Estabilización y control de sistemas lineales con retardo interno, mediante un enfoque polinomial

(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD CULHUACÁN

SECCIÓN DE ESTUDIO DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ESTABILIZACIÓN Y CONTROL DE SISTEMAS LINEALES CON

RETARDO INTERNO, MEDIANTE UN ENFOQUE POLINOMIAL.

T E S I S

Para obtener el grado de:

MAESTRO EN CIENCIAS DE INGENIERÍA EN MICROELECTRÓNICA.

Presenta:

ING. ROCIO JASMIN VAZQUEZ GUERRA.

Director de tesis: Dr. Basilio del Muro Cuellar.

Codirector de tesis: Dr. Omar Jiménez Ramírez.

MÉXICO D.F., MAYO 2010.

(2)

(3)

iii

(4)

(5)

v

(6)

(7)

Agradecimientos

Gracias a Dios por estar conmigo en cada momento, porque siempre he encontrado en

´el fuerza, esperanza, paz y consuelo para seguir adelante en cada etapa de mi vida.

Gracias al Instituto Politécnico Nacional y a la Sección de Estudios de Posgrado e Inves- tigación SEPI-ESIME por abrir sus puertas para formarme como ser humano y profesionista, dándome la oportunidad de seguir superándome.

Gracias a CONACYT- M´exico y al proyecto PIFI por otorgarme una beca para estudiar la maestr´ıa.

Gracias a mis profesores por brindarme nuevos conocimientos, pero especialmente quiero agradecer a mis asesores Dr. Basilio del Muro Cuellar y Dr. Omar Jim´enez Ram´ırez por compartir su experiencia y sus conocimientos.

Gracias a mi esposo Juan Francisco por todo el cari˜no, amor, comprensi´on, consejos, atenciones, apoyo, etc. que he recibido de su parte. Gracias por ser parte de mi vida.

Porque este ha sido un trabajo en equipo, dedico este trabajo a toda mi familia que siempre crey´o en m´ı, los amo.

Hoy les entrego una batalla m´as ganada con esfuerzo y dedicaci´on, muchas gracias por su apoyo, lo logramos.

vii

(8)

(9)

´ Indice general

Resumen ^XIII

Abstract ^XV

Introducci´on ^XVII

1. Estado del arte 1

1.1. Sistemas con Retardo en lazo Directo, SRD. . . 1

1.1.1. Planteamiento del problema para SRD . . . 3

1.2. Sistemas con Reciclo, SRRDR. . . 5

1.2.1. Planteamiento del problema para SRRDR . . . 6

1.3. Objetivo del trabajo. . . 8

2. Metodolog´ıa de control anal´ogica. 9 2.1. Introducci´on . . . 9

2.2. Representación de la aproximación de Padé . . . 9

2.3. Control de dos grados de libertad: enfoque polinomial. . . 12

2.3.1. Rechazo de perturbaci´on de tipo escal´on . . . 14

2.3.2. Seguimiento de referencias tipo escal´on . . . 15

2.3.3. Grado de los controladores . . . 16

2.3.4. Alternativa para resolver un sistema de ecuaciones lineales . . . 16

2.3.5. Estabilidad interna en el controlador anal´ogico . . . 17

2.4. Sistemas con retardo de tiempo en el lazo directo (SRD) . . . 19

2.4.1. Recomendaciones para elegir el orden de la aproximaci´on Pad´e para SRD. . . 20

2.4.2. Ejemplos para SRD . . . 20

2.5. Sistemas con reciclo, SRRDR. . . 26

2.5.1. Ejemplos para SRRDR . . . 27

2.6. Conclusiones . . . 31

3. Metodolog´ıa de control digital. 35 3.1. Introducci´on. . . 35

3.2. Control de dos grados de libertad: enfoque polinomial. . . 36

3.2.1. Rechazo de perturbaci´on de tipo escal´on . . . 37

3.2.2. Seguimiento de referencias tipo escal´on . . . 39 ix

(10)

3.2.3. Grado de los controladores . . . 39

3.2.4. Alternativa para resolver un sistema de ecuaciones lineales . . . 40

3.2.5. Estabilidad interna en el controlador digital . . . 41

3.3. Sistemas con Retardo de tiempo en el lazo Directo (SRD) . . . 42

3.3.1. Ejemplos para SRD . . . 43

3.4. Sistemas con reciclo, SRRDR. . . 48

3.4.1. Ejemplos para SRRDR . . . 51

4. Resultados experimentales 57 4.1. Especificaciones del hardware. . . 58

4.2. Instalaci´on del software de la Tarjeta Sensoray Modelo 626. . . 59

4.3. Resultados experimentales. . . 61

4.3.1. Resultados de la metodolog´ıa de control anal´ogica. . . 62

4.3.2. Resultados de la metodolog´ıa de control digital. . . 70

5. Conclusiones. 81 5.1. Perspectivas del trabajo. . . 82

Ap´endice A 89

Ap´endice B 97

Ap´endice C 105

Ap´endice D 113

(11)

´ Indice de figuras

1. Proceso a controlar . . . xvii

1.1. Sistema con retardo en el lazo directo SRD . . . 4

1.2. Retroalimentaci´on est´atica de salida para un sistema con retardo . . . 4

1.3. Sistema con reciclo retardo en el lazo directo y en el lazo de retroalimentación. 7 1.4. Retroalimentación estática de salida para un sistema con retardo de tiempo en el lazo de directo y el el lazo de reciclo . . . 7

2.1. Comparación de la aproximación de Padé y la serie de Taylor . . . 10

2.2. Diagrama a bloques del t´ermino del retardo e⁻^{τ s} . . . 12

2.3. Controlador anal´ogico de dos grados de libertad . . . 13

2.4. Controlador anal´ogico de dos grados de libertad con perturbaci´on q (t) . . . 14

2.5. Esquema de control anal´ogico para el Caso 1. . . 18

2.6. Esquema de control anal´ogico para el Caso 2. . . 18

2.7. Controlador anal´ogico de dos grados de libertad aplicado a SRD . . . 20

2.8. Controlador anal´ogico de dos grados de libertad para el Ejemplo 1. . . 24

2.9. Respuesta de salida del sistema (2.23). . . 24

2.12. Diagrama a bloques de un sistema con reciclo retardado en el lazo directo y en el de retroalimentaci´on . . . 27

2.13. Controlador anal´ogico de dos grados de libertad aplicado a SRRDR . . . . 28

2.14. Respuesta de salida para el sistema (2.32). . . 30

3.1. Controlador digital de dos grados de libertad. . . 37

3.2. Controlador digital de dos grados de libertad con perturbaci´on q (t) . . . 38

3.3. Esquema de control digital para el Caso 1. . . 41

3.4. Esquema de control digital para el Caso 2. . . 42

3.5. Controlador digital de dos grados de libertad aplicado a SRD. . . 44

3.6. Respuesta de salida del sistema 3.16. . . 47

3.7. Respuesta de salida del sistema 3.22. . . 48

3.8. Respuesta de salida del sistema 3.23. . . 49 xi

(12)

3.9. Diagrama a bloques de un sistema con retardo en el lazo directo y en el lazo

de reciclo en digital . . . 50

3.10. Controlador digital de dos grados de libertad aplicado a SRRDR. . . 51

3.11. Respuesta de salida para el sistema 3.25. . . 53

3.12. Respuesta de salida para el sistema 3.26 . . . 54

3.13. Respuesta de salida del sistema 3.27 . . . 55

4.1. Tarjeta de adquisici´on de datos Sensoray Modelo 626 . . . 59

4.2. Respuesta de salida del sistema (4.1) con seguimiento de referencia. . . 62

4.3. Respuesta de salida del sistema (4.1) con diferentes seguimientos de referencia. 63 4.4. Respuesta de salida del sistema (4.1) ante una perturbaci´on. . . 64

4.7. Respuesta de salida del sistema (4.2) con variación paramétrica del retardo. 65 4.8. Respuesta de salida del sistema (4.3) con diferentes seguimientos de referencia. 66 4.9. Respuesta de salida del sistema (4.3) con diferentes seguimientos de referencia. 67 4.10. Respuesta de salida del sistema (4.3) ante una perturbación. . . 67

4.15. Respuesta de salida del sistema (4.6) con diferentes seguimientos de referencia. 71 4.16. Respuesta de salida del sistema (4.7) con diferentes seguimientos de referencia. 71 4.17. Respuesta de salida del sistema (4.7) ante una perturbaci´on. . . 72

4.20. Respuesta de salida del sistema (4.9) con diferentes seguimientos de referencia 74 4.21. Respuesta de salida del sistema (4.9) ante una perturbaci´on. . . 74

(13)

Resumen

En este trabajo se proponen dos nuevas metodolog´ıas de control, una en tiempo continuo y otra en tiempo discreto. Estas metodolog´ıas están enfocadas a tratar sistemas de cualquier orden, estables o inestables con retardo. Los tipos de sistemas a tratar son: Sistemas con Retardo en el lazo Directo SRD y Sistemas con Reciclo Retardados en el lazo Directo y en el lazo de Retroalimentación SRRDR. Los sistemas antes mencionados se estabilizan por medio de estas metodolog´ıas. Las estrategias de control propuestas permiten rechazar perturbación de tipo escalón y siguen una referencia tambén de tipo escalón. Esto se logra, utilizando herramientas de control analógico y digital para representar al retardo y aplicando la técnica de reubicación polinomial de polos. En la metodolog´ıa de control en tiempo continuo, se representa al término retardo por una aproximación de Padé para facilitar el análisis de estabilidad. En la metodolog´ıa de control en tiempo discreto, se realiza una representación discreta del término de retardo y del sistema con el mismo objetivo. Como resultado, cada una de las metodolog´ıas ofrece un controlador de dos grados de libertad. El esquema de estos controladores es fácil de implementar ya que están conformados solo por dos bloques. Estos controladores se sintonizan con un enfoque polinomial. Adicionalmente, se obtiene un programa computacional que permite obtener el valor de los coeficientes de los controladores para cada una de las metodolog´ıas. Con la finalidad de mostrar la efectividad de estas dos metodolog´ıas se muestran simulaciones numéricas y resultados experimentales.

xiii

(14)

(15)

Abstract

In this work two novel methodologies control are proposed, the first in continuous time and the second in discrete time. Such methodologies treat linear systems of any order, stable or unstable with time delay. The kinds of the systems for controlling are two: Systems with time delay at Direct Loop SRD and Systems with Recycle Delayed at Direct Loop and Feedback Loop, SRRDR. The systems before mentioned are stabilized by means these methodologies. The control strategies allow to rejecting step disturbances and following step references. This is achieved by using analogic and digital control tools in order to get a representation of the delay term and applying the polynomial technique for locate poles.

In the analogic strategy, the delay term is substituted by an approximation of Pad´e in order to analyze the stability easily. In discrete methodology, a discrete representation of the delay term and the free-delay model is obtained with the same idea. As result, each methodology provides a two freedom degree controller. The scheme control is easy to build because it has only two polynomial blocks. These controllers are tuning by means polynomial approach. Additionally, a computational program that allows calculating the coefficients of the controllers is provided for each methodology. Numerical simulations and experimental results are presented in order to show the effectiveness of the control strategies.

xv

(16)

(17)

Introducci´ on

La ingenier´ıa trata de comprender y controlar los materiales y las fuerzas de la naturaleza en beneficio de la humanidad. Por esta razón el control automático juega un papel importante en el avance de la ingenier´ıa y de la ciencia. El control de procesos resulta esencial en operaciones industriales por ejemplo, en el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de proceso; maquinado, manejo y armado de piezas mecánicas en la industria de fabricación. El desaf´ıo actual para la ingenier´ıa de control es lograr un buen funcionamiento de los sistemas dinámicos. Logrando mejorar la calidad de los procesos, acelerar el ritmo de producción, liberar de la complejidad a muchas rutinas, etc.

La teor´ıa de los sistemas lineales es el fundamento para el análisis de un sistema, que supone la relación causa y efecto de un proceso. Un proceso que vaya a ser controlado puede ser representado mediante un bloque tal como el de la Figura 1. Es decir, la relación entrada-salida representa la relación causa y efecto del proceso, que a su vez representa un procesamiento de la señal de entrada para proporcionar una señal de salida.

Antecedentes

A lo largo de los años se han propuesto diferentes estrategias de control que sirven como base para el funcionamiento de procesos actuales. En las primeras décadas del siglo XIX, los controladores de procesos utilizados en su mayor´ıa eran de tipo proporcional, debido a la simplicidad de la estructura. Posteriormente, surge el controlador PI para compensar dinámicas más complejas; y hasta fines de dicho siglo, aparece el controlador PID [1]. A principios de la segunda guerra mundial se publicaron las reglas de Ziegler y Nichols para el ajuste de los controladores en forma práctica [2]. En la actualidad métodos como el de Cohen y Coon, López, Kaya y Sheib, Sung, entre otros cumplen con la misma función [3].

Entre los a˜nos de 1920 y 1930, los laboratorios Bell, comenzaron a desarrollar el an´alisis en el dominio de la frecuencia, para describir funciones reales en el dominio del tiempo.

Algunos de los investigadores que destacaron en este campo fueron J. Fourier, P.S. Laplace

Figura 1: Proceso a controlar

xvii

(18)

y A.L. Cauchy.

En 1927, H.S. Black demostró la utilidad de la retroalimentación negativa para reducir la distorsión de los repetidores. En el año de 1932, Nyquist desarrolla un criterio de estabilidad relativamente simple basado en la representación polar de una función compleja. El criterio de Nyquist determina la estabilidad de los sistemas de lazo cerrado teniendo como base la respuesta en lazo abierto con excitación senoidal en régimen permanente. En esta misma década (1938) H.W. Bode realiza estudios de respuesta en frecuencia e investiga la estabilidad en lazo cerrado empleando los conceptos de ganancia y margen de fase. Du- rante la década de los 40´s se utiliza esta estrategia para el análisis y diseño de sistemas de control de un solo lazo. Esta técnica se basa en el análisis de la función de transferencia de los sistemas dinámicos lineales, permitiendo realizar: el diseño de compensadores (adelanto, atraso y atraso-adelanto), el estudio de estabilidad y la obtención de funciones de transferencia de manera práctica. Una vez que la técnica de respuesta en frecuencia comenzó a utilizarse, los sistemas empezaron a clasificarse en función de la ubicación de sus polos en el plano s. Al final de esta década y hasta los primeros años de la siguiente, W.R.

Evans [4] desarrolla el método del lugar geométrico de las ra´ıces, que permite determinar de modo directo la localización de los polos de un sistema en lazo cerrado sobre el plano s.

Es importante mencionar que los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar geométrico de las ra´ıces son la parte esencial de la teor´ıa de Control Clásico.

También durante 1950 J. R. Ragazzini, G. Franklin, E. I. Jury, B. C. Kuo, entre otros, desarrollan la teor´ıa sobre sistemas de datos muestreados. En este periodo surge la idea de emplear computadoras digitales para el control de procesos industriales. A mediados de este año, C.E. Shannon de los laboratorios Bell, revela la importancia de las técnicas basadas en el muestreo de datos para el procesamiento de las señales. En esta misma década, el control automático empieza a enfrentar un problema más complejo, sistemas con tiempo de retardo.

O. J. M. Smith [24] es uno de los primeros investigadores que plantea una posible solución a estos sistemas, por medio de un esquema de control para los sistemas una entrada-una salida. Aproximadamente en 1960, R. Kalman introduce el álgebra lineal y las matrices de modo que los sistemas con entradas y salidas múltiples pudieran ser tratados fácilmente.

En este periodo, se desarrolla la teor´ıa de Control Moderno, para afrontar la complejidad creciente de las plantas modernas, las necesidades de exactitud en aplicaciones de proceso y fabricación. La teor´ıa de Control Moderno requirió de herramientas para resolver las complicadas ecuaciones matriciales no lineales que se planteaban. Afortunadamente en esta década se realizaron grandes avances en el campo de la tecnolog´ıa digital. En 1958 se puso en marcha el primer sistema de control por computadora (sistema de control supervisor conectado a un conjunto de controladores analógicos). A finales de la década de los 60´s la tecnolog´ıa sobre las computadoras alcanzó la etapa de poder realizar Control Digital directo [5]. En 1970 gracias a las investigaciones de ˚Aström, entre otros, se establece la importancia del control digital en los procesos.

Las investigaciones anteriormente citadas son la base de la teor´ıa de control clásico y moderno. La teor´ıa de control que actualmente se utiliza combina las mejores caracter´ısticas de estas teor´ıas. Estas caracter´ısticas pueden ser utilizadas para enfrentar a los sistemas con tiempo de retardo. El tiempo de retardo es un fenómeno común en procesos industriales y se puede presentar en el estado y/o entrada/salida del proceso. Por ejemplo en las demoras por transporte de material, lazos de reciclo, por medición de las variables del sistema, por las

(19)

xix propiedades f´ısicas del equipo utilizado en el sistema, por cómputo, comunicación y tiempos de análisis provocan retardos en los lazos de control. El caso más simple de los sistemas con retardo, pero no fácil de resolver, son los sistemas con retardo en el lazo directo. Un caso más complicado, son los sistemas con retardo en el estado, debido a que estos sistemas consideran el retardo en alguna(s) dinámica(s) interna(s), lo que complica aún más el análisis de estabilidad. Un caso particular de los sistemas con retardo en el estado son los sistemas con reciclo.

En este trabajo se proponen dos nuevas metodolog´ıas de control una en tiempo continuo y la otra en tiempo discreto. En ambas se emplean una retroalimentación dinámica de salida. Estas dos metodolog´ıas se utilizan para controlar a los siguientes tipos de sistemas con retardo. El primer tipo de sistema son los Sistemas con tiempo de Retardo en el lazo Directo, que por simplicidad se les nombra como SRD. Al segundo tipo de sistemas a tratar se les nombra SRRDR, Sistemas con Reciclo Retardados en el lazo Directo y en el lazo de Retroalimentación. Ambas estrategias de control comprenden sistemas de cualquier orden y sus controladores son sintonizados mediante un enfoque polinomial.

La primera metodolog´ıa de control se propone en tiempo continuo. En esta propuesta se considera una aproximación de Padé para representar al término de retardo, con la finalidad de obtener una función de transferencia sin términos trascendentales. Posteriormente, se utiliza un enfoque polinomial para sintonizar a los controladores dinámicos.

La segunda metodolog´ıa de control se propone en tiempo discreto. En esta estrategia el retardo es representado como retardos unitarios, es decir, como múltiplos del periodo de muestreo T = _n^τ (donde τ es el tiempo de reatrdo y n un número entero), al considerar una representación discreta de las dinámicas internas de los sistemas. De esta manera, se obtienen funciones racionales en el dominio de la variable compleja z para la sintonización de los controladores.

Ambas metodolog´ıas, se aplican a los sistemas SRD y SRRDR anteriormente definidos.

Además, se presentan los programas computacionales que permiten realizar los cálculos para la aplicación de la estrategia polinomial.

El objetivo principal del trabajo es que por medio de estas metodolog´ıas, los sistemas antes mencionados: se estabilicen, rechacen perturbación de tipo escalón y sigan una referencia también de tipo escalón. Esto se logra, utilizando herramientas de control analógico y digital para representar al retardo; y aplicando la técnica de reubicación polinomial de polos [6], la cual está basada en una retroalimentación dinámica, asumiendo que solo la señal de salida, es la única variable medible.

Este trabajo está organizado de la siguiente manera. En el Cap´ıtulo 1, se presenta el estado del arte, citando trabajos existentes en la literatura sobre el control de sistemas con retardo en el lazo directo (SRD). También se citan trabajos que tratan sistemas con retardo en el lazo directo y en el de reciclo. Además para cada uno de los sistemas se presenta el planteamiento del problema. Finalmente, se presenta los objetivos espec´ıficos del trabajo.

En el Cap´ıtulo 2 se plantea la metodolog´ıa en tiempo continuo, usando como herramienta la aproximación de Padé. Esto, con el fin de obtener una función de transferencia polinomial que incluya al término de retardo. El controlador se sintoniza por medio de un enfoque polinomial. Esta metodolog´ıa de control analógica se utiliza para tratar sistemas lineales, invariantes en tiempo, de cualquier orden, estables o inestables, ya sean estos de tipo SRD

´

o SRRDR. Adicionalmente, se presentan simulaciones num´ericas para ilustrar la efectividad

(20)

de la estrategia en cada uno de los casos.

En el Cap´ıtulo 3 se plantea la metodolog´ıa en tiempo discreto, usando como herramientas retardos unitarios (múltiplos del periodo de muestreo T = ^τ_n), al considerar una repre- sentacin discreta de las dinámicas de los sistemas; también se utiliza un enfoque polinomial para la sintonización del controlador. As´ı mismo, se muestra la efectividad de la estrategia por medio de simulaciones numéricas. Esta metodolog´ıa de control digital es aplicada tanto a los sistemas de tipo SRD y SRRDR.

En el Cap´ıtulo 4, se presentan las caracter´ısticas del hardware y del software de la tarjeta de adquisici´on de datos Sensoray Modelo 626. Esta tarjeta se utiliza para obtener resultados experimentales de las dos metodolog´ıas propuestas de control digital y anal´ogico aplicadas a sistemas del tipo SRD y SRRDR.

Finalmente en el Cap´ıtulo 5 se dan las conclusiones y perspectivas del trabajo.

(21)

Cap´ıtulo 1

Estado del arte

1.1. Sistemas con Retardo en lazo Directo, SRD.

Una rama de estudio importante del control automático son los sistemas con tiempo de retardo en el lazo directo (SRD). Los retardos se presentan en la entrada o salida del proceso y ocurren frecuentemente en el transporte de material o de información. Algunos ejemplos de sistemas que presentan tiempo de retardo son los sistemas de comunicación [7]-[14], sistemas de transportación, procesos qu´ımicos, de manufactura, de metalurgia y biotecnológicos [15],[16]. Los retardos en el lazo de control son provocados por las demoras en el transporte, lazos de reciclo, por medición, por cómputo, comunicación, etc. Como es bien sabido, en la práctica el desempeño de un controlador puede ser seriamente afectado (i.e., tiempos de operación, sobreimpulsos, etc.), si el proceso tiene un retardo de tiempo relativamente grande en comparación con la constante de tiempo del sistema [17],[18]. A diferencia de los procesos sin retardo, la presencia de un retardo de tiempo complica el análisis e incrementa la dificultad para obtener un controlador [19],[20].

Estudios anteriores han mostrado que es posible utilizar un retardo para reducir modelos de alto orden. Esto es, los sistemas de alto orden se representan por un modelo de bajo orden acompa˜nado con un retardo [21]. En la literatura se encuentran trabajos como el de Skogestad [21], Seshagiri et. al.[22] y Seshagiri et. al. [23] enfocados a dise˜nar estrategias de control para sistemas de primer o segundo orden con retardo.

En 1957, O. J. M. Smith presentó un esquema de control para los sistemas de una entrada-una salida (SISO Single-Input Single-Output), el cual tiene la caracter´ıstica de mejorar el control de los lazos con retardo [24]. Este esquema es conocido como el Predic- tor de Smith (PS) o Compensador de tiempo muerto (DTC). Sin embargo, para procesos inestables con retardo, el PS original es inestable [25]. Por ésta razón, se han propuesto diversas modificaciones al PS para tratar sistemas inestables con retardo. Entre ellas, se encuentra el trabajo de ˚Aström, el cual presenta una modificación al PS para un Proceso Integrador con Retardo (IPDT) logrando un ajuste rápido de la respuesta de salida con la señal de referencia y un buen desempeño en el rechazo de perturbación [26]. Matausek y Mi- cic consideran el mismo problema, pero con un esquema más fácil de sintonizar obteniendo resultados similares [27].

Majhi y Atherton proponen una modificaci´on al PS y el resultado es un esquema de control sencillo para procesos IPDT (Proceso Integrador con Retardo), FOPDT (First Or-

1

(22)

der Plus Time Delay) y sistemas SOPTD (Second Order Plus Time Delay) [28]. En dicho esquema se utiliza un lazo de retroalimentación interior para la parte libre del retardo y la misma cantidad de señal se env´ıa al proceso para estabilizarlo. Además en este esquema se propone un controlador PI convencional y controladores de retroalimentación de tipo P o PD dependiendo del orden del proceso. Posteriormente, Majhi y Artherton con la misma estructura de control muestran mejores resultados significativos en su capacidad de respuesta a la entrada de referencia, rechazo de perturbación y un procedimiento de sintonización más sencillo para los procesos IPDT, FOPDT y SOPTD [29]. Palmor y Blau [30] desarrollaron un algoritmo automático para el PS con retardo usando un modelo de primer orden con retardo grande para algunas plantas estables. El algoritmo estima dos puntos de la curva de Nyquist del proceso a través de ciclos l´ımite generados automáticamente. Estos puntos se usan en un procedimiento de m´ınimos cuadrados para estimar los parámetros del modelo. Majhi y Athernon [29] proponen también un método de autosintonización para el PS modificado reportado en [28].

Recientemente, Lu et. al. [31] proponen un esquema de control con cuatro controladores para sintonizar separadamente el seguimiento de la referencia y el rechazo de perturbaci´on.

En este mismo año, Liu et. al. [32] propone una modificación al PS con tres controladores, en la cual el seguimiento es independiente del rechazo de perturbación. Posteriormente, Liu et. al. [33] generaliza el método propuesto por Liu et. al. [32] para sistemas inestables de primer orden con retardo, con el diseño anal´ıtico de controladores. El diseño tiene dos parámetros de sintonización para lograr un buen seguimiento de referencia y el rechazo de perturbación. Actualmente Seshagiri et. al [22] presentan una modificación al PS, basado en el esquema propuesto por ˚Aström et. al. [26] para procesos integrales.

Otros enfoques utilizados para controlar a los procesos con retardo utilizan controladores Proporcional-Integral (PI) o Proporcional-Integral-Derivativo (PID) y están basados en una estructura por retroalimentación unitaria para los procesos integrales e inestables con retardo [34]-[42]. Los controladores PI y PID proporcionan un buen desempeño en la respuesta de control, cuando el tiempo de retardo es relativamente pequeño en comparación con la constante de tiempo del sistema. Cuando el retardo es grande la respuesta a la referencia tiende a ser acompañada por un sobreimpulso excesivo y por un largo tiempo de establecimiento [32].

El control tradicional PID puede ser visto como un controlador con una simple estructura de predicción inducida por la parte derivativa. Esta propiedad de compensación derivativa ha sido explotada con el propósito de mejorar las estrategias autosintonización [43]. Luyben [19] también ha destacado la ventaja del uso de la compensación derivativa para reducir los diversos efectos de los retardos en la entrada de control. Además, ha mostrado a través de simulaciones numéricas, que el control PID puede desempeñar un mejor comportamiento, en comparación con un control PI, con una medición aceptable a la sensibilidad del rui- do. La principal conclusión de los resultados anteriores es que, se requieren controladores de orden superior para obtener un buen comportamiento de los sistemas de control (i.e., mayor rapidez de convergencia y un rápido rechazo de perturbaciones) cuando los retardos de tiempo están presentes. Luyben [19] muestra que el uso de un control derivativo mejora el rendimiento de control en los aspectos antes mencionados. Nótese que en un sentido estricto, la acción derivativa incrementa el orden de control en una unidad. Sub- secuentemente, el PID es un controlador que está equipado con un control integral para

(23)

1.1. SISTEMAS CON RETARDO EN LAZO DIRECTO, SRD. 3 mejorar el desempeño en términos de seguimiento de trayectoria. Como se discutió anteriormente, la retroalimentación derivativa puede ser vista como una aproximación inversa para el operador de retardo [44]. Por otro lado, como es posible ver, cuando los retardos están presentes, se requieren controladores de orden superior para obtener un buen comportamiento de los sistemas de control (i.e, mayor tasa de convergencia y un rápido rechazo de perturbaciones). Con los avances computacionales, es posible diseñar controladores de alto orden con sistemas FPGA’s para tratar sistemas invariantes en tiempo. Estos controladores proporcionan resultados satisfactorios en términos de estabilidad y variación de algunos parámetros [52].

Otra herramienta comúnmente utilizada para controlar los sistemas con tiempo de retardo son los métodos de aproximación, entre los más destacados se encuentran: el método de momentos [45], la serie de Taylor [46] y la aproximación de Padé [47]. Estudios anteriores muestran que es erróneo calcular matemáticamente las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica del sistema sustituyendo el término de retardo por una serie de Taylor. Esto es, por que la serie de Taylor tiene un problema de truncamiento (conforme se aumenta el orden de la serie aparecen ra´ıces en el semiplano derecho indicando inestabilidad), por esta razón la serie de Taylor utiliza solo los dos primeros términos [48]. La aproximación de Padé al igual que la serie de Taylor también envuelve el problema de truncamiento, sin embargo, tiene como ventaja que la función de transferencia que se obtiene en frecuencia es del módulo correspondiente al retardo, por eso la aproximación de Padé es cada vez más utilizada en la solución de problemas prácticos [49].

Otra propuesta para el control de sistemas con retardo, es considerar una representación en tiempo discreto [50] y [51]. El método consiste en obtener una función de transferencia sin términos trascendetales, para lograr este fin, el retardo es expresado como un múltiplo del periodo de muestreo. Por lo que T = _n^τ, donde τ es el tiempo de retardo y n es un número entero. Además, nótese que al utilizar una representación discreta del sistema analógico se obtienen funciones racionales en el dominio de la variable compleja z, con una ecuación caracter´ıstica con un número finito de ra´ıces y sin ningún término trascendental.

Los trabajos anteriormente citados tienen un mismo objetivo en común, preservar la estabilidad del sistema aún cuando los sistemas en lazo abierto sean estables o inestables con retardo en el lazo directo. En este trabajo se proponen dos nuevas metodolog´ıas de control una en tiempo continuo y la otra en tiempo discreto. Ambas a través de una retroali- mentación dinámica de salida para tratar sistemas estables o inestables del tipo SRD.

Estas metodolog´ıas ser´an descritas posteriormente. En la siguiente Secci´on se presenta el planteamiento del problema para los sistemas con retardo en el lazo directo.

1.1.1. Planteamiento del problema para SRD

En esta Sección se presenta el planteamiento del problema para clase de sistemas que envuelven tiempo de retardo en el lazo directo. Nótese que el retardo se puede considerar a la entrada o a la salida. Esto se puede comprender al tomar en cuenta que la función de transferencia entrada-salida es la misma en ambos casos. Considere la siguiente clase de sistemas lineales SISO (posiblemente inestables) con retardo de tiempo en la entrada,

˙¯x(t) = A¯¯x(t) + ¯Bu(t − τ )

y(t) = C ¯¯x(t) , (1.1)

(24)

Figura 1.1: Sistema con retardo en el lazo directo SRD

Figura 1.2: Retroalimentaci´on est´atica de salida para un sistema con retardo

donde ¯x ∈ Rⁿ es el vector de estado, u ∈ R es la entrada, y ∈ R es la salida, y τ ≥ 0 es el retardo de tiempo asociado a la señal de entrada. ¯A ∈ R^n×n, ¯B ∈ R^n×1 y ¯C ∈ R^1×n son matrices y vectores del sistema que se suponen conocidos. La representación entrada- salida del sistema (1.1) puede ser obtenida aplicando la transformada de Laplace a la misma ecuación. Esto conduce a la siguiente expresión,

s ¯X(s) = A ¯¯X(s) + ¯Be⁻^{τ s}U (s) Y (s) = C ¯¯X(s). , la cual puede ser reescrita como,

Y(s)

U(s) = C¯

sI − ¯A⁻1Be¯ ⁻^{τ s}

= _M(s)^N(s)e⁻^{τ s} = G(s)e⁻^{τ s} , (1.2) donde N (s) y M (s) son polinomios de la variable compleja s. El sistema con retardo en funci´on de transferencia es presentado en la Figura 1.1.

Obsérvese que una estrategia de control simple, por retroalimentación estática de salida del tipo,

U (s) = [R(s) − Y (s)]F,

conduce a la siguiente funci´on de transferencia de lazo cerrado, Y (s)

R(s) = F G(s)e⁻^{τ s} 1 + F G(s)e⁻^{τ s}.

Donde el término retardo (e⁻^{τ s}) en el denominador complica el análisis de estabilidad del sistema, debido a que dicho término aporta un número infinito de ra´ıces. Por esta razón, el diseño de controladores para este tipo de sistemas no es una tarea trivial.

(25)

1.2. SISTEMAS CON RECICLO, SRRDR. 5

1.2. Sistemas con Reciclo, SRRDR.

Por otro lado, otra rama de estudio del control automático más complicada que el análisis de sistemas con retardo en el lazo directo, es el caso de los sistemas con retardo en el estado.

La caracter´ıstica principal de estos sistemas es que se consideran retardos en alguna(s) din´amica(s) interna(s), lo que complica considerablemente el an´alisis de estabilidad. Un caso particular de los sistemas con retardo en el estado son los sistemas con reciclo. Los sistemas con reciclo son aquellos sistemas en los cuales cierta materia o energ´ıa es recupe- rada para utilizarse nuevamente como una entrada adicional a la entrada de dicho sistema.

Adem´as, los sistemas con reciclo a´un sin retardo de transporte, presentan caracter´ısticas que los hacen particularmente dif´ıciles de controlar [53]. Por ejemplo, efectos como el llamado

”bola de nieve”se producen fácilmente en estos sistemas, cuando pequeñas variaciones en la alimentación producen un incremento considerable en el flujo de reciclo. Algunos sistemas con reciclo también presentan el fenómeno de retardo en el lazo de reciclo e incluso en el lazo directo del sistema. En algunos casos, se generan inestabilidades en la respuesta del sistema en lazo cerrado aun tratándose de sistemas estables antes de cerrar el lazo de reflujo.

As´ı mismo, es com´un encontrar perturbaciones actuando en los procesos industriales.

Los sistemas lineales invariantes en tiempo que presentan retardos de tiempo tanto en la señal de entrada como en el estado, han sido abordados ampliamente desde diferentes perspectivas [18]. En la literatura se han reportado los aspectos fundamentales del fenómeno de reciclo. Denn y Lavie [54] mostraron que el reciclo es equivalente a una retroalimentación positiva. Kapoor et. al. [55] estudio los efectos del retardo en el lazo de reciclo y demostró como el reciclo afecta la constante de tiempo de las columnas de destilación. Luyben [53]

mostró que al cambiar la ganancia del reciclo (independientemente de otros parámetros del sistema), la respuesta en lazo abierto del sistema puede ser lenta, presentar oscilaciones e incluso inestabilidad. Morud y Skogestad [56] analizaron el efecto del material reciclado y la integración del calor en las dinámicas del proceso global.

Una metodolog´ıa de control digital a través de una retroalimentación dinámica de salida propuesta por B. del Muro y M. Velasco [57] para el control de sistemas con reciclo, está basada en el diseño de un controlador de un grado de libertad, con el cual, aseguran el rechazo de perturbación de tipo escalón. En el trabajo anteriormente mencionado, se obtiene un modelo discreto aproximado. Debido a que la obtención de un modelo discreto exacto no es posible en el caso de sistemas con retardos tanto en la señal de entrada, como en los estados. Para la obtención de un modelo discreto exacto se requiere conocer la matriz fundamental [58], la cual no es posible conocer para la clase de sistemas lineales invariantes en tiempo que presentan retardos de tiempo tanto en la señal de entrada como en el estado [59]. Otra metodolog´ıa de control digital propuesta por B. del Muro et. al.

[60], está basada en una retroalimentación estática de salida. Esta metodolog´ıa consiste en discretizar independientemente el lazo directo y el lazo de reciclo. As´ı, obtiene la función de transferencia del sistema en lazo cerrado. A partir de este modelo aproximado utiliza el lugar geométrico de las ra´ıces para obtener la región de estabilidad del modelo. Además, también consideran un controlador del tipo Proporcional-Integral-Derivativo para el rechazo de perturbación y seguimiento de referencia de tipo escalón.

Los trabajos anteriormente mencionados tienen un objetivo en com´un, preservar la estabilidad de los sistemas estable o inestable, del tipo SRRDR. Con este mismo prop´osito,

(26)

se proponen dos nuevas metodolog´ıas de control (una en tiempo continuo y la otra en tiempo discreto) a través de una retroalimentación dinámica de salida. Las metodolog´ıas antes mencionadas se describen posteriormente. A continuación se describe el planteamiento del problema para los SRRDR.

1.2.1. Planteamiento del problema para SRRDR

Esta Sección presenta la clase de sistemas con reciclo que envuelven retardos de tiempo tanto en el lazo directo como en el de retroalimentación. Considere la clase de sistemas lineales e invariantes en el tiempo que se muestra a continuación,

˙¯

x(t) = A¯¯x(t) + ¯A₁x(t − h)¯ + ¯Bu(t) + ¯B₁u(t − τ ) y(t) = C ¯¯x(t)

, (1.3)

donde h ≥ 0 es un retardo de tiempo asociado al estado y τ ≥ 0 es un retardo de tiempo asociado a la entrada. El vector de estado es ¯x ∈ Rⁿ, la entrada u ∈ R, y la salida y ∈ R.

Finalmente, ¯A, ¯A1 ∈ R^n×n, ¯B, ¯B1 ∈ R^n×1 y ¯C ∈ R^1×n son matrices y vectores del sistema que se suponen conocidos. Por simplicidad, se considerará un sistema SISO. La función de transferencia clásica del sistema (1.3) se obtiene mediante la aplicación directa de la transformada de Laplace, lo cual produce a la siguiente expresión,

sX(s) =

A + ¯¯ A₁e⁻^hs X (s) + ¯B + ¯B₁e⁻^{τ s}

U (s), Y (s) = ¯CX (s) de donde es posible obtener,

Y(s) U(s) = ¯C

sI − ¯A + ¯A₁e⁻^hs⁻1 B + ¯¯ B₁e⁻^{τ s}

= Gh,τ(s) . (1.4) La función de transferencia (1.4) puede escribirse en términos de quasipolinomios en la variable s. Donde el término Gh,τ(s) incluye el retardo asociado a la entrada (τ ≥ 0) y retardo asociado al estado (h ≥ 0) . Este sistema es representado en la Figura 1.3.

En particular se tiene la caracter´ıstica de contar con un número infinito de polos, los cuales están dados por la solución de la ecuación caracter´ıstica,

det sI −

A + ¯¯ A1e⁻^hs

= 0.

Esta propiedad hace que una estrategia de control por retroalimentaci´on est´atica de la salida de tipo,

U (s) = [R (s) − Y (s)] F,

no sea una t´ecnica posible de utilizar, debido a que conduce a la siguiente funci´on de transferencia de lazo cerrado,

Y (s)

U (s) = F G_h,τ(s) 1 + F Gh,τ(s),

donde G_h,τ(s) en la ecuación caracter´ıstica aporta un número infinito de polos. El diseño de controladores para este tipo de sistemas no es una tarea fácil.

(27)

1.2. SISTEMAS CON RECICLO, SRRDR. 7

Figura 1.3: Sistema con reciclo retardo en el lazo directo y en el lazo de retroalimentaci´on.

Figura 1.4: Retroalimentaci´on est´atica de salida para un sistema con retardo de tiempo en el lazo de directo y el el lazo de reciclo

(28)

1.3. Objetivo del trabajo.

El objetivo de este trabajo es proponer dos nuevas metodolog´ıas de control, una en tiempo continuo y otra en tiempo discreto. Estas metodolog´ıas estar´an enfocadas a tratar sistemas de cualquier orden, estables o inestables y a los siguientes tipos de sistemas con retardo. El primer tipo de sistema son los Sistemas con Retardo en el lazo Directo SRD.

El segundo tipo de sistema son Sistemas con Reciclo Retardados en el lazo Directo y en el lazo de Retroalimentación SRRDR. En la metodolog´ıa de control en tiempo continuo, se representa al término retardo por una aproximación de Padé para facilitar el análisis de estabilidad. En la metodolog´ıa de control en tiempo discreto, el término de retardo se representa como retardos unitarios (múltiplos del periodo de muestreo T = ^τ_n), al considerar una representación discreta de las dinámicas de los sistemas a tratar. Cada una de las metodolog´ıas ofrece un controlador de dos grados de libertad. El esquema de estos controladores es simple y fácil de implementar ya que están conformados solo por dos bloques. Estos controladores se sintonizan con un enfoque polinomial. Adicionalmente, se obtiene un programa computacional que permite obtener el valor de los coeficientes de los controladores para cada una de las metodolog´ıas. En ambas estrategias de control se abordan los problemas de seguimiento de referencia tipo escalón y rechazo de perturbación también de tipo escalón.

(29)

Cap´ıtulo 2

Metodolog´ıa de control anal´ ogica.

2.1. Introducci´ on

La motivaci´on de estudiar nuevas metodolog´ıas de control para los SRD y SRRDR, est´a basada en la existencia de tiempos de retardo tiempo que se encuentran inmersos dentro de los procesos industriales y de comunicaciones [7]-[16]. Estos tiempos de retardo en muchos casos son los responsables de inestabilidades en los sistemas de control en lazo cerrado.

En este Cap´ıtulo se considera un control en tiempo continuo para sistemas de cualquier orden, estables o inestables, del tipo SRD (ya sea a la entrada o la salida) y para SRRDR.

Se propone una nueva metodolog´ıa de control analógica a través de una retroalimentación dinámica de salida. Para este propósito, primero se considera una aproximación de Padé para representar al término de retardo, con el objetivo de obtener una función de transferencia sin términos trascendentales. Posteriormente, se utiliza un enfoque polinomial para sintonizar al controlador analógico de dos grados de libertad. Finalmente, se presentan algunos resultados relacionados con los problemas de rechazo de perturbación y el seguimiento de referencias de tipo escalón. Se utilizan simulaciones numéricas para ilustrar la efectividad de la estrategia de control.

Este Cap´ıtulo está organizado de la siguiente manera, en la Sección 2.2 se muestra por que se utiliza la aproximación de Padé en lugar de la serie se Taylor y se desarrolla la representación en función de transferencia de la aproximación de Padé. En la Sección 2.3 se presenta el diseño del controlador analógico de dos grados de libertad. En la Sección 2.4 se plantea la metodolog´ıa de control analógica para los SRD, los resultados son mostrados a través de simulaciones numéricas. En la Sección 2.5 se plantea la metodolog´ıa de control analógica para los SRRDR, el desempeño de la metodolog´ıa se muestra a través de simulaciones numéricas. Finalmente en la Sección 2.6 se dan las conclusiones del Cap´ıtulo acerca de las metodolog´ıas de control en tiempo continuo para los SRD y SRRDR.

2.2. Representaci´ on de la aproximaci´ on de Pad´ e

Como se mencionó anteriormente la herramienta usualmente utilizada para tratar sistemas con retardo de tiempo son los métodos de aproximación del retardo, entre los más

9

(30)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Tiempo

Salida

y₁ y₂ y₃

Figura 2.1: Comparación de la aproximación de Padé y la serie de Taylor

destacados se encuentran: el método de momentos [45], la serie de Taylor [46] y la aproxi- mación de Padé [47]. A continuación se presenta la comparación entre la aproximación de Padé y la serie de Taylor a través de aproximaciones de primer orden.

Para comparar tales aproximaciones se considera un sistema de primer orden estable y con retardo τ = 1, cuya funci´on de transferencia es,

Y (s) U (s) = 1

s + 1e⁻^{τ s}.

La aproximación de Padé de primer orden y la serie de Taylor también de primer orden están descritas por las ecuaciones (2.1) y (2.2), respectivamente.

e⁻^{τ s}≈ ^N_D¹1^(s)(s) =

2 τ−s

2

τ+s = ⁻_s+2^s+2, (2.1)

e⁻^{τ s}≈ _τ+s¹ = _s+1¹ . (2.2)

En la Figura 2.1 se muestra el desempeño de los métodos descritos ante un escalón unitario en lazo abierto. La respuesta y₁, es la salida del sistema con el retardo original. La respuesta y2, es derivada de una aproximación de Padé de primer orden. La respuesta y3

corresponde a la serie de Taylor de primer orden. Como se puede observar la serie de Taylor no presenta similitud con el sistema original en estado transitorio, solo hasta que encuentra su establecimiento en el estado permanente. Sin embargo, la aproximación de Padé var´ıa solo en los dos primeros segundos del estado transitorio en comparación con el sistema original, pero este problema puede ser mejorado al aumentar el orden de la aproximación.

Por lo tanto, se elige utilizar la aproximaci´on de Pad´e para la metodolog´ıa de control en tiempo continuo.

En 1899 el trabajo original de Padé es inicialmente relacionado con una expansión fraccionaria continua para la función exponencial. Donde, el polinomio del numerador Nn(s) y el polinomio del denominador Mn(s) tienen el mismo orden. Por lo tanto, la aproximación de Padé para el termino e⁻^{τ s}, esta dada por,

(31)

2.2. REPRESENTACI ÓN DE LA APROXIMACI ÓN DE PAD É 11

e⁻^{τ s} ≈ N_n(s)

Mn(s), (2.3)

donde,

Nn(s) = Xn k=0

(2n − k)!

k!(n − k)!(−sτ )^k, Mn(s) =

Xn k=0

(2n − k)!

k!(n − k)!(sτ )^k.

En la expresión anterior, n representa el orden de la aproximación de Padé y la constante k toma los valores de k = 0, 1, 2, .., n . Desarrollando la serie del denominador se encuentra que,

Mn(s) = (2n − 0)!

0!(n − 0)!(sτ )⁰+ (2n − 1)!

1!(n − 1)!(sτ )¹+ (2n − 2)!

2!(n − 2)!(sτ )²+ ...(2n − n)!

n!(n − n)!(sτ )ⁿ. Multiplicando la ecuaci´on anterior por el t´ermino 1/τⁿ , se tiene que,

τ⁻ⁿMn(s) = (2n − 0)!

0!(n − 0)!

s⁰

τⁿ⁻⁰ + (2n − 1)!

1!(n − 1)!

s¹

τⁿ⁻¹ + ...(2n − n)!

n!(n − n)!

sⁿ τⁿ⁻ⁿ. Escribiendo en forma compacta la serie anterior,

τ⁻ⁿM_n(s) = Xn k=0

(2n − k)!

k!(n − k)!

s^k τ^n−k.

Siguiendo el procedimiento anterior, el polinomio del numerador se puede reescribir como,

τ⁻ⁿNn(s) = Xn k=0

(2n − k)!

k!(n − k)!

(−s)^k τ^n−k .

La aproximación de Padé para el término se puede escribir de la siguiente forma,

e⁻^{τ s}≈ τ⁻ⁿNn(s) τ⁻ⁿMn(s) =

Pn k=0

(2n−k)!

k!(n−k)!τⁿ⁻^k(−s)^k Pn

k=0

(2n−k)!

k!(n−k)!τⁿ⁻^k(s)^k

Finalmente, el t´ermino e⁻^{τ s} puede ser escrito como una funci´on de transferencia general de orden n, dada por,

e⁻^{τ s}= Pn k=0

an−k(−sτ )^k Pn

k=0

a_n−k(sτ )^k

. (2.4)

Los coeficientes del polinomio del numerador y del denominador pueden ser expresados como,

a_n−k = (2n − k)!

k!(n − k)!

1

τ^n−k. (2.5)

(32)

Figura 2.2: Diagrama a bloques del t´ermino del retardo e⁻^{τ s}

Ejemplo 2.1 A continuación se desarrolla la aproximación de Padé de tercer y sexto orden a partir de las ecuaciones (2.4) y (2.5),

e⁻^{τ s}≈ N3(s) M₃(s) =

120

τ³ −⁶⁰_τ2s +⁶⁰_τ s²− s³

120

τ³ +⁶⁰_τ2s +⁶⁰_τ s²+ s³, e⁻^{τ s}≈ N6(s)

M₆(s) =

665280

τ⁶ −³³²⁶⁴⁰_τ5 s +⁷⁵⁶⁰⁰_τ4 s²− ¹⁰⁰⁸⁰_τ3 s³+ ⁸⁴⁰_τ2 s⁴−⁸⁴⁰_τ s⁵+ s⁶

665280

τ⁶ −³³²⁶⁴⁰_τ5 s +⁷⁵⁶⁰⁰_τ4 s²− ¹⁰⁰⁸⁰_τ3 s³+ ⁸⁴⁰_τ2 s⁴−⁸⁴⁰_τ s⁵+ s⁶.

Con la finalidad de obtener una función de transferencia polinomial del término de retardo a partir de la aproximación de Padé, considere un sistema en el cual la salida esta dada como H(s) = e⁻^{τ s}W (s). En la Figura 2.2 se ilustra la función de transferencia del retardo.

Ahora, note que si el orden de la aproximación de Padé es de valor par, la función de transferencia en la variable compleja s, se expresa por,

e⁻^{τ s}≈ H (s)

W (s) ≈ sⁿ− a₁sⁿ⁻¹+ ... − a_n−1s + an

sⁿ+ a₁sⁿ⁻¹+ ... + a_n−1s + a_n ≈ P (s), (2.6) donde el coeficiente a₀ tiene un valor unitario. Por otro lado, si el orden de la aproximación de Padé es impar, la función de transferencia es,

e⁻^{τ s}≈ H (s)

W (s) ≈ −sⁿ+ a₁sⁿ⁻¹− ... − a_n−1s + an

sⁿ+ a₁sⁿ⁻¹+ ... + a_n−1s + an ≈ P (s). (2.7) Las funciones de transferencia par e impar (2.6), (2.7) muestran la relación que existe en H (s) = W (−s), donde los ceros, localizados en el lado derecho del plano s y polos, localizados en el lado izquierdo del plano s, son simétricos. De esta manera se ha encontrado una representación del término de retardo e⁻^{τ s}, completamente polinomial. En la siguiente Sección se presenta el diseño del controlador analógico de dos grados de libertad en tiempo continuo. Este controlador analógico es parte de la metodolog´ıa de control en tiempo continua para tratar SRD y SRRDR.

2.3. Control de dos grados de libertad: enfoque polinomial.

En esta Sección se describe el procedimiento general para el diseño del controlador de dos grados de libertad en tiempo continuo, mediante un enfoque polinomial. Posteriormente este diseño se aplica a sistemas del tipo SRD y SRRDR.

Se considera el siguiente modelo del proceso,

Y (s) = ^B(s)_A(s)U (s) , (2.8)

(33)

2.3. CONTROL DE DOS GRADOS DE LIBERTAD: ENFOQUE POLINOMIAL. 13

Figura 2.3: Controlador anal´ogico de dos grados de libertad

donde B (s) y A (s) son polinomios de la variable compleja ”s”. U (s) y Y (s) son entrada y salida del proceso respectivamente. Y (s) se considera como medible.

Se supone que B (s) /A (s) es estrictamente propia, controlable y observable. El controlador polinomial puede ser representado como sigue,

U (s) = −^R(s)_S(s)Y (s) +^T_S(s)^(s)Yc(s) , (2.9) donde Yc(s) es la variable de entrada y Y (s) es la señal de salida. La Figura 2.3, muestra el esquema de control polinomial expresado en la ecuación (2.9). La función de transferencia de los controladores T (s) /S (s) y R (s) /S (s) son considerados estrictamente propios.

Sustituyendo la ley de control dada por la ecuaci´on (2.9) en la ecuaci´on (2.8), se obtiene, Y (s) =^B(s)_A(s)

−^R(s)_S(s)Y (s) +^T_S(s)^(s)Y_c(s) Y (s)

1 +^B(s)R(s)_A(s)S(s)

= ^{B(s)T (s)}_A(s)S(s)Yc(s) , finalmente, la funci´on de transferencia entrada-salida es,

Y(s)

Yc(s) = A(s)S(s)+B(s)R(s)^{B(s)T (s)} . (2.10) El polinomio caracter´ıstico inducido por el controlador es,

A (s) S (s) + B (s) R (s) = 0 . (2.11) Obsérvese que en la ecuación (2.11) se tiene la plena libertad de diseñar el controlador S (s) y R (s), de tal manera que los polos del sistema pueden ser reubicados libremente.

Para este fin, se iguala la ecuaci´on (2.11) con un polinomio caracter´ıstico deseado D (s) del mismo orden (normalmente estable).

D (s) = A (s) S (s) + B (s) R (s) . (2.12)

(34)

Figura 2.4: Controlador anal´ogico de dos grados de libertad con perturbaci´on q (t)

Nótese que D (s) es una parte importante para el diseño del controlador, ya que de él depende la estabilidad del sistema. Por esta razón, se sugiere reubicar los polos del lado derecho y sobre el eje real del plano complejo s. Los coeficientes de los polinomios S (s) y R (s) pueden ser calculados resolviendo un conjunto de ecuaciones algebraicas obtenidas al igualar los coeficientes de los polinomios del lado izquierdo y del lado derecho de la ecuación (2.12). Más adelante se proporcionan los detalles de la solución de las ecuaciones.

2.3.1. Rechazo de perturbaci´on de tipo escal´on

Para analizar el problema del rechazo de perturbaci´on, considere la entrada de control perturbada,

U (s) = −^R(s)_S(s)Y (s) + Q (s) , (2.13) la cual incluye una perturbación de tipo escalón Q (s) . Sustituyendo la ecuación (2.13) en (2.8), se obtiene,

Y (s) = ^B(s)_A(s)

−^R(s)_S(s)Y (s) + Q (s) Y (s)

1 +^B(s)R(s)_A(s)S(s)

= ^B(s)_A(s)Q (s) ,

por lo tanto, la funci´on de transferencia salida-perturbaci´on (Figura 2.4), esta dada por,

Y(s)

Q(s) = A(s)S(s)+B(s)R(s)^S(s)B(s) . (2.14) A continuaci´on se presenta un primer resultado que muestra el rechazo de perturbaci´on de la estrategia.

Lema 2.1 El esquema de control mostrado en la Figura 2.4 rechaza perturbaciones de tipo escal´on, si S (s) es,

S (s) = sC⁰(s) , (2.15)

(35)

2.3. CONTROL DE DOS GRADOS DE LIBERTAD: ENFOQUE POLINOMIAL. 15 donde s es el operador de integraci´on en el sistema de lazo cerrado y C⁰(s) es un nuevo polinomio con grado deg (S) − 1.

Demostración. A la salida Y (s) de la función de transferencia salida-perturbación dada por (2.14) se le aplica el teorema del valor final. Al aplicar el teorema del valor final se considera que la perturbación es de tipo escalón Q(s) = ^λ_s, de amplitud λ. Es claro, que la salida Y (s) de la función de transferencia salida-perturbación, debe ser nula en estado permanente. Si se propone la factorización del polinomio S (s), dada por (2.15), al aplicar el teorema del valor final,

t→∞l´ımy (t) = l´ım

s→0s

S (s) B (s) A (s) S (s) + B (s) R (s)

Q(s) (2.16)

= l´ım

s→0s

sC⁰(s) B (s) A (s) sC⁰(s) + B (s) R (s)

λ s

= 0

0 + B (s) R (s)λ = 0.

As´ı el l´ımite es igual a cero, es decir, la salida Y (s) de la función de transferencia salida-perturbación es nula en estado permanente. Por lo tanto, el sistema controlado puede rechazar perturbaciones de tipo escalón.

2.3.2. Seguimiento de referencias tipo escal´on

A continuaci´on se presenta un segundo resultado que muestra el seguimiento de referencia de la estrategia.

Lema 2.2 El esquema de control mostrado en la Figura 2.3 sigue referencia de tipo escal´on, si se elige T (s) tal que,

T (s) = R (0) . (2.17)

Demostración.A la salida Y (s) de la función de transferencia entrada-salida (2.10) se le aplica el teorema del valor final y se considera que la entrada es de tipo escalón Yc = ^β_s, de amplitud β. Nótese que, la salida Y (s) de la función de transferencia entrada-salida debe ser igual al valor de la constante β en estado permanente. Por lo tanto, si propone que T (s) cumpla la ecuación (2.17), entonces el l´ımite esta dado por,

t→∞l´ımy (t) = l´ım

s→0s

B (s) T (s) A (s) S (s) + B (s) R (s)

Y_c(s) (2.18)

= l´ım

s→0s

B (s) T (s)

A (s) sC⁰(s) + B (s) R (s)

β s

= B (s) T (s)

0 + B (s) R (s)β = B (s) T (s) B (s) R (s) = β.

As´ı, el sistema controlado sigue referencias de tipo escal´on. Adicionalmente observe que cuando s → 0, T (s) es igual al coeficiente rα de R (s), por lo tanto, T (s) tambi´en puede expresarse como,

T (s) = rα.

(36)

2.3.3. Grado de los controladores

Las condiciones en términos de grados de polinomios que satisfacen la ecuación (2.15) y (2.17), están dadas por,

deg (D) = 2 deg (A) + 1 D (s) = d₀s^2α+1+ d₁s^2α+ ... + d_2α+1

deg (R) = deg (A) R (s) = r₀s^α+ r₁s^α−1+ ... + rα

deg (S) = deg (A) + 1 S (s) = sC⁰(s)

S (s) = s s₀s^α+ s₁s^α−1+ ... + sα

S (s) = s₀s^α+1+ s₁s^α+ s₂s^α−1+ ... + s_αs

T (s) = rα

. (2.19)

N´otese que D (s), R (s), S (s) y T (s) van a depender del grado de A, es decir, deg (A) = α.

Los coeficientes de los polinomios se obtienen al resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas. A continuación se propone una metodolog´ıa para facilitar la solución de dicho sistema de ecuaciones que se plantea al aplicar la estrategia polinomial.

2.3.4. Alternativa para resolver un sistema de ecuaciones lineales

Una vez que se ha determinado el grado de los controladores, se resuelve el sistema de ecuaciones lineales, para obtener los coeficientes de los controladores polinomiales S (s) y R (s). Una alternativa que se propone es que el sistema de ecuaciones lineales se represente de la siguiente forma,

M x = d, (2.20)

donde M es una matriz cuadrada de dimensi´on 2 deg (A) + 2 . Esta matriz esta formada por los coeficientes A (s) y B (s), x es el vector formado por los coeficientes desconocidos de S (s) y R (s) y finalmente, d es un vector formado por los coeficientes del polinomio deseado D (s). As´ı, los coeficientes de los polinomios est´an dados por,

A (s) = s^α+ a₁s^α−1+ a₂s^α−2+ ... + aα

B(s) = b₁s^α−1+ b₂s^α−2+ ... + bα

D (s) = d0s^2α+1+ d1s^2α+ ... + d2α+1

R (s) = r₀s^α+ r₁s^α−1+ ... + rα

S (s) = s₀s^α+1+ s₁s^α+ s₂s^α−1+ ... + s_αs T (s) = r_α

. (2.21)