Análisis y generalización de un modelo de tráfico vehicular usando autómatas celulares

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INSTITUTO POLIT´ ECNICO NACIONAL Centro de Investigaci´ on en Computaci´ on

An´ alisis y Generalizaci´ on de un Modelo de Tr´ afico Vehicular usando Aut´ omatas Celulares

TESIS

que para obtener el grado de

MAESTRO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACI ´ ON

presenta

BENJAM´IN LUNA BENOSO

Director de Tesis: Germ´an T´ellez Castillo

M´exico, D. F. Agosto de 2006

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Sent´ı un confuso malestar,

que trat´ e de atribuir a la rigidez, y no a la operaci´ on de un narc´ otico.

Cerr´ e los ojos, los abr´ı.

Entonces vi el Aleph.

J. L. Borges.

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v

Agradecimientos

A mis padres Ces´areo y Hermelinda por el cari˜no y apoyo que siempre me han brindado. A mi hermano Moises, a mi hermana Esmeralda, a mi prima Florencia, a mi primo Carlos y a mi muy querida sobrina Jessica V.

Al M en C. Germán Téllez por su valiosa colaboración, amistad y apoyo en la realización de la tesis.

A Ana Luz por su cari˜no y compa˜nia. A mis amigos: Rolando, Ernesto, Juan Manuel, Euler, Alejandra, Reina, Gina, Rosario y Lidia.

Finalmente, agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONA- CYT) por la beca otorgada para realizar mis estudios de maestr´ıa.

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vi

Resumen

Se analiza y propone un modelo de flujo de tráfico vehicular multi-carril en un sistema homogéneo y heterogéneo considerando el efecto de veh´ıculos lentos por medio de Autómatas Celulares. El modelo es comparado con los modelos propuestos en [8, 9] v´ıa los parámetros del diagrama fundamental. La propuesta del nuevo modelo y su simulación nos permite obtener resultados más apegados a la realidad del tránsito de veh´ıculos en una v´ıa rápida multi- carril. Además, el nuevo modelo se generaliza pasando a un modelo con carriles centrales y laterales.

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vii

Abstract

It is analyzed a new vehicular traffic multi-lane flow model in a homo- geneous and heterogeneous system considering the effect of slow vehicles by means of cellular automata. The model is compared with the models proposed in [8, 9] via the parameters of the fundamental diagram. The proposal of the new model and its simulation allow us to obtain results more become attached to the reality of the transit of vehicles in a fast route multi-lane. In addition the new model becomes general happening to a model with central and lateral lanes.

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viii

Contenido

Agradecimientos v

Resumen vi

Abstract vii

1 Definici´on del Problema 1

1.1 Introducci´on . . . 1

1.2 Planteamiento del Problema . . . 3

1.3 Objetivos . . . 4

1.3.1 Objetivos Generales . . . 4

1.3.2 Objetivos Particulares . . . 4

1.4 Justificaci´on . . . 5

1.5 Organizaci´on de la Tesis . . . 6

2 Estado del Arte 7 3 Conceptos B´asicos 13 3.1 Aut´omatas Celulares . . . 13

3.2 Conceptos B´asicos de Flujo de Tr´afico Vehicular . . . 17

3.3 Modelo de Nagel y Schreckenberg . . . 18

3.4 Densidad y Flujo . . . 20

3.5 Modelo de Flujo de Tr´afico Vehicular en Dos Carriles . . . 23

3.6 Modelo de Flujo de Tr´afico Vehicular en tres Carriles . . . 26

3.7 Tipos de Veh´ıculos . . . 29

4 Soluci´on al problema 31 4.1 Modelo LB3C . . . 31

4.2 Modelo LB2C . . . 36

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CONTENIDO ix

4.3 Modelo LB1C1L . . . 38

4.4 Modelo LBnCmL . . . 41

5 Resultados 45 5.1 Modelo RNSL vs Modelo LB2C . . . 45

5.1.1 Simulaci´on de los modelos . . . 45

5.1.2 Resultados de las Simulaciones . . . 46

5.2 Modelo D-M vs Modelo LB3C . . . 52

5.2.1 Simulaci´on de los modelos . . . 52

5.2.2 Resultados de las Simulaciones . . . 53

5.3 Modelo LBnCmL . . . 59

5.3.1 Simulaci´on del modelo . . . 59

5.3.2 Resultados del Modelo LBnCmL para (n,m)=(3,2) y (n,m)=(3,3) . . . 59

6 Conclusiones 62 7 Aportaciones 64 8 Trabajos Futuros 65 Bibliograf´ıa 66 Anexo 69 Manual de Usuario . . . 70

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1

Cap´ıtulo 1

Definici´ on del Problema

1.1 Introducci´ on

El flujo de tráfico vehicular es una área de investigación desde los años 50’s [1, 2]. Históricamente, el primer planteamiento en la teor´ıa del flujo de tráfico fue la de investigar las relaciones que existen entre las tres variables fundamentales del flujo de tráfico: la velocidad v, la densidad ρ y el flujo Φ. Esta relación es llamada diagrama fundamental [3]. Ahora se sabe, que existe una estrecha relación entre estas variables dada por:

Φ = ρv.

Hoy en d´ıa, la modelación y simulación computacional juega un papel importante en la optimización del flujo de tráfico vehicular; groso modo existen tres aproximaciones para analizar el problema [4]:

1) Los Modelos Microscópicos: Son modelos que analizan el flujo de autómo- viles de manera individual, considerando únicamente el veh´ıculo predecesor en cada instante de tiempo. Este tipo de modelos son analizados regular- mente mediante el uso de las ecuaciones diferenciales ordinarias basadas en las leyes de Newton. Una forma distinta de tratar la problemática son los modelos con Autómatas Celulares.

2) Los Modelos Macrosc´opicos: Estos analizan el problema del tr´afico vehicular de manera general sin centrarse en un veh´ıculo en particular, es decir,

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1.1. Introducci´on 2

tratan el sistema como un todo. Estos modelos se basan sobre ecuaciones de din´amica de fluidos.

3) Los Modelos Cinéticos: Estos representan un paso intermedio entre los modelos microscópicos y los modelos macroscópicos. Estos modelos se basan en ecuaciones cinéticas de tipo Boltzmann.

Los modelos macroscópicos han sido trabajados por varios autores, sin embargo estos modelos han sido sujetos a considerables controversias con- cernientes a su validación y aplicación a la teor´ıa del flujo de tráfico [1, 5].

Por otra parte, debido a que las matemáticas que se manejan en los modelos cinéticos son bastante laboriosas [1], éstos modelos no se han desarrollado suficientemente.

Actualmente existe un gran interés por los modelos de autómatas celulares (AC), también llamados modelos de salto de part´ıculas (”particle hopping”) [6]. Estos son modelos que simplifican el comportamiento de los conductores. Los veh´ıculos son colocados en una lattice discreta de puntos llamadas celdas o células con velocidades discretas, y todos los puntos son actualizados sincrónicamente en cada instante de tiempo t.

En 1992 Kai Nagel y Michael Schreckenberg publicaron un modelo probabil´ıstico para el flujo de tráfico vehicular en un sólo carril (modelo NaSch) por medio de un AC [7]. Este modelo relaciona los parámetros de densidad- flujo de donde se obtiene el diagrama fundamental, además reproduce algunos fenómenos f´ısicos encontrados en el tráfico real como por ejemplo la aparición de embotellamientos fantasmas. Este modelo es m´ınimo, en el sentido de que cualquier simplificación de alguna regla no reproduce resultados reales. Básicamente la idea de Nagel y Schreckenberg se basa sobre un AC 1-dimensional con frontera periódica en donde cada célula de la lattice es ocupada por un veh´ıculo con velocidad discreta o bien, se encuentra vac´ıo. La actualización de la lattice es llevada a cabo por cuatro reglas consecutivas que son aplicadas a cada uno de los veh´ıculos de manera s´ıncrona. Un veh´ıculo con velocidad v > 0 y distancia d > 0 del veh´ıculo de enfrente disminuirá su velocidad a v − 1 si v > d, en caso contrario aumentará la velocidad a v + 1 o bien permanecerá en v si v = v_max, es la velocidad máxima del veh´ıculo, además, los veh´ıculos frenarán con una probabilidad p.

El modelo de un solo carril no es capaz de modelar el tr´afico real debido a que las carreteras de la ciudades cuentan generalmente con m´as de un

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1.2. Planteamiento del Problema 3

carril y con diferentes tipos de veh´ıculos los cuales son conducidos con diferentes velocidades deseadas, es por ello que en 1995 M. Rickert, K. Nagel, M. Schreckenberg y A. Latour propusieron y examinaron un modelo de AC en dos carriles [8] (modelo RNSL) basado en el modelo NaSch. La idea básica de este modelo es considerar dos carriles regidos por las reglas de Nagel y Schreckenberg de manera independiente, y a éste anexar nuevas reglas que permitan el cambio de carril. Su principal objetivo fue el de señalar parámetros que definieran la forma del diagrama fundamental, además de investigar la importancia de los elementos estocásticos con respecto al tráfico en la vida real.

En el 2003 A. Karim Daoudia y Najem Moussa analizaron y estudiaron un modelo de AC para el flujo de tr´afico veh´ıcular en tres carriles [9] (modelo D- M). Su objetivo fue el de definir los par´ametros importantes para el diagrama fundamental en el modelo de tres carriles y compararlo con el de dos carriles considerando el efecto de veh´ıculos lentos sobre el sistema.

Actualmente se han creado proyectos como TRANSIMS (TRansportation ANalysis and SIMulation System) en Los Alamos National Laboratory [10] y su similar europeo EUROTOPP [11]. Ambos proyectos prueban modelos de flujo de tráfico vehicular mediante programas computacionales que recrean escenarios reales. Portland, Oregon, Dallas en EUA; Colonia en Alemania y Suiza [10, 12, 13] son algunas ciudades en las que se han llevado a cabo simulaciones del tránsito de veh´ıculos mediante modelos de flujo de tráfico vehicular.

1.2 Planteamiento del Problema

En 1992 K. Nagel y M. Schreckenberg proponen un modelo discreto y probabil´ıstico de un sólo carril para el flujo de tráfico vehicular por medio de un AC. Las simulaciones del modelo realizadas en Monte-Carlo muestran una transición desde el flujo de tráfico laminar a ondas de paro y avance con aumento en la densidad de los veh´ıculos, tal y como sucede con el flujo de tráfico real en las autopistas. Esto último se puede fundamentar con el trabajo realizado por B. S. Kerner y H. Rehborn [14, 15] en 1996, quienes mostraron algunas caracter´ısticas emp´ıricas del flujo de tráfico, las cuales debieran mostrar un modelo de flujo de tráfico realista.

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1.3. Objetivos 4

El objetivo de este trabajo es presentar un nuevo modelo de flujo de tr´afico vehicular multi-carril por medio de AC y compararlo con los modelos RNSL y D-M v´ıa los par´ametros del diagrama fundamental.

1.3 Objetivos

Los objetivos particulares y generales que se pretenden obtener en este trabajo son:

1.3.1 Objetivos Generales

El objetivo de este trabajo es proponer un nuevo modelo multi-carril de flujo de tr´afico vehicular.

1.3.2 Objetivos Particulares

• Analizar la teor´ıa concerniente a los AC.

• Analizar la teor´ıa referente al flujo de tr´afico vehicular y asociarla con el punto anterior.

• Investigar y analizar el modelo de flujo de tr´afico vehicular en un s´olo carril propuesto por K. Nagel y M. Schreckenberg.

• Investigar y analizar el modelo RNSL.

• Investigar y analizar el modelo de flujo de tr´afico vehicular D-M.

• Investigar y analizar un modelo de flujo de tr´afico vehicular que considere diferentes tipos de veh´ıculos.

• Proponer un modelo de flujo de tr´afico vehicular para dos y tres carriles combinando las ideas de los tres puntos anteriores.

• Proponer un modelo de flujo de tr´afico vehicular multi-carril con carriles laterales y centrales.

• Implementar una interfaz gráfica que nos permita ver el resultados de la modificación de los parámetros y que realize cálculos necesarios para obtener resultados.

• Obtener el diagrama fundamental de uno, dos y tres carriles con el modelo propuesto.

• Obtener el diagrama fundamental multi-carril con carriles laterales y carriles centrales.

• Obtener el diagrama espacio-tiempo de un carril.

• Validar resultados.

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1.4. Justificaci´on 5

• Presentar este trabajo en al menos un evento especializado.

1.4 Justificaci´ on

Hoy en d´ıa, la creciente incorporación de veh´ıculos a la infraestructura vial ha propiciado congestiones considerables en varios puntos de las grandes urbes y los embotellamientos de veh´ıculos se han convertido en uno de los grandes problemas con los que hay que lidiar a diario. Es por ello que surge la necesidad de estudiar, analizar y desarrollar modelos referentes al flujo de tráfico vehicular que permitan minimizar y retrasar su aparición.

El flujo de tr´afico vehicular comenz´o a estudiarse a partir de 1950 [1, 2]

desde el punto de vista de la dinámica de fluidos. Posteriormente, los métodos de la dinámica no lineal fueron aplicados a estos modelos enfatizando la noción de una fase de transición de flujo laminar a ondas de paro y avance con incremento en la densidad de veh´ıculos.

En 1956 Gerlough [1, 16] inicia el estudio de flujo de tráfico vehicular con AC. El flujo vehicular está constituido por elementos discretos a diferencia de las corrientes continuas de agua y de otros l´ıquidos; es por está razón que en este trabajo se consideran modelos discretos para el análisis del flujo de tráfico vehicular. En la actualidad han sido formulados y estudiados modelos de flujo de tráfico en términos de la teor´ıa de los AC en uno y dos carriles debido a la eficiencia con la que pueden ser llevados a cabo las simulaciones en la computadora. El modelo NaSch fue propuesto en 1992 [7]. Éste es un modelo de un solo carril homogéneo, es decir, solamente se considera un solo tipo de veh´ıculos. As´ı pues, una variante a este modelo es considerar varios tipos de veh´ıculos, en donde cada tipo t puede alcanzar una velocidad máxima vt, esto es lo que se propone teóricamente en [17]. Sin embargo, si en el modelo NaSch se consideran varios tipos de veh´ıculos, lo que se propicia es la aparición de pelotones, esto es, los veh´ıculos lentos van seguidos por los veh´ıculos rápidos y la velocidad promedio se reduce al libre flujo de los veh´ıculos lentos. El modelo NaSch fue generalizado por Knospe et al [18] a un modelo de dos carriles y desde entonces varios trabajos han sido realizados en esta dirección.

El presente trabajo propone un nuevo modelo de flujo de tr´afico vehicular multi-carril por medio de AC. Se consideran diferentes tipos de veh´ıculos en

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1.5. Organizaci´on de la Tesis 6

un sistema homog´eneo y heterog´eneo. El modelo es generalizado a un modelo multi-carril con carriles laterales y carriles centrales.

1.5 Organizaci´ on de la Tesis

En el cap´ıtulo 1 ya presentado describe la introducci´on, el planteamiento del problema, los objetivos generales y particulares a alcanzar en el trabajo, as´ı como la justificaci´on del problema.

El cap´ıtulo 2 presenta el estado del arte, esto es, se muestra un panorama general de la investigaci´on realizada en el flujo vehicular a trav´es del tiempo.

En el cap´ıtulo 3 se muestran conceptos básicos referentes a la teor´ıa de los autómatas celulares y del flujo de tráfico vehicular, necesarios para el desarrollo de este trabajo.

El cap´ıtulo 4 es la parte pr´ıncipal de la tesis. En este cap´ıtulo se muestran los nuevos modelos que se proponen para mejorar los modelos propuestos en [8, 9].

El cap´ıtulo 5 presenta los resultados obtenidos. Se muestra un análisis comparativo entre el modelo RNSL y el modelo LB2C; y entre el modelo D-M y el modelo LB3C; ambos análisis se hacen v´ıa los parámetros del diagrama fundamental. Finalmente, en este cap´ıtulo se muestra el diagrama fundamental generado con el modelo LBnCmL.

En el cap´ıtulo 6 se presentan las conclusiones.

En el cap´ıtulo 7 se presentan los trabajos que se pueden continuar en esta l´ınea de investigaci´on.

El documento de tesis finaliza con un anexo referente al manual del usuario.

En el que se muestra el funcionamiento del software implementado y uti- lizado.

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Cap´ıtulo 2

Estado del Arte

Actualmente, la modelación y simulación por computadora tienen una gran importancia en la optimización de problemas, en part´ıcular en el problema del flujo de tráfico vehicular. Investigaciones teóricas y experimentales han sido desarrolladas, analizadas y reportadas.

La teor´ıa del flujo de tráfico vehicular puede separarse ampliamente en tres tipos de modelos: Los Modelos Macroscópicos, los Modelos Microscópicos y los Modelos Cinéticos [4].

-Los modelos macroscópicos analizan la problemática del flujo de tráfico vehicular basados sobre ecuaciones para una cantidad colectiva de veh´ıculos.

Los modelos macroscópicos se basan en ecuaciones de dinámica de fluidos, as´ı que estos modelos no son muy convenientes para describir la dinámica discreta que se presenta de la interacción entre veh´ıculos de manera individual. La principal caracter´ıstica es el flujo global a causa de la velocidad y la densidad de los veh´ıculos vistos como part´ıculas a través de un ducto.

Existen otras variables importantes en estos modelos, tales como la densidad espacial promedio ρ(r, t) y la velocidad promedio V (r, t). Su tiempo de simulación y requerimientos de memoria dependen principalmente de la discretización ∆(r) y ∆(t) [19] del espacio r y el tiempo t, pero no del número N de veh´ıculos. La calidad y confiabilidad de los resultados de la simulación dependen principalmente de la exactitud de la ecuaciones macroscópicas aplicadas y de la elección de un método de integración numérica conveniente.

Dentro de los modelos macrosc´opicos encontramos inicialmente el modelo b´asico de Lighthill y Whitham publicado en 1955 [2]. En este trabajo

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8

se introduce una descripción basada en la ecuación de continuidad con la suposición de que el flujo (o velocidad) sólo depende de la densidad, esto es, no hay tiempo de relajación (adaptación instantánea) [1].

También encontramos los modelos con ecuación de aceleración de Payne y Kühne. En 1979, Payne reemplazó la asunción de la adaptación instantánea de la teor´ıa de Lighthill-Whitham por una ecuación de inercia, la cual es similar a la ecuación de Navier-Stokes [20]. Payne introdujo una ecuación adicional para la velocidad media V , la cual incluyó un tiempo de relajación para V dentro de un cierto tiempo τ hacia su valor de equilibrio. Kühne, en 1984 agregó un termino de viscosidad y comenzó a utilizar los métodos de la dinámica no lineal para el análisis de la ecuación [21].

Dentro de los modelos macroscópicos también encontramos los modelos como los de Euler, Navier Stokes y el de Helbing. Hasta ese momento la varianza de la velocidad es manejada como una cantidad de equilibrio, sin embargo, para una situación donde no hay equilibrio, la varianza puede mejor ser tratada como una variable dinámica junto con otra ecuación que describe su evolución. En particular, al predecir el embotellamiento de tráfico, un incremento en la varianza puede ser un indicador importante; as´ı pues, un tratamiento detallado de esta variable puede ser necesaria. Helbing introdujo un modelo cuyas simulaciones numéricas y análisis de estabilidad pueden ser encontrados en [22].

-Los modelos Microsc´opicos analizan el flujo de veh´ıculos de manera individual. Cada veh´ıculo es descrito por su propia ecuaci´on de movimiento.

En estos modelos es importante el número N de veh´ıculos simulados. En general, en estos modelos se asume una velocidad uniforme para todos los veh´ıculos, por lo tanto, las caracter´ısticas individuales de los veh´ıculos tienen grandes efectos en el comportamiento global. En estos modelos se presentan con mayor regularidad los parámetros probabil´ısticos que en los modelos macroscópicos.

Puesto que cada veh´ıculo es descrito por su propia ecuación de movimiento, se tiene que el tiempo de computación y requerimientos de memoria de la si- mulación de tráfico correspondiente es proporcional al número N de veh´ıculos simulados. Este tipo de modelos es principalmente conveniente para simulaciones de tráfico de carriles independientes.

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Dentro de los modelos microscópicos encontramos los modelos del veh´ıculo- seguido. Desde 1950, varios autores consideraron la teor´ıa del veh´ıculo- seguido. Un panorama se puede encontrar en [23]. El comportamiento de cada veh´ıculo es modelado en relación con el veh´ıculo de adelante. Esta teor´ıa considera situaciones en un solo carril donde un conductor reacciona de acuerdo al movimiento del veh´ıculo que va frente a él. Varios modelos del veh´ıculo-seguido son de la forma:

α(t + T ) ≡ _[∆x(t)]^v(t)^ml · ∆v(t),

donde a y v son la aceleración y velocidad respectivamente bajo ciertas consideraciones, ∆x y ∆v son las distancias y diferencias de velocidades al veh´ıculo de adelante respectivamente, y m y l son constantes. T es el tiempo de retraso entre el est´ımulo y la respuesta que resume todos los efectos de retraso como el tiempo de reacción humano o tiempo de las necesidades mecánicas del veh´ıculo para reaccionar.

Matem´aticamente, parte de esta teor´ıa es muy similar al tratamiento de los movimientos at´omicos en cristales y da resultados acerca de la estabilidad de cadenas de carros (pelotones) en las situaciones de sigue-al-l´ıder (follow- the-leader).

Dentro del marco de los modelos microscópicos, también encontramos los modelos basados en la teor´ıa de colas. El origen de la teor´ıa de colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague.

La teor´ıa de colas es el estudio matemático del comportamiento de l´ıneas de espera basada en consideraciones estad´ısticas y probabl´ısticas. Éstos modelos tratan los problemas que existen en distintos sistemas cuando el servicio requerido por un cliente no está disponible de inmediato. Las intersecciones de vialidades controladas por semáforos, el acceso a casetas de cobro de peaje o el ingreso a una gasolinera para la carga de combustible son ejemplos de situaciones en los que se pueden crear colas en ciertos momentos. Las colas pueden aparecer y desaparecer. No hay evidencias de que la teor´ıa de colas pueda aplicarse a la problemática de nuestro trabajo.

Una adición al desarrollo de la teor´ıa del flujo de tráfico vehicular dentro del marco de los modelos microscópicos son los modelos con Autómatas

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Celulares. Este tipo de modelos simplifican el comportamiento de los conductores. Los veh´ıculos son descritos por una lattice discreta de puntos con velocidades discretas. En 1992 los modelos por medio de AC para aplica- ciones en el tr´afico fueron introducidos en el ´area de la f´ısica estad´ıstica.

Biham y Coworkers usaron un modelo con velocidad m´axima uno [25].

Nagel y Schreckenberg introdujeron un modelo probabil´ıstico (NaSch) de un solo carril con velocidad máxima cinco [7]. El modelo NaSch está definido sobre una lattice regular de dimensión 1. Cada celda o sitio se encuentra vac´ıa u ocupada por un veh´ıculo en cada instante de tiempo t. El sistema se actualiza pasando del tiempo t al tiempo t + 1 de acuerdo con cuatro reglas que rigen al modelo. Básicamente, las reglas se basan sobre la velocidad que lleva el veh´ıculo i-ésimo y la distancia que hay entre este veh´ıculo y el veh´ıculo de enfrente. El parámetro probabil´ıstico se refiere a la probabilidad que tiene un veh´ıculo de disminuir su velocidad, este parámetro es cono- cido como probabilidad de frenado. El modelo NaSch ha sido comparado favorablemente con datos del tráfico real [7].

Knospe et al[18] considera el modelo NaSch en dos carriles adyacentes e independientes, y a éste le agrega reglas que permiten la simulación del cambio de carril. A partir de esto, se inicia el estudio del flujo de tráfico multi-carril con AC .

Los modelos multi-carril son estudiados en la actualidad con mayor profundidad debido a que estos se acercan más a lo que ocurre con el flujo de tráfico en la realidad. Modelos de simulaciones de tráfico modernos tratan de analizar con mayor profundidad este tema. Varios trabajos tratan de analizar el problema del tráfico multi-carril por medio de reglas heur´ısticas del comportamiento humano sin la comprobación de cuáles de estas reglas causan exactamente que clase de comportamiento. Al momento de las vali- daciones [26], es frecuente encontrarse con que algunas reglas del modelo no dan un acercamiento de lo que ocurre en la realidad, debido al tratamiento heur´ıstico algunas veces es dif´ıcil decidir cuáles reglas deben ser cambiadas o qué reglas deben ser agregadas para corregir el problema o bien hacer más eficiente un modelo trabajado con anterioridad.

En 1995 M. Rickert, K. Nagel, M. Schreckenberg y A. Latour en [8] exa- minan un modelo de AC de dos carriles basado sobre el modelo NaSch. Su

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objetivo es señalar los parámetros que definen la forma del diagrama fundamental. Este modelo de dos carriles consiste de dos lattices adyacentes sobre los cuales se ha simulado el modelo NaSch en cada uno de manera independiente con condiciones de frontera periódica. Para simular el cambio de carril agregaron cuatro reglas en las que consideran la velocidad del veh´ıculo a analizar, la distancia al veh´ıculo de enfrente, y la distancia al veh´ıculo de enfrente y de atrás del carril adyacente. Para cada veh´ıculo se verifican las reglas de cambio consecutivamente, y si éstas se cumplen, el veh´ıculo pasa al otro carril de forma transversal y enseguida se actualiza el sistema aplicando el modelo NaSch a cada carril.

En 2003, K. Daoudia y N. Moussa estudiaron un modelo de AC de tres carriles basado sobre el modelo NaSch y analizaron el efecto de los veh´ıculos lentos en el sistema. Su objetivo fue señalar los parámetros que definen la forma del diagrama fundamental y compararlo con el de dos carriles. Ellos concluyeron que es posible reducir la influencia de veh´ıculos lentos eligiendo una versión adecuada de la simétria con respecto a los carriles. El modelo D-M es una generalización al modelo RNSL. Se consideran tres lattices adyacentes sobre los cuales se ha implementado el modelo NaSch de manera independiente. Los veh´ıculos cambian de carril si se cumplen dos criterios: el criterio incentivo; en el cual el veh´ıculo analizado compara su velocidad con la distancia del veh´ıculo que lleva enfrente. Y el criterio de seguridad; en el cual el veh´ıculo analizado verifica si es posible hacer el cambio de carril sin que ocurra accidente alguno.

Dentro del estudio de los modelos multi-carril por medio de AC, existe el análisis del sistema homogéneo y del heterogéneo. En el homogéneo se considera que el sistema está compuesto únicamente por un tipo de veh´ıculo, mientras que en el heterogéneo se considera que el sistema está compuesto por varios tipos de veh´ıculos. Daoudia y Moussa estudiaron su modelo de tres carriles en un sistema homogéneo y un sistema heterogéneo compuesto por dos tipos de veh´ıculos los cuales pueden pensarse como carros y camiones.

Este trabajo va dirigido en este enfoque. Se analizan y señalan los parámetros que definen el diagrama fundamental en un modelo de AC en dos y tres carriles en un sistema homogéneo y heterogéneo bajo condiciones de veh´ıculos lentos.

-Los modelos cinéticos son un paso intermedio entre los modelos macros- cópicos y los microscópicos. Históricamente los modelos macroscópicos y mi-

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croscópicos comenzaron a estudiarse independientes. Los modelos cinéticos podr´ıan ser derivables de los modelos microscópicos y los modelos macroscópicos podr´ıan ser derivables de los modelos cinéticos.

Dentro de los modelos cinéticos encontramos el modelo de Prigogine y el modelo de Paveri-Fontana. Los modelos cinéticos comienzan con el trabajo de Prigogine [29]. La cantidad básica es una función de distribución f (x, v, t) que describe el número de veh´ıculos con una cierta localización y velocidad en el tiempo t [4]. En el modelo de Paveri-Fontana [30] se introdujo una función de distribución generalizada a la de Prigogine. Esta función g(x, v, t; w) describe el número de veh´ıculos con velocidad v y velocidad deseada w.

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Cap´ıtulo 3

Conceptos B´ asicos

En este cap´ıtulo daremos los conceptos b´asicos referentes a los Aut´omatas Celulares necesarios para el desarrollo del trabajo.

3.1 Aut´ omatas Celulares

Sean A_α una familia contable de intervalos cerrados y contiguos en R tal que cumplen las siguientes condiciones:

1. Si [ai, bi] ∈ Aα entonces bi− ai > 0.

2. Si [a_i, b_i] y [c_j, d_j] est´an en A_α, entonces [a_i, b_i] ∩ [c_j, d_j] = ∅ ´o [a_i, b_i] ∩ [c_j, d_j] = b_i = c_j.

Definición 3.1.1 Sean [a, b] un intervalo de R con a 6= b y Aα una familia de intervalos cerrados que cumplen 1 y 2. Una lattice de dimensión 1 ó 1- dimensional es el conjunto L = {x_i× [a, b] | x_i ∈ A_α}. Si A_α₁, A_α₂, . . . , A_α_n son familias de intervalos que cumplen 1 y 2. Entonces una lattice de di- mensión n > 1 es el conjunto L = {x_α₁ × x_α₂ × · · · × x_α_n | x_α_i ∈ A_α_i}.

Definici´on 3.1.2 Sea r ∈ R. Una lattice 1-dimensional es regular si [a_i, b_i] = r para cada [a_i, b_i] ∈ A_α. Una lattice n-dimensional es regular si [a_α_ik, b_α_ik] = r para cada [a_α_ik, b_α_ik] ∈ A_α_i para i = 1, . . . , n.

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3.1. Aut´omatas Celulares 14

En lo sucesivo, consideraremos ´unicamente lattices regulares 1-dimensional.

Definici´on 3.1.3 Sea L una lattice. Una c´elula o celda es un elemento de la forma [a_i, b_i] × [a, b] con [a_i, b_i] ∈ A_α.

La definición de un lattice implica que ésta puede ser infinita en ambas direcciones, sin embargo, implementar esto en computadora es imposible, es por esta razón que las lattices se consideran compuestas de un número finito de células adyacentes, de esta manera, las lattices se implementan siguiendo alguna de las siguientes condiciónes de frontera:

1. Frontera Peri´odica: La lattice se considera peri´odica, es decir, los bordes se consideran conectados.

2. Frontera Abierta: El estado de las c´elulas del borde toma un valor fijo.

En lo sucesivo; dada una lattice L, la consideraremos con condiciones de frontera periódica; además identificaremos mediante el ´ındice i a la i-ésima célula de L.

Definici´on 3.1.4 Sea L una lattice, y sea r una c´elula de L. Una vecindad para r es el conjunto

N (r) = {r − j, r − (j + 1), . . . , r − 1, r, r + 1, . . . , r + k : j, k ∈ Z⁺∪ {0}}

Diremos que dicha vecindad es de tama˜no n si #(N (r)) = n.

Definici´on 3.1.5 Un Aut´omata Celular (AC) es una tupla (L, S, N ,f ) tal que:

1. L es una lattice regular.

2. S es un conjunto finito de estados.

3. N es un conjunto de vecindades definido de la siguiente manera:

(24)

N = {N (r) | r es una c´elula y N (r) es una vecindad de r de tama˜no n ∈ N}

4. f : Sⁿ → S es una función llamada función de transición.

Definición 3.1.6 Una configuración del AC (L, S, N ,f ) es una función C_t : L → S que asocia a cada célula de la lattice L (al tiempo t) un estado de S.

Si (L, S, N ,f ) es un AC y r ∈ L, entonces la configuraci´on C_t est´a rela- cionada con f mediante

C_t+1(r) = f ( { C_t(i) | i ∈ N (r)} )

Generalmente cuando se trabaja con AC 1-dimensional, dada una célula r y su vecindad como en la definición 3.1.4, suele identificarse a la vecindad de r con la cadena w := w_r−jw_r−(j+1)· · · w_r−1w_rw_r+1· · · w_r+k donde w_i es el estado en que se encuentra la célula i en el instante de tiempo t, es decir:

N (r) = w En lo sucesivo utilizaremos esta convenci´on.

Ejemplo 3.1.1 Sea Z⁰ := {[n, m]|n, m ∈ Z y m − n = 1}. Consideremos el AC (L, S, N ,f ) definido de la siguiente forma:

L = Z⁰× [0, 1]. L es conocida como lattice de enteros Z S = {0, 1}

N = {N (i) = w_i−1w_iw_i+1| i es c´elula de L}

f ({ c_t(i) | i ∈ N (r) }) = { 1 si 1 ≤P

i∈N (r)wi ≤ 2 0 en otro caso

dicho AC corresponde al tri´angulo de Sierpinsky-Gasket como se muestra en la figura 1(a).

En el ejemplo anterior, podemos describir el conjunto de vecindades por ex- tensión de la siguiente manera: N = {111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000 }, a partir de esto, la función de transición también la podemos describir como se muestra en la tabla 1.

(25)

wi−1wiwi+1∈ (N ) 111 110 101 100 011 010 001 000

f (c_t(i)) 0 1 0 1 1 0 1 0

Tabla 1: Muestra todas las vecindades y su respectiva imagen de un AC 1-dimensional.

En la tabla 1 observamos que la segunda l´ınea nos da información acerca de cual será el valor de la célula del centro de cada vecindad en el instante de tiempo siguiente, as´ı pues, la regla de evolución es descrita como 0 - 1 - 0 - 1 - 1 - 0 - 1 - 0 01011010. A 01011010 lo podemos interpretar como un número que al traducirlo a base decimal da el número 90, por lo que a esta función se le conoce como regla de evolución 90.

La evoluci´on del AC del ejemplo 3.1.1 es mostrada en la figura 1.

(a)

(b)

Fig. 1: (a) Tri´angulo de Sierpinsky-Gasket generado mediante el AC del ejemplo 3.1.1 para las primeras 16 iteraciones y (b) para las primeras 65 iteraciones.

(26)

3.2. Conceptos B´asicos de Flujo de Tr´afico Vehicular 17

3.2 Conceptos B´ asicos de Flujo de Tr´ afico Ve- hicular

Definición 3.2.1 Un modelo de flujo de tráfico es una colección de part´ıculas moviéndose a través de una l´ınea recta acorde a sus velocidades, y una ley que describe como cambian sus velocidades (aceleración o desacele- ración de part´ıculas).

Consideremos el tiempo discreto y un sistema de part´ıculas moviéndose sobre una lattice de enteros Z con aceleración constante a ∈ R⁺ con la ley de colisión respecto a part´ıculas más lentas, es decir, después de la colisión, las part´ıculas más rápidas se detienen, mientras que las lentas no cambian su velocidad. Además consideremos que la velocidad no excede un cierto l´ımite 0 < v < ∞. El estado del sistema es completamente descrito por la información acerca de la localización de las part´ıculas y de sus velocidades.

Definición 3.2.2 Una configuración es una sucesión de números reales no negativos x = {v_i}_i∈Z, donde v_i ≥ 0 corresponde a la velocidad de la part´ıcula en el sitio i-ésimo de la lattice.

Puesto que estamos considerando una lattice de enteros, puede suceder el caso de que algunas células de la lattice no tienen correspondencia con part´ıcula alguna, de esta manera, por convención pondremos v_i = −1 y nos referiremos a estas células como vac´ıas. Considere que las células vac´ıas se mueven en dirección contraria al de las part´ıculas.

Definición 3.2.3 Una configuración x = {v_i}_i∈Z es admisible si para cada v_i, v_j ≥ 0 en x con i < j, se tiene que v_i+ i < j y v_i ≤ v_max con v_max > 0 la velocidad máxima permitida. La familia de configuraciones admisibles la de- notaremos por X_v_max donde v_max > 0 denota la máxima velocidad permitida.

Definición 3.2.4 Sea x ∈ Xvmax configuración admisible. Si i denota la posición de la i-ésima célula, entonces i− ≤ i denotará el sitio en x que contiene a la part´ıcula más cercana al sitio i por el lado izquierdo; y i₊ > i−

el sitio que contiene a la part´ıcula m´as cercana al sitio i por el lado derecho.

En la definici´on anterior note la asimetr´ıa de la definici´on: i− puede ser igual a i, mientras que i₊ es estrictamente mayor a i.

(27)

3.3. Modelo de Nagel y Schreckenberg 18

3.3 Modelo de Nagel y Schreckenberg

El modelo de flujo de tráfico vehicular NaSch propuesto por K. Nagel y M. Schreckenberg es un modelo probabil´ıstico de un solo carril por medio de un AC 1-dimensional donde no ocurren choques. El modelo está definido sobre una array 1-dimensional de L celdas o sitios con condiciones de frontera periódicas. Cada celda representa una división de la carretera de 7.5 m. Cada celda puede estar vac´ıa u ocupada por un veh´ıculo. Cada veh´ıculo tiene asociada una velocidad entera con valores entre 0 y v_max = 5. Existe una variable que condiciona el avance de todos los veh´ıculos del arreglo conocida como gap (espacio), el cual representa el número total de sitios vac´ıos enfrente de un veh´ıculo (figura 2). Esto es, si x_i representa la posición del i-ésimo veh´ıculo, entonces gap(i) := x_i+1− x_i− 1.

Fig. 2: Arreglo de 10 celdas con gap=3.

El AC que define el modelo NaSch est´a dado por la tupla (L, S, N ,f ) donde:

a) L = {x_i× [a, b] | x_i ∈ Z⁰⁰} con a < b ∈ R y Z⁰⁰ = {[j, j + 1], [j + 1, j + 2], . . . , [j + k − 1, j + k] | j < k ∈ Z}.

b) S = {−1, 0, 1, . . . , v_max}.

c) N = {N (i) = w_iw_i+1· · · w_gap(i)+1| i es una c´elula de L ocupado por un veh´ıculo }.

d) La función de transición está dada por los siguientes cuatro pasos con- secutivos que son aplicados a cada uno de los veh´ıculos de la configu- ración x = {vi}vi∈S en el tiempo t.

(28)

3.3. Modelo de Nagel y Schreckenberg 19

1.- Aceleraci´on:

v_i ← min(v_i+ 1, v_max) 2.- Frenado:

v_i ← min(v_i, gap(i)) 3.- Aleatoriedad:

v_i ← max(v_i− 1, 0) con probabilidad p 4.- Actualizaci´on:

x_i ← x_i+ v_i

El paso 1 refleja el impulso de los conductores a acelerar hasta alcanzar la velocidad máxima vmax. El paso 2 evita accidentes, el conductor debe frenar si la velocidad excede la distancia que le lleva el veh´ıculo de enfrente. El paso 3 considera los diferentes parámetros del comportamiento de los conductores a acelerar o desacelerar; a partir del cual se crean los embotellamientos. Con el paso 4 obtenemos la nueva posición del veh´ıculo en el tiempo t + 1.

Para el modelo NaSch, si x = {v_i}_i es una configuración admisible, entonces vi 6= −1, significa que el veh´ıculo avanzo vi celdas en el paso anterior para llegar a éste. La longitud de cada celda es de 7.5m, el cual es interpre- tado como la longitud del veh´ıculo más una distancia de separación entre uno y otro veh´ıculo en caso de que se encuentren en celdas adyacentes. La velocidad máxima considerada es v_max = 5 equivalente a 135 km/h, sin embargo, este parámetro se puede cambiar dependiendo del tipo de veh´ıculo que se considere, camiones, autos, etc..., cabe mencionar que el modelo es homogéneo, es decir, sólo se considera un tipo de veh´ıculo. Un paso de tiempo t → t + 1 es equivalente a 1 segundo de tiempo, el tiempo de reacción humano. El modelo NaSch es m´ınimo, en el sentido de que los 4 pasos son necesarios para reproducir caracter´ısticas del flujo de tráfico vehicular; además una adición de reglas puede enriquecer el modelo capturando situaciones más complejas.

(29)

3.4. Densidad y Flujo 20

Fig. 3: Flujo de veh´ıculos aplicando el modelo NaSch con v_max= 3.

3.4 Densidad y Flujo

Puesto que el modelo NaSch está definido sobre un array 1-dimensional de L sitios con condiciones de frontera periódica, entonces el número total de veh´ıculos N del sistema no puede cambiar durante la dinámica, luego, es posible definir la densidad del sistema mediante ρ = N/L. Sin embargo, esta medición no es posible en el flujo de tráfico real, debido al aumento o disminución de veh´ıculos en cada sección de la carretera. Es por ello que para consideraciones reales, se define la densidad sobre un sitio i promediado sobre un periodo de tiempo T , esto es:

ρ = _T¹

t0+t

X

t=t0+1

n_i(t),

con

n_i(t) = { 0 si v_i(t) = −1 1 si vi(t) 6= −1

donde x = {v_i(t)}_i es una configuraci´on admisible en el tiempo t.

Se define el flujo Φ como el n´umero de veh´ıculos que atraviesan una posici´on de la lattice por unidad de tiempo T , esto es:

(30)

Φ = _T¹

t0+t

X

t=t0+1

n_i,i+1(t),

donde n_i,i+1(t) = 1 si el movimiento de un veh´ıculo es detectado entre los sitios i e i + 1 en la iteraci´on t → t + 1.

Se pueden realizar simulaciones variando el par´ametro de densidad ρ y registrando los valores respectivos de ρ y Φ. A la gr´afica que se obtiene de Φ vs ρ se le denomina diagrama fundamental (figura 4)

Fig. 4: Diagrama Fundamental obtenido en [27].

La figura 5 (a) muestra el diagrama fundamental que se obtuvo al simular el modelo NaSch con probabilidad de frenado p = 0.15 y v_max = 5. Las figuras 5 (b) y 5 (c) muestran los pasos intermedios que se necesitan para obtener el diagrama fundamental como se muestra en la figura 5 (d). En el paso 5 (b) y 5 (c) se ajustan los puntos a la curva que más se le parece, en esta situación, en ambos casos corresponde a una recta, enseguida se intersecan ambos ajustes para as´ı obtener el diagrama fundamental como en la figura 5 (d). A partir de ahora, cuando estemos trabajando con el diagrama fundamental de alguna simulación, ésta será del tipo como se muestra en la figura 5 (d).

(31)

Fig. 5: (a) Muestra el diagrama fundamental obtenido con el modelo NaSch con p = 0.15.

(b) y (c) muestran el ajuste de puntos del diagrama fundamental. (d) Muestra el diagrama fundamental (a) cuyos puntos se encuentran ajustados.

Además del diagrama fundamental, un diagrama t´ıpico en el modelo NaSch es el diagrama espacio-tiempo como se muestra en la figura 6, en donde cada fila de puntos representa la posición instantánea de los veh´ıculos moviéndose hacia la derecha, mientras que las filas sucesivas de puntos representan la trayectoria que han llevado los veh´ıculos.

(32)

3.5. Modelo de Flujo de Tr´afico Vehicular en Dos Carriles 23

Fig. 6: Diagrama espacio-tiempo del modelo NaSch con vmax= 5 y p = 0.5.

3.5 Modelo de Flujo de Tr´ afico Vehicular en Dos Carriles

El modelo NaSch no es capaz de modelar totalmente la complejidad del flujo de tráfico debido a que el flujo vehicular está compuesto por varios tipos de veh´ıculos con diferentes velocidades deseadas, además de que se desplazan en más de un carril. Si en el modelo NaSch se consideran varios tipos de veh´ıculos el resultado es que se crean pelotones, esto es, los veh´ıculos lentos son seguidos por los veh´ıculos rápidos reduciéndose la velocidad promedio del sistema a la velocidad del libre flujo de los veh´ıculos lentos.

M. Rickert, K. Nagel, M. Schreckenberg y A. Latour en [8] publicaron un modelo de flujo de tr´afico vehicular en dos carriles a partir del modelo NaSch. Consideraron un AC 1-dimensional compuesto por dos arreglos 1- dimensional adyacentes de tama˜no L y sobre cada uno simularon el modelo NaSch. Para simular el cambio de carril entro uno y otro arreglo agregaron 4 reglas al modelo.

La actualizaci´on del sistema es llevado a cabo en dos sub-pasos:

(33)

1. Analizar el cambio de carril de acuerdo al nuevo conjunto de reglas.

Si un veh´ıculo cumple con las condiciones de cambio de carril, éste es movido al siguiente carril transversalmente sin avanzar, esto es, si el veh´ıculo se encuentra en la posición i-ésima del arreglo 1, éste es movido a la posición i-ésima del arreglo 2 ó viceversa. Este sub-paso en la realidad no es posible, sin embargo, con el siguiente sub-paso se obtiene la simulación de cambio de carril deseado.

2. Se actualiza el sistema acorde a las reglas del modelo NaSch de manera independiente en cada arreglo. Este sub-paso hace uso de la configuraci´on del sub-paso 1.

Los par´ametros importantes del modelo de dos carriles son los siguientes:

• Simetr´ıa: Primeramente se considera un sistema heterogéneno. De esta manera, el sistema es simétrico cuando las reglas de cambio de carril rigen para cada uno de los veh´ıculos en todos los carriles, a diferencia del asimétrico donde se consideran que las reglas rigen para algunos tipos de veh´ıculos en todos los carriles mientras que para otros se limitan a algunos de los carriles.

• Probabilidad de cambio: En el modelo de un carril se prueba que el modelo determinista no concuerda con la realidad ya que el modelo no muestra la formación espontánea de embotellamientos. En el caso del modelo de dos carriles la falta de elementos probabil´ısticos en combinación con la actua- lización en paralelo de las reglas muestra la aparición de pelotones lentos en uno u otro carril. Debido a que los veh´ıculos no han alcanzado su máxima velocidad en un pelotón y todos evalúan las condiciones del otro carril para realizar el posible cambio de carril, lo cual es hecho una y otra vez, esto provoca que el pelotón se disuelve o bien es pasado por otros veh´ıculos. En este trabajo se introduce un elemento de probabilidad de cambio de carril para reducir el número efectivo de cambios de carril.

• Dirección de Casualidad: En el modelo de un carril, un veh´ıculo únicamente considera la distancia del veh´ıculo de enfrente para realizar su respectivo movimiento. Para un cambio de carril en el modelo de dos carriles las reglas deben considerar además de la distancia del veh´ıculo de enfrente, la distancia del veh´ıculo de adelante y de atrás del carril a donde desea hacer el cambio.

(34)

Una forma informal de considerar el modelado para el cambio de carril es el siguiente:

1) El conductor del veh´ıculo checa si alg´un veh´ıculo se encuentra enfrente a una distancia para la cual sea necesario disminuir la velocidad.

2) El conductor mira hacia adelante del otro carril y compara la distancia de donde se encuentra el veh´ıculo siguiente con la distancia del veh´ıculo de enfrente (compara si es mejor cambiar de carril).

3) El conductor mira hacia ´atras del otro carril y checa si es posible hacer el cambio de carril.

A partir de las ideas expuestas en (1), (2) y (3), consideremos el modelado anal´ıtico de cambio de carril.

Sea j ∈ A := {1, 2, . . . , n}. Sea X = {x₁, x₂, . . . , x_n} con x_j = {v_i}_i_j configuración admisible para cada j ∈ A . Si k es la posición del k-ésimo sitio, entonces k−j ≤ k denotará el sitio sobre el carril j que contiene el veh´ıculo más cercano al sitio k por atrás; y k_+j > k−j el sitio sobre el carril j que contiene el veh´ıculo más cercano al sitio k por delante. Si x_i_j es la posición del i-ésimo veh´ıculo en el carril j, entonces se definen las siguientes variables:

1) gap(i)_j := x_i+1_j − x_i_j − 1 el n´umero total de sitios vac´ıos enfrente de un veh´ıculo en el mismo carril.

2) gapo(i)jk := (xij)+k − xij − 1 el n´umero de sitios vac´ıos por delante de carril k, a donde desea hacer el cambio.

3) gap_o,back(i)_jk := x_i_j − (x_i_j)−k el número de sitios a donde se encuentra el veh´ıculo más cercano por la parte de atrás del carril k.

Considerando las definiciones de las variables anteriores con A = {1, 2}, se define al AC de dos carriles como la tupla (L, S, N ,f ), donde:

a) L = {x_i × y_j | x_i ∈ Z⁰⁰, y_j ∈ X} con Z⁰⁰ = {[j, j + 1], [j + 1, j + 2], . . . , [j + k − 1, j + k] | j < k ∈ Z} y X = {[a, b], [b, 2b − a]}

b) S = {−1, 0, 1, . . . , v_max}.

(35)

3.6. Modelo de Flujo de Tr´afico Vehicular en tres Carriles 26

c) N = {N (i) = w_i_jw_i+1_j· · · w_gap(i)_j₊₁ ∪ w_gap_o,back_(i)_jk−1· · · w_gap_o_(i)_jk₊₁| i es una c´elula de L ocupado por un veh´ıculo que se encuentra sobre el carril j y desea hacer el cambio de carril al carril k }.

d) La función de transición está dada por los siguientes pasos que se apli- can consecutivamente a cada veh´ıculo de la configuración x = {v_i}_v_i∈S

en el tiempo t.

1.- gap(i)_j < l.

2.- gapo(i)jk > lo.

3.- gapo,back(i)jk > lo,back. 4.- rand() < pchange.

5.- El veh´ıculo es colocado en la posici´on xij sobre el carril k.

6.- El sistema se actualiza aplicando las reglas del modelo NaSch de manera independiente a cada carril.

l, l_o y l_o,back son par´ametros para decidir que tan lejos se debe encontrar el siguiente veh´ıculo enfrente sobre el mismo carril, sobre el otro carril y por la parte de atr´as del otro carril respectivamente para poder hacer el cambio de carril, mientras que p_change es la probabilidad de que un veh´ıculo cambie de carril.

3.6 Modelo de Flujo de Tr´ afico Vehicular en tres Carriles

El modelo D-M considera un AC 1-dimensional compuesto por tres arreglos 1-dimensional adyacentes de tama˜no L sobre los cuales se ha implementado el modelo NaSch en cada arreglo y a los que se les agregaron reglas para considerar el cambio de carril, los cuales son una generalizaci´on de las reglas de cambio de carril del modelo RNSL.

Sea A = {1, 2, 3}. Sea gap_o(i)_j (resp. gap_o,back(i)_j) el n´umero de sitios vac´ıos entre el veh´ıculo sobre el carril i y el veh´ıculo vecino de enfrente (resp.

de atrás) sobre el carril j tal y como se definieron en la sección anterior. Note que un veh´ıculo sobre el carril (1) o el carril (3) puede cambiar únicamente al carril del centro (carril (2)), mientras que un veh´ıculo situado en el carril del

(36)

centro puede cambiar al carril (1) o al carril (3). En este último caso varias situaciones se pueden dar: si las condiciones del cambio de carril se cumplen sólo para uno de los dos carriles adyacentes (carril (1) y (3)) el conductor cambiará a este carril. Por otro lado, si las condiciones de cambio de carril son llevados a cabo por los dos carriles adyacentes, el conductor elegirá entre estos carriles de acuerdo a su criterio de optimización de la velocidad, por ejemplo, al carril donde los parámetros gap_o y gap_o,back son más significantes o el carril donde el predecesor es más rápido. Las correspondientes reglas de cambio de carril son definidos por los siguientes dos criterios: (a) un conductor necesita un incentivo para realizar el cambio de carril; y (b) un cambio de carril es llevado a cabo con un criterio de seguridad (figura 7).

Fig. 7: Muestra las cantidades relevantes para las reglas de cambio de carril en un sistema de tres carriles. Los sitios de color están ocupados por un veh´ıculo. El veh´ıculo analizado en la posición i-ésima con velocidad v se encuentra en: a) el primer carril, y b) en el carril del centro (carril 2).

Considerando las definiciones de las variables anteriores, se obtiene el AC que define al modelo de tres carriles como la tupla (L, S, N ,f ), donde:

(37)

a) L = {x_i×y_j | x_i ∈ Z⁰⁰, y_j ∈ X} con Z⁰⁰= {[j, j+1], [j+1, j+2], . . . , [j+

k − 1, j + k] | j < k ∈ Z} y X = {[a, b], [b, 2b − a], [2b − a, 3b − 2a]}, donde a, b ∈ R.

b) S = {−1, 0, 1, . . . , v_max}.

c) N = {N (i) = w_i_jw_i+1_j· · · w_gap(i)_j₊₁ ∪ w_gap_o,back_(i)_jk₋₁· · · w_gap_o_(i)_jk₊₁| i es una c´elula de L ocupado por un veh´ıculo que se encuentra sobre el carril j. Si j=1, k=2; si j=2, k=1,3; si j=3, k=2 }.

d) La función de transición está dada por los siguientes pasos que se apli- can consecutivamente a cada veh´ıculo de la configuración x = {v_i}_v_i∈S

en el tiempo t.

d.1.- Criterio de incentivo: v_hope_j(i) > gap(i)_j, con v_hope_j(i) = min(v + 1, v_max).

El criterio es v´alido para cualquier carril j que contiene el veh´ıculo considerado.

d.2.- Para el criterio de seguridad se presentan dos casos:

d.2.1.- Si el veh´ıculo i-´esimo se encuentra en el carril j=1 ´o j=3, y se cumplen:

i) gap_o(i)_j2 > gap(i)_j, ii) gap_o,back(i)_j2 > v_max,

iii) rand() < pchange, con pchange el par´ametro de probabilidad de cambio de carril,

entonces el veh´ıculo cambia del carril j al carril (2), coloc´andolo en la posici´on x_i_j sobre el carril (2).

d.2.2.- Si el veh´ıculo i-´esimo se encuentra en el carril (2) y se cumplen:

i) gap_o(i)_2j > gap(i)₂, ii) gapo,back(i)2j > vmax, iii) rand() < p_change,

entonces el veh´ıculo cambia del carril (2) al carril j, coloc´andolo en la posici´on x_i₂ sobre el carril j.

d.3.- El sistema se actualiza aplicando las reglas del modelo NaSch de manera independiente a cada carril.

(38)

3.7. Tipos de Veh´ıculos 29

Dos situaciones son examinadas con este conjunto de reglas de cambio de carril cuando se consideran varios tipos de veh´ıculos: el caso simétrico donde el criterio de cambio de carril son aplicadas a todo tipo de veh´ıculos en todos los carriles; y el caso asimétrico donde las reglas de cambio de carril son aplicadas a algunos tipos de veh´ıculos en todos los carriles mientras que a otros tipos de veh´ıculos se limita a algunos carriles. Por ejemplo los autos y camiones. Los autos pueden circular en todos los carriles, mientras que los camiones se limitan a los carriles (2) y (3), es decir, los camiones son limitados únicamente a circular en el carril lateral izquierdo y en el central.

3.7 Tipos de Veh´ıculos

El presente trabajo considera un modelo de AC en uno, dos y tres carriles donde se analizan los efectos de veh´ıculos lentos, es por ello que enseguida se muestran los conceptos referentes a tipos de veh´ıculos que aparecen en el trabajo de Helbing y Schreckenberg [17].

Definici´on 3.7.1 Sea T V = {1, 2, 3, . . . , A}, un tipo de veh´ıculo ser´a iden- tificado mediante un elemento a ∈ T V . Al conjunto T V lo llamaremos conjunto de tipo de veh´ıculos.

La definición anterior nos permite diferenciar y tratar con diferentes tipos de veh´ıculos [17]. Si a ∈ T V es un tipo de veh´ıculo, el conjunto V_a = {0, 1, 2, . . . , vâ_max} representará el conjunto de las distintas velocidades que puede adquirir el veh´ıculo a, donde v_maxâ es la máxima velocidad que puede alcanzar el veh´ıculo respectivo.

Definición 3.7.2 Sea TV un conjunto de tipo de veh´ıculos. Una configura- ción con TV es una sucesión de números reales no negativos x = {v_iâ^k}_i∈Z, donde vâ_i^k ≥ 0 corresponde a la velocidad del tipo de veh´ıculo a_k ∈ T V en el sitio i-ésimo de la lattice.

Si una célula de la lattice no esta ocupado por un veh´ıculo, por convención pondremos v⁰_i = −1, y nos referiremos a ésta como sitio vac´ıo.

(39)

3.7. Tipos de Veh´ıculos 30

Definición 3.7.3 Una configuración x = {v_iâ^k}_i∈Z es admisible con TV si para cada v_iâ^k, vâ_j^l ≥ 0 en x con i < j, se tiene que v_iâ^k+ i < j y v_iâ^k < v_maxâ^k con vâ_max^k > 0 la velocidad máxima para el tipo de veh´ıculo a_k.

Definición 3.7.4 Sea x configuración admisible con TV. Si i denota la posición de la i-ésima célula, entonces i− ≤ i denotará el sitio en x que contiene al veh´ıculo más cercano al sitio i por el lado izquierdo; y i₊ > i₋ el sitio que contiene al veh´ıculo más cercano al sitio i por el lado derecho.

(40)

31

Cap´ıtulo 4

Soluci´ on al problema

En este cap´ıtulo se presentan las propuestas de los nuevos modelos. La sección 4.1 presenta el modelo LB3C, la sección 4.2 presenta el modelo LB2C, la sección 4.3 presenta el modelo LB1C1L y la sección 4.4 presenta el modelo LBnCmL.

4.1 Modelo LB3C

La figura 8 muestra la evolución de un sistema heterogéneo que se ob- servo en varias simulaciones utilizando el modelo D-M. Las letras a, b, c y d representan los veh´ıculos rápidos con velocidad máxima v_{f ast}= 5; y las letras e, f, g y h representan los veh´ıculos lentos con velocidad máxima v_slow = 3.

El sistema presenta pelotones a causa de los veh´ıculos lentos. En el flujo real, bajo estas condiciones, el veh´ıculo a podr´ıa cambiar al carril (3) sin afectar el libre flujo de los veh´ıculos que le siguen, esto debido a que la diferencia entre el veh´ıculo f y g permanece constante igual a 6 sitios (≈ 45m), y la velocidad de todos los veh´ıculos del sistema es de 3 sitios/s (≈ 81km/h), de esta manera, el veh´ıculo a puede cambiar al carril (3) aumentando su velocidad a 4 sitios/s (≈ 108km/h). Aplicando este análisis a los veh´ıculos rápidos que le siguen al veh´ıculo a, se conseguir´ıa la disolución de este pelotón.

(41)

4.1. Modelo LB3C 32

Fig. 8: Muestra la evoluci´on de un sistema heterog´eneo utilizando el modelo D-M.

Consideremos el modelo D-M sobre el sistema de la figura 9. Supongamos que la velocidad del veh´ıculo a localizado en la posición 9 del carril (1) es igual a v_max = 5 (≡ 135km/h) y las velocidades de los veh´ıculos b y c localizados en la posición 14 del carril (1) y en la posición 9 del carril (2) respectivamente son de 2 (≡ 54km/h). Puesto que 5 = v_hope₁(9) > gap(9)₁ = 4, se cumple el criterio incentivo para el cambio de carril para el veh´ıculo a. Se tiene que 11 = gapo(9)12 > gap(9)1, luego se cumple la primera parte del criterio de seguridad, ya que 2 = gap_o,back(9)₁₂< v_max, entonces no se cumple la segunda parte del criterio de seguridad y por lo tanto el veh´ıculo a permanecerá en el carril (1) en el siguiente paso de tiempo; en la realidad, un veh´ıculo con velocidad igual a 135km/h y en estas condiciones, puede cambiar al carril (2) sin ningún problema.

El modelo que se propone consiste en corregir este tipo de deficiencias que presenta el modelo D-M. Con esto se pretende conseguir un mayor flujo de veh´ıculos en el sistema, teniendo un modelo más robusto y más apegado a la realidad. En lo que sigue, si vi es la velocidad del i-ésimo veh´ıculo de tipo a que se encuentra sobre el carril j, entonces se define la variable v_hope_j(i) = min(v_i + 1, vâ_max). p_change será el parámetro de probabilidad de cambio de carril.

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4.1. Modelo LB3C 33

Fig. 9: Muestra los parámetros básicos para las reglas de un cambio de carril en una v´ıa rápida de 3 carriles. Los sitios de color están ocupados por veh´ıculos. La letra a representa la ubicación del veh´ıculo de nuestro interés.

El AC que define el modelo propuesto al que nos referiremos como modelo LB3C es la tupla (L, S, N ,f ), donde:

a) L = {xi×yj | xi ∈ Z⁰⁰, yj ∈ X} con Z⁰⁰= {[j, j+1], [j+1, j+2], . . . , [j+

k − 1, j + k] | j < k ∈ Z} y X = {[a, b], [b, 2b − a], [2b − a, 3b − 2a]}

b) S = [

a∈ T V

Va, con T V conjunto de tipo de veh´ıculos.

c) N = {N (i) = w_i_jw_i+1_j· · · w_gap(i)_j₊₁ ∪ w_gap_o,back_(i)_jk₋₁· · · w_gap_o_(i)_jk₊₁| i es una c´elula de L ocupado por un veh´ıculo que se encuentra sobre el carril j. Si j=1, k=2; si j=2, k=1,3; si j=3, k=2 }.

d) La función de transición está dada por los siguientes pasos que se apli- can consecutivamente a cada veh´ıculo de la configuración x = {vi}vi∈S

en el tiempo t.

d.1.- Criterio de incentivo: v_hope_j(i) > gap(i)_j.

El criterio es v´alido para cualquier carril j que contiene al veh´ıculo considerado.

d.2.- Para el criterio de seguridad se presentan dos casos:

d.2.1.- Si el veh´ıculo i-´esimo se encuentra sobre el carril j=1 ´o j=3, y se cumplen:

i) gapo(i)j2 > vi,

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4.1. Modelo LB3C 34

ii) gap_o,back(i + gap(i)_j)_j2 > v_o,back(i)−2 con v_o,back(i)−2 la velocidad del veh´ıculo en el sitio i₋₂

iii) rand() < pchange,

entonces el veh´ıculo cambia del carril j al carril (2), coloc´andolo en la posici´on x_i_j+ v_hope_j(i) sobre el carril (2). La velocidad del veh´ıculo toma el valor de v_hope_j(i).

d.2.2.- Si el veh´ıculo i-´esimo se encuentra sobre el carril (2) y se cumplen:

i) gap_o(i)_2j > v_i,

ii) gap_o,back(i + gap(i)₂)_2j > v_o,back(i)−j con v_o,back(i)−j la velocidad del veh´ıculo en el sitio i−j,

iii) rand() < p_change,

entonces el veh´ıculo cambia del carril (2) al carril j, coloc´andolo en la posici´on x_i₂+ v_hope₂(i) sobre el carril j. La velocidad del veh´ıculo toma el valor de v_hope₂(i).

d.3.- El sistema se actualiza aplicando las reglas del modelo NaSch de manera independiente a cada carril sin modificar aquellos veh´ıculos que efectuaron el cambio de carril.

Observemos que el modelo LB3C considera distintos tipos de veh´ıculos con distintas velocidades m´aximas que pueden alcanzar. La actualizaci´on del sistema es llevado a cabo en dos sub-pasos:

1. Analizar el cambio de carril de acuerdo al nuevo conjunto de reglas.

Si un veh´ıculo cumple con las condiciones de cambio de carril, ´este es movido al siguiente carril coloc´andolo vhope posiciones adelante de donde se encuentra.

2. Se actualiza el sistema acorde a las reglas del modelo NaSch de manera independiente en cada arreglo sin considerar el movimiento de aquellos veh´ıculos que cambiaron de carril respecto al sub-paso 1.

En el modelo D-M, si un veh´ıculo cumple con las condiciones de cambio de carril, ´este es movido al carril a donde desea hacer el cambio de manera