TRABAJO DE DIPLOMA. Método de Elementos Finitos en Electromagnetismo

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TRABAJO DE DIPLOMA

Método de Elementos Finitos en Electromagnetismo

Autor: María de Lourdes Nazco Peralta Tutor: Ing. David Beltrán Casanova

Santa Clara Curso 2006-2007

“Año 49 de la Revolución"

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica

Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica

TRABAJO DE DIPLOMA

“Método de Elementos Finitos en Electromagnetismo”

Autor: María de Lourdes Nazco Peralta

Tutor: MSc. David Beltrán Casanova PPrroof.f. DDpptoto.. dede TeTeleleccoomumuniniccaacicioonneses yy EElleeccttrróóninicca a

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Santa Clara Curso 2006-2007

“Año 49 de la Revolución"

Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central

“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.

Firma del Autor

Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.

Firma del Autor Firma del Jefe de Departamento

donde se defiende el trabajo

Firma del Responsable de Información Científico-Técnica

PENSAMIENTO

El hombre instruido lleva en sí mismo sus riquezas.

Fredo.

DEDICATORIA

A mis padres, mi hermana, mi abuela, mi esposo y a todas las personas que me quieren.

AGRADECIMIENTOS

Le agradezco mucho a mis padres por ser los más maravillosos de este mundo, a mi abuela que me ha dedicado su vida entera,

a mi hermana que siempre ha estado a mi lado a mi tutor por brindarme su apoyo y a muchas personas que me han ayudado a lo largo de mi vida.

TAREA TÉCNICA

1. Búsqueda bibliográfica sobre los temas relacionados con la aplicación del Método de Elementos Finitos en Electromagnetismo.

2. Descripción de los métodos clásicos, Método de Ritz y Método de Galerkin.

3. Descripción de los pasos básicos del Método moderno de Elementos Finitos.

4. Solución de ejemplos que demuestren la aplicación.

Firma del Autor Firma del Tutor

RESUMEN

El Método de Elementos Finitos es una técnica numérica para obtener soluciones aproximadas de los problemas de los valores de frontera, constituyendo un instrumento de diseño fundamental para dispositivos electromagnéticos, el trabajo introduce conceptos básicos del método: se repasan los métodos clásicos para solucionar problemas de valores de frontera, que incluye los métodos de Ritz y de Galerkin, se muestran ejemplos simples para introducir el Método de Elementos Finitos y se realiza la descripción de los pasos básicos del Método de Elementos Finitos. Finalmente, se da solución a varios problemas que ponen de manifiesto la aplicación del método.

TABLA DE CONTENIDOS

PENSAMIENTO ...iv

DEDICATORIA ...v

AGRADECIMIENTOS ...vi

TAREA TÉCNICA... vii

RESUMEN ... viii

INTRODUCCIÓN ...1

CAPÍTULO 1. Introducción al Método de Elementos Finitos...3

1.1 Base del Método de Elementos Finitos...4

1.2 ¿Para qué sirve el Método de Elementos Finitos? ...5

1.3 ¿Qué aplicaciones tiene?...6

1.4 Introducción al Método de Elementos Finitos: Métodos clásicos para análisis de los valores de fronteras...6

1.4.1 Problemas de valores de fronteras. ...6

1.4.2 Método de Ritz...8

1.4.3 Método de Galerkin. ...11

1.4.4 EJEMPLO ...12

1.4.4.1 Descripción del problema. ...12

1.4.4.2 Solución del ejemplo por la vía del método de Ritz. ...14

1.4.4.3 Solución del ejemplo por la vía del método de Galerkin...17

CAPÍTULO 2. Método de Elementos Finitos. ...19

2.1 Solución del ejemplo usando funciones de subdominios de expansión. ...19

2.2 Puntos básicos del Método de los Elementos Finitos. ...25

2.3 Discretización del dominio. ...25

2.4 Selección de las funciones de interpolación. ...28

2.5 Formulación del sistema de ecuaciones...29

2.5.1 Formulación por el método de Ritz. ...29

2.5.2 Formulación por el método de Galerkin. ...33

2.6 Solución del sistema de ecuaciones. ...36

2.7 Una alternativa de la formulación del Método de Elementos Finitos...37

CAPÍTULO 3. Problemas aplicando el Método de Elementos Finitos. ...41

3.1 Ejemplo # 1: Onda plana uniforme...41

3.1.1 Solución analítica...44

3.1.2 Solución por los elementos finitos...46

3.2 Ejemplo # 2: Guías de onda coaxiales. ...51

3.3 Ejemplo # 3: Discontinuidad de guías de onda en planos paralelos...53

3.4 Ejemplo # 4: Radiación por un patch microcinta en una cavidad. ...60

3.4.1 Modelos de alimentadores y cargas de antenas. ...61

3.4.2 Resultado numérico. ...63

3.5 Ejemplo # 5: Diseño de una antena bocina corrugada...67

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...70

Conclusiones...70

Recomendaciones ...70

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...71

TUANEXOS^UT...74

TUAnexo I Ecuación de Poisson.^UT...74

TUAnexo II^{UT TU} Ecuaciones de onda escalares.^UT...74

TUAnexo III Ecuaciones de onda vectoriales.^UT...74

TUAnexo IV Ecuación escalar de Helmholtz^UT...75

TUAnexo V Ecuación diferencial.^UT...75

TUAnexo VI Ecuación de frontera para ^UT

φ

TU.^UT...75

TUAnexo VII Ecuación de Poisson para el potencial.^UT...75

TUAnexo VIII Ecuación de la matriz^UT...76

INTRODUCCIÓN

El Método de Elementos Finitos tiene una historia de alrededor de 50 años, propuesto por primera vez en los años 40 y su uso comenzó en los 50 en el diseño de aeronaves.

Posteriormente, el método fue desarrollado y aplicado ampliamente a problemas de análisis estructurales y de forma cada vez más creciente en otros campos. Actualmente se ha convertido y reconocido como un método general ampliamente aplicable a los problemas matemáticos e ingenieriles.

Muchos son los textos que se han escrito sobre el tema, en particular, en el texto escrito por Silvester y Ferrari (Silvester, Ferrari, 1996) se ha desarrollado, de forma muy simple y con una cobertura bastante amplia por la cantidad de tópicos que abarca, la introducción a los temas de los Elementos Finitos de una manera muy comprensiva. Ciertos textos suplen la carencia de un texto sobre el Método de Elementos Finitos para el empleo en cursos computacionales electromagnéticos. El Método de Elementos Finitos aplicable también en el contexto de campos estáticos o cuasi estáticos potenciales y para el análisis de microonda y guías de onda óptico.

El Método de Elementos Finitos ha atraído mucha atención en el electromagnetismo y las comunidades de ingeniería microondas en años recientes. El método ha disfrutado de amplia popularidad y se hace un instrumento de diseño principal para dispositivos electromagnéticos.

El presente trabajo tiene como objetivo principal describir el empleo del Método de Elementos Finitos en Electromagnetismo. Para lograr dicho objetivo se desarrollaron las siguientes tareas: primera, una búsqueda bibliográfica sobre los temas relacionados con la aplicación del Método de Elementos Finitos en este campo; segunda, descripción de los métodos clásicos; tercera, descripción de la aplicación del Método de Elementos Finitos;

cuarta, solución de ejemplos que demuestren la aplicación. Para ello se ha estructurado en tres capítulos en los que se abordan los siguientes temas:

En el primer capítulo luego de una revisión bibliográfica minuciosa y amplia, se definen problemas de valores de fronteras y se realiza a través de un ejemplo un recuento de dos métodos clásicos para la solución de dichos problemas, el método variacional de Ritz y el método de Galerkin, los cuales constituyen la base del Método de Elementos Finitos. El método de Ritz, conocido además por el método de Rayligh-Ritz es un método de variación en el cual el problema del valor de frontera es formulado en términos de la función, mientras que el método de Galerkin pertenece a la familia del método del residuo ponderado, el cual, como su nombre indica, busca la solución por peso ponderados de la ecuación diferencial del residuo.

En el segundo capítulo ya se introduce el Método de Elementos Finitos como un método que usa funciones de base de subdominio para tratar con problemas complejos de valores de frontera, el principio del método debe sustituir un dominio entero continuo por un número de subdominios en los cuales la función incógnita es representada por funciones de interpolación con coeficientes desconocidos, los sistemas de ecuaciones algebraicos son obtenidos aplicando el procedimiento variacional de Ritz o de Galerkin, y finalmente, en este capítulo se describen los pasos básicos a seguir para obtener la solución del método sin hacer referencia a un problema en específico.

En el tercer capítulo son considerados problemas tanto estáticos como dinámicos, escalares y vectoriales, en dominios cerrados y abiertos, problemas de radiación y dispersión; a través de los cuales se pone de manifiesto la aplicación del Método de Elementos Finitos en Electromagnetismo.

CAPÍTULO 1. Introducción al Método de Elementos Finitos.

Muchos son los textos que se han escrito sobre el tema (Axelsson, Barker, 1994; Bethe, 1992; Bickford, 1990; Burnett, 1997; Carey, Martin, 1983; Cook, 1991; Grandin, 1996;

Huebner, Thornton, Byrom, 1995; Livesley, 1993; Mitchell, Wait, 1995; Norrie, De Vries, 1983; Rao, 1992; Reddy, 1994; Strang, Fix, 1983; Taylor, Zienkiewicz, 1999). Otros han sido publicados dentro de la década pasada. En particular, en el texto escrito por Silvester y Ferrari (Silvester, Ferrari, 1996) se ha desarrollado, de forma muy simple y con una cobertura bastante amplia por la cantidad de tópicos que abarca, la introducción a los temas de los Elementos Finitos de una manera muy comprensiva. El libro “The Finite Element Method in Electromagnetics” según manifiesta su autor fue escrito porque él sintió la carencia de un texto sobre el Método de Elementos Finitos para el empleo en cursos computacionales de electromagnetismo, el texto acentuó el análisis del método en aplicaciones de altas frecuencia y el análisis de radiación. La IEEE reimprimió un volumen donde recogió muchos artículos importantes sobre el análisis de elementos finitos en problemas electromagnéticos. Esto también contuvo una bibliografía muy extensa anotada, que es conveniente y bastante provechosa. Hay también libros que presentan el Método de Elementos Finitos principalmente en el contexto de campos estáticos o cuasi estáticos potenciales (Hoole, 1999; Hoole, 2005; Sabonndiere, Coulomb, 1997) y dos libros expresamente para el análisis de microonda y guías de onda óptico (Fernandez, Lu, 2006;

Koshiba, 2002). De modo interesante, 1998 era probablemente el año más fructuoso, durante el cual cuatro libros fueron publicados. Entre aquellos, el primero es un texto introductoria (Pelosi, Coccioli, Selleri, 1998), el segundo enfocado a la aplicación del método de los mínimos cuadrados en el Método de Elementos Finitos (Jiang,1998), y el tercero abarca principalmente antenas, circuitos microondas y aplicaciones de interferencias

(Volakis, Chatterjee, Kempel, 1998). Otro cubre el tema más grande de electromagnetismo computacional e incluyen los elementos finitos (Peterson, Ray, Mitra, 1998). Finalmente, hay varios otros libros que contienen capítulos sobre el análisis de elementos finitos de problemas electromagnéticos,(Binns, Lawrenson, Trowbridge, 2002; Ida, Bastos, 2002;

Sadiku, 2003; Steele, 1997; Zhou, 2003).

1.1 Base del Método de Elementos Finitos.

Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del complejo mundo que la rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de proceder ingenieros, científicos, consiste en separar los sistemas en sus componentes individuales, o elementos, cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, y a continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos componentes.

En muchos casos se obtiene un modelo adecuado utilizando un número finito de componentes claramente definidos. Tales problemas se denominan discretos. En el caso, por ejemplo, del análisis de estructura de un edificio en el que cada viga constituye una entidad aislada bien definida. En otros la subdivisión prosigue indefinidamente y el problema sólo puede definirse haciendo uso de la ficción matemática de infinitésimo. Ello puede conducir a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un número infinito de elementos implicados. Tales sistemas serán llamados continuos. Su análisis resulta mucho más complejo, por lo que se hace referencia al cálculo estructural, el Método de Elementos Finitos puede ser entendido como una generalización al análisis de sistemas continuos.

El principio del Método consiste en la reducción del problema con infinitos grados de libertad, en un problema finito en el que intervenga un número finito de variables asociadas a ciertos puntos característicos (nodos). Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas del problema, para pasar a ser los valores de dichas funciones en un número infinito de puntos. El cálculo se efectúa también restringiendo el análisis de corrimientos de los nodos. La diferencia estriba en que el análisis del continuo, la segmentación en elementos y la correcta posición de los nodos es, hasta cierto punto, arbitraria.

Así pues, en el Método de Elementos Finitos se supone que el comportamiento de cada parte o elemento, en los que se subdivide queda definido por un número finito de parámetros asociados a los puntos que en dicho momento se unen al resto de los elementos de su entorno (nodos). Para definir el comportamiento en el interior de cada elemento se supone que dentro del mismo, todo queda perfectamente definido a partir de lo que sucede en los nodos a través de una adecuada función de interpolación.

Como puede apreciarse en el Método de Elementos Finitos son casi esenciales los conceptos de "discretización": acción de transformar la realidad de la naturaleza continua en un modelo discreto aproximado y de "interpolación": acción de aproximar los valores de una función a partir de su conocimiento en un número discreto de puntos. Por lo tanto el Método de Elementos Finitos es un método aproximado desde múltiples perspectivas:

a) Discretización.

b) Interpolación.

c) Utilización de métodos numéricos.

La presentación aproximada de la realidad en forma de un modelo numérico permite la resolución del problema. Actualmente el Método de Elementos Finitos ha sido generalizado hasta constituir un potente método de cálculo numérico, capaz de resolver cualquier problema de la física formulable como un sistema de ecuaciones.

1.2 ¿Para que sirve el Método de Elementos Finitos?

A pesar de su carácter aproximado, el Método de los Elementos Finitos es una herramienta muy útil que permite realizar una gran cantidad de análisis en componentes y estructuras complejos, difícilmente realizables por los métodos analíticos clásicos.

1.3 ¿Qué aplicaciones tiene?

Las aplicaciones actuales del método son muy extensas e incluyen sistemas lineales y no lineales, estáticos, dinámicos tales como:

• Electromagnetismo.

• Mecánica de Sólidos.

• Teoría de la Elasticidad.

• Mecánica de Fluidos.

• Transmisión de Calor.

El Método de Elementos Finitos ha atraído mucha atención en el electromagnetismo y las comunidades de ingeniería microondas en años recientes. El método ha disfrutado de la amplia popularidad y se hace un instrumento de diseño principal para dispositivos electromagnéticos.

1.4 Introducción al Método de Elementos Finitos: Métodos clásicos para análisis de los valores de fronteras.

En esta sección primero se definen problemas de valores de fronteras y luego se repasan dos métodos clásicos para su solución, el método variacional de Ritz y el método de Galerkin, ambos métodos forman la base del Método moderno de Elementos Finitos. Para introducir el Método de Elementos Finitos, es necesario hablar de estos dos métodos primero.

1.4.1 Problemas de valores de fronteras.

Los problemas de valores de fronteras surgen en el modelado matemático de sistemas físicos, y su solución mucho tiempo ha sido un tema principal en la física matemática. Un

problema típico de valor de frontera puede ser definido por una ecuación diferencial en el dominio

Ω

:

£

φ = f

(1.1)

Junto con el límite condiciona sobre el límite

Γ

que incluye el dominio. En (1.1), £ es un operador diferencial, la

f

es la excitación, y

φ

es la incógnita. En electromagnetismo, la forma de la ecuación diferencial se extiende desde simples ecuaciones de Poisson (Anexo I), a ecuaciones tan complicadas como las ecuaciones escalares de la onda (Anexo II), y aún más complicadas como las ecuaciones vectoriales de la onda (Anexo III). Las condiciones de frontera también se extienden a simples condiciones de Dirichlet y Neumann, a la complicada impedancia y condiciones de radiación, a condiciones de orden más alta aún más complicadas.

Es, desde luego, deseable solucionar problemas de valores de fronteras analíticamente siempre que sea posible. Sin embargo, ya que una solución analítica puede ser obtenida para sólo unos problemas especiales, la solución analítica es la excepción más bien que la regla. En electromagnetismo estos casos excepcionales incluyen el potencial estático entre planos infinitos paralelos, la propagación de onda en guías de onda rectangular, circular, y elíptico, los resonadores de cavidad dentro de cavidades rectangulares, cilíndricas y esféricas, y la onda que se dispersa por planos infinitos, cuñas, cilindros circulares, y esferas. Muchos otros problemas de la importancia práctica de la ingeniería no tienen una solución analítica. Para vencer esta dificultad, varios métodos aproximados han sido desarrollados, siendo el método de Ritz y de Galerkin los más utilizados.

1.4.2 Método de Ritz.

El método de Ritz, conocido además por el método de Rayligh-Ritz es un método de variación en el cual el problema del valor de frontera es formulado en términos de la expresión de variación llamada función. El mínimo de esta función corresponde a la ecuación diferencial evaluada bajo las condiciones de frontera dadas. La solución aproximada es obtenida minimizando la función con respecto a las variables que definen con cierta aproximación esta solución. A continuación se ilustrará el procedimiento, definiendo el producto interno, denotado por corchetes, como:

Ω

∂

= ∫

Ω

φψ

∗

ψ

φ ,

_(1.2)

Donde el asterisco denota el complejo conjugado. Con esta definición se muestra que si el operador £ en (1.1) es:

£ φ , ψ

₌

φ , ψ

_(1.3)

Y además se define que si:

£ ⎩ ⎨ ⎧

=

>

0 , φ 0

φ

0

0

=

≠ φ φ

(1.4)

La solución a (1.1) puede ser obtenida minimizando la función:

( ) 2

~ = 1 φ

F _£ φ φ φ , φ ^~

2 , 1

~ 2 1 , ~

~ − f − f

_(1.5)

Con respecto a

φ ^~

, donde

φ ^~

denota la función tanteo.

Una vez encontrada la función, la solución puede ser obtenida por el procedimiento descrito más adelante.

Suponiendo que

φ ^~

en (1.5) puede ser aproximada por:

{ } { } { } { } c v v c v

c

_j ^{T T}

N

j

j

= =

= ∑

=1

φ ~

_(1.6)

Donde:

v

j Funciones de expansión seleccionadas definidas en todo el dominio.

c

j Coeficientes constantes a ser determinados.

{ }

Denota el vector columna.

T

Denota la traspuesta del vector.

Sustituyendo (1.6) en (1.5) se obtiene:

{ } { } ∫

Ω

= c v

F

^T

2 1

£ { } v

^T

d Ω { } { } { } c − c

^T

∫

Ω

v fd Ω

_(1.7)

Al minimizar

^F ( ) ^{φ ~}

, se obtiene el siguiente juego de ecuaciones lineales algebraicas:

∫

Ω

∂ =

∂

i i

c v F

2 1

£ { } v

^T

d Ω { } { } { } c + c

^T

∫

Ω

v 2

1

£ v

_i

d Ω − ∫

Ω

v

_i

fd Ω

= ∑ ∫

^N₌ Ω

(

j

i

j

v

c 2

1

1

£ v

j

+ v

j

_£ v

_i

) d Ω − ∫

Ω

v

_i

fd Ω

= 0 i = 1 , 2 , 3 ,..., N

(1.8)

Las cuales pueden ser escritas como una ecuación matricial:

[ ] ^S { } { } ^{c = b}

(1.9)

Con los elementos en

[ ] ^S

dados por:

∫

Ω

(

=

_i

ij

v

S 2

1

£ v

j

+ v

j

_£ ^v

_i

) ^{d Ω}

(1.10)

Y los elementos en

{ } ^b

dados por:

Ω

= ∫

Ω

v fd

b

_{i i} (1.11)

Es evidente que

[ ] ^S

es una matriz simétrica. Recurriendo a la propiedad auto-adjunta del operador £,

S

ij puede ser escrita como:

∫

Ω

=

_i

ij

v

S _£ v

_j

d Ω

(1.12)

Una solución aproximada para (1.1) es dada por (1.6), donde

c

_i son obtenidas resolviendo la ecuación de la matriz (1.9).

1.4.3 Método de Galerkin.

El método de Galerkin pertenece a la familia del método del residuo ponderado, el cual, como su nombre indica, busca la solución por pesos ponderados de la ecuación diferencial del residuo. Suponiendo que

φ ^~

es una solución aproximada a (1.1). Se sustituye de

φ ^~

_para

φ

en (1.1) resultando un residuo distinto de cero:

=

r £ φ ~ − f ≠ 0

(1.13)

La mejor aproximación para

φ ^~

sería aquella que reduzca el residuo

r

a valores más pequeños en todos los puntos de

Ω

. En este caso, el método del residuo ponderado fuerza la condición:

= 0 Ω

= ∫

Ω

w rd

R

_{i i (1.14)}

Donde:

Ri Denota la integral del residuo.

w

i Son las funciones de peso seleccionadas.

En el método de Galerkin, las funciones de pesos ponderados son seleccionadas de tal modo que sean las mismas que serán usadas para la expansión de la solución aproximada.

Esto usualmente conlleva a una solución más exacta y es por lo tanto una aproximación popular en el desarrollo de las ecuaciones del elemento finito.

Ilustrando el método más explícitamente se asume que la solución es como la representada en (1.6). Las funciones ponderadas son seleccionadas como:

i

i

v

w =

_{i = 1,2,3,..., N (1.15)}

De modo que (1.14) sería:

∫

Ω

(

=

_i

i

v

R _£ { } { } v

^T

c − v

_i

f ) d Ω = 0

i = 1 , 2 , 3 ,..., N

(1.16)

Esto conlleva nuevamente al sistema dado en (1.9), ahora la matriz

[ ] ^S

no es necesariamente simétrica a menos que el operador £ sea auto-adjunta. Si £ es auto- adjunta, el método de Galerkin resulta el mismo sistema de ecuaciones que el dado en el método de Ritz.

1.4.4 EJEMPLO

Después de conocer el método de Ritz y de Galerkin se ilustrará a través de un ejemplo el problema de las condiciones de frontera junto a la implementación de dichos métodos.

