Efecto de los patrones de texturización y dopaje en fricción seca

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PROGRAMA DE DOCTORADO EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES

TESIS DOCTORAL

EFECTO DE LOS PATRONES DE TEXTURIZACIÓN Y DOPAJE EN FRICCIÓN SECA

Presentada por Joaquín Solano Ramírez para optar al grado de Doctor

por la Universidad Politécnica de Cartagena

Dirigida por:

Dr. Fulgencio Marín García Codirigida por:

Dr. Francisco Balibrea Gallego

Cartagena, 2022

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DEDICATORIA

Dedicado a mis padres, ´Angel e Isabel.

Dedicado a mi abuela, Angelita.

Dedicado a mis hermanos ´Angel y Silvia.

Dedicado a mis sobrinos Álvaro, Saúl, Rubén y Victoria

Dedicado a Mar´ıa José, que ha soportado todas mis conversaciones con la voz en off presente en casa estos últimos años.

Joaqu´ın S.R.

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AGRADECIMIENTOS

Debo empezar por agradecer al Dr. José Andrés Moreno todo el esfuerzo, apoyo y recomendaciones que ha volcado en este trabajo, creo que sinceramente es la principal razón por la que he podido terminar esta tesis. La segunda razón para terminarla ha sido no darle la razón al Dr. Moreno en su apuesta de que no ser´ıa capaz de terminarla.

Quiero agradecer al Profesor Dr. Francisco Balibrea, que me ha orientado muy amablemente y me ha mostrado la necesidad de las justificaciones y deducciones matem´aticas, de las que estoy muy pez.

Por ´ultimo, agradecer al Dr. Fulgencio Mar´ın, que me ha animado durante todo este periodo, mostr´andome el camino de la serenidad y tranquilad y la necesidad del trabajo continuo.

Quiero agradecer a mis padres todo el esfuerzo y cari˜no que me han dado durante toda mi vida y que me hayan dado la cultura del esfuerzo y sacrificio para lograr mis objetivos. Y ti, Mar´ıa Jos´e, agradecerte la paciencia que has tenido por todas las noches y d´ıas que no he estado contigo.

Joaqu´ın S.R.

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Resumen

La fricción es un fenómeno f´ısico que afecta a todos los aspectos de la vida. Recien- temente se ha descubierto que Da Vinci realizó estudios sobre fricción a finales del siglo XV, dando as´ı, el comienzo de la tribolog´ıa, pero estos estudios han pasado desapercibidos durante mucho tiempo. Ya en el siglo XVII el f´ısico francés Amon- tons “re-descubrió” la fricción. Después de seis siglos aun está siendo estudiada, y queda mucho recorrido para comprender el fenómeno f´ısico por completo. La complejidad del problema está en las diferentes escalas del fenómeno, micróscopica y macroscópica. También es diferente el comportamiento de la fricción bajo condiciones estáticas y dinámicas. El fenómeno f´ısico de la fricción es muy sensible a los valores de los parámetros definitorios, llegando a presentar comportamientos caóticos. Se han desarrollado diferentes modelos, que, con sus simplificaciones, son válidos para ciertos casos, aunque no existe, por el momento, una ley general de fricción.

Se ha utilizado, en esta tesis, el método de redes para la resolución de varios casos de fricción seca, como son las superficies texturizadas y dopadas, en microescala y nanoescala, comprobando los efectos que estos tienen sobre la fricción.

En el Cap´ıtulo 2 se ha hecho una revisión de las diferentes formulaciones del fenómeno de la fricción, de las superficies involucradas en el fenómeno y del planteamiento de los problemas que serán analizados en esta tesis. En el Cap´ıtulo 3 se ha revisado el método de calculo que usa el programa NGSpice, se han obtenido las gráficas de error para los métodos numéricos empleados y, para concluir, se ha analizado la estabilidad del sistema mediante el uso de los exponentes de Lyapunov.

El Capitulo 4 está centrado en el diseño de los diferentes modelos en red, as´ı como las condiciones iniciales de cada problema. El código ha sido desarrollado con Octave para tener un proceso automatizado de escritura, que posteriormente, NGSpice leerá para poder obtener las corrientes y diferencias de potencial presentes en circuitos, mediante unas ecuaciones similares a las de fricción, y poder obtener la solución numérica del problema.

En el Cap´ıtulo 5 se presentan los resultados de los diferentes modelos en red con los diferentes casos a los problemas planteados en el Cap´ıtulo 2. Los resultados obtenidos se han comparado con estudios realizados por otros investigadores, que han usado otros programas de c´alculo, de este modo se ha podido comprobar la fiabilidad del m´etodo de redes.

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Abstract

Friction is a physical phenomenon that affects all aspects of life. It has recently been discovered that Da Vinci conducted friction studies in the late 15th century, thus giving rise to tribology, but these studies have long gone unnoticed. As early as the 17th century, the French physicist Amontons ”re-discovered” friction. It has still been studied for six centuries, there is a long way to go to fully understand the physical phenomenon. The complexity of the problem lies in the different scales of the phenomenon, microscopic and macroscopic. The behavior of friction under static and dynamic conditions is also different. The physical phenomenon of friction is very sensitive to the values of the defining parameters, presenting chaotic behaviors. Different models have been developed, which, with their simplifi- cations, are valid for certain cases, although there is currently no general law of friction.

In this thesis, the network method has been used to solve several cases of dry friction, such as textured and doped surfaces, at the microscale and nanoscale and checking the effects that these have on friction.

In Chapter 2 a review has been made of the different formulations of the friction phenomenon, of the surfaces involved in the phenomenon and of the approach to the problems that will be analyzed in this thesis. In Chapter 3 the calculation method used by the NGSpice program has been reviewed, the error graphs for the numerical methods used have been obtained and to conclude, the stability of the system has been analyzed by using the Lyapunov exponents.

Chapter 4 is focused on the design of the different network models, as well as the initial conditions of each problem. The code has been developed with Octave to have an automated writing process, which NGSpice will later read in order to solve the circuits and obtain the numerical solution of the problem. In Chapter 5 the results of the different network models are presented with the different cases to the problems raised in Chapter 2. The results obtained have been compared with studies carried out by other researchers, with other calculation programs, in this way You have been able to verify the reliability of the networking method.

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´ Indice general

1. Introducci´on y objetivos 7

1.1. Introducci´on . . . 7

1.2. Objetivos . . . 8

1.3. Desarrollos futuros . . . 9

2. Fundamentos te´oricos 10 2.1. Introducci´on . . . 10

2.2. Fricci´on seca . . . 10

2.2.1. Influencia de la rugosidad en el coeficiente de fricci´on seca . . . 11

2.2.2. Efectos de la hist´eresis en fricci´on seca . . . 14

2.2.3. Formulaci´on de la fuerza de fricci´on seca . . . 16

2.3. Interacci´on entre superficies . . . 22

2.4. Superficies suaves a escala at´omica . . . 27

2.4.1. Fabricaci´on de superficies suaves a escala at´omica: dopado . . . 27

2.4.2. Amortiguamiento a nivel at´omico: emisi´on de fonones . . . 31

2.4.3. Sistema Frenkel-Kontorova-Tomlinson . . . 33

2.5. Superficies suaves a escala microsc´opica . . . 34

2.5.1. Fabricaci´on de superficies suaves a escala micr´oscopica . . . 34

2.5.2. Fen´omenos de ruptura en la fuerza de contacto . . . 41

2.6. Fricci´on en micromecanismos . . . 45

2.7. Ecuaciones de balance en modelos de fricci´on seca . . . 50

2.7.1. Superficies suaves a escala at´omica: modelo Frenkel-Kontorova- Tomlinson . . . 50

2.7.2. Superficies suaves a escala microsc´opica: modelo de ruptura en la fuerza de contacto . . . 52

2.8. El m´etodo de simulaci´on por redes (MESIR) . . . 54

(7)

3. An´alisis de convergencia 66

3.1. Introducci´on . . . 66

3.2. An´alisis de soluciones de ecuaciones diferenciales con singularidades . . 66

3.3. An´alisis de soluciones de ecuaciones diferenciales con comportamientos ca´oticos . . . 76

3.4. An´alisis de errores en la soluci´on en circuitos de corriente alterna . . . 79

3.5. An´alisis de errores en las soluciones a las ecuaciones de Van der Pol . . 83

3.6. An´alisis de exponentes de Lyapunov en modelos FKT: Criterio de caos 91 4. Modelos en red 109 4.1. Introducci´on . . . 109

4.2. Simulaci´on en red para el modelo Frenkel-Kontorova-Tomlinson . . . . 109

4.2.1. Patrones de dopado de superficies . . . 109

4.2.2. Modelos de dopado de superficies en fricci´on . . . 114

4.3. Modelo en red con ruptura de fuerza de contacto . . . 114

4.3.1. Deslizador con un punto de contacto . . . 114

4.3.2. Deslizador con varios puntos de contacto . . . 117

4.3.3. Deslizador con varios puntos de contacto y distribuci´on peri´odica de ranuras . . . 121

5. Aplicaciones del MESIR a los modelos de fricci´on 123 5.1. Introducci´on . . . 123

5.2. Simulaci´on en red del modelo FKT con dopado . . . 123

5.3. Simulaci´on en red de un deslizador con ruptura de fuerza de contacto en un punto . . . 138

5.4. Simulaci´on en red de un deslizador con ruptura de fuerza de contacto en varios puntos . . . 139

5.5. Simulación en red de un deslizador con ruptura de fuerza de contacto y distribución periódica de ranuras . . . 142

Contribuciones y Conclusiones 149

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Apéndice 1: Sucesión de Fibonacci y el número de oro 152 Apéndice 2: Método de análisis nodal modificado 153 Apéndice 3: Análisis de errores usando métodos de tipo Euler 161

(9)

´ Indice de figuras

2.1. Esquema de diferentes métodos de medida de rugosidad para la medida de rango de resolución vertical-lateral y parámetros de espaciado y altura

de asperezas (Myshkin, Grigoriev y col. 2003) . . . 12

2.2. Curva de Stribeck, a) fuerza de fricción versus velocidad relativa y b) fuerza máxima de fricción versus tiempo de permanencia a velocidad relativa nula . . . 15

2.3. Hist´eresis durante la fase de stick . . . 16

2.4. Histéresis durante la fase de slip, a) fuerza fluctuante y b) fuerza alternante 17 2.5. Gráfica representativa de la ley de Coulomb, fuerza de fricción versus velocidad relativa . . . 18

2.6. Caracter´ıstica de Stribeck incorporada a la fuerza de fricci´on (δ = 3) . . 18

2.7. Aproximaciones de la función sgn(z). Para = 1 · 10² (l´ınea de trazo y punto), = 1 · 10⁴ (l´ınea de trazo), y = 1 · 10⁶ (l´ınea continua). a) Representación completa y b) ampliación de la esquina superior . . . . 19

2.8. Representaci´on f´ısica del modelo Prandtl-Tomlinson . . . 22

2.9. Representaci´on f´ısica del modelo Frenkel-Kontorova . . . 23

2.10. Representaci´on f´ısica del modelo FKT . . . 24

2.11. Representaci´on f´ısica del modelo Burridge-Knopov . . . 26

2.12. Modelo de Burridge-Knopov con dos masas . . . 26

2.13. Imagen de un solo ´atomo de Co en Cu (111) obtenida con un STM. Fuente NIST . . . 29

2.14. (a) Imagen de átomo manipulado de un átomo de Co sobre la superficie de Cu (111). (b) Corriente de túnel registrada durante la imagen del ´ atomo manipulado en la transición de red HCP y FCC. Fuente IBM . . 30

2.15. (a) Nanoestructura con el logotipo del NIST fabricada con ´atomos de Co sobre una superficie de cobre . (b) Corral cu´antico el´ıptico fabricado con ´ atomos de Co en la superficie de Cu (111). Fuente NIST . . . 31

2.16. Modelo Apostoli . . . 32

(10)

2.17. Vista tridimensional de la alineación relativa y la dirección de deslizamiento de las superficies de contacto estampadas indicadas por las flechas negras. Las gráficas c y d muestran la evolución temporal de µ para diferentes alineaciones (0° / 90°) y dos longitudes de onda (5 y 18 µm) en comparación con la superficie de referencia lisa, Fuente Gachot et al, [35] 39 2.18. Curva Stribeck para una variación en la velocidad de deslizamiento de 20

a 170 mm/s para contactos de acero sobre acero secos (a) y lubricados (b). La fuerza normal fue de 2 N durante todos los experimentos. Fuente

Schneider et al. [83] . . . 39

2.19. (a) Planta de loto, (b) protuberancias del tama˜no de una micra en la hoja de loto y (c) nanopatrones biomim´eticos. Fuente: Singh, A. and Suh, KY. [86] . . . 40

2.20. (a) Esquema de una superficie con los parámetros básicos de diseño, (b) patrones de pol´ımero con paso pequeño y (c) patrones de pol´ımero con gran paso. Fuente: Singh, A. and Suh, KY. [86] . . . 41

2.21. (a) Representación esquemática de los pasos de fabricación necesarios para la preparación de la superficie azomaterial texturizada. (b) Imágenes SEM de asperezas fabricadas por el proceso de impresión suave. Ameri- can Chemical Society. Fuente: Oscurato et al. [71] . . . 42

2.22. Fabricación de superficies azopoliméricas preestructuradas medianteme- diante la técnica de nanopatrones de campo de proximidad. (a) Repre- sentación esquemática de la configuración de iluminación (b) estructuras jerárquicas complejas y (c–f) estructuras texturizadas. American Chemi- cal Society. Fuente: Oscurato et al. [71] . . . 43

2.23. Modelo de ruptura de las fuerzas de contacto sin huecos . . . 44

2.24. Modelo de ruptura de las fuerzas de contacto UL, con fuerza aplicada uniformemente . . . 45

2.25. Modelo de ruptura de la fuerza de contacto con huecos . . . 45

2.26. Actuador de accionamiento por fricci´on (FDA) . . . 47

2.27. Relaci´on piezoel´ectrica . . . 48

2.28. Relaci´on mec´anica . . . 48

2.29. Modelo LuGre . . . 49

2.30. Modelo simple de contacto a escala microsc´opica . . . 53

2.31. Distribuci´on peri´odica de ranuras . . . 54

2.32. S´olido libre del bloque 1 en el sistema con varios bloques . . . 54

(11)

3.1. Soluciones NSM y Octave para t < 1 . . . 67

3.2. Circuito equivalente a la ecuaci´on para a = 0 . . . 67

3.3. Circuitos para generar los valores de y(t) e y⁰(t) . . . 68

3.4. Curva obtenida con el m´etodo recurrente . . . 71

3.5. Soluci´on obtenida con Octave para a=1 . . . 71

3.6. Soluci´on obtenida con MESIR para a=1 . . . 72

3.7. Circuito equivalente con a = 1 . . . 73

3.8. Circuitos para general los valores de y(t) e y’(t) . . . 73

3.9. Ampliaci´on de la Figura 3.5 con c´odigo Octave . . . 74

3.10. Ampliaci´on de la Figura 3.6 con MESIR . . . 74

3.11. Espejo parab´olico . . . 75

3.12. Circuito equivalente a la ecuaci´on del Espejo Parab´olico . . . 75

3.13. Circuitos para generar y(t) and y’(t) . . . 76

3.14. Espejo Parab´olico de MESIR . . . 76

3.15. Circuito equivalente a la ecuaci´on de Van der Pol forzada con a = 8.53 77 3.16. Soluci´on obtenida con MESIR . . . 77

3.17. Diagrama de fases obtenido con MESIR . . . 78

3.18. Circuito ejemplo de corriente alterna . . . 79

3.19. Gr´afica de error para el M´etodo Trapezoidal que es de orden p=1: h=1 (azul), h = 10⁻² (rojo), h = 10⁻³ (verde), h = 10⁻⁴ (negro) y h = 10⁻⁵ (amarillo) . . . 80

