10 Markov

(1)

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

RICARDO TOLEDO QUIÑONES

HUARAZ – PERÚ - 2 022

(2)

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

DEPARTAMENTO : Administración y Turismo ESCUELA : Administración

CURSO : Análisis cuantitativo para decisiones II DOCENTE : Ricardo Enrique Toledo Quiñones

EDICIÓN : ABRIL 2 022

EDICIONES SIGLO XXI

Ciudad Universitaria Shancayán Impreso en Huaraz – Perú.

(3)

El académico matemático ruso Andei Markov es conocido por sus trabajos en la teoría de los números y la teoría de probabilidades. Su aporte más reconocido se conoce como cadena de Markov secuencias de valores de una variable en la que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable en el presente, pero es independiente de la historia de dicha variable.

La forma de afrontar su enseñanza en un espacio breve de tiempo se ve facilitada en e proceso matemático por software como el Excel para una secuencialidad paso a paso acompañado del POM – QM que muestra resultados parciales y finales.

La parte teórica es sólo la básica, igualmente se considera que son los ejercicios resueltos en los que se plasman directamente los procedimientos.

En los procesos de Markov de primer orden los eventos futuros dependen del resultado del último período. En los de segundo orden depende de las probabilidades de los dos últimos períodos.

Una vez más reiterar que la producción ya sea nueva como renovada tiene tanto en su origen como en su destino la motivación de poder lograr en el estudiante competencias para su desenvolvimiento dentro de un mercado donde el solucionar problemas reales es la tarea continua de todo profesional.

Huaraz, abril de 2022.

(4)

PROCESOS DE MARKOV DE PRIMER ORDEN - 1 -

1. GENERALIDADES - 1 -

2. CARACTERÍSTICAS - 1 -

3. ASPECTO BÁSICOS SOBRE MATRICES - 2 -

4. USO DE SOFTWARE - 3 -

5. PROCEDIMIENTO TÉCNICO - 3 -

6. PROBLEMAS RESUELTOS - 4 -

7. PROBLEMAS PROPUESTOS - 14 -

BIBLIOGRAFÍA - 15 -

ANEXO A: RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS - 16 -

(5)

PROCESOS DE MARKOV DE PRIMER ORDEN

1. GENERALIDADES

La cadena de Markov, también conocida como modelo de Markov o proceso de Markov, es un concepto desarrollado dentro de la teoría de la probabilidad y la estadística que establece una fuerte dependencia entre un evento y otro suceso anterior. Su principal utilidad es el análisis del comportamiento de procesos estocásticos (aleatorios).

El juego de blackjack es un ejemplo, el pasado condiciona el futuro. Conforme se va jugando las cartas, las posibilidades de los siguientes juegos se van modificando.

Si salieron determinadas cartas, el juego se regirá por las que quedan.

Al permitir analizar resultados futuros a partir de sus antecedentes o desarrollo histórico tiene aplicaciones reales en el ámbito de los negocios y las finanzas.

En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal, para analizar el reemplazo de equipo, dimensionar infraestructura, etc.

Su sencillez de procedimiento matemático no es valorado, tiene críticos que consideran que un modelo simplificado no podría ser efectivo en procesos complejos.

2. CARACTERÍSTICAS

Permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Más importante aún, permite encontrar el promedio en el futuro o las probabilidades de estado estable para cada estado. Permite así predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo.

Una cadena de Márkov se genera cuando se produce uno de n eventos posibles, Ej (E1, E2, E3, E4, ..., Ej), donde j = 1, 2, ..., n, a intervalos discretos de tiempo (que no tienen que ser iguales). Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Este estado se describe por el último evento generado, tal como se muestra en la figura a continuación, el último evento generado fue Ej, de manera que el generador se encuentra en el estado Sj.

ESTADO GENERADOR Sj Evento generado

Movimiento

E7 E1 E4 E5 Ej

t1 t2 t3 t4 t5 Tiempo

(6)

La probabilidad del resultado Ej para cierto experimento u observación depende, a lo sumo, del resultado de la observación que inmediatamente la precede. Tales probabilidades se denotan por pij, donde i = 1, 2, .... r, y j = 1, 2, .... r, así mismo, pij

representa la probabilidad del resultado posterior Ej para cualquier observación particular, dado que el resultado Ei ocurrió para la observación inmediatamente anterior. Los resultados E1, E2, E3, E4, ..., Ej, se denominan estados, y los números pij, se llaman probabilidades de transición de una cadena de Márkov de primer orden. Si suponemos que el proceso se inicia en cierto estado particular, podrán calcularse entonces las probabilidades de varias series de observaciones. Así para una cadena de Márkov de primer orden se especifica definiendo sus posibles estados, estableciendo para ellos la distribución inicial de las probabilidades y formulando la matriz de transición, que pueden resumirse en una matriz cuadrada.

Las probabilidades del estado estable permiten predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo, llegando a un estado de equilibrio, cuando se aumenta indefinidamente el número de observaciones. Es decir, cuando el número de observaciones tiende a infinito. Por definición, cuando está en equilibrio un proceso de Márkov de primer orden, la probabilidad de cada posible estado o resultado es constante entre una y otra observación.

3. ASPECTO BÁSICOS SOBRE MATRICES

Una matriz es una tabla rectangular de datos ordenados en filas y columnas, donde las filas son las líneas horizontales y las columnas las líneas verticales.

Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

El orden de una matriz lo da el número de filas (m) y el número de columnas (n) que la matriz tenga. Así: 2 x 2.

Adición: Se pueden sumar dos matrices, si y sólo si tienen el mismo orden. Así:

Se pueden sumar Matrices A y B, si A = 2 x 2 y B = 2 x 2.

Sustracción: Se pueden restar dos matrices, si y sólo si tienen el mismo orden.

Multiplicación: Una matriz se puede multiplicar por un escalar (un número). Dos matrices A y B se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de A es igual al número de B (condición de compatibilidad). El resultado será una matriz de m x n, donde m será igual al número de filas de A y n igual al número de columnas de B. En resumen:

CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD

(2 x 2) (2 X 3)

ORDEN DE C

(7)

En el Excel: = MMULT(matriz1;matriz2)

División de matrices: No está definida para matrices.

Matriz identidad: Denotada por I es la matriz cuadrada en la cual cada elemento de la diagonal principal es igual a 1 y ceros los demás. Juega un papel similar al del número 1.

Matriz nula: Una matriz nula o matriz cero, denotada por 0, se define como una matriz en la cual todos sus elementos son ceros. Juega el papel del número 0.

Transpuesta de una matriz: Denotada por A', se obtiene al intercambiar las filas y las columnas. En el Excel, se copia la matriz y con pegado especial se pega con la opción TRANSPONER. También en el Excel, es práctico efectuarlo con la función

=TRANSPONER. Una Matriz transpuesta se señala con un apóstrofo o letra T: A' o A^T, señalan la Matriz transpuesta de A.

Inversa de una matriz: Solamente una matriz cuadrada puede tener inversa, aunque no es condición suficiente que sea cuadrada. Una matriz cuadrada que tiene inversa se llama matriz no singular. Una matriz cuadrada que no tiene inversa se llama matriz singular. En el Excel se halla con la función =MINVERSA.

Una matriz tendrá su inversa en cuanto tenga su determinante.

Determinante: Es un escalar (número) particular asociado con una matriz cuadrada. Se define sólo para matrices cuadradas. Se representa con dos paralelas. Ejemplo: |A|. En el Excel se halla con la función =MDETERM

4. USO DE SOFTWARE

Para la Solución de problemas básicamente en este documento se utiliza el Excel, calculando las probabilidades de transición y las probabilidades del estado estable. Puede ser hallado de manera simplificada mediante el uso de software, tal como el POM QM. En internet también se puede acceder por ejemplo a:

https://matrixcalc.org/es/

5. PROCEDIMIENTO TÉCNICO Probabilidades de transición:

a. Definir la matriz del estado inicial (período 0) y la matriz de transición.

b. Multiplicar la matriz del estado inicial (periodo 0) por la matriz de transición.

c. El resultado será una matriz de probabilidades del estado inicial (período 1).

d. Si se vuelve a multiplicar el resultado por la matriz de transición (que permanece fija en todos los procesos de multiplicación) se obtendrá la matriz de probabilidades del estado inicial (período 2).

e. Así sucesivamente se obtendrá los resultados para los períodos siguientes.

f. Si se continúa con el proceso de multiplicación de las matrices, se llegará a un periodo n en el cual las probabilidades resultantes ya no varíen, se habrá llegado así a las probabilidades del estado estable.

(8)

Importante: Siempre se debe comprobar que la suma de las probabilidades de las filas tanto en la matriz del estado inicial como la matriz de transición, así como las matrices de probabilidades que se obtengan para los períodos 1, 2, etc. deben sumar 1.

Probabilidades del estado estable:

a. Transponer la matriz de transición, igualar con una matriz de probabilidades como incógnitas (p1, p2 y p3) e integrar una fila con valores 1 que serán iguales a 1,

b. Excluir una fila (1, 2, ...), igualar a 0 pasando de un miembro a otro las incógnitas (p1, p2, ...) que pasan restando, generando así la matriz A y c.

c. Hallar la matriz inversa de A y multiplicarla por la matriz c (A^-1 c). El resultado será una matriz con las probabilidades de estado estable o equilibrio.

6. PROBLEMAS RESUELTOS

Nota: Por efectos prácticos al utilizar el Excel para representar una matriz en ves de los paréntesis se utilizarán líneas en los bordes.

1. Al 1 de setiembre del año 2020, del total de los suscriptores de periódicos en una determinada región, El Heraldo tiene la fracción 1/2, La Tribuna tiene 1/4, y la Gaceta, 1/4 también. Durante el mes de setiembre, El Heraldo conserva 7/8 y el 1/8 que pierde pasa a La Tribuna. Este último diario conserva 1/12 de sus suscriptores y pierde 3/4 que pasan a El Heraldo, y 1/6 a La Gaceta. Este último conserva 1/3 y pierde 1/2 que pasa a El Heraldo, y 1/6 a la Tribuna.

Supóngase que no hay nuevos suscriptores y que ninguno cancela su suscripción. Adaptado de Weber (1986, pág. 773).

a. ¿Qué proporción de los suscriptores tendrá cada periódico al 1 de octubre del 2020?

b. Si el mismo patrón de ganancias y pérdidas de suscriptores continúa en el mes de octubre, ¿qué proporción de suscriptores tendrá cada periódico al 1 de noviembre del 2020?

c. Si no cambia el mismo patrón de pérdidas y ganancias en los siguientes meses, ¿qué proporción de suscriptores tendrá cada periódico a largo plazo (es decir, en estado de equilibrio)?

d. Hallar el mes que se llega al equilibrio.

Solución:

a. Probabilidades de transición:

Matriz del estado inicial

ESTADO INICIAL

Heraldo Tribuna Gaceta Suma

0,5000 0,2500 0,2500 1,0000

(9)

Matriz de transición MATRIZ DE TRANSICIÓN

Heraldo 0,8750 0,1250 0,0000 1,0000

Tribuna 0,7500 0,0833 0,1667 1,0000

Gaceta 0,5000 0,1667 0,3333 1,0000

Para el 1 de octubre:

0,8750 0,1250 0,0000

0,5000 0,2500 0,2500 * 0,7500 0,0833 0,1667 = 0,7500 0,1250 0,1250 0,5000 0,1667 0,3333

La proporción de suscriptores para el 1 de octubre se espera que será: El Heraldo 0,7500, La Tribuna 0,1250 y La Gaceta 0,1250.

b. Probabilidades de transición:

Si continúa el patrón, para el 1 de noviembre:

0,8750 0,1250 0,0000

0,7500 0,1250 0,1250 * 0,7500 0,0833 0,1667 = 0,8125 0,1250 0,0625 0,5000 0,1667 0,3333

La proporción de suscriptores para el 1 de noviembre se espera que será: El Heraldo 0,8125, La Tribuna 0,1250 y La Gaceta 0,0625.

Y así sucesivamente (ver ítem d. del presente problema),

c. Probabilidades de estado estable

- Transponer matriz de transición, igualar con una matriz de probabilidades como incógnitas (p1, p2, ...) e integrar una fila con valores 1 que serán iguales a 1 (ecuación 4):

p1 p2 p3

0,8750 0,7500 0,5000 = p1 (1)

0,1250 0,0833 0,1667 = p2 (2)

0,0000 0,1667 0,3333 = p3 (3)

1 1 1 = 1 (4)

- Excluir una fila (1, 2, ...), igualar a 0 pasando de un miembro a otro las

(10)

incógnitas (p1, p2, ...) que pasan restando, generando así la matriz A y c.

A c

p1 p2 p3

0,1250 -0,9167 0,1667 = 0 (2)

0,0000 0,1667 -0,6667 = 0 (3)

1 1 1 = 1 (4)

- Hallar la matriz inversa de A y multiplicarla por la matriz c (A^-1 c)

A^-1 c

1,2121 1,5758 0,8485 0 0,8485

-0,9697 -0,0606 0,1212 * 0 = 0,1212

-0,2424 -1,5152 0,0303 1 0,0303

Por lo tanto, a largo plazo, del total de suscriptores, El Heraldo tendrá el 0,8485 de suscriptores, La Tribuna 0,1250 y La Gaceta 0,0303. Nótese que La Tribuna a partir de octubre del 2020 prácticamente mantiene la proporción de sus suscriptores.

d. Período de equilibrio

No hay forma de hallarlo sino de calcular de manera sucesiva las probabilidades o proporciones de transición hasta encontrar un período donde los resultados se mantienen constante:

Cálculo del período de estado estable o equilibrio

Día Período Heraldo Tribuna Gaceta

01-set-20 0 0,5000 0,2500 0,2500

01-oct-20 1 0,7500 0,1250 0,1250

01-nov-20 2 0,8125 0,1250 0,0625

01-dic-20 3 0,8359 0,1224 0,0417

01-ene-21 4 0,8441 0,1216 0,0343

01-feb-21 5 0,8469 0,1214 0,0317

01-mar-21 6 0,8479 0,1213 0,0308

01-abr-21 7 0,8483 0,1212 0,0305

01-may-21 8 0,8484 0,1212 0,0304

01-jun-21 9 0,8485 0,1212 0,0303

01-jul-21 10 0,8485 0,1212 0,0303

01-ago-21 11 0,8485 0,1212 0,0303

01-sep-21 12 0,8485 0,1212 0,0303

Se puede observar que el 01 de junio del 2021, transcurrido 9 meses desde el

(11)

primer registro, se llega al equilibrio.

2. Se conoce que si una fotocopiadora de oficina está funcionando un día (S1), existe una probabilidad de 0,75 de que al día siguiente funcione y un 0,25 de probabilidades de que no funcione (S2). Pero si no está funcionando, hay 0,75 de probabilidad de que tampoco funcione al día siguiente y sólo un 0,25 de que si lo haga (lleva mucho tiempo la reparación). Los estados posibles son que esté funcionando con una probabilidad de S1 = 0,80 y que no esté funcionando de S2 = 0,20. Se solicita calcular:

a. Las probabilidades de transición, para los 4 días siguientes.

b. Las probabilidades del estado estable.

c. El momento en que la proporción sea estable de que funcione o no.

Solución:

La matriz del estado inicial es:

ESTADO INICIAL

Funciona No funciona Suma

0,8000 0,2000 1,0000

La matriz de transición es la siguiente:

Matriz de transición

ESTADO INICIAL

Funciona 0,7500 0,2500 1,0000

No funciona 0,2500 0,7500 1,0000

a. Probabilidades de transición

0,8000 0,2000 * 0,7500 0,2500 = 0,6500 0,3500 0,2500 0,7500

Para el día 1 (considerando el inicial como día 0), la probabilidad que funcione es de 0,65 y que no funcione de 0,35.

Las probabilidades del estado de transición, a través de cálculos sucesivos en el Excel para los 4 días siguientes al estado inicial son:

(12)

Probabilidades del estado de transición

Día Funciona No funciona

0 0,8000 0,2000

1 0,6500 0,3500

2 0,5750 0,4250

3 0,5375 0,4625

4 0,5188 0,4813

Significa que el día 1, la probabilidad que la fotocopiadora funcione es de 0,65 y que no funcione de 0,35, el día 4 las probabilidades que funcione o no funcione son 0,5188 y 0,4813 respectivamente.

b. Probabilidades del estado estable:

Transponer la matriz de transición

0,7500 0,2500

0,2500 0,7500

Restar -1 a la diagonal principal

-0,2500 0,2500

0,2500 -0,2500

Reducción e integrar unos

0,2500 -0,2500

1 1

Matriz inversa Matriz 0s y 1 Estado estable

2,0000 0,5000

* 0

= 0,5000

-2,0000 0,5000 1 0,5000

La fotocopiadora llegará un momento en que un día funcione y el otro no. Esta situación permanecerá estable.

c. El período o día a partir de la observación inicial en que la situación sea estable se calcula hallando para los días subsiguientes las probabilidades de transición y observar el período en la que éstas dejen de modificarse.

(13)

Período de estado estable o equilibrio

Día Funciona No funciona

0 0,8000 0,2000

1 0,6500 0,3500

2 0,5750 0,4250

3 0,5375 0,4625

4 0,5188 0,4813

5 0,5094 0,4906

6 0,5047 0,4953

7 0,5023 0,4977

8 0,5012 0,4988

9 0,5006 0,4994

10 0,5003 0,4997

11 0,5001 0,4999

12 0,5001 0,4999

13 0,5000 0,5000

14 0,5000 0,5000

15 0,5000 0,5000

Como se puede observar a partir del día 13 los valores se hacen constantes, significando que el proceso se ha estabilizado. Un día la fotocopiadora funcionará y otro no.

3. En cierta ciudad, cada año 5% de los residentes del área urbana se traslada a los suburbios y 2% de los que habitan los suburbios se trasladan al área urbana. Suponiendo que el número total de habitantes de la ciudad permanezca constante, y que actualmente el 60% de la población pertenece al área urbana, determinar las proporciones de residentes en el área urbana y en los suburbios. Adaptado de Weber (1986, pág. 774).

a. Mediante el cálculo de las probabilidades de transición, hallar los periodos hasta que ingresa a un estado estable, en el largo plazo.

b. Comprobar y comentar lo anterior calculando las probabilidades del estado estable.

Solución:

Nota: Debe estudiar los problemas 2 y 3, a continuación, se procede a solucionar el problema, sin proseguir con explicaciones parciales.

(14)

ESTADO INICIAL

Urbana Suburbios Suma

0,6000 0,4000 1,0000

ESTADO INICIAL

Urbana Suburbios Suma

0,9500 0,0500 1,0000

0,0200 0,9800 1,0000

a.

Período de estado estable o equilibrio

Período Urbana Suburbios

0 0,6000 0,4000

1 0,5780 0,4220

2 0,5575 0,4425

... ... ...

10 0,4378 0,5622

11 0,4272 0,5728

12 0,4173 0,5827

... ... ...

125 0,2858 0,7142

126 0,2857 0,7143

127 0,2857 0,7143

b.

Transponer la matriz de transición

0,9500 0,0200

0,0500 0,9800

(15)

Restar -1 a la diagonal principal

-0,0500 0,0200

0,0500 -0,0200

Reducción e integrar unos

0,0500 -0,0200

1 1

Matriz inversa Matriz 0s y 1 Estado estable

14,2857 0,2857 0 0,2857

-14,2857 0,7143 1 0,7143

A largo plazo, del total de residentes de la ciudad el 0,2857 serán residentes en el área urbana y 0,7143 residirán en los suburbios. Nótese que, en este estado de equilibrio, cada año 0,05 x 0,2857 = 0,01429 de la población se desplaza del área urbana a los suburbios y 0,02 * 0,7143 = 0,014291/70 de la población se traslada de los suburbios al área urbana, de forma que la cantidad de residentes en tal área y en los suburbios es constante o estable. A su vez se advierte que al darse esto en el año 126 es poco real considerar que se pueda cumplir por lo alejado del tiempo y porque difícilmente se podría dar el supuesto que el número total de habitantes de la ciudad permanezca constante.

4. En una Unidad de Cuidados Intensivos en un determinado hospital, cada paciente es clasificado de acuerdo a un estado crítico, reservado o estable.

Estas clasificaciones son actualizadas cada mañana por un médico internista, de acuerdo a la evaluación experimentada por el paciente. Las probabilidades con las cuales cada paciente se mueve de un estado a otro se resumen en la tabla que sigue:

MATRIZ DE TRANSICIÓN Crítico Reservado Estable

Crítico 0,6000 0,3000 0,1000

Reservado 0,4000 0,4000 0,2000

Estable 0,1000 0,4000 0,5000

Se solicita hallar:

a. ¿Cuál es la probabilidad que un paciente en estado crítico un jueves esté estable el sábado?

b. ¿Cuál es la probabilidad que un paciente que está en estado estable el lunes

(16)

experimente alguna complicación y no esté estable nuevamente el miércoles?

c. ¿Qué porcentaje de la Unidad de Cuidados Intensivos usted diseñaría y equiparía para pacientes en estado crítico?

Referencia:

https://www.gestiondeoperaciones.net/cadenas-de-markov/cadenas-de-markov- ejercicios-resueltos/

Solución:

a. Si está en estado crítico se tendría:

ESTADO INICIAL

Crítico Reservado Estable Suma

1,0000 0,0000 0,0000 1,0000

Las probabilidades de transición del jueves al sábado (dos días) son:

Crítico Reservado Estable Crítico Reservado Estable

0,6000 0,3000 0,1000

1,0000 0,0000 0,0000 * 0,4000 0,4000 0,2000 = 0,6000 0,3000 0,1000 0,1000 0,4000 0,5000

0,6000 0,3000 0,1000

0,6000 0,3000 0,1000 * 0,4000 0,4000 0,2000 = 0,4900 0,3400 0,1700 0,1000 0,4000 0,5000

La probabilidad de que un paciente esté en estado crítico el jueves y que el sábado esté estable, es de 0,17, es decir, la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas (días).

b.

ESTADO INICIAL

Crítico Reservado Estable Suma

0,0000 0,0000 1,0000 1,0000

Las probabilidades de transición son:

(17)

Crítico Reservado Estable Crítico Reservado Estable

0,6000 0,3000 0,1000

0,0000 0,0000 1,0000 * 0,4000 0,4000 0,2000 = 0,1000 0,4000 0,5000 0,1000 0,4000 0,5000

0,6000 0,3000 0,1000

0,1000 0,4000 0,5000 * 0,4000 0,4000 0,2000 = 0,2700 0,3900 0,3400 0,1000 0,4000 0,5000

Está en estado estable el lunes experimente alguna complicación y no esté estable nuevamente el miércoles (dos días) el que no este estable significa o que está en estado crítico o reservado, por lo tanto es la sumatoria de sus probabilidades:

0,2700 + 0,3900 = 0,6600

c. La respuesta es hallando las probabilidades del estado estable.

Transponer

p1 p2 p3

0,6000 0,4000 0,1000 = p1 (1)

0,3000 0,4000 0,4000 = p2 (2)

0,1000 0,2000 0,5000 = p3 (3)

1 1 1 = 1 (4)

Igualar a 0 y excluir una ecuación (1, 2 o 3)

p1 p2 p3 c

-0,4000 0,4000 0,1000 = 0

0,3000 -0,6000 0,4000 = 0

1 1 1 = 1

A^-1 c

-1,8868 -0,5660 0,4151 0 0,4151

0,1887 -0,9434 0,3585 0 0,3585

1,6981 1,5094 0,2264 1 0,2264

Las probabilidades para el estado estable en el caso de pacientes en estado crítico son de 0,4151, para el estado reservado de 0,3585 y para el estable de 0,2264. De donde se deduce que el porcentaje de la Unidad de Cuidados Intensivos que se diseñaría y equiparía para pacientes en estado crítico debe ser de 0,41 tanto en áreas físicas, sino también en la asignación de recursos.

(18)

7. PROBLEMAS PROPUESTOS¹

1. Es un estado inicial, el 1 de enero del 2022, el 0,60 de la población en estudio asiste a Cinemark, el 0,30 a Cineland y el 0,10 a Royal Films.

Un estudio determina que, a mediados del año 2022 (semestre 0), Cinemark conserva el 0,60 de su público, el 0,30 que pierde pasa a tener la preferencia por Cineland y el 0,10 pasa a Royal Films. Cineland conserva el 0,40 de su público, el 0,50 se pasa a Cinemark y el 0,10 a Royal Films. Este último conserva el 0,80 de su público, pero el 0,10 prefiere pasarse a Cinemark y otro 0,10 se pasa a Cineland, se solicita calcular:

a. Las probabilidades de transición, para los semestres 1 al 6.

b. Las probabilidades del estado estable.

c. Hallar el semestre en el cual se llega al estado estable.

Referencia: https://www.youtube.com/watch?v=igl5KZP0flU

2. Una empresa está considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

MATRIZ DE TRANSICIÓN

1 2 3

1 0,8000 0,1000 0,1000

2 0,0300 0,9500 0,0200

3 0,2000 0,0500 0,7500

En la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuáles serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más? ¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas descritas?

Referencia: https://www.gestiondeoperaciones.net/cadenas-de-markov/cadenas- de-markov-ejercicios-resueltos/

3. Para el problema resuelto 1, utilizando el POM – QM calcular las probabilidades para el estado estable y de los estados de transición para los semestres 1 y 2, compararlos con los obtenidos con el Excel.

4. Para el problema resuelto 2, utilizando el POM – QM calcular las probabilidades para el estado estable y de los estados de transición para los 4

1 Ver en el Anexo A las respuestas para los problemas propuestos.

(19)

días siguientes al estado inicial y compararlos con los obtenidos con el Excel.

5. Para el problema 1, respecto a la suscripción de periódicos se solicita para los 2 meses siguientes calcular:

a. La proporción de suscriptores que tendrá El Heraldo, dado que el estado inicial de determinado día indica que sólo se tienen suscriptores en dicho diario.

b. La proporción de suscriptores que tendrá La Tribuna, dado que el estado inicial de determinado día indica que sólo se tienen suscriptores en dicho diario.

c. La proporción de suscriptores que tendrá La Gaceta, dado que el estado inicial de determinado día indica que sólo se tienen suscriptores en dicho diario.

6. Para el problema 2, respecto a la fotocopiadora se solicita para los 4 días siguientes calcular:

a. Las probabilidades que la fotocopiadora esté funcionando = P(S1), dado que el estado inicial de determinado día es que está funcionando (S1).

b. Que no esté funcionando = P(S2), si el estado inicial es que no esté funcionando (S2).

BIBLIOGRAFÍA

WEBER, Jean Matemáticas para Administración y Economía. México, Cuarta Edición, 1986.

Páginas web:

https://www.youtube.com/watch?v=igl5KZP0flU

(20)

ANEXO A: RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Datos:

ESTADO INICIAL

Cinemark Cineland Royal Films Suma

0,6000 0,3000 0,1000 1,0000

Cinemark 0,6000 0,3000 0,1000 1,0000

Cineland 0,5000 0,4000 0,1000 1,0000

Royal Films 0,1000 0,1000 0,8000 1,0000

a.

Período Cinemark Cineland Royal Films

0 0,6000 0,3000 0,1000

1 0,5200 0,3100 0,1700

2 0,4840 0,2970 0,2190

3 0,4608 0,2859 0,2533

4 0,4448 0,2779 0,2773

5 0,4336 0,2723 0,2941

6 0,4257 0,2684 0,3059

b.

0,4074 0,2593 0,3333 1,0000

(21)

c. Semestre 23

Semestre Cinemark Cineland Royal Films

0 0,6000 0,3000 0,1000

1 0,5200 0,3100 0,1700

2 0,4840 0,2970 0,2190

3 0,4608 0,2859 0,2533

.... .... .... ....

22 0,4075 0,2593 0,3332

23 0,4074 0,2593 0,3333

24 0,4074 0,2593 0,3333

2. Se concluye que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dos meses ha cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1, 2 y 3 respectivamente.

La solución del sistema corresponde a: 0,2371, 0,6186 y 0,1443, que representan las cuotas de mercado en el largo plazo para las marcas 1, 2 y 3, respectivamente.

3. El módulo en el POM – QM es: Markov Analysis, lo que hay que ingresar al problema es el número de Estados, que para el caso son 3 (3 filas y 3 columnas), se integrará a la matriz de transición el estado inicial, el ingreso de datos se efectúa del modo siguiente:

N° de transiciones: 2 (Nota: meses 1 y 2)

Estado Inicial

Heraldo 0,5000 0,8750 0,1250 0,0000 1,0000

Tribuna 0,2500 0,7500 0,0833 0,1667 1,0000

Gaceta 0,2500 0,5000 0,1667 0,3333 1,0000

Los resultados son:

Probabilidad de estado estacionario 0,8485 0,1212 0,0303

Las probabilidades del estado estacionario indican que la distribución de suscripciones se estabiliza proporcionalmente en 0,8485 para El Heraldo, en 0,1212 para la Tribuna y en 0,0303 para La Gaceta.

Las probabilidades de los estados de transición son:

(22)

Heraldo Tribuna Gaceta Fin del período 1

Probabilidad final (dada inicial) 0,7500 0,1250 0,1250

Fin del período 2

Probabilidad final (dada inicial) 0,8125 0,1250 0,0625 Indicando que para el 1 de octubre del 2020 se prevé que la proporción de suscripciones para El Heraldo será de 0,7500, para La Tribuna 0,1250 y para la Gaceta 0,1250.

Para el 1 de noviembre del 2020 se prevé que la proporción de suscripciones para El Heraldo será de 0,8125, para La Tribuna 0,1250 y para la Gaceta 0,06250.

Se puede concluir que los resultados son los mismos que los obtenidos a través del Algebra Lineal con el Excel.

4. En el POM – QM módulo Markov Analysis:

El ingreso de datos es el siguiente:

Estado Inicial ESTADO INICIAL Funciona No funciona

Funciona 0,8000 0,7500 0,2500

No funciona 0,2000 0,2500 0,7500

Los resultados son: (dada inicial significa dadas las probabilidades del estado inicial.

Probabilidad de estado estacionario 0,5000 0,5000

Las probabilidades de los estados de transición son:

Funciona No funciona Fin del período 1

Probabilidad final (dada inicial) 0,6500 0,3500 Fin del período 2

Probabilidad final (dada inicial) 0,5750 0,4250 Fin del período 3

Probabilidad final (dada inicial) 0,5375 0,4625

Fin del período 4

Probabilidad final (dada inicial) 0,5188 0,4813

(23)

5. Las probabilidades relacionadas con un estado inicial en la que sólo se tenga suscriptores para un solo periódico se halla considerando tal situación en el Estado inicial, 1 para el “Si tiene suscriptores” y 0 para el “No tiene suscriptores” tanto en el Excel como en el POM – QM.

Las proporciones calculadas para el estado estable no varían, El Heraldo tendrá el 0,8485 de las suscripciones, La Tribuna el 0,1250 y La Gaceta el 0,0303.

Para el Excel con algebra lineal es posible calcular modificando la matriz del estado inicial, considerando los tres casos por separado, ingresando un 1 como la proporción inicial cubierta por cada periódico, por ejemplo, para El Heraldo:

Cuando la matriz del estado inicial es: (H=1, T=0, G=0)

ESTADO INICIAL

1,0000 0,0000 0,0000 1,0000

Las probabilidades de transición, en el período 1 serán: El Heraldo tendrá el 0,8750 de las suscripciones, La Tribuna el 0,1250 y La Gaceta el 0,0000, en el período 2, El Heraldo tendrá el 0,8594 de las suscripciones, La Tribuna el 0,1198 y La Gaceta el 0,0208.

ESTADO INICIAL

0,0000 1,0000 0,0000 1,0000

ESTADO INICIAL

0,0000 0,0000 1,0000 1,0000

(24)

En el POM – QM el cálculo es por defecto para los dos meses siguientes indica:

Respuesta a. Respuesta b. Respuesta c.

Heraldo Tribuna Gaceta

Fin del período 1

Heraldo (H=1, T= 0, G=0) 0,8750 0,1250 0,0000

Tribuna (H=0, T=1, G=0) 0,7500 0,0833 0,1667

Gaceta (H=0, T=0, G=1) 0,5000 0,1667 0,3333

Heraldo (H=1, T= 0, G=0) 0,8594 0,1198 0,0208

Tribuna (H=0, T=1, G=0) 0,8021 0,1285 0,0694

Gaceta (H=0, T=0, G=1) 0,7292 0,1319 0,1389

6. Las probabilidades relacionadas con un estado inicial se hallan considerando en el Estado inicial, 1 para “Si está funcionando” y 0 para “No está funcionando”.

Las proporciones calculadas para el estado estable no varían, la probabilidad que funcione se equilibra cuando la fotocopiadora funciona en el 0,50 de los días y no funciona en igual proporción.

Cuando la matriz del estado inicial es: (Funciona=F=1, No funciona=NF=0)

ESTADO INICIAL

1,0000 0,0000 1,0000

Las probabilidades de transición, en el día 1 serán: Funciona (F) = 0,7500 y No Funciona (NF) = 0,2500, en el día 2: F = 0,6250 y NF = 0,3750, el día 3: F = 0,5625 y NF = 0,4375 y el día 4: F = 0,5313 y NF = 0,4688.

Cuando la matriz del estado inicial es: (Funciona=F=0, No funciona=NF=1)

(25)

ESTADO INICIAL

0,0000 1,0000 1,0000

Las probabilidades de transición, en el día 1 serán: Funciona (F) = 0,2500 y No Funciona (NF) = 0,7500, en el día 2: F = 0,3750 y NF = 0, 6250, el día 3: F = 0,4375 y NF = 0, 5625 y el día 4: F = 0,4698 y NF = 0,5313.

En el POM – QM el cálculo es por defecto para los dos meses siguientes indica:

Funciona No funciona Fin del período 1

Funciona (F=1, NF=0) 0,7500 0,2500

No funciona (F=0, NF=1) 0,2500 0,7500

Funciona (F=1, NF=0) 0,6250 0,3750

No funciona (F=0, NF=1) 0,3750 0,6250

Funciona (F=1, NF=0) 0,5625 0,4375

No funciona (F=0, NF=1) 0,4375 0,5625

Funciona (F=1, NF=0) 0,5313 0,4688

No funciona (F=0, NF=1) 0,4688 0,5313