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Ecuaciones diferenciales ordinarias y sus aplicaciones a la Ingeniería Civil

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(1)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

de Orden Superior

y

Aplicaciones a la Ingeniera Civil

Manuel Calixto Molina

Departamento de Matematica Aplicada y Estadstica,

Universidad Politecnica de Cartagena,

Paseo Alfonso XIII, 52

30203 Cartagena

24 de Abril de 2002

(2)
(3)

Indice General

1 Teora sobre EDOs lineales de Orden Superior 5

1.1 Generalidades y estructura delespacio de soluciones . . . 5

1.1.1 Problemas de: valores iniciales (V.I.)y valores en lafrontera (V.F.) 6 1.1.2 Ecuaciones homogeneas. Sistema fundamentalde soluciones . . . . 7

1.1.3 Ecuaciones nohomogeneas. Variacion de lasconstantes . . . 11

1.2 EDOs lineales con coe cientes constantes . . . 13

1.2.1 EDOslineales homogeneas con coe cientes constantes . . . 13

1.2.2 EDOslineales nohomogeneas con coe cientes constantes . . . 14

1.3 Sistemas de EDOs lineales con coe cientes constantes . . . 16

2 Aplicaciones a la Ingeniera Civil 19 2.1 Problemas de V.I.: vibracionesmecanicas y electricas . . . 19

2.1.1 Osciladorarmonico simple . . . 22

2.1.2 Osciladorarmonico amortiguado. . . 23

2.1.3 Osciladorarmonico forzado: pulsacionesy resonancia pura . . . 25

2.1.4 Osciladorarmonico amortiguadoy forzado: factor de ampli cacion 28 2.1.5 Analogaselectricas. Leyesde Kirchho . . . 30

2.2 Problemas de V.F.: exiony pandeo en vigas . . . 30

2.2.1 Flexion en vigas: ecuacion diferencial de la curva elastica y echa de exion . . . 31

2.2.2 Pandeo en vigas: carga de Euler y modos de desviacion . . . 38

2.2.3 Derrumbedelpuente colgantede Tacoma Narrows . . . 40

(4)
(5)

Teora sobre EDOs lineales de Orden

Superior

1.1 Generalidades y estructura del espacio de solu-

ciones

Una EDOlineal de n-esimo orden puedeescribirse simbolicamentecomo:

a

n (x)y

(n)

+a

n 1 (x)y

(n 1)

+:::a

1 (x)y

0

+a

0

(x)y =b(x) (1.1)

Esta ecuacion puede escribirse tambien como un sistema de n EDOs de orden uno de la

forma

~z 0

=A(x)~z+

~

b (x); (1.2)

donde~z =(y;y 0

;:::;y (n 1)

),

A(x)= 0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

0 1 0  0 0

0 0 1

.

.

.

0 0

0 0 0

.

.

.

0 0

.

.

.

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

.

.

.

0 0 0

.

.

.

0 1

a0(x)

an(x)

a1(x)

an(x)

a2(x)

an(x)



an 2(x)

an(x)

an 1(x)

an(x) 1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

y

~

b(x)=(0;0;;0;b(x)=a

n (x))

T

;

dondeT indica trasposicion.

Esta traduccion de una EDO de orden n a un sistema equivalente de n EDOs de

orden 1 nos resultara util aqu, mas que desde un punto de vista practico, desde una

perspectivateorica. Haremosusoextensivode esta correspondenciaentre ambosespacios

de soluciones.

Consideraremos dos tipos de problemas, dependiendo del tipo de restricciones sobre

lasolucion generalde (1.1)

(6)

1.1.1 Problemas de: valores iniciales (V.I.) y valores en la fron-

tera (V.F.)

Problema de valores iniciales

Un problema de valores iniciales para una EDO linealde orden n consiste en

Resolver: a

n (x)y

(n)

+a

n 1 (x)y

(n 1)

+:::a

1 (x)y

0

+a

0

(x)y =b(x)

Sujeta a: y(x

0 )=y

0

;y 0

(x

0 )=y

0

0

;:::;y (n 1)

(x

0 )=y

(n 1)

0

: (1.3)

o en forma de sistema

~ z 0

=A(x)~z+

~

b(x); ~z(x

0 )=~z

0 :

Para el problema de valores iniciales (1.3) tenemos un teorema de existencia y unicidad

de soluciones que nos dice lo siguiente:

Teorema 1.1.1. Sean a

n (x);a

n 1

(x);:::;a

1 (x);a

0

(x) y b(x) continuas en un intervalo

I  R, y sea a

n

(x) 6=08x 2I. Si x = x

0

es cualquier punto en el intervalo, existe una



unica solucion y(x)en dicho intervalo del problema de valores iniciales (1.3).

Observacion 1.1.2. Notese que si a

n

(x) = 0 para alguna x en el intervalo I, la solucion

del problema lineal de valores iniciales (1.3) quiza no sea unica o incluso no exista; Por

ejemplo, es inmediato comprobar que la funcion y(x) = cx 2

+x+3 es una solucion del

problema de valores iniciales

x 2

y 00

2xy 0

+2y =6; y(0)=3;y 0

(0)=1

para x2( 1;1)y cualquiervalordelparametro c. Enotras palabras, nohay solucion



unicaparaeste problema. Esto sedebeaque,aunqueloscoe cientes a

n

(x)son funciones

continuas en (1;1), el coe ciente a

2

(x) = x 2

es cero en x = 0, precisamente donde se

han impuesto lascondiciones iniciales.

Problema de valores en la frontera

Otrotipode problema esresolveruna EDOlinealen elquelavariabledependiente y,

o sus derivadas, esten especi cadas en puntos distintos. Un problema como

Resolver: a

2 (x)y

00

+a

1 (x)y

0

+a

0

(x)y =b(x)

Sujeta a: y(x

0 )=y

0

;y(x

1 )=y

1

; (1.4)

sedenominaproblemadevalores enlafrontera. Lasrestriccionesy(x

0 )=y

0

;y(x

1 )=y

1 se

denominan condicionesen lafrontera. Unasoluciondelproblemaanterioresuna funcion

que satisface la ecuacion diferencial en algun intervalo I que contiene a x

0 y x

1 , cuya

gra ca pasa por los puntos (x

0

;y

0 ) y (x

1

;y

1

). Estas condiciones en la frontera son casos

particulares de lascondiciones generales:

0 y(x

0 )+

0 y

0

(x

0 )=

0

;

y(x )+ y 0

(x )= :

(7)

Los ejemplos que siguen demuestran que aun cuando se satisfagan las condiciones del

teorema 1.1.1, un problema de valor en la frontera puede tener i) varias soluciones; ii)

solucionunica, oiii) ningunasolucion. En efecto la soluciongeneral de la EDO linealde

orden2: y 00

+16y =0es y=c

1

cos(4x)+c

2

sen (4x). Ahora:

i) Siimponemosy(0)= 0;y(=2) =0 )c

1

= 0, con c

2

arbitraria. Es decir, tenemos

una familia uniparametrica de soluciones y = c

2

sen (4x) que pasan por los puntos

(0;0) y (=2;0)y que satisfacenla ecuaciony 00

+16y=0.

ii) Si imponemos y(0) = 0;y(=8) = 0 ) c

1

= c

2

= 0. Es decir, y = 0 es la unica

solucionde y 00

+16y =0 que pasa porestos puntos.

ii) Si imponemos y(0) = 0;y(=2) = 1 ) c

1

= 0;1;c

2

=arbitraria. Es decir, el

problema notiene solucion.

1.1.2 Ecuaciones homogeneas. Sistema fundamental de solucio-

nes

Una EDO lineal de orden n como (1.3) se dice homogenea si el lado derecho de la

igualdades identicamentenulo: b(x)=0. Veremosque la resolucionde una ecuacion no

homogeneacomo (1.3) pasa por laresolucion de laecuacion homogeneaasociada.

Operadores diferenciales

A veces es util denotar dy

dx

= Dy, donde el smbolo D se llama operador diferencial

porque transforma una funcion diferenciable en otra funcion. Las derivadas de orden

superior se pueden expresar como \potencias"de D, como d

n

y

dx n

= D n

y. Las expresiones

polinomicas en D, como L = D 2

+3xD +5 tambien son operadores diferenciales. En

general:

De nicion 1.1.3. Se de ne un operador diferencial de orden n como:

L=a

n (x)D

n

+a

n 1 (x)D

n 1

++a

1

(x)D+a

0

(x); (1.5)

dondea

i

(x);i=0;1;:::;n son funciones reales (ocomplejas) de x.

Denotemos por C (m)

el conjunto de las funciones reales (o complejas) f : R ! R de

clasem. ObviamenteC (m)

esun espaciovectorialsobre elcuerpoR, yLesunaaplicacion

L:C (m)

!C (l )

; mn quehace corresponder acada f 2C (m)

una funcionL(f)de clase

C (l )

. La aplicacion \multiplicacion por a

0

(x)"hace corresponder a cada funcion f(x) la

funcion a

0

(x)f(x). Veamos que la aplicacion L : C (m)

! C (l )

;m  n es una aplicacion

linealentre espaciosvectoriales.

Teorema 1.1.4. El operador L tiene la propiedad de linealidad

L( f(x)+ g(x)) = L(f(x))+ L(g(x)); (1.6)

donde y son constantes y f;g 2C (m)

; m n. A causade esta propiedad, el operador

(8)

Demostracion: lademostracion radica en dos propiedades basicas de la diferenciacion:

1)D( f(x))= Df(x),donde esunaconstante, y2)D(f(x)+g(x))=Df(x)+Dg(x).

Estas propiedadesson claramenteextensibles aladerivada n-esima D n

, incluyendo D 0



1, y a sus combinaciones linealescon coe cientes a

k

(x). 

Observacion 1.1.5. Noteseque, alcontrarioqueD,eloperadorLnotiene porquecumplir

laregladeLeibnitzD(f(x)g(x)) =D(f(x))g(x)+f(x)D(g(x)). Estosedebealapresencia

del terminoa

0

(x) en (1.5).

Notacion operatorial de EDOs lineales

La EDO lineal (1.3) puede expresarse en forma compacta en terminos del operador

diferencial lineal (1.5) como:

L(y)=0;

para elcasohomogeneob(x)=0,obienen formadeun sistemade n EDOsdeordenuno

como:

D ~z =A(x)~z )(DI

n

A(x))~z =

~

0;

donde I

n

denota lamatriz identidadnn.

As, resolver la ecuacion L(y) = 0 signi ca encontrar el nucleo del operador L entre

las funciones reales n veces derivables C (n)

. O,equivalentemente, encontrar elnucleo del

operadorlineal DI

n

A(x) entre las funcionesvectoriales derivables~z :I !R n

.

Principio de superposicion

La propiedad de linealidad de L permite, dadas dos o mas soluciones de L(y) = 0,

encontrar otra. Esta idea viene expresada de maneraprecisa en el siguienteteorema

Teorema 1.1.6. Sean y

1

;y

2

;:::;y

k

soluciones de la ecuacion diferencial homogenea de

orden n L(y)=0, donde x esta en un intervalo I. La combinacion lineal

y(x)=

1 y

1

(x)+

2 y

2

(x)++

k y

k (x);

donde

i

;i = 1;2;:::;k son constantes arbitrarias, tambien es una solucion cuando x

esta en el intervalo I.

Demostracion: la clave estaen lalinealidadde L:

L(y)=L(

1 y

1 +

2 y

2

++

k y

k )=

1 L(y

1 )+

2 L(y

2

)++

k L(y

k )=0;

donde, en la ultima igualdad hemos usado que L(y

i

) = 0; i = 1;:::;k, es decir, que

y

1

;y

2

;:::;y

k

son soluciones de laEDO lineal homogenea de orden n: L(y)=0. 

Corolario 1.1.7. Del teorema anterior se deduce inmediatamente que las soluciones de

L(y)=0 forman un espacio vectorial sobre R.

(9)

Dependencia e independencia lineal

Citaremos un par de conceptos basicos para estudiarEDOs lineales.

De nicion 1.1.8. Se dice queun conjunto de funciones,f

1 (x);f

2

(x);:::;f

n

(x)eslineal-

mente dependiente en un intervalo I si existen constantes ,

1

;

2

;:::;

n

2 R no todas

nulas, tales que

1 f

1

(x)+

2 f

2

(x)++

n f

n

(x)=0; 8x2I:

Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente

independiente.

Para unconjuntode dosfunciones,ladependencialineal

1 f

1

(x)+

2 f

2

(x)=0signi -

caqueunafuncionesmultiplodelaotra: f

1 (x)=

2

1 f

2

(x)(suponiendoque

1

6=0). Por

ejemplo,lasfuncionesf

1

(x)=sen (2x)yf

2

(x)=sen (x)cos (x)son linealmentedependien-

tes en I = ( 1;1) porque f

1

(x) = sen (2x) =2sen (x)cos(x) = 2f

2

(x). Por otro lado,

las funciones f

1

(x) = x y f

2

(x) = jxj son linealmente independientes en I = ( 1;1)

(aunque noen los intervalos( 1;0) y (0;1),donde son dependientes).

Generalidades sobre las soluciones de EDOs lineales homogeneas

Antes de entrar en formulas explcitas para lassoluciones, lascuales solopueden pro-

porcionarse salvocasos excepcionalescomo elcaso de coe cientes constantes, estudiemos

con detenimiento laestructura del espaciode soluciones.

Teorema 1.1.9. Las soluciones de L(y)=0, o equivalentementede (DI

n

A(x))~z =

~

0,

forman un espacio vectorial de dimension n sobre R.

Demostracion: hemos visto que la suma de soluciones y el producto de soluciones de

L(y)= 0 porescalares son tambien solucion. Para conocer ladimension utilizaremos la

equivalencia L(y) = 0 , (DI

n

A(x))~z =

~

0. Fijemos una base ~v

1

;~v

2

;:::~v

n de R

n

y

x

0

2 I, y consideremos las soluciones ~z

1

;~z

2

;:::~z

n

de (DI

n

A(x))~z =

~

0 con condiciones

iniciales~z

i (x

0 )=~v

i

;i=1;2;:::;n.

Basta probarque ~z

1

;~z

2

;:::~z

n

forman una base delespacio de soluciones (linealmente

independienteygenerador). Paraelloprocedamosporreduccionalabsurdo. Supongamos

queexisten constantes

1

;

2

;:::;

n

2R notodas nulas, tales que

1

~ z

1

(x)+

2

~z

2

(x)++

n

~z

n (x)=

~

0; 8x2I:

Sustituyendo x por x

0 ,

1

~ v

1 +

2

~v

2

++

n

~ v

n

=

~

0;

peroestocontradiceque~v

1

;~v

2

;:::~v

n

seaunabasedeR n

,luego~z

1

;~z

2

;:::~z

n

sonlinealmente

independientes. Paraverquesonunsistemagenerador,supongamosque~zesunasolucion

de (DI

n

A(x))~z =

~

0 ypongamos~z(x

0

)=~v. Sean

1

;

2

;:::;

n

2R lascoordenadasde

~v en la base~v

1

;~v

2

;:::~v

n de R

n

. Entonces

~z (x )+ ~z (x )++ ~z (x )=~v;

(10)

y porunicidad de soluciones delproblema de Cauchy (Teorema1.1.1)

1

~ z

1

(x)+

2

~ z

2

(x)++

n

~ z

n

(x)=~z(x):

Portanto~z

1

;~z

2

;:::~z

n

forman un sistema generador. 

De nicion 1.1.10. Llamaremos acualquierade las basesS =f~z

1

;~z

2

;:::~z

n

g delespacio

desolucionesde(DI

n

A(x))~z =

~

0unsistemafundamental desoluciones. Delasmatrices

Z = 0

B

B

B

@ z

1;0 z

2;0

 z

n;0

z

1;1 z

2;1

 z

n;1

.

.

.

.

.

. .

.

. .

.

.

z

1;n 1 z

2;n 1

 z

n;n 1 1

C

C

C

A

= 0

B

B

B

@ y

1

y

2

 y

n

y 0

1

y 0

2

 y 0

n

.

.

.

.

.

. .

.

. .

.

.

y (n 1)

1

y (n 1)

2

 y (n 1)

n 1

C

C

C

A 2M

nn (R)

cuyas columnas ~z

1

;~z

2

;:::~z

n

son un sistema fundamental S diremos que son matrices

fundamentales M[S]=Z de (DI

n

A(x))~z =

~

0$L(y)=0.

Entre lasfamiliasF =fy

1 (x);y

2

(x);:::;y

n

(x)gde soluciones de L(y)=0distinguire-

mos las que constituyen un sistema fundamental de lasque no a traves del Wronskiano,

que se de necomo el determinante

W[F](x)=jM[F](x)j =

y

1

(x) y

2

(x)  y

n (x)

y 0

1

(x) y

0

2

(x)  y 0

n (x)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y (n 1)

1

(x) y (n 1)

2

(x)  y (n 1)

n

(x)

:

Teorema 1.1.11. Sean y

1 (x);y

2

(x);:::;y

n

(x) soluciones de L(y) = 0. Entonces las

siguientes a rmaciones son equivalentes:

(i) La familia F = f~z

1

;~z

2

;:::~z

n

g, formada por los vectores con componentes ~z

k

=

(y

k

;y 0

k

;:::;y (n 1)

k

), es un sistema fundamental;

(ii) existe x

0

2I tal que W[F](x

0 )6=0;

(iii) para todo x2I;W[F](x)6=0

Demostracion: envirtud delisomor smolinealentre elespaciodesoluciones deL(y)=

0 y (DI

n

A(x))~z =

~

0, podemos demostrar que (i))(ii). En efecto, supongamos

que M[F](x) es una matriz fundamental pero que, sin embargo, existe x

1

2 I tal que

detM[F](x

1

) = W[F](x

1

) 6= 0. Existiran entonces

1

;

2

;:::;

n

2 R no todas nulas,

tales que

1

~ z

1 (x

1 )+

2

~ z

2 (x

1

)++

n

~ z

n (x

1 )=

~

0. De namos~z(x)=

1

~z

1

(x)+

2

~z

2 (x)+

+

n

~z

n

(x). Obviamente~z(x)essolucionde(DI

n

A(x))~z =

~

0conlacondicioninicial

~ z(x

1 ) =

~

0, al igual que ~z(x) =

~

0, luego, por unicidad, ~z(x)=

~

0. Se contradice as que la

familiaF sea libre.

Trivialmente(iii))(ii).

Para probar que (ii))(i), basta notar que ~v

i

=~z

i (x

0

);i = 1;2;:::;n es una base de

R n

y razonar como en el Teorema 1.1.9 para concluir que F es un sistema fundamental.

(11)

1.1.3 Ecuaciones no homogeneas. Variacion de las constantes

Lassolucionesde laecuacionlinealhomogeneaL(y)=0$(DI

n

A(x))~z =

~

0y dela

nohomogenea L(y)=b(x)$(DI

n

A(x))~z =

~

b (x) guardan una relacionmuy estrecha,

como pone de mani esto el siguiente resultado:

Teorema 1.1.12. SeaS =fy

1 (x);y

2

(x);:::;y

n

(x)g un sistemafundamental de L(y)=0

e y

p

(x) una solucion cualquiera de L(y)=b(x). Entonces la solucion general de L(y)=

b(x) viene dada por

y(x)=

s:g :n:h:

z }| {

y

p (x)

|{z}

s:p:n:h:

+c

1 y

1

(x)+c

2 y

2

(x)++c

n y

n (x)

| {z }

s:g :h:

;

donde c

1

;c

2

;:::;c

n

son constantes arbitrarias.

Demostracion: sea y(x) la solucion general de la ecuacion no homogenea (s.g.n.h.)

L(y) = b(x) e y

p

(x) una solucion particular de L(y) = b(x) (s.p.n.h.). Si de nimos

u(x)=y(x) y

p

(x), por lalinealidadde L se debecumplir

L(u)=L(y) L(y

p

)=b(x) b(x)=0:

Esto demuestra que u(x) es una solucion de la ecuacion homogenea L(y) = 0; por

consiguiente, segun el Teorema 1.1.9, existen constantes c

1

;c

2

;:::;c

n

tales que u(x) =

c

1 y

1

(x)+c

2 y

2

(x)++c

n y

n

(x)=y(x) y

p

(x) . 

Principio de superposicion para ecuaciones no homogeneas

Respecto al calculo de soluciones particulares y

p

de L(y) = b(x), a veces resulta util

el siguiente \principio de superposicion"para EDOs lineales no homogeneas (vease mas

adelanteel metodo de los coe cientes indeterminados).

Teorema 1.1.13. Sean y

p

1

;y

p

2

;:::;y

p

k

soluciones particulares respectivas de

L(y)=h

1

(x);L(y)=h

2

(x);:::;L(y)=h

k (x)

en un cierto intervalo I, entonces y

p

=

1 y

p

1 +

2 y

p

2

++

k y

p

k

, con

i

;i = 1;:::;k

constantes reales, es solucion de

L(y)=b(x)=

1 h

1

(x)+

2 h

2

(x)++

k h

k (x):

Demostracion: en efecto, este resultado es consecuencia de la linealidad del operador

diferencialL

L(

1 y

p1 +

2 y

p2

++

k y

p )=

1 h

1

(x)+

2 h

2

(x)++

k h

k

(x)=b(x):

(12)

Metodo de variacion de las constantes

Como en el caso de los sistemas lineales, la busqueda de la solucion general de la

ecuacion lineal no homogenea pasa por encontrar un sistema fundamental de soluciones

de la ecuacion homogenea y despues una solucionparticular de la completa. Cuando ya

se conoce la s.g.h., el calculo de una solucion particular puede hacerse porel metodo de

variaciondelasconstantes. Enestecaso,suponemosquelasolucionparticularquebusca-

mos podra escribirse, en terminos del sistema fundamental S =fy

1 (x);y

2

(x);:::;y

n (x)g

del queya disponemos,como

y

p

(x)=c

1 (x)y

1

(x)+c

2 (x)y

2

(x)++c

n (x)y

n

(x) (1.7)

para funcionesadecuadas c

i

(x); i=1;:::;n. Para comprenderlo mejor, hacemos uso del

isomor smo lineal entre el espacio de soluciones de L(y)= 0 y (DI

n

A(x))~z =

~

0. As,

la ecuacion(1.7) puede escribirse de maneraequivalentecomo

~z

p

=Z(x)~c(x);

donde ~z

p

= (y

p

;y 0

p

;:::;y (n 1)

p )

T

, Z es la matriz fundamental de nida en 1.1.10 y ~c(x) =

(c

1

;c

2

;:::;c

n )

T

(x). Noteseque,para unafuncion~z

p

de nida de esta maneraocurriraque

~z 0

p

(x)=Z 0

(x)~c (x)+Z(x)~c 0

(x)=A(x)Z(x)~c (x)+Z(x)~c 0

(x);

donde hemos utilizado que (DI

n

A(x))~z

k

=

~

0; k = 1;:::;n para las columnas ~z

k de

la matriz fundamental Z(x). Si queremos que ~z

p

cumpla la ecuacion no homogenea

~ z 0

p

(x)=A(x)~z

p (x)+

~

b (x), se concluye que

Z(x)~c 0

(x)=

~

b (x))~c(x)= Z

Z 1

(x)

~

b (x)dx=

Z !

W[S](x)

W[S](x) dx;

donde, en la ultima igualdad,seha utilizadoelmetodode Cramercon

!

W[S]=(W

1 [S];W

2

[S];:::;W

n [S])

y W

j

[S]eldeterminantequeresulta desustituirlacolumnaj enelWronskianoW[S]por

~

b. As,la soluciongeneral de (DI

n

A(x))~z =

~

b(x) es

~z(x)=Z(x)~ +Z(x) Z

Z 1

(x)

~

b (x)dx;

o, si seimponen condiciones iniciales~z(x

0 )=~z

0 :

~z(x)=Z(x)Z 1

(x

0 )~z

0

+Z(x) Z

x

x Z

1

(t)

~

b (t)dt: (1.8)

(13)

1.2 EDOs lineales con coe cientes constantes

Existenmetodosderesoluciondeecuacioneslinealescomo(1.3)basadosendesarrollos

enseriedepotencias. Noobstante,nosotrosnotrataremosestosmetodosaquypasaremos

aabordarelcasomassencilloen queloscoe cientes a

j

(x)de(1.3)sonconstantes a

k (x)=

a

k

. Sin perdida de generalidad podemos tomar a

n

= 1, de manera que la ecuacion a

estudiares

L(y)=y (n)

+a

n 1 y

(n 1)

++a

1 y

0

+a

0

=b(x):

Comencemospor buscarun sistemafundamentalde la EDO homogenea L(y)=0.

1.2.1 EDOs lineales homogeneas con coe cientes constantes

Para encontrar la soluciongeneral de

L(y)=y (n)

+a

n 1 y

(n 1)

++a

1 y

0

+a

0

=0; (1.9)

ensayaremosfuncionesdeltipoy(x)=e

x

,quesustituidasenlaecuacionanteriorL(y)=0

nos queda L(e

x

)=e

x

L[]=0,donde

L[]= n

+a

n 1

 n 1

++a

1

+a

0

; (1.10)

denota un polinomiode grado n en  al que denominaremos polinomio caracterstico de

(1.9). La ecuacionL[]=0se denomina ecuacion caracterstica.

Teorema 1.2.1. La solucion generalde (1.9) es una combinacion linealde las funciones

x k

e x

cos(!x); x k

e x

sen (!x);

donde = +i! recorre el conjunto de las races de (1.10) con ! 0, y 0k m( ),

siendom( ) la multiplicidadde .

Demostracion: basta demostrar quesi es una razde L[] de multiplicidad m y 0

k m, entonces x k

e x

essolucionde L[D](y)=0 (con L[D]L).

1

A este n, apreciese

que si L[] factoriza como L[] = L

1 []L

2

[] entonces si L

2

[](y) = 0 ) L[](y) = 0.

Comonuestroobjetivoesdemostrarquesi( ) m

divideaL[]entoncesL[D](x k

e x

)=0

para cada 0k <m, bastaracon probar que

(D ) k+1

(x k

e x

)=0 paracada k0:

1

Notesequesi,enparticular, = +i!tiene parteimaginaria!6=0,entoncessetendra

0=L[D](x k

e x

)=L[D](x k

e x

cos(!x)+ix k

e ax

sen(!x))=L[D](x k

e x

cos(!x))+iL[D](x k

e ax

sen(!x));

k x k x

(14)

Esto es simple si razonamos por induccion. La a rmacion es obviamente cierta cuando

k =0. Supuesta cierta para k 1!(D ) k

(x k 1

e x

)=0, se tieneque:

(D ) k+1

x k

e x

= (D ) k

(D )x k

e x



= (D ) k

kx k 1

e x

+x k

e x

x k

e x



= k(D ) k

x k 1

e x



=0;

de modo que tambien sera cierta para k. Es inmediato comprobar tambien que dichas

soluciones son linealmenteindependientes. 

1.2.2 EDOs lineales no homogeneas con coe cientes constantes

Ya hemos visto un metodo general para el calculo de soluciones particulares de la

ecuacion no homogenea L(y) = b(x) conocido un sistema fundamental de la ecuacion

homogenea L(y) = 0, denominado metodo de variacion de las constantes [vease (1.8)].

Existe otro metodo mas directo para el caso en que el termino inhomogeneo b(x) sea

producto de exponenciales, polinomiosen x,senos y cosenos.

Metodo de los coe cientes indeterminados

Teorema 1.2.2. Supongamosque

b(x)=e x

(p(x)cos(!x)+q(x)sen(!x));

donde p(x) y q(x) son polinomios de grado a lo sumo k  0. Sea = +i!. Entonces

se tienen las siguientes posibilidades:

(i) Si  NO es raz del polinomio caracterstico (1.10) entonces L(y)=b(x) tiene una

solucion particular de la forma y

p

(x) =e x

(r(x)cos(!x)+s(x)sen (!x)), con r(x)

y s(x) polinomios de grado a losumo k.

(ii) Si esrazdelpolinomiocaracterstico(1.10)conmultiplicidadm,entoncesL(y)=

b(x)tieneunasolucionparticulardelaformay

p

(x)=e x

x m

(r(x)cos(!x)+s(x)sen (!x)),

con r(x) y s(x) polinomios de grado a lo sumo k.

Demostracion: utilizaremos laversion compleja

L(y)=y (n)

+a

n 1

 y

(n 1)

++a

1

 y 0

+a

0

 y=e

x

v(x)=



b (x); (1.11)

delaecuacionrealL(y)=b(x),dondev(x)=p(x) iq(x)esunpolinomiode gradomenor

oigualquek concoe cientescomplejos. Demostraremosqueexisteunasolucioncompleja

 y

p

: R ! C de (1.11) de la forma y

p

(x)= x m

e

x

w(x), donde m es la multiplicidad de 

como solucionde

 n

+a

n 1

 n 1

++a

1

+a

0

=0

(m = 0 si  no es raz de la ecuacion) y w(x) = r(x) is(x) es un polinomio de gra-

do menor o igual que k con coe cientes complejos. La parte real y (x)  <(y (x)) =

(15)

e x

x m

(r(x)cos(!x) + s(x)sen (!x))serapuessoluciondeL(y)=b(x)conb(x)=<(



b (x))=

<(e

x

v(x)) =e x

(p(x)cos(!x)+q(x)sen (!x)).

Notese quelaecuacion(1.11)se puedereescribir en terminosde ladescomposicionen

producto de monomios(D

j )

m

j

, con

j

una raz de (1.10) de multiplicidad m

j

, de la

siguienteforma:

(D

1 )

m1

(D

2 )

m2

:::(D

r )

mr

(D ) m

 y=e

x

v(x); (1.12)

donde admitimosla posibilidad de que sea o no sea una raz, poniendo en este ultimo

caso: m=0)(D ) 0

=1. Procedamos por partes:

a) Comencemos por el caso m = 0, o sea, cuando  no es raz de (1.10). Bastara

probarqueexisteun polinomiow(x)de gradok talquey

p

(x)=e

x

w(x)essolucionde

(D

j

)y(x)=e

x

~

v(x) (1.13)

para algun polinomiov(x)~ de grado k. En efecto, sustituyendo y

p

(x) en (1.13)

e

x

~

v(x)=y 0

p

(x)

j

 y

p

(x)=e

x

(w 0

(x)+w(x)

j

w(x)))v(x)~ =(

j

)w(x)+w 0

(x):

Poniendo v(x)~ = v~

0 +v~

1

x++v~

k x

k

y w(x) = w

0 +w

1

x++w

k x

k

e igualando

coe cientes de igual grado:

~ v

0

= (

j )w

0 +w

1

;

~ v

1

= (

j )w

1 +2w

2

;



~ v

k 1

= (

j )w

k 1 +kw

k

;

~ v

k

= (

j )w

k

;

queobviamentetienesolucionporser 6=

j

(noesraz). Procediendodeformaiterada

llegamosa queexiste w(x)tal quey

p

(x)=e

x

w(x)es solucionde (1.12) con m=0.

b)Analizamosacontinuacionelcasoenqueseaunarazconmultiplicidadm=n)

m

j

= 0. Se trata de comprobar que y

p

(x) =x n

e

x

w(x)es una solucion de (D ) n

 y =

e

x

v(x) con w(x) un polinomio de grado  k. De hecho demostraremos bastante mas:

quepara cada n 1y l 0 laecuacion

(D ) n

 y=x

l

e

x

v(x) (1.14)

tieneunasolucionde laformay

p

(x)=x l +n

e

x

w(x), conw(x)unpolinomiode gradok.

Razonemos por induccionsobre n y supongamosn =1. La funciony

p

(x)=x l +1

e

x

w(x)

sera solucionde (D )y=x l

e

x

v(x) siy solo si

x l

e

x

v(x)=x l +1

e

x

w(x)+[(l+1)x l

w(x)+x l +1

w 0

(x)]e

x

x l +1

e

x

w(x);

osea,

0

(16)

o igualandocoe cientes de igual grado

v

0

= (l+1)w

0

;

v

1

= (l+2)w

1

;



v

k 1

= (l+k)w

k 1

;

v

k

= (l+k+1)w

k

;

y despejando obtenemos w

j

=v

j

=(j+l+1).

Paracompletarnuestroargumentoporinduccionsupongamosque

~

 y

p

(x)=x l +n

e

x

~ w(x)

es solucion de ecuacion (D ) n

 y=x

l

e

x

v(x) para un cierto n y demostremos entonces

que y

p

(x)=x l +n+1

e

x

w(x)essolucionde la ecuacion(D ) n+1

 y=x

l

e

x

v(x)utilizando

que, comoya hemosdemostrado,(D )y

p

=x l +n

e

x

~

w(x)paraalgunpolinomiow(x)~ de

grado k. Enefecto:

(D ) n+1

 y

p

= (D ) n

[(D )y

p ]

= (D ) n

[x l +n

e

x

~ w(x)

| {z }

~

 yp

]=x l

e

x

w(x)

c) Acabamosde demostrar en elapartadob)que y

p

(x)=x m

e

x

w(x)essolucionde la

ecuacion

(D ) m

 y=e

x

~ w(x)

~

 y

p (x);

con w(x)~ un polinomiode gradok, y en elapartado a) que,asu vez,

~

 y

p

(x) essolucion

de

(D

1 )

m

1

(D

2 )

m

2

:::(D

r )

mr

 y=e

x

v(x):

Porconsiguiente, y

p

(x)=x m

e

x

w(x)es solucionde (1.12).

1.3 Sistemas de EDOs lineales con coe cientes cons-

tantes

Consideremos el sistema

L

11 [D]y

1

(x)+L

12 [D]y

2

(x)++L

1n [D]y

n

(x)=b

1 (x);

L

21 [D]y

1

(x)+L

22 [D]y

2

(x)++L

2n [D]y

n

(x)=b

2 (x);

.

.

.

L

n1 [D]y

1

(x)+L

n2 [D]y

2

(x)++L

nn [D]y

n

(x)=b

n (x);

9

>

>

>

=

>

>

>

;

!L(~y(x))=

~

b(x); (1.15)

donde L denotaahora una matriznn cuyos coe cientes L

ij

[D] son operadores lineales

como los de nidos en (1.5). Para resolver este sistema diferencialloinmediatoes aplicar

el algoritmode triangulacionde Gauss tratando el sistema formalmente como silas fun-

ciones incognita ~y = (y ;y ;:::;y ) fuesen numeros y sus coe cientes L [D] