Algunos resultados sobre numerable-compactificaciones y secuencial-compactificaciones

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

TESIS DOCTORAL

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR

José Luis Pinilla Ferrando

Madrid, 2015

© José Luis Pinilla Ferrando, 1978

Algunos resultados sobre numerable-compactificaciones y

secuencial-compactificaciones

T - T

14 M

BIBLIOTECA UCM

5305735013

"ALGUNOS RE S U L T A O O S SOBRE NUMERABLE-COI'IPACT IF ICAC lONES Y SECUENCIAL-CQFIPACTIFICACIONES"

Esta TESIS DOCTURAL fue p re se nt ad a por DON J05E LUIS PINILLA FERRANDO, en la Facultad de Cien c i a s K a te ma ti ca s de la U n iv er si da d C om pl u t e n s e oe Maorio, para la obtencion del gradQ de DOCTOR EN CIENCIAS MATEMATICAS. Fue dirigida por el Agregado de oicha Facultad Dr. D. ENRIQUE OUTERELO DOMINGUEZ.

luN lV E R S ID A D COMPLUTENSE

WL

N.° Hearistio

- 1 -

I N T R O O U C C I Q N

Las d i s t i n t as c a r a c t e r i z a c i o n e s de los c e r r a d o s y a cotados de la recta real, dan lugar a d i f e r e n t e s tipos de compacidad.

Entre estas destacan: Los e s p a c i o s compactos, los espa c i o s nu m e r a b l em en te compactos, los e s p a c i o s s e c u e n c i a l m e n te compactos, los espa c i o s de Bolzano-Ueiersitrass y los espa c i o s de U ei er st ra ss

En esta memoria se p r e t e n d e realizar un estudio detallado de los e sp a c i o s t o p o l o gi co s n u m e r a b l e m e n te c o m p actos y se­

c u e n ci a l m e n te c o m p a c t o s . Asi, el C a p i t ulo III se dedica al es­

tudio de los espacios n u m e r a b l e m e n te com p a c t o s y l o c a l m e n te n u ­ m e ra b l e m e n te c o m p actos y el C a p i t u l o 11/ a los e s pacios secuen - cia l m e n t e c om p a c t o s y localmenite s e c u e n c i a l m e n te compactos.

Por otro lado, es bien c o m o c i d o la i mp or t a n c i a oe sumergir un espacio topologico dentro d e un espacio compacte, dando lu­

gar al estudio de las compactitficaciones de un espacio t o po l o ­ gico, tema sobre el cual e x i s t e una extensa b i b l i o g r a f i a ,,

En rela c i o n con las c o m p a e t i f i c a c i o n e s y el estudio de les M - e s p a c i o s , K. Mori t a , en (28), con s i d é r a el problems de s u m e r ­ gir un espa c i o topolo g i c o en u m espacio n u m e r a b l e m e n te compacte.

E s to da lugar a las n um er ab l es compact i fi ca c i o n e s .

El C a p i t u l e \J de esta m em er ia , se dedica a las n u me r a b l e s c d m p a c t i f i c a c i o n e s de un e s p a c i o topologico.

Por ultimo, en relacion c o n el problema de d e sc ri p c i o n de t ermines topologicos, utilizan'do e x c l u s i v a m e n te la teoria de c o n ve rg en ci a de sucesiones, R. BROUN en ( 9), sumerge un espacio to pologico en un espacio s e c u e m c i a l m e n t e compacte, o b t e n ie nd os e lo que d e n o m i n am os s e cuencial c om p a c t i f i c a c i o n de A l e x a n dr of f

- 1 1 “

de un espacio topologico. Este trabajo y el citado an teriormen te de K. MORITA, nos ha 1 levado a co n s i d e r a r las secuenc i a l e s c om p a c t i f i c a c i o n e s de un espacio topologico, a las que se de­

dica el C a pitulo V I .

En el Capitulo I y primer parrafo del Capitulo II, se re- coge el m aterial auxi l i a r necesario en los capi tulos siguien t e s .

En los parrafo s 2 , 3 , y 4 oel Capitulo II, se e s tablecen al- gunos r e s u l t a do s de los axiomas de separacior que son indepen- dientes del resto de la memoria.

A efecto de f a c ilitar la lectura de esta memoria, se ha incluido, sin d e m o s t r a c i o n e s , los result a d o s mas conocidos de los con c e p t o s que se tratan en cada capitulo. Ello da lugar, tel v e z , a una excesiva extension.

A cont inuacion se pa sa a detallar el con ten i do de cada c a p i t u l o , haciendo hincapie en los r e sultados que no hemos encon t r a d o en la b ib li og r a f i a existente sobre e s to s ternes.

En el parrafo 1 del Capitulo I, se estudian a l g unas

g e n e r a l i z a c i o n e s del I .A ,N ..S e enfoca la introdu c c i o n de estos conceptos d e finiendo el rango de un espacio topologico (22). De algunos de estes axiomas se estudia su c o mp o rt am ie nt o frente a la c o n s t r u c c i o n de t o pologies iniciales y finales. Oe entre es tos cabe destacar los esoacios s u b s e c u e n c i a l e s , de los cuales solo hemos e n contrado en la bibliografia, su d e f i n i c i o n (15).

Estos e s pacios parecen tener una i mportancia analoga a la de los e s pacios de Frechet y secuenciales,

Tambie^n se estudia la relacion de los espacios subsecuen*- Giales con las d is t i n t a s g e n e r a l iz ac io ne s conocidas del I,A,N,

- 1 1 1 -

El estudio de las n u m e r a b l e s c c m p a c t i f i c a c i o n e s de Alexan aroff y s e cu en c i a l e s c c mp a c t i f i c a c i o n e s de Alexandroff, nos ha 1 levado a définir los espacios i s o - s e cu en ci al es compactes.

Los p ar r a f o s 2, 3 y ^ del Capitulo I se dedican a nstudiar g e n e r a l i z ac io ne s de los axiomas: II.A.N, , L ’ndelof y se p a r a ­ ble r e s pect!vamente. Estas g e n e r a li za ci on es s u rgen al sustituir el cardioal por un cardinal e s t rictamente mayor.

En to da s estas g e ne r a l i z a c i o n e s , se estudian el comport a- miento de cada uno rie los espacios i n t r o d u c i d o s ,en la construe cion de to p o l o g i a s i n i ciales y finales.

En el parrafo 1 del Capitulo II, se ccnsideran a leunos axiomas de separa c i o n c o mp re nd id o s entre el T^ y el ya ccro cidos y se defined los E KC - e s c a c i o s y SKC-espacios. Se astable cen p ro po si ci on es cue relac i o n a n estos nuevos conceptos con los y a conocidos. Estos resultados se u tilizan en los C a p i tulos III y IV.

En el parrafo 2, se e s t a blece el s i g u i e n te re su Ita do, so­

bre e x t e n so re s en to rno s ab so lu to s ;

“ (X .,T . ) es un ext e n s o r entorno absolute, si y so 1 amen .i6I ^ ^

te si^ para todo i € I , es un extensor entorno absolute y card (I ) ^ H q. “

Eh el parrafo 3, se refina un resultado sobre la caracte- rizacion de los e spacios n or m a l e s por p a rt ic i o n e s con t i n u a s de la unidad y se prueba por estas te c ni cas el resultado conocido de que : "Todo espacio s e u d o me tr iz ab le es normal".

En el ultimo p a r r a f c de este capi t u l o , s e obtiene la si gui ente c a r a c t e r i z a c i o n de los e s pacios c o l e ct iv am en te normales:

- I V -

" Un espacio topologico (X,T) es c o l e c t iv am en te nor m a l e s ! y solamente si^para tooa familia oiscreta, j ^ 1 } i ( % * e x i s ­

te una familia de a b i e r t o s de (X,T), {^ili£i » tal que M u C para todo i€ I y A . = ^ , para toûo i,J^I con i ^ j .

En el parrafo 1 del C a pitulo III,se r ef in an ,u ti li z an do los resuitados del Capitulo I,algunas p r np ie da de s conocidas ° J espacios n u me ra bl e m e n t e compactes. /

* ( '

El parrafo 2 del Capitulo III, se dedica a un est^dio deta llado de los e spacios localmen te n um er ab le me n te compacités. En­

tre otros se destacan los si g u i e n t e s resuitados:

1. Sea (X,T) un ü S -e s p a c i o secuencial. Enron ces se ti'

a) Si MCTX es local m e n t e n u m e r a b l e m e n t e compacte en (X,T), se verifies que M es i n t e rseccion de un abierto y un cerrado en (X,T) .

b) Si (X,T) es localm e n t e n u m e r a b l e m e n t e compacte y mC X es in terseccion de un abierto y un cerrado en (X,T), se verifi ca que M es localm e n t e n u m e r a b l e m e n t e compacte.

2. Una a pl ic a c i o n f de un espacio topologico (X,T) en

(X’ ,T ' ) , ( s u p u e s to (x',t ') secuencial), es n u me ra b le me nt e propia, si y solamente si^f es una a p li ca ci o n c o ntinua de (X,T ) en

(X*,T') y si S es una sucesion en X y x'CAgl^, 3<>f ,

(o x‘ELim^,. So f ) existe x£f ^ ( x ' ) O A g l ^ S . Con un ejemplu, se pone de m a ni f i e s t o que la con d i c i o n de que ( X% l') sea secue n c i a l es esenoial.

Por ultime, se definen las a p i i c a c i o n e s F -c ua si - n u m e r a b l e mente p r o p i a s .Este tipo ce a p l i c a c i o n e s son.las que admiten ex t e n s i o n e s con t i n u a s a las n u me ra bl e c o m p a c t i f i c a c i o n e s de A- lexandroff.

Ademas se estudian los tipos de e sp a c i o s para los cuales

- V -

!las a p l i ca ci on es n u me ra bl e m e n t e propias, c u a s i - n u m e r a b l e m e n te ipropias y F - c u a s i - n u m e r a b l e m e n te propias coinciden.

Se termina el parrafo e st ud i a n d o el c o m p o r t am i en to de los (espacios lo c a l m e n t e n u me r a b l e m e n t e c o m p a ct o s en la cons t r u c c i o n (de topologias i n i c iales y finales.

El C apitulo IV, se dedica a un estudio de los espacios se

(cuencialmente c o m p a c t o s y l oc al m e n t e s e c u e n c i a l m e n te compactos, iparalelo al realizado en el Capi t u l o III, para los espacios nu- rmerablemente c o m p actos y l oc a l m e n t e n u m e r ab le me nt e compactos.

Es i n t e r e s a n te observer que:

En un espacio n um e r a b l e m e n t e compacta y no secuen ci al rr; en­

te compac t o , to da sucesi(5n que no tiene s u bs uc es i o n e s ccnver - gen te s , tiene la p r o piedad de que tooa subsucesi(5n su y a tiene inf ini tos pun tos de aglomer ac i(5n .

El parrafo 1 del Capitule V, se dedica al estudio general de las n um e r a b l e s c c m p a c t i f i c a c i o n e s de un espacio topologico.

5e establece un p r eorden entre e l l a s , analogo al de las compac tificac i o n e s y se est a b l e c e la i n de pe nd e n c i a con las compacti- ficaciones.

Se destacan los sicui e n t e s resuitados:

1. " Sea (X,T) un espacio topol(5gico y ((x’ ,T'),f; .ma nu merable c om pa ct if i c a c i o n de (X,T) con (X* ,T*) secuencial.

Entonces f(X) es abierto en ( x ' , T ’)^si y solamente si,(X,T) es localmente n u me ra bl em en te compac to ".

2. " Sea (X,T) un espacio topcl(zgico y , ((X'*,T"),f*) do s n u me r a b l e s c o m pact ific a c i o n e s de (X, T ) con ( x ' , T ‘) I.A.N. y (X'‘,T") y secuencial. Entonces las siguien tes a fi r m a c i o n e s son équivalentes:

a) ( ( X " , T " ) , f ' ) ; ^ ((X',T'),f)

b ) Para todo C ^ , C ^ cerr a o o s en (x,T) con Eg “ 'P tales q u e f ' ( C j ^ ) O f ' ( C 2 ) = ^ se v e r i f i c a q u e f (Ci f (C^ ) ^ P

- V 1-

E1 parrafo 2 de este Capitulo V, se dedica a las numerables (compactificaciones por un solo punto.

Se con s t r u y e la n u m erable c o m p a c t if ic ac io n de Alexa n d r o f f (de un espacio no n u me ra bl e m e n t e c o mpacte y se prueba que es una iF-numerable c o m p a ct if ic ac io n del espacio dado .

Se est a b l e c e el siguiente r e s u l t a d o , analogo al Teorema de Alexandroff> para las c o m p a c t i f i c a c i o n e s por un solo punto;

" Sea (X,T) un espacio topol o g i c o no n u m e r a b l e me nt e com­

pacte y Entonces se tiene;

a) (X,T) admite una F- n u m e r a b l e c o m p a c t if ic ac i on por un solo p u n t o .

b ) Dos F - n u me ra b le s c o m p a c t i f i c a c i o n e s por un solo pun to son t o po l o g i c a m e n t e équivalentes. "

A c o n t i n u a c i o n ,se encue n t r a n c o n d i c i o n e s necesa r i a s y sufi cientes para que un espacio topologico admits F - nu me ra bl e s corn p a c t i f i c a ci on es per un solo p un t o ^ q u e sean T^, o . Résulta que para que un espacio topologico admita una F-numera ble c o m p a c t i f i ca ci o n por un solo punto o T^g» es conoicion necesaria que el espacio sea lo c a l m e n t e n u m e ra bl em en te compacte, pero esta c o n d icion no es suficiente.

A d e m a s » se e s t a blece el siguiente r e s u l t a d o ;

" .Sean (X,T), (X*,T*) e sp a c i o s topo l o g i c o s no numerab l e m e n te com p a c t o s y f;X ► X ‘ una aplicacion. Se considéra las numera bles c o m p a c t i f i c a c i o n e s de A l e x an dr of f de (X,T) y ( X ',T '),

((X*,T*),j) y ((X’ *,T r e sp ec ti va me nt e y f*;X-— v x ’^

* = f y f * ( cü ) = W ' . Entonces definida por f ^

f * ; ( X * , T ^ ) (x' * , T' *) es continua_, si y solamente si^

f : (x,T )-- ► (X *,T ') es F - c u a s i - n u m e r a b l e m e n t e propia.

Por u ltimo se d e m u estra que;

"Sean (X»T) un espacio topol o g i c o no n u me ra b le me nt e compacte y l o calmente n u me ra b l e m e n t e compac t o , ((■<*,T*),j) la numerabia

^ — V i i—

ble c om pa c t i f i c a c i o n de (X,T) con (^x' , T ‘ ) y secuencial.

Entonces,

((X*,T*),j) ^ ((x',T*),f) " ,

En los parrafos 1 y 2 oel C apitulo V I , se rea liza un estudio de las s e c uenciales c o m p ac ti fi c ac io ne s y se - cu e n c i a l e s c o mp ac ti f ic ac io ne s por un solo punto, p aralelo al realizado en los parrafos 1 y 2 del Capitulo V, para las numera bles c o m p a c t if ic ac io n es y nu m e r a b l e s c o m p a c t i f i c a c i o n e s por un solo punto. Se obtienen resuitados analogo s a los citados ante riormente.

En el ultimo parrafo de este capitulo, se aboroa el proble ma de c ar ac te r iz ar los espacios que admiten F - se c u e n c i a l e s c o m p a c t i f i c a c i o n e s T ^ g . No se ha conseguido una résolue ion del problema, aunque se han obtenico alçunos re s u i t a d o s parc i al e s , por ejemplo:

1. "Todo espacio T^g y II.A.N admite una F - se c ue n c i a l com pacti ficacion T^^ ".

Esta c o n dicion no es necesaria, como se prueba con un ejem p l o .

2. " Si (X,T) admite una F-secuencial c o m p a c t i fi ca ci on T ^ ^ , existe (X' ,T ') n u m e ra bl em en te compac to tal que e (X ) C x’ G p(X ) y para todo cerrado y s e c u e n c i a l m e n t e c o m p a c t o , C, en (X,l), se veri f i c a que e(C) es cerrado en ( x ',T’ ).

Con esta condicion necesaria se construye un ejemplo de un es p a cio*T^g que no admite una F-secuencial c o m p a c t if ic ac io n T ^ ^ .

Esta condicion, en general, no es suficiente.

3. Un espacio topologico T^g » (X,T),admite una F - se cu e n c i a l c o m p a c t i f i c a c i o n T^g DOr un solo pun to^ si y solamente si ^ oa ra todo C, cerrado y s e c u e n c i a l m e n te compacte en (X,T), existe c' cerrado y s e c u e n c ia lm en te compac to y existe f ap l i c a c i o n conti nua de (X,T) en ( [ 0 , 1 ] ,T^ ) tal que f(c) =|ü|

[

0

,

1

]

f' '/ - c * ) = { ]. I . ( F s 19 c r nie ion imrlica eue el espacio (X , T ) e s local m e n t e secue'-cialn ente c o m p a c t e ) .

Por ult i m o ; s e pone un ejemplo ce un espacio que admite una F - s e c u e n c i a l compactif icacion tal q ue , e n t r e el y su ccmoac- tiificacion de S t o n e - Ceoh, no existe ningun espacio secuencial- f-nente compac to .

para terminar, deseo poner de m a n i f ie st o mi a cr ao e c i m i e n t o r a i Prof. C. O uterelo que sin su val i o s a a y u d a no h u b i e r n i i do rposible la realizacion de esta memoria.

- I X -

INDICE

CAPITULO I

AXIOMAS DE N U ME R A B I L I ü A D

1. Axiomas de separacion entre el T ^ y el

Pac

- 1. G e n e r al iz a ci on es del I.A.N. ... 1 - 2. G e n e r al iz a ci on es del II.A.N. ... . 3ü - 3. G e n e r a l iz a ci on es de los espacios Lindelof .. 36 - 4w G e n e r al iz ac i on es de espacios s e p a r a b l e s 51

CAPITULO

n _

(AXIOMAS DL SE P A R A C I O N

<■- C i

- 2. Un resu 1 tado sobre ex tensores

en tornos absolu tos ... 68

- 3. Un resultado sobre p a r t iciones

continuas de la unidad ... 78 - 4. Sobre una cara c t e r i z a c i o n oe los espacios

co l e c t i v am en te normales... ... ... 'î 6

CAPITULO III

ESPACIOS N U M E R A B L E ME NT E COMPACTOS Y LO C A L M E N T E N U M E R A B L E M E N T E COMPACTOS .

- 1. Espacios n u m e ra bl em en te com p a c t o s ... 91 - 2. Espacios l o calmente numer. c o m pactos ... 101

CAPITULO IV

ESPACIOS S E C U E N C I A LM EN TE COMPACTOS Y LOCALM E N T E S E C U E NC IA LM EN TE COMPACTOS

- 1. Espacios s e c Lj e n c i a 1 m e n t e compactos ... 131 - 2. Espacios localmente secuen. compactos ... 139

- X -

i CAPi TULO V

NUMERABLES- ' COMl PACTi n CACIOlVES DE UN ESPACI U TÜPGLGGICÜ

— I. G e n e f a li da de s 169

— 2. N u m e r a b l e s - c o m p a c t i f i c a c i o n e s por

un solo punto ... 13Q

(CAPI TULO VI

C3 ECUENCI AL ES- COMPACTI F I CACI UCE5 OF uK ESPACI i TÜPÜLÜCI CU

— 1. G e n e ra li da de s 195

— 2, Secuenciales-conipactificaciones por

un solo punto 2U3

— 3. F -s ec ue nc ia le s c om pa c t i f i c a c i o n e s T^^ ... 221

f B I B L I D G R A F I A 233

CAPITULO I

AXIOMAS DE N UM ER AB I L I D A D

1. G E N E R A LI ZA CI ON ES DEL I.A.N.

En este parrafo se consi d e r a n a l gu n a s g e n e ra li za ci on es del I.A.N. ,destacando los espa c i o s sub s e c u e n c i a l e s . Estos espacios, c o ns t i t u y e n una clase i m po r t a n t e en la que la

n um e r a b l e c o m p a c t if ic ac io n de A le xa n d r o f f y secuencial compacti- ficacion de A le x an dr of f c oi n c i d e n

Segun (2.2) , el I.A.N. se int r o d u c e c o n s i d er an do el ran­

go de un espacio topologico.

D e fi n i c i o n I.l.l

Sean X un c o n junto no vacio y ^ u n filtro en X. Se con­

sidéra es base del f iltro j. Se llama rango de

^ y se notera r a n g ( ^ ) a :

rang ( ^ ) = inf imo | card ( ^ ) |

O b se rv ac io n 1.1.2

Cpmo un c o n junto de n u m é r os c a r d in al es con la relacion de or d e n a c i o n de cardi n a l e s es un c o n junto bien ordenado, si ^ es un filtro en X, existe una base ûs ^ tal que r a n g ( ^ ) = card( .

P r o p os i c i o n 1.1.3

Sea X un c o n junto no vacio y un filtro en X. Entonces

^ . o - . ^ard(X)

r a n g ( 5 ^ ) = 1 o rS„ — r a n gC^' )— 2

— 2—

D e f i n i c i o n 1.1.4

Sea (X,T) un espacio topologico. Se llama rango de (X,T) y se notera por r a n g ( ( X , T )) al cardinal supremo

^ra n g ( ( x ) ) I x € x } ,donde j^(x) es el filtro de entornos de X.

( r a ng (( X , T ) ) = supremo* rang(j^x)) = infimo card ( |3 )|

con jPl P es base del f il t r o , j^(x) , de e nt o r n o s de x|

x€X I .)

D e fi n i c i o n 1.1.5

Sea (X,T) un espacio t o p o l o g i c o . Se dice que (X,T) cumple el I.A.N. si r a n g ((X ,T ) )^ (Esto équi v a l e a que cada punto de (X,T) tenga una base de ent o r n o s numerable).

A c o n t i n ua ci on se estu d i a el c om p o r t a m i e n t o de los espacios de rango menor o igual que c ( — c ) en las cons- t r ucciones de to p o l o g i a s i n i c iales y finales.

P r o p o s i c i o n 1.1.6

Sean X un c o n j u n t o , c un cardinal con ^ c , (X^T^) un espacio t o p o l o g i c o de rang ( ( X ^ ) ) ^ c y f : X — ► x’ una aplicacion. Ento n c e s r a n g ( ( X , f ~ ^ ( T ^ ) ) é c.

D e m o s t r a c i o n ;

Sea x€X y ^ f (x) ) una base del sistema de e nt o r n o s de f(x) en (xJ’t"') . Como l/^(x) =|f~^( ^ ^ (x ) )|

es una base de ento r n o s de x en (X,f ^ ( T ')), résulta que card ( *(5^(x) ) - card ( '^’(f (x) ). Asi pues rang ( (X, f (T ^) ) ) — c .

C o r olario 1.1.7

Si (X ^ T ^ ) es un e s p acio t o pologico de r a n g ( ( X ^ T ' ) ) ^ c y X C X ', se verifica que (X,t'|^) es tal que rang ( X , T ) ~ c .

-3-

Prop o s i c i o n 1.1.8

Sean (X,T) , (X ') e s pacios t o p o logicos y f : X > X ' una ap l i c a c i o n c o n t i n u a , a b i erta y suprayectiva. Entonces, si r a n g ( X , T ) — c se verifica que r a n g ( X / T ^) — c .

D e m o s t r a c i o n ;

Sean x % X ^ y x6X tal que f(x) = x'. Teniendo en cuenta que si ^ ( x ) es una base del sistema de entornos de x en

(X,T ), f ( x ) ) = I f(V^) I ^ ( x ) } es una base del sistema de e ntornos de x' = f ( x ) en (X,T ),por s e r f continua y abier ta, résulta que card (^(^(f (x) ) ) ^ c a r d ( ^^(x) ). Asi pues,

r a n g ( (X,T ) ) ^c.

Las p r o po si ci on es 1.1.5 y 1.1.8 ponen de manifi e s t o que el rango de un espacio topolo g i c o es h e r editario y es una - p r o piedad t o p o l o g i e s .

Propo s i c i o n 1.1.9 Sean j ( X ^ , T .)

n

una familia no vacia de e spacios to­

pologicos no vacios . Ento n c e s rang(|^'j(Xj^,T^))-c si y so­

lamente si se satisfacen las siguientes condiciones;

1. rang ( X ) 6 c

2. c a r d ( 3 = | i € l | c a r d ( T ^ ) — 3 } ) : é c D e m o s t r a c i o n

Supon g a m o s que rang(T~[ ( X . , T . ) ) ^ c . Como para todo j€l iei ^ ^

P .; I

IX . ►X . es continua, abierta y suprayectiva, por la J iél ^ ^ J

pr o p o s i c i o n 1.1.8 rang(X .,T j ) é c para todo j€I.

Por otro lado, existe a=(a.)., ë T T X . tal que para

^ iei

a

todo J E J exista V Xj. Sea ^ ( a ) base oe e n tornos oe a en TT (X.,T.) tal que caro ( ) )= rang ( (a) ) ^

iél ^ ^

rang ( TT (X.,T.)) ^ c . Supong ainus que ^ (a) =|v^| m6M f con i n i - '

c a r d (M) ^ c .

-4-

Para todo m ( M , H^= j i5 I | p ^ X^| es finite.Por tan- to, H = H es tal que card H = card M. Como J C H , se

m€M ^

tiene que c a r d (3 ) ^ c a r d ( H ) ^ c . R e c i p rocamente:

S u p o n g am os que r a n g ( X ^ , ^ c para todo i(I y que c a r d (3) — c . Ento n c e s para todo a=( a ^ ) ^ ^ j se verifica que existe ^ { a ^ j ^m^| ^^^i j" » con c a r d ( M ^ ) ^ c , base do e n t o r ­ nos de a^j para todo i E I , tal que c a r d ( ^ ( a ^ )) = r a n g ( ^ ( a ^ ) )

rang (X ^ , ) :£ c. (Para todo iE 1-3 "{j^(a^ ) = | ).

Be tiene que ^ (a ) = < T T A . I existe F C 3 , f i n i t e , tal

^ i d ^ r T % 7 , ,

que A j ^ = X p a r a todo iEI-F y A^E (/ (®j^) para todo iEFj es una base del sistema de entornos de a , Como c a r d ( *^(a))

se tiene que rang(]~[ ( X . , T . ) ) ^ c . iei ^ ^

C o r o lario 1.1.10

Sean ^ ^}iE I familia no vacia de espacios t o p o ­ logicos no vacios con card ( I ) — c . E n t o n c e s rang(|~f (X.,T.)).^c

i€ I ^ ^ si y s o l a mente si r a n g ( X ^ , ) -^ c para todo i E I .

Corolario 1.1.11

Sean X un con junto no vacio y 5 ^ = j^( f , (X , T ) j ^ una familia no v a c ia,tal que para todo 16 I , es una a p l i ­ cacion de X en X^. Entonces, si r ang(X^,T^) ^ c para todo - 16 I y card (3 ) ^ c , con 3 = | i € l | card(T^) — s j , se verifica que rang ( X , ) E^c.

La d e m o s tr ac io n es c on se c u e n c i a de que , , topologia

— 1 inicial para la familia 5 ^ verifica que ((f^)^^^) (Tp) siendo Tp la topologia p roducto de la familia |(X^»T^) .

- 5-

Ejemplo 1.1.12

El espacio topologico (R,T^) cumple la c o nd i c i o n de que r a n g (R, ^ , sin embargo el cociente (R/Z,T^/Z) es tal que tang ( ^l/Z , T^/Z ) ^ . Esto pone de m an i f i e s t o que - si r a n g ( X , T ) — c , en general r a n g ( x / R ,T / R ) no tiene por que ser menor o igual que c .

Prop o s i c i o n 1.1.13

Sean j (X » T ^ ^una familia no vac la de espacios to po l o gi co s no vacios. Entonces r a n g ( ^ ( X . , T . ) ) - c si y -

iEl ^ ^ solamente si rang ( X ) ^ c para todo is I , D e m o s t r a c i o n ;

Basta tener en cuenta que j '^j ^ cs h o me om or fo a (X:x{j}, L T. ) y que X .x |j) 6 H T. para todo -

J IE I ^ Xjx{ j) J 16 1 ^

jei.

Teniendo en cuenta la de f i n i c i o n de espacio t o pologico de rango menor o igual que c (c es un cardinal mayor o igual que )^q)» se definen los espacios c -b is ec u e n c i a l e s , c c - bise cuenci a l e s y c - n u m er a bl em en te b i s e c uenciales, que generali- zan los espacios b i se cu e n c i a l e s y n um er ab l e m e n t e bisecuen - d a l e s i n t r o d u c i d o s por E . M i chael en

(2-4).

Un espacio t o pologico (X,T) es b i se c ue nc ia l si de

x^ E A g l y se deduce que existe A y ^ sucesion decrecien n n( N

te de sub c o n j u n t o s de X tal que x^ es punto de c on v e r g e n c i a del filtro e n g e n d r a d o por , A^j ^ y A ^ G F ^ ^ para todo n€ N y todo F E 5^ ".

Un espacio topologico (X,T) es n um er ab l e m e n t e bisecuen cial o fuer t e m e n t e de F r e c h e t si para to da sucesion dec re -

— 6—

ciente de subcon juntos de X , | Y todo para todo ne N se verifica que existe x^E A^ para todo ne N tal

H

que né N

De f i n i c i o n 1.1.14

Sea c un c ardinal mayor o igual que •

a). Un espacio t o pologico (X,T) es c -b is ec ue nc ia l si de - XqE A g l y j T se deduce que existe un f i l t r e ^ X, de ran go menor o igual que c, tal que E Lim^ y T O P * ^ , para todo F* E .

b). Un espacio t o pologico (X,T ) es c c - b i s ec ue nc ia l si de XqE A g l y , donde es un filtre de rango menor o igual que c, se deduce que existe un filtre 5 ^ en X, de rango menor o igual que c tal que x^ E Lim^ 5 ^ y F O F ' ^ ^ , para todo F € y todo F ' e ^ ^

c). Un espacio t o pologico (X,T) es c - n u m er ab le me nt e b ise­

cuencial, si de x^E Agl^f?^ , donde ^ es un f iltro de rango menor o igual que c, se deduce que existe un filtre 5 ^ ,en X, de rango menor o igual que tal que x^ç L i m ^ y F O F ‘ 4 ,para todo V y todo F ' E

Pr o p o s i c i o n I.l.lS ^

Un espacio t o pologico es j ^ ^ - bi se cu en ci al si y sola - mente si de x ^ E A g l ^ t ^ se deduce que existe |A^j ^ ,su­

cesion d e cr ec i en te de s u bc o n j u n t e s de X ,tal que x^ es pun de c o n v e r ge nc ia del filtro e n gendrado por j A^ j y

A ^ O F ^ ^ para todo nEIM y todo F E . (Por tan to los es­

pacios y ^^ -b i s e c u e r s i a l e s son los e s pacios bi s e c u e n c i a l e s de E . Michael).

D e m o s t r a c i o n :

me- -7-

Supon g a m o s que (X,T) es ) ^ g - b i s e cu en ci a l y sea x^€ A g l y ^ . Ento n c e s existé un filtro ^ en X de rango nor o igual que , tal que x^E Lim^ ( T y F n p ’j^ ^ .pa­

ra todo y todo F ' £ 5 ^

Por 1.1.2 existe |a • ... ,base de ^ , tal que A ,CA

( n j né N ' ^ n + 1 n

para todo n E N .Es évidente que cumple las c o n d i c i o ­ nes de la proposicion.

El reciproco es évidente.

P r o p o s i c i o n 1.1.16

Un espacio topologico es ^ -n um er ab le me nt e bisecuencial, si y solamente si, para toda s u cesion d e c r eciente de s ub co nj u n t o s de X y todo x £ Â se verifica que exis- te % € A^ para todo n € N tal que x El i m / x X ... (Por tan-

n n o i n j n E N

to los e s pacios ^ - n u m e r a bl em en te b i s e c u e n c i a l e s son los espa c i o s n u me r ab l e m e n t e b is ec ue nc ia le s de E . Michael (24)), D e m o s t r a c i o n :

S u po n g a m o s que (X,T) es j ^ Q - n u m e rablemente b i se c u e n ­ cial y sean una sucesion d e cr e c i e n t e de subconjun- tps de X y x 6 Q Â .

new ^ r 1

Se considéra el filtro fr que tiene por base 1 n é N' E ntonces rang y x^ E A g l . ^ ^ . Asi, por hipotesis, existe un filtra ^ , en X, con r a n g j ^ ë ^ ^ tal que

x ^ E L i m y ^ y F O F * ^ ^ para todo F € y todo F' E . Como rang ^ existe j ^ n jnEN de ^ tal que F* , C F ' para todo nEN.

n+1 n

Para todo nEN existe x E f' O A • Veamos que

n n n

X E limJx^l^^., . En efecto;

o I nj nEN ^

° ^ o ,

Para todo V existe n 6 N tal que F' G V .Asi pa

- 8 -

. • I o

ra todo n = n x € F C F C V . o n n Hq

Reciprocamente:

Sean un filtro en X con rangiTk: y x ^ € Agly

Como rang existe ^ base de ^ tal que A^_^y C A^

para todo né N .Asi, por hipotesis, para todo ne N existe XnëAn tal que x ^ ë neN '

Sea el filtro asociado a la sucesion S=lx^{J - I} - L ^ + L J « -L.L-I v J L J W t - O X «W» » I v J — I . . , #

I n J n C N Es évidente que tiene rango menor o igual que . Por 1.12.100(a) (18) se tiene que x £ Lim_ . Por otro lado.

para todo F E y todo F '£ ^ se tiene que existen n ^ ,n^£N tales que F D A y F ' D Jx , x ,, . . . [ .Asi, si n.-:^n ,n,

n , In _' n^+1 J z o' 1

1 o o ■'

se verifica que x £ F O F ' .

^2 Pr o p o s i c i o n 1.1.17

Sean (X ,T ) un espacio topolo g i c o y c un cardinal es- t r i c t a m e n t e mayor que . Entonces:

a) Si ( X ,T ) cumple el I.A.N, se verifica que (X ,T ) es de rango menor o igual que c.

b) Si ( X ,T ) es de rango menor o igual que c, se v er i­

fies que (X,T) es c-bisecuencial.

c) Si (X,T ) es c -bisecuencial, se verifica que (X,T) es c c - b i s e c u e n c i a l .

d) Si (X,T) es c - nu m er ab le me nt e bisecuencial, se v e r i f i ­ ca que (X ,T ) es n u m e r a bl em en te bisecuencial.

e) Si (X,T) es I.A.N , so verifica que (X,T) es bisecuen cial.

f) Si (X ,T ) es bisecuencial, se verifica que (X ,T ) es c-bisecuencial.

g ) Si (X ,T ) es bisecuencial, se verifica que (X ,T ) es

— 9 —

c - nu me ra bl em en te bisecuencial.

h) Si (X,T) es c - n u m e ra bl em en te bisecuencial, se v e r i f i ­ ca que (X,T) es cc-bisecuencial.

D em o s t r a c i o n ;

a) es con s e c u e n c i a de la defin i c i o n de rango de un es - pacio topologico.

b ) Basta co n s i d e r a r en la de f i n i c i o n 1.1.14(a) ^ ^ ( ^ ) es el filtro de entornos del punto x ^ ).

c ) Es c o n s e cu en ci a de la defin i c i o n 1.1.14(b).

d) Es c on s e c u e n c i a de la p ro po s i c i o n 1.1.15.

e ) Es caso parti c u l a r de b).

f) Es c o n s e c u en ci a de que todo filtro de rango menor o igual que es de rango menor o igual que c.

g ) Es inmediato,

h) Es c on s ec u e n c i a de que todo filtro de rango menor o igual que es de rango menor o igual que c.

Teniendo en cuenta que los e spacios i n tr od u c i d o s ante- r i o r m en te ,d es c ri be n los puntos de a g lo me ra ci on de filtres - por c on v e r g e n c i a de filtres, con la p r o p i e d a d de que ambos filtros tienen supremo, se pueden introd u c i r unos nuevos ti pos de, espacios, que g e n e r a l i z a n los espa c i o s t op o l o g i c o s s u b s e cu en ci al es def i n i d o s por P.O. Tall en

(16) .

D e f i n i c i o n 1.1.18

Sea c un cardinal mayor o igual que , ,^

a) Un espacio topol o g i c o (X,T ) es s u b - c - b i s e c u e n c i a l , si de x ^ E A g l y , se deduce que existe ^ , filtro mas fino que , de rango menor o igual que c, que converge a x .

-lo­

fa) Un espacio topologico (X,T) es s u b - c c - b i s e c u e n c i a l , si de X gE A g l y ^ ^ con rang éz z se deduce que existe ^ , filtro mas fino que ^ , de rango menor o igual que c , que - converge a x^.

c) Un espacio topologico (X,T) es s u b - b i s e c u e n c i a l , si de x ^ £ A g l y £ ^ existe ^ , filtro mas fino que ^ , de rango menor o igual que , que converge a x ^ .

d ) Un espacio topologico (X,T) es s u b - c - n um e ra bl em en te bisecuencial, si de x ^ E A g l y ( ^ con r a n g ^ — c, se deduce - que existe , filtro mas fino que de rango menor o igual que ) ^q» que converge a x ^ .

e) Un espacio t o pologico (X,T) es s u b - n um er ab le me nt e bisecuencial, si de x^€ A g l y , con rang A ' existe

filtro mas fino que ^ de rango menor o igual que que converge a x^.

f) Un espacio t o pologico (X,T) es s u b s e c u e n c i a l ( F .0.

Tall

(15)) , si

de x^£Agl y | x ^

una s u bs uc e s i o n de que converge a x^

, se deduce que existe

P r o p o s i c i o n 1.1.19

Sea (X,T) un espacio t o po l o g i c o s ub nu me ra bl em en te b i s e ­ cuencial. Entonces (X,T) es subsecuencial.

D e m o s t r a c i o n ;

S u p o n g am os que (X ,T ) es un espacio s u b n u m e r a bl em en te b is e c u e n c i a l y sea x EAgl^-fx f ... .Se considéra el filtro,

o T i n / n é N

de rango menor o igual que asociado a la sucesion {^n}n£IM * 1.12.100(b) de

( 1 8 )

se tiene que x^£ Agly . Asi, por hipotesis, existe un filtro mas fino que de rango menor o igual que que converge a x .

— 11 —

Sea una base de ^ tal que A*^ para to­

do nEN • Para todo p6N se tiene que { | ^ , por tanto existe n > p t a l q u e a' g |x ,x .

.P Hp I p' p+1' J

Sea I x^ una sucesion c u m p li en do que x^ £ A^ . Es e vidente que es una s ub s uc es io n de J x (•

1 nj I

p6N 1 nj nEN

PEN a x^

V I I

Se v e rifica que jx f ... converge a x _ . En efecto;

I n )pEN ^ o

O r

Dado V , como ^ converge a x^, existe n^E N tal que -

# $

Xn e''n j- " P^ra todo p & ( p a n ^ > p à ).

Veamos con un ejemplo que existen espa c i o s subsecuerj^i^r les que no son s u b n u me ra bl e me nt e bise c u e n c i a l e s .

Ejemplo 1.1.20 /

I Sea el espacio topologico Se v e rifica (que : 1. es subsecuencial. En efecto;

Sea x „ E Agi, |x | ... . Ento n c e s existe M G N i i f i i - CN^ njnEN

to tal que x = x para todo mEM ya que en caso contrario, Xq

R- ^ x^ I x^^ x^j seria un entorno de x^, V , v e ri fi ca nd o que I nEN I x^E V I es f i n i t o ,lo cual c o n t r ad ic e que x^ es punto de a g l o m e r ac io n de jx^j

De esta forma j x I . es una s ub su ce si on de |x I ,

t mj mE Im [ n j n E N

que conv e r g e a x

2. no es s u b - n u m e ra bl em en te bisecuencial. En e f e c t o :

Se con s i d é r a el filtro ^ ^ F G R | ( 0 , 1 ) G f | . Se tiene que 0 € Agly . Sin embargo no existe ningun filtro mas

CN

fino que de rango menor o igual que que c o nverja a Q.

S u p o n g a m o s que existe de rango menor o igual que } ^ ^ , q u e conv e r g e a 0 y es mas fino que ^ * Sea | A una base de

nEN

-12-

^ tal que todo n€N. Ento n c e s la sucesion (*n}nEN donde 6 A*^ para todo n€lM converge a Q y exi te OgEN tal que para todo n :^n^ ^ x^6 (0,l), ( ( Q , 1 )e 5 ^ ), lo cual es absurdo.

P r o p o s ic io n 1.1.21

Sea (X,T) un espacio topologico. Entonces (X,T) es nu ­ m e r a bl em en te bise c u e n c i a l si y solamente si (X,T) es sub-nu m e r a bl e m e n t e b i s e c u e n ci al (P or tanto,el ejemplo ante r i o r m u e stra la e x i s t en ci a de espacios s u b s e c u e n ci al es que no son I . A . N . , ni b i s e c uenciales, ni c - n u m e r ab le me nt e b i s e c u e n c i a ­ l e s , ni n u m e r a b l e m e n t e b i s e c u e nciales).

D e m o s tr ac io n ;

S u p o ng am os que (X,T) es n u me r a b l e m e n t e bisecuencial.

Sean ^ un filtro en X de rango menor o igual que ^ y x^ £ A g l y 5 ^ . Por hipotesis existe un filtro, 3 ^ ,

de rango menor o igual que ^ que converge a x^

y tal que FPlF* ^ para todo F £ y todo f’é .

Sean | y ( '*'n}n€N bases ûe ^ y ^ respectiua- mente tales que A , G A y A* ,CT a' para todo n € N. Se

n+1 n n+1 n

c on s i d é r a el filtro que tiene por base | A ^ P )a'^ } n€N * Ee e v i d e nt e que es mas fino que , tiene rango menor o igual que ^ y converge a x , por ser mas fino que

Reci p r o c a m e n t e ; Sea | sucesion d e c r e ci en te de s u b c o nj un to s de X y x £ f T Â . Sea if' el filtro qua

/ ° ncN ^ _

tiene por base | ^nj n£N * Ento n c e s x ^ £ Agly . Por hi ­ pote s i s existe jT "D f , con rang ^ y x £ Lim, . Se c on s i d é r a

□ " ''o " T

^ base de ^ con f\ .G A* para to-

n£N ' n+1 n

-13-

do n£ N. Para cada n6N, se c on s i d é r a x £ A O A* . Es evi

n n n

dente que ><o« L i m M x J ^ .

P r o p osicion 1.1.22

Sea (X,T) un espacio c c - b i s e c u e n c i a l . E n t o n c e s (X,T) es sub-cc-bisecuencial.

D e m o s t r a c i o n ;

Sea un filtro en X de rango menor o igual que c y

€ A g l y ! ^ . Por hipotesis, existe un f i l t r o , ^ ,

de rango menor o igual que c que converge a y tal que F A F* ^ ^ para todo F E y todo f'£

Sean [ iEi ^ } jEJ hases üe f ' y f' respecti- mente con cai d ( l ) ^ c y card(3) Se considéra el filtro

que tiene por base

|

^{A^^PlA^}

j

^{^ ^} . Es evidente - que Sf' es mas fino que , tiene rango menor o igual que c y converge a x^ por ser mas fino que .

Se podria realizar un estudio s i s t e m a t i c o de las propie- dades de cada uno de los espacios i n t r od uc id os hasta aqui y su i n d e p e n d e n c i a . Sin embargo, solo se realizara dicho estu dio para los e spacios subsecuenciales, por su u ti li z a c i o n en el capitulo c o r r e sp on di en t e a las s e c u e nc ia le s c o m p a c ti fi ca ci o nés de A l ex an dr of f de un espacio topologico.

Veamos en primer lugar el c om po rt am ie nt o de los espacios s u b s e c ue nc ia le s en la constru c c i o n de t o pologias iniciales - y finales.

Proposicion 1.1.23

Sea X un con j u n t o , (X*, t') un espacio topologico subse - cuencial y f : X ► x' una aplicacion. E n tonces (X,f ^ (T * ))

— 14—

es s u b s e c u e n c i a l • D e m o s t r a c i o n ;

Sean n } o É N una sucesiôn en X y é ^{x J Ento n c e s f(x^) = A g l ^ , C o m o

( x ' , T * )

es sub secuencial, existe una s ubsucesion f(x_ )

"k

que converge

a f(x^) = x % Por tantü {^n^jk€N converge a x^ (V D f"^(V °)) Asi pues (X, f ^ (t' )) es subsecuencial.

C or o l a r i o 1.1.24

Si (X* ,T ') es un espacio topologico s u bs e c u e n c i a l y X C X * se verifies que (X, es subsecuencial.

P r o p o si ci on 1.1.25

Sean (X,T), (X* ,T* ) e s pacios t o p o logicos y f;X ► X*

una a pl ic ac io n propia de (X,T) en (X*,T*) .Entonces si (X,T) es subsecuencial, (X* ,T* ) es subsecuencial.

D e mo st ra ci on ;

Sean (*n I n f N "na sucesio'n en

x'

y x'^ € Agl^, { | . Para cada n€N sea x ^ ^ X tal que f(x^) = x^ . Por I I I . 4.

42 de

(l8

) se tiene que existe X g ( f ^ ^ X g ) f ^ A g l ^ j x ^ .

Por h ip ot e s i s , e x i s t e | x^ |k€N subsucesion de |x^ | ^ que converge a x^. Como f es continua, | x'^ j converge a x ^ . Asi,

(X*

,T* ) es subsecuencial.

Las p r o p os ic io ne s 1.1.24 y 1.1.25 ponen de m a nifies to que el axioms s ub se c u e n c i a l es here d i t a r i o y es una pro- piedad topologies.

Para estudiar la s ub se cu en ci a li da d de un producto topo-

-15-

logico, se con s i d é r a el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.1.26

Si cardinal de I es estric t a m e n t e mayor que se ve­

rifies que ({

0

,

1

} no es subsecuencial.

D e m o s t r a c i o n ;

S a a A = ( { * n l " | X n < * n + i P a r a t o d o n e N j .

Como card ( I ) %> ^ ^ , existe cp; A — — > I inyectiva. Para n ^ N

sea = [ i ê I I i= new)' ) nC-N^ ^ y n=x^ con k imparj.

Para todo nSN sea f^é |o,lj^ definida por:

0

, si i ^ f^(i)

1, si i € In

Como ( j Q ,l j, T^ ) es compacte, existe f^ ^ Agl^ |^njn^l\)' Sin e m b argo I } n ( N tiens su b s u c e s i o n e s convergentes.

En efecto;

S e a | f ^ | p ^ ^ una s u b s ucesion de | n(N' Entonces,

{ " p } p É - N as un elements de A. Sea i= f ({ Hp j ^ ). Se c o n s i d é r a p é N ,entonces i£ I y por tanto

"2p+i

f„ (i) = 1 . A n a l o ga me nt e i d I y por tanto f„ (i)=0.

"2p+l ^ "2p "2p

• ( Pi '^ H p } p ( N = ( f o p(i) / P é N "° c o n v e rg e en

( {

0

,

1

} ,Tj^) y por tanto j f^ j p ( N "° converge en ({o,l},Tp)I O b s e r v es e que ( { 0,1 } ,T^) es subsecuencial.

P r o p o s ic io n 1.1.27

Sean | (X^,T^) | ^ j una familia no vacia de espacios t o p o lo g i c o s no v a c i o s . Entonces, si ] [ (X.,T.) es subse -

i € I ^ ^

— 16—

cuencial, se verifies que :

1. (X^,T^) es s ub s e c u e n c i a l para todo i g I.

2. I i C I (X^,T^) contiens un s u b c o n junto discrete con mas de dos puntos | , es numerable.

D e m o s t r a c i o n ;

1. Es con s e c u e n c i a de que el axioma subsec u e n c i a l es p r o p iedad topologica y hereditaria,

2, S u p o n ga mo s que J no es numerable. Ento n c e s T~T (X.,T.) 14 I ^ 1 c ontiens un subespacio h o me o m o r f o a ({G,l(,Tj^)^ lo cual es absurdo. (Ejemplo 1.1.26 y que el ser su b s e c u e n c i a l es h e r e ­ ditario).

Weamos con un ejemplo que en general el producto de dos e spa c i o s s ub se cu en c ia le s no es subsecuencial.

Ejemplo I.l. 28

Se co n s i d e r a n los esp a c i o s t op ol o g i c o s (R,T^) y ( R /Z,T^/z)

Como (R,Ty) cumple el I.A.N., se tiene que (R,T^) es s ub s e ­ cuencial. Veamos que ( R / Z , T ^/z) es subsecuencial.

Se tiene que (R/Z,T^/Z) es de Frechet y . Asi, por 1.1.33, se tiene que (R/Z, T^/z) es subsecuencial.

El e s p acio t o po l o g i c o ( R / Z ,T ^/z)x(R,T^) no es sub s e ­ cuencial. En efecto:

Se con s i d é r a la s ucesirn ,S , en R/Z x R definida por:

Para todo mtN, tal que existe p£W con p ^ l , p primo y m = p % S(m)= (n- -i , — ) . En caso c o n t r ar io S(m)= (i,m).

-17-

n-1

% n+'t

Se verifies que ( [zj ,Q) es punto de a g lo me r a c i o n de 3 en (R/Z,Ty/Z)x(R,Ty), Sin embargo no existe ninguna s u b s u ­ cesion de S que converja a ( [z] ,0) ya que si | (x^^ , y^^ ) |

fuese una s u b s ucesion de S c on v er ge nt e a (

[ z j

,0), esta no puede contener infinites termines de la forma (x, ^ ),con n fijo, puesto que en caso contrario, estos elementos cons- tituirian una subsucesion de la dada que no converge eviden- temente a ( [2 ] ,0)•

E ntonces | x j k € N

j

c onsti t u y e un cerrado en R que no

? [z]

contiens a Z . Asi, | k g N j ) es un entorno ,U ,

[ z ]

de fzj en (R/Z, T /z) • Como U x , cualquiera que sea , no contiens a ningun elements de | ( x ^ ,y^ ) |

kéN ' se llega a una c o n t r a d i c i o n .

El siguiente ejemplo prueba q ue,en g e neral,el cociente de un espacio subsec u e n c i a l no es subsecuencial.

Ejemplo 1.1.29

El espacio topologico (R^,T^ ) = ( R , T ^ ) x (R ,T ^) es I.A.N

y por tanto subsecuencial. Sea r : ( R , T ^ ) ---^v (R/Z,T^/Z) la

- 1 8-

p r oyeccion natural. Por U.2.34 de (48), se tiene que

P x l p : (R,T )X (R ,T ) --- ^ (R / Z ,T / z )X ( R ,T ) es una identifi

r\ u u U U

cacion. S in embargo, ( R / Z, T ^ / Z )x (R,T^) no es subsecuencial, segun el ejemplo anterior.

P ro p os i c i o n 1.1.30

Sea una familia de espacios t o p o l o g i c o s Entonces ^ (X.,T.) es s u bs e c u e n c i a l si y soJ.amente si

ici ^ 1

(Xi^Ti) es su b s e c u e n c i a l para todo i£I.

D e m o s t r a c i o n :

Si i_ (X.,T.) \— es subsecuencial, se tiene qua para to iei ^ ^

do i€I, (X^,T^) es sub s e c u e n c i a l por ser este axioma propie dad topol o g i c a y hereditaria.

R e c i p r o c a m e n t e ; _

Sean j*n } n 6 N sucesion en L V

*

0

^ T. { *n } n e N • Su p o n g a m o s que x ^ ê X .

iSI 1 °

Como X. x(i^l es un abierto, existe j x > s ubsucesion

ig I oj L n^j keN

de { x^ } ^ tal que x^ 6 X^ xji^j pare todo kth y

k o

x ^ € Agi y- y j'x^ | k 4 N * Como X^ x ^ i ^ j es subsecuencial,

i&I 1 A °

{ *n,} k€N tiene una s ub s u c e s i o n c on v e r g e n t e a x^.

A c on ti nu a c i o n se estudian las r e laciones de los axio^

mas i n t r o d u c i d o s a nt er io rm en t e con los e s pacios de Frechet, se c u en ci al es y c-espacios.

D e f i n i c i o n 1.1.31

-19-

A) Un espacio t o pologico (X,T) se dice de F r e c h e t (2 ) si de X e M G X se deduce que existe |x^ J tal que

B) Un espacio topologico (X,T) se dice secue n c i a l (2 ) si: G € T si y solamente si para toda j x^j ^ G X con

Limy I x^ } n€N ^ ^ ^ ^ verifies que existe n^6 N tal que X 6 G para todo n & n .

n o

C) Un espacio topol o g i c o (X,T) se dice un c - e s p a c i o (26) si X ( M , con FIGx se verifica que existe A G M numerable tal que x 6 Â .

P r o p o s i c i o n 1.1.32

a ) Todo espacio n u m e ra bl em en te b i s e c u e n c i a l es de F r e ­ chet.

B) Todo espacio de Frechet es secuencial.

C) Todo espacio secue n c i a l es un c-espacio.

D) Sea (X,T) un espacio topologico T^. E n t o n c e s (X,l) es un c-espacio si y solamente si de x € M se deduce que existe f t a l q u e x € A g l ^ j x J .

E ) Todo c - e spacio sub s e c u e n c i a l y Ty es de Frechet.

F) (X,T) es un c - e spacio si y solamente si M G X y  G M para cada A G M numerable, implies que M es cerrado.

D e m o s t r a c i o n :

A) Vease (31)

b) Vease (16)

c)

^Vease

(25)

( = > )

Supongamos x 6 M . Entonces existe A G M numerable tal

- 2 0-

que X ( Â . S e tienen los si g u i e n t e s casos;

1. x 6 A. En este caso, la suc e s i o n j x =x ) ^ t i e n e a I n J n€N

X por punto de a glomeracion.

2. X ^ A . Como (X,T) es T^, A es infinito y por tanto existe una a p l i c a ci on biy e c t i v a S : N - — A . Es évidente que

X e AglyS .

( = > )

Si x é M , por h i p o t e si s e xiste | x^ tal que AqIt { } nJN • Asi' x 6 { x^ | h é n} .

E) Es c on se cu e n c i a de D.

F) Vease (25) pag.123.

P ro p o s i c i o n 1.1.33

Todo espacio to p o l o g i c o de F r e c he t y T^ es s u b s e c u e n ­ cial.

D e m o s tr ac io n :

Sean {xnjnél\l‘^ ^ y x^ Ê Agl^j x^ ] . t n t o n c e s p u e d e n . p r e s e n t a r s B d o s c a s o s ;

a) Existe M G N i nfinite tal que x^=x^ para todo n£l\l.

E n t o nc es j x^ j es una s u bs uc es io n de | x^ j que con­

verge a Xq .

b ) j n ^ N j x^ = Xg} es finito. Ento n c e s no se pierde gene- r a l idad al suponer que | x^ | n^lNij .

Se tiene que *of{*nl ^ N

G

jx^j n € I\lj . Como (X,T)

es de Frechet, existe ) m € N ^ - { * n J n f N j tal que

X o^ E i " { 1

mtN • (X'T)

es , x^ê

{

x

J

nêN]"'

y

X ^

x^e L i m { y^ j » Pera cada p€N , \J =%- { x ^ ... x^J es

-21-

un e n t o r n o de y por tanto exists nip> p y n ^ > q tales

que =x^

.

p q

E n to nc es (y I ^ es una s u b s u c e s i o n de iy I , y je

I p6 N I m j mfN '

{ * n j nSN . P u r s e r L im { y ^ } ^ se tiene que

X^q G Lim

P P6IM

El siguiente e j e m p lo pone de m a n i f i es to que, en general

el r ec i p r o c o de la p ro po s i c i o n a nt e ri or no se verifica.

Ejemplo 1.1.34

Sea el espacio to p o l o g i c o En el e j e m p l o 1.1.20 se d e m o s t r o que es subsecuencial.

E v i d e n t e m e n t e , el e s p acio . Veamos sin

embargo que (R#T^^) no es un C - e s p a ci o (por tanto no es ni s ecue n c i a l ni de Frechet). En efecto:

Ü € (0,1) y para todo M G (O , 1 ) n u m e r a b le Ü ^ FI ya que R-Fl es un entorno de cero que no corta a M.

Este mismo ejemplo p ru eb a que e x i sten e s p a c i o s s u b s e c u e n ­ ciales que no son n u m e r a b l e m e n t e b i s e c u e n c i a l e s (Vease la

p r o p o si ci on 1.1.21).

- 2 2-

obs e r v e s e que por 1.1.32(E) un espacio s e c u e nc i al (o C-espacio) y que no es de F r e c h e t ,n o es subsecuencial.

El sig u i e n t e ejemplo prueba que existen espa c i o s s ecuen­

ciales Tg ( y por tanto C - e s p ac io s T

2

) que no son de Frechet

y por tanto no son s ub se cu e n c i a l e s .

Ejemplo

1

.

1.35

(Compa c t i f i c a c i o n de Alexandroff del espacio de Isbell )

Seen 5 una familia infinite m a x imal de s u b c on ju n to s de N tal que la interse c c i o n de cada dos e le m e n t o s es finita y D=[ui^| un conjunto de e l em en to s distintos. Se considéra

*\jr * N W O y T ( l ÿ ) la top o l o g i a d et er m i n a d a al c o n s i d é ­ rer como a b i e r t o s los puntos de N y como e n t o r n o s de un pun to Wg. c ua l q u f e r con junto c o n t e ni en do a i y todos los

puntos de E menos un numéro finito.

Se veri f i c a que ( ,T( ^ )) es T

2

y l o c a l m en te c o m ­ pacte. En efecto:

Que es T

2

se c om p r u e b a f a ci l m e n t e y la c om pa ci da d lo­

cal es c on se cu en ci a de que para todo » E W | u ) ^ j es compacte.

En estas circ u n s t a n c i a s , si ( ( ' ^ ^ 5 T ( j J r ) * ) , i) es la c o m p a ct if ic ac on de A l e x a nd ro ff de ( , T ( ) ) se tiene que ( ijr )^) es c o m p a ct e y T

2

.

El espacio ( )*) es secuencial, ya que cual- quier s ucesion de puntos d i s t i nt o s de D c on v e r g e a

00 (00

es el punto que se ha an a d i d o a ''{f ) y cua l q u i e r sucesion de puntos en E ( & c o nverge a a)^

-23-

Sin embargo, ( T ( \{r )*) no es de F r e chet ya que oo € N y ninguna sucesion en M c o n v er ge a o d .

por ultimo ( ^ * , T ( )*) no es s u b s e c u e n ­ cial por 1.1.32 (E).

(sea [ } riè l\j sucesion d ef i ni da por x^=n para to da ntN. Ento n c e s o o € A g l y ^ ^ ^ ^ i t | x ^ j ^ y por lo dicho an

teriormente, no existe ninguna s u bs uc es io n de .j x^^ } néN converja a oo ).

D e fi n i c i o n 1.1.36

a) Un espacio topolo g i c o (X,T) se dice accesible, si para todo x G A^ , existe C € tal que x ^ y

x ^ ( C - A ) d . (3?)

B) Un e s p acio topolo g i c o (X,T) se dice f u e r t e m e n t e accesible, si para toda sucesion d e c r ec ie nt e de s u b c o n j u n ­

tos de X, I I pj£ y todo X 6 A^ , para todo nsN, se v e r i f i ­ es que existe C€ tal que x 4 y x ^ ( C - A ^ ) ^ para todo nSN.

(3l

⁾

Los siqui e n t e s ejem p l o s exp r e s a n la i n de p e n d e n c i a entre los axiomas s u b secuencial, a c c e s i bl e y f u e r temente accesible,

Ejemplos 1.1.37

A ) Gs Ty y s u b s e c uencial. Veamos que no es a c c e s i b l e ( Por tanto no es f u e rt e m e n t e a c c e s i b l e ).En efecto;

0 é (0,1)^ y para todo C € con C^R se tiene que O^C Si C=R, Ü€C^ y ÜC( R - (0,1 ) )‘^ .

B) Sea X=NxN. Se c o n s id ér a la a p l i c a c i o n — » P ( P ( X ) ) definida por:

5 ( (m,n) )= { A C NxIM I ( m , n ) ^ A | -\/(m,n) (1,1) ,

^ ( ( 1 , 1 ) ) = |a C i\IxM| (1,1 )E A y 3 F C M , F finito tal que V"m ( N-F { n | (m,n)^Aj- es f i n i t o j .

d

- 2 4^-

La aplic a c i o n ^ satisface las siguientes c o n d i c i o n e s : l) V x € X , C^(x) ^ . II) V x E X y Vv € ^ (x) se tiene que xëV. Ill) Y M G X tal que 3 & ( x ) con FI D V se v erifica que FI Ç (x ). IV) Si W,LJ6 <^(x) se tiene que

V O U £ J*(x) . V) V v 6 (^(x) , 3 U E (^(x) tal que Y y € U se tiene que V € ^ ( x ) • Por tanto existe una unica topolo Qia T, en X, tal que para todo x 6X , C^(x) es el sistema de entornos de x en (X,T).

Veamos que (X,T) no es subsecuencial.

Sea S :N ► X la sucesion definida por:

Para todo m^ M tal que existe péiM con p > l , p primo y m=p^, S(m) = x^=(p,n). En caso contrario, S(m) =x^ =(2,m).

5e verifica que :

a) (1,1) £ Agly S • En efecto;

Para todo existe F= ( n y , . . . , n ^ } tal que para todo m £ N - F , el conjunto j n |( m , n ) ^ V ^ ^ ’^^J es finito,

Para todo n€N sea pe N , p primo con p > max|n , n^ ,. . ,n^ j-.

Como p ^ M-F existe k£N con (p,k)£ V ^ ^ ^ \ Luego

S(p^) = X . = (p,k)€ y p ^ ^ p > n P

b) Hab r e m o s probado que (X,T) no es subsecuencial, si probamos que no existe s' s ub su c es io n de S tal que

( 1 , 1 ) 6 Limbs' .

Sin perdida de g e n e r a li da d se puede suponer que ( l , l ) ^ i m ( S ) (Pues si S es una sucesion en X y s' una s u b s ucesion de 5,

existe S “ s u b s ucesion de S* y por tanto de S, tal que i m ( S ” )C i m ( S ) )•

— 2 5—

Si e x i s t ie se q€ N tal que im(s' ) 0 ( { q} x l\l) es i n f i ­ nito, se tiene que S* no esta e v e n tualmente en

=(NxN -{

q}

x N ) U (Ifl) •

En caso contrario, para todo qtN,

im(s'

) 0 ( (q) xN ) es finito y s' no esta e v e n t u al m en te en NxlV - im(S* ).

Por tanto, ( 1 , 1 ) ^ LimyS' para toda S* s ub s u c e s i o n de 5.

Veamos que (X,T) es fuert e m e n t e a cc e s i b l e y T g « (X,t) es T g . En efécto:

a) Sean (m,n) , ( p , q ) 6 NxN con (m,n) ^ (p,q) y ambos d i s t i n t o s de (1,1). Como [ (m,n) } = y j ( p ,q)|=v(^*^^

se tiene que y / ^ y ^ P » ^ ^ .

b ) Sean ( 1 , 1 ) , ( m ,n ) é MxM . Entonces c on si de ra nd o

= X-{(m,n)} y = |(m,n)} se tiene que v ( l , l ) n v ( m » n ) ^ ^ ^,

(X,T) es f u e r t e m e n t e accesible. En efecto:

Los un i c o s s u b c o n juntos de X que tienen p untos de a cu m u l a - ccion son los que tienen infinites puntos en inf i n i t a s rectas ver iticales. Ademas, el unico punto de a c u m u l a c i o n de estos subcon- .juntos es el (1,1).

Sea [^nlnCM sucesion d ec re c i e n t e de subcon juntos de X

;y ( 1 , 1 ) £ A ^ para todo n£N. Se considéra el cerrado C, definido (de la si g u i e n t e forma; C= ( LJ [(fn }x N ) n A ] )[j|(l,l)j , don-

p€N ^ "p

(de <n } r es una sucesio^ estric tamen te cr e c i e n t e de n u m é r o s ( pj pcIM

fnaturales tal que ( {n jx n) H A es infinito. Ento n c e s (1,1 )EC^

P *^p

^y ( 1 , 1 ) ^ ’(C-A^)^, para todo n£l\, ya que para todo n&N, C - îsolo tiene puntos en un numéro finito de rectas verticales.

[Definicion 1.1.38

Un espacio topologico (X,T) se. dice isosecuono: al

- 2 6-

compacto, si todo subco n j u n t o n u me ra bl em en te comp a c t e y ce­

r r a d o es s e c u e n c i a l m e n te compacte.

P r o p o s i c i o n 1.1.39

Si (X,T) es s ub s e c u e n c i a l se verifica que (X,T) es jisosecuencial compacte.

D e m o s t r a c i o n ;

Sea M un cerrado y n u me ra bl e m e n t e compacte en (X,T) y (^n}n£l\l sucesion contenida en M. Como FI es n u merable- rmente compacto, existe x^C M G) A g 1 ^ j x^ j ^ . Asi existe

i * n ^ } k É N t a l q u e e Lim { ^ ^ y por tanto M es se-

ccuencialmente compacto.

P r o p o s i c i o n 1.1.40

Todo espacio I.A.IM. o bise c u e n c i a l o c - n u m er ab le me nt e [bisecuencial o n um er ab l e m e n t e bisecuencial, es i s o s e cuencial (compacte.

[Demostracion :

^Es c o n s e cu en ci a de 1 .1.17,1.1.19 y % .1.Il y de la propo - îsicion anterior.

[Proposicion 1.1.41

Todo espacio de Frechet y T^ es un espacio isosecuencial (compacte.

[ De m os tr a c i o n :

Es c o n s ec ue nc ia de 1,1.33 y de la p ro p o s i c i o n 1.1.39.

[Definicion 1.1.42

A) Un espacio topol o g i c o (X,T) es fuertemente K-espacio (si para toda sucesion decre c i e n t e oe s u b conjuntes de X,

|a [ , y todo X 6 Â p a r a t o d o n £ N , s e verifica que

l n J nE N o n

— 2 7—

existe un con junto compacto K tal que x^£ ( k O A ^ ) para to­

do n€ f\l • (31

)

B) Un espacio topologico (X,T) es un K-espacio, si para todo s u b c onjunto A de X y todo  ^ se verifica que

existe un c o n junto compacte K tal que x^£ (K H A )

.(

31

)

c)

Un espacio topologico (X,T) es un K-espacio, si para todo subc o n j u n t o A de X y todo x ^ Â , se verifica que exis

te un con junto compacto K tal que x^£ K ^ Hk H a ). (10)

Los s i guientes ejemplos ponen de manif i e s t o la i nd ep e n ­ dencia entre los espacios s u b se c u e n c i a l e s y los espacios f u e r t e m e n t e K* -espacios, k' - espacios y K-espacios.

Ejem p l o s 1.1.43

^ ^ ( [ û , il , T ) ^ es localmente comoacto y I _,

u ^

(por tanto fuertemente K-espacio, K-espacio y K - es p a c i o

(

31

))

sin embargo no es s ubsecuencial ya que es n u m e r ab le me nt e com pacto y no s e cu en c i a l m e n t e c o m p a c t o . ( Si fuese subsecuencial, séria iso s e c u e n c i a l compacto y por tanto s e cu en ci al me nt e c o m ­ pacto ).

^ ^ es subsecuencial, pero no es un K-espacio (por tanto no es fuertemente K-espacio, ni K-espacio).

En efecto;

Veamos que los c o n j untos compactos de son finitos.

{%n } n ( N ^ ^ infinito, la familia { H-(x^ | néW-(i es un r e c u b r i m i e n to abierto del c o n junto ( x I nEwj, peroevi-

“ 28 —

dentemente no existe un s u b r e c u br im i en to finito de { R - { I n«N - U ) .

Esta p ro p i e d a d de es suficiente para afirmar

que no es K-espacio. Basta c o nsiderar el conjunto A = ( 0 , 1 ) C R y x^ = 0 £ Â ; pues para A no existe subcon

compacto , K, tal que x^ = Ü6 K Q ( K Q A ) ,ya que para to­

do compacto K, G ^ K Pi (K O (Q , 1 ) ) = K A (ü , 1 ) .

El sig u i e n t e cuadro resume las r e laciones e st ab le c i d a s entre los di f e r e n t e s e s pacios con s i d e r a d o s en este parrafc.

- 2 9-

H*W O

CO

mn c

CD

3 H-

TJ r+-

too

CO

cCJ

I D

crH'

CO CDn c

CD

3n H*

Q)

n (0I CO T3CU H-n o

7:

I CD

to

T3

0)n

7:

I "

CD CO

■ D

n0 )

ccr

I

nn

I

cr

H * CO CD o

c

CD 3

4

0

n

1

cr

H - to CD

nc

CD 3

n

H - 0 )

n

I

cr

H -

to

CD ' n

c

CD 3

nH*

0 )

m CO

u : a

CD M01

3

ID IN

X I “ CD10

T )

-30-

^ 2 G E I M E R A L I Z A C I G W E S D E L I I . A . N .

El estudio del 1 1 .A .N ., puede con t e m p l a r s e desde un pun to de vista mas general que cons i s t e en s u s tituir el cardi - nal por un cardinal a r bi t r a r i o c.

P ro p o s i c i o n 1.2.1

Sea (x,T) un espacio topologico. Entonces existe base de T tal que para todo $ ,base de T, se v erifica que

card ( ^ — card ( ).

D e m o s t r a c i o n ;

Es c o ns ec ue nc ia de que todo con junto de c ar d i n a l e s esta bien ordenado.

D e f in i c i o n 1.2.2

Sea (X,T) un espacio topologico. Se llama grade o peso de (X,T) y se d e s i gnara por g r (X ,T ) al cardinal:

minimo I card(jB)|

^

^{es base de T}

j ^{. (22)}

Pr o p os ic io n 1.2.3

Un espacio topologico (X,T) cumple el II.A,M. si y so- lamente si gr (X , T ) ér .

D e m o s t r a c i o n ;

Es c o n s e c ue nc ia inmediata de las d e f i n i ci on es de grado de (x,T) y de I I .A .N . .

A c on ti nu ac io n se estudia el c o m p o r t a m i e n to de los espa cios de grado menor o igual que c ( ^ ^ : ^ c ) en la c onstrue - cion de topol o g i a s iniciales y finales.