generando una aceleración de 50 cm·s−2. a) Haga un diagrama ilustrativo de la situación pla- teada, incluyendo el sistema de referencia a emplear.
b) Plantee las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad que rigen el movimiento del autobús y de la camioneta. c) ¿El autobús alcanza la camioneta?
¿Por qué? d) Calcule el tiempo en que se detiene el autobús. e) Calcule la posición del autobús y de la camioneta en el instante que se detiene el autobús.
Solución
a) En la figura 2.8, se muestra un diagrama ilustrati- vo de la situación plateada, donde se incluye el sis- tema de referencia a emplear, la posición inicial de los cuerpos y sus sentidos de movimiento.
Movimiento Movimiento
O B 30
x(m)
A C
Figura 2.8: Cuerpos que se mueven en el mismo sen- tido.
En la figura 2.8 se considera la situación inicial de los móviles, y se toma el origen de coordenadas del sistema de referencia en la posición donde el con- ductor del autobús ve la camioneta. El punto B es la posición de la camioneta en el instante que el au- tobús aplica los frenos. De acuerdo con el enuncia- do, las cantidades dadas son voA = 60 km·h−1 ≡ 16.67 m·s−1, xoC = 30 m, vC = 13.89 m·s−1, tA = 2 s y a=−50 cm·s−2≡ −0.5 m·s−2.
b) Ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad para el autobús y para la camioneta:
Antes de aplicar los frenos, el autobús tiene movi- miento rectilíneo uniforme entre O y B. Así la ecua- ción (1.8), con to=0 y xo=0 adquiere la forma
x′A=16.67t. (1) A partir del punto B, en el autobús se aplican los fre- nos y este adquiere un movimiento rectilíneo unifor- memente retardado, por lo que la ecuación (2.11) se transforma en
xA=xB+16.67(t−2)−120.5(t−2)2. (2) En cambio, la camioneta se mueve con movimiento rectilíneo uniforme a partir de xoC = 30 m, por lo que la ecuación (1.8) se puede escribir como
xC=30+13.89t. (3) Ahora, reemplazando tA= 2 s en la ecuación (1), se tiene que la posición del autobús cuando aplica los frenos es
xB=33.34 m. (4)
O sea que al reemplazar la ecuación (4) en la ecua- ción (2), se tiene
xA=33.34+16.67(t−2)−120.5(t−2)2. (5) vA=16.67−0.5(t−2). (6) En las expresiones (3), (5) y (6), t es el tiempo medido a partir de la situación inicial del autobús y de la camioneta, mostrada en la figura.
c) Si el autobús y la camioneta se encuentran, su posición debe ser la misma. Por lo tanto, al igualar las ecuaciones (3) y (5), se llega a una expresión cua- drática en t, cuya solución es
t=7.56±√
−66.85,
que corresponde a soluciones físicamente no acepta- bles, ya que se obtiene un tiempo imaginario que no tiene significado dentro del marco de la física clási- ca. Lo anterior, permite concluir que el autobús y la camioneta no se encuentran.
d) Para hallar el tiempo que tarda el autobús en detenerse, la ecuación (6) se iguala a cero, lo que lle- va al resultado
t=35.34 s.
e) La posición de los móviles cuando se detiene el autobús, se encuentra reemplazando la ecuación (7) en las ecuaciones (3) y (5). De este modo se obtiene
xA=311.23 m y xC=520.87 m.
El resultado anterior muestra que cuando el autobús se detiene, la camioneta se encuentra 209.64m delan- te de él. Esto significa que el autobús, mientras se encuentra en movimiento, está atrás de la camioneta y por consiguiente no es posible que se encuentren como se concluyó en el numeral c).
Ejercicio 2.7 Un auto viaja a 16.67 m·s−1a lo lar- go de una pista recta. El conductor del auto ve un ca- mión que viaja delante de él a una distancia de 5 m y con una velocidad de 40 km·h−1. El conductor del auto aplica los frenos a los 0.5 s de haber observado el camión, generando una aceleración de 50 cm·s−2. a) Haga un diagrama ilustrativo de la situación pla- teada, incluyendo el sistema de referencia a emplear.
b) Plantee las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad que rigen el movimiento del auto y del ca- mión. c) ¿El auto alcanza al camión? ¿Por qué? d) Calcule el tiempo en que se detiene el auto. e) Cal- cule la posición del auto y del camión en el instante que se detiene el auto. f) Analice completamente los resultados obtenidos.