1.4.4.1 Descripción del problema.

El problema consiste en determinar el potencial estático

φ

entre 2 planos paralelos infinitos. Un plano es localizado en

x = 0

con

φ = 0

y el otro en

x = 1 m

y

V

= 1

φ

. El espacio entre los 2 planos está ocupado por el medio que posee una

constante de permitividad

ε

F/m y una densidad de carga eléctrica

( ) ( ) ε

ρ x = − x + 1

C m

³ _.

Este problema puede ser descrito matemáticamente por la ecuación de Poisson (Anexo I), que simplifica la ecuación diferencial de segundo orden:

2

1

2

= x =

dx d φ

1

0 < x <

(1.17)

En conjunto con las condiciones de frontera dadas por:

0

= 0

x=

φ

(1.18)

1

= 1

=

φ

x (1.19)

La solución exacta para este problema es:

( ) ^{x x x x}

3 1 2

1 6

1

₃

+

₂

+

φ =

_(1.20)

La cual es fácil de obtener integrando dos veces (1.17) y aplicando (1.18) y (1.19), determinándose la constante de integración. Sin embargo, de mucho de los problemas prácticos no se tiene una solución simple y en muchos casos sólo se obtiene una solución aproximada. Por estas razones, se asume que no se conoce una solución exacta, en cambio, usando el método de Ritz y de Galerkin se pueden encontrar.

1.4.4.2 Solución del ejemplo por la vía del método de Ritz.

Como se vio anteriormente, en el método de Ritz se formula el problema en términos funcionales cuyo mínimo corresponde a la ecuación diferencial obtenida bajo las condiciones de frontera dadas. Partiendo de (1.17) y (1.19), se muestra que la función viene dada por:

( ) ^dx ( ^x ) ^dx

dx

F φ d φ 1 φ ^~

~ 2

~ 1

¹

0 2

1

0

∫

∫ ^⎜ _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^{⎞ + +}

=

(1.21)

Para probar esto, se asume que

^φ ( ) ^x

es la función que corresponde al mínimo de la función

F

. Haciendo

^{φ ~} ( ) ( ) ^{x = x φ + δφ}

, donde

δφ

es pequeño y una función diferenciable que se anula en

x = 0

y

x = 1

(ya que

φ

es dado en estos dos puntos). Esta pequeña variación en

φ

causará variación en

F

, la cual puede ser escrita como:

( ^{φ δφ} ) ^F ( ) ^{φ δ F O} ( ) ( ) ^δφ

²

F

F = + − = +

∆

(1.22)

Donde:

δ F

Es el término de primer orden en

δφ

.

( ) ( ) ^δφ

²

O

Representa la suma de los términos de segundo orden u orden superior de

δφ

.

El término de primer orden,

δ F

es referido usualmente a la primera derivada de

F

, puede ser calculado convenientemente como:

( ) ( ) ( )

e

F e

F F

e

φ δφ

φ φ

δ = ^{+ −}

lim

→0 (1.23)

De acuerdo con la teoría la condición necesaria para que

F

sea mínima cuando

( ) ( ) ^x φ ^x φ ~ =

es:

( ) φ ^{= 0}

δ F

(1.24)

Para la función dada en (1.21), se expresa que:

( 1 ) 0

1 0 1

0

+ ∫ + =

∫ ^d _dx ^{φ d} _dx ^{δφ dx x δφ dx}

^(1.25)

Integrando por parte el primer término, se obtiene:

0

1

1

0 2

1 2

0

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

− ∫

=

=

dx dx x

d dx

d

^x

x

φ δφ

δφ φ

_(1.26)

Ya que

δφ

es la función arbitraria que satisface las condiciones

1

0

0

=

₌

=

= x

x

δφ

δφ

, se concluye que

^φ ( ) ^x

satisface la ecuación diferencial (1.17)

Ahora, se procederá con el método de Ritz para encontrar

φ ( ) ^x

. De acuerdo con el método, primero se expande

φ ^~

en términos de polinomios:

( )

_{1 2 3} ² ₄ ³

~ x = c + c x + c x + c x

φ

(1.27)

Donde

c

_i

( i = 1 , 2 , 3 , 4 )

, son constantes a ser determinadas.

Aplicando las condiciones de frontera (1.18) y (1.19), se obtienen las condiciones

1

= 0

c

y

c

₂

= 1 − c

₃

− c

₄, las cuales reducen (1.27) a:

( ) ^{x = x + c}

₃

( ^x

²

^{− x} ) ( ^{+ c}

₄

^x

³

^{− x} )

φ ~

(1.28)

Sustituyendo (1.28) en (1.21) y realizando la integración, se obtiene:

3 4 4

1 60

23 2

1 6

1 5

2

3 4

4 3 2

3 2

4

+ + − − +

= c c c c c c

F

(1.29)

Las derivadas con respecto a

c

₃ y

c

₄ son dadas por:

4 1 2

1 3

1

4 3

3

− +

∂ =

∂ c c

c F

(1.30)

60 23 5

4 2

1

4 3

4

− +

∂ =

∂ c c

c F

(1.31)

Igualando a cero (1.30) y (1.31), se obtienen dos ecuaciones lineales con solución

1 2

3

=

c

y

1 6

4

=

c

. Estos resultados son los mismos de la expresión dada en (1.20). Se obtiene la solución exacta en este caso porque se pudo emplear la función prueba. En muchos casos esto no es posible y solo se obtiene una solución aproximada.

1.4.4.3 Solución del ejemplo por la vía del método de Galerkin.

Se retoma el problema usando el método de Galerkin. La ecuación del residuo ponderado para (1.17) es:

0 1

~

2 1 2

0

⎟⎟ ⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

∫ ^w

ⁱ

^d _dx ^{φ x dx}

(1.32)

Usando la misma expansión para

φ ^~

dada en (1.28), y dejando

w

₁

= x

²

− x

y

x x

w

₂

=

³

−

(siendo

w

_{1 y}

w

₂ la función de expansión asociada con

c

₃ y

c

4), se obtiene:

4 0 1 2

1 3

1

4

3

+ c − =

c

(1.33)

60 0 23 5

4 2

1

4

3

+ c − =

c

(1.34)

La solución de esta ecuación resulta nuevamente

2 1

3

=

c

_y

6 1

4

=

c

, siendo la misma solución exacta.

CAPÍTULO 2. Método de Elementos Finitos.

Después de analizar en el capítulo anterior los dos métodos clásicos ( método variacional de Ritz y el método de Galerkin) que constituyen la base del Método moderno de Elementos Finitos se retoma el mismo ejemplo aplicando funciones de subdominios de expansión, que es lo mismo decir: Método de Elementos Finitos.

2.1 Solución del ejemplo usando funciones de subdominios de expansión.

Se observa que un punto importante en los métodos de Ritz y de Galerkin es la selección de funciones de prueba definidas sobre la solución en todo el dominio representando aproximadamente la solución verdadera. Para muchos problemas esto es una gran dificultad y en algunos casos imposible, como es en problemas de dos y tres dimensiones.

Para solucionar esta dificultad, se puede dividir todo el dominio en pequeños subdominios y usar la función tanteo definida en cada subdominio. Tales funciones de prueba son por lo general más simples que funciones de dominio entero, ya que los subdominios son menores y permiten obtener

^φ ( ) ^x

de una manera aproximada y con suficiente precisión.

Se ilustrará este procedimiento, reconsiderando el problema definido por (1.17) - (1.19).

Primero se divide la solución de todo el dominio (0.1) en tres subdominios definidos por

( ^x

₁

^{, x}

₂

)

,

( ^x

₂

^{, x}

₃

)

y

( ^x

₃

^{, x}

₄

)

siendo

x

₁ y

x

₄ los puntos extremos

1

= 0

x

y

x

₄

= 1

. Los otros dos puntos pueden ser

1 3

2

=

x

y

2 3

3

=

x

, resultando una subdivisión igual, aunque esto no es absolutamente necesario.

Se asume una variación lineal de

^φ ( ) ^x

para cada subdominio definido por:

( )

i i

i i

i i

i

i

x x

x x x

x

x x x

− + −

−

= −

+ + +

+

1 1 1

~ φ

1

φ

φ

_(2.1)

Para

x

_i

≤ x ≤ x

_i+1 e

i = 1 , 2 , 3

, donde

φ

_i son constantes no conocidas a ser determinadas. Un examen cuidadoso de (2.1) revela que

φ

_i representa el valor de

( ) ^x

φ

en

x = x

_i . Para las condiciones de frontera (1.18) y (1.19) se encuentra

1

= 0

φ

y

φ

₄

= 1

. Se pueden determinar las dos constantes que restan

φ

₂ y

φ

₃ usando el método de Ritz y de Galerkin.

Primero, se aplica el método de Ritz, el cual se alcanza minimizando la función

F

. Para esto, se sustituye (2.1) en (1.21) encontrando que:

∑

₌

∫ ∫ ( )

+ + +

+ +

+

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− + −

− + −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

=

^{3 +}

−

⁺

1 1

1 1

1 2

1

1 ¹

1

1

2 1

i

x

x i i

i i

i i

i i x

x i i

i

i ⁱ

i i

i

x dx x

x x x

x

x x x

x dx

F φ x φ φ φ

(2.2)

Evaluando las integrales, se obtiene:

( )

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− −

=

_{+ + +}

+ + +

∑

=

₂ ¹

^{2 1}

₃ ²

¹

¹ ₃ ¹ ₃ ^{2 1} ₃

¹

¹

1

1 1

3

1

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i

x x

x x x

x x x

F φ φ φ φ

(2.3) Puede ser escrito además como:

27 49 9

22 9

3 4 3

3

₂²

+

₃²

−

_{2 3}

+

₂

−

₃

+

= φ φ φ φ φ φ

F

_(2.4)

Después se sustituyen los valores de

x

_i,

φ

₁ y

φ

₄. En

F

minimizada, se toman las derivadas parciales con respecto a

φ

₂ y

φ

₃ y se igualan a cero:

9 0 3 4

6

_{2 3}

2

= +

−

∂ =

∂ φ φ

φ F

(2.5)

9 0 6 22

3

_{2 3}

3

=

− +

−

∂ =

∂ φ φ

φ F

(2.6)

De las cuales se obtienen:

81 14

2

=

φ

_y

81 40

3

=

φ

_(2.7)

El resultado puede ser obtenido además usando el método de Galerkin, en el cual se escogen las funciones de expansión implicadas por (2.1) como las funciones ponderadas

w

i a ser empleadas en (1.32).

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

−

−

−

−

=

+ +

−

−

i i

i i i

i

i

x x

x x

x x

x x w

1 1

1 1

1 1

+

−

≤

≤

≤

≤

i i

i i

x x x

x x x

(2.8)

Para

i = 2 , 3

. La ecuación de línea para

φ

₂ y

φ

₃ puede ser obtenida sustituyendo (2.1) y (2.8) en (1.32). Pero antes de hacer esto, se nota que

φ ^~

es representado por (2.1) siendo diferenciado sólo una vez. Se reduce el orden de diferenciación en

φ ^~

por integración por partes, procedimiento que resulta de la transferencia de la primera derivada de la función ponderada:

dx dx d dx dw x

x dx w d dx dx

w d

ⁱ

i i

i

x x

i i

i i

x

x i

φ φ

φ ^{~ ~}

¹

^~

1 1

1 1

1 2

2

∫

∫

₋⁺

⎟⎟ ⎠ ^{= −}

₋⁺

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

(2.9)

Ya que

w

_i anula a

x

_i−1 y

x

_i+1 , (1.32) puede ser escrita como:

( ¹ ) ⁰

~

1

1 1

1

= +

+ ∫

∫

_i−ⁱ⁺

^dw _dx ^d _dx ^dx

x^x_i−ⁱ⁺

^{x w}

i

^dx

x

x

i

φ

(2.10)

Sustituyendo (2.1) y (2.8) en la ecuación anterior y evaluando las integrales, se obtiene:

9 0 3 4

6 φ

₂

− φ

₃

+ =

(2.11)

9 0 6 22

3

₂

+

₃

− =

− φ φ

(2.12)

Figura 2.1 Resultados numéricos comparados con la solución exacta.

Cuyas ecuaciones son las mismas dadas en (2.5) y (2.6). La solución, por supuesto, es la misma que en (2.7).

Una vez que se obtiene la solución en

x

_i, la solución en otros puntos es obtenida de la interpolación lineal basada en (2.1). El resultado para este ejemplo es ploteado en la figura.

2.1 y comparado con la solución exacta. Es visto que aunque valores exactos fueran obtenidos en

x

_i, hay una pequeña discrepancia en otros puntos. Tal discrepancia se hará aún más pequeña cuando se aumenta el número de subdivisiones.

El procedimiento de solución descrito es exactamente el del Método de Elementos Finitos.

El procedimiento que emplea el método de Ritz por lo general es mencionado como el Método de Elementos Finitos de Ritz o el Método de Elemento Variacional Finito, mientras que el que emplea el método de Galerkin por lo general es mencionado como el Método de Elementos Finitos de Galerkin.

Del ejemplo anterior, se observa que el Método de Elementos Finitos difiere a partir de los clásicos métodos de Ritz y de Galerkin en la formulación de la función de prueba. En el

método clásico de Ritz y de Galerkin la función de prueba es formulada como una combinación de un juego de funciones de base definidas sobre el dominio entero. Esta combinación debe ser capaz de representar, al menos aproximadamente, la solución verdadera y también debe satisfacer condiciones apropiadas divisorias. En el Método de Elementos Finitos, la función de prueba es una combinación de un juego de funciones de base definidas sobre los subdominios que comprenden el dominio entero. Como se notó antes, ya que los subdominios son pequeños, la función base definida sobre un subdominio puede ser bastante simple.

En este punto, cabe preguntar: ¿Por qué se introduce el Método de Elementos Finitos, cómo se observa en el ejemplo anterior el esfuerzo requerido para solucionar el problema usando funciones base de dominio completo y funciones base de subdominios?

La respuesta a esta pregunta tiene dos partes:

Primero, en el ejemplo anterior se trataba con un problema dimensional. Es verdad que para casi todos los problemas dimensionales siempre se pueden encontrar las funciones de prueba requeridas. Sin embargo, cuando se analizan problemas de dos o tres dimensiones es muy difícil y a menudo imposible encontrar las funciones de prueba de dominio enteras requeridas, en particular para problemas con fronteras irregulares. Segundo, en el ejemplo anterior, se llega a la solución usando papel y lápiz, procedimiento aplicable sólo a problemas muy sencillos. Para problemas complicados de interés práctico se empleará la computadora, escribiendo un programa que describa el procedimiento para la solución del mismo. Como se verá más adelante, el Método de Elementos Finitos es mucho mejor para un determinado propósito que el método clásico de Ritz y de Galerkin.

Con este método es posible escribir un programa general determinado que pueda tratar con límites y muchos problemas diferentes.

A modo de conclusión, la idea de usar un subdominio de la función base hace posible aliviar el problema de los valores de fronteras lo que hace este método más práctico al emplear técnicas de cómputo. Por esta razón el Método de Elementos Finitos es el método de análisis más ampliamente usado en el diseño asistido por computadoras.

2.2 Puntos básicos del Método de los Elementos Finitos.

Después de introducir el Método de Elementos Finitos, se definirá el método de una forma más abstracta y se describirán sus puntos básicos. Algunos de los conceptos introducidos en esta sección aparecen con alguna dificultad de comprensión, pero llegarán a ser claros con los problemas que se enfocarán posteriormente.

El Método de Elementos Finitos es un procedimiento numérico para obtener la solución de problemas de valor mínimo como se ha visto en algunos ejemplos, el principio del método debe sustituir un dominio entero continuo por un número de subdominios en los cuales la función incógnita es representada por funciones de interpolación con coeficientes desconocidos. Los sistemas de ecuaciones algebraicos son obtenidos aplicando el procedimiento variacional de Ritz o de Galerkin, y finalmente, la solución del problema del valor límite es alcanzado resolviendo el sistema de ecuaciones. Por lo tanto, el análisis de elementos finitos en el problema del valor de frontera puede incluir los siguientes puntos básicos:

• Discretización o subdivisión del dominio.

• Selección de las funciones de interpolación.

• Formulación del sistema de ecuaciones.

• Solución del sistema de ecuaciones.

2.3 Discretización del dominio.

La discretización del dominio, es decir

Ω

, es el primero y quizás el punto más importante en todo el análisis de elementos finitos porque el modo en el cual es discretizado el dominio afectará los requerimientos de recursos de cómputo, el tiempo computacional y la exactitud de los resultados numéricos. En este punto, el dominio entero

Ω

es subdividido en pequeños subdominios, denotados como

^Ω

^e

( ^{e = 1 , 2 , 3 ,..., M} )

, con M denotando el número total de subdominios. Estos subdominios son usualmente referidos como

“elementos”. Para el dominio en primera dimensión (líneas rectas o curvadas) los elementos son segmentos de líneas cortas interconectados para formar la línea original.

(figura. 2.2 a). Para el dominio en 2 dimensiones, los elementos son usualmente pequeños triángulos y rectángulos (figura. 2.2 b). Los elementos rectangulares son, por supuesto, mejor opción para discretizar regiones rectangulares, mientras que los triangulares pueden ser usados para regiones irregulares. En la solución de 3 dimensiones, el dominio puede ser subdividido en tetraedros, prismas triangulares o cuerpos rectangulares (figura. 2.2 c).

Los tetraedros son más simples y mejor opción para dominios de volumen arbitrario. Se nota que segmentos de rectas lineales, triangulares y tetraedro son elementos básicos en una, dos y tres dimensiones que modelan líneas curvadas o superficies por segmentos de líneas rectas o patches planos. En la figura. 2.3 se dan dos ejemplos mostrando la discretización del elemento finito en el dominio de dos y tres dimensiones.

Figura 2.2 Básicos elementos finitos. a) Una dimensión , b) Dos dimensiones , c) Tres dimensiones.

Figura 2.3 Ejemplo de discretización del elemento finito. a) Dos dimensiones con elementos triangulares, b) Tres dimensiones con elementos tetraedros.

En las soluciones de elementos más finitos, el problema es formulado en términos de la función desconocida

φ

en nodos asociados con los elementos. Por ejemplo, un elemento de línea linear tiene dos nodos, uno en cada punto final. Un elemento linear triangular tiene tres nodos, localizados en sus tres vértices, mientras que un tetraedro linear tiene cuatro nodos, localizados en sus cuatro esquinas. Para la puesta en práctica de los objetivos, es necesario describir estos nodos. Una descripción completa de un nodo contiene sus valores de coordenada, el número local y el número global. El número local de un nodo indica su posición en el elemento, mientras que el número global especifica su posición en el sistema entero. Especificar los valores de coordenada, la enumeración de nodos y elementos requiere alguna estrategia. Será visto que la formulación de elementos finitos por lo general causa una matriz cuyo ancho de banda es determinada por la diferencia máxima entre los números globales de dos nodos en un elemento. Numerando correctamente los nodos se puede reducir el ancho de banda. Sin embargo, en el caso

donde la minimización del ancho de banda es innecesaria, el esquema de enumeración puede ser arbitrario.

La discretización del dominio por lo general es considerada una tarea previa porque puede ser completamente separada de otros pasos. Muchos paquetes de programas de elementos finitos bien desarrollados tienen la capacidad de subdividir una línea formada arbitrariamente, la superficie, y el volumen en los elementos correspondientes y también brinda la optimización global.

2.4 Selección de las funciones de interpolación.

El segundo punto del análisis de elementos finitos es la selección de una función de interpolación que proporciona una solución aproximada de la solución desconocida dentro de un elemento. La interpolación por lo general es seleccionada para hacer un polinomio de primer orden, segundo y orden superior. Los elementos de orden superior, aunque muy exactos, por lo general causan una formulación más complicada que los polinomios de orden inferior. De ahí que la interpolación lineal simple todavía es usada extensamente.

Una vez que el orden del polinomio es seleccionado, se puede sacar una expresión para la solución del elemento desconocido, se hablará del elemento

e

, en la forma siguiente:

{ } { } { } { }

^{e T e e T e}

e j n

j e j

e

N φ N φ φ N

φ = ∑ = =

=1

~

(2.13)

Donde:

n

Es el número de nodos del elemento.

e

φ

j Es el valor de

φ

en el nodo

j

del elemento.

e

N

j Es la función de interpolación para el nodo

j

, que también conocen como la función de base o la extensión.

Las funciones de mayor orden

N

^e_j para un elemento dado se menciona como la orden del elemento, por ejemplo, si el

N

^e_j son funciones lineales, el elemento

e

es un elemento lineal. Un rasgo importante de las funciones

N

^e_j es que ellos son no nulos sólo dentro del elemento

e

, y fuera de este elemento ellos desaparecen.

2.5 Formulación del sistema de ecuaciones.

El tercer punto en el análisis de Método de Elementos Finitos es formular el sistema de ecuaciones. Ambos métodos variacionales (Ritz y Galerkin) pueden ser usados para este propósito, en una manera similar a las secciones precedentes. Se verá primero la formulación por el variacional de Ritz.

2.5.1 Formulación por el método de Ritz.

Se considera nuevamente el problema definido en (1.1) y para simplificar se asumirán valores reales. La función

F

dada en (1.5) puede ser expresada como:

( )

^M

( )

^e

e

F

e

F φ ^~ φ ^~

1

∑

=

=

(2.14)

Donde:

M

Es el número de los elementos del dominio completo y

( ) ⁼ _∫

_Ωe

e e

F

e

φ φ ^~ 2 1

~ £ φ ^~

^e

d Ω − ∫

Ω_e

f φ ^~

^e

d Ω

(2.15)

Sustituyendo (2.13) en (2.15), se obtiene:

{ } { } _∫

_Ω

=

^{e T} _e ^e

e

N

F φ

2

1 £ { } { } { } N

^{e T}

d ^Ω φ

^e

⁻ φ

^{e T}

_∫

_Ωe

f { } N

^e

d ^Ω

_(2.16)

La cual puede ser escrita en la forma matricial como:

{ }

^{e T}

[ ]

^e

{ } { } { }

^{e e T e}

e

K b

F = φ φ − φ

2 1

(2.17) Donde:

[ ] ^K

^e Es una matriz

n × n

{ } ^b

^e Un vector columna

n × 1

con los elementos dados por:

∫

Ω

=

_{e i}^e

e

ij

N

K £ N

^e_j

d Ω

(2.18)

y

Ω

= ∫

Ω

fN d

b

_i^e _{e i}^e (2.19)

Se nota que la matriz elemental

[ ] ^K

^e es simétrica ya que £ es auto adjunta. Sustituyendo (2.17) en (2.14), se obtiene: