Narciso Rom´ an-Roy
1Departamento de de Matem´ aticas
C/ Jordi Girona 1; Edificio C-3, Campus Norte UPC E-08034 Barcelona
15 de marzo de 2021
1e-mail: narciso.roman@upc.edu
1. Topolog´ıa de Rn. Sucesiones 3
1.1. Nociones de Topolog´ıa . . . 3
1.1.1. Espacios m´etricos y normados. Caso particular de Rn . . . 3
1.1.2. Bolas y rect´angulos abiertos y cerrados . . . 5
1.1.3. Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera . . . 6
1.1.4. Abiertos y cerrados . . . 8
1.2. Sucesiones en espacios m´etricos . . . 10
1.2.1. Sucesiones. Convergencia . . . 10
1.2.2. Compacidad . . . 12
1.2.3. Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . 13
2. L´ımites y continuidad de funciones en Rn 15 2.1. Funciones de varias variables . . . 15
2.1.1. Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel . . . 15
2.2. L´ımites de funciones . . . 17
2.2.1. L´ımite de una funci´on en un punto y en el infinito . . . 17
2.2.2. L´ımites seg´un curvas. L´ımites direccionales . . . 18
2.3. Continuidad . . . 20
2.3.1. Funciones continuas. Propiedades . . . 20
2.3.2. Continuidad uniforme. Propiedades . . . 22
2.3.3. Otras propiedades . . . 23
3. Diferencial de funciones en Rn 25 3.1. Diferenciabilidad de funciones en Rn . . . 25
3.1.1. Diferenciabilidad de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica . . . 25
3.1.2. Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Aproximaci´on lineal . . . 27
3.1.3. Vector gradiente . . . 31
3.2. Propiedades de las funciones diferenciables . . . 32
3.2.1. Propiedades elementales (linealidad y otras) . . . 32
3.2.2. Diferenciabilidad y continuidad . . . 33
3.2.3. Regla de la cadena. Aplicaciones . . . 35
3.2.4. Teoremas del valor medio . . . 36
3.2.5. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Funciones de clase Ck . . 37
i
3.2.6. Teorema de la funci´on inversa . . . 40
3.2.7. Teorema de la funci´on impl´ıcita . . . 44
3.2.8. Teoremas del rango . . . 47
3.3. Operadores diferenciales . . . 48
3.3.1. Gradiente de un campo escalar. Campos conservativos . . . 48
3.3.2. Divergencia de un campo vectorial . . . 49
3.3.3. Rotacional de un campo vectorial. Campos irrotacionales. Campos solenoidales . . . . 49
3.3.4. Laplaciana de funciones escalares y vectoriales. Funciones arm´onicas . . . 52
3.3.5. Expresi´on de los operadores diferenciales en otras coordenadas . . . 52
3.3.6. Otras propiedades de los operadores diferenciales . . . 53
3.3.7. Determinaci´on de funciones potenciales escalares y vectoriales . . . 54
4. Subvariedades: curvas y superficies en Rn 55 4.1. Subvariedades de Rn . . . 55
4.1.1. Subvariedades regulares de Rn . . . 55
4.1.2. Espacio tangente y variedad tangente de una subvariedad regular . . . 56
4.2. Curvas . . . 58
4.2.1. Curvas en Rn . . . 58
4.2.2. Curvas regulares . . . 60
4.2.3. Recta tangente y plano normal a una curva. Aplicaciones . . . 62
4.2.4. Orientaci´on . . . 63
4.3. Superficies . . . 64
4.3.1. Superficies en R3 . . . 64
4.3.2. Superficies regulares . . . 66
4.3.3. Plano tangente y recta normal a una superficie . . . 69
4.3.4. Superficies orientadas . . . 70
4.3.5. Deformaciones de curvas y superficies. Conjuntos conexos . . . 71
5. Estudio local de funciones en Rn 73 5.1. F´ormula de Taylor . . . 73
5.1.1. F´ormula de Taylor. Expresi´on del resto. . . 73
5.2. Extremos locales . . . 75
5.2.1. Extremos libres. Puntos cr´ıticos. Condici´on necesaria de extremo . . . 75
5.2.2. Formas cuadr´aticas . . . 75
5.2.3. Condiciones suficientes de extremo . . . 77
5.2.4. Extremos condicionados . . . 79
5.2.5. M´etodo de los multiplicadores de Lagrange (condici´on necesaria de extremo condicio- nado) . . . 80
5.2.6. Condici´on suficiente de extremo condicionado . . . 81
5.2.7. Extremos absolutos de una funci´on continua en un compacto . . . 82
6. Integral de funciones escalares en Rn 84
6.1. Concepto de integral m´ultiple . . . 84
6.1.1. Integral m´ultiple en un rect´angulo . . . 84
6.1.2. Medida y contenido cero . . . 88
6.1.3. Condiciones de integrabilidad. Funciones integrables en un rect´angulo . . . 90
6.1.4. Integral m´ultiple en una regi´on m´as general . . . 93
6.2. Propiedades de la integral m´ultiple . . . 95
6.2.1. Primeras propiedades . . . 95
6.2.2. Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivaci´on bajo el signo integral) 96 6.2.3. C´alculo de integrales m´ultiples por iteraci´on: Teorema de Fubini . . . 97
6.2.4. Cambio de variable . . . 104
6.3. Integrales impropias . . . 108
6.3.1. Regi´on de integraci´on no acotada . . . 108
6.3.2. Funci´on no acotada en el entorno de un punto . . . 108
7. Integrales de l´ınea y de superficie 110 7.1. Integrales de l´ınea de campos escalares y vectoriales . . . 110
7.1.1. Longitud de un arco de curva . . . 110
7.1.2. Integral de l´ınea de un campo escalar. Propiedades . . . 112
7.1.3. Integral de l´ınea de un campo vectorial. Propiedades . . . 114
7.2. Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales . . . 116
7.2.1. Area de una superficie . . . 116´
7.2.2. Integral de superficie de un campo escalar. Propiedades . . . 119
7.2.3. Integral de superficie de un campo vectorial. Propiedades . . . 121
8. Teoremas del An´alisis Vectorial 124 8.1. Teorema del rotacional o de Stokes . . . 124
8.1.1. Teorema de Green . . . 124
8.1.2. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Green . . . 127
8.1.3. Teorema de Stokes en R3. Aplicaciones . . . 130
8.1.4. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Stokes . . . 134
8.1.5. Caracterizaci´on de campos conservativos mediante integrales de l´ınea . . . 138
8.2. Teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogradskii . . . 140
8.2.1. Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R3. Aplicaciones . . . 140
8.2.2. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Gauss-Ostrogradskii . . . 144
8.2.3. Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R2. . . 145
8.2.4. Caracterizaci´on de campos solenoidales por integrales de superficie . . . 146
8.3. Otras aplicaciones de los teoremas del An´alisi Vectorial . . . 148
8.3.1. Resoluci´on de ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante . . . 148
8.3.2. Definici´on intr´ınseca de los operadores diferenciales . . . 149
9. Formas diferenciales 151 9.1. Campos vectoriales y formas diferenciales en Rn . . . 151
9.1.1. Campos vectoriales en Rn . . . 151
9.1.2. Formas diferenciales en Rn . . . 152
9.1.3. Operaciones con formas diferenciales . . . 154
9.2. Integraci´on de formas diferenciales . . . 156
9.2.1. Subvariedades de Rn. Orientaciones . . . 156
9.2.2. Integraci´on de formas en Rn y en subvariedades de Rn . . . 158
9.2.3. Teorema de Stokes en Rn . . . 159
Estructura af´ın de R
nRecu´erdese que un espacio af´ın n-dimensional modelado sobre E es un triplete (A, E, ϕ), donde A es un conjunto (cuyos elementos denominaremos puntos), E es un espacio vectorial n-dimensional y
ϕ : A × A −→ E
(p, q) 7→ vpq
.
con las siguientes propiedades:
1. ∀ p ∈ A, la aplicaci´on ϕp: A −→ E, tal que ϕp(q) = vpq, es biyectiva.
2. ∀ p, q, r ∈ A, se tiene que ϕ(p, q) + ϕ(q, r) = ϕ(p, r).
De esta manera, fijado un punto cualquiera p ∈ A (que se denomina origen), A se identifica biunivocalemte con el espacio vectorial E.
A lo largo del curso se va a trabajar en el conjunto
Rn:=:=
n
z }| {
R × . . . × R = {(x1, . . . , xn) ≡ x ; xi∈ R} ;
es decir, el conjunto de las n-tuplas ordenadas de n´umeros reales; cuyos elementos son puntos y donde los n´umeros reales xise denominan coordenadas cartesianas del punto. A ≡ Rnes un espacio af´ın n-dimensional, lo cual significa que, una vez fijado un punto p ∈ Rn, se identifica Rncon un espacio vectorial n-dimensional sobre R que se denota E ≡ Rnp y se denomina espacio tangente a Rn en p1. Por el momento, cometeremos un abuso de notaci´on, denotando igualmente por Rn al espacio vectorial asociado E ≡ Rnp, ∀ p ∈ Rn.
Salvo indicaci´on contraria, en Rnse trabajar´a con sistemas de coordenadas cartesianas (con la orientaci´on dextrgira de los ejes) y en el espacio vectorial asociado E ≡ Rn se tomar´a la base can´onica usual asociada a dichas coordenadas; es decir, la que est´a formada por vectores coordenados que denotaremos {ei}i=1...n ≡ (e1, . . . , en).
Cometiendo, pu´es, un abuso de terminolog´ıa, los elementos x ∈ Rn se pueden considerar indistintamente como puntos, que vendr´an especificados por medio de sus coordenadas x ≡ (x1, . . . , xn), o como vectores (que ser´ıan los vectores de posici´on de dichos puntos), en cuyo caso los valores de las coordenadas del punto son las componentes escalares del vector de posici´on, esto es,
x = x1e1+ . . . + xnen≡
n
X
i=1
xiei .
Sistemas de coordenadas en R
nEventualmente, tambi´en se manejar´an otros sistemas de coordenadas en R2 y R3; en particular:
1M´as adelante quedar´a justificada esta denominaci´on y, en aprticular, en el cap´ıtulo 9 volveremos sobre este asunto.
Obs´ervese que el espacio vectorial es el mismo para todos los puntos p ∈Rn.
1
Coordenadas polares en R2.
Se designan por (r, φ); con r ∈ (0, ∞), θ ∈ [0, 2π). La relaci´on con las coordenadas cartesianas (x, y) en R2 es
x = r cos φ , y = r sin φ Coordenadas cil´ındricas en R3.
Se designan por (r, φ, z); con r ∈ (0, ∞), φ ∈ [0, 2π), z ∈ (−∞, ∞). La relaci´on con las coordenadas cartesianas (x, y, z) en R3es
x = r cos φ , y = r sin φ , z = z Coordenadas esf´ericas en R3.
Se designan por (r, φ, θ); con r ∈ (0, ∞), φ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π). La relaci´on con las coordenadas cartesianas (x, y, z) en R3es
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ cos φ , z = r cos θ
Topolog´ıa de R n . Sucesiones
Introducci´ on
Antes de comenzar el estudio de las funciones reales de varias variables, es preciso hacer algunas consi- deraciones sobre el espacio en que se definen, esto es, Rn. En t´erminos m´as precisos, lo primero que se va a hacer en este cap´ıtulo preliminar es una somera introducci´on a ciertas nociones topol´ogicas gen´ericas1 y su particularizaci´on sobre Rn, que permiten generalizar algunos conceptos b´asicos bien conocidos en la recta real R, (como son las nociones de distancia entre puntos o de intervalo, entre otras). La exposici´on concluir´a analizando otras caracter´ısticas de Rn relacionadas con las sucesiones, que est´an en ´ıntima relaci´on con sus propiedades topol´ogicas como, p. ej., la completitud.
1.1. Nociones de Topolog´ıa
1.1.1. Espacios m´ etricos y normados. Caso particular de
RnDefinici´on 1 Sea un conjunto M . Se denomina distancia en M a una aplicaci´on d: M × M −→ R tal que;
∀x, y, z ∈ M ,
1. (Definida positiva): d(x, y) ≥ 0.
2. (No degenerada): d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
3. (Simetr´ıa): d(x, y) = d(y, x).
4. (Desigualdad triangular): d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Un espacio m´etrico es una pareja (M, d) (un conjunto M dotado de una distancia d).
Definici´on 2 Dado un espacio vectorial real E, se denomina norma en E a una aplicaci´on k·k: E −→ R tal que; ∀x, y ∈ E y ∀λ ∈ R,
1. (Definida positiva): kxk ≥ 0.
2. (No degenerada): kxk = 0 ⇐⇒ x = 0.
3. (Multiplicaci´on): kλxk = |λ| kxk.
4. (Desigualdad triangular:) kx + yk ≤ kxk + kyk.
Un espacio normado es una pareja (E, k·k) (un espacio vectorial real E dotado de una norma k·k).
1La Topolog´ıa es la parte de las matem´aticas que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes por transfor- maciones que los “deforman” (sin “romperlos”) y, por tanto, independientes de los sistemas coordenados elegidos.
3
Proposici´on 1 Si (E, k·k) es un espacio normado, entonces (E, d) es un espacio m´etrico, con la distancia asociada a la norma:
d(x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ E .
( Dem. ) Las propiedades (1), (2) y (4) de la definici´on 1 se obtienen directamente de las propiedades correspondientes de la definici´on 2; mientras que para la simetr´ıa, aplicando la propiedad (3), se tiene:
d(x, y) = kx − yk = k − (y − x)k = | − 1|ky − xk = d(y, x) .
Definici´on 3 Dado un espacio vectorial real E, se denomina producto escalar (eucl´ıdeo) en E a una apli- caci´on h, i: E × E −→ R tal que, ∀ α, β ∈ R, ∀ x, y, z ∈ E:
1. (Bilineal): hαx + βy, zi = αhx, zi + βhx, zi ; hz, αx + βyi = αhz, xi + βhz, yi 2. 2. (Simetr´ıa): hx, yi = hy, xi.
3. (Definida positiva): hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ E 4. (No degenerada): hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0 3.
Un espacio eucl´ıdeo es una pareja (E, h, i) (un espacio vectorial real E dotado de un producto escalar h, i).
Proposici´on 2 Si (E, h, i) es un espacio eucl´ıdeo, entonces (E, k·k) es un espacio normado, con la norma asociada al producto escalar:
kxk =phx, xi , ∀x ∈ E ,
y, por consiguiente, (E, d) es un espacio m´etrico con la distancia asociada a esta norma.
( Dem. ) Basta comprobar que esa aplicaci´on es una norma.
Algunas propiedades importantes de esta norma son las siguientes:
Proposici´on 3 Sea (E, h, i) un espacio eucl´ıdeo (finito dimensional). Entonces, ∀ x, y ∈ E, ∀λ ∈ R, 1. |hx, yi| ≤ kxk kyk (desigualdad de Cauchy-Schwarz).
2. kx − yk ≥ kxk − kyk.
3. kx + yk2+ kx − yk2= 2kxk2+ 2kyk2. (Identidad del paralelogramo).
4. kx + yk2− kx − yk2= 4hx, yi. (Identidad de polarizaci´on).
5. Si x ≡ (xi) (en la base ortonormal asociada al producto escalar), entonces |xi| ≤ kxk ≤
n
X
i=1
|xi|.
( Dem. ) Se basan en las propiedades del producto escalar. Se demostrar´a ´unicamente 1. Se tiene que demostrar que:
(
n
X
i=1
xiyi)2≤ (
n
X
i=1
xi)2(
n
X
i=1
yi)2.