2.3. Cambio en el momento lineal y leyes de Newton
En esta sección, se obtendrá la forma matemá- tica de las leyes que rigen el cambio en el es- tado de reposo o de movimiento de un cuerpo.
A partir de estas leyes y con ayuda de los con- ceptos vistos hasta ahora para una partícula, es posible llegar a conocer la forma como varía la posición de una partícula con el tiempo [r(t)], es decir, es posible resolver completamente el pro- blema dinámico de una partícula.
De acuerdo con la situación considerada en el primer experimento de la sección 1.9.1, el cuer- po permanecerá con movimiento rectilíneo uni- forme, momento lineal constante, mientras nin- gún otro cuerpo interactúe con él, o lo que es igual, mientras ningún otro cuerpo lo obligue a cambiar dicho estado. La experiencia también muestra que un cuerpo permanece en reposo sobre una superficie, hasta que llegue otro cuer- po y lo obligue a moverse. En cualquiera de los dos casos, esto significa que su momento lineal no cambia o lo que es igual que su aceleración es nula, ya que al no cambiar su momento lineal, no cambia su velocidad. Cuando se presenta una de estas dos situaciones, (reposo o MRU) se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio me- cánico y se habla de equilibrio estático si el cuerpo está en reposo, y de equilibrio dinámico o cinético si el cuerpo tiene movimiento rectilíneo unifor-
me.
También puede ocurrir que un cuerpo, inte- ractuando con varios cuerpos simultáneamen- te, permanezca en estado de equilibrio. En es- te caso, se presenta una situación en la cual las interacciones se anulan entre sí, en otras pala- bras, el efecto de todas las interacciones es nulo.
Por ejemplo, una lámpara suspendida del techo mediante una cuerda, se encuentra en estado de equilibrio estático, aunque interactúa simultá- neamente con la cuerda y la tierra. Igualmente, en el caso de un auto que se mueve sobre una superficie con MRU, está en equilibrio dinámi- co ó cinético, aunque simultáneamente está in- teractuando con la tierra, con el piso y con el aire.
En lenguaje matemático, cualquiera de los dos estados considerados anteriormente, repo- so y MRU, se pueden expresar en la forma
v=0 v=Constante, es decir a=0.
O lo que es igual
p=0 p=Constante, es decir a=0.
Esta es la forma matemática de expresar la Primera ley de Newton, también conocida como la ley de inercia, que en palabras se puede enun- ciar en la forma:
Todo cuerpo permanecerá en un estado de equili- brio mecánico, mientras no interactúe con ningún otro cuerpo o al interactuar con otros cuerpos la in- teracción neta es nula.
Como el movimiento de un cuerpo depende del observador, o lo que es igual del sistema de referencia correspondiente, esta ley es práctica- mente un enunciado relativo a sistemas de refe- rencia, ya que al enunciarla hay que especificar respecto a cuál sistema de referencia la partícu- la se encuentra en estado de reposo o de movi- miento rectilíneo uniforme. Para que un cuerpo pueda estar en reposo o tener MRU, el sistema de referencia debe ser tal que su aceleración sea cero. A un sistema de este tipo se le conoce co- mo sistema de referencia inercial y al observador ligado a dicho sistema de referencia se le cono- ce como observador inercial. El concepto de siste- ma de referencia inercial es de mucha utilidad,
ya que uno de los modelos que se discutirá para resolver el problema dinámico de una partícula, solo es válido respecto a este tipo de sistemas de referencia.
Se acostumbra definir un sistema de referen- cia inercial, como aquel que se encuentra en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme respecto a la tierra, ya que esta se toma apro- ximadamente como un sistema de referencia inercial, pues estrictamente no lo es. Como consecuencia de esta definición, se tiene que todo sistema de referencia en reposo o con un movimiento rectilíneo uniforme, respecto a un sistema de referencia inercial, también es un sistema de referencia inercial.
En síntesis: La ley de inercia únicamente es válida respecto a sistemas de referencia inerciales.
Pregunta 2.1 ¿Por qué se afirma que la tierra real- mente no es un sistema de referencia inercial, aun- que aproximadamente sí lo es?
