Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)

Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)

Supongase que se quieren hallar los valores extremos (m´aximo ´o m´ınimo) de una funci´on f (x, y) sujeta a la restircci´on x² + y² = 1; esto es, que (x, y) est´a en el circulo unitario. con mayor generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar f (x, y) sujeta a la condici´on adicional de que (x, y) tambi´en satisfaga una ecuaci´on g(x, y) = c donde g es alguna funci´on y c es una constante [En el ejemplo g(x, y) = x²+ y² y c = 1]. El conjunto de dichas (x, y) es un conjunto de nivel de g.

En general, sean f : u ⊂ Rⁿ→ R y g : u ⊂ Rⁿ → R funciones C¹ dadas, y sea S el conjunto de nivel de g con valor c. [Recordar que el conjunto de nivel son los puntos x ∈ Rⁿ con g(x) = c]

Cuando f se restringe a S, de nuevo tenemos el concepto de m´aximos locales o m´ınimos locales de f (extremos locales), y un m´aximo (valor mayor) o un minimo absoluto (valor menor) debe ser un extremo local.

Si f |_s (f restringida a s) tiene un m´aximo o un m´ınimo local en S, en x₀, entonces existe un n´umero real λ tal que ∇f (x₀) = λ∇g(x₀).

Demostraci´on: Para n = 3 el espacio tangente o plano tangente de S en x₀ es el espacio ortogonal a ∇g(x₀) y para n arbitraria podemos dar la misma definici´on de espacio tangente de S en x₀. Esta definici´on se puede motivar al considerar tangentes a trayectorias c(t) que estan en s, como sigue: si c(t) es una trayectoria en S y c(0) = x₀, entonces c⁰(0) es un vector tangente a S en x₀, pero

dg(c(t)) dt = d

dt(c) = 0 Por otro lado usando regla de la cadena

d

dtg(c(t))    _t=0

= ∇g(x0) · c⁰(0)

de manera que ∇g(x₀) · c⁰(0) = 0, esto es, c⁰(0) es ortogonal a ∇g(x₀).

Si f |_s tiene un m´aximo en x₀, entonces f (c(t)) tiene un m´aximo en t = 0. Por c´alculo de una variable, df (c(t))

dt    t=0

= 0.

Entonces por regla de la cadena 0 = df (c(t)) dt

   t=0

= ∇f (x₀) · c⁰(0).

Asi, ∇f (x₀) es perpendicular a la tangente de toda curva en S y entonces tambien es perpendicular al espacio tangente completo de S en x₀. Como el espacio perpen- dicular a este espacio tangente es una recta, ∇f (x₀) y ∇g(x₀) son paralelos. Como

∇g(x₀) 6= 0, se deduce que ∇f (x₀) es multiplo de ∇g(x₀).

Corolario.- Si f al restringirse a una superficie S, tiene un m´aximo o un m´ınimo local en x₀, entonces ∇f (x₀) es perpendicular a S en x₀.

La geometria de los valores extremos restringidos.

Ejemplo.- Sea S ⊂ R² la recta que pasa por (−1, 0) inclinada a 45^o, y sea f : R² → R daa asi f (x, y) = x²+ y². Hallar los extremos de f |_s.

Soluci´on.- Aqui S = {(x, y)|y − x − 1 = 0} y por lo tanto hacemos g(x, y) = −y − x − 1 y c = 0. Tenemos ∇g(x, y) = −i + j 6= 0. Los extremos relativos de f |_s deben hallarse entre los puntos en que ∇f es ortogonal a S, esto es, inclinada a −45^o. Pero

∇f (x, y) = (2x,2y), que tiene la pendiente deseada s´olo cuando x = −y, o cuando (x, y) est´a sobre la recta L, que pasa por el origen inlinada a −45^o. Esto puede suceder en el conjunto S s´olo para el unico punto en el que se intersecan L y S. Al referirnos a las curvas de nivel de f se indica que este punto (−¹₁,¹₂) es un m´ınimo relativo de f |_s (Pero no de f ).

Ejemplo.- Sea f : R² → R dada asi f(x, y) = x² − y² y sea S el circulo de radio 1 alrededor del origen. Halar los extremos de f |_s.

Soluci´on.- El conjunto S es la curva de nivel para g con valor t. Donde g : R² → R, (x, y) → x² + y². La condici´on de que ∇f = λ∇g en x₀, es decir que ∇f y ∇g son pararlelos en x0, es la misma que las curvas de nivel sean tangentes en x0. Asi los puntos extremos de f |_s son (0, ±1) y (±1, 0). Evaluando f hallamos que (0, ±1) son m´ınimos y (±1, 0) son m´aximos. Usando Multiplicadores de lagrange

∇f (x, y) = (2x, 2y) y ∇g(x, y) = (2x, 2y)

∴ (2x, −2y) = λ(2x, 2y) cuya soluci´on es (0, ±1), (±1, 0).

Ejemplo.- Maximizar la funci´on f (x, y, z) = x + z sujeta a la restricci´on x²+ y² + z² = 1

Soluci´on.- Buscamos λ y (x, y, z) tales que 1 = 2xλ, 0 = 2yλ y 1 = 2zλ x²+y²+z² = 1 la soluci´on es (^√1₂, 0,^√1₂), (−^√1₂, 0, −^√1₂) comprobando los valores de f en estos puntos podemos ver que el primer punto produce el m´aximo de f y el segundo el m´ınimo.

Ejemplo.- Hallar los puntos extremos de f (x, y, z) = x + y + z sujeto a las dos condiciones x²+ y² = 2 y x + z = 1

Soluci´on.- Aqu´ı hay dos restricciones g₁ = (x, y, z) = x² + y² − 2 = 0 g₂(x, y, z) = x + z − 1 = 0 asi, debemos encontrar x, y, z, λ₁ y λ₂ tales que

∇f (x, y, z) = λ₁∇g(x, y, z) + λ₂∇g₂(x, y, z)

Calculando gradientes e igualando componentes, obtenemos

1 = λ₁· 2x + λ₂· 1 (1)

1 = λ₁2y + λ₂· 0 (2)

1 = λ₁· 0 + λ₂· 1 (3)

x²+ y² = 2 (4)

x + z = 1 (5)

De (3) λ₂ = 1 y asi 2xλ₁ = 0, 2yλ₁ = 1. Como la segunda implica λ₁ 6= 0 x = 0. Asi y = ±√

2 y z = 1. Entonces los extremos deseados son (0, ±√

2, 1). Por inspecci´on (0,√

2, 1) da un m´aximo relativo y (0, −√

2, 1) un m´ınimo relativo.

La condici´on x+z = 1 implica que z tambien esta acotada. Se deduce que el conjunto de restricciones S es cerrada y acotada, Por lo tanto f tiene un m´aximo y un m´ınimo en S que se deben alcanzar en (0,√

2, 1) y (0, −√

2, 1) respectivamente.