SOBRE POLINOMIOS ORTOGONALES CLÁSICOS TIPO SOBOLEV

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SOBRE POLINOMIOS ORTOGONALES CL ´ ASICOS TIPO SOBOLEV

TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL T´ITULO DE MATEM ´ATICO.

PROYECTO CURRICULAR DE MATEM ´ATICAS.

Julian Guillermo Carrillo Meneses.

Director: ´Alvaro Arturo Sanju´an C.

Codirector: Luis Oriol Mora Valbuena.

Bogot´a DC Octubre de 2020

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Agradecimientos

Gracias a mi familia, en especial, a mi madre Argenis Meneses, a mi padre Guillermo Car- rillo, y a mi hermano Jhony Carrillo, que me brindaron su apoyo, comprensión y amor incondicional, para poder cumplir con éxito mi meta, fueron siempre ellos el motor que me impulsó a seguir adelante y no desfallecer en el intento; también deseo agradecer a mis demás familiares y amigos que estuvieron ah´ı presentes, brindándome su ayuda y voz de aliento para seguir adelante

Agradezco a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, al darme el privilegio de formarme como persona y profesional en sus aulas, de conocer personas maravillosas, y vivir momentos especiales con mis queridos amigos; agradecer a mis profesores, que me brindaron su conocimiento, experiencia y sabidur´ıa, y enseñarme esta hermosa ciencia, las Matemáticas. Un agradecimiento especial al profesor Oriol Mora, por su gu´ıa, apoyo y ayuda en este trabajo.

Dedicado a la memoria de Leidy Paola Rodr´ıguez P., siempre recordar´e tu sonrisa de aquella noche.

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“Todo aquello que el hombre ignora, no existe para ´el. Por eso el universo de cada uno se resume al tama˜no de su saber”.

Albert Einstein.

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Introducci´ on

Los or´ıgenes de los polinomios ortogonales se remontan al siglo XVIII en una estrecha relación con la solución de problemas de aplicación práctica, entre ellos, en ese entonces la teor´ıa de la gravedad de Newton [1, pág 20]. Adrien Marie Legendre inspirado en el problema de la atracción de un cuerpo por una esfera, realiza varios trabajos dando como resultado la primera familia de polinomios ortogonales. Seguido a él, surgen las familias introducidas, por Hermite, Laguerre, Chebyshev y Jacobi; hoy en d´ıa conocidos como los Polinomios Ortogonales Clásicos; con múltiples aplicaciones en la f´ısica y matemática aplicada.

Con relaci´on a lo anterior, tomamos el art´ıculo On some classical type Sobolev orthog- onal polynomials de S.M. Zagorodnyuk [2]. El cual nos presenta una forma de construir nuevas familias de polinomios ortogonales tipo Sobolev, considerando dos familias de polinomios hipergeom´etricos sobre la recta real: Ln(x) = Ln(x; q, m) =

2F2(−n, 1; q, m; x) y Pn(x) = Pn(x, a, b, c) = 3F2(−n, n − 1 + a + b, 1; a, c; x), los cuales generalizan los polinomios de Laguerre y Jacobi respectivamente.

El mencionado art´ıculo presenta de forma compacta diversos conceptos, temas y demostraciones que requieren un estudio exhaustivo tanto en la parte te´orica como argu- mentativa, es por ello, que para una adecuada comprensi´on, se propone como objetivo general: Entender parte del art´ıculo. Para dicho fin, planteamos los siguientes objetivos:

1. Realizar una s´ıntesis de la teor´ıa necesaria para el desarrollo de nuestro tema central, abarcando temas como la Función Gamma, Función Hipergeométrica y su general- ización, entre otros.

2. Presentar una sinopsis de la teor´ıa de Polinomios Ortogonales, y aspectos generales de los Polinomios Ortogonales Cl´asicos.

3. Comprender y detallar las demostraciones expuestas en el art´ıculo.

Para llevar a cabo dichos objetivos, desarrollamos la siguiente metodolog´ıa:

1. Asistencia al seminario de polinomios ortogonales, donde se realiza una introducci´on a la teor´ıa general de este tema.

2. Consultar la bibliograf´ıa del art´ıculo y realizar la b´usqueda de bibliograf´ıa comple- mentaria, que permita dar soporte te´orico.

3. Se programan reuniones semanales con el director del trabajo de grado, en las cuales se aclaran dudas y se realiza una retroalimentaci´on con cada informe presentado.

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iv

El trabajo se estructura por medio de cuatro cap´ıtulos. En el primero 1, abarcamos temáticas de diversas áreas, entre ellas, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, análisis funcional y teor´ıa de la medida, en los que se resumen los conceptos básicos y necesarios que soportan el escrito.

En el Cap´ıtulo 2, sintetizamos las nociones de funciones especiales, en particular la Función Gamma, la Función Hipergeométrica y su generalización, esta última juega un papel importante para el entendimiento del art´ıculo, puesto que por medio de ella ex- presamos los polinomios ortogonales que usamos y las ecuaciones diferenciales que estos satisfacen.

En el Cap´ıtulo3, presentamos un resumen de la teor´ıa de polinomios ortogonales, par- tiendo de la definición de funcional de momentos y ortogonalidad, además de exponer algunos de los teoremas principales de dicha teor´ıa, y aspectos generales como la fórmula de recurrencia a tres términos, y finalmente, exhibimos un resumen general de los polinomios ortogonales clásicos.

En el Cap´ıtulo4, una vez comprendidos los cap´ıtulos anteriores, los usamos como punto de partida para el correcto entendimiento de los temas expuestos en el art´ıculo, iniciando con una breve exposición acerca de producto interior tipo Sobolev, que son aquellos en los que están involucradas las derivadas. Posteriormente presentamos la definición de dos operadores diferenciales lineales (4.8), como la de la ecuación diferencial (4.3) que permite establecer la Condición 4.1 y a partir de ah´ı, realizamos la ampliación de los detalles de las demostraciones de los cuatro primeros teoremas tomados del art´ıculo.

Finalmente, reportamos las conclusiones del trabajo, junto a las referencias bibli- ogr´aficas.

Palabras clave:Polinomios Ortogonales, Funci´on Hipergeom´etrica, Sobolev.

Clasificaci´on AMS: 33C45.

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Contenido

Agradecimientos i

Introducci´on iii

1 Preliminares 1

1.1 Algebra Lineal. . . .´ 1

1.2 Ecuaciones Diferenciales. . . 3

1.3 An´alisis Funcional. . . 4

1.4 Teor´ıa de la Medida. . . 8

2 Funciones Especiales 12 2.1 Constante de Euler-Mascheroni. . . 12

2.2 Funci´on Gamma. . . 15

2.3 Funci´on Hipergeom´etrica. . . 19

2.4 Ecuaci´on Diferencial Hipergeom´etrica. . . 20

2.5 Funci´on Hipergeom´etrica Generalizada. . . 21

3 Polinomios Ortogonales 23 3.1 Funcional de momentos y ortogonalidad. . . 23

3.2 F´ormula de recurrencia fundamental. . . 25

3.3 Ceros. . . 28

3.4 Ortogonalidad respecto a una funci´on peso. . . 29

3.5 Polinomios Ortogonales Cl´asicos. . . 30

3.5.1 Polinomios de Jacobi. . . 30

3.5.2 Polinomios de Laguerre. . . 31

3.5.3 Polinomios de Hermite. . . 31

4 Polinomios Ortogonales Hipergeom´etricos Tipo Sobolev 32 4.1 Producto interior de tipo Sobolev . . . 32

4.2 Una nueva familia de Polinomios Ortogonales . . . 32

Conclusiones 44

Bibliografia 45

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

El desarrollo de nuestro trabajo requiere de algunos conceptos necesarios para su correcto entendimiento, por ende, en este cap´ıtulo presentaremos algunas definiciones y resultados previos en diversos temas.

1.1 Algebra Lineal. ´

En esta sección presentaremos algunas nociones básicas de álgebra lineal, las siguientes definiciones son tomadas de [3] y [4].

Definici´on 1.1 (Espacio vectorial.) Sea V un conjunto no vaci´o de elementos sobre un campo F . El conjunto V se llama espacio vectorial si satisface los siguientes axiomas

I Axiomas de clausura.

(i) Clausura respecto de la adici´on. A todo par de elementos u, v ∈ V corresponde un elemento ´unico de V llamado la suma de u y v, notado por u + v.

(ii) Clausura respecto a multiplicación por números reales. A todo u ∈ V y todo número real a corresponde un elemento de V llamado producto de a por u, designado por au.

I Axiomas para la adici´on.

(iii) Ley conmutativa. Para todo u y todo v de V , tenemos u + v = v + u.

(iv) Ley asociativa. Para cualesquiera u, v, w ∈ V , tenemos (u + v) + w = u + (v + w).

(v) Existencia del elemento cero. Existe un elemento en V , designado por 0, tal que u + 0 = u para todo u ∈ V .

(vi) Existencia de opuestos. Para todo u ∈ V , el elemento (−1)u tiene la propiedad u + (−1)u = 0.

I Axiomas para la multiplicaci´on por n´umeros.

(vii) Ley asociativa. Para todo u ∈ V y todo par de n´umeros reales a y b, tenemos a(bu) = (ab)u.

(viii) Ley distributiva para la adici´on en V . Para todo u y todo v de V y todo n´umero real a, tenemos a(u + v) = au + av.

1

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1.1. ´ALGEBRA LINEAL. 2

(ix) Ley distributiva para la adición de números. Para todo u ∈ V y todo par de números reales a y b, tenemos (a + b)u = au + bu.

(x) Existencia de elemento id´entico. Para todo u ∈ V , tenemos 1u = u.

Ejemplo 1.1 El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n, siendo n fijo. Siempre que consideremos este conjunto, se sobrentender´a que siempre est´a incluido el polinomio nulo. El conjunto de todos los polinomios de grado igual a n no es un espacio lineal porque no se satisfacen los axiomas de clausura. Por ejemplo, la suma de dos polinomios de grado n puede no ser de grado n.

Definición 1.2 (Combinación lineal.) Sea S un subconjunto no vació de un espacio vectorial V . Un elemento u ∈ V de la forma u =

k

P

i=1

c_iu_i, en donde u_i, ..., u_k pertenecen todos a S y c₁, ..., c_k son escalares, se denomina combinaci´on lineal de elementos de S.

El conjunto de todas las combinaciones lineales de S es llamado el span de S, notado como span S

Definici´on 1.3 (Conjunto Linealmente Dependiente e Independiente.) Un conjunto S de elementos de un espacio vectorial V se llama dependiente si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, u₁, ..., u_k, y un correspondiente conjunto de escalares c₁, ..., c_k, no todos cero, tales que

k

P

i=1

ciui = 0.

El conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cualesquiera que sean los elementos distintos u₁, ..., u_k y los escalares c₁, ..., c_k,

k

P

i=1

c_ix_i = 0 implica c₁ = c₂ = · · · c_k= 0.

Definición 1.4 (Espacios vectoriales de dimensión finita e infinita.) Un espacio vectorial V se dice ser de dimensión finita si existe un entero positivo n tal que V contiene un conjunto linealmente independiente de n vectores, mientras que cualquier conjunto de n+1 o más vectores de V es linealmente dependiente. El entero n es llamado la dimensión de V , dimV = n. Por definición, V = {0} es de dimensión finita y dimV = 0. Si V no es de dimensión finita, este se dice que es de dimensión infinita.

Definición 1.5 (Base.) Si V es cualquier espacio vectorial, no necesariamente de di- mensión finita, y S es un subconjunto linealmente independiente de V el cual genera a V , entonces S es llamado una base (o base de Hamel) para V . Por tanto si S es una base para V , entonces cada u ∈ V distinto de cero tiene representación única como com- binación lineal de (un número finito) elementos de S con escalares distintos de cero como coeficientes.

Ejemplo 1.2 El espacio de todos los polinomios p(t) de grado menor o igual que n tiene dimensi´on n + 1. Una base es el conjunto de n + 1 polinomios {1, t, t², ..., tⁿ}. Todo polinomio de grado menor o igual que n es una combinaci´on lineal de esos n + 1 polinomios.

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1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES. 3

1.2 Ecuaciones Diferenciales.

En esta sección daremos los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales y su forma de clasificación. Para su desarrollo tomaremos como libro gu´ıa [5].

Definición 1.6 (Ecuación Diferencial.) Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED).

Para una mejor comprensi´on de las ecuaciones diferenciales, las clasificaremos por tipo, orden y linealidad.

I Clasificaci´on por tipo.

(i) Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria(EDO).

(ii) Una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial(EDP).

I Clasificaci´on por orden.

(iii) El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Simbólicamente se puede expresar una EDO de n-ésimo orden con una variable dependiente por la forma general

F (x, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 (1.1) donde F es una funci´on con valores reales de n + 2 variables: x, y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾.

I Clasificaci´on por linealidad.

(iv) Una ecuación diferencial de n-ésimo orden (1.1) se dice lineal si F es lineal en y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾. Esto significa que una EDO de n-ésimo orden es lineal cuando (1.1) es

a_n(x)y⁽ⁿ⁾+ a_n−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · a₁(x)y⁰+ a₀(x)y − g(x) = 0. (1.2) Se dice que la ecuaci´on (1.2) es homog´enea si g(x) = 0.

Dos casos especiales importantes de la ecuaci´on (1.2) son las ED lineales de primer (n = 1) y de segundo orden (n = 2):

a₁(x)y⁰+ a₀(x)y = g(x) y a₂(x)y⁰⁰+ a₁(x)y⁰ + a₀(x)y = g(x).

Definición 1.7 (Solución de una EDO) Una solución de una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden (1.1) es una función φ (definida en un intervalo I) que posee al menos n derivadas para las que

F (x, φ(x), φ⁰(x), ..., φ⁽ⁿ⁾) = 0.

para todo x ∈ I.

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1.3. AN ´ALISIS FUNCIONAL. 4

1.3 An´ alisis Funcional.

Esta secci´on es de vital importancia, puesto que en ella definiremos diferentes espacios como los espacios de Banach y los espacios de Hilbert, que nos servir´an posteriormente para entender el contexto en el que se desarrollan los polinomios ortogonales. La bibliograf´ıa es tomada de [4].

Espacios M´etricos.

Definición 1.8 (Espacio Métrico.) Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un conjunto y d es una métrica sobre X, que es una función definida sobre X × X tal que para todo x, y, z ∈ X, tenemos

(M1) d(x, y) ≥ 0.

(M2) d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y.

(M3) d(x, y) = d(y, x).

(M4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Para simplicidad de la notaci´on nos referiremos al espacio m´etrico (X, d) como X.

Definici´on 1.9 (Bola abierta.) Dado un punto x0 en X un espacio m´etrico y r > 0 ∈ R, definimos la bola abierta con centro en x0 y radio r como

B(x₀; r) = {x ∈ X|d(x, x₀) < r} .

Definici´on 1.10 (Conjunto abierto.) Un subconjunto M de un espacio m´etrico X se dice ser abierto, si para todo x ∈ M existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ M . Un subconjunto C de X se dice ser cerrado si su complemento es abierto, es decir C^c= X − C es abierto.

Definici´on 1.11 (Punto de adherencia.) Sea X un espacio m´etrico, y M ⊆ X, se dice que x ∈ X es un punto de clausura o adherencia para M , si satisface que para cualquier r > 0, B(x, r) ∩ M 6= ∅. El conjunto de todos los puntos de adherencia de M , se llama clausura de M y se nota por M .

Definición 1.12 (Punto de acumulación.) Sea X un espacio métrico, y M ⊆ X, se dice que x ∈ X es un punto de acumulación o l´ımite para M , si para todo r > 0 se cumple que (B(x, r) − {x}) ∩ M 6= ∅. El conjunto de todos los puntos de acumulación de M se llama el conjunto derivado de M y se nota por M⁰.

Definici´on 1.13 (Conjunto Denso, Espacio separable.) Un subconjunto M de un espacio m´etrico X se dice ser denso en X si M = X.

X se dice ser separable si tiene un subconjunto contable el cual es denso en X.

Definición 1.14 (Convergencia de una sucesión.) Una sucesión {x_n} en un espacio métri- co X, se dice ser convergente si existe un x ∈ X tal que

x→∞l´ım d(x_n, x) = 0.

Definición 1.15 (Sucesión de Cauchy, Espacio Completo.) Una sucesión {x_n} en un espacio métrico se dice ser de Cauchy si para todo > 0 existe un N que depende de tal que d(x_m, x_n) < para todo m, n > N .

El espacio X se dice completo si toda sucesi´on de Cauchy en X converge.

Definición 1.16 (Compacidad.) Un espacio métrico X se dice ser compacto, si toda su- cesión en X tiene una subsucesión convergente. Un subconjunto M de X es compacto si M es compacto considerado como un subespacio de X, esto es, si toda sucesión en M tiene una subsucesión convergente a un elemento de M .

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Espacios Normados.

Definici´on 1.17 (Espacio Normado.) Un espacio normado X es un espacio vectorial con una norma definida sobre este. Un espacio de Banach es un espacio normado completo.

Aqu´ı, una norma sobre un espacio vectorial X es una funci´on a valor real sobre X; es decir, k · k : X → R, y satisface las siguientes propiedades:

(N1) kxk ≥ 0.

(N2) kxk = 0 si y s´olo si x = 0.

(N3) kαxk = |α|kxk ∀x ∈ X y α ∈ R.

(N4) kx + yk ≤ kxk + kyk.

Una norma sobre X define una m´etrica d sobre X dada por d(x, y) = kx − yk x, y ∈ X,

y es llamada la m´etrica inducida por la norma. El espacio normado es denotado por (X, k · k) o simplemente X.

Ejemplo 1.3 (L^p[a, b].) Para un n´umero real p ≥ 1, el espacio de Banach de todas las funciones a valor real sobre [a, b] forman un espacio normado X con norma definida

kxk_p =





b

Z

a

|x(t)|^pdt





1/p

.

Teorema 1.1 (Completo.) Todo subespacio de dimensi´on finita Y de un espacio normado X es completo. En particular, todo espacio normado de dimensi´on finita es completo.

Teorema 1.2 (Compacidad.) En un espacio normado de dimensi´on finita X, cualquier subconjunto M ⊂ X es compacto si y s´olo si M es cerrado y acotado.

Teorema 1.3 (Dimensi´on Finita.) Si un espacio normado X tiene la propiedad que la bola unitaria cerrada M = {x|kxk ≤ 1} es compacto, entonces X es de dimensi´on finita.

Operadores lineales.

Usualmente en c´alculo consideramos la recta real R y funciones a valor real, es claro que cualquiera de estas funciones son un mapeo de su dominio en R; al considerar espacios m´as generales, en este caso, espacios vectoriales, en particular espacios normados, estos mapeos se llaman operadores lineales.

Definici´on 1.18 (Operador Lineal.) Un operador lineal T es un operador tal que

(i) El dominio D(T ) de T es un espacio vectorial y el rango R(T ) se encuentran en un espacio vectorial sobre el mismo campo.

(ii) Para todo x, y ∈ D(T ) y escalares α,

T (x + y) =T x + T y T (αx) =αT x.

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Ejemplo 1.4 (Operador Diferencial.) Sea X el espacio vectorial de todos los polinomios sobre [a, b]. Podemos definir el operador T sobre X por

T (p(t)) = p⁰(t), p ∈ P,

donde prima denota la derivada respecto a t. Este operador T mapea X sobre si mismo.

Definici´on 1.19 (Operador Lineal Acotado.) Sean X y Y espacios normados y T : D(T ) → Y un operador lineal, donde D(T ) ⊂ X. El operador T se dice acotado si existe un n´umero real c tal que para todo x ∈ D(T ), kT xk ≤ ckxk.

Definici´on 1.20 (Funcional Lineal.) Un funcional lineal f es un operador lineal con dominio en un espacio vectorial X y rango en un campo escalar K de X, esto es

f : D(f ) → K, donde K = R o K = C.

Espacio con Producto Interno.

Definici´on 1.21 (Espacio con Producto Interno.) Un espacio con producto interno es un espacio vectorial X con un producto interno definido sobre X. Un espacio de Hilbert es un espacio con producto interno completo.

Aqu´ı, un producto interno sobre X es un mapeo de X × X en el campo escalar K de X;

esto es, para cada par de vectores x e y existe un escalar asociado notado como hx, yi, llamado el producto interno de x e y, tal que para todo x, y, z ∈ X y α ∈ K cumple las siguientes propiedades

(P.I1) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi.

(P.I2) hαx, yi = α hx, yi.

(P.I3) hx, yi = hy, xi.

(P.I4) hx, xi ≥ 0.

(P.I5) hx, xi = 0 si y s´olo si x = 0.

Un producto interno sobre X define una norma sobre X dada por kxk =phx, xi

y una m´etrica sobre X dada por

d(x, y) = kx − yk =phx − y, x − yi.

Por tanto, los espacios con producto interno son espacios normados, y los espacios de Hilbert son espacios de Banach.

Definici´on 1.22 (Ortogonalidad.) Un elemento x de un espacio con producto interno X se dice ortogonal a un elemento y ∈ X si hx, yi = 0.

Decimos que x e y son ortogonales y se denota x ⊥ y. Similarmente, para subconjuntos A, B ⊂ X, escribimos x ⊥ A si x ⊥ a para todo a ∈ A, y A ⊥ B si a ⊥ b para todo a ∈ A y b ∈ B.

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Conjuntos y Sucesiones Ortonormales.

Definici´on 1.23 (Conjuntos y Sucesiones Ortonormales.) Un conjunto ortogonal M en un espacio con producto interno X es un subconjunto M ⊂ X cuyos elementos son ortogonales por pares. Un conjunto ortonormal M ⊂ X es un conjunto ortogonal en X cuyos elementos tienen norma 1, estos es, para todo x, y ∈ M ,

hx, yi =0 si x 6= y 1 si x = y

Si un conjunto ortogonal u ortonormal M es contable, podemos ordenarlo en una sucesi´on {xn} y llamarla una sucesi´on ortogonal u ortonormal, respectivamente.

Si sabemos que dado un x puede ser representado como una combinación lineal de algunos elementos de una sucesión ortonormal, entonces la ortonormalidad permite determinar los coeficientes más fácil. En efecto, Si (e₁, e₂, ...) es una sucesión ortonormal en un espacio con producto interior X y tenemos que x pertenece al generado de {e₁, e₂, ..., e_n}, donde n es fijo, entonces por definición del span

x =

n

X

k=1

αkek, si tomamos el producto interno por un ej fijo, obtenemos

hx, e_ji =DX

αe_k, e_jE

=X

α_khe_k, e_ji = α_j, con lo anterior x se puede reescribir como

x =

n

X

k=1

hx, e_ki e_k.

Lo cual muestra que determinar los coeficientes α_k es simple.

Ahora bien, si deseamos obtener una sucesión ortonormal dada una sucesión linealmente independiente arbitraria {x_j}, es posible por medio del proceso de Gram Schmidt para ortonormalizar la sucesión {x_j} en un espacio con producto interno. La sucesión ortonormal resultante {ej} tiene la propiedad que para todo n, span{e1, ..., en} =span{x1, ..., xn}.

Proceso de Gram Schmidt.

Sea una base linealmente independiente {x₁, ..., x_n}, se busca obtener una base ortonormal {e₁, ..., x_n}, para ello se sigue el siguiente proceso:

(1) El primer elemento de {e_k} es e₁ = 1 kx₁kx₁.

(2) x₂ puede ser escrito como x₂ = hx₂, e₁i e₁+ v₂. Entonces v₂ = x₂ − hx₂, e₁i e₁ es un vector no nulo, puesto que {x_j} es linealmente independiente; adem´as, v₂ ⊥ e₁ ya que hv₂, e₁i = 0, as´ı que e₂ = 1

kv₂kv₂.

(3) El vector v₃ = x₃− hx₃, e₁i e₁− hx₃, e₂i e₂ es no nulo, puesto que {x_j} es linealmente independiente; adem´as, v₃ ⊥ e₁ y v₃ ⊥ e₂. Luego e₃ = 1

kv₃kv₃.

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1.4. TEOR´IA DE LA MEDIDA. 8

(4) Para el n-´esimo paso, el vector v_n = x_n−

n−1

P

k=1

hx_n, e_ki e_k es no nulo y es ortogonal a e₁, ..., e_n−1. De esto se obtiene que e_n = 1

kv_nkv_n.

Teorema 1.4 (Teorema de Riesz.) Todo funcional lineal acotado f sobre un espacio de Hilbert H puede ser representado en t´erminos de un producto interno, nombrado

f (x) = hx, zi

donde z depende de f , y es determinado ´unicamente por f y su norma kzk = kf k.

1.4 Teor´ıa de la Medida.

En esta secci´on se concentran gran parte de los temas que soportan la estructura de los cap´ıtulos posteriores, es por ello la importancia de introducir conceptos como medida, funciones medibles, funciones integrables, y los espacios L_p, en los cuales los polinomios ortogonales se desarrollan. La bibliograf´ıa para esta secci´on es tomada de [6]

Funciones Medibles.

Para poder introducir el termino de funci´on medible debemos primero establecer el concepto de σ-´algebra.

Definición 1.24 (σ-álgebra.) Una familia F de subconjuntos de un conjunto X se dice ser una σ-álgebra, si satisface

(1) ∅ y X pertenecen a F .

(2) Si A pertenece a F , entonces el complemento A^c= X − A pertenece a F . (3) si {A_n} es una sucesi´on de conjuntos en F , entonces la uni´on

∞

S

n=1

A_n pertenece a F . El par ordenado (X, F ) es llamado un espacio medible.

Definición 1.25 (Función Medible.) Una función f de X a R se dice medible si para cada número real α el conjunto

{x ∈ X : f (x) > α}

pertenece a F .

Lema 1.1 Las siguientes proposiciones son equivalentes para una funci´on f de X a R:

(a) ∀α ∈ R, el conjunto Aα = {x ∈ X : f (x) > α} ∈ F . (b) ∀α ∈ R, el conjunto Bα= {x ∈ X : f (x) ≤ α} ∈ F . (c) ∀α ∈ R, el conjunto Cα = {x ∈ X : f (x) ≥ α} ∈ F . (d) ∀α ∈ R, el conjunto Dα = {x ∈ X : f (x) < α} ∈ F .

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Lema 1.2 Sean f y g funciones a valor real medibles y sea c un n´umero real, entonces las funciones

cf, f², f + g, f g, |f |, tambi´en son medibles.

Definici´on 1.26 (Parte Positiva y Negativa de f .) Si f es cualquier funci´on de X a R, sea f⁺ y f⁻ funciones no negativas definidas por

f⁺ = sup {f (x), 0} , f⁻= sup {−f (x), 0} .

La funci´on f⁺ es llamada la parte positiva de f y f⁻ es llamada la parte negativa de f . Adem´as

f = f⁺− f⁻, y |f | = f⁺+ f⁻. Medidas.

Ahora consideraremos ciertas funciones las cuales est´an definidas en F y tienen valores en R o R (reales extendidos). Estas funciones son llamadas medidas y son la pieza fundamental de esta secci´on.

Definición 1.27 (Medida.) Una medida es una función a valor real extendido µ definida sobre una σ-álgebra F de subconjuntos de X tal que

(i) µ(∅) = 0.

(ii) µ(E) ≥ 0 ∀E ∈ F .

(iii) µ es contablemente aditiva en el sentido que {E_n} es cualquier sucesi´on disyunta de conjuntos en F , entonces

µ

∞

[

n=1

E_n

!

=

∞

X

n=1

µ(E_n).

Definici´on 1.28 (Espacio de Medida.) Un espacio de medida es una tripla (X, F , µ) que consiste de un conjunto X, una σ-´algebra F de subconjuntos de X, y una medida µ definida sobre F .

Además, diremos que una proposición es verdadera µ-casi siempre si existe un subconjunto N ∈ F con µ(N ) = 0 tal que la proposición se cumpla en N^c.

La Integral.

En esta sección introduciremos la integral, primero para funciones medibles simples no negativas y luego para funciones arbitrarias medibles a valor real extendido. Considerare- mos un espacio de medida fija (X, F , µ), denotaremos la colección de todas las funciones medibles de X a R por M = M (X, F) y la colección de todas las funciones medibles no negativas de X a R por M⁺ = M⁺(X, F ).

Definición 1.29 (Función Simple.) Una función a valor real es simple si toma un número finito de valores.

(17)

Una funci´on medible simple ϕ puede ser representada en la forma ϕ =

n

X

j=1

a_jχ_E_j, (1.3)

donde a_j ∈ R y χEj es la función caracter´ıstica o indicadora de un conjunto E_j ∈ F . Entre estas representaciones para ϕ existe una única representación estándar caracterizada por el hecho que los aj son distintos y los Ej son subconjuntos no vac´ıos disyuntos de X y tala que X =

n

S

j=1

E_j.

Definición 1.30 (Integral de una Función Simple.) Si ϕ es una función simple en M⁺ con representación estándar (1.3), se define la integral de ϕ con respecto a µ como el número real extendido

Z

ϕdµ =

n

X

j=1

a_jµ(E_j). (1.4)

Definici´on 1.31 (Integral para f cualquiera.) Si f pertenece a M⁺, se define la integral de f con respecto µ como el n´umero real extendido

Z

f dµ = sup Z

ϕdµ, (1.5)

donde el supremo se extiende sobre todas las funciones ϕ en M⁺ satisfaciendo 0 ≤ ϕ(x) ≤ f (x) para todo x ∈ X. Si f pertenece a M⁺ y E ∈ F , entonces f χ_E pertenece a M⁺ y se define la integral de f sobre E con respecto a µ como el n´umero real extendido

Z

E

f dµ = Z

f χ_Edµ.

Funciones Integrables.

En esta secci´on discutiremos la integraci´on de funciones medibles las cuales pueden tomar valores reales positivos o negativos.

Definici´on 1.32 (L(X, F , µ).) La colecci´on L = L(X, F , µ) de funciones integrables consiste de todas las funciones medibles a valor real f definidas sobre x, tal que tanto la parte positiva f⁺ y parte negativa f⁻ de f tienen integral finita respecto a µ. En este caso se define la integral de f con respecto a µ como

Z

f dµ = Z

f⁺dµ − Z

f⁻dµ.

Si E ∈ F , se define

Z

E

f dµ = Z

E

f⁺dµ − Z

E

f⁻dµ.

A continuaci´on, estableceremos el teorema de convergencia m´as importante para funciones integrables.

Teorema 1.5 (Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue.) Sea {f_n} una suce- sión de funciones integrables las cuales convergen casi siempre a una función medible a valor real f . Si existe una función integrable g tal que |f_n| ≤ g para todo n, entonces f es integrable y

Z

f dµ = lim Z

f_ndµ.

(18)

Espacios L_p

Ahora consideraremos una familia de espacios lineales normados relacionados de clases de equivalencia de funciones medibles. Para ello, definiremos antes los siguientes conceptos Definici´on 1.33 (Semi-norma.) Sea (X, F , µ) un espacio de medida. Si f pertenece a L(X, F , µ), se define

N_µ(f ) = Z

|f |dµ como la semi-norma N_µ sobre el espacio L(X, F , µ).

Definici´on 1.34 (µ-equivalencia.) Dos funciones en L = L(X, F , µ) se dicen µ-equivalentes si ellas son iguales µ-casi siempre. Las clases de equivalencia determinadas por f en L es algunas veces denotada por [f ] y consiste del conjunto de todas las funciones en L las cuales son µ-equivalentes a f . El espacio de Lebesgue L₁ = L₁(X, F , µ) consiste de todas las clases µ-equivalentes en L. Si [f ] pertenece a L1, se define la norma

k [f ] k₁ = Z

|f |dµ.

Definici´on 1.35 (Espacios L_p.) Si 1 ≤ p ≤ ∞, el espacio L_p = L_p(X, F , µ) consiste de todas las clases µ-equivalentes de funciones medibles a valor real f para las cuales |f |^p tiene integral finita respecto a µ sobre X. Dos funciones son µ-equivalentes si estas son iguales µ-casi siempre. Se define el conjunto

kf k_p =

Z

|f |^pdµ

1/p

.

(19)

Cap´ıtulo 2

Funciones Especiales

En el presente cap´ıtulo daremos a conocer algunas nociones y conceptos necesarios, tanto a nivel teórico, como de notación, que nos permitirán desarrollar y entender los temas del Cap´ıtulo 4con mayor fluidez.

La bibliograf´ıa que usaremos para el presente desarrollo, es tomada de [7] y [8], es de acla- rar que en las demostraciones se ampl´ıan y a˜naden detalles para una mejor comprensi´on.

2.1 Constante de Euler-Mascheroni.

Definición 2.1 (H_n.) El n-ésimo número armónico denotado por H_n, se define como la suma de los rec´ıprocos de los primeros n números naturales

H_n =

n

X

k=1

1 k.

Definici´on 2.2 (Constante de Euler-Mascheroni γ.) La constante γ est´a dada por:

γ = l´ım

n→∞[H_n− Log(n)] . (2.1)

Actualmente el valor de γ = 0, 5772... aproximadamente, además aún no se ha podido probar si es racional o irracional [9, pág 543].

Teorema 2.1 γ existe y 0 6 γ < 1.

Demostraci´on.

Sea A_n = H_n− Log(n), veamos que es una sucesi´on mon´otona decreciente, A_n+1− A_n= (H_n+1− Log(n + 1)) − (H_n− Log(n))

= H_n+1− H_n− Log(n + 1) + Log(n)

=

n+1

X

k=1

1 k −

n

X

k=1

1

k − Log(n + 1) + Log(n)

12

(20)

2.1. CONSTANTE DE EULER-MASCHERONI. 13

Contin´ua

An+1− An =

n

X

k=1

1 k + 1

n + 1 −

n

X

k=1

1

k − Log(n + 1) + Log(n)

= 1

n + 1 − Log(n + 1) + Log(n)

= 1

n + 1 + Log

n

n + 1

= 1

n + 1 + Log

1 − 1 n + 1

.

Ahora, sea la funci´on f : [0, 1) → R definida por f (t) = t + Log(1 − t) y consideremos su derivada, f⁰(t) = −1

1 − t < 0 ∀t ∈ (0, 1), de lo cual se tiene que f es estrictamente decreciente en [0, 1), y como 1

n + 1 ∈ (0, 1) se deduce que An+1− An < 0 ∀n, por tanto A_n+1< A_n, es decir, A_n es una sucesi´on mon´otona decreciente.

Veamos qu´e A_n tiene cota inferior. Tome k ≥ 2, 1

k <

k

Z

k−1

dt

t < 1 k − 1,

sumando las desigualdades desde k = 2 hasta k = n, obtenemos, H_n− 1 <

2

Z

1

dt t +

3

Z

2

dt

t + · · · +

n

Z

n−1

dt

t < H_n−1, solucionando las integrales tenemos que,

⇒ H_n− 1 < Log(2) + Log 3 2

+ Log 4 3

· · · + Log

n

n − 1

< H_n−1

⇒ H_n− 1 < Log

2 · 3

2· 4

3· · ·n − 1 n − 2 · n

n − 1

< H_n−1

⇒ H_n− 1 < Log(n) < H_n−1

⇒ −1 < −H_n+ Log(n) < Hn−1− H_n

⇒ −1 < −H_n+ Log(n) < −1 n

⇒ 1

n < A_n < 1,

entonces 0 es cota inferior de A_n, por ser monótona creciente tiene l´ımite γ, además todos sus términos son positivo y menores que la unidad, por tanto γ existe y 0 6 γ < 1.

Teorema 2.2 (F´ormula integral de γ.) La constante de Euler-Mascheroni puede ser ex- presada en forma de integral, de la siguiente manera

γ = l´ım

n→∞[H_n− Log(n)] = 1 −

∞

Z

1

t − btc

t² dt, (2.2)

(21)

2.1. CONSTANTE DE EULER-MASCHERONI. 14

donde btc denota la funci´on parte entera de t.

Demostraci´on.

En primer lugar veamos que la integral

∞

R

1 t−btc

t² dt es finita, para este hecho, notemos que t − btc < 1,de este modo

∞

Z

1

t − btc t² dt <

∞

Z

1

t²dt = 1.

Ahora bien, reescribiendo la integral

∞

Z

1

t − btc t² dt =

∞

X

k=1 k+1

Z

k

t − btc

t² dt, (2.3)

as´ı de (2.2) y (2.3), tenemos

n→∞l´ım [Hn− Log(n)] = 1 −

∞

X

k=1 k+1

Z

k

t − btc t² dt

= 1 −

∞

X

k=1





k+1

Z

k

1 tdt −

k+1

Z

k

btc t² dt



,

(2.4)

resolviendo por separado cada integral de (2.4), se tiene que, de la primera integral

k+1

Z

k

1

tdt = Log(t)

k+1

k

= Log(k + 1) − Log(k)

= Log k + 1 k

,

(2.5)

para la segunda integral debemos tener en cuenta que, como los l´ımites de integración van de k hasta k + 1 y son enteros, y la función btc toma el máximo entero menor que t, entonces en este caso se tiene que btc = k,

k+1

Z

k

btc t² dt = k

k+1

Z

k

1 t²dt

= k

"

−1 t

k+1

k

#

= k

1

k(k + 1)

= 1

k + 1,

(2.6)

(22)

2.2. FUNCI ´ON GAMMA. 15

reemplazando (2.5) y (2.6) en (2.4), llegamos a

n→∞l´ım [H_n− Log(n)] = 1 −

∞

X

k=1 k+1

Z

k

t − btc t² dt

= 1 −

∞

X

k=1

Log k + 1 k

− 1

k + 1

= 1 − l´ım

n→∞

" _n X

k=1

Log k + 1 k

− 1

k + 1

#

= 1 − l´ım

n→∞

"

Log(n + 1) −

n+1

X

k=1

1 k

− 1

!#

= 1 + l´ım

n→∞

"

−Log(n + 1) +

n+1

X

k=1

1 k

#

− 1

= l´ım

n→∞

"_n+1 X

k=1

1

k − Log(n + 1)

#

= l´ım

n→∞[H_n− Log(n)] .

(2.7)

2.2 Funci´ on Gamma.

Definición 2.3 (Función Gamma Γ(z).) La siguiente definición se la debemos a Weiers- trass, expresa la función Gamma, denotado por Γ(z) como un producto infinito

1

Γ(z) = ze^γz

∞

Y

n=1

h

1 + z n

e⁻ⁿ^zi

(2.8) o

Γ(z) = e^−γz

z

∞

Q

n=1

h

1 + z n

e⁻ⁿ^zi, (2.9)

con z ∈ C \ {0, −1, −2, ...} , y donde γ es la constante de Euler-Macheroni (2.1).

La funci´on Γ(z) cumple que es anal´ıtica excepto en los enteros negativos y z = ∞, dado esto posee polos simples (o de orden 1) en z = {0, −1, −2, ...}; adem´as posee una singularidad esencial en z = ∞ , y por ultimo Γ(z) 6= 0.

Algunas propiedades de la función Gamma resultan ser más amigables, cuando se define por medio de una integral, el próximo teorema relaciona la Definición 2.3 con la definida por la integral de Euler.

Teorema 2.3 (Integral de Euler para Γ(z).) Si Re(z) > 0, entonces Γ(z) =

∞

Z

0

e^−tt^z−1dt. (2.10)

(23)

Para facilitar la demostraci´on del Teorema2.3, enunciaremos algunos lemas.

Lema 2.1 Si 0 ≤ α < 1, entonces 1 + α ≤ e^α ≤ (1 − α)⁻¹. Demostraci´on.

Para este hecho, usaremos la representaci´on en series de potencias de e^α dada por e^α = 1 + α +

∞

X

n=2

αⁿ n!

y la siguiente igualdad

(1 − α)⁻¹ = 1 + α +

∞

X

n=2

αⁿ, de este modo tenemos que

1 + α ≤ 1 + α +

∞

X

n=2

αⁿ

n! ≤ 1 + α +

∞

X

n=2

αⁿ, con lo cual resulta evidente la desigualdad.

Lema 2.2 Si 0 ≤ α < 1, entonces (1 − α)ⁿ≥ 1 − nα, para n un entero positivo.

Demostraci´on.

Procederemos a realizar inducci´on sobre n. Si n = 1 resulta trivial. Ahora asumamos que se cumple para n, mostremos que se cumple para n + 1.

En efecto, multiplicando cada miembro de la desigualdad por (1 − α) y aplicando la hip´otesis de inducci´on, tenemos que

(1 − α)ⁿ⁺¹ ≥ (1 − nα)(1 − α)

⇒ (1 − α)ⁿ⁺¹ ≥ 1 − (n + 1)α + nα²

⇒ (1 − α)ⁿ⁺¹ ≥ 1 − (n + 1)α.

Lema 2.3 Si 0 ≤ t ≤ n con n un entero positivo, entonces 0 ≤ e^−t−

1 − t

n

≤ t²e^−t n . Demostraci´on.

Tome α = t/n, aplicando el Lema 2.1, tenemos 1 + t

n ≤ e^t/n ≤

1 − t

n

−1

,

de la cual podemos obtener cualquiera de las siguientes desigualdades,

1 + t

n

≤ e^t≤

1 − t

n

−n

(2.11)

(24)

o

1 + t

n

⁻ⁿ

≥ e^−t ≥

1 − t

n

, (2.12)

entonces, de (2.12) concluimos la primera parte de la desigualdad e^−t−

1 − t

n

≥ 0. (2.13)

Por otra parte tenemos que e^−t−

1 − t

n

= e^−t

1 − e^t

1 − t

n

y, por (2.11),

1 + t

n

≤ e^t. Por tanto

e^−t−

1 − t

n

≤ e^−t

1 −

1 − t²

n²

n

. (2.14)

Ahora, por el Lema 2.2, tomando α = t²

n² obtenemos

1 − t²

n²

n

≥ 1 −t² n, usando lo anterior en (2.14)

e^−t−

1 − t

n

≤ e^−t

1 − 1 + t² n

= t^2e^−t

n . (2.15)

Por tanto de (2.13) y (2.15) concluimos la demostraci´on.

Lema 2.4 Si n es entero y Re(z) > 0, entonces

Γ(z) = l´ım

n→∞

n

Z

0

1 − t

n

t^z−1dt. (2.16)

Demostraci´on.

Tomemos t = nβ, al sustituir, obtenemos

n

Z

0

1 − t

n

t^z−1dt = n^z

1

Z

0

(1 − β)ⁿβ^z−1dβ. (2.17) Realizando integraci´on por partes, y teniendo en cuenta que, u = (1 − β)ⁿ y

dv = β^z−1dβ, obtenemos

1

Z

0

(1 − β)ⁿβ^z−1dβ = (1 − β)ⁿβ^z z

1

0

+ n z

1

Z

0

(1 − β)ⁿ⁻¹β^zdβ

= n z

1

Z

0

(1 − β)ⁿ⁻¹β^zdβ,

(25)

si iteremos el proceso de integraci´on, llegaremos a

1

Z

0

(1 − β)ⁿβ^z−1dβ = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n − 1)

1

Z

0

β^z+n−1dβ

= n!

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n). Reemplazando lo obtenido anteriormente en (2.17)

n

Z

0

1 − t

n

t^z−1dt = n!n^z

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n), luego

n→∞l´ım

n

Z

0

1 − t

n

t^z−1dt = l´ım

n→∞

n!n^z

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n) = Γ(z).

Una vez mostrados los lemas anteriores, podemos continuar con la demostraci´on del Teorema2.3.

Demostraci´on.

La integral en (2.10) converge para Re(z) > 0, usando el Lema 2.4, podemos escribir lo siguiente

∞

Z

0

e^−tt^z−1dt − Γ(z) = l´ım

n→∞





∞

Z

0

e^−tt^z−1dt −

n

Z

0

1 − t

n

t^z−1dt





= l´ım

n→∞





n

Z

0

e^−tt^z−1dt +

∞

Z

n

e^−tt^z−1dt −

n

Z

0

1 − t

n

t^z−1dt





= l´ım

n→∞





n

Z

0

e^−t−

1 − t

n

t^z−1dt +

∞

Z

n

e^−tt^z−1dt



. Luego por la convergencia de (2.10), tenemos que

n→∞l´ım

∞

Z

n

e^−tt^z−1dt = 0.

Por tanto,

∞

Z

0

e^−tt^z−1dt − Γ(z) = l´ım

n→∞

∞

Z

n

e^−t−

1 − t

n

t^z−1dt. (2.18)

(26)

2.3. FUNCI ´ON HIPERGEOM ´ETRICA. 19

Por otra parte, el Lema 2.3 y el hecho que |t^z| = t^Re(z), nos permite tener

n

Z

0

e^−t−

1 − t

n

n t^z−1dt

≤

n

Z

0

t²e^−t

n t^Re(z)−1dt

≤ 1 n

n

Z

0

e^−tt^Re(z)+1dt.

por ´ultimo, dado que

∞

R

n

e^−tt^Re(z)+1dt converge,

n

R

0

e^−tt^Re(z)+1dt estar´a acotada. Ademas

n→∞l´ım

∞

Z

n

e^−t−

1 − t

n

t^z−1dt = 0,

Por tanto, de (2.18), implica la validez de (2.10).

Propiedades de la Funci´on Gamma.

Algunas propiedades b´asicas son, (i) Γ(1) = 1.

(ii) Γ(z + 1) = zΓ(z).

(iii) Γ(1 − z)Γ(z) = π

sen(πz), z /∈ Z.

Como caso particular, de (iii) para z = ¹₂, obtenemos Γ(¹₂) =√ π.

2.3 Funci´ on Hipergeom´ etrica.

Antes de definir la función hipergeométrica, daremos el concepto del S´ımbolo de Pochham- mer, el cual está involucrada en esta.

Definici´on 2.4 (Funci´on Factorial o S´ımbolo de Pochhammer.) Sea α ∈ C, se define por (α)_n=

n

Y

k=1

(α + k − 1) = α(α + 1)(α + 2) · · · (α + n − 1), n ≥ 1, (α)₀ = 1, α 6= 0.

el S´ımbolo de Pochhammer, la cual es una generalizaci´on del factorial elemental, ya que n! = (1)_n. Adem´as (−m)_n= 0, ∀m = 0, 1, 2, 3, ... y n > m.

Propiedades del S´ımbolo de Pochhammer.

Algunas propiedades b´asicas son, (i) (α)_n= Γ(α + n)

Γ(α) , n = 1, 2, 3, ...

(ii) (α)_n+m= (α)_n(α + n)_m. (iii) (−α)_n= (−1)ⁿ(α − n + 1)_n.

(27)

2.4. ECUACI ´ON DIFERENCIAL HIPERGEOM ´ETRICA. 20

Definición 2.5 (Función Hipergeométrica F (a, b; c; z).) En el estudio de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con puntos singulares regulares, surge la función

F (a, b; c; z) =

∞

X

n=0

(a)_n(b)_nzⁿ

(c)_nn! , (2.19)

Los parámetros a, b, c son independientes de z, en general números complejos y c entero no negativo y no nulo. En (2.19) se hace uso de la notación del S´ımbolo de Pochhammer.

Dicha serie tiene el circulo |z| < 1 como radio de convergencia, siempre y cuando a, b, c no sean cero o enteros negativos.

Una leve variaci´on de la notaci´on F (a, b; c; z), es frecuentemente usada

F



 a, b;

z c;



, (2.20)

la cual algunas veces resulta más conveniente para escritura, además de brindar la ventaja de exhibir el parámetro del numerador a y b sobre el parámetro del denominador c.

La serie de la derecha en (2.19) o en

F



 a, b;

z c;



=

∞

X

n=0

(a)_n(b)_nzⁿ

(c)_nn! , (2.21)

es llamada la serie hipergeom´etrica.

Definici´on 2.6 (Relaciones de funciones contiguas.) Se define como funciones contiguas a F (a, b; c; z) cada una de las seis funciones obtenidas por incremento o decrecimiento en uno de los par´ametros por unidad, sabiendo que F = F (a, b; c; z), se establece

F (a+) = F (a + 1, b; c; z) F (a−) = F (a − 1, b; c; z), de forma similar se definen F (b+), F (b−), F (c+), F (c−).

2.4 Ecuaci´ on Diferencial Hipergeom´ etrica.

Definici´on 2.7 (Operador Diferencial θ.) El operador diferencial se define por medio de θ = z d

dz

. Este operador tiene la particular propiedad que θzⁿ= nzⁿ.

La definición a continuación, relaciona la función hipergeométrica como solución de la ecuación diferencial hipergeométrica.

Definición 2.8 (Ecuación Diferencial Hipergeométrica.) Consideremos w = F (a, b; c; z) =

∞

X

n=0

(a)_n(b)_nzⁿ

(c)_nn! . (2.22)

(28)

2.5. FUNCI ´ON HIPERGEOM ´ETRICA GENERALIZADA. 21

De (2.22) y aplicando el operador diferencial θ , tenemos θ(θ + c − 1)w =

∞

X

n=0

n(n + c − 1) (a)_n(b)_nzⁿ (c)_nn!

=

∞

X

n=1

(a)_n(b)_nzⁿ (c)_n−1(n − 1)!.

Modificando los ´ındices y haciendo usos de propiedades del s´ımbolo de Pochhammer, obtenemos

θ(θ + c − 1)w =

∞

X

n=0

(a)_n+1(b)_n+1zⁿ⁺¹ (c)_n(n)!

= z

∞

X

n=0

(a + n)(b + n) (a)_n(b)_nzⁿ (c)_n(n)!

= z(θ + a)(θ + b)w.

Del resultado anterior, podemos deducir que

[θ(θ + c − 1) − z(θ + a)(θ + b)] w = 0,

usando la definici´on del operador θ y empleando el hecho que θw = zw⁰ y θ(θ−1)w = z²w⁰⁰, llegamos a

z(1 − z)w⁰⁰+ [c − (a + b + 1)z] w⁰− abw = 0, (2.23) de la cual tenemos que w = F (a, b; c; z) es una solución de la ecuación diferencial hiper- geométrica (2.23).

2.5 Funci´ on Hipergeom´ etrica Generalizada.

Definición 2.9 (Función Hipergeométrica Generalizada_pF_q.) La función hipergeométrica (2.19) puede ser generalizada de la siguiente forma

pFq(a1, ..., ap; b1, ..., bq; z) =

∞

X

n=0 p

Q

i=1

(a_i)_n

q

Q

j=1

(b_j)_n

· zⁿ

n!, (2.24)

0 usando la otra notaci´on tenemos

pF_q(a₁, ..., a_p; b₁, ..., b_q; z) =_p F_q





a1, ..., ap; z b₁, ..., b_q;



,

donde p es el número de parámetros a_i en el numerador y q es el número de parámetros b_j en el denominador, de los cuales ninguno puede ser cero o entero negativo. Con esta notación, la ecuación (2.19) se puede expresar como ₂F₁(a, b; c; z).

Algunas consideraciones al aplicar el Criterio de d’Alembert a la serie en (2.24), nos muestra que

(i) Si p ≤ q, la serie converge para todo z.

(ii) Si p = q + 1, la serie converge para |z| < 1 y diverge para |z| > 1.

(29)

2.5. FUNCI ´ON HIPERGEOM ´ETRICA GENERALIZADA. 22

(iii) Si p > q + 1, la serie diverge para z 6= 0.

(iv) p = q + 1, la serie es absolutamente convergente sobre el circulo |z| = 1, si Re

q

X

j=1

b_j−

p

X

i=1

a_j

!

> 0.

De forma análoga a como procedimos en la Sección2.4, podemos ver qué w = _pF_q es una solución de la ecuación diferencial

"

θ

q

Y

j=1

(θ + b_j − 1) − z

p

Y

i=1

(θ + a_i)

#

w = 0, (2.25)

cuando ningún bj es un entero no positivo. La solución es válida para todo z cuando p ≤ q.

Si p = q + 1, la soluci´on es v´alida en |z| < 1.

La función hipergeométrica generalizada tiene representación en forma de integral, el siguiente teorema es una extensión del proceso realizado en [7, pág 47].

Teorema 2.4 Si p ≤ q + 1, Re(b₁) > Re(a₁) > 0, si ninguno de los b₁, ..., b_q es cero o un entero negativo y si |z| < 1, entonces

pF_q(a₁, ..., a_p; b₁, ..., b_q; z) = Γ(b₁) Γ(a₁)Γ(b₁− a₁)

1

Z

0

t^a¹⁻¹(1−t)^b¹^−a¹⁻¹ _p−1F_q−1(a₂, ..., a_p; b₂, ..., b_q; z)dt.

Si p ≤ q, la condici´on |z| < 1 puede ser omitida.

(30)

Cap´ıtulo 3

Polinomios Ortogonales

En este cap´ıtulo daremos conceptos fundamentales de la teor´ıa de Polinomios Ortogona- les, uno de los temas m´as importantes para el desarrollo de este trabajo, pues por medio de esta s´ıntesis, podremos integrar los conceptos del Cap´ıtulo 2 en el tema central, que desarrollaremos en el Cap´ıtulo 4

La bibliograf´ıa que emplearemos en este apartado ser´a tomada de [10], [11] y [12], cabe resaltar que, las demostraciones han sido ampliadas y detalladas para una mejor comprensi´on.

3.1 Funcional de momentos y ortogonalidad.

Definición 3.1 (Funcional de momentosL .) Sea {µn}^∞_n=0una sucesión de números complejos y sea L una función a valor complejo, definida sobre el espacio vectorial de todos los polinomios por

L [xⁿ] = µ_n, n = 0, 1, 2, ...

L [α1π₁(x) + α₂π₂(x)] = α₁L [π1(x)] + α₂L [π2(x)]

para todo número complejo α_i y todo polinomio π_i(x)(i = 1, 2). Entonces L es llamado el funcional de momento determinado por la sucesión de momentos {µ_n}. El número µ_n es llamado el momento de orden n.

En otras palabras L es una transformaci´on C-lineal del espacio C [x] de los polinomios con coeficientes complejos en el campo C (n´umeros complejos).

Se sigue que s´ı, π(x) =

n

P

k=0

c_kx^k, entoncesL [πi(x)] =

n

P

k=0

c_kµ_k.

Definici´on 3.2 (Sistema de polinomios ortogonales.) Una sucesi´on {P_n(x)}^∞_n=0 es llamado un sistema de polinomios ortogonales con respecto al funcional de momentos L previsto para cualquier entero no negativo m y n si,

(i) Pn(x) es un polinomio de grado n, (ii) L [Pn(x)P_m(x)] = 0 para n 6= m, (iii) L [Pn²(x)] 6= 0.

23

(31)

3.1. FUNCIONAL DE MOMENTOS Y ORTOGONALIDAD. 24

En el caso general, las condiciones(i)y(iii)de la Definici´on3.2pueden ser reemplazadas por

L [Pn(x)P_m(x)] = κ_nδ_n,m, κ_n 6= 0. (3.1) Donde δ_n,m es la Delta de Kronecker definida por

δ_n,m =0 si n 6= m

1 si n = m. (3.2)

y

κ₀ = 1, κ_n 6= 0 ∀n ≥ 1. (3.3)

Teorema 3.1 Sea L un funcional de momento y sea {Pn(x)} una sucesi´on de polinomios, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) {Pn(x)} es un un sistema de polinomios ortogonales respecto a L .

b) L [π(x)Pn(x)] = 0 para cada polinomio π(x) de grado m < n, mientras que L [π(x)Pn(x)] 6= 0 si m = n.

c) L [x^mP_n(x)] = κ_nδ_n,m, donde κ_n 6= 0, y m = 0, 1, ..., n.

Demostraci´on.

a) ⇒ b): Tenemos que {P_n(x)} es un sistema de polinomios ortogonales para L ; ya que cada polinomio P_k(x) es de grado k, se tiene que {P₀(x), P₁(x), ..., P_m(x)} es una base para el subespacio de C [x] de los polinomios de grado m´aximo m. As´ı, para π(x) un polinomio de grado m, existen constantes c_k tales que

π(x) =

m

X

k=0

c_kP_k(x), c_m 6= 0.

Ahora, por la linealidad deL : Si m < n,

L [π(x)Pn(x)] =

m

X

k=0

c_kL [Pk(x)P_n(x)] = 0.

Si m = n

L [π(x)Pn(x)] =

m

X

k=0

c_kL [Pk(x)P_n(x)] = c_nL Pn²(x) 6= 0.

b)⇒ c): Teniendo en cuenta que x^m es un polinomio de grado m, si m < n, por (3.2) tenemos que L [x^mP_n(x)] = κ_n· 0 = 0 , y si m = n, por (3.2) entonces L [x^mP_n(x)] = κ_n· 1 = κ_n6= 0.

c)⇒ a): Es claro que si se cumple c), {P_n(x)} cumple las condiciones de la Definici´on 3.2, luego {P_n(x)} es un sistema polinomios respecto a L .

Teorema 3.2 Sea {P_m(x)} un sistema polinomios ortogonales con respecto aL , entonces para cada polinomio π(x) de grado n,

π(x) =

n

X

k=0

c_kP_k(x)