A los sistemas de referencia con aceleración diferente de cero o momento lineal variable, se les conoce como sistemas de referencia acelerados o sistemas de referencia no inerciales. Respecto a estos sistemas, no tienen validez las leyes Newton.
A continuación se consideran situaciones co- munes, en las que se manifiesta la ley de inercia.
1. En la figura 2.9, se muestra un cuerpo en reposo respecto a una superficie horizontal.
O
v = 0 y
x
Figura 2.9: Cuerpo en reposo sobre una superficie horizontal.
Como el cuerpo está en reposo respecto al pi- so, su momento lineal respecto al piso es ce- ro. Necesariamente, el cuerpo permanecerá en
reposo mientras ningún otro cuerpo interactúe con él, obligándolo a cambiar de estado, es de- cir, obligándolo a moverse sobre la superficie.
Si el cuerpo corresponde a un auto con sus pasajeros, cuando este arranca, los pasajeros se mueven hacia el espaldar de la silla, ya que por la ley de inercia, cuando acelera el auto, los pasajeros tienden a continuar en el estado de velocidad cero, esto es, en reposo.
2. En la figura 2.10, se tiene un cuerpo sobre una superficie horizontal lisa y con movimiento rectilíneo uniforme, respecto a dicha superficie.
O
v = constante y
x
Figura 2.10: Cuerpo en movimiento sobre una su- perficie horizontal.
En este caso, el cuerpo continúa moviéndose con el mismo momento lineal o la misma velo- cidad, mientras no interactúe con ningún otro cuerpo.
Si el cuerpo corresponde a un auto con sus pasajeros, cuando este acelera, la ley de inercia se manifiesta cuando el cuerpo presiona el es- paldar de la silla, debido a la rapidez menor que se tenía en el instante de acelerar.
Por otro lado, cuando frena ocurre lo con- trario debido a la ley de inercia, ya que los pasajeros tienen un movimiento involuntario en el sentido de movimiento, debido a la velocidad mayor que se tenía en el instante de frenar.
3. Para no caer de narices al piso, ¿qué debe hacer una persona cuando se baja de un autobús en movimiento?
Si una persona desciende de un autobús en movimiento, en el instante que tiene contacto con el pavimento, debe correr en el mismo sen- tido del auto para no caer al piso. Esto se de- be hacer, ya que por la ley de inercia la persona
continúa con la velocidad que tenía en el ins- tante de bajarse. Cuando una persona no lleva a cabo esta acción, lo más seguro es que cae de narices al piso.
Pregunta 2.2 Suponga que se encuentra en el in- terior de un ascensor. ¿Qué se percibe cuando el as- censor, arranca ascendiendo y arranca descendien- do? Explique sus respuestas a la luz de la Primera ley de Newton.
La primera ley de Newton o ley de inercia tam- bién se relaciona con el concepto de masa. Para ello, se consideran los cuerpos de masas M y m (M >m), mostrados en las figuras 2.11 y 2.12.
- Cuando los dos cuerpos se encuentran en re- poso, respecto a un observador inercial fijo al pi- so, ¿a cuál es más difícil cambiarle su estado de reposo?
y
x v =0 v =0
M m
Figura 2.11: Cuerpos en reposo.
La experiencia muestra que es más difícil cambiar el estado del cuerpo que tiene mayor masa. De este modo, el cuerpo de masa M pre- senta más oposición o resistencia a cambiar de estado, en otras palabras, el cuerpo de masa M tiene mayor tendencia a continuar en reposo. En conclusión, el cuerpo de masa M tiene mayor inercia que el cuerpo de masa m.
Actividad:
Trate de mover una silla vacía y luego una silla con una persona sentada en ella.
¿Nota la diferencia?
- Si los dos cuerpos se mueven con igual velo- cidad respecto a un sistema de referencia fijo al piso, ¿cuál es más difícil llevar al estado de re- poso?
Igual que en el caso anterior, el cuerpo de masa M tiene una mayor tendencia a continuar
y
x v
M m
v
Figura 2.12: Cuerpos en movimiento.
con movimiento rectilíneo uniforme, es decir, que este cuerpo posee mayor inercia.
De estos dos casos, se puede inferir que la ma- sa es una medida de la inercia de los cuerpos.
Esto es, la masa es una medida de la resistencia que presentan los cuerpos al cambio de estado y presenta mayor inercia o resistencia el cuerpo que tiene mayor masa. En este sentido, como se analiza en el tema de la gravitación universal, hay distinción entre los conceptos de masa iner- cial y masa gravitacional.
Para la situación considerada en la figura 1.20, las partículas interactúan durante un intervalo de tiempo ∆t = t′−t. Al dividir la ecuación (1.18) por∆t, se tiene
∆p1
∆t =−∆p∆t2. (2.12) Si, además, se hace que ∆t → 0, la ecuación (2.12) se puede escribir en la forma
∆tl´ım→0
∆p1
∆t =− l´ım
∆t→0
∆p2
∆t , y por definición de derivada se obtiene
dp1
dt =−dp2
dt . (2.13)
La ecuación (2.13) muestra que las variaciones respecto al tiempo, del momento lineal de las dos partículas, son iguales y opuestas.
La fuerza que actúa sobre la partícula 1, debi- do a su interacción con la partícula 2, se define como el cambio con respecto al tiempo del vec- tor momento lineal de la partícula 1, esto es, la fuerza que actúa sobre la partícula 1 es
F1 = dp1
dt . (2.14)
La ecuación (2.14), es la forma matemática de expresar la interacción de la partícula 2 sobre la partícula 1, y se conoce como la segunda ley de Newton, ley de fuerza ó ecuación de movimiento.
Como m1es la masa de la partícula 1, su mo- mento lineal es p1 = m1v1 y la ecuación (2.14) se transforma en
F1= d
dt(m1v1). (2.15) Si la masa m1es constante, la ecuación (2.15) se convierte en
F1 = m1dv1 dt
= m1a1. (2.16) Para el caso particular de masa constante, la se- gunda ley de Newton queda dada entonces por la ecuación (2.16).
Generalmente, la segunda ley de Newton se refiere al caso de una partícula sobre la que ac- túan varias fuerzas simultáneamente, siendo F la fuerza neta, total ó resultante de las fuerzas aplicadas. Además, cada fuerza representa la interacción de la partícula con otra.
Así, cuando el momento lineal de una partí- cula cambia con el tiempo, es porque sobre la partícula actúa una fuerza neta diferente de ce- ro. En adelante, la interacción ó acción del me- dio ambiente sobre una partícula se representa matemáticamente mediante el concepto de fuer- za ( F ).
A la recta infinita sobre la que actúa una fuerza se le denomina línea de acción de la fuerza.
Dimensiones y unidades de fuerza
De acuerdo con la definición del vector fuerza, se tiene que sus dimensiones corresponden al cociente de las dimensiones del vector momen- to lineal con la dimensión de tiempo, es decir [F] = [dp] [dt]−1 = MLT−2. Por ello, las unida- des correspondientes son kg·m·s−2en el siste- ma internacional de unidades, donde se define el Newton en la forma 1 kg·m·s−2≡1 N. En el sistema gaussiano la unidad es g·cm·s−2don- de se utiliza la definición 1 g·cm·s−2≡1 dina.
En el sistema inglés la unidad es la lb y su re- lación con el sistema de unidades SI está dada por 1 lb≡4.448 N.
Otra unidad que es utilizada algunas veces es el kilogramo fuerza, definido como 1 kgf ≡ 9.8 N.
La relación entre la unidad de fuerza en el sis- tema SI y el sistema gaussiano está dada por 1 N≡105dinas.
De las ecuaciones (2.13) y (2.14) se tiene que
F1 =−F2 (2.17)
La ecuación (2.17), es la forma matemática de expresar la tercera ley de Newton y se puede enunciar en la forma
La fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícu- la 2 es igual en magnitud, igual en dirección, pero opuesta en sentido a la fuerza que la partícula 2 ejer- ce sobre la partícula 1.
F
1F
21
2
Figura 2.13: Par acción-reacción.
Es costumbre decir que F1y F2forman un par acción-reacción.
Las dos fuerzas que conforman un par acción- reacción, como el mostrado en la figura 2.13, cumple simultáneamente las siguientes condi- ciones
1. Aparecen simultáneamente.
2. Nunca actúan sobre el mismo cuerpo, sino una sobre cada uno de los cuerpos.
3. Intervienen mientras los cuerpos interac- túan.
4. Tienen la misma línea de acción.
Las condiciones anteriores, permiten concluir que, en el universo no existen fuerzas aisladas, sino que siempre aparecen por parejas (pares acción- reacción), o sea, un cuerpo no puede autoacelerarse.
La ley de acción y reacción se manifiesta en muchas situaciones comunes. Por ejemplo,
cuando con el pie se le da a una piedra, si la fuerza que se ejerce sobre ella es la acción, en- tonces la reacción corresponde a la fuerza que la piedra ejerce sobre el pie y es la responsable del dolor que puede presentarse una vez que esta situación ocurre. ¿Por qué se le hecha la culpa a la piedra, si ella solo responde a la acción que ejercemos sobre ella?
2.3.1. Diagrama de cuerpo libre
En esta unidad se han considerado las causas por las que cambia el estado de reposo ó de mo- vimiento de un cuerpo, cuando este interactúa con otros cuerpos.
Para su estudio, se dispone de los conceptos descritos y analizados hasta este momento en el curso. Sólo se ha considerado el movimiento de traslación de los cuerpos, o sea, que estos se pueden tratar bajo el modelo de partícula.
Ahora, cuando se va a analizar el comporta- miento dinámico de un cuerpo, lo primero que se hace es llevar a cabo los siguientes pasos:
Definir un sistema, que generalmente está formado por varios cuerpos.
Elegir, del sistema, el cuerpo al cual se le va a analizar el estado de reposo o de movi- miento, es decir, el cuerpo o partícula de inte- rés.
Delimitar el medio ambiente o alrededores, for- mado por el resto del sistema, o sea, por los cuerpos cercanos que interactúan con el cuerpo de interés.
Para aclarar los pasos anteriores, se conside- ran las siguientes situaciones
1. Sistema cuerpo-tierra: Proyectil que se lanza desde el punto A con una velocidad que forma un ángulo no nulo con la horizontal.
Para el sistema de la figura 2.14, tomando el proyectil como cuerpo o partícula de in- terés, los alrededores lo conforman el aire y la tierra.
A vo
Tierra q
Figura 2.14: Proyectil lanzado desde el punto A.
2. Sistema masa-resorte: Bloque sujeto a un re- sorte y en movimiento sobre una superficie plana. Para el sistema de la figura 2.15a) ó 2.15b), si el bloque se toma como cuerpo o partícula de interés, los alrededores lo con- formarán el resorte, la superficie plana, el aire y la tierra.
(a)
(b)
Movimiento
Movimiento
Figura 2.15: Bloque sujeto a un resorte sobre una superficie a) horizontal, b) inclinada.
3. Sistema satélite-tierra: Satélite que rota alre- dedor de la tierra. En el sistema de la figura 2.16, el cuerpo o partícula de interés puede ser el satélite, o sea que el medio ambiente corresponde a la tierra.
En los tres casos anteriores, se observa que los alrededores sólo incluyen el medio o los cuer- pos más cercanos al cuerpo de interés, ya que los efectos de los cuerpos más alejados general- mente son insignificantes. De este modo, en es- tas situaciones o en cualquier otra, lo que se bus- ca es analizar la forma como es afectado el mo- vimiento de traslación del cuerpo de interés por
T v S
Figura 2.16: Satélite que rota alrededor de la tierra.
los alrededores. Así, el movimiento del cuerpo queda determinado por la acción del medio am- biente sobre él.
Para poder llevar a cabo lo anterior, es nece- sario hacer lo que se conoce como diagrama de cuerpo libre (DCL), que consiste en tomar el cuer- po de interés y reemplazar la interacción de él con cada cuerpo de sus alrededores por el vec- tor fuerza correspondiente.
A continuación se muestran los diagramas de cuerpo libre para cada uno de los casos anterio- res.
1. Sistema cuerpo-tierra: En la figura 2.17, se muestra el diagrama de cuerpo libre para el proyectil, en varias posiciones de su tra- yectoria, donde sólo se considera una fuer- za ya que se ha considerado la interacción del proyectil únicamente con la tierra.
A
Tierra Mg
Mg Mg
Mg Mg
Mg
Figura 2.17: Proyectil lanzado desde el punto A.
Acá se tiene el caso de un cuerpo de ma- sa M, que se mueve sometido a la fuerza que le ejerce la tierra, por lo que está so- metido a una aceleración conocida como la aceleración de la gravedad g, con un valor experimental de 9.8 m·s−2en el sistema de unidades SI y 32.2 p·s−2 en el sistema in- glés. Por consiguiente, la fuerza que la tie-
rra ejerce sobre dicho cuerpo, comúnmente llamada peso, está dada por
F=W=mg
El peso es una propiedad característica de todo cuerpo, independientemente que se encuentre en reposo o en movimiento, res- pecto a un observador inercial, como se ilustra en la figura 2.18.
O
O
(a)
(b) m m
Movimiento W= Mg
W= Mg v = 0
y
x y
x
Figura 2.18: Peso de un cuerpo: a) en reposo b) en movimiento.
2. Sistema masa-resorte: Para el caso de las si- tuaciones mostradas en las figuras 2.15(a) y 2.15(b), en las figuras 2.19(a)y (b) se tiene el diagrama de cuerpo libre para el bloque, donde la fuerza Fe conocida como fuerza elástica, se debe a la interacción del blo- que con el resorte, la fuerza Mg definida como el peso del cuerpo, debido a su inter- acción con la tierra y la fuerza N conocida como normal, es la fuerza que la superficie ejerce perpendicularmente sobre el cuerpo.
A la última fuerza se le conoce como nor- mal, ya que siempre es perpendicular a la superficie que la genera. En este diagrama de cuerpo libre no se han tenido en cuenta los efectos del aire, que se estudiarán pos- teriormente.
Más adelante se considera con mayor de- talle la fuerza que ejerce un resorte cuando interactúa con un cuerpo.
(a)
(b)
Movimiento
Movimiento
Mg Fe
N
Mg Fe
N
Figura 2.19: Bloque sujeto a un resorte sobre una superficie a) horizontal, b) inclinada.
3. Sistema Satélite-Tierra: El diagrama de cuer- po libre, teniendo en cuenta que el Satélite que rota alrededor de la Tierra es el cuerpo de interés, se muestra en la figura 2.20. En este caso, el medio ambiente corresponde a la Tierra.
T S F
Figura 2.20: Satélite que rota alrededor de la Tierra.
La línea de acción de la fuerza que ejerce la Tierra sobre el Satélite, pasa por el cen- tro de la tierra, independientemente de la posición del Satélite en su trayectoria.
Como se verá en lo que sigue, el objetivo últi- mo de la dinámica es poder predecir, en un pro- blema mecánico específico, cómo se seguirá mo- viendo una partícula cuando sus alrededores y condiciones iniciales se conocen. Una vez reali- zado lo anterior, se dice que se ha resuelto com- pletamente el problema dinámico, lo que mate- máticamente equivale a conocer la forma como
varía el vector posición con el tiempo, es decir, conocer la forma explícita de r(t).
Pregunta 2.3 ¿La figura 2.18 corresponde al dia- grama de cuerpo libre para el cuerpo de masa M?
Explique.
2.3.2. Fuerza neta, total o resultante de un sistema de fuerzas concurrentes Debido a la interacción con otros cuerpos, al cuerpo de la figura 2.21 se le aplican varias fuer- zas en el punto A, es decir, las fuerzas son con- currentes. Es posible reemplazar este sistema de fuerzas por una sola fuerza, llamada resultan- te, que produce el mismo efecto que las fuerzas concurrentes simultáneamente aplicadas.
A
A
F
4A
F
F
3F
2F
1Figura 2.21: Fuerzas concurrentes sobre un cuerpo.
Matemáticamente se opera de acuerdo con las reglas de la geometría vectorial, ya que en es- te caso se cumple el principio de superposición, que afirma: La resultante de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo, es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas simultáneamente aplicadas al cuer- po. Esta es la operación inversa a la descompo- sición de fuerzas. esto es
F = F1+F2+F3+. . .
=
∑
Fi= dp dt
2.3.3. Resultante de un sistema de fuer- zas utilizando componentes rec- tangulares
Suponiendo que sobre la partícula de la figura 2.22, actúan varias fuerzas necesariamente con-
currentes, se tiene
F = F1+F2+F3+. . .
= dp dt
=
∑
Fi=
∑
(Fxii+Fyij+Fzik)= (
∑
Fxi)i+ (∑
Fyi)j+ (∑
Fzi)k.A F F4
F3
F2
F1
A
x
y
x
y Fyj
Fxi
z z
FZk
Figura 2.22: Resultante de varias fuerzas.
Como en general se tiene que la resultante es- tá dada por
F= Fxi+Fyj+Fzk,
igualando componentes, por ser los vectores unitarios i, j y k linealmente independientes, se encuentra que
Fx =
∑
Fxi,Fy =
∑
Fyi.Fz =
∑
Fzi.En el caso de dos dimensiones, si se cono- cen las componentes de cada fuerza coplanar, la magnitud de la resultante se obtiene mediante la aplicación del teorema de Pitágoras
F =
√
Fx2+Fy2
y para su dirección, se acostumbra emplear la definición de la función trigonométrica tangen- te
tanθ = Fy Fx
Para analizar el caso de tres dimensiones, se considera la figura 2.23, en la que F es la re- sultante de un sistema de fuerzas espaciales, la cual tiene componentes en tres dimensiones pa- ra el caso más general. En la figura 2.22 se ha
A F
x
y z
Figura 2.23: Resultante en tres dimensiones.
tomado el origen del sistema de coordenadas, coincidente con el punto A de concurrencia de las fuerzas componentes.
Esta fuerza se puede descomponer en una componente paralela al eje z, Fzk, y otra compo- nente paralela al plano xy, Fh, como se ilustra en la figura 2.24.
A F
x
y z
Fzk
Fh q
Figura 2.24: Resultante en tres dimensiones.
Las magnitudes de estas componentes están dadas por
Fz = F cosθ (2.18)
Fh = F senθ. (2.19) De este modo, utilizando la figura 2.23, se tie- ne que el cuadrado de la magnitud de la fuerza neta está dada por
F2= Fh2+Fz2. (2.20) Adicionalmente, la componente Fh paralela al plano xy se descompone en sus componentes rectangulares Fxiy Fyjcomo lo muestra la figura 2.25.
La magnitud de las componentes rectangula- res de Fh, están dadas respectivamente, por
Fx = Fh senφ (2.21) Fy = Fh cosφ. (2.22)
A F
x
y z
Fzk
Fh
q Fxi j
Fyj
Figura 2.25: Resultante en tres dimensiones.
Por lo tanto, la magnitud de la componente Fhal cuadrado, de acuerdo con la figura 2.25, es Fh2 = Fx2+Fy2. (2.23) Donde al reemplazar la ecuación (2.23) en la ecuación (2.20), se tiene que la magnitud de la fuerza resultante se obtiene mediante la expre- sión
F=
√
Fx2+Fy2+Fz2.
Donde la magnitud de cada componente se en- cuentra al reemplazar la ecuación (2.19) en las ecuaciones (2.21) y (2.22), junto con la ecuación (2.18) se llega finalmente a
Fx = F senθ sen φ.
Fy = F senθ cos φ.
Fz = F cosθ. (2.24)
En las ecuaciones (2.24), se expresa la magnitud de las componentes en función del ángulo que forma la fuerza resultante con el eje z y del án- gulo que forma la componente horizontal con el eje y. Otra forma es expresar las componentes rectangulares en función de la magnitud de la resultante y de los ángulos que forma la fuerza total con cada uno de los ejes, como se ilustra en la figura 2.26.
Dondeα es el ángulo que forma la resultante con el eje x,β con el eje y y γ con el eje z.
De acuerdo con la figura 2.26, la fuerza neta tiene componentes en las tres direcciones per- pendiculares, de tal manera que se puede expre- sar en la forma
F = Fxi+Fyj+Fzk,
F = (F cosα)i+ (F cosβ)j+ (F cosγ)k, F = F(cosαi+cosβj+cosγk),
F = F ˆλ. (2.25)
A F
x
y z
a b
g
Figura 2.26: Angulos que forma la resultante con cada eje.
Teniendo en cuenta la figura 2.27, en la ecua- ción (2.25) se ha expresado la fuerza resultante en función del ángulo que forma el vector con cada eje de coordenadas y se ha definido el vec- tor unitarioλ, que en componentes rectangula- res queda expresado por
A F
x
y z
a b
g l
Figura 2.27: Vector unitario paralelo a la fuerza re- sultante.
λ= (cosα)i+ (cosβ)j+ (cosγ)k,
. (2.26) Ahora, como λ tiene magnitud 1 por ser un vector unitario, se satisface la relación
1=λx2+λy2+λz2. (2.27) Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.26) y (2.27), se tiene que los ángulos que forma la fuerza resultante con los ejes coordenados no son independientes, sino que cumplen la con- dición
cos2α+cos2β+cos2γ=1. (2.28) En las ecuaciones (2.25), (2.26) y (2.28), los tér- minos cosα, cos β y cos γ, se conocen como co- senos directores de la fuerza neta F, los cuales permiten conocer sus componentes rectangula- res, de acuerdo con la ecuación (2.25).
Es importante hacer énfasis en el hecho que la fuerza resultante, fuerza neta o fuerza total F, es físicamente equivalente, o sea que genera los mismos efectos físicos que las fuerzas F1, F2, F3 y F4aplicadas simultáneamente al cuerpo de la figura 2.21.
Pautas generales a seguir en la solución de si- tuaciones físicas, relacionadas con la dinámica de una partícula Hasta este momento, en esta unidad se han definido y analizado los concep- tos: de aceleración como consecuencia del cam- bio en la velocidad, de fuerza como causa del cambio en el momento lineal, de diagrama de cuerpo libre donde se consideran todas las in- teracciones del cuerpo de interés con otros cuer- pos y de fuerza resultante como la suma vec- torial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Estos conceptos constituyen el primer método que permite resolver completamente el problema dinámico de una partícula, donde se deben tener en cuenta las siguientes pautas en la solución de diferentes situaciones físicas a re- solver.
1. Tener claridad sobre la situación planteada en el enunciado, identificando las cantida- des dadas, las cantidades conocidas y las incógnitas a obtener.
2. Si no es dado, hacer un diagrama ilustrati- vo de la situación física que se ha plantea- do, y en el cual se muestren las condiciones físicas del problema. A este diagrama se le conoce como diagrama espacial.
3. Elegir el cuerpo de interés y hacer un dia- grama que muestre todas las fuerzas que actúen sobre él, esto es, hacer el diagrama de cuerpo libre.
4. Elegir un sistema de referencia adecuado que facilite la solución del problema, en lu- gar de generar complejidad.
5. De acuerdo con el sistema de referencia ele- gido, plantear las ecuaciones de movimien- to que garanticen la situación planteada.
6. Resolver el sistema de ecuaciones simultá- neas encontrado, con el fin de obtener la in-
formación solicitada. De ser posible, resol- verlo en forma literal, ya que esto permi- te hacer un análisis del resultado y permite verificar si las dimensiones son correctas.
7. Dar los resultados numéricos, con las uni- dades adecuadas.
Ejemplo 2.5 Sobre una partícula de masa 3.0 kg, actúan cuatro fuerzas como se indica en la figura 2.28. a) Calcular la fuerza neta o resultante que ac- túa sobre la partícula. b) Calcular la aceleración de la partícula. c) Escribir las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad, si la partícula parte del origen con velocidad inicial cero. d) Obtener la ecuación de la trayectoria seguida por la partícula.
F4= 50 N F2= 5 N F1= 10 N
x y
37o 30o 50o
20o F3=100 N
Figura 2.28: Fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
Solución
Este es un caso en el cual se da directamente el dia- grama de cuerpo libre, es decir, no se muestran los cuerpos que conforman los alrededores, sino sus in- teracciones con la partícula de interés.
a) En el caso de dos dimensiones, la fuerza neta o resultante F=F1+F2+F3+F4, se obtiene hallando sus componentes rectangulares Fxy Fy, teniendo en cuenta el sistema de referencia mostrado.
De este modo, la componente en x de la resultan- te, adquiere el valor
Fx = →+
∑
Fix= −41.53 N.
Igualmente, la componente en y de la resultante, está dada por
Fy = +↑
∑
Fiy= −114.6 N.
Lo cual permite expresar la fuerza neta en compo- nentes las rectangulares
F= (−41.53i−114.6j)N
Por lo que su magnitud está dada por F =121.89 N y su dirección, mostrada en la figura 2.29, porθ = 70.08o.
