Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
de Orden Superior
y
Aplicaciones a la Ingeniera Civil
Manuel Calixto Molina
Departamento de Matematica Aplicada y Estadstica,
Universidad Politecnica de Cartagena,
Paseo Alfonso XIII, 52
30203 Cartagena
24 de Abril de 2002
Indice General
1 Teora sobre EDOs lineales de Orden Superior 5
1.1 Generalidades y estructura delespacio de soluciones . . . 5
1.1.1 Problemas de: valores iniciales (V.I.)y valores en lafrontera (V.F.) 6 1.1.2 Ecuaciones homogeneas. Sistema fundamentalde soluciones . . . . 7
1.1.3 Ecuaciones nohomogeneas. Variacion de lasconstantes . . . 11
1.2 EDOs lineales con coecientes constantes . . . 13
1.2.1 EDOslineales homogeneas con coecientes constantes . . . 13
1.2.2 EDOslineales nohomogeneas con coecientes constantes . . . 14
1.3 Sistemas de EDOs lineales con coecientes constantes . . . 16
2 Aplicaciones a la Ingeniera Civil 19 2.1 Problemas de V.I.: vibracionesmecanicas y electricas . . . 19
2.1.1 Osciladorarmonico simple . . . 22
2.1.2 Osciladorarmonico amortiguado. . . 23
2.1.3 Osciladorarmonico forzado: pulsacionesy resonancia pura . . . 25
2.1.4 Osciladorarmonico amortiguadoy forzado: factor de amplicacion 28 2.1.5 Analogaselectricas. Leyesde Kirchho . . . 30
2.2 Problemas de V.F.: exiony pandeo en vigas . . . 30
2.2.1 Flexion en vigas: ecuacion diferencial de la curva elastica y echa de exion . . . 31
2.2.2 Pandeo en vigas: carga de Euler y modos de desviacion . . . 38
2.2.3 Derrumbedelpuente colgantede Tacoma Narrows . . . 40
Teora sobre EDOs lineales de Orden
Superior
1.1 Generalidades y estructura del espacio de solu-
ciones
Una EDOlineal de n-esimo orden puedeescribirse simbolicamentecomo:
a
n (x)y
(n)
+a
n 1 (x)y
(n 1)
+:::a
1 (x)y
0
+a
0
(x)y =b(x) (1.1)
Esta ecuacion puede escribirse tambien como un sistema de n EDOs de orden uno de la
forma
~z 0
=A(x)~z+
~
b (x); (1.2)
donde~z =(y;y 0
;:::;y (n 1)
),
A(x)= 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1 0 0 0
0 0 1
.
.
.
0 0
0 0 0
.
.
.
0 0
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
0 0 0
.
.
.
0 1
a0(x)
an(x)
a1(x)
an(x)
a2(x)
an(x)
an 2(x)
an(x)
an 1(x)
an(x) 1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
y
~
b(x)=(0;0;;0;b(x)=a
n (x))
T
;
dondeT indica trasposicion.
Esta traduccion de una EDO de orden n a un sistema equivalente de n EDOs de
orden 1 nos resultara util aqu, mas que desde un punto de vista practico, desde una
perspectivateorica. Haremosusoextensivode esta correspondenciaentre ambosespacios
de soluciones.
Consideraremos dos tipos de problemas, dependiendo del tipo de restricciones sobre
lasolucion generalde (1.1)
1.1.1 Problemas de: valores iniciales (V.I.) y valores en la fron-
tera (V.F.)
Problema de valores iniciales
Un problema de valores iniciales para una EDO linealde orden n consiste en
Resolver: a
n (x)y
(n)
+a
n 1 (x)y
(n 1)
+:::a
1 (x)y
0
+a
0
(x)y =b(x)
Sujeta a: y(x
0 )=y
0
;y 0
(x
0 )=y
0
0
;:::;y (n 1)
(x
0 )=y
(n 1)
0
: (1.3)
o en forma de sistema
~ z 0
=A(x)~z+
~
b(x); ~z(x
0 )=~z
0 :
Para el problema de valores iniciales (1.3) tenemos un teorema de existencia y unicidad
de soluciones que nos dice lo siguiente:
Teorema 1.1.1. Sean a
n (x);a
n 1
(x);:::;a
1 (x);a
0
(x) y b(x) continuas en un intervalo
I R, y sea a
n
(x) 6=08x 2I. Si x = x
0
es cualquier punto en el intervalo, existe una
unica solucion y(x)en dicho intervalo del problema de valores iniciales (1.3).
Observacion 1.1.2. Notese que si a
n
(x) = 0 para alguna x en el intervalo I, la solucion
del problema lineal de valores iniciales (1.3) quiza no sea unica o incluso no exista; Por
ejemplo, es inmediato comprobar que la funcion y(x) = cx 2
+x+3 es una solucion del
problema de valores iniciales
x 2
y 00
2xy 0
+2y =6; y(0)=3;y 0
(0)=1
para x2( 1;1)y cualquiervalordelparametro c. Enotras palabras, nohay solucion
unicaparaeste problema. Esto sedebeaque,aunqueloscoecientes a
n
(x)son funciones
continuas en (1;1), el coeciente a
2
(x) = x 2
es cero en x = 0, precisamente donde se
han impuesto lascondiciones iniciales.
Problema de valores en la frontera
Otrotipode problema esresolveruna EDOlinealen elquelavariabledependiente y,
o sus derivadas, esten especicadas en puntos distintos. Un problema como
Resolver: a
2 (x)y
00
+a
1 (x)y
0
+a
0
(x)y =b(x)
Sujeta a: y(x
0 )=y
0
;y(x
1 )=y
1
; (1.4)
sedenominaproblemadevalores enlafrontera. Lasrestriccionesy(x
0 )=y
0
;y(x
1 )=y
1 se
denominan condicionesen lafrontera. Unasoluciondelproblemaanterioresuna funcion
que satisface la ecuacion diferencial en algun intervalo I que contiene a x
0 y x
1 , cuya
graca pasa por los puntos (x
0
;y
0 ) y (x
1
;y
1
). Estas condiciones en la frontera son casos
particulares de lascondiciones generales:
0 y(x
0 )+
0 y
0
(x
0 )=
0
;
y(x )+ y 0
(x )= :
Los ejemplos que siguen demuestran que aun cuando se satisfagan las condiciones del
teorema 1.1.1, un problema de valor en la frontera puede tener i) varias soluciones; ii)
solucionunica, oiii) ningunasolucion. En efecto la soluciongeneral de la EDO linealde
orden2: y 00
+16y =0es y=c
1
cos(4x)+c
2
sen (4x). Ahora:
i) Siimponemosy(0)= 0;y(=2) =0 )c
1
= 0, con c
2
arbitraria. Es decir, tenemos
una familia uniparametrica de soluciones y = c
2
sen (4x) que pasan por los puntos
(0;0) y (=2;0)y que satisfacenla ecuaciony 00
+16y=0.
ii) Si imponemos y(0) = 0;y(=8) = 0 ) c
1
= c
2
= 0. Es decir, y = 0 es la unica
solucionde y 00
+16y =0 que pasa porestos puntos.
ii) Si imponemos y(0) = 0;y(=2) = 1 ) c
1
= 0;1;c
2
=arbitraria. Es decir, el
problema notiene solucion.
1.1.2 Ecuaciones homogeneas. Sistema fundamental de solucio-
nes
Una EDO lineal de orden n como (1.3) se dice homogenea si el lado derecho de la
igualdades identicamentenulo: b(x)=0. Veremosque la resolucionde una ecuacion no
homogeneacomo (1.3) pasa por laresolucion de laecuacion homogeneaasociada.
Operadores diferenciales
A veces es util denotar dy
dx
= Dy, donde el smbolo D se llama operador diferencial
porque transforma una funcion diferenciable en otra funcion. Las derivadas de orden
superior se pueden expresar como \potencias"de D, como d
n
y
dx n
= D n
y. Las expresiones
polinomicas en D, como L = D 2
+3xD +5 tambien son operadores diferenciales. En
general:
Denicion 1.1.3. Se dene un operador diferencial de orden n como:
L=a
n (x)D
n
+a
n 1 (x)D
n 1
++a
1
(x)D+a
0
(x); (1.5)
dondea
i
(x);i=0;1;:::;n son funciones reales (ocomplejas) de x.
Denotemos por C (m)
el conjunto de las funciones reales (o complejas) f : R ! R de
clasem. ObviamenteC (m)
esun espaciovectorialsobre elcuerpoR, yLesunaaplicacion
L:C (m)
!C (l )
; mn quehace corresponder acada f 2C (m)
una funcionL(f)de clase
C (l )
. La aplicacion \multiplicacion por a
0
(x)"hace corresponder a cada funcion f(x) la
funcion a
0
(x)f(x). Veamos que la aplicacion L : C (m)
! C (l )
;m n es una aplicacion
linealentre espaciosvectoriales.
Teorema 1.1.4. El operador L tiene la propiedad de linealidad
L( f(x)+g(x)) = L(f(x))+L(g(x)); (1.6)
donde y son constantes y f;g 2C (m)
; m n. A causade esta propiedad, el operador
Demostracion: lademostracion radica en dos propiedades basicas de la diferenciacion:
1)D( f(x))= Df(x),dondeesunaconstante, y2)D(f(x)+g(x))=Df(x)+Dg(x).
Estas propiedadesson claramenteextensibles aladerivada n-esima D n
, incluyendo D 0
1, y a sus combinaciones linealescon coecientes a
k
(x).
Observacion 1.1.5. Noteseque, alcontrarioqueD,eloperadorLnotiene porquecumplir
laregladeLeibnitzD(f(x)g(x)) =D(f(x))g(x)+f(x)D(g(x)). Estosedebealapresencia
del terminoa
0
(x) en (1.5).
Notacion operatorial de EDOs lineales
La EDO lineal (1.3) puede expresarse en forma compacta en terminos del operador
diferencial lineal (1.5) como:
L(y)=0;
para elcasohomogeneob(x)=0,obienen formadeun sistemade n EDOsdeordenuno
como:
D ~z =A(x)~z )(DI
n
A(x))~z =
~
0;
donde I
n
denota lamatriz identidadnn.
As, resolver la ecuacion L(y) = 0 signica encontrar el nucleo del operador L entre
las funciones reales n veces derivables C (n)
. O,equivalentemente, encontrar elnucleo del
operadorlineal DI
n
A(x) entre las funcionesvectoriales derivables~z :I !R n
.
Principio de superposicion
La propiedad de linealidad de L permite, dadas dos o mas soluciones de L(y) = 0,
encontrar otra. Esta idea viene expresada de maneraprecisa en el siguienteteorema
Teorema 1.1.6. Sean y
1
;y
2
;:::;y
k
soluciones de la ecuacion diferencial homogenea de
orden n L(y)=0, donde x esta en un intervalo I. La combinacion lineal
y(x)=
1 y
1
(x)+
2 y
2
(x)++
k y
k (x);
donde
i
;i = 1;2;:::;k son constantes arbitrarias, tambien es una solucion cuando x
esta en el intervalo I.
Demostracion: la clave estaen lalinealidadde L:
L(y)=L(
1 y
1 +
2 y
2
++
k y
k )=
1 L(y
1 )+
2 L(y
2
)++
k L(y
k )=0;
donde, en la ultima igualdad hemos usado que L(y
i
) = 0; i = 1;:::;k, es decir, que
y
1
;y
2
;:::;y
k
son soluciones de laEDO lineal homogenea de orden n: L(y)=0.
Corolario 1.1.7. Del teorema anterior se deduce inmediatamente que las soluciones de
L(y)=0 forman un espacio vectorial sobre R.
Dependencia e independencia lineal
Citaremos un par de conceptos basicos para estudiarEDOs lineales.
Denicion 1.1.8. Se dice queun conjunto de funciones,f
1 (x);f
2
(x);:::;f
n
(x)eslineal-
mente dependiente en un intervalo I si existen constantes ,
1
;
2
;:::;
n
2 R no todas
nulas, tales que
1 f
1
(x)+
2 f
2
(x)++
n f
n
(x)=0; 8x2I:
Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente
independiente.
Para unconjuntode dosfunciones,ladependencialineal
1 f
1
(x)+
2 f
2
(x)=0signi-
caqueunafuncionesmultiplodelaotra: f
1 (x)=
2
1 f
2
(x)(suponiendoque
1
6=0). Por
ejemplo,lasfuncionesf
1
(x)=sen (2x)yf
2
(x)=sen (x)cos (x)son linealmentedependien-
tes en I = ( 1;1) porque f
1
(x) = sen (2x) =2sen (x)cos(x) = 2f
2
(x). Por otro lado,
las funciones f
1
(x) = x y f
2
(x) = jxj son linealmente independientes en I = ( 1;1)
(aunque noen los intervalos( 1;0) y (0;1),donde son dependientes).
Generalidades sobre las soluciones de EDOs lineales homogeneas
Antes de entrar en formulas explcitas para lassoluciones, lascuales solopueden pro-
porcionarse salvocasos excepcionalescomo elcaso de coecientes constantes, estudiemos
con detenimiento laestructura del espaciode soluciones.
Teorema 1.1.9. Las soluciones de L(y)=0, o equivalentementede (DI
n
A(x))~z =
~
0,
forman un espacio vectorial de dimension n sobre R.
Demostracion: hemos visto que la suma de soluciones y el producto de soluciones de
L(y)= 0 porescalares son tambien solucion. Para conocer ladimension utilizaremos la
equivalencia L(y) = 0 , (DI
n
A(x))~z =
~
0. Fijemos una base ~v
1
;~v
2
;:::~v
n de R
n
y
x
0
2 I, y consideremos las soluciones ~z
1
;~z
2
;:::~z
n
de (DI
n
A(x))~z =
~
0 con condiciones
iniciales~z
i (x
0 )=~v
i
;i=1;2;:::;n.
Basta probarque ~z
1
;~z
2
;:::~z
n
forman una base delespacio de soluciones (linealmente
independienteygenerador). Paraelloprocedamosporreduccionalabsurdo. Supongamos
queexisten constantes
1
;
2
;:::;
n
2R notodas nulas, tales que
1
~ z
1
(x)+
2
~z
2
(x)++
n
~z
n (x)=
~
0; 8x2I:
Sustituyendo x por x
0 ,
1
~ v
1 +
2
~v
2
++
n
~ v
n
=
~
0;
peroestocontradiceque~v
1
;~v
2
;:::~v
n
seaunabasedeR n
,luego~z
1
;~z
2
;:::~z
n
sonlinealmente
independientes. Paraverquesonunsistemagenerador,supongamosque~zesunasolucion
de (DI
n
A(x))~z =
~
0 ypongamos~z(x
0
)=~v. Sean
1
;
2
;:::;
n
2R lascoordenadasde
~v en la base~v
1
;~v
2
;:::~v
n de R
n
. Entonces
~z (x )+ ~z (x )++ ~z (x )=~v;
y porunicidad de soluciones delproblema de Cauchy (Teorema1.1.1)
1
~ z
1
(x)+
2
~ z
2
(x)++
n
~ z
n
(x)=~z(x):
Portanto~z
1
;~z
2
;:::~z
n
forman un sistema generador.
Denicion 1.1.10. Llamaremos acualquierade las basesS =f~z
1
;~z
2
;:::~z
n
g delespacio
desolucionesde(DI
n
A(x))~z =
~
0unsistemafundamental desoluciones. Delasmatrices
Z = 0
B
B
B
@ z
1;0 z
2;0
z
n;0
z
1;1 z
2;1
z
n;1
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.
z
1;n 1 z
2;n 1
z
n;n 1 1
C
C
C
A
= 0
B
B
B
@ y
1
y
2
y
n
y 0
1
y 0
2
y 0
n
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.
y (n 1)
1
y (n 1)
2
y (n 1)
n 1
C
C
C
A 2M
nn (R)
cuyas columnas ~z
1
;~z
2
;:::~z
n
son un sistema fundamental S diremos que son matrices
fundamentales M[S]=Z de (DI
n
A(x))~z =
~
0$L(y)=0.
Entre lasfamiliasF =fy
1 (x);y
2
(x);:::;y
n
(x)gde soluciones de L(y)=0distinguire-
mos las que constituyen un sistema fundamental de lasque no a traves del Wronskiano,
que se denecomo el determinante
W[F](x)=jM[F](x)j =
y
1
(x) y
2
(x) y
n (x)
y 0
1
(x) y
0
2
(x) y 0
n (x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y (n 1)
1
(x) y (n 1)
2
(x) y (n 1)
n
(x)
:
Teorema 1.1.11. Sean y
1 (x);y
2
(x);:::;y
n
(x) soluciones de L(y) = 0. Entonces las
siguientes armaciones son equivalentes:
(i) La familia F = f~z
1
;~z
2
;:::~z
n
g, formada por los vectores con componentes ~z
k
=
(y
k
;y 0
k
;:::;y (n 1)
k
), es un sistema fundamental;
(ii) existe x
0
2I tal que W[F](x
0 )6=0;
(iii) para todo x2I;W[F](x)6=0
Demostracion: envirtud delisomorsmolinealentre elespaciodesoluciones deL(y)=
0 y (DI
n
A(x))~z =
~
0, podemos demostrar que (i))(ii). En efecto, supongamos
que M[F](x) es una matriz fundamental pero que, sin embargo, existe x
1
2 I tal que
detM[F](x
1
) = W[F](x
1
) 6= 0. Existiran entonces
1
;
2
;:::;
n
2 R no todas nulas,
tales que
1
~ z
1 (x
1 )+
2
~ z
2 (x
1
)++
n
~ z
n (x
1 )=
~
0. Denamos~z(x)=
1
~z
1
(x)+
2
~z
2 (x)+
+
n
~z
n
(x). Obviamente~z(x)essolucionde(DI
n
A(x))~z =
~
0conlacondicioninicial
~ z(x
1 ) =
~
0, al igual que ~z(x) =
~
0, luego, por unicidad, ~z(x)=
~
0. Se contradice as que la
familiaF sea libre.
Trivialmente(iii))(ii).
Para probar que (ii))(i), basta notar que ~v
i
=~z
i (x
0
);i = 1;2;:::;n es una base de
R n
y razonar como en el Teorema 1.1.9 para concluir que F es un sistema fundamental.
1.1.3 Ecuaciones no homogeneas. Variacion de las constantes
Lassolucionesde laecuacionlinealhomogeneaL(y)=0$(DI
n
A(x))~z =
~
0y dela
nohomogenea L(y)=b(x)$(DI
n
A(x))~z =
~
b (x) guardan una relacionmuy estrecha,
como pone de maniesto el siguiente resultado:
Teorema 1.1.12. SeaS =fy
1 (x);y
2
(x);:::;y
n
(x)g un sistemafundamental de L(y)=0
e y
p
(x) una solucion cualquiera de L(y)=b(x). Entonces la solucion general de L(y)=
b(x) viene dada por
y(x)=
s:g :n:h:
z }| {
y
p (x)
|{z}
s:p:n:h:
+c
1 y
1
(x)+c
2 y
2
(x)++c
n y
n (x)
| {z }
s:g :h:
;
donde c
1
;c
2
;:::;c
n
son constantes arbitrarias.
Demostracion: sea y(x) la solucion general de la ecuacion no homogenea (s.g.n.h.)
L(y) = b(x) e y
p
(x) una solucion particular de L(y) = b(x) (s.p.n.h.). Si denimos
u(x)=y(x) y
p
(x), por lalinealidadde L se debecumplir
L(u)=L(y) L(y
p
)=b(x) b(x)=0:
Esto demuestra que u(x) es una solucion de la ecuacion homogenea L(y) = 0; por
consiguiente, segun el Teorema 1.1.9, existen constantes c
1
;c
2
;:::;c
n
tales que u(x) =
c
1 y
1
(x)+c
2 y
2
(x)++c
n y
n
(x)=y(x) y
p
(x) .
Principio de superposicion para ecuaciones no homogeneas
Respecto al calculo de soluciones particulares y
p
de L(y) = b(x), a veces resulta util
el siguiente \principio de superposicion"para EDOs lineales no homogeneas (vease mas
adelanteel metodo de los coecientes indeterminados).
Teorema 1.1.13. Sean y
p
1
;y
p
2
;:::;y
p
k
soluciones particulares respectivas de
L(y)=h
1
(x);L(y)=h
2
(x);:::;L(y)=h
k (x)
en un cierto intervalo I, entonces y
p
=
1 y
p
1 +
2 y
p
2
++
k y
p
k
, con
i
;i = 1;:::;k
constantes reales, es solucion de
L(y)=b(x)=
1 h
1
(x)+
2 h
2
(x)++
k h
k (x):
Demostracion: en efecto, este resultado es consecuencia de la linealidad del operador
diferencialL
L(
1 y
p1 +
2 y
p2
++
k y
p )=
1 h
1
(x)+
2 h
2
(x)++
k h
k
(x)=b(x):
Metodo de variacion de las constantes
Como en el caso de los sistemas lineales, la busqueda de la solucion general de la
ecuacion lineal no homogenea pasa por encontrar un sistema fundamental de soluciones
de la ecuacion homogenea y despues una solucionparticular de la completa. Cuando ya
se conoce la s.g.h., el calculo de una solucion particular puede hacerse porel metodo de
variaciondelasconstantes. Enestecaso,suponemosquelasolucionparticularquebusca-
mos podra escribirse, en terminos del sistema fundamental S =fy
1 (x);y
2
(x);:::;y
n (x)g
del queya disponemos,como
y
p
(x)=c
1 (x)y
1
(x)+c
2 (x)y
2
(x)++c
n (x)y
n
(x) (1.7)
para funcionesadecuadas c
i
(x); i=1;:::;n. Para comprenderlo mejor, hacemos uso del
isomorsmo lineal entre el espacio de soluciones de L(y)= 0 y (DI
n
A(x))~z =
~
0. As,
la ecuacion(1.7) puede escribirse de maneraequivalentecomo
~z
p
=Z(x)~c(x);
donde ~z
p
= (y
p
;y 0
p
;:::;y (n 1)
p )
T
, Z es la matriz fundamental denida en 1.1.10 y ~c(x) =
(c
1
;c
2
;:::;c
n )
T
(x). Noteseque,para unafuncion~z
p
denida de esta maneraocurriraque
~z 0
p
(x)=Z 0
(x)~c (x)+Z(x)~c 0
(x)=A(x)Z(x)~c (x)+Z(x)~c 0
(x);
donde hemos utilizado que (DI
n
A(x))~z
k
=
~
0; k = 1;:::;n para las columnas ~z
k de
la matriz fundamental Z(x). Si queremos que ~z
p
cumpla la ecuacion no homogenea
~ z 0
p
(x)=A(x)~z
p (x)+
~
b (x), se concluye que
Z(x)~c 0
(x)=
~
b (x))~c(x)= Z
Z 1
(x)
~
b (x)dx=
Z !
W[S](x)
W[S](x) dx;
donde, en la ultima igualdad,seha utilizadoelmetodode Cramercon
!
W[S]=(W
1 [S];W
2
[S];:::;W
n [S])
y W
j
[S]eldeterminantequeresulta desustituirlacolumnaj enelWronskianoW[S]por
~
b. As,la soluciongeneral de (DI
n
A(x))~z =
~
b(x) es
~z(x)=Z(x)~+Z(x) Z
Z 1
(x)
~
b (x)dx;
o, si seimponen condiciones iniciales~z(x
0 )=~z
0 :
~z(x)=Z(x)Z 1
(x
0 )~z
0
+Z(x) Z
x
x Z
1
(t)
~
b (t)dt: (1.8)
1.2 EDOs lineales con coecientes constantes
Existenmetodosderesoluciondeecuacioneslinealescomo(1.3)basadosendesarrollos
enseriedepotencias. Noobstante,nosotrosnotrataremosestosmetodosaquypasaremos
aabordarelcasomassencilloen queloscoecientes a
j
(x)de(1.3)sonconstantes a
k (x)=
a
k
. Sin perdida de generalidad podemos tomar a
n
= 1, de manera que la ecuacion a
estudiares
L(y)=y (n)
+a
n 1 y
(n 1)
++a
1 y
0
+a
0
=b(x):
Comencemospor buscarun sistemafundamentalde la EDO homogenea L(y)=0.
1.2.1 EDOs lineales homogeneas con coecientes constantes
Para encontrar la soluciongeneral de
L(y)=y (n)
+a
n 1 y
(n 1)
++a
1 y
0
+a
0
=0; (1.9)
ensayaremosfuncionesdeltipoy(x)=e
x
,quesustituidasenlaecuacionanteriorL(y)=0
nos queda L(e
x
)=e
x
L[]=0,donde
L[]= n
+a
n 1
n 1
++a
1
+a
0
; (1.10)
denota un polinomiode grado n en al que denominaremos polinomio caracterstico de
(1.9). La ecuacionL[]=0se denomina ecuacion caracterstica.
Teorema 1.2.1. La solucion generalde (1.9) es una combinacion linealde las funciones
x k
e x
cos(!x); x k
e x
sen (!x);
donde =+i! recorre el conjunto de las races de (1.10) con ! 0, y 0k m( ),
siendom( ) la multiplicidadde .
Demostracion: basta demostrar quesi es una razde L[] de multiplicidad m y 0
k m, entonces x k
e x
essolucionde L[D](y)=0 (con L[D]L).
1
A este n, apreciese
que si L[] factoriza como L[] = L
1 []L
2
[] entonces si L
2
[](y) = 0 ) L[](y) = 0.
Comonuestroobjetivoesdemostrarquesi( ) m
divideaL[]entoncesL[D](x k
e x
)=0
para cada 0k <m, bastaracon probar que
(D ) k+1
(x k
e x
)=0 paracada k0:
1
Notesequesi,enparticular, =+i!tiene parteimaginaria!6=0,entoncessetendra
0=L[D](x k
e x
)=L[D](x k
e x
cos(!x)+ix k
e ax
sen(!x))=L[D](x k
e x
cos(!x))+iL[D](x k
e ax
sen(!x));
k x k x
Esto es simple si razonamos por induccion. La armacion es obviamente cierta cuando
k =0. Supuesta cierta para k 1!(D ) k
(x k 1
e x
)=0, se tieneque:
(D ) k+1
x k
e x
= (D ) k
(D )x k
e x
= (D ) k
kx k 1
e x
+x k
e x
x k
e x
= k(D ) k
x k 1
e x
=0;
de modo que tambien sera cierta para k. Es inmediato comprobar tambien que dichas
soluciones son linealmenteindependientes.
1.2.2 EDOs lineales no homogeneas con coecientes constantes
Ya hemos visto un metodo general para el calculo de soluciones particulares de la
ecuacion no homogenea L(y) = b(x) conocido un sistema fundamental de la ecuacion
homogenea L(y) = 0, denominado metodo de variacion de las constantes [vease (1.8)].
Existe otro metodo mas directo para el caso en que el termino inhomogeneo b(x) sea
producto de exponenciales, polinomiosen x,senos y cosenos.
Metodo de los coecientes indeterminados
Teorema 1.2.2. Supongamosque
b(x)=e x
(p(x)cos(!x)+q(x)sen(!x));
donde p(x) y q(x) son polinomios de grado a lo sumo k 0. Sea = +i!. Entonces
se tienen las siguientes posibilidades:
(i) Si NO es raz del polinomio caracterstico (1.10) entonces L(y)=b(x) tiene una
solucion particular de la forma y
p
(x) =e x
(r(x)cos(!x)+s(x)sen (!x)), con r(x)
y s(x) polinomios de grado a losumo k.
(ii) Si esrazdelpolinomiocaracterstico(1.10)conmultiplicidadm,entoncesL(y)=
b(x)tieneunasolucionparticulardelaformay
p
(x)=e x
x m
(r(x)cos(!x)+s(x)sen (!x)),
con r(x) y s(x) polinomios de grado a lo sumo k.
Demostracion: utilizaremos laversion compleja
L(y)=y (n)
+a
n 1
y
(n 1)
++a
1
y 0
+a
0
y=e
x
v(x)=
b (x); (1.11)
delaecuacionrealL(y)=b(x),dondev(x)=p(x) iq(x)esunpolinomiode gradomenor
oigualquek concoecientescomplejos. Demostraremosqueexisteunasolucioncompleja
y
p
: R ! C de (1.11) de la forma y
p
(x)= x m
e
x
w(x), donde m es la multiplicidad de
como solucionde
n
+a
n 1
n 1
++a
1
+a
0
=0
(m = 0 si no es raz de la ecuacion) y w(x) = r(x) is(x) es un polinomio de gra-
do menor o igual que k con coecientes complejos. La parte real y (x) <(y (x)) =
e x
x m
(r(x)cos(!x) + s(x)sen (!x))serapuessoluciondeL(y)=b(x)conb(x)=<(
b (x))=
<(e
x
v(x)) =e x
(p(x)cos(!x)+q(x)sen (!x)).
Notese quelaecuacion(1.11)se puedereescribir en terminosde ladescomposicionen
producto de monomios(D
j )
m
j
, con
j
una raz de (1.10) de multiplicidad m
j
, de la
siguienteforma:
(D
1 )
m1
(D
2 )
m2
:::(D
r )
mr
(D ) m
y=e
x
v(x); (1.12)
donde admitimosla posibilidad de que sea o no sea una raz, poniendo en este ultimo
caso: m=0)(D ) 0
=1. Procedamos por partes:
a) Comencemos por el caso m = 0, o sea, cuando no es raz de (1.10). Bastara
probarqueexisteun polinomiow(x)de gradok talquey
p
(x)=e
x
w(x)essolucionde
(D
j
)y(x)=e
x
~
v(x) (1.13)
para algun polinomiov(x)~ de grado k. En efecto, sustituyendo y
p
(x) en (1.13)
e
x
~
v(x)=y 0
p
(x)
j
y
p
(x)=e
x
(w 0
(x)+w(x)
j
w(x)))v(x)~ =(
j
)w(x)+w 0
(x):
Poniendo v(x)~ = v~
0 +v~
1
x++v~
k x
k
y w(x) = w
0 +w
1
x++w
k x
k
e igualando
coecientes de igual grado:
~ v
0
= (
j )w
0 +w
1
;
~ v
1
= (
j )w
1 +2w
2
;
~ v
k 1
= (
j )w
k 1 +kw
k
;
~ v
k
= (
j )w
k
;
queobviamentetienesolucionporser 6=
j
(noesraz). Procediendodeformaiterada
llegamosa queexiste w(x)tal quey
p
(x)=e
x
w(x)es solucionde (1.12) con m=0.
b)Analizamosacontinuacionelcasoenqueseaunarazconmultiplicidadm=n)
m
j
= 0. Se trata de comprobar que y
p
(x) =x n
e
x
w(x)es una solucion de (D ) n
y =
e
x
v(x) con w(x) un polinomio de grado k. De hecho demostraremos bastante mas:
quepara cada n 1y l 0 laecuacion
(D ) n
y=x
l
e
x
v(x) (1.14)
tieneunasolucionde laformay
p
(x)=x l +n
e
x
w(x), conw(x)unpolinomiode gradok.
Razonemos por induccionsobre n y supongamosn =1. La funciony
p
(x)=x l +1
e
x
w(x)
sera solucionde (D )y=x l
e
x
v(x) siy solo si
x l
e
x
v(x)=x l +1
e
x
w(x)+[(l+1)x l
w(x)+x l +1
w 0
(x)]e
x
x l +1
e
x
w(x);
osea,
0
o igualandocoecientes de igual grado
v
0
= (l+1)w
0
;
v
1
= (l+2)w
1
;
v
k 1
= (l+k)w
k 1
;
v
k
= (l+k+1)w
k
;
y despejando obtenemos w
j
=v
j
=(j+l+1).
Paracompletarnuestroargumentoporinduccionsupongamosque
~
y
p
(x)=x l +n
e
x
~ w(x)
es solucion de ecuacion (D ) n
y=x
l
e
x
v(x) para un cierto n y demostremos entonces
que y
p
(x)=x l +n+1
e
x
w(x)essolucionde la ecuacion(D ) n+1
y=x
l
e
x
v(x)utilizando
que, comoya hemosdemostrado,(D )y
p
=x l +n
e
x
~
w(x)paraalgunpolinomiow(x)~ de
grado k. Enefecto:
(D ) n+1
y
p
= (D ) n
[(D )y
p ]
= (D ) n
[x l +n
e
x
~ w(x)
| {z }
~
yp
]=x l
e
x
w(x)
c) Acabamosde demostrar en elapartadob)que y
p
(x)=x m
e
x
w(x)essolucionde la
ecuacion
(D ) m
y=e
x
~ w(x)
~
y
p (x);
con w(x)~ un polinomiode gradok, y en elapartado a) que,asu vez,
~
y
p
(x) essolucion
de
(D
1 )
m
1
(D
2 )
m
2
:::(D
r )
mr
y=e
x
v(x):
Porconsiguiente, y
p
(x)=x m
e
x
w(x)es solucionde (1.12).
1.3 Sistemas de EDOs lineales con coecientes cons-
tantes
Consideremos el sistema
L
11 [D]y
1
(x)+L
12 [D]y
2
(x)++L
1n [D]y
n
(x)=b
1 (x);
L
21 [D]y
1
(x)+L
22 [D]y
2
(x)++L
2n [D]y
n
(x)=b
2 (x);
.
.
.
L
n1 [D]y
1
(x)+L
n2 [D]y
2
(x)++L
nn [D]y
n
(x)=b
n (x);
9
>
>
>
=
>
>
>
;
!L(~y(x))=
~
b(x); (1.15)
donde L denotaahora una matriznn cuyos coecientes L
ij
[D] son operadores lineales
como los denidos en (1.5). Para resolver este sistema diferencialloinmediatoes aplicar
el algoritmode triangulacionde Gauss tratando el sistema formalmente como silas fun-
ciones incognita ~y = (y ;y ;:::;y ) fuesen numeros y sus coecientes L [D] polinomios
en el \parametro"D. Sabemos que en este proceso de \triangulacion"se reemplaza una
la (o columna) por la que se obtiene al sumar a dicha la una \combinacion lineal"de
las restantes, en tendiendo aqu por \combinacion lineal"la \multiplicacion"de las por
operadoresdiferencialespolinomiales P
j c
j D
j
arbitrarios(nonecesariamenteconstantes).
Enelsiguientecaptuloestudiaremoslasecuacionesdemovimientodesistemasdeosci-
ladoresarmonicosacoplados,quepueden verse comocasosparticularescomolossistemas
de EDOs linealesde orden 2de laforma
L(~y)=MD 2
~y+CD~y+K~y =
~
F(x);
donde M se denomina matriz de masas, K es la matriz de resortes o de constantes de
acoplamiento,Ceslamatrizde constantesdeamortiguamiento,
~
F esun vectorde fuerzas
externas, e ~y(x) denota el vector de posicion~y del sistema en funcion deltiempo x. En
vez de aplicar el algoritmode triangulacionde Gauss, aqu es masconveniente (desde el
punto de vista interpretativo) ensayar una solucion deltipo ~y(x) =e
!x
~
para el sistema
homogeneo
(M
2
+C+K)~=
~
0;
el cual tendra solucion si det(M
2
+C+K) = 0, que constituye una ecuacion carac-
terstica paraelsistema. Uncaso particularmenteinteresanteescuandoC =0oC /K.
Entalcaso, el sistema seconvierte es una ecuacionde autovalores
M 2
~
= K~;
con autovalores
j
=i!
j
(\frecuencias naturales de vibracion") complejos puros (debido
a que M y K son en general matrices simetricas denidas positivas) y autovectores ~
j
(\modos normales de vibracion"). Por razones de tiempo, no trataremos aplicaciones
fsicas concretas de esta parte en el siguientecaptulo.
Aplicaciones a la Ingeniera Civil
2.1 Problemas de V.I.: vibraciones mecanicas y electricas
Estudiaremos el movimiento unidimensional de una partcula de masa m sometida
a fuerzas de diferente naturaleza: elasticas o restauradoras F
e
(t;x), viscosas o resistivas
F
v
(t;x;x)_ yotrasfuerzasexternasF
ext
(t)dependientesdeltiempo. Laecuaciondiferencial
que describe la evolucion de la posicion x(t) en funcion del tiempo viene dada por la
segunda ley de Newton:
mx=F
e
(t;x)+F
v
(t;x;x )_ +F
ext
(t); (2.1)
quees una EDO de orden 2 cuyas condicionesiniciales
x(t
0 )=x
0
; v(t
0
)=x (t_
0 )=v
0
;
consisten en especicar la posicionx(t) y la velocidad v(t) = dx(t)
dt
x (t)_ en un instante
inicialt
0 .
Pasemos a discutir distintas expresiones de dichas fuerzas y sus aproximaciones li-
neales, las cuales tomaremos como punto de partidapara un tratamiento analtico de la
ecuacion (2.1)
1. Fuerzas recuperadoras o elasticas F
e
. Hemos permitido,en general, fuerzas restau-
radorasF
e
(t;x)dependientesde laposicionydeltiempo. Supongamosquexdenota
un desplazamientoalrededor de una posicionde equilibrioy que F
e
(t;x)admiteun
desarrolloen serie alrededor de dichaposicionde equilibrio de la forma:
F
e
(t;x)= k
1
(t)x k
3 (t)x
3
+:::;
dondesolointervienenpotenciasimparesdeldesplazamientox debidoque lafuerza
restauradoradebe ser impar F
e
(t;x)= F
e
(t; x).
(a) Resortelineal. Cuando losdesplazamientossonpeque~nos, podemosdespreciar
ordenes superiores en eldesarrollode F
e
y considerar
F
e
(t;x)= k
1 (t)x:
i. Ley de Hooke. El caso mas sencillo e ideal es aquel en el cual las carac-
tersticas fsicas del resorte no cambian con el tiempo, es decir, cuando
k
1
(t) = k > 0 es independiente del tiempo, con lo cual la fuerza elastica
queda:
F
e
(t;x)= kx:
ii. Resortedesgastable. Sinembargo,enelmundoreal eslogicoesperar queel
resortededebilite(o\pierdabro")conformepasa eltiempo;porejemplo,
de la forma k
1
(t) = ke t
; k; > 0. En este caso, la EDO del sistema
\masa-resorte"
mx+ke t
x=0
setransforma en una
Ec: de Bessel( =0): s 2
d 2
x
ds 2
+s dx
ds +s
2
x=0:
medianteel cambiode variable
s= 2
r
k
m e
t=2
:
Lasoluciondeesta ecuacionseobtienepordesarrolloenserie depotencias
(nosotros notrataremos este metodoaqu) y puede escribirse en terminos
de las funcionesde Besselde primeray segunda clase de la forma:
x(t)=c
1 J
0 2
r
k
m e
t=2
!
+c
2 Y
0 2
r
k
m e
t=2
!
:
iii. Resorte que se endurece. Cuando un resorte se somete a un ambiente en
quelatemperaturadecrece rapidamente, laconstanteelasticacrececon el
tiempo, porejemplo, de formalineal k
1
(t)=kt. En estecaso, la EDOdel
sistema\masa-resorte"viene descrito porla
Ec: de Airy: mx+ktx=0:
que se resuelve por series de potencias. Dicha ecuacion tambien aparece
al estudiar la difraccion de la luz, la difraccion de las ondas de radio en
torno a la supercie de la Tierra, en aerodinamica y en el pandeo de una
columnaverticaluniforme que se exiona bajo supropio peso.
(b) Resorte no lineal. Para desplazamientos no tan peque~nos, el muelle abandona
sucomportamientolinealy lafuerza elasticaadopta(en el casoindependiente
del tiempo) laforma F
e
(x)= kx k
3 x
3
, donde hemosdespreciado terminos
de orden superior. DuÆng estudiolas oscilaciones forzadas de una masa pun-
tual sometida a una fuerza recuperadora no lineal modelada por la ecuacion
diferencial:
Ec: de DuÆng : mx+kx+k
3 x
3
=F
0
cos!t:
2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 21
i. Resorte duro. k
3
> 0, para el cual la fuerza recuperadora es mayor (en
valorabsoluto) quela delresorte lineal.
ii. Resorte suave. k
3
< 0, para el cual la fuerza recuperadora es menor (en
valorabsoluto) quela delresorte lineal.
x F x
Blando Duro Lineal
Figura2.1: FuerzaF
e
(x)= kx k
3 x
3
para unresorte lineal(k
3
=0), unoduro(k
3
>0)y
unoblando (k
3
<0)
2. Fuerzas resistivas o viscosas F
v
. Supongamos que F
v
(t;x;x)_ admite un desarrollo
en serie de laforma:
F
v
(t;x;x)_ = c
1
(t;x)x_ c
2
(t;x)jxj_ x_ c
3
(t;x)jxj_ 2
_
x+:::;
donde los valores absolutos garantizan que la fuerza viscosa se oponga siempre al
movimiento.
(a) Fuerzaviscosalineal. Paravelocidadespeque~nas,sepuedendespreciarterminos
de ordensuperior y tomar
F
v
(t;x;x)_ = c
1
(t;x)x :_
Caben varias posibilidades aqu:
i. Coeciente de viscosidad constante. c
1
(t;x)=c=constante> 0.
ii. Coeciente de viscosidad variable. Dentrode lasposibilidadesdestacamos
el caso c
1
(t;x)=c(x 2
a 2
)que dalugar a la
Ec: de vander Pol: mx+c(x 2
a 2
)x_ +kx=0:
El hecho de que la fuerza viscosa sea F
v
(jxj>jaj)<0 y F
v
(jxj<jaj)>0
(o, de otra forma, la partcula absorbe energa cuando jxj < jaj y disipa
cuando jxj >jaj) tendiendo, por tanto, permanecer en oscilacionestacio-
naria. Este eselresultado delTeoremade Lienard(vease [Simmons], pag.
518), elcual asegura para ecuacionescomo la de van der Pol laexistencia
de una unica trayectoria cerrada que rodea al origen en elplano de fases,
alaquetiendenen formade espiralestodaslasdemastrayectoriascuando
t!1.
(b) Fuerza viscosa no lineal. Para velocidades no tan peque~nas, y dependiendo
del tipo de medio viscoso, a veces es necesario a~nadir nuevos terminos en el
desarrollode F
v
, por ejemplo:
F
v
(x )_ = c
1 _ x c
2 jx j_ x:_
En la siguiente seccion solo consideraremos el caso lineal independiente del tiempo, con
lo cual, laecuacion aestudiar es:
mx+cx_ +kx=F
ext
(t)!x+2x_+! 2
0 x=F
ext (t)=m;
donde hemos puesto 2 = c=m y !
0
= q
k
m
por comodidad de calculo (vease mas ade-
lante). Como fuerzas externas F
ext
(t) utilizaremos, por simplicidad, funciones de tipo
periodico F
ext
(t)=F
ext
(t+T).
2.1.1 Oscilador armonico simple
Comencemos considerando el caso en que no existe fuerza viscosa ( =0) ni fuerzas
externas F
ext
(t)=0. As,la ecuaciona estudiares:
x+!
2
0 x=0:
Ensayando la solucionx(t)=e
t
obtenemos la ecuacioncaracterstica
2
+! 2
0
=0)
=i!
0
;
luego, por elteorema 1.2.1, lasoluciongeneral es:
x(t)=c
+ sen (!
0
t)+c cos(!
0
t)=Acos(!
0 t Æ);
donde las constantes de integracionA;Æ representan la amplitud y eldesfase, respectiva-
mente. Estas constantes se determinan atraves de las condiciones iniciales
x(0)=x
0
_
x (0)=v
0
)Æ=arctan(
v
0
!
0 x
0
); A=x
0 s
1+
v
0
x
0
!
0
2
:
Elresultado esun movimientosinusoidalde periodoT =2=!
0
. Lasorbitasenelespacio
de lasfases x (x)_ son elipseso vortices yaque
x(t) 2
C 2
+ _ x (t)
2
C 2
! 2
=1:
2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 23
2.1.2 Oscilador armonico amortiguado
Introduzcamos ahoraunafuerzaviscosa enelosciladorarmonicosimple,de formaque
laecuaciona estudiares:
x+2x_ +! 2
0 x=0:
Ensayando la solucionx(t)=e
t
obtenemos la ecuacioncaracterstica
2
+2+! 2
0
=0)
= q
2
! 2
0 :
Caben diferentes posibilidades aqudependiendo de losvalores relativosde y !
0
. Estu-
diemoscada uno porseparado.
a) Oscilador armonico subamortiguado ( <!
0 )
En este caso tenemos dos races complejas
= i p
! 2
0
2
= i! y la
soluciongeneralpuede escribirse como:
x(t)=e t
(c
1
sen (!t)+c
2
cos (!t))=e t
A
| {z }
~
A(t)
cos (!t Æ); ! q
! 2
0
2
:
Las constantes de integracion A;Æ (amplitud y desfase) se determinan a traves de las
condicionesiniciales
x(0) =x
0
_
x(0) =v
0
)A=x
0 s
1+
x
0 +v
0
!x
0
2
; Æ=arctan
x
0 +v
0
!x
0
:
El resultado es un movimiento oscilatorio de frecuencia ! p
! 2
0
2
(menor que la
frecuencianatural!
0
)y amplituddecreciente
~
A(t) =e t
A!0 cuandot!1(vease la
gura2.2). Lasorbitas en elespacio de lasfasesx(x)_ son espirales (vease la gura2.3).
b) Oscilador armonico crticamente amortiguado ( =!
0 )
Enestecasotenemos unarazrealdoble= ylasoluciongeneralpuedeescribirse
como:
x(t)=c
1 e
t
+c
2 te
t
:
Lasconstantes de integracionc
1
;c
2
se determinan atraves de lascondiciones iniciales
x(0)=x
0
_
x(0)=v
0
)c
1
=x
0
; c
2
=v
0 +x
0 :
Elresultadoesunmovimientonooscilatorioen elquex(t)decrece coneltiempode forma
exponencial(vease lagura 2.4). Notese que la partcula puede pasar por laposicionde
t x t
Figura2.2: La amplituddelas oscilaciones decrececonel tiempo paraun oscilador subamor-
tiguado
x v x
Figura 2.3:
Orbita espiral en el plano de fases \velocidad-posicion"para un oscilador suba-
mortiguado
c) Oscilador armonico sobreamortiguado ( >!
0 )
En este caso tenemos dos races reales
= p
2
! 2
0
y la solucion general
puede escribirse como:
x(t)=c e
t
+c
+ e
+ t
=e t
c
+ e
p
2
! 2
0 t
+c e p
2
! 2
0 t
;
Las constantes de integracionc
se determinana traves de las condicionesiniciales
x(0) =x
0
_
x(0) =v
0
)c
+
= v
0
x
0
+
; c = v
0 +
+ x
0
+
:
Elresultadoesunmovimientonooscilatorioen elquex(t)decrece coneltiempodeforma
exponencial,aligualqueen elcasocrticoanterior. Noobstante,lamayorviscosidadpara
elosciladorsobreamortiguadohace quelaamplitudvayaa ceromaslentamente(vease la
2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 25
t x t
Figura 2.4: La amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo para un oscilador
crticamente amortiguado
t xt
ΒΩ 0
ΒΩ 0
Figura 2.5: Comparacion entre elosciladorcrticamente amortiguado ysobreamortiguado
Las orbitasen elespacio de lasfases x(x)_ son nodos.
2.1.3 Oscilador armonico forzado: pulsaciones y resonancia pu-
ra
Supongamosprimeramentequenoexisteamortiguamientoeintroduzcamosunafuerza
externadetiposinusoidalde laformaF
ext
(t)=F
0 cos(!
e
t),donde!
e
denotalafrecuencia
de lafuerza externa. Laecuaciona estudiares:
x+!
2
0 x=
F
0
m cos (!
e t):
Aplicandoelmetododeloscoecientes indeterminados (teorema1.2.2),ensayaremos una
la solucion particular del tipo x
p
(t) = A
1 cos (!
e
t) +A
2 sen(!
e
t). Introduciendo esta
solucionparticular en la ecuaciondiferencial obtenemos que A
1
= F
0
=m
! 2
! 2
e
; A
2
=0, con lo
cual, la solucion general de la ecuacion no homogenea es la suma de la solucion general
de lahomogenea (s.g.h.) mas una particular de la nohomogenea (s.p.n.h.):
x(t)=c
1 cos!
0 t+c
2 sen!
0 t
| {z }
s:g:hh
+ F
0
=m
! 2
0
! 2
e cos!
e t
| {z }
s:p:n:h:
:
Caben estudiar aqu dos fenomenos interesantes dependiendo de los valores relativos de
la frecuencia natural !
0
y lafrecuencia externa !
e .
a) Pulsaciones !
e
!
0
t x t
Figura2.6: Fenomeno de las pulsaciones
Tomemos,porejemplo, como condicionesiniciales
x(0)=0
_
x(0)=0
)x(t) = F
0
=m
! 2
0
! 2
e (cos!
e
t cos!
0 t)
= F
0
=m
! 2
0
! 2
e 2sen
!
0
!
e
2 t
| {z }
A(t)
sen
!
0 +!
e
2 t
;
dondesehautilizadolaidentidadtrigonometrica: cosa cosb= 2sen 1
2
(a b)sen 1
2 (a+
b). La solucion anterior se interpreta como una oscilacion rapida de frecuencia
!
0 +!
e
2
(la media aritmetica de la frecuencianatural y la externa) modulada o envuelta poruna
oscilacionlenta de frecuenciapeque~na
!
0
!
e
2
cuandolasfrecuenciasexternay naturalson
muy parecidas !
e
!
0
(<pero distintas!). Vease gura 2.6.
Este fenomeno recibe el nombre de latidos o pulsaciones y esla base de la frecuencia
modulada (FM) en lasemisoras de radio, donde el sonido audible (de menor frecuencia)
modula o envuelve a las ondas de radio (de alta frecuencia). Tambien es facilmente
2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 27
b) Resonancia pura !
e
=!
0
t x t
Figura 2.7: Crecimiento linealen el tiempo dela amplitud para una resonancia pura
Cuandolafrecuenciaexterna!
e
coincideexactamenteconlafrecuencianaturaldelsis-
tema!
0
(enausencia derozamiento),elmetodode loscoecientes indeterminados(teore-
ma1.2.2)nossugiereunasolucionparticulardeltipox
p
(t)=t(A
1 cos(!
e t)+A
2 sen (!
e t)).
Introduciendo esta solucion particular en la ecuacion diferencial obtenemos que A
1
=
0;A
2
= F
0
=m
2!
e
, con lo cual, la solucion general de la ecuacion no homogenea es la suma
de la solucion general de la homogenea (s.g.h.) mas una particular de la no homogenea
(s.p.n.h.):
x(t)=c
1 cos!
0 t+c
2 sen!
0 t
| {z }
s:g:hh
+ F
0
=m
2!
0
tcos!
0 t
| {z }
s:p:n:h:
:
Tomemos,por ejemplo, comocondiciones iniciales
x(0)=x
0
_
x (0)=v
0
)x(t)=
x
0 +
F
0
=m
2!
0 t
| {z }
A(t)
cos!
0 t+
v
0 F0
2m!
0
!
0
sen!
0 t:
En este caso, el coeciente A(t) es lineal en el tiempo y ello supone que la amplitudde
lasoscilaciones crezca indenidamente(vease la gura2.7).
Este fenomeno se denomina resonancia pura, y puede conllevar la rotura del resorte
cuandola amplitudde lasoscilaciones alcanza ellmite elasticodelmaterial delque esta
fabricado dicho resorte. Esta es la vertiente \negativa"de la resonancia, la cual puede
presentarse como un efecto \pernicioso"en lasvibraciones de ciertas estructurasen cons-
truccion. Noobstante, este fenomenotambiensubyace alafabricacionde sintonizadores,
comolos de una radio, que \ltranunadeterminada frecuencia(vease seccion 2.1.5 sobre
2.1.4 Oscilador armonico amortiguado y forzado: factor de am-
plicacion
1 2 3 4 5 r
1 2 3 4 Ρr
Β 1
8 Β 1
4 Β 1
2 Β1
Figura 2.8: Dependencia del factor de amplicacion (r) con r
!e
!
0
para distintos valores
de viscosidad
Supongamos ahora que existe amortiguamiento e introduzcamos una fuerza externa
de tiposinusoidal de la formaF
ext
(t) =F
0 cos(!
e
t), donde !
e
denota la frecuencia de la
fuerza externa. La ecuaciona estudiares:
x+2x_ +! 2
0 x=
F
0
m cos(!
e t):
Aplicandoelmetodode loscoecientes indeterminados(teorema 1.2.2),ensayaremosuna
la solucion particular del tipo x
p
(t) = A
1 sen (!
e
t) +A
2 cos (!
e
t). Introduciendo esta
solucionparticular en la ecuaciondiferencialanterior obtenemos que
x
p (t) =
2!
e F
0
(!
2
0
! 2
e )
2
+4 2
! 2
e sen (!
e t)+
(!
2
0
! 2
e )F
0
=m
(!
2
0
! 2
e )
2
+4 2
! 2
e cos (!
e t)
=
F
0
=m
p
(!
2
0
! 2
e )
2
+4 2
! 2
e
| {z }
A(!
e )
cos (!
e
t Æ)=(r) F
0
k
| {z }
A(r)
cos(!
e t Æ);
donde se hadenido:
Factor de amplicacion: (r)=
1
p
(1 r 2
) 2
+4 2
r 2
; r
!
e
!
0
;
Desfase: Æ=arctan
2!
e
! 2
! 2
:
2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 29
En la gura 2.8 tenemos un graco de la dependencia del factor de amplicacion
en funcion del cociente r
!
e
!
0
. Observamos que (r) presenta un maximo para r =
1) !
e
=!
0
, o sea, cuando lafrecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia
naturaldeosciladordelresorte. Dichomaximoesmaspronunciadoconformeelcoeciente
derozamientoesmaspeque~no,tendiendoalaresonanciapura(estudiadaenelapartado
anterior)enellmite !0. Enestecaso,laamplitudA(!
e
)delasoscilacionesesmaxima.
Esdecir:
Si
!
e
!
0
<< 1
)A(!
e
)>>1!Resonancia:
Lasoluciongeneralde la ecuacion nohomogenea sera lasuma de lasolucion generalde
t x t
Ω e Ω 0
Ω e 4Ω 0
Figura2.9: Comparaciondelaamplitudparaunmovimientoamortiguado(=0:3)yforzado
con!
e
=4!
0
y enresonancia !
e
=!
0
lahomogenea(s.g.h.) maslasolucion particularde lanohomogenea (s.p.n.h.) calculada
anteriormente. Esdecir:
x
g:n:h:
(t)=x
g:h:
(t)+x
p
(t)=e t
Bcos(!t+')
| {z }
Parte transitoria
+A(r)cos(!
e t Æ)
| {z }
Parte estacionaria
;
donde B y ' son constantes arbitrarias a jar por las condiciones iniciales x(0) = x
0 y
_
x(0)=v
0
;recuerdequelafrecuenciaparaelmovimientoamortiguadonoforzadosedena
como: ! p
! 2
0
2
. La solucion general de la homogenea x
g:h:
(t) se ve fuertemente
amortiguadaporel factor e t
, de manera que es insignicante pasado un cierto tiempo
t>>1= ysupone,porlotantoun terminotransitorio osoluciontransitoria. Pasadoese
tiempo,la soluciongeneralde la nohomogenea tendera ala solucionparticular, esdecir,
x
g:n:h:
(t) x
p
(t); t >> 1=, que se denomina parte estacionaria o solucion de estado
2.1.5 Analogas electricas. Leyes de Kirchho
La ecuacion diferencial que modela las vibraciones electricas (variacion de la carga
q(t) en el tiempo) en un circuito RCL, con una resistencia de valor R , un condensador
de capacidad C, una bobina de inductancia L y una fuente de alimentacion de fuerza
electromotriz E(t) en serie, viene dada por la segunda ley de Kirchho (\lasuma de las
cadas de tension o voltajes en los elementos de un circuito debe ser igual a la fuerza
electromotriz aplicada"):
Lq
|{z}
V
L
+ Rq_
|{z}
V
R +
1
C q
|{z}
V
C
=E(t);
donde V
L
=Lq denota la cadade tension en la bobina, V
R
=Rq_ lacada de tensionen
la resistencia y V
C
= 1
C
q la cada de tension en el condensador. Todo lo dicho para las
vibracionesmecanicaspuedetraducirse directamentealaselectricassinmasquehacerla
siguienteidenticacion:
CONCEPTO MEC
ANICO ! CONCEPTO EL
ECTRICO
desplazamientox(t) ! carga q(t)
masa m ! inductanciaL
viscosidadc ! resistencia R
cte. resorte k ! capacitancia1=C
fuerza externa F
ext
(t) ! fuerza electromotrizE(t)
E(t) +
R L i
C
Figura2.10: Circuito RCL
2.2 Problemas de V.F.: exion y pandeo en vigas
En los problemas de valor en la frontera que seguidamente exponemos se combinan
2.2. PROBLEMAS DE V.F.: FLEXION Y PANDEO EN VIGAS 31
cionescomo: curvatura, tensor de esfuerzos y deformaciones, Ley de Hooke, distribucion
de cargas, etc.
2.2.1 Flexion en vigas: ecuacion diferencial de la curva elastica
y echa de exion
6
-
-
Y
X
Elementodiferencial de viga x
| {z }
Fibra neutra
Figura2.11: Viga encorvaday bra neutra
En la gura 2.11 mostramos el aspecto general que presenta una viga horizontal al
encorvarse bajo las cargas que soporta, las cuales se suponen verticales. Imaginemos
la viga descompuesta en delgadas laminas horizontales. Debido al encorvamiento, las
laminas situadas en la region superior de la viga se encuentran comprimidas, en tanto
quelassituadasen laregioninferiorestanestiradas. Ambasregionesestanseparadaspor
una capa cuyas bras no estan ni estiradas ni comprimidas; esa capa recibe el nombre
de capa o supercie neutra. Segun la gura 2.11, la interseccion de la supercie neutra
con el plano XY nos dene una curva llamada bra neutra. Consideremos ahora un
elementodiferenciallongitudinaldelaviga,talcomoseilustraen lagura2.12, sometido
amomentos exores designo opuestoM(x+dx)= M(x dx) (paraqueelelementono
gire)enlosextremos. Elelementode vigaexperimentauna exiontalquesubraneutra
tomalaformadeun arcode circunferenciaderadioR . Otra brasituadaauna distancia
y por encima de la neutra tendra un radio R y; entonces, la deformacion longitudinal
unitaria (o porcentaje en cambio de longitud), denida como el cociente: ((longitud de
labra contrada) -(longitudde labra neutra))/(longitudde labra neutra), sera:
xx
=
(R y)d R d
R d
= y
R
; (2.2)
donded esel angulosubstendido porel elementode vigade longitud dx en elcentro de
)
1
1
1
xx (x;y) Fibraneutra
Fibra
- 6
Y
X d
R
y j
j
j
j
q
i
Y
Y
9 j
M(x+dx) M(x dx)
C
Figura 2.12: Elemento longitudinal diferencial de viga y esfuerzo normal y momento exor
que soporta debido a laaccion del material situado a izquierda y derecha
encima de la bra neutra (y >0) estan comprimidas (
xx
<0) en tantoque las situadas
por debajo (y < 0) estan estiradas (
xx
> 0). La ley de Hooke generalizada dice que la
deformacion longitudinal unitaria
xx
(x;y) es proporcional al esfuerzo normal
xx (x;y)
(compresor o tensor) que actua en la direccion del eje X sobre una bra situada a una
altura y por encimade labra neutra:
xx
(x;y)=E
xx
(x;y)= E
R (x) y;
donde la constantede proporcionalidad E esel modulo de Young del material.
Lafuerza normaltotal queactuasobre unasecciontransversal S (en elplano Y Z)
de lavigacomo resultado dela acciondelmaterialsituadoalaizquierda sobreelsituado
a la derecha de laseccion debe ser nula:
F = Z
S
xx
dydz = E
R (x) Z
S
ydydz =0;
ya que estamos suponiendo que todas las cargas que soporta la viga son verticales, de
modoquenopuedehaberfuerzanetahorizontalen ningunasecciontransversaldelaviga.
Puesto que R
S
ydydz = 0, sera necesario tomar el origen del eje vertical Y coincidiendo
con el centro de area o centroide de la seccion transversal S para cada valor de x, lo
que equivale a decir que la bra neutra pasa por los centroides de todas las secciones
transversales.
Aun cuando la distribucion de esfuerzos normales
xx
sobre una seccion transversal
2.2. PROBLEMAS DE V.F.: FLEXION Y PANDEO EN VIGAS 33
dichadistribucion:
M(x)= Z
S y
xx
dydz = E
R (x) Z
S y
2
dydz
| {z }
I
z
= EI
z
R (x)
;
donde I
z
R
S y
2
dydz es el analogo del \momento de inercia"de la seccion transversal,
con relacion al eje Z que pasa por la bra neutra, supuesta dicha seccion una \lamina
delgadade densidad supercialunidad".
Se tratade determinar laformade la bra neutrao curva elastica y(x). Recordemos
que, de acuerdo con la Geometra Diferencial, la curvatura (el inverso del radio de
curvatura R ) de una curva plana y(x) en un punto generico x de la misma se calcula
como:
(x)= 1
R
= y
00
(x)
(1+y 0
(x) 2
) 3=2
y 00
(x);
dondesehasupuestoque,comosucedeanlamayorpartedeloscasosdeinterespractico,la
exionqueexperimentalavigaesmuypeque~na,de maneraquey 0
(x) 2
puedeconsiderarse
despreciablefrente a launidad. As, la ecuacion diferencial de lacurva elastica queda:
y 00
(x)= 1
EI
z M(x):
Teniendoen cuenta que la derivada delmomento exor M(x) es igual a menos la fuerza
cortanteF(x)= R
S
xy
dydz,yqueladerivada delafuerza cortanteesigual aladensidad
de carga q(x) (peso porunidadde longitud),
M 0
(x)= F(x); F 0
(x)=q(x);
podemos representartambien laecuacion diferencialde lacurvaelastica como:
y IV
(x)= 1
EI
z
q(x); (2.3)
dondey IV
denotala derivada cuarta.
Hay quedistinguirentre:
1. Cargasdistribuidas,dF(x)=q(x)dx=w(x)dx,talescomoelpropiopesodelaviga,
que se aplican de formauniforme a lo largo de la viga (en general, funciones w(x)
continuas atrozos).
2. Cargasconcentradas,dF(x)=q(x)dx= P
i W
i
Æ(x x
i
)dx,talescomolasreacciones
verticalesV
i
en losapoyos, queseaplicancomo cargasW
i
localizadasen los puntos
x
i .
Hemos introducidola \distribucion"(\<quenofuncion!") delta de Dirac Æ(x x
i
)dx para
dar un tratamiento matematico unicado de cargas distribuidas y concentradas como
distribuciones dF(x)de pesosobrelaviga. Fsicamente,lascargasconcentradasW estan
localizadasenunentornopeque~nodeanchuraaalrededordelospuntosdeaplicacionx
i ,de
maneraque (\aefectos practicos")lasdensidades de cargaconcentradapueden escribirse
como
w(x)= X
i W
i Æ
a (x x
i
); donde Æ
a (x x
i )=
1
a
; si x2[x
i a
2
;x
i +
a
2 ]
0; si x62[x
i a
2
;x
i +
a
2 ]
;
de manera que el area que substiende la \funcion meseta"Æ
a
(x x
i
) es siempre igual a
uno (vease gura 2.13). La abstraccion matematica consiste en hacer tender a ! 0, es
6
-
a
1
a
1 a
2
a
2 a
3 a
3
Æ
a1 (x) Æ
a2 (x) Æ
a3 (x) Æ
0 (x)
x
Figura2.13: Delta deDirac como \lmite de funcionesmeseta"
decir, localizarmas ymaslas cargasW
i
hasta que estas actuen en un solopuntox
i . As,
la delta de Dirac tiene sentido como una distribucion, al hacer promedios (integrales),
cumpliendo que, para una funcion f(x) continuaen un punto x
0
se tiene:
Z
f(x)Æ(x x
0
)dx=f(x
0 ):
Todas estas deniciones se pueden formalizar aun masy esto constituye parte de ladoc-
trina denominada Teora de Distribuciones. Para nuestros nes sera suciente con saber
que la fuerza cortante en un punto xde laviga puede calcularse como:
F(x)=F(0)+ Z
x
0
q(x)dx= Z
x
0
(w(l)+ X
i W
i
Æ(l x
i
))dx= Z
x
0
w(l)dl+ X
x>x
i W
i
;
donde hemos puestoF(0)W
0 y x
0
=0. Conseguimosas rebajar en uno elorden de la
ecuacion diferencial(2.3), quedando:
y 000
(x)= 1
EI F(x);