En efecto, se observa que (
n
X
i=1
xiz + yi)2 ≥ 0, ∀z ∈ R. Haciendo A =
n
X
i=1
x2i, B =
n
X
i=1
xiyi y C =
n
X
i=1
yi2 se tiene Az2+ 2Bz + C ≥ 0 y por tanto la ecuaci´on de 2ogrado Az2+ 2Bz + C, o tiene una soluci´on real doble, o no tiene ninguna, lo que implica B2− AC ≤ 0 que es la desigualdad buscada.
Se ha supuesto que A 6= 0. Si A = 0 la demostraci´on es trivial pues todos los xi son nulos.
2Esta segunda condici´on es consecuencia de la primera y de la siguiente.
3 Si no se asume la condici´on 3 (y el producto escalar es no eucl´ıdeo) la condici´o 4 se expresa en forma m´as general como sigue: ∀x ∈ E, hx, yi = 0 ⇐⇒ y = 0.
Lema 1 (Rn, h, i2) es un espacio eucl´ıdeo con el producto escalar hx, xi2:=
n
X
i=1
xiyi , ∀ x = (xi) , y = (yi) ∈ Rn .
Por consiguiente, (Rn, k·k2) es un espacio normado y (Rn, d2) es un espacio m´etrico con la norma y la distancia asociadas a este producto escalar 4:
kxk2= hx, xi1/22 = v u u t
n
X
i=1
x2i , d2(x, y) = kx − yk2= v u u t
n
X
i=1
(xi− yi)2 ; ∀x, y ∈ E .
( Dem. ) Basta comprobar que la operaci´on rese˜nada es, en efecto, un producto escalar.
1.1.2. Bolas y rect´ angulos abiertos y cerrados
En todo cuanto sigue, se asumir´a que (M, d) es un espacio m´etrico (se puede considerar que M = Rn, en cuyo caso los siguientes conceptos generalizan las nociones de intervalos (abiertos y cerrados) en R).
Definici´on 4 Sea un punto p ∈ M y un escalar r ∈ R+. 1. Se denomina esfera con centro en p y radio r al conjunto
S(p, r) = Sr(p) ≡ {x ∈ M | d(x, p) = r} . 2. Se denomina bola abierta con centro en p y radio r al conjunto
B(p, r) = Br(p) ≡ {x ∈ M | d(x, p) < r} . 3. Se denomina bola cerrada con centro en p y radio r al conjunto
B(p, r) = ¯¯ Br(p) ≡ Br(p) ∪ Sr(p) ≡ {x ∈ M | d(x, p) ≤ r} . 4. Se denomina bola perforada con centro en p y radio r al conjunto
Br∗(p) = Br(p) − {p} .
Definici´on 5 Un conjunto A ⊂ M se dice que est´a acotado si ∃ Br(p), con p ∈ M , tal que A ⊂ Br(p) (existe alguna bola que lo contenga).
Definici´on 6 Se denomina entorno de un punto p ∈ M a todo conjunto E(p) tal que es acotado y ∃Br(p) tal que Br(p) ⊆ E(p) (contiene una bola con centro en p).
Definici´on 7 En (Rn, d2), se denomina rect´angulo abierto H (respectivamente rect´angulo cerrado ¯H) al producto cartesiano de n intervalos abiertos (resp. cerrados) de R:
H ≡ (a1, b1) × . . . (an, bn) ≡
n
Y
i=1
(ai, bi)
H ≡ [a¯ 1, b1] × . . . [an, bn] ≡
n
Y
i=1
[ai, bi]
En ambos casos, se denomina centro del rect´angulo al punto de Rn cuyas coordenadas son las de los puntos medios de los correspondientes intervalos; es decir,
c ≡ a1+ b1
2 , . . . ,an+ bn 2
4Que generalizan enRnlas nociones de valor absoluto y distancia enR.
Comentario:
Existen rect´angulos que no son ni abiertos ni cerrados: son aquellos formados a partir de productos cartesianos de intervalos abiertos, cerrados y/o semiabiertos indistintamente.
Una relaci´on entre bolas y rect´angulos est´a dada por la siguiente propiedad:
Proposici´on 4 1. Toda bola contiene un rect´angulo y, a su vez, est´a contenida en un rect´angulo, todos con el mismo centro.
2. Todo rect´angulo contiene una bola y, a su vez, est´a contenido en una bola, todos con el mismo centro.
( Dem. ) Evidente.
Comentarios:
Como consecuencia de esta propiedad, a partir de un punto se puede construir una secuencia infinita alternada de bolas y rect´angulos, cada uno incluyendo al precedente, que tienen como centro dicho punto.
Realmente, las nociones de bola y rect´angulo son topol´ogicamente equivalentes puesto que el paso de una a otra se lleva a cabo por una mera “deformaci´on” del espacio Rn, esto es, matem´aticamente hablando, por medio de un cambio de coordenadas (p. ej., de cartesianas a esf´ericas).
Obs´ervese que cuando n = 1 de ambas definiciones se recupera la noci´on de intervalo.
1.1.3. Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera
A fin de poder hacer consideraciones de tipo topol´ogico sobre conjuntos que no sean ni bolas ni rect´angu- los, es necesario introducir nuevos conceptos.
Definici´on 8 Sea un conjunto A ⊂ M . Se denomina complementario de A al conjunto Ac := M \ A = {x ∈ M | x 6∈ A}
Definici´on 9 Sea un conjunto A ⊂ M y x ∈ M .
1. Se dice que x es un punto interior de A si ∃Br(x) tal que Br(x) ⊂ A5.
Se denomina interior de A, y se designa por ˚A o bien Int A, al conjunto formado por todos sus puntos interiores.
2. Se dice que x es un punto adherente de A si ∀Br(x), Br(x) ∩ A 6= Ø.
Se denomina adherencia (tambi´en clausura o cierre) de A, y se designa por ¯A, al conjunto formado por todos sus puntos adherentes.
En particular, los puntos adherentes pueden ser de dos tipos:
a) Se dice que x es un punto de acumulaci´on de A si ∀Br∗(x), Br∗(x) ∩ A 6= Ø (Br∗(x) contiene puntos de A 6).
Se denomina acumulaci´on de A, y se designa por A0, al conjunto formado por todos sus puntos de acumulaci´on.
b) Se dice que x es un punto aislado de A si es adherente pero no es de acumulaci´on; esto es, ∃Br(x) tal que Br(x) ∩ A = {x} 7.
5Lo que implica que x ∈ A.
6Lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A.
7Lo que implica que x ∈ A.
3. Se dice que x es un punto exterior de A si no es adherente; esto es, ∃Br(x) tal que Br(x) ∩ A = Ø (o, equivalentemente, Br(x) ⊂ Ac) 8.
Se denomina exterior de A, y se designa por Ext A, al conjunto formado por todos sus puntos exteriores.
4. Se dice que x es un punto frontera de A si ∀Br(x), Br(p) ∩ A 6= Ø y Br(p) ∩ Ac 6= Ø (Br(x) contiene puntos de A y puntos que no son de A) 9.
Se denomina frontera (topol´ogica) de A, y se designa por Fr A, al conjunto formado por todos sus puntos frontera.
Las siguientes propiedades son inmediatas a partir de las definiciones (se dejan como ejercicio).:
Proposici´on 5 ∀A ⊂ M , Int A, Ext A y Fr A establecen una partici´on de M ; esto es, todo punto de M pertenece a uno, y s´olo uno, de estos tres conjuntos; es decir,
1. Int A ∪ Ext A ∪ Fr A = M .
2. Int A ∩ Ext A = Ø, Ext A ∩ Fr A = Ø, Int A ∩ Fr A = Ø,
Proposici´on 6 ∀A ⊂ M ; se tiene que Fr A = Fr Ac , Int A = Ext Ac , Ext A = Int Ac . Proposici´on 7 ∀A ⊂ M ; se tiene que ˚A ⊂ A0 ⊂ ¯A.
Proposici´on 8 ∀A ⊂ M ; se tiene que ¯A ≡ A ∪ Fr A (y, por tanto, ¯A ≡ Int A ∪ Fr A).
Proposici´on 9 Si p es un punto de acumulaci´on de A, entonces toda bola Br∗(p) (y, por tanto, tambi´en toda bola Br(p)) contiene infinitos puntos de A.
( Dem. ) (Reducci´on al absurdo). Supongamos que exista alguna bola B∗r(p) que contiene s´olamente n puntos de A, p1, ... , pn. Sea d = min{d(p, p1), ... , d(p, pn)} 6= 0, entonces Bd∗0(p), d0< d, no contiene ning´un punto de A y, por tanto, p no es punto de acumulaci´on de A.
Y como consecuencia inmediata se tiene que:
Corolario 1 Los conjuntos finitos no tienen puntos de acumulaci´on.
Comentarios y ejemplos: En (Rn, d2):
Todo punto aislado es un punto frontera.
Un punto frontera puede ser de acumulaci´on (p. ej., los puntos frontera de un intervalo) o no.
Un conjunto infinito puede tener puntos de acumulaci´on (p. ej.; si A = {1/n, n ∈ N}, entonces 0 es punto de acumulaci´on de A), o no tenerlos (como el conjunto B = {1, ... , n, ...}).
Adem´as, en un conjunto infinito de puntos aislados todos sus elementos son puntos frontera, pero puede haber m´as de ´estos que no son del conjunto, ya que si hay puntos de acumulaci´on de A que no pertenecen a A, ´estos son tambi´en puntos frontera. (Como ejemplo, el l´ımite de una sucesi´on en R estrictamente creciente (o decreciente) convergente es un punto frontera de la sucesi´on pero no es un elemento de la misma; adem´as es el ´unico punto de acumulaci´on del conjunto).
La frontera de una bola es la esfera con el mismo centro y de igual radio. Si la bola es abierta, sus puntos frontera no le pertenecen, si es cerrada s´ı.
Si A ⊂ Rn es un conjunto finito de puntos aislados se tiene que
Int A = Ø , Ext A = Ac , Fr A = A .
8Lo que implica que x 6∈ A.
9Lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A.
1.1.4. Abiertos y cerrados
Se acaba de comentar y ver que los puntos frontera de un conjunto pueden pertenecerle o no. Bas´andonos en esta observaci´on vamos a introducir una nueva caracterizaci´on de los conjuntos de Rn.
Definici´on 10 Sea un conjunto A ⊂ M .
1. A es abierto si coincide con su interior: A = Int A.
2. A es cerrado si su complementario es un abierto.
Los conjuntos cerrados se caracterizan por las siguientes propiedades equivalentes:
Proposici´on 10 Sea A ⊂ M . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. A es cerrado.
2. A = ¯A.
3. Fr A ⊆ A.
4. A0⊆ A.
( Dem. ) La demostraci´on se basa en que A es cerrado si Ac es abierto; por consiguiente, ∀x 6∈ A, x ∈ Int Ac = Ext A y, de aqu´ı, ∀y ∈ A se tiene que y ∈ ¯A. El resto de equivalencias son consecuencias directas de la proposici´on 8 y de que A0 ⊂ ¯A.
Como consecuencia inmediata de esta proposici´on se tiene que:
Proposici´on 11 ∀A ⊂ M ,
1. ¯A es cerrado y es el menor cerrado que contiene a A; es decir, si B ⊂ M es cerrado y A ⊂ B, entonces A ⊆ B.¯
2. ˚A es abierto y es el mayor abierto contenido en A; es decir, si B ⊂ M es abierto y B ⊂ A, entonces B ⊆ ˚A.
( Dem. )
1. ¯A es cerrado, luego ∀x ∈ ¯A se tiene que, o bien x ∈ Fr A, o bien x ∈ Int A. Obviamente Int A ⊂ A ⊂ B.
Por otra parte, si x ∈ Fr A entonces ∀Br(x) contiene puntos de A y, por lo tanto, de B (dado que A ⊂ B, luego x 6∈ Ext B y, como B es cerrado, eso implica que x ∈ B. De ah´ı Fr A ⊂ B. Por consiguiente Int A ∪ Fr A ≡ ¯A ⊂ B.
2. An´alogo.
Proposici´on 12
Las bolas abiertas son abiertos.
Las bolas cerradas son cerrados.
( Dem. ) V´ease J.M. Maz´on: C´alculo Diferencial, pags. 6,7.
Ejemplos: En (Rn, d2):
Un conjunto finito de puntos aislados es cerrado.
Un conjunto infinito de puntos aislados no necesariamente es cerrado, depende de si tiene o no puntos de acumulaci´on: p. ej., sobre la recta los puntos de la sucesi´on A =
1 + 1 n
n
, n ∈ N
. Los conjuntos N y Z son cerrados. Q no es ni abierto ni cerrado, ya que Fr Q = R.
El conjunto vac´ıo Ø y el total Rn son los ´unicos conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez 10. Comentario:
Obviamente, hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (p. ej., un rect´angulo formado por el producto cartesiano de intervalos semiabiertos).
Finalmente se tiene la siguiente propiedad sobre la uni´on y la intersecci´on de abiertos y cerrados:
Proposici´on 13 1. La uni´on de abiertos es un abierto.
2. La intersecci´on finita de abiertos es un abierto.
3. La intersecci´on de cerrados es un cerrado.
4. La uni´on finita de cerrados es un cerrado.
( Dem. )
1. Sea F una colecci´on arbitraria de abiertos y sea S = [
A∈F
A. ∀x ∈ S existe A ∈ F tal que x ∈ A, y como es abierto existe Br(x) ⊂ A ⊂ S, por tanto x ∈ Int S luego S es un abierto.
2. Sea S = A1 ∩ . . . ∩ An. Para todo x ∈ S existen Br1(x) ⊂ A1, . . . Brn(x) ⊂ An. Sea r = min{r1, . . . , rn} 6= 0, entonces Br(x) ⊂ S y, por tanto, todo punto de S es interior luego S es abierto.
3. La intersecci´on de cerrados es el complementario de la uni´on de los complementarios, que son abiertos, y por lo anterior es un abierto y su complementario cerrado.
4. Se razona como en la anterior.
Contraejemplos:
La intersecci´on infinita de abiertos puede ser un cerrado: En Rn, para la familia (infinita) de bolas abiertas {B1+1
n(p)}n∈
N, se tiene que
\
n∈N
B1+1
n(p)
= B1(p)
La uni´on infinita de cerrados puede ser un abierto: En Rn, para la familia (infinita) de bolas cerradas {B1−1
n(p)}n∈
N, se tiene que
[
n∈N
B1−1
n(p)
= B1(p)
10Esta es una propiedad que caracteriza a los espacios topolgicos que son conexos.´
1.2. Sucesiones en espacios m´ etricos
1.2.1. Sucesiones. Convergencia
El concepto de sucesi´on de n´umeros reales se generaliza a cualquier espacio m´etrico (M, d).
Definici´on 11 Una sucesi´on en M es una aplicaci´on N → M . Comentarios:
Se usa la misma terminolog´ıa y notaci´on que para sucesiones num´ericas. As´ı, las im´agenes de la apli- caci´on se denominan t´erminos o elementos de la sucesi´on. El t´ermino general de una sucesi´on vectorial se designa por {xm}.
Obs´ervese que en M = Rn, si xm ≡ (xm1, . . . , xmn), entonces una sucesi´on en Rn induce n sucesiones num´ericas, que son las de las coordenadas: {xm} ≡ ({xm1 }, . . . , {xmn}).
Definici´on 12 Sea {xm} una sucesi´on en M . Un punto a ∈ M es el l´ımite de la sucesi´on si, ∀ε > 0, ∃ν ∈ N tal que si µ > ν, entonces d(a, xµ) < ε. Se usar´a la notaci´on l´ım
m→∞{xm} = a , o tambien {xm}m→∞−→ a.
Si una sucesi´on tiene l´ımite se dice que es convergente, si no lo tiene es no convergente o divergente.
Comentario:
N´otese que la definici´on de l´ımite significa que, a partir del t´ermino ν-´esimo todos los t´erminos est´an contenidos en una bola abierta de centro en a y radio ε.
Proposici´on 14 Sean {xm}, {ym} sucesiones en M . 1. l´ım
m→∞{xm} = a si, y s´olo si l´ım
m→∞{d(xm, a)} = 0.
2. Si {xm} es convergente entonces est´a acotada.
3. Si {xm} tiene l´ımite entonces ´este es ´unico.
En (Rn, d2)11: 4. l´ım
m→∞{xm} = a si, y s´olo si l´ım
m→∞{xmi } = ai (i = 1, . . . , n), (las sucesiones de la coordenadas convergen a las coordenadas de a 12).
5. Si l´ım
m→∞{xm} = a y l´ım
m→∞{ym} = b, entonces l´ım
m→∞{xm± ym} = a ± b . 6. Si l´ım
m→∞{xm} = a, entonces, ∀ λ ∈ R, l´ım
m→∞{λxm} = λa . 7. Si l´ım
m→∞{xm} = a y l´ım
m→∞{ym} = b, entonces para la sucesi´on de los productos escalares se tiene que
m→∞l´ım {hxm, ymi} = ha, bi . 8. Si l´ım
m→∞{xm} = 0 y {ym} es otra sucesi´on tal que {kymk} acotada, entonces l´ım
m→∞{hxm, ymi} = 0 ( Dem. )
1. Como en R.
2. Como en R.
11 Todos los enunciados para este espacio m´etrico en particular son tambi´en v´alidos para todas las distancias que est´an asociadas a normas equivalentes (ver definici´on 28).
12 Teniendo en cuenta esta propiedad, el c´alculo de l´ımites de sucesiones de vectores se reduce al c´alculo de l´ımites de sucesiones num´ericas (las sucesiones de las cooordenadas.
3. Como en R.
4. Inmediata observando que, de acuerdo con el apartado 5 de la proposici´on 3,
|xmi − ai| ≤ kxm− ak ≤
n
X
i=1
|xmi − ai| .
5. Inmediata observando que, de acuerdo con la desigualdad triangular, kxm+ ym− a − bk ≤ kxm− ak + kym− b| . 6. Inmediata.
7. Obs´ervese que
hxm, ymi − ha, bi = hxm− a, ymi + ha, ymi − ha, bi = hxm− a, ymi + ha, ym− bi . y ambas sucesiones tienen l´ımite igual a 0.
8. Usando la desigualdad de Schwarz se tiene que
|hxm, ymi| ≤ kxmk kymkm→∞−→ 0 .
Los siguientes resultados relacionan las sucesiones y la topolog´ıa de los conjuntos en un espacio m´etrico.
Proposici´on 15 Sea A ⊂ M . ∀x ∈ ¯A existe una sucesi´on {xm} de puntos de A cuyo l´ımite es x.
( Dem. ) Si x ∈ ¯A se puede construir una sucesi´on de bolas B1/m(x) cada una de las cuales contiene puntos de A (por definici´on de punto adherente), entonces basta tomar uno de ellos en cada bola xm∈ B1/m(x) y se tiene una sucesi´on {xm} ⊂ A que obviamente tiene como l´ımite x.
Proposici´on 16 A ⊂ M es cerrado si, y s´olo si, ∀{xm} sucesi´on de puntos de A convergente, su l´ımite es un punto x ∈ A.
( Dem. ) (=⇒) Si A es cerrado y {xm} → x, con {xm} ⊂ A, entonces en todo entorno de x hay puntos de {xm} (por definici´on de l´ımite), esto es puntos de A, luego x ∈ ¯A = A.
(⇐=) ∀x ∈ Fr A ⊂ ¯A, de acuerdo con la proposici´on anterior, ∃{xm} ⊂ A con {xm} → x. Pero, por hip´otesis, toda sucesi´on de puntos de A convergente lo es a un punto de A, luego x ∈ A. Por consiguiente Fr A ∈ A, luego A es cerrado.
Teorema 1 (Bolzano-Weierstrass para sucesiones). En (Rn, d2), toda sucesi´on acotada {xm} ⊂ Rn tiene alguna subsucesi´on {xmk} ⊂ Rn convergente.
( Dem. ) Se demuestra por inducci´on sobre n.
Para n = 1 (sucesiones de n´umeros reales) ya est´a probado13.
Supongamos que es v´alido para n − 1. Sea {xm ≡ xm1, . . . , xmn)} ⊂ Rn acotada. Consid´erese {(xm1, . . . , xmn−1)} ⊂ Rn−1, que est´a acotada luego, por hip´otesis de inducci´on, tiene una subsucesi´on conver- gente {(xm1k, . . . , xmn−1k )} ⊂ Rn−1. Sea ahora la subsucesi´on (de {xm} ⊂ Rn) {xmk≡ (xm1k, . . . , xmnk)} ⊂ Rn; la sucesi´on {xmnk} ⊂ R est´a acotada por la hip´otesis del teorema, luego tiene una subsucesi´on convergente {xmnkj} ⊂ R; por consiguiente la subsucesi´on {xmkj ≡ (xm1kj, . . . , xmnkj)} ⊂ Rn es convergente (pues toda subsucesi´on de una sucesi´on convergente es convergente).
Como consecuencia, se tiene el siguiente resultado:
13En cualquier curso o libro de C´alculo de una variable.
Proposici´on 17 (Bolzano-Weierstrass para conjuntos). En (Rn, d2), sea A ⊂ Rn un conjunto acotado con infinitos puntos, entonces existe al menos un punto de Rn que es punto de acumulaci´on de A.
( Dem. ) Como A tiene infinitos elementos, se puede construir una sucesi´on {xm} ⊂ A que tenga infinitos t´erminos distintos y que est´a acotada al estarlo A; por consiguiente seg´un el teorema anterior, tiene alguna subsucesi´on convergente a p ∈ Rn que, como es el l´ımite de una sucesi´on con infinitos elementos distintos, por definici´on de l´ımite, es un punto de acumulaci´on de la subsucesi´on y, por tanto, de A.
1.2.2. Compacidad
Sea (M, d) un espacio m´etrico.
Definici´on 13 Un conjunto K ⊂ M es compacto por sucesiones (o tambi´en se dice que tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass) si, para toda sucesi´on {xm} ⊂ K, se puede extraer una subsucesi´on {xmk}k∈
convergente a un punto p ∈ K. N
Definici´on 14 Sea un conjunto K ⊂ M . Un recubrimiento de A es una familia (no necesariamente finita) de conjuntos {U1, U2, . . .}, con Ui⊂ M , cuya uni´on contiene a K; K ⊆S
iUi.
Definici´on 15 Un conjunto K ⊂ M es compacto por recubrimientos (o tambi´en se dice que tiene la pro- piedad de Heine-Borel) si, para todo recubrimiento K ⊆[
i∈I
Ui, con Ui abiertos, se puede extraer un subre-
cubrimiento finito K ⊆
n
[
j=1
Uj.
Teorema 2 (Bolzano-Weierstrass). Sea K ⊂ M ; entonces K tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass si, y s´olo si, K tiene la propiedad de Heine-Borel.
( Dem. ) Ver J.E. Marsden, M.J. Hoffman: An´alisis cl´asico elemental, pags. 165-167.
Definici´on 16 Un conjunto K ⊂ M es compacto si satisface la propiedad de Bolzano-Weierstrass o la de Heine-Borel (es compacto por sucesiones o por recubrimientos).
Teorema 3 (Heine-Borel). Si K ⊂ M es compacto entonces K es cerrado y acotado.
( Dem. ) (Reducci´on al absurdo):
Si K no es cerrado ⇒ ∃x ∈ Fr K con x 6∈ K. Sea {xm} ⊂ K tal que {xm} → x, entonces cualquier subsucesi´on de ´esta converge a x 6∈ K, contra la hip´otesis.
Si K no est´a acotado entonces, dado p ∈ K, ∀m ∈ R+, ∃xm ∈ K tal que d(xm, p) > m. Entonces, tomando m ∈ N, se puede formar una sucesi´on {xm} divergente no acotada que, por tanto, no puede tener subsucesiones convergentes (ya que cualquier subsucesi´on es necesariamente no acotada); contra la hip´otesis.
Proposici´on 18 (Heine-Borel). En (Rn, d2) todo conjunto cerrado y acotado es compacto.
( Dem. ) Sea K cerrado y acotado y una sucesi´on {xm} ⊂ K, Si la sucesi´on {xm} tiene un n´umero finito de t´erminos es f´acil extraer subsucesiones convergentes. Si {xm} tiene infinitos t´erminos, como est´a tambi´en acotada, por el teorema 1 tiene alguna subsucesi´on convergente a p ∈ Rn que, por la proposici´on 17 es un punto de acumulaci´on de A, y como K es cerrado entonces p ∈ A0⊂ K.
Comentario:
Aunque en algunos teoremas sobre funciones en Rn los compactos tienen el mismo papel que los intervalos cerrados en R, ambos conceptos no son equivalentes en R. En efecto, en R todo intervalo cerrado es un compacto, pero no todo compacto es semejante a uno o varios intervalos cerrados. La diferencia est´a en que en los intervalos cerrados todos sus puntos son de acumulaci´on, en los compactos no necesariamente (p. ej., un conjunto finito de puntos aislados es un compacto).
1.2.3. Sucesiones de Cauchy. Completitud
Como siempre (M, d) es un espacio m´etrico. Igual que para las sucesiones num´ericas, se define el siguiente concepto:
Definici´on 17 Una sucesi´on {xm} en M es una sucesi´on de Cauchy si ∀ε > 0, ∃ν ∈ N tal que si µ > ρ > ν, entonces d(xµ, xρ) < ε.
Comentario:
N´otese que esta definici´on significa que, a partir del t´ermino ν-´esimo todos los t´erminos de la sucesi´on est´an contenidos en una bola abierta de di´ametro ε.
Teniendo en cuenta los comentarios hechos en el apartado anterior, es evidente que:
Proposici´on 19 En (Rn, d2), {xm} es una sucesi´on de Cauchy si, y s´olo si, lo son las n sucesiones num´eri- cas componentes {xmi }.
( Dem. ) Inmediata observando que, de acuerdo de nuevo con el apartado 5 de la proposici´on 3,
|xµi − xρi| ≤ kxµ− xρk ≤
n
X
i=1
|xµi − xρi|
Con todos estos conceptos ya estamos en condiciones de explorar las relaciones entre las sucesiones (convergentes) de vectores y las propiedades topol´ogicas de M . De este modo, es posible establecer en M propiedades an´alogas a las que ya se verificaban para la recta real R, como son el teorema de Bolzano- Weierstrass14 y, en particular:
Proposici´on 20 Si {xm} ⊂ M es una sucesi´on convergente entonces es de Cauchy.
( Dem. ) Inmediato (como en R).
Definici´on 18 Un espacio m´etrico (M, d) es completo si toda sucesi´on de Cauchy en M es convergente.
Proposici´on 21 (Completitud de Rn): (Rn, d2) es completo.
( Dem. ) Es una consecuencia directa de aplicar la proposici´on 19 y el teorema de completitud de R a cada una de las sucesiones componentes de toda sucesi´on de Cauchy en Rn.
Proposici´on 22 1. Si {xm} ⊂ M es una sucesi´on de Cauchy entonces {xm} est´a acotada.
2. Si {xm} ⊂ M es una sucesi´on de Cauchy y {xmk} es una subsucesi´on convergente a p ∈ M , entonces {xm}m→∞−→ p.
( Dem. )
1. Dado ε > 0, sea ν ∈ N tal que si µ > ρ > ν, entonces d(xµ, xρ) < ε. Sea d = max{d(xi, xj) , ∀i, j ∈ N / i < j ≤ ν}; entonces todos los t´erminos de la sucesi´on est´an en una bola Bd+ε(x1).
2. Inmediato.
14Que enuncia que toda sucesi´on acotada tiene alguna subsucesi´on convergente.
Proposici´on 23 Si (M, d) es un espacio m´etrico completo y A ⊂ M , entonces (A, d) es completo si, y s´olo si, A es cerrado.
( Dem. ) (=⇒) Si p ∈ ¯A, como ya se ha demostrado anteriormente, ∃ {xm} ⊂ A tal que {xm} m→∞−→ p, luego {xm} es una sucesi´on convergente en M , luego es de Cauchy en M y, por tanto, tambi´en es de Cauchy en A; pero como A es completo, entonces p ∈ A; por tanto ¯A = A y A es cerrado.
(⇐=) Sup´ongase que A es cerrado. Si {xm} es una sucesi´on de Cauchy en A, al ser A ⊂ M , tambi´en es de Cauchy en M y, como M es completo, {xm}m→∞−→ p ∈ M ; pero como xm∈ A, ∀m, se tiene que p ∈ A0, por lo que, al ser A cerrado (A0⊂ A), resulta que p ∈ A; luego A es completo.
Definici´on 19 Un espacio normado y completo se denomina espacio de Banach.
L´ımites y continuidad de funciones en R n
Introducci´ on
En la naturaleza hay fen´omenos para cuya descripci´on matem´atica se requieren funciones que dependen de m´as de una variable y que, en F´ısica, suelen denominarse campos. As´ı, p. ej.,
La temperatura de una regi´on del espacio (a lo largo del tiempo):
T (x, y, z, t): R4−→ R . La velocidad de las part´ıculas de un fluido en movimiento
v(x, y, z): R3−→ R3. La fuerza gravitatoria en el entorno de una distribuci´on de masa
F (x, y, z): R3−→ R3.
En este cap´ıtulo se va a hacer una presentaci´on de este tipo de funciones, comenzando ya a estudiar los conceptos anal´ıticos con ellas relacionados, tal como se hizo en su momento con las funciones de una variable. Concretamente, se empezar´a introduciendo las nociones de l´ımite y continuidad y, en los siguientes cap´ıtulos, se abordar´an las cuestiones relativas a la diferenciabilidad e integrabilidad de estas funciones.
(A partir de ahora, siempre que no se diga expl´ıcitamente lo contrario, se toman los dominios de las funciones abiertos a fin de evitar problemas de aproximaci´on a los puntos frontera).
2.1. Funciones de varias variables
2.1.1. Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel
Definici´on 20 Se denomina campo o funci´on (real) de varias variables a una aplicaci´on F : A ⊆ Rn −→ Rm (n > 1, m ≥ 1) .
1. Si m = 1 entonces se dice que F es un campo o funci´on escalar.
2. Si m > 1 entonces se dice que F es un campo o funci´on vectorial. En este caso se tiene
f : A ⊆ Rn −→ Rm
x ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (f1(x), . . . , fm(x)) . 15
donde fj: A ⊆ Rn→ R (j = 1, . . . , m) son funciones escalares que se denominan funciones componentes de f 1.
Ejemplos:
Funciones escalares: temperatura, presi´on, densidad,...
Funciones vectoriales: campos gravitatorio, electrost´atico, electromagn´etico...
Comentario: Es evidente, a partir de lo expuesto en la definici´on, que el estudio de una funci´on vectorial se reduce al de sus funciones componentes. Por ese motivo, en adelante se prestar´a atenci´on preferente al an´alisis de las funciones escalares.
Definici´on 21 Sea f : A ⊆ Rn→ Rm.
1. El dominio de f es la regi´on A ⊆ Rn donde est´a definida la aplicaci´on2, Dom f := {x ∈ Rn | ∃y = f (x) ∈ Rm} .
2. La imagen de f es el conjunto de puntos que son imagen de alg´un punto del dominio, Im f := {y ∈ Rm | f (x) = y, x ∈ A} .
3. Si f = (f1, . . . , fm), se denomina gr´afica de la funci´on al conjunto graf f ⊂ Rn+m dado por graf f := {(x, f (x)) | x ∈ A}
≡ {(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) | (x1, . . . , xn) ∈ A, y1= f1(x1, . . . , xn), . . . , ym= fm(x1, . . . , xn)} . 4. Sea f : A ⊆ Rn→ R. Se denomina conjunto de nivel k o equiescalar al conjunto de puntos del dominio
donde la funci´on tiene el mismo valor k, es decir,
Ck(f ) := {x ∈ A | f (x) = c (ctn.)} . Si f : A ⊆ Rn → Rm (m > 1), se denomina conjunto de nivel q a
Cq(f ) := {x ∈ A | f (x) = q (ctn.)} ,
y si q = (qi), es la intersecci´on de conjuntos de nivel Cqi de cada una de sus funciones componentes fi. 5. Sea f : A ⊆ Rn→ R. Se denomina secci´on de la gr´afica de f a la intersecci´on de graf f con hiperplanos
de Rn+1. (Es habitual considerar los hiperplanos coordenados o hiperplanos paralelos a ´estos).
Comentarios:
Para una funci´on vectorial con funciones componentes f = {fi}, se tiene que Dom f =
m
\
i=1
Dom fi.
Un campo escalar f : A ⊆ R → R tiene como gr´afica, en general, una curva en R2 cuya ecuaci´on es y = f (x); lo que se denomina expresi´on expl´ıcita de la curva. Igualmente, si f : A ⊆ R2→ R, la gr´afica de f est´a en R3 y es, generalmente, una superficie cuya expresi´on expl´ıcita es z = f (x, y).
Si se trata de una funci´on de dos variables, un conjunto de nivel es, en general, una curva cuya ecuaci´on es F (x, y) = cte. Se dice que es una curva dada en forma ´ımplicita. En el caso de funciones de tres variables, un conjunto de nivel es, en general, una superficie que, en forma ´ımplicita, se expresa como F (x, y, z) = cte.
1Los valores que toman estas funciones componentes en cada punto del dominio de f son las componentes de un vector de
Rm(de ah´ı el nombre de funciones vectoriales).
2 El dominio de una funci´on de varias variables suele estar dado por una o varias expresiones anal´ıticas del tipo h(x1, . . . , xn) ≤ 0.
Obs´ervese que, en particular, para funciones de dos variables f ≡ f (x, y), las secciones obtenidas al intersectar la gr´afica de f con los planos paralelos al plano coordenado XY proyectan sobre las curvas de nivel de la funci´on (y an´alogamente sucede para funciones de m´as variables).
El estudio de las secciones y superficies de nivel es ´util con vistas a tener una idea aproximada de c´omo es la gr´afica de la funci´on.
Finalmente, dadas f , g: Rn → Rm, se definen las funciones f + g, λf , fg: Rn → Rm como la suma o producto componente a componente; es decir,
(f + g)(x) := ((f1+ g1)(x), . . . , (fm+ gm)(x)) . (λf )(x) := (λf1(x), . . . , λfm(x)) .
fg(x) := (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)) . An´alogamente la funci´on producto escalar hf , gi: Rn → R est´a dada por
hf , gi(x) := f1(x)g1(x) + . . . + fm(x)gm(x) .
Por otra parte, si f : A ⊂ Rn→ Rmy g : B ⊂ Rm→ Rl, se define la funci´on compuesta g ◦ f : C ⊂ Rn→ Rl por
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) . Notar que C = Dom (g ◦ f ) = A ∩ f−1(B).
2.2. L´ımites de funciones
2.2.1. L´ımite de una funci´ on en un punto y en el infinito
Comenzaremos el an´alisis de las funciones de varias variables propiamente dicho estudiando el compor- tamiento de una funci´on en el entorno de un punto. La primera noci´on sobre este particular es la de l´ımite:
Definici´on 22 Sea f : A ⊆ Rn→ Rm, a ∈ A0 y p ∈ Rm. p es el l´ımite de f en a si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si x ∈ A − {a} y d(x, a) < δ, entonces d(f (x), p) < ε. Se escribir´a l´ım
x→af (x) = p, o bien f (x)x→a−→ p3. Una definici´on alternativa de ´este concepto viene dada por la siguiente propiedad:
Proposici´on 24 Sea f : A ⊆ Rn → Rm una funci´on, a ∈ A0 y p ∈ Rm. p es el l´ımite de f en a si, y s´olo si, ∀{xk} ⊂ A, sucesi´on de puntos en A con l´ım
k→∞{xk} = a , se tiene que para la sucesi´on de las im´agenes, l´ım
k→∞{f (xk)} = p.
( Dem. ) Como en el caso de una variable.
Las propiedades de los l´ımites de funciones de varias variables son an´alogas a las de las del caso de una variable:
Proposici´on 25 Sean f , g: A ⊆ Rn → Rmfunciones, a ∈ A0 y p, q ∈ Rm. 1. Si l´ım
x→af (x) = p entonces p es ´unico.
2. Si m > 1, l´ım
x→af (x) = p si, y s´olo si, l´ım
x→afj(x) = pj (j = 1, . . . , m)4. 3. Si l´ım
x→af (x) = p y l´ım
x→ag(x) = q , entonces l´ım
x→a(f (x) ± g(x)) = p ± q . 4. Si l´ım
x→af (x) = p y λ ∈ R, entonces l´ımx→aλf (x) = λp .
3Esta es la misma definici´on que para funciones de una variable cambiando el valor absoluto por la norma.
4As´ı, el c´alculo de l´ımites de funciones vectoriales se reduce al c´alculo de l´ımites de sus funciones componentes.
5. Si l´ım
x→af (x) = p y l´ım
x→ag(x) = q, y (fg)(x) := (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)), entonces l´ım
x→a(fg)(x) = (p1q1, . . . , pmqm).
6. Si l´ım
x→af (x) = p y l´ım
x→ag(x) = q , entonces l´ım
x→ahf (x), g(x)i = hp, qi.
7. Si l´ım
x→af (x) = p, entonces l´ım
x→akf (x)k = kpk
8. Si f tiene l´ımite en a, entonces ∃Br(a) tal que f (Br(a) ∩ A) est´a acotado.
9. Sean f : A ⊆ Rn → Rmy g: B ⊆ Rm→ Rl, con f (A) ⊂ B, y tales que a es punto de acumulaci´on de A, b = l´ım
x→af (x) es un punto de acumulaci´on de B y l´ım
y→bg(y) = c, entonces l´ım
x→a(g ◦ f )(x) = c, siempre que b 6∈ B ´o g es continua en b5.
10. Si m = 1, l´ım
x→af (x) = p 6= 0 y f (x) 6= 0, ∀x ∈ E(a) ∩ A, entonces 1
f (x) est´a bien definida en E(a) ∩ A y l´ım
x→a
1 f (x) =1
p
11. Si m = 1, f tiene l´ımite en a y este es positivo (resp. negativo), entonces ∃Br∗(a) tal que f (x) > 0 (resp. f (x) < 0), ∀x ∈ B∗r(a) ∩ A.
12. Si m = 1 y f ≤ h ≤ g en un entorno perforado de a, y l´ım
x→af (x) = l´ım
x→ag(x) = b, entonces l´ım
x→ah(x) = b.
( Dem. ) Se demuestran f´acilmente a partir de las definiciones y propiedades dadas.
Definici´on 23 Sea f : A ⊂ Rn → R, y a ∈ A0. f tiene l´ımite infinito en a si, ∀L > 0, ∃δ > 0 tal que, si x ∈ A − {a} y d(x, a) < δ, entonces kf (x)k > L. Se expresa l´ım
x→af = ∞.
2.2.2. L´ımites seg´ un curvas. L´ımites direccionales
En el c´alculo de l´ımites de funciones de varias variables no se dispone de t´ecnicas an´alogas a las del caso de una variable6. Ello obliga a desarrollar otros m´etodos de c´alculo nuevos basados en los conceptos que se van a exponer en este apartado. Dado que, seg´un se ha visto en el primer punto de la proposici´on 25, el l´ımite de una funci´on vectorial se obtiene calculando el de sus funciones componentes, s´olo vamos a considerar, en adelante, el caso de funciones escalares.
En el apartado anterior hemos podido observar (proposici´on 24) que el l´ımite de una funci´on en un punto puede alcanzarse tomando una sucesi´on en el dominio que tenga como l´ımite ese punto, y analizando el comportamiento de la sucesi´on de las im´agenes. Es en este hecho en el que se va a basar la t´ecnica que va a ser desarrollada. As´ı, estudiaremos el comportamiento de la funci´on en un punto acerc´andonos al mismo por medio de una sucesi´on de puntos que est´en sobre una l´ınea. Esta es la idea que subyace en la siguiente definici´on:
Definici´on 24 Sea f : A ⊆ Rn→ Rm, C ⊂ Rn tal que A ∩ C 6= Ø, a ∈ (A ∩ C)0 y p ∈ Rm.
1. p es el l´ımite de f en a seg´un el conjunto C si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si x ∈ (A ∩ C) − {a} y d(x, a) < δ, entonces d(f (x), p) < ε 7.
2. En particular, si C = Im c, donde c: I ⊂ R → A es una curva parametrizada 8 continua 9 que pasa por a (esto es, c(t0) = a), se denomina l´ımite de f en a seg´un la curva c(t) al valor l´ım
t→t0f (c(t)) (si existe) 10.
5Ver secci´on siguiente.
6P. ej., no existe nada semejante a la regla de L’Hˆopital.
7Y an´alogamente para l´ımites en el infinito.
8Ver cap´ıtulo 4.
9En el sentido de que sus funciones componentes ci(t) son continuas.
10Obs´ervese que se trata de un l´ımite de funciones de una variable.
3. Concretamente, se denomina l´ımite direccional de f en a al l´ımite seg´un la recta c(t) := a + tv; esto es, al valor l´ım
t→0f (a + tv) (si existe).
Como caso particular, en el caso de funciones de dos variables, y con curvas (rectas) dadas en forma expl´ıcita se tiene que, si f : A ⊆ R2→ R y a ≡ (x0, y0) ∈ A un punto de acumulaci´on de A,
1. El l´ımite de f en a seg´un la curva y = g(x) (que pasa por a) es el valor l´ım
x→x0
f (x, g(x)) (si existe) 2. En particular, el l´ımite direccional de f en a es el l´ımite seg´un la recta y = mx + b (que pasa por a);
esto es, el valor l´ım
x→x0f (x, mx + b) (si existe).
Comentarios:
Los l´ımites seg´un curvas son la generalizaci´on al caso de varias variables, de la noci´on de l´ımite lateral del caso de una variable.
A este respecto, podr´ıa enunciarse un resultado an´alogo al correspondiente a l´ımites laterales en los siguientes t´erminos:
Proposici´on 26 Si l´ım
x→af (x) = p entonces los l´ımites seg´un cualquier curva continua que pase por a existen y son iguales a p.
Y un obvio corolario de este resultado, referido a los l´ımites direccionales es:
Corolario 2 Si l´ım
x→af (x) = p entonces los l´ımites direccionales seg´un cualquier recta que pase por a existen y son iguales a p.
Teniendo ´esto en cuenta, se puede asegurar que el l´ımite de una funci´on en un punto no existe si se da alguno de los siguientes casos:
1. Si el l´ımite seg´un una curva depende de la curva elegida. En particular, si al hacer l´ımites direc- cionales, no existe el l´ımite para alguna recta o su valor depende de m (esto es, de la recta que se toma).
2. Si existiendo y siendo iguales todos los l´ımites direccionales, no existe o es diferente de los ante- riores el l´ımite seg´un alguna otra curva.
Una manera de indagar si existe el valor del l´ımite en un punto para funciones de dos o de tres variables consiste en hacer un cambio de coordenadas a polares (en R2) o a esf´ericas (en R3) y hacer r → 0 ( si el l´ımite es en el origen 11).
Para concluir esta secci´on, hay que se˜nalar que existen tambi´en los denominados l´ımites reiterados que, para una funci´on de dos variables, son los del tipo
x→xl´ım0 l´ım
y→y0f (x, y) , l´ım
y→y0 l´ım
x→x0f (x, y) cuyo valor, en caso de existir y ser el mismo, no tiene por qu´e coincidir con l´ım
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y). En particular, se tiene que:
Si l´ım
(x,y)→(a,b)f (x, y) = p, y existen l´ım
x→a1
f (x, y) y l´ım
y→a2
f (x, y), entonces existen los l´ımites reiterados de f y valen p.
Puede ocurrir que exista l´ım
(x,y)→(a,b)f (x, y) y no existir alguno de los reiterados.
Si existen el l´ımite de la funci´on y los reiterados en un mismo punto, ´estos han de coincidir.
11Si no, hay que hacer previamente otro cambio de coordenadas que lleve el punto en cuesti´on al origen.
2.3. Continuidad
2.3.1. Funciones continuas. Propiedades
Definici´on 25 Sea f : A ⊆ Rn→ Rm y a ∈ A0 ⊂ Rn. 1. f es continua en a si
a) a ∈ A; es decir, ∃f (a), y b) l´ım
x→af (x) = f (a) 12.
2. f es continua en un conjunto B ⊆ A si lo es ∀x ∈ B.
Las propiedades de las funciones continuas se basan en las del l´ımite:
Proposici´on 27 Sean f , g: A ⊆ Rn → Rmfunciones y a ∈ A0.
1. Si m > 1, f es continua en a si, y s´olo si, lo son todas y cada una de sus funciones componentes.
2. Si f y g son continuas en a, entonces f ± g es continua en a.
3. Sea λ ∈ R. Si f es continua en a, entonces λf es continua en a.
4. Si f y g son continuas en a, entonces hf , gi es continua en a.
5. Si f es continua en a, entonces kf k es continua en a.
6. Si f y g son continuas en a, entonces fg es continua en a.
7. Si f es continua en a, entonces f est´a acotada en alg´un entorno E(a); es decir, f (E(a)) est´a acotado.
8. Si g: B ⊆ Rm→ Rk, b = f (a) ∈ B0 y f y g son continuas en a y b respectivamente, entonces g ◦ f es continua en a.
9. Si m = 1, f (x) 6= 0 y f es continua en a, entonces f no cambia de signo en alg´un entorno E(a).
10. Si m = 1 y f (x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces 1
f (x) est´a bien definida en A y si f es continua en a, entonces 1
f (x) es continua en a.
Se tienen tambi´en las siguientes caracterizaciones:
Teorema 4 La funci´on f : A ⊆ Rn→ Rmes continua si, y s´olo si, ∀{xk} ⊂ A, sucesi´on de puntos en A con l´ım
k→∞{xk} = a, se tiene que para la sucesi´on de las im´agenes, l´ım
k→∞{f (xk)} = f (a).
( Dem. ) (1 ⇐⇒ 2) Es una consecuencia inmediata de la proposici´on 24 y de la definici´on de continuidad.
Teorema 5 Sea f : A ⊆ Rn → Rm. Las afirmaciones siguientes son equivalentes.
1. f es continua en A.
2. Para todo abierto V ⊂ Rm, existe un abierto U ⊂ Rn tal que f−1(V ) = U ∩ A 13. 3. Para todo cerrado C ⊂ Rm, existe un cerrado U ⊂ Rn tal que f−1(C) = U ∩ A.
12Es la misma definici´on que para funciones de una variable.
13Recu´erdese que f−1(V ) := {x ∈ A | f (x) ∈ V } ≡ W ; es decir, tal que f (W ) ⊆ V .