3.20. Gr´afica de error para el M´etodo Gear de orden p=2: h=1 (azul), h = 10⁻² (rojo), h = 10⁻³ (verde), h = 10⁻⁴ (negro) y h = 10⁻⁵ (amarillo) . . . . 80

(12)

3.25. Error de la solución de la ecuación de Van der Pol aplicando el método Trapezoidal y h = 1 · 10⁻¹ . . . 84 3.26. Gráfica de error para el problema de Van der Pol Método Trapezoidal y

h = 1 · 10⁻² . . . 85 3.27. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Trapezoidal y

h = 1 · 10⁻³ . . . 85 3.28. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Trapezoidal y

h = 1 · 10⁻⁴ . . . 86 3.29. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

2 y h = 1 · 10⁻¹ . . . 86 3.30. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

2 y h = 1 · 10⁻² . . . 87 3.31. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

2 y h = 1 · 10⁻³ . . . 87 3.32. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

2 y h = 1 · 10⁻⁴ . . . 88 3.33. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

3 y h = 1 · 10⁻¹ . . . 88 3.34. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

3 y h = 1 · 10⁻² . . . 89 3.35. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

3 y h = 1 · 10⁻³ . . . 89 3.36. Gr´afica de error para el problema de Van der Pol M´etodo Gear de orden

3 y h = 1 · 10⁻⁴ . . . 90 3.37. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 5 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁶ (DTMIN=1e-15) . . . 94 3.38. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 5 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁵ (DTMIN=1e-15) . . . 94 3.39. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 5 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁴ (DTMIN=1e-15) . . . 94 3.40. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 5 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻³ (DTMIN=1e-15) . . . 95 3.41. Diagrama de fases del modelo FKT con los mismos par´ametros que la

Fig. 3.40 en el intervalo de 3.950 a 4.000 s . . . 95

(13)

3.42. Diagrama de fases del modelo FKT con los mismos par´ametros que la Fig. 3.40 en el intervalo de 7.950 a 8.000 s . . . 95 3.43. Diagrama de fases del modelo FKT con los mismos par´ametros que la

Fig. 3.39 en el intervalo de 50 a 100 s . . . 96 3.44. Diagrama de fases del modelo FKT con los mismos par´ametros que la

Fig. 3.38 en el intervalo de 50 a 100 s . . . 96 3.45. Diagrama de fases del modelo FKT con los mismos par´ametros que la

Figura 3.38 pero usando resistencias cero e infinito de valor 10⁻²⁰y 10⁺²⁰, respectivamente . . . 96 3.46. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁴ (DTMIN=1e-15) . . . 97 3.47. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁵ (DTMIN=1e-15) . . . 97 3.48. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁶ (DTMIN=1e-15) . . . 98 3.49. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁷ (DTMIN=1e-15) . . . 98 3.50. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻¹⁰ (DTMIN=1e-15) . . . 99 3.51. Diagrama de fases del modelo FKT con κ2 = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻¹² (DTMIN=1e-15) . . . 99 3.52. Diagrama de fases del modelo FKT con κ2 = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁶ (DTMIN=1e-15) (50-100s) . . . 99 3.53. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻¹⁰ (DTMIN=1e-15) . . . 100 3.56. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻¹⁰ (DTMIN=1e-15) . . . 101 3.57. Diagrama de fases del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VN-

TOL igual a 1 · 10⁻⁵ (DTMIN=1e-15) . . . 101 3.58. Exponentes de Lyapunov exponents del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 . . . 101

(14)

3.59. Diagrama de fases del modelo FKT usando Octave con κ₂ = 1, 6 para

RELTOL y VNTOL igual a 1 · 10⁻⁵ (DTMIN=1e-15) . . . 102

3.60. Diagrama de fases del modelo FKT usando NGSpice con κ₂ = 1, 6 para RELTOL y VNTOL igual a 1 · 10⁻⁵ (DTMIN=1e-15) . . . 102

3.61. Diagrama de fases del modelo FKT usando Octave con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VNTOL igual a 1 · 10⁻⁵ (DTMIN=1e-15) . . . 103

3.62. Diagrama de fases del modelo FKT usando NGSpice con κ₂ = 1, 4 para RELTOL y VNTOL igual a 1 · 10⁻⁵ (DTMIN=1e-15) . . . 103

3.63. Exponentes de Lyapunov del modelo FKT con κ₂ = 1, 6 . . . 104

3.64. Exponentes de Lyapunov del modelo FKT con κ₂ = 1, 4 . . . 104

3.65. Exponentes de Lyapunov exponents del modelo FKT versus κ₂: 1,4 (a) y 1,6 (b) . . . 105

4.1. Patrón de contaminación definido por a = 1 (átomos amarillos), b = 3 (átomos azules) . . . 110

4.2. Circuito para la fuerza de contacto con estado de ruptura . . . 115

4.3. Circuito para el estado de ruptura . . . 115

4.4. Circuito para el c´alculo de t’ . . . 116

4.5. Circuito para el c´alculo del valor absoluto de la tensi´on en el nudo F U_j 116 4.6. Curva de comportamiento del interruptor SF U_j . . . 116

4.7. Curva de comportamiento del interruptor ST Pj . . . 117

4.8. Curva de comportamiento del interruptor SCU_j . . . 117

4.9. Curva de comportamiento del interruptor SCD_j . . . 118

4.10. Modelo de deslizador con NB puntos de contacto con estado de ruptura 118 4.11. Modelo en red de la fuerza de contacto para un sistema de 70 bloques . 119 4.12. Circuito para el cálculo del valor absoluto de la tensión en el nudo F Uj 119 4.13. Circuito para el cálculo de t’ . . . 119

4.14. Circuito para el estado de ruptura . . . 120

4.15. Circuito para obtener la posici´on de contacto del bloque 1 . . . 120

4.16. Circuitos de resoluci´on de la ecuaci´on de equilibrio . . . 120

(15)

4.17. Modificación del circuito 4.2 para incluir el efecto de la distribución pe- riódica de ranuras . . . 121 4.18. Modificación del circuito 4.3 para incluir el efecto de la distribución pe-

riódica de ranuras . . . 121 5.1. Diagrama de fases posición-velocidad sin contaminar . . . 124 5.2. La fuerza de contacto sin contaminar . . . 124 5.3. Diagrama de fases posición-velocidad con a=144, b=5, j=1 y k_i = 1, 3 . 125 5.4. La fuerza de contacto con a=144, b=5, j=1 y k_i = 1, 3 . . . 125 5.5. Diagrama de fases posición-velocidad con a=144, b=5, j=1 y k_i = 1, 5 . 126 5.6. La fuerza de contacto con a=144, b=5, j=1 y k_i = 1, 5 . . . 126 5.7. Diagrama de fases posición-velocidad con a=144, b=5, j=1 y k_i = 1, 7 . 127 5.8. La fuerza de contacto con a=144, b=5, j=1 y k_i = 1, 7 . . . 127 5.9. Diagrama de fases posición-velocidad con a=1, b=1, j=166 y ki = 1, 3 . 128 5.10. La fuerza de contacto con a=1, b=1, j=166 y k_i = 1, 3 . . . 128 5.11. Diagrama de fases posición-velocidad con a=1, b=1, j=166 y k_i = 1, 5 . 129 5.12. La fuerza de contacto con a=1, b=1, j=166 y k_i = 1, 5 . . . 129 5.13. Diagrama de fases posición-velocidad con a=1, b=1, j=166 y k_i = 1, 7 . 130 5.14. La fuerza de contacto con a=1, b=1, j=166 y k_i = 1, 7 . . . 130 5.15. Diagrama de fases posición-velocidad con a=116, b=1, j=166 y k_i = 1, 3 131 5.16. La fuerza de contacto con a=116, b=1, j=166 y ki = 1, 3 . . . 131 5.17. Diagrama de fases posición-velocidad con a=116, b=1, j=166 y k_i = 1, 5 132 5.18. La fuerza de contacto con a=116, b=1, j=166 y k_i = 1, 5 . . . 132 5.19. Diagrama de fases posición-velocidad con a=116, b=1, j=166 y k_i = 1, 7 133 5.20. La fuerza de contacto con a=116, b=1, j=166 y k_i = 1, 7 . . . 133 5.21. Diagrama de fases posición-velocidad con a=25, b=1, j=8 y k_i = 1, 3 . 134 5.22. La fuerza de contacto con a=25, b=1, j=8 y k_i = 1, 3 . . . 134 5.23. Diagrama de fases posición-velocidad con a=25, b=1, j=8 y ki = 1, 5 . 135 5.24. La fuerza de contacto con a=25, b=1, j=8 y k_i = 1, 5 . . . 135 5.25. Diagrama de fases posición-velocidad con a=25, b=1, j=8 y k_i = 1, 7 . 136

(16)

5.26. La fuerza de contacto con a=25, b=1, j=8 y k_i = 1, 7 . . . 136

5.27. Fuerza de contacto con estado de ruptura en un bloque (30 ms) . . . . 139

5.28. Fuerza de rozamiento (30 ms) . . . 140

5.29. Fuerza de rozamiento calculada . . . 141

5.30. Fuerza de rozamiento calculada por Capozza [1] . . . 141

5.31. Fuerza de contacto en el modelo de ranura con un bloque . . . 142

5.32. Ampliaci´on de la figura 5.31 . . . 143

5.33. Representaci´on del tiempo t’ . . . 143

5.34. Desplazamiento del bloque en un modelo de un solo bloque . . . 144

5.35. Ampliaci´on de la figura 5.34 . . . 144

5.36. Fuerza de contacto en el modelo de ranura . . . 145

5.37. Ampliaci´on de la Figura 5.36 . . . 145

5.38. Desplazamiento en el modelo de ranura con un solo bloque . . . 146

5.39. Fuerza de contacto en el modelo de ranura de 3 bloques . . . 146

5.40. Desplazamiento de un bloque en el modelo de ranura de 3 bloques . . . 147

A2.1.Circuito ejemplo de corriente continua . . . 156

A2.2.Circuito ejemplo de corriente alterna . . . 158

(17)

´ Indice de tablas

3.1. Parámetros usados para obtener las gráficas de error según el método

empleado . . . 79

3.2. Tiempos de c´alculo para cada m´etodo en segundos . . . 83

3.3. Parámetros usados para obtener las gráficas de error según el método empleado en el problema de Van der Pol . . . 83

4.1. Valores de j para cada valor de b seleccionado, cuando a=1 . . . 110

4.5. Patrones de dopado en el modelo FKT . . . 114

5.1. Fuerza de fricci´on en un modelo FKT con 233 ´atomos y distintos tipos de dopado: 1, 2, 3 y 4 . . . 137

(18)

Glosario

Definición de los términos empleados en el documento as´ı como las unidades de medida de cada término:

Constantes f´ısicas

Nombre S´ımbolo Valor Unidad

N´umero π π 3.14159265358979323846

N´umero e e 2.71828182845904523536

Constante de Euler γ = l´ım

n→∞

_n P

k=1

1/k − ln(n)

= 0.5772156649

Carga del electr´on e 1.60217733 · 10⁻¹⁹ C

Constante Gravitacional G, κ 6.67259 · 10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻² Constante estructura fina α = e²/2hcε₀ ≈ 1/137

Constante estructura fina α = e²/4πε₀ 1.439976 M eV · f m Constante estructura fina α = e²/4πε₀ 8.988 · 10⁹ N m²/C² Velocidad de la luz en el vac´ıo c 2.99792458 · 10⁸ m/s (def)

Permitividad en el vac´ıo ε₀ 8.854187 · 10⁻¹² F/m

Permeabilidad en el vac´ıo µ₀ 4π · 10⁻⁷ H/m

(4πε₀)⁻¹ 8.9876 · 10⁹ Nm²C⁻²

Constante de Planck h 6.6260755 · 10⁻³⁴ Js

Constante de Dirac ~ = h/2π 1.0545727 · 10⁻³⁴ Js

Magnet´on de Bohr µ_B = e~/2me 9.2741 · 10⁻²⁴ Am²

Radio de Bohr a₀ 0.52918 ˚A

Constante de Rydberg Ry 13.595 eV

Electron Compton wavelength λ_Ce= h/c 2.2463 · 10⁻¹² m Proton Compton wavelength λ_Cp = h/m_pc 1.3214 · 10⁻¹⁵ m Reduced mass of the H-atom µH 9.1045755 · 10⁻³¹ kg

Constante de Stefan-Boltzmann σ 5.67032 · 10⁻⁸ Wm⁻²K⁻⁴

Constante de Wien k_W 2.8978 · 10⁻³ mK

Constante de gas ideal R 8.31441 J·mol⁻¹·K⁻¹

Constante de Avogadro N_A 6.0221367 · 10²³ mol⁻¹

Constante de Boltzmann k = R/N_A 1.380658 · 10⁻²³ J/K

Masa del electr´on m_e 9.1093897 · 10⁻³¹ kg

Masa del prot´on m_p 1.6726231 · 10⁻²⁷ kg

Masa del neutr´on m_n 1.674954 · 10⁻²⁷ kg

Unidad de masa elementas m_u = ₁₂¹ m(¹²₆C) 1.6605656 · 10⁻²⁷ kg

Magnet´on nuclear µ_N 5.0508 · 10⁻²⁷ J/T

(19)

T´ erminos latinos

B: Ancho de ranura, m b: Amplitud de onda, m c: Separación entre átomos, m c_S: Amortiguación de asperezas d_v: Amortiguamiento viscoso ent(): Entero de un valor

F_a: Fuerza de amortiguamiento, N F_C: Fuerza de Coulomb, N

F_f : Fuerza de fricci´on, N

F_f(v_i) : Fuerza de fricci´on que depende de la velocidad, N FN: Fuerza normal, N

F_sj: Fuerza de contacto del bloque con la superficie inm´ovil, N/kg

F_S(γ, t_d): Valor de la fricción estática, que depende de un parámetro emp´ırico γ y del tiempo de permanencia t_d

f_si: L´ımite de la fuerza de contacto, N/kg

F_sul: Fuerza de contacto con estado de ruptura, N/kg

g_v_rel: Funci´on no lineal que describe la curva caracter´ıstica de Stribeck K: Rigidez a compresi´on del deslizador, N/m

kc: Constante elástica del muelle que representa la interacción de las masas, N/m k_d: Constante elástica del muelle que representa la interacción masa-bloque, N/m K_i, i = 1, 2, 3: Rigidez del contacto entre el deslizador y la base fija, N/m

k_i, i = 1, 2, 3: Constante el´astica del muelle que representa la interacci´on de las masas, N/m

Kint: Constante el´astica del resorte que representa la interacci´on entre bloques, N/m

k_p: Constante elástica del muelle que representa la interacción masa-sustrato, N/m KSL: Rigidez a compresión del deslizador, N/m

(20)

K_sur: Rigidez a cortadura en la interfase, N/m kS:Rigidez de las asperezas, N/m

k_s:Rigidez de contacto relacionada con el desplazamiento previo a la fase de slip l: Separaci´on entre ´atomos en condiciones de equilibrio, m

L: Longitud, m m: Masa, kg

M : N´uumero de ´atomos en la superficie considerada en reposo m_B: Masa del bloque deslizante, kg

m_b: Masa del bloque deslizante, kg N : es la carga normal, N

N : Número de átomos en la superficie del bloque deslizante P : Número de átomos en la superficie móvil

Q: Número de átomos en la superficie fija R_a: Parámetro de rugosidad

RZ: Parámetro de rugosidad S: Parámetro de rugosidad S_m: Parámetro de rugosidad t: Tiempo, s

t_d: Tiempo de permanencia, s

t⁰: Tiempo transcurrido hasta la última vez que la fuerza de contacto alcanzó el valor l´ımite más el tiempo de retardo, s

u_n: Posición en la red del átomo n, m Ui: Desplazamiento absoluto del bloque i,m U_i⁰: Posición del punto de contacto activo, m V : Velocidad relativa, m/s

V : Velocidad constante del deslizador, m/s v_B: Velocidad del bloque, m/s

(21)

v_j: Velocidad de la masa j, m/s Vdr: Velocidad de la cinta, m/s v_S: Velocidad de Stribeck, ms

v_rel: Velocidad relativa de los cuerpos en contacto, m/s

˙v_rel: Variaci´on de la velocidad relativa

x: Desplazamiento relativo del bloque respecto la superficie m´ovil, m

x_i: Desviación de la posición del bloque i respecto a su posición de equilibrio, m x_m: Desplazamiento del bloque móvil, m

x_m: Posici´on del contacto desde el inicio del contacto activo, m

˙xi: Velocidad del punto, m/s

¨

x_i: Aceleraci´on del punto, m/s²

z: Argumento de la funci´on. Variable de estado

T´ erminos griegos

α : Coeficiente que determina la forma de la curva tensi´on deformaci´on β : Coeficiente de amortiguamiento viscoso

γ : Coeficiente de amortiguamiento, par´ametro emp´ırico

: Parámetro de precisión, controla la suavidad de la transición κ₁ : Coeficiente de interacción entre átomos vecinos

κ₂ : Coeficiente de interacci´on entre los ´atomos superficiales del cuerpo superior y el interior de la superficie

λ : Longitud de onda

µ : Coeficiente de fricción dinámica µ_c: Coeficiente de fricción de Coulomb µ_S : Coeficiente de fricción estática

ξj : Desplazamiento relativo del ´atomo j de masa m τ : Intervalo de tiempo, N

(22)

τ : Tiempo de retardo introducido para considerar el efecto de hist´eresis de la memoria de fricci´on

φ: ´Angulo del giro, rad ω: Velocidad angular, rad/s

Ahora se ofrece un listado con los nombres usados para el desarrollo de los circuitos usando la nomenclatura que viene impuesta por el programa libre NGSpice.

T´ erminos de circuitos

BX_j: Fuente de tensión j-ésima en el circuito correspondiente LX_j: Bobina j-ésima del circuito correspondiente

XYj: Nudo j-ésimo en el circuito correspondiente RX_j: Resistencia j-ésima del circuito correspondiente SU Y_j: Interruptor j-ésimo en el circuito correspondiente CX_j: Condensador j-ésimo del circuito correspondiente V X_j: Pila j-ésima del circuito correspondiente

Acr´ onimos

AAA: Autonomous Atom Assembler ABS: Antilock Braking System APCVD: Atmospheric pressure CVD CNT: Carbon nanotubes

CVD: Chemical Vapour Deposition DRIE: deep reactive-ion etching FCC: C´ubico centrado en la cara FDA: Friction-driving actuator FK: Frenkel-Kontotova

FKT: Frenkel-Kontorova-Tomlinson

(23)

HCP: Hexagonal compacta IDM: impact drive mechanism

LAMMPS: Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator LCK: Ley de las Corrientes de Kirchoff

LLE: Large Lyapunov Exponent LPCVD: Low pressure CVD LTE: Local Truncation Error

LVK: Ley de las Tensiones de Kirchoff MNA: Modified nodal analysis

ME: Maximal exponent

MEMS: Microelectromechanical system

MOEMS: Microoptoelectromechanical systems NEMS: Nanoelectromechanical systems

NSM: Network Simulation Method PA: Piezoelectric actuator

PDMS: polydimetylsiloxane PEEK: polyether ether ketone

PIFA: Piezoelectric inertia–friction actuator PT: Prandtl-Tomlinson

PVD: physical Vapour Desposition RTN: Random telegraph noise RIE: reactive-ion etching SDA: Scratch drive actuators SFM: Scanning Force Microscope STM: Scanning tunneling microscope UHVCVD: Ultrahigh vacuum CVD

(24)

1 Introducci´ on y objetivos

1.1 Introducci´ on

Era el a˜no 2015 cuando el Dr. Moreno y el Dr. Mar´ın me propusieron emprender el largo camino de realizar la tesis doctoral, no se hizo esperar mi respuesta afirmativa.

Tras varias reflexiones, decidimos continuar con el trabajo de Dr. Mar´ın. El Dr.

Balibrea figura como codirector, porque tras varias charlas con él, vio el potencial que tiene el método de redes y me propuso realizar estudios de los errores numéricos.

Estos estudios no se hab´ıan abordado hasta entonces. Ademas, me propuso aplicar el método de redes a sistemas de ecuaciones diferenciales con comportamientos caóticos para poder comprobar la fiabilidad y precisión el método.

Tanto el Grupo de Investigación de Simulación por Redes como el Grupo de Simulación Numérica en Ingenier´ıa Industrial cuentan con una gran experiencia y capacidad en modelado y simulación de procesos empleando el método de simulación por redes.

Una vez fijado el tema de investigación, la primera etapa de esta es la búsqueda de información y documentación. Como se podrá comprobar con posterioridad, la tesis presenta dos l´ıneas bien diferenciadas. La primera es la aplicación de un procedimiento numérico a los problemas de fricción seca y superficies contaminadas. La segunda es la visión matemática, ya que se plantea un análisis de los errores.

La segunda etapa ha consistido en la elaboración de los diferentes modelos de fricción a escala atómica con superficies dopadas. Este tema ha tenido una dificultad desde el principio, y es la escasa información técnica ofrecida por las empresas con intereses comerciales sobre estas superficies.

La tercera etapa es el desarrollo de modelos de superficies microsc´opicas con huecos.

El principal escollo encontrado en esta fase fue el desarrollo del modelo en red que arrojara resultados satisfactorios. Tanto en la segunda como en la tercera etapa se pudo aprovechar la experiencia previa en la elaboraci´on de modelos de fricci´on seca para tener un punto de partida.

La cuarta etapa comenzó con el desarrollo de los modelos de sistemas de ecuaciones con comportamientos caóticos. De los tres modelos analizados, el de desarrollo más complejo fue el propuesto por Newton en su tesis doctoral. Esta fase se prolongó más de lo esperado ya que, aunque la expresión formal de la familia de ecuaciones tiene una apariencia “sencilla”, la solución no es intuitiva.

(25)

El trabajo ha sido, adem´as de profundo y exhaustivo, agotador; si bien, las sucesivas metas parciales, bien definidas, nos han permitido cubrir uno a uno los objetivos propuestos y los planteados tras la consecuci´on de algunas de estas metas. Se ha intentado publicar, paulatinamente, cada resultado o conjunto de resultados de este trabajo. Al final, como resultados parciales hemos elaborado dos art´ıculos publicados en revistas especializadas. Los modelos propuestos se han verificado con resultados de otras publicaciones.

La presente memoria está organizada en 6 cap´ıtulos y 3 anexos. En el cap´ıtulo 1, tras esta introducción, se enumeran los objetivos propuestos. En el cap´ıtulo 2 se presentan los fundamentos teóricos de la fricción, los procesos de fabricación de superficies microscópicas como nanoscópicas y el método de simulación por redes, base para el diseño de modelos. En el cap´ıtulo 3, que es una parte esencial en esta memoria, se realiza un estudio de la convergencia del método de redes, as´ı como la obtención del error. En el cap´ıtulo 4 se definen los modelos diseñados para las diferentes escalas. El cap´ıtulo 5, otra parte esencial de esta memoria, muestra soluciones obtenidas con el método. Por último, las contribuciones y conclusiones vienen descritas en el cap´ıtulo final de la memoria.

1.2 Objetivos

Se han considerado los siguientes objetivos generales:

1. Definición del el estado del arte, en particular el referido a las formulaciones potenciales relacionadas con la representación de Frenkel-Kontorova-Tomlinson, as´ı como las formuladas por Capozza para superficies con ranuras y contaminadas, tratadas en la literatura cient´ıfica de hace algunos años y no del todo precisas 2. Elección de las formulaciones más adecuadas para la aplicación del método de

redes: definiciones del coeficiente de fricción dependiente de la velocidad y de la condición de apalancamiento-deslizamiento (stick-slip), condiciones de contami- nación y tiempos de retardo para superficies texturizadas

3. Estudio de los errores cometidos con los métodos numéricos y la elección de la formulación que represente la evolución del error cometido en el método de simu- lación por redes

De forma m´as espec´ıfica, se pueden desglosar los objetivos en los siguientes apartados:

1. Desarrollo de modelos en red para el an´alisis de fricci´on con diferentes condiciones de la superficie

(26)

2. Desarrollo de modelos en red para el an´alisis de sistemas de ecuaciones diferenciales como el modelo de Van der Pol, el espejo parab´olico o el problema de una familia de ecuaciones planteado por Newton

3. Desarrollo del modelo a aplicar a todos los m´etodos, para analizar el error cometido

4. An´alisis de las soluciones para identificar el comportamiento ca´otico del movimiento

5. An´alisis de las soluciones de los diferentes sistemas de ecuaciones que sirven para verificar la fiabilidad del m´etodo

6. Comprensión del fenómeno de fricción seca en dispositivos que trabajan con superficies suaves a nivel atómico, analizando esta fricción desde un punto de vista de investigación básica

7. Comprensión del fenómeno de fricción seca en dispositivos que trabajan con superficies suaves a nivel atómico, con impurezas y ranuradas microscópicamente analizando esta fricción desde un punto de vista de investigación básica

1.3 Desarrollos futuros

Muchos son los desarrollos futuros en los que se pueden trabajar. El trabajo más inmediato es la realización de un programa, TRIBONET-22, para la generación y simulación de modelos, cuyos módulos de cálculo y post-proceso son el objeto de esta tesis, quedando pendiente el desarrollo de la interfaz con el usuario. El programa deberá crear el modelo mediante una interfaz gráfica, poner en marcha el núcleo de cálculo numérico, y simular y procesar los resultados de la simulación de forma eficiente y completa. Relacionada con la propuesta anterior, es necesario mencionar el interés de la inclusión de la simulación de otros mecanismos relacionados con la fricción, como micromecanismos, objetivo no incluido en la memoria por falta de un dispositivo de ensayo. Otro fenómeno interesante a estudiar es el de emisión de fonones, que no ha sido incluido en el presente trabajo ya que en si mismo supondr´ıa otra tesis.

Un segundo programa a desarrollar, es la generalizaci´on del proceso de c´alculo de error para cualquier modelo en red.

Como posibles l´ıneas de trabajo podemos mencionar: i) análisis con otros modelos de coeficientes de fricción y velocidades del elemento que arrastra; ii) incorporación de más grados de libertad; iii) planteamiento de problemas inversos en sus diferentes vertientes para este proceso merced a la experiencia del método en otros campos; iv) estudios de modelización de las superficies en contacto: rugosidad, presencia de lubricante; v) estudios de modelización aplicados a mecánica cuántica; y vi) modelos aplicados a sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior, etc

(27)

2 Fundamentos te´ oricos

2.1 Introducci´ on

Los fundamentos teóricos son la base de cualquier disciplina permitiendo abordar, con cierta seguridad, los problemas o dificultades que se presenten durante el desarrollo de un trabajo, ya sea de investigación, de aplicación más práctica o una combinación de ambos.

Este cap´ıtulo no pretende ser un tratado extenso sobre los procesos f´ısicos que aqu´ı se tratan, pues existe multitud de bibliograf´ıa y documentaci´on mas extensa sobre estos temas. Lo que se pretende hacer en este cap´ıtulo es exponer lo fundamentos f´ısicos y matem´aticos que son necesarios para el desarrollo de los casos concretos que se han seleccionado para este trabajo.

2.2 Fricci´ on seca

La fricción es el fenómeno f´ısico que se produce entre dos superficies en contacto con movimiento relativo entre ellas. Esta fricción, de forma muy genérica, presenta dos etapas. En la primera, conocida como rozamiento estático, se suponen las superficies en reposo, cuando una inicia el movimiento al aplicar una fuerza que vence el rozamiento inicial. Y la segunda, conocida como rozamiento dinámico, considera la fuerza aplicada para vencer el rozamiento una vez establecido el movimiento.

Ya desde los primeros cursos de F´ısica, en la educación secundaria, aparece el estudio de la fricción. Con el paso de los cursos, y ya en el entorno universitario, se puede estudiar la evolución de la fricción en los movimientos entre sólidos, o entre sólidos y l´ıqui- dos, como un fenómeno macroscópico, pero sin llegar a profundizar a nivel microscópico.

Los estudios a este nivel presentan dos puntos de vista. Uno de ellos intenta describir los fen´omenos que ocurren y analizarlos experimentalmente. El segundo utiliza modelos f´ısicos que reproducen algunas caracter´ısticas observadas en los procesos experimentales. El primer enfoque permite mejorar los modelos desarrollados por el segundo, que a su vez ofrecen explicaciones de los fen´omenos observados, aportando ideas para nuevos ensayos.

En esta tesis se pretende continuar con el estudio de la fricci´on, desde un punto de

(28)

vista de desarrollo de modelos de fricción a escala microscópica usando el método de simulación por redes, ya iniciado por integrantes del grupo de Simulación Numérica en Ingenier´ıa Industrial, en el que se integra esta tesis.

También, desde esta perspectiva, es necesario reconocer las diferencias entre el problema estático y dinámico, que se ven reflejados en los valores de los parámetros que definen el problema.

En cuanto a los fines perseguidos y para unos parámetros dados, en reposo, el objetivo fundamental es averiguar la fuerza necesaria para que comience el movimiento. En cambio, para los estados dinámicos es interesante conocer el valor de la velocidad donde esta fuerza alcanza su m´ınimo y se estabiliza. Ambos problemas son muy sensibles a la variación de los parámetros que definen el problema.

2.2.1 Influencia de la rugosidad en el coeficiente de fricci´on seca

La determinación de las propiedades de las superficies rugosas es un problema presente en ciencia y tecnolog´ıa [92]. Para definirlo se debe obtener el factor mas importante en el comportamiento de contactos secos y altamente cargados, la rugosidad superficial [63]. Un procedimiento general para la caracterización de la rugosidad consiste en conseguir valores estad´ısticos procedentes del perfil bidimensional o tridimensional, según sea el análisis. Habitualmente, se usan los parámetros Ra, Rz, S y Sm para la determinación bidimensional. Dichos parámetros son excesivamente genéricos para una correcta caracterización tridimensional [65].

La mejor´ıa experimentada en la exactitud de las mediciones por las técnicas de no contacto como por las de contacto tradicional, ha permitido a los investigadores evaluar la rugosidad a nivel nanoscópico, Figura 2.1, [65]. En dicha figura se puede ver el campo de actuación de estos instrumentos:

microscopio electrónico de barrido (SEM) microscopio de fuerza atómica (AFM) microscopio de efecto túnel (STM)

Es necesario una mayor investigación en el estudio de superficies empleando el microscopio de sonda de barrido ya que se obtienen valores promedio de los parámetros a nivel nanométrico. Hasta que no se disponga de esta precisión el modelado matemático del contacto, durante la fricción seca de las superficies suaves queda reducido a estudios

(29)

x

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 1 10 10² 10³

y

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 1 10

ondulaci´on microrrugosidad

subrugosidad rugosidad

atom-molecular

rango de resoluci´on Granescaneado AFM

Peque˜no escaneado

AFM

SEM Perfilometr´ıa´optica Perfilometr´ıadeaguja

STM

espaciado, µm

altura,µm

Figura 2.1: Esquema de diferentes métodos de medida de rugosidad para la medida de rango de resolución vertical-lateral y parámetros de espaciado y altura de asperezas (Myshkin, Grigoriev y col. 2003)

de car´acter b´asico [65].

A pesar de las limitaciones experimentales, existen tres propiedades fundamentales que se deben considerar a la hora de hacer uso de diferentes m´etodos avanzados de recogida de datos con objeto de formular la estructura de la rugosidad, estos son:

1. Distribuci´on aleatoria de asperezas y de sus par´ametros, entre los que se encuen- tran la altura, la pendiente y la curvatura en la cresta

2. Carácter multiescala de la rugosidad, asociado a la variación significativa en el tamaño de las asperezas, pudiendo ir desde una pequeña fracción hasta nivel atómico

3. No-homogeneidad, que se manifiesta como una dependencia entre los par´ametros

(30)

de rugosidad a la escala de medida

Estas tres propiedades no son independientes, por lo que la topograf´ıa multiescala [65]

tiene un desempe˜no capital.

Cinco son los niveles topogr´aficos considerados en funci´on de la escala de longitud:

errores de forma, ondulación, microrrugosidad o rugosidad tecnológica, subrugosidad o relieve f´ısico, y rugosidad atómico-molecular. A nivel práctico, se ha detectado que las superficies tienen, como poco, dos niveles de asperezas, ondulación más rugosidad o rugosidad más subrugosidad. El primero en implantar en la tribolog´ıa la influencia de esta propiedad fue Archard, que propuso el modelo multinivel [6].

Sayles y Thomas identificaron la no-homogeneidad de la topograf´ıa superficial como origen del problema [82]. En ese aspecto, [65], plantearon un procedimiento para separar en dos niveles la topograf´ıa medida por AFM: rugosidad y subrugosidad.

Dicho procedimiento debe cumplir en todo caso con una de las dos condiciones para la homogeneidad, debe tener un valor promedio nulo. Para poder eliminar la componente de gran longitud de onda, rugosidad, usaron un método de filtrado de imagen de promediado repetido. Los parámetros del relieve a escala inferior a la micra, subrugosidad, se determinan mediante imágenes de 10×10µm con 128×128 puntos.

En sistemas de fricción seca, la formulación matemática de la superficie rugosa permite incluir caracter´ısticas encontradas en las medidas. As´ı se obtienen diferentes modelos de simulación numérica con un amplio rango de dificultad. Los modelos deterministas, que son los mas simples, describen la superficie rugosa como agrupaciones regulares de cuerpos sencillos. Los modelos más complejos están basados en la teor´ıa de probabilidades y geometr´ıa fractal [48, 73].

El área de contacto real o contacto f´ısico está referida a contactos puntuales entre superficies de fricción, entendiendo por subrugosidad al área formada por las asperezas que están en contacto a nivel nanométrico. As´ı, el área aparente es el área de la superficie de apoyo y que será mayor, en varios ordenes de magnitud, que el área de contacto f´ısico. Todo lo anterior ha sido analizado y comprobado por la relación entre el área de contacto f´ısico, que soporta una carga, y la intensidad de corriente eléctrica transmitida por dicho contacto. Llegando su complejidad a generar un campo de investigación encargado de tratar el análisis del efecto de esta rugosidad en los coeficientes de fricción.

Tradicionalmente, el coeficiente de fricción podrá ser utilizado en estos casos, siempre y cuando sea convenientemente adaptado para que cumpla con el comportamiento obtenido experimentalmente. Por este motivo, el coeficiente de fricción clásico es empleado solo en determinados materiales y con un determinado rango de cargas.

(31)

Con todas las limitaciones anteriormente mencionadas, se evidencia la bondad de los modelos de rugosidad basados en este coeficiente para el estudio de diferentes dispositivos supeditados a cargas y velocidades de arrastre, ya que muestran transiciones interesantes entre deslizamientos estacionarios, periódicos y caóticos. Conocer los valores de los parámetros que determinan cada estado es esencial para un diseño correcto y una operación adecuada de estos dispositivos.

2.2.2 Efectos de la hist´eresis en fricci´on seca

En primer lugar, es preciso resaltar la existencia de una gran variedad de modelos de fricci´on seca cuya efectividad depende de las caracter´ısticas del problema a modelar.

Partiendo del modelo de Coulomb [27], el más sencillo y eficiente para un sistema en el que la velocidad de deslizamiento permanece prácticamente constante; pero que no actúa bien en sistemas dinámicos complejos, con comportamientos caóticos, [16, 31, 33, 69, 75, 85, 93, 101, 103]. Cuando se ha elegido el sistema a estudiar, es importante tener presente la transición entre los estados de fricción estática y dinámica, concretando la definición del comportamiento del sistema cuando la velocidad relativa es nula. Este modelo debe incorporar:

1. Hist´eresis, que explica el predeslizamiento o fase de stick

2. Retardo de la fricci´on o la irreversibilidad de la fuerza de fricci´on

3. Otros fenómenos caracter´ısticos de la fricción como la fuerza de fricción estática variable, o el efecto Stribeck, que será descrito en este apartado

Sin embargo, es bastante complejo integrar en un único modelo todos los efectos de fricción. En concreto, resulta dif´ıcil definir un mecanismo que gobierne la transición entre la fase de enclavamiento (fase de stick) y el deslizamiento (fase de slip). En las

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ultimas dos décadas han aparecido una variedad de modelos de fricción que incluyen las propiedades anteriormente mencionadas [2, 7, 8, 30, 57, 62, 76]. Estos tienen el inconveniente de ser demasiado complicados para ser aplicados a dispositivos mecánicos, debido a la dificultad que entraña determinar, de manera fiable, los parámetros que usan.

En general, la fuerza de fricción está definida como la reacción en la dirección tangente a dos superficies en el punto de contacto. Varios son los factores que definen a la fuerza de fricción: geometr´ıa y topolog´ıa de las superficies, las propiedades f´ısicas de los materiales de las superficies, la velocidad relativa y el desplazamiento de los cuerpos en contacto.

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En la primera descripción dada por Coulomb en 1785 [27], no consideró el efecto de la velocidad relativa. En los inicios del siglo XX, los ensayos revelaron la existencia de una dependencia no lineal de la fuerza de fricción con dicha velocidad [78, 89, 90].

Dichos ensayos fueron realizados con frecuencia en condiciones estacionarias. Por otro lado, el trabajo de Stribeck [89, 90] muestra la transici´on no lineal de la fase de stick a la fase de slip. Realmente interesante es el efecto Stribeck [89, 90], que consiste en la caida de la fuerza de fricci´on para valores casi nulos de velocidad relativa, Figura 2.2-(a).

Rabinowicz [78] trabajó para obtener el valor máximo de la fuerza de fricción que surge en la transición de fase stick a fase slip, y que es el valor necesario para romper el enclavamiento e iniciar el movimiento. De los estudios de estos valores se concluye que la magnitud de dichos valores depende de la rapidez con la que aumenta la fuerza de fricción durante la fase de stick [50]. As´ı, cuanto mas rápido es el incremento menor será el valor máximo de dicha fuerza. Los niveles máximos variables de la fuerza de fricción están también relacionados con el tiempo de permanencia a velocidad relativa nula, Figura 2.2-(b).

v _rel F _f

a)

t _d F _S

b)

Figura 2.2: Curva de Stribeck, a) fuerza de fricción versus velocidad relativa y b) fuerza máxima de fricción versus tiempo de permanencia a velocidad relativa nula

A continuación, se considera el conjunto de propiedades de fricción relacionadas con los efectos de histéresis. Una de ellas puede surgir en la fase de enclavamiento y durante la transición de fase stick a fase slip, y tiene un comportamiento semejante al de un resorte. El fenómeno de movimiento microscópico, fase de stick, viene representado por

(33)

la anchura reducida del ciclo de hist´eresis que aparece en torno a la velocidad relativa nula y est´a asociado a la rigidez tangencial del contacto, Figura 2.3, [28, 45].

v _rel F _f

Figura 2.3: Hist´eresis durante la fase de stick

Otro efecto de histéresis aparece durante el desplazamiento de uno de los cuerpos en la fase de slip. Estos desplazamientos relativos son de un orden mucho mayor que en la fase de stick. Hess y Soom [46], fueron los primeros que lo documentaron para una velocidad relativa fluctuante Figura 2.4-(a). La superficie de la curva de histéresis aumenta con la velocidad relativa [70]. Al disminuir la velocidad relativa la fuerza de fricción será menor. A partir de esta información, queda demostrada la existencia de una memoria de fricción que está asociada a la permanencia de la fuerza de fricción.

Se han podido observar caracter´ısticas de histéresis similares con variaciones fluctuan- tes de la velocidad relativa, Figura 2.4-(b). La existencia de pendientes diferentes de la fuerza de fricción durante la aceleración y la deceleración está confirmada por algunos estudios teóricos y experimentales [12, 31]. Esta caracter´ıstica se conoce como irreversibilidad de la fuerza de fricción [76, 100, 102].

2.2.3 Formulaci´on de la fuerza de fricci´on seca

El fenómeno de histéresis no está incluido en los modelos de fricción estáticos. Este fenómeno viene representado por una irreversibilidad o retardo de la fuerza de fricción.

Generalmente, existe una dependencia entre la fuerza de fricci´on y la velocidad relativa.

Al introducir la histéresis en los modelos dinámicos de fricción, se incorporarán las variables de estado que permiten una correcta caracterización de la fricción y también, será incorporada la evolución temporal de estas variables de estado mediante una ecuación diferencial [104].

Se debe a Coulomb el enfoque propio en la ingenier´ıa, que simplifica la fuerza de fricci´on F_f, expres´andola como un valor constante y de signo contrario al de la

(34)

v _rel F _f

a)

v _rel F _f

b)

Figura 2.4: Hist´eresis durante la fase de slip, a) fuerza fluctuante y b) fuerza alternante

velocidad relativa, v_rel, de los cuerpos en contacto; esto es, en la forma:

F_f = −N · µ_c· sgn(v_rel) (2.1)

donde N es la carga normal y µ_c el coeficiente de fricci´on de Coulomb, Figura 2.5.

Este es el modelo clásico y más sencillo, pero en la práctica no explica el comportamiento dinámico obtenido en sistemas mecánicos con fricción. As´ı, el modelo matemático de vibraciones auto-excitadas, inducidas por la fricción seca, debe tener una pendiente no nula de la fuerza de fricción cuya finalidad es iniciar estas oscilaciones [11]. La fuerza de fricción propuesta por Coulomb presenta un inconveniente en la respuesta en la zona de velocidad relativa nula, la falta de interpretación f´ısica. Esto impone la necesidad de corregir el modelo de Coulomb, programando un valor nulo en los cambios de signo de dicha fuerza en el momento en el que la velocidad relativa sea nula.

Un modelo mas preciso de la expresi´on anterior incluye una diferencia entre la fase de stick y la fase de slip:

|F_f| ≤ µ_s· F_N = F_S; si v_rel = 0

F_f = −sgn(v_rel) · µ · F_N; si v_rel 6= 0 (2.2) donde µ_S es el coeficiente de fricción estática, F_N la fuerza normal, µ el coeficiente de fricción dinámica y F_f la fuerza de fricción.

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v_rel

−10 −5 0 5 10

F_f

−1

−0.5 0 0.5 1

Figura 2.5: Gr´afica representativa de la ley de Coulomb, fuerza de fricci´on versus velocidad relativa

El coeficiente de fricción dinámica se define en función de la velocidad relativa como sigue:

µ = µ_S

1 + δ · |v_rel| (2.3)

El parámetro δ de la ecuación 2.3 permite incorporar la caracter´ıstica de Stribeck a la expresión de la fuerza de fricción, Figura 2.6. En dicha figura se observa un cambio brusco de la fuerza de fricción cuando la velocidad relativa cambia de dirección. Una forma de atenuar esta transición es sustituir la función sgn(z) por (2/π) · arctan( · z) [4], donde es el parámetro de precisión, que controla la forma de la transición y z es el argumento de la función. La Figura 2.7 muestra esta función para diferentes valores de .

v_rel

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 F_f

−1

−0.5 0 0.5 1

Figura 2.6: Caracter´ıstica de Stribeck incorporada a la fuerza de fricci´on (δ = 3)

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Figura 2.7: Aproximaciones de la función sgn(z). Para = 1 · 10² (l´ınea de trazo y punto), = 1 · 10⁴ (l´ınea de trazo), y = 1 · 10⁶ (l´ınea continua). a) Representación completa y b) ampliación de la esquina superior

Independientemente de este cambio, la discontinuidad sigue siendo fuerte y es dif´ıcil lograr que las soluciones numéricas converjan. Y el último cambio para la fuerza de fricción en el momento en el que la velocidad relativa sufre un cambio de signo será introducir un valor cero para dicha fuerza.

Otros modelos con propiedades no lineales de fricción, se pueden formular según la siguiente ecuación:

F_f = −N · µ_c·

1 + µ_S− µ_c µ_c g(v_rel)

· sgn(v_rel) (2.4) donde µ_S es el coeficiente de fricción estática y g(v_rel) una función no lineal que describe la curva caracter´ıstica de Stribeck.

Los modelos m´as frecuentes que relacionan la fuerza de fricci´on con la velocidad relativa son los siguientes:

Exponencial [95]

e^−|v^rel^|/v^S (2.5)

Exponencial generalizada [15]

e^−|v^rel^|/v^S (2.6)

de Gauss [7]

e⁻(^vrel_vs )² (2.7)

de Laurentz [46]

1 1 +

vrel

vs

2 (2.8)

(37)

de Popp-Stelter [75]

1

1 + η₁· |v_rel| + η₂· v_rel²

µ_S− µ_c (2.9)

donde α, δ, η₁ y η₂ son constantes y v_S es la velocidad de Stribeck, que es el l´ımite de la velocidad relativa entre la fase de stick y la fase de slip.

Existen unos modelos denominados con memoria de fricci´on, que incluyen la aceleraci´on.

La memoria de fricción, o elasticidad del contacto unido al efecto producido por la histéresis, necesitan de unos modelos de fricción mas perfeccionados. Debido a ello, Powell, Wiercigroch y col. [76, 102] propusieron un sencillo modelo de comportamiento de la histéresis durante la fase de slip, fundamentado en la irreversibilidad de la fricción.

Para los casos en los que la fricción irreversible es simétrica, Figura 2.6, es posible modelarlos haciendo uso de la ecuación 2.4. Este modelado usa una función no lineal para incluir el signo en la variación de la velocidad relativa ˙v_rel:

g (v_rel) = e^−α·|v^rel^|· sgn (v_rel· ˙v_rel) (2.10) Otro planteamiento es el del modelo de siete parámetros, que es descrito como un modelo estático del comportamiento de histéresis [7, 8]. Dicho modelo es más complejo que aquel que incluye la irreversibilidad de fricción al estar compuesto por dos modelos diferentes: un modelo para fase de stick y otro modelo para la fase de slip. Cuando el sistema está en fase de stick, la fricción viene descrita por el modelo de resorte lineal:

F_f (x) = k_S· x (2.11)

donde k_S es la rigidez de contacto relacionada con el desplazamiento previo a la fase de slip.

La fricci´on en la fase de slip, es modelada mediante una fuerza de Coulomb, FC, una constante de amortiguamiento viscoso, d_v, la memoria de fricci´on y el efecto Stribeck:

F_f(v_rel, t) =

F_C+ d_v|v_rel| + F_S(γ, t_d) 1

1 + (vrel(t − τ )/vs]²

· sgn (v_rel) (2.12)

donde F_S(γ, t_d) presenta el valor de la fricción estática, que es dependiente de un parámetro emp´ırico γ y del tiempo de permanencia td, y τ es el tiempo de retardo introducido para considerar el efecto de histéresis de la memoria de fricción.

Existe un problema de conmutación entre las ecuaciones 2.11 y 2.12 en las transiciones de fase stick a fase slip durante la resolución numérica de estos modelos.

Efecto de los patrones de texturización y dopaje en fricción seca

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