• No se han encontrado resultados

Matemáticas I Bachillerato Internacional. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Matemáticas I Bachillerato Internacional. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid"

Copied!
131
0
0

Texto completo

(1)

www.fiv

e-fingers.es

Matem´ aticas I

Bachillerato Internacional

Jes´ us Garc´ıa de Jal´ on de la Fuente IES Ramiro de Maeztu

Madrid

2017-2018

(2)

www.fiv

e-fingers.es

(3)

www.fiv

e-fingers.es

´ Indice general

1. Ra´ıces y logaritmos 7

1.1. Potencias. . . 7

1.2. Ra´ıces. . . 8

1.3. Las ra´ıces como potencias de exponente fraccionario. . . 9

1.4. Operaciones con radicales. . . 10

1.5. Logaritmos. . . 11

1.6. Propiedades de las logaritmos. . . 11

1.7. Cambio de base. . . 12

1.8. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas. . . 13

2. Combinatoria 15 2.1. Combinatoria. . . 15

2.2. Variaciones y permutaciones. . . 16

2.3. Combinaciones. . . 17

2.4. N´umeros combinatorios. Binomio de Newton. . . 18

2.5. Variaciones y permutaciones con repetici´on. . . 19

2.6. Inducci´on matem´atica . . . 20

3. Polinomios y ecuaciones 23 3.1. Polinomios. Valor num´erico. . . 23

3.2. Ra´ıces de un polinomio. . . 24

3.3. Teoremas del factor y del resto. . . 24

3.4. Descomposici´on factorial de un polinomio de segundo grado. . . 25

3.5. Regla de Ruffini. . . 26

3.6. Ecuaciones de primer grado. . . 27

3.7. Ecuaciones de segundo grado. . . 28

3.8. Ecuaciones irracionales. . . 29 3

(4)

www.fiv

e-fingers.es

4 ´INDICE GENERAL

3.9. Ecuaciones de grado superior al segundo. . . 29

3.10. Relaciones de Cardano. . . 30

3.11. Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas. . . 30

3.12. Inecuaciones. . . 31

4. Trigonometr´ıa 35 4.1. ´Angulos . . . 35

4.2. Razones trigonom´etricas de ´angulos agudos . . . 36

4.3. La escuadra y el cartab´on . . . 37

4.4. Razones trigonom´etricas de ´angulos cualesquiera . . . 37

4.5. Resoluci´on de tri´angulos . . . 39

4.6. ´Area de un tri´angulo . . . 41

4.7. Reducci´on al primer cuadrante . . . 42

4.8. Suma de ´angulos . . . 44

4.9. ´Angulo doble y ´angulo mitad . . . 45

4.10. F´ormulas de transformaci´on en producto . . . 45

4.11. Funciones circulares. . . 46

4.12. La f´ormula de Her´on . . . 46

5. N´umeros complejos 49 5.1. Cuerpos . . . 49

5.2. N´umeros complejos . . . 50

5.3. Operaciones con complejos en forma bin´omica . . . 51

5.4. Potencia y ra´ız cuadrada en forma bin´omica . . . 52

5.5. Forma polar y trigonom´etrica del n´umero complejo . . . 53

5.6. Producto y cociente en forma trigonom´etrica . . . 55

5.7. Potencia y ra´ız en forma polar . . . 56

5.8. Forma exponencial de un n´umero complejo . . . 57

5.9. N´umeros complejos y transformaciones geom´etricas . . . 58

6. Geometr´ıa 61 6.1. Ecuaci´on punto-pendiente y expl´ıcita de la recta. . . 61

6.2. Ecuaci´on can´onica o segmentaria. . . 63

6.3. Ecuaci´on general o impl´ıcita. . . 64

6.4. Posici´on relativa de dos rectas. . . 65

6.5. ´Angulo de dos rectas . . . 66

(5)

www.fiv

e-fingers.es

´INDICE GENERAL 5

6.6. Distancias . . . 67

6.7. Mediatriz y bisectriz . . . 69

6.8. Vectores . . . 70

6.9. Otras formas de la ecuaci´on de la recta . . . 72

6.10. C´onicas . . . 74

6.10.1. Circunferencia . . . 74

6.10.2. Elipse . . . 75

6.10.3. Hip´erbola . . . 76

6.10.4. Par´abola . . . 76

7. Estadistica 79 7.1. Introducci´on . . . 79

7.2. Frecuencias . . . 79

7.3. Gr´aficos estad´ısticos . . . 80

7.4. Medidas de tendencia central . . . 80

7.5. Medidas de dispersi´on . . . 82

7.6. Ejemplo . . . 83

8. Estad´ıstica bidimensional 85 8.1. Introducci´on . . . 85

8.2. Correlaci´on lineal . . . 86

8.3. Recta de regresi´on . . . 86

9. Probabilidad 89 9.1. Experimentos aleatorios. Probabilidad . . . 89

9.2. C´alculo de probabilidades . . . 90

9.3. Sucesos . . . 90

9.4. Operaciones con sucesos . . . 92

9.5. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes . . . 94

10.Variable aleatoria 97 10.1. Distribuciones de probabilidad . . . 97

10.2. La distribuci´on binomial . . . 98

10.3. Distribuci´on de Poisson . . . 98

10.4. La distribuci´on normal . . . 99

10.5. Distribuciones binomial y normal . . . 101

(6)

www.fiv

e-fingers.es

6 ´INDICE GENERAL

11.Sucesiones 103

11.1. Sucesi´on. . . 103

11.2. L´ımite de una sucesi´on. . . 103

11.3. C´alculo de l´ımites. . . 105

11.4. El n´umero e. . . 107

11.5. Progresiones aritm´eticas y geom´etricas . . . 107

12.Funciones 109 12.1. Definiciones. . . 109

12.2. Funciones de primer y segundo grado. . . 111

12.3. Funci´on de proporcionalidad inversa. . . 113

12.4. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas. . . 114

12.5. Funciones circulares. . . 115

12.6. Transformaci´on de funciones . . . 116

13.L´ımites de funciones. Continuidad 121 13.1. L´ımite cuando la variable tiende a infinito. . . 121

13.2. L´ımite cuando la variable tiende a un n´umero finito. . . 123

13.3. Funciones continuas. Casos de discontinuidad. . . 124

13.4. As´ıntotas. . . 126

13.5. Nueva definici´on de continuidad . . . 128

13.6. Reglas para el c´alculo de l´ımites . . . 128

13.6.1. L´ımites cuando x→ ∞ . . . 128

13.6.2. L´ımites cuando x tiende a un n´umero c . . . 129

13.7. Dos l´ımites importantes . . . 129

13.7.1. El l´ımite l´ım x→0 sen x x . . . 129

13.7.2. El l´ımite l´ım x→0 ln(1 + x) x . . . 130

13.7.3. Aplicaciones al c´alculo de l´ımites . . . 130

13.8. Propiedades de las funciones continuas . . . 131

(7)

www.fiv

e-fingers.es

Tema 1

Ra´ıces y logaritmos

1.1. Potencias.

Una potencia an, en donde n es un entero positivo es un producto de factores iguales:

an = a|· a · a · . . . · a{z }

n factores

El factor que se repite a se llama base de la potencia y el n´umero de veces que se repite, n, es el exponente.

As´ı definidas, las potencias tienen las cinco propiedades siguientes:

⋄ Producto de potencias de la misma base:

am· an = am+n

Para sumar potencias de la misma base, se suman los exponentes.

⋄ Cociente de potencias de la misma base:

am

an = am−n

Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes.

⋄ Potencia de una potencia:

(am)n = amn

Para elevar una potencia a otro exponente, se multiplican ambos exponentes.

⋄ Potencia de un producto:

(M N )n= MnNn

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.

⋄ Potencia de un cociente:

(M N

)n

= Mn Nn

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.

7

(8)

www.fiv

e-fingers.es

8 TEMA 1. RA´ICES Y LOGARITMOS

Estas propiedades son sencillas de justificar a partir de la definici´on de potencia como un producto de factores iguales. Por ejemplo, la primera propiedad se demuestra de la siguiente manera:

am· an= a|· a · a · . . . · a{z }

m factores

· a · a · a · . . . · a| {z }

n factores

= a|· a · a · . . . · a{z }

m + n factores

= am+n

El concepto de potencia puede extenderse a exponentes enteros no positivos de forma que se sigan cumpliendo las propiedades anteriores:

⋄ Si dividimos dos n´umeros iguales sabemos que el resultado es 1. Dividamos dos potencias iguales:

1 = an

an = an−n= a0 =⇒ a0= 1

As´ı pues, sea cual sea la base, si el exponente es cero, la potencia vale 1.

⋄ Sea ahora una potencia de exponente negativo. Para que se cumpla la primera propiedad debe ocurrir que:

a−n· an= a−n+n= a0= 1 =⇒ a−n= 1 an El n´umero a−nes el inverso de an.

As´ı definidas, las potencias de exponente negativo o cero, cumplen las propiedades enumeradas anterior- mente. Pero ya no se pueden definir como productos de factores iguales (un n´umero no puede multiplicarse por s´ı mismo un n´umero negativo de veces).

1.2. Ra´ıces.

La ra´ız cuadrada de un n´umero N es otro n´umero que elevado al cuadrado es igual a N . Este n´umero se representa por

N . Es decir, este n´umero cumple que:

(√N )2

= N

Los n´umeros positivos tienen dos ra´ıces cuadradas. Por ejemplo hay dos ra´ıces cuadradas de 9 que son +3 y−3 pues cualquiera de estos n´umeros elevados al cuadrado dan 9. Cuando queramos distinguir entre la ra´ız cuadrada positiva y negativa de un n´umero pondremos el signo delante. As´ı, la ra´ız positiva de 3 se indica mediante +

3 y la negativa mediante−√ 3.

No existe ra´ız cuadrada de los n´umeros negativos puesto que cualquier n´umero al cuadrado es positivo.

Por ejemplo, la ra´ız cuadrada de−4 no puede ser ni +2 ni −2 puesto que 22= (−2)2= 4.

De forma similar se definen las ra´ıces c´ubicas, cuartas, etc. La ra´ız c´ubica de N es un n´umero que elevado al cubo es igual a N . La ra´ız cuarta de N es un n´umero que elevado a la cuarta es igual a N . Por ejemplo:

3

8 = 2 porque 23= 8

3

−8 = −2 porque (−2)3=−8

4

81 = 3 porque 34= 81

4

81 =−3 porque (−3)4= 81

Todos los n´umeros, positivos y negativos, tienen una ´unica ra´ız c´ubica. Sin embargo, como en el caso de la ra´ız cuadrada, los n´umeros positivos tienen dos ra´ıces cuartas y los n´umeros negativos no tienen ninguna.

(9)

www.fiv

e-fingers.es

1.3. LAS RA´ICES COMO POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. 9

En general, la ra´ız en´esima de un n´umero N es un n´umero n

N que elevado al exponente n es igual a N : (n

N )n

= N

Esta definici´on, la podemos expresar tambi´en de la siguiente forma:

xn= N ⇐⇒ x = n N

en donde se aprecia que la ra´ız permite despejar una inc´ognita que est´a elevada a un exponente. En la expresi´on n

N , N es el radicando y n es el ´ındice de la ra´ız.

En general, existe una ´unica ra´ız de ´ındice impar para todos los n´umeros. Los n´umeros positivos tienen dos ra´ıces de ´ındice par y los n´umeros negativos no tienen ninguna.

Las ra´ıces tienen las propiedades siguientes:

⋄ Ra´ız de un producto:

n

M · N = n n

N

La ra´ız de un producto es igual al producto de las ra´ıces.

⋄ Ra´ız de un cociente:

n

M N =

n

M

n

N

La ra´ız de un cociente es igual al cociente de las ra´ıces.

⋄ Ra´ız de una potencia. Siempre que existan las ra´ıces se verifica que:

n

Nm= (n

N )m

La ra´ız de una potencia es igual a la potencia de la ra´ız.

⋄ Ra´ız de una ra´ız:

m

n

N = mn N

La ra´ız de una ra´ız es una ra´ız cuyo ´ındice es el producto de los ´ındices.

⋄ Propiedad de simplificaci´on:

np

Nmp= n Nm

El ´ındice de la ra´ız y el exponente del radicando pueden multiplicarse o dividirse por el mismo n´umero.

1.3. Las ra´ıces como potencias de exponente fraccionario.

Podemos pensar ahora qu´e sentido podemos darle a una potencia de exponente fraccionario como, por ejemplo 512. Como en el caso de los exponentes negativos no puede considerarse como un producto de factores iguales pues no tiene sentido multiplicar 5 por s´ı mismo media vez.

Se trata entonces, de definir este n´umero de tal forma que se cumplan las propiedades de las potencias que hemos visto. Elevando este n´umero al cuadrado y aplicando la propiedad de la potencia de otra potencia resulta:

( 512

)2

= 512·2= 51= 5

(10)

www.fiv

e-fingers.es

10 TEMA 1. RA´ICES Y LOGARITMOS

Vemos que 512 es un n´umero que, elevado al cuadrado, es igual 5. Pero el n´umero que elevado al cuadrado es 5 es

5. Por consiguiente:

512 = 5 En general:

an1 = n

a puesto que (

a1n )n

= a1n·n= a1= a y si el numerador es distinto de 1:

amn = n

am puesto que amn = (

a1n )m

=(n a)m

= n am

Es decir, el denominador del exponente es el ´ındice de la ra´ız y el numerador es el exponente del radicando.

1.4. Operaciones con radicales.

Vamos a ver algunos ejemplos de las operaciones m´as usuales con radicales.

⋄ Extraer factores de la ra´ız:

128 =

64· 2 = 8√ 2

3

24 =3

8· 3 = 2√3

3

27x5=

9x4· 3x = 3x2 3x

⋄ Introducir factores en la ra´ız:

5 6 =

25· 6 =√ 150 33

10 =3

27· 10 =√3 270 2x3

5x =√

4x6· 5x =√ 20x7

⋄ Multiplicar o dividir radicales. Si las ra´ıces tienen el mismo ´ındice, se multiplican o dividen los radicandos. Si tienen distinto ´ındice, aprovechando la propiedad de simplificaci´on, se reducen a

´ındice com´un y despu´es se multiplican o dividen los radicandos:

18 6 =

18· 6 =√

108 5 3

10 =6 53 6

102=6

53· 102=6 12500

√2x√3 5x2;4

3x3= 12

26x6 12

54x8 12

33x9= 12

1080000x23

⋄ Suma de radicales. Solamente puede encontrarse una expresi´on m´as sencilla en el caso de que los radicales sean semejantes, esto es, radicales en los que despu´es de extraer factores queden ra´ıces iguales. Si no sucede as´ı, la suma se deja indicada.

5 6 + 3

6 = (5 + 3) 6 = 8

6 2

50 + 3

32 = 2

25· 2 + 3√

16· 2 = 2 · 5√

2 + 3· 4√

2 = 10

2 + 12

2 = 22

2 2−√

3 esta suma debe dejarse indicada

⋄ Racionalizar denominadores. Se trata de obtener fracciones equivalentes sin ra´ıces en el denomi- nador. La t´ecnica es diferente seg´un aparezca o no en el denominador una suma o diferencia de ra´ıces:

5 2

3 = 5 3 2

3

3 = 5 3 2· 3 = 5

3 6 3

3

5 = 33 52

3

53

52 = 33 25

3

53 =33 25 5

2

3− 1 = 2( 3 + 1) (

3− 1)(√

3 + 1) = 2( 3 + 1) 3− 1 =2(

3 + 1) 2

(11)

www.fiv

e-fingers.es

1.5. LOGARITMOS. 11

1.5. Logaritmos.

Sea a un n´umero positivo distinto de 1. Se llama logaritmo en base a del n´umero N y se representa mediante logaN a la soluci´on de la ecuaci´on ax= N :

ax= N =⇒ x = logaN Ejemplos:

3x= 81 =⇒ x = log381 = 4 2x= 8 =⇒ x = log28 = 3 5x=15 =⇒ x = log51

5 =−1 3x=

3 =⇒ x = log3

3 = 12

Tambi´en puede definirse de la siguiente forma. Sea a un n´umero positivo distinto de 1, se llama logaritmo en base a del n´umero N y se representa mediante logaN al exponente que hay que poner a a para obtener N .

Ejemplos:

log749 = 2 ya que 72= 49 log5125 = 3 ya que 53= 125

log42 = 12 ya que 412 = 2 Primeras propiedades:

⋄ Puesto que para a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´on ax= N no tiene soluci´on en el caso de que N sea negativo o cero. En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los n´umeros positivos.

⋄ Puesto que a0= 1, el logaritmo de 1 es igual a 0 en cualquier base:

a0= 1⇐⇒ loga1 = 0

⋄ De la definici´on de logaritmo se deducen las siguientes propiedades de simplificaci´on:

logaax= x ; alogax= x

1.6. Propiedades de las logaritmos.

⋄ Logaritmo de un producto. El logaritmo del producto de dos n´umeros es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

loga(M N ) = logaM + logaN Demostraci´on:

logaM = x =⇒ ax= M logaN = y =⇒ ay= N

}

=⇒ loga(M N ) = loga(axay) = logaax+y = x+y = logaM +logaN

⋄ Logaritmo de un cociente. El logaritmo del cociente de dos n´umeros es igual a la diferencia de los logaritmos de los factores:

logaM

N = logaM − logaN Demostraci´on:

logaM = x =⇒ ax= M logaN = y =⇒ ay= N

}

=⇒ loga

M

N = loga ax

ay = logaax−y= x− y = logaM− logaN

(12)

www.fiv

e-fingers.es

12 TEMA 1. RA´ICES Y LOGARITMOS

⋄ Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:

logaMn= n logaM Demostraci´on:

logaMn= loga

n factores

z }| {

(M· M · . . . · M)

=

n sumandos

z }| {

logaM + logaM + . . . + logaM

= n logaM

⋄ Logaritmo de una ra´ız. El logaritmo de una ra´ız es igual al logaritmo del radicando dividido por el ´ındice de la ra´ız:

loga n M = 1

nlogaM Demostraci´on:

loga n

M = logaMn1 = 1 nlogaM

1.7. Cambio de base.

Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los logaritmos en otra base b mediante:

logbN = logaN logab Demostraci´on:

Supongamos que queremos calcular logbN . Si llamamos x a este n´umero:

logbN = x =⇒ bx= N

Aplicando el logaritmo base a en esta ´ultima igualdad:

logabx= logaN =⇒ x logab = logaN

=⇒ x = logbN = logaN logab

Veamos ahora algunas aplicaciones de la f´ormula del cambio de base:

⋄ Calcular con una aproximaci´on a las mil´esimas log560.

Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos:

log560 = ln 60

ln 5 ≃ 2,544

⋄ Obtener sin calculadora log3216.

Puesto que los dos n´umeros son potencias de 2, pasando a esta base:

log3216 = log216 log232= 4

5

(13)

www.fiv

e-fingers.es

1.8. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR´ITMICAS. 13

⋄ Demostrar que log1aN =− logaN . Cambiando a la base a:

log1

aN = logaN

logaa1 = logaN

−1 =− logaN

Ejercicio 1. Calcular los siguientes logaritmos:

(a) log3

27 (b) log49343 (c) log9 31

3 (d ) log2515 Soluci´on:

(a) log3 27 =1

2log327 = 3 2 (b) log49343 =log7343

log749 =3 2 (c) log9 1

3

3 = log91− log9

3

3 =log33 3 log39 =

1 3

2 =1 6 (d ) log251

5 = log251− log255 =1 2

♠♠♠♠

Ejercicio 2. Conocido log 5 = 0,6990, hallar log 12,5 y log 0,032.

Soluci´on:

Conocido log 5 se conoce tambi´en log 2 ya que:

log 2 = log10

5 = log 10− log 5 = 1 − 0,6990 = 0,3010 Entonces:

log 12,5 = log25 2

= log 25− log 2

= log 52− log 2

= 2 log 5− log 2

= 2· 0,6990 − 0,3010

= 1,0970

log 0,032 = log 32 1000

= log 32− log 1000

= log 25− 3

= 5 log 2− 3

= 5· 0,3010 − 3

=−1,4950

♠♠♠♠

1.8. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas.

Las funciones definidas por y = ax donde a es un n´umero positivo cualquiera se llaman funciones exponenciales. Sea cual sea el valor de a, la funci´on puede escribirse en la base e, es decir como y = ekxcon k = ln a positivo o negativo seg´un que a sea mayor o menor que 1. Como caracter´ısticas m´as importantes de estas funciones destaquemos las siguientes:

(14)

www.fiv

e-fingers.es

14 TEMA 1. RA´ICES Y LOGARITMOS

⋄ Sea cual sea el valor de x, ekx es positivo.

⋄ El eje de abscisas, esto es la recta y = 0 es una as´ıntota horizontal de y = ekx en−∞ o +∞ seg´un sea k positivo o negativo.

⋄ La curva y = ekx no corta al eje de abscisas. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 1).

Figura 1.1: Funci´on exponencial

Se llaman funciones logar´ıtmicas las definidas por f (x) = logax. Con ayuda de la f´ormula del cambio de base de los logaritmos, cualquier funci´on logar´ıtmica puede expresarse como y = k· ln x, donde ln x es el logaritmo neperiano o sea el logaritmo en la base e. Como propiedades fundamentales de estas funciones citaremos:

⋄ Las funciones logar´ıtmicas solo existen para x positivo.

⋄ La recta x = 0 (el eje de ordenadas) es as´ıntota vertical de y = k · ln x.

⋄ La curva y = k · ln x no corta al eje de ordenadas. Corta al eje de abscisas en (1, 0).

Figura 1.2: Funci´on logar´ıtmica

(15)

www.fiv

e-fingers.es

Tema 2

Combinatoria

2.1. Combinatoria.

La combinatoria es la parte de las Matem´aticas que trata de las distintas agrupaciones que pueden formar colecciones finitas de objetos y, en particular, de obtener el n´umero de las configuraciones posibles.

Problemas t´ıpicos de combinatoria ser´ıan calcular el n´umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados, o de cu´antas maneras diferentes se pueden repartir cinco cartas de una baraja, etc.

Ejercicio 3. A una reuni´on asisten 20 personas. Antes de empezar la reuni´on se saludan todos d´andose la mano. ¿Cu´antos saludos han intercambiado?

Resolveremos este problema de dos formas diferentes.

Modo 1. Un asistente podr´ıa pensar que como ´el ha tenido que saludar a 19 personas (a todos menos a s´ı mismo), y dado que hay 20 personas, el n´umero saludos es 20· 19 = 380. Sin embargo, este resultado no es correcto. La raz´on es que procediendo de esta manera, cada saludo se ha contado dos veces: el saludo que han intercambiado A y B se ha contado entre los que hizo A y entre los que hizo B. Por consiguiente, el n´umero de saludos es exactamente la mitad:

20· 19 2 = 190.

Modo 2. Una forma de no contar los saludos repetidos ser´ıa la siguiente. Un asistente saluda a los 19 restantes y se retira.

Se han completado as´ı 19 saludos y quedan 19 personas. El siguiente asistente saluda a los 18 restantes y se retira. Ha efectuado 18 saludos y quedan 18 personas. Este proceso contin´ua hasta que solamente quede una persona, en ese momento se habr´an saludado todas y el n´umero de saludos ha sido:

19 + 18 + 17 + . . . + 2 + 1 = 190.

En general, si se re´unen n personas y se saludan todas entre s´ı, el n´umero total de saludos est´a dado por:

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n− 2) + (n − 1) = n(n− 1)

2 .

Esta f´ormula, adem´as de resolver el problema, proporciona un m´etodo para sumar determinada cantidad de n´umeros consecutivos.

♠♠♠♠

Para contar el n´umero de agrupaciones en que se pueden disponer los elementos de una colecci´on de objetos, se deben distinguir varias situaciones posibles:

⋄ Que el orden en que aparecen los elementos sea relevante para decidir si las agrupaciones son iguales o no. Por ejemplo, el orden es importante para distinguir entre los posibles resultados de una carrera, sin embargo, en muchos juegos de cartas, no es importante el orden en que te van llegando las cartas al hacer el reparto.

⋄ Que en una misma agrupaci´on puedan aparecer elementos repetidos o no. Por ejemplo, si se van extrayendo cartas de una baraja con reemplazamiento (devolviendo la carta extra´ıda al mazo despu´es de la extracci´on), la misma carta puede aparecer varias veces. Si las extracciones sucesivas se hacen sin reemplazamiento, no pueden aparecer cartas repetidas.

15

(16)

www.fiv

e-fingers.es

16 TEMA 2. COMBINATORIA

2.2. Variaciones y permutaciones.

Vamos a considerar en primer lugar agrupaciones ordenadas de objetos en las que, adem´as, los objetos no pueden aparecer repetidos. Lo que caracteriza a este tipo de agrupaciones es que aunque tengan los mismos elementos se consideran diferentes si los elementos est´an en distinto orden. Por ejemplo las palabras cesto y coste tienen las mismas letras, pero son diferentes.

El principio b´asico que se aplica para contar disposiciones de este tipo es el siguiente.

Regla del producto Supongamos que un objeto consta de dos partes diferentes, que la primera se puede elegir de p maneras y la segunda de q maneras distintas. Entonces, el n´umero de objetos diferentes que pueden formarse es igual a pq. La regla del producto se extiende sin dificultad a objetos que constan de m´as de dos partes.

Ejercicio 4. ¿Cu´antos men´us diferentes se pueden hacer con 5 primeros platos, 6 segundos y 4 postres?

El n´umero de men´us es 5· 6 · 4 = 120. La raz´on es que con 5 primeros y 6 segundos se pueden formar 30 men´us. Ahora, combinando cada uno de estos 30 con cada uno de los 4 postres se obtienen un total de 120 men´us.

♠♠♠♠

Ejercicio 5. Se lanza un dado 3 veces y se van anotando las puntuaciones del primer, del segundo y del tercer lanzamiento.

¿Cu´antos resultados diferente pueden obtenerse?

En el primer lanzamiento pueden obtenerse 6 resultados diferentes. Para cada uno de los resultados del primer lanzamiento pueden obtenerse 6 resultados para el segundo. As´ı, los resultados de los dos primeros lanzamientos se pueden producir de 6· 6 = 36 maneras diferentes. Para cada uno de ellas, el resultado del tercer lanzamiento puede darse de 6 maneras. Por consiguiente, para los tres lanzamientos se tienen 36· 6 = 216 resultados posibles.

♠♠♠♠

Aunque en muchos problemas de disposiciones ordenadas de objetos puede aplicarse la regla del producto, hay casos en que no sucede as´ı. Veamos un ejemplo.

Ejercicio 6. En una urna hay cuatro bolas: una roja, una verde y dos azules. Se extraen las cuatro bolas sucesivamente.

¿Cu´antos resultados diferentes pueden obtenerse?

Para la primera extracci´on se pueden obtener tres resultados diferentes, bola roja, verde o azul. Sin embargo, para la segunda extracci´on no se puede decir cu´antos resultados diferentes se pueden dar. En efecto, si en la primera extracci´on ha salido bola roja, en la segunda puede darse verde o azul, es decir 2 resultados. Pero si en la primera extracci´on ha salido azul, en la segunda pueden darse 3 resultados, roja, verde y azul. As´ı pues, en este caso no se puede aplicar la regla del producto.

as adelante se ver´a c´omo puede tratarse este tipo de problemas. De momento, escribiremos las 12 disposiciones diferentes que pueden obtenerse:

rvaa, rava, raav, vraa, vara, vaar, arva, avra, arav, avar, aarv, aavr.

♠♠♠♠

A continuaci´on veremos algunos tipos de disposiciones de objetos que, por aparecer habitualmente en la resoluci´on de muchos problemas, tienen una denominaci´on especial.

De llaman permutaciones de n elementos distintos, a las distintas maneras en que se pueden ordenar estos n elementos. El n´umero de permutaciones de elementos distintos puede deducirse de la regla del producto: el primer elemento puede elegirse de n formas diferentes, para cada una de ellas el segundo se puede elegir de n− 1 formas, etc. El n´umero de permutaciones de n elementos se representa por Pn y es igual a:

Pn= n· (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1.

Al producto de todos los enteros comprendidos entre 1 y n se le llama factorial de n y se representa con el s´ımbolo n!. As´ı pues, el n´umero de permutaciones de n elementos distintos es n!.

(17)

www.fiv

e-fingers.es

2.3. COMBINACIONES. 17

Ejercicio 7. Calcular el n´umero de maneras diferentes en que se puede ordenar un alfabeto de 26 letras.

P26= 26! = 26· 25 · 24 · · · 2 · 1 = 403291461126605635584000000.

♠♠♠♠

Si a partir de m elementos se forman disposiciones ordenadas de n elementos, se habla de variaciones.

Si los elementos no pueden aparecer repetidos, las variaciones se llaman ordinarias; en caso contrario, es decir, si pueden repetirse, se llaman variaciones con repetici´on. Las variaciones con repetici´on se tratan en otro apartado.

Ejercicio 8. Formar las variaciones ordinarias y con repetici´on de tres elementos que pueden formarse con las letras del conjunto A ={a, b, c, d}.

Las variaciones ordinarias son:

abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.

Las variaciones con repetici´on son:

aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc, add, baa, bab, bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd, caa, cab, cac, cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd, daa, dab, dac, dad, dba, dbb, dbc, dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd.

♠♠♠♠

El n´umero de variaciones ordinarias puede obtenerse a partir de la regla del producto. El primer elemento se puede elegir de m modos distintos, para cada uno de ellos, el segundo de m− 1 modos, el tercero de m− 2, etc. Llamando Vm,nal n´umero de variaciones de m elementos tomados de n en n, este n´umero es igual a:

Vm,n= m(m− 1)(m − 2) · · · (m − n + 1),

es decir, al producto de n factores enteros decrecientes a partir del n´umero m.

Si en la f´ormula anterior se multiplica y divide por (m− n)(m − n − 1) · · · 1, resulta:

Vm,n = m(m− 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)

= m(m− 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)(m − n)(m − n − 1) · · · 1 (m− n)(m − n − 1) . . . 1

= m!

(m− n)!.

2.3. Combinaciones.

En muchos casos, el orden en que aparecen los distintos elementos no tiene importancia para la resoluci´on de problema. Por ejemplo, cuando se mezclan 3 colores, el orden en que se haga la mezcla carece de relevancia para el resultado final. En el juego de la loter´ıa primitiva, el orden en que se escogen los 6 n´umeros tampoco tiene importancia.

Sean m objetos distintos. Se llaman combinaciones de estos m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos de n elementos que pueden formarse con los m elementos de partida, de tal forma que los conjuntos se distingan por tener elementos distintos, siendo irrelevante el orden en que est´en colocados.

Por ejemplo con los 5 elementos del conjunto{a, b, c, d, e}, pueden formarse las siguientes combinaciones de 3 elementos:

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.

(18)

www.fiv

e-fingers.es

18 TEMA 2. COMBINATORIA

Para calcular el n´umero de combinaciones, de nuevo es inaplicable la regla del producto. En este caso, por cada combinaci´on de n elementos, pueden formarse n! variaciones permutando los n objetos. Por ejemplo, con la primera combinaci´on{a, b, c} se pueden formar las siguientes 6 variaciones:

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Por consiguiente, el n´umero de variaciones de m elementos tomados de n en n es n! veces mayor que elumero de combinaciones. Llamando Cm,nal n´umero de combinaciones de los m elementos tomados de n en n, se tiene

Cm,n= Vm,n

n! = m!

n!(m− n)!.

Ejercicio 9. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden repartir 5 cartas de una baraja de 40 cartas sin que importe el orden? ¿En cu´antas de ellas no est´a presente el as de oros? ¿En cu´antas est´a presente el as de oros?

El n´umero de maneras es el n´umero de combinaciones de 40 elementos tomados de 5 en 5:

C40,5=V40,5

5! =40· 39 · 38 · 37 · 36

5· 4 · 3 · 2 · 1 = 658008.

Si el as de oros no est´a presente hay que formar grupos de 5 cartas con las 39 que quedan. El n´umero de modos de elegir 5 cartas de 39 es:

C39,5=V39,5

5! =39· 38 · 37 · 36 · 35

5· 4 · 3 · 2 · 1 = 575757.

Si el as de oros ha de estar presente deben elegirse 4 cartas entre las 39 restantes para completar el grupo de 5. El n´umero de modos de elegir 4 de 39 cartas es:

C39,4=V39,4

4! =39· 38 · 37 · 36

4· 3 · 2 · 1 = 82251.

Obs´ervese que, como cabr´ıa esperar, la suma de los dos ´ultimos resultados es igual al primero.

♠♠♠♠

2.4. umeros combinatorios. Binomio de Newton.

En ocasiones se utiliza otra notaci´on para el n´umero de combinaciones. Los n´umeros combinatorios(m

n

) (se lee m sobre n), se definen de la siguiente forma:

(m n )

=

{ Cm,n si n̸= 0 1 si n = 0

Los n´umeros combinatorios tienen dos propiedades importantes:

(m

n )

=

( m

m− n )

.

Esta propiedad se entiende f´acilmente con el siguiente ejemplo. Un examen consta de 10 preguntas de las que hay que contestar solamente 8. El n´umero de maneras de escoger las preguntas es C10,8 = (10

8

). Ahora bien, es evidente que es lo mismo escoger las 8 preguntas que se van a contestar, que las 2 preguntas que no se van a contestar. Estas 2 preguntas se pueden escoger de C8,2=(8

2

)maneras. Entonces debe ocurrir que (10

8 )

= (10

2 )

.

Esta propiedad se puede interpretar como que el n´umero de maneras de elegir los elementos que forman parte de una combinaci´on es igual al n´umero de manera de elegir los que quedan fuera de dicha combinaci´on.

(19)

www.fiv

e-fingers.es

2.5. VARIACIONES Y PERMUTACIONES CON REPETICI ´ON. 19

(m

n )

=

(m− 1 n

) +

(m− 1 n− 1 )

.

Esta propiedad permite obtener las combinaciones formadas con determinado n´umero de elementos a partir de las combinaciones formadas con un elemento menos. El Ejemplo 9 puede ayudar a comprender esta propiedad. El n´umero de combinaciones que se pueden formar con las 40 cartas de la baraja son(40

5

). Este n´umero se puede considerar como suma de las(39

5

)en las que no est´a presente el as de oros y las(39

4

)en las que s´ı est´a presente. Resulta entonces:

(40 5

)

= (39

5 )

+ (39

4 )

.

Aprovechando esta segunda propiedad, los n´umeros combinatorios pueden disponerse de la siguiente manera:

que se conoce como tri´angulo de Tartaglia o de Pascal. En la primera fila aparecen los n´umeros combi- natorios para m = 1, es decir (1

0

)y(1

1

), en la segunda fila est´an los n´umeros combinatorios para m = 2, (2

0

),(2

1

)y(2

2

), etc. Los n´umeros que aparecen en los extremos de cada fila son iguales a 1 y los dem´as se obtienen sumando los dos n´umeros que tiene encima (aqu´ı es donde se aplica la segunda propiedad de los n´umeros combinatorios).

Las f´ormulas del cuadrado del binomio:

(a + b)2= a2+ 2ab + b2 y del cubo:

(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3

se generalizan con ayuda de los n´umeros combinatorios a la f´ormula de Newton:

(a + b)n= (n

0 )

an+ (n

1 )

an−1b + (n

2 )

an−2b2+· · · + ( n

n− 1 )

abn−1+ (n

n )

bn

Si en lugar de una suma queremos hallar la potencia de una diferencia, basta cambiar en la f´ormula de Newton el signo m´as por menos en los t´erminos en los que el exponente de b es impar.

2.5. Variaciones y permutaciones con repetici´ on.

Vamos a considerar ahora agrupaciones ordenadas de objetos en las que estos pueden aparecer repetidos.

El caso m´as sencillo es el de las variaciones con repetici´on. ´Estas son iguales que las variaciones

(20)

www.fiv

e-fingers.es

20 TEMA 2. COMBINATORIA

ordinarias salvo que los elementos pueden aparecer repetidos. De forma m´as precisa, supongamos que tenemos m objetos diferentes, se llaman variaciones con repetici´on de estos m elementos tomados de n en n a las distintas disposiciones de n elementos distintos o no, que pueden formarse a partir de los m elementos de partida, de forma que se diferencien por tener elementos distintos o por estar dispuestos en distinto orden.

Por ejemplo, las variaciones de los elementos{a, b} tomados de 3 en 3, son:

aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb

Para calcular las variaciones con repetici´on puede aplicarse la regla del producto, el primer elemento puede elegirse de m formas distintas. Puesto que los elementos pueden repetirse, lo mismo ocurre con el segundo, el tercero, etc. Todos pueden elegirse de m formas. Por consiguiente:

V Rm,n= m· m · m · . . . · m = mn

Ejercicio 10. A partir de los elementos del conjunto{1, x, 2}, ¿cu´antas variaciones de 14 elementos pueden formarse?

Se trata de variaciones con repetici´on de 3 elementos tomados de 14 en 14. El n´umero de estas variaciones es:

V R3,14= 314= 4782969

♠♠♠♠

Nos planteamos ahora el siguiente problema: con las letras de la palabra parada, ¿cu´antas ordenaciones distintas podemos formar?. Si en la palabra no apareciesen letras repetidas, se tratar´ıa de permutaciones ordinarias. Puesto que la a se repite 3 veces se trata de permutaciones con repetici´on. El n´umero de permutaciones en este caso lo indicaremos como P6,3. Esto quiere decir que tenemos 6 elementos y uno de ellos se repite 3 veces.

En general, el n´umero de permutaciones con repetici´on se expresa de la siguiente forma:

P Rn,r1,r2,...

y as´ı indicamos que tenemos n elementos de los cuales uno se repite r1 veces, otro r2veces, etc. Podemos calcular el n´umero de permutaciones con repetici´on de forma similar a como calculamos las combinaciones.

Suponiendo que todos los elementos fuesen diferentes, el n´umero de permutaciones ser´ıa n!. Si un elemento se repite r veces, por cada permutaci´on con repetici´on hay r! permutaciones ordinarias. de aqu´ı que:

P Rn,r1,r2,...= n!

r1! r2! . . .

Por ejemplo, con las letras de la palabra parada pueden formarse las siguientes permutaciones:

P R6,3= 6!

3! = 120

Ejercicio 11. Calcular el n´umero de maneras de ordenar las 16 fichas del parch´ıs.

Se trata de permutaciones con repetici´on de 16 elementos entre los que se repiten 4 veces las fichas rojas, 4 veces las fichas verdes, 4 veces las fichas amarillas y 4 veces las fichas azules. Por tanto, el n´umero de permutaciones es:

P R16,4,4,4,4= 16!

4! 4! 4! 4! = 63063000

♠♠♠♠

2.6. Inducci´ on matem´ atica

Consideremos la f´ormula de Newton escrita en la siguiente forma:

(1 + x)n= (n

0 )

+ (n

1 )

x + (n

2 )

x2+· · · + ( n

n− 1 )

xn−1+ (n

n )

xn

(21)

www.fiv

e-fingers.es

2.6. INDUCCI ´ON MATEM ´ATICA 21

Para demostrar este tipo de teoremas en cuya formulaci´on interviene un par´ametro entero (n en este caso), se utiliza un razonamiento que se conoce como demostraci´on por inducci´on.

La demostraci´on por inducci´on consiste en lo siguiente:

⋄ Se demuestra el teorema para un valor inicial n0 que generalmente es 1.

⋄ Se demuestra que si el teorema es cierto para un valor cualquiera del par´ametro h, tambi´en se cumple para el valor siguiente h + 1.

⋄ Con elle queda demostrado el teorema para todos los valores del par´ametro mayores que n0. Veamos unos ejemplos:

Ejercicio 12. Demostrar que para n mayor o igual que 1 se cumple que:

n x=1

x2= 12+ 22+ 32+· · · + n2=n(n + 1)(2n + 1) 6

⋄ Para n = 1 se cumple ya que:

1 x=1

x2= 1 y 1· (1 + 1) · (2 · 1 + 1)

6 = 1

⋄ Supongamos que el teorema se cumple para n = h:

h x=1

x2= 12+ 22+ 32+· · · + h2=h(h + 1)(2h + 1) 6

Debemos demostrar que en este caso tambi´en se cumple para n = h + 1. Es decir:

h+1

x=1

x2= 12+ 22+ 32+· · · + h2+ (h + 1)2=(h + 1)(h + 2)(2h + 3) 6

En efecto:

h+1

x=1

x2=

h x=1

x2+ (h + 1)2

=h(h + 1)(2h + 1)

6 + (h + 1)2

=h(h + 1)(2h + 1) + 6(h + 1)2 6

=(h + 1)(h(2h + 1) + 6(h + 1)) 6

=(h + 1)(2h2+ 7h + 6) 6

=(h + 1)(h + 2)(2h + 3) 6

⋄ Como consecuencia de los dos apartados anteriores, el teorema est´a demostrado para n ≥ 1.

♠♠♠♠

Ejercicio 13. Demostrar por inducci´on que:

r=n

r=1

1 r>

n para n≥ 2 n ∈ Z.

− Se cumple para n = 2:

r=2

r=1

1 r= 1

1+ 1

2 =

2 + 1

2

=

2( 2 + 1)

2 = 2 +

2 2

>

2 + 2

2 =

2

(22)

www.fiv

e-fingers.es

22 TEMA 2. COMBINATORIA

− Supongamos que se cumple para n = h:

r=h

r=1

1 r >

h

y veamos que, entonces, se cumple para r = h + 1:

r=h+1

r=1

1r =

r=h

r=1

1r+ 1

h + 1>

h + 1

h + 1

=

h h + 1 + 1

h + 1 >

h h + 1

h + 1

= h + 1

h + 1 = h + 1

− De los dos apartados anteriores se deduce que la f´ormula se cumple para n ≥ 2.

♠♠♠♠

Ejercicio 14. Demostrar por inducci´on la f´ormula de Newton para n≥ 1:

(1 + x)n=(n 0 )

+(n 1 )

x +(n 2 )

x2+· · · +( n n− 1

)

xn−1+(n n )

xn

⋄ Es evidente que se cumple para n = 1.

⋄ Supongamos que se cumple para n = h:

(1 + x)h= (h

0 )

+ (h

1 )

x + (h

2 )

x2+· · · +( h h− 1

) xh−1+

(h h )

xh Demostraremos que, en este caso, tambi´en se cumple para n = h + 1, es decir:

(1 + x)h+1=(h + 1 0

)

+(h + 1 1

)

x +(h + 1 2

)

x2+· · · +(h + 1 h− 1 )

xh−1+(h + 1 h

)

xh+(h + 1 h + 1 )

xh+1

En efecto, para n = h + 1:

(1 + x)h+1= (1 + x)h(1 + x)

= [(h

0 )

+(h 1 )

x +(h 2 )

x2+· · · +( h h− 1

)

xh−1+(h h )

xh ]

(1 + x)

= (h

0 )

+ (h

1 )

x + (h

2 )

x2+· · · +( h h− 1

) xh−1+

(h h )

xh (h

0 )

x +(h 1 )

x2+· · · +( h h− 2

)

xh−1+( h h− 1

) xh+(h

h )

xh+1

=(h + 1 0

)

+(h + 1 1

)

x +(h + 1 2

) x2+· · ·

+(h + 1 h− 1 )

xh−1+(h + 1 h

)

xh+(h + 1 h + 1 )

xh+1

⋄ De los dos apartados anteriores se deduce que la f´ormula se cumple para n ≥ 1.

♠♠♠♠

Referencias

Documento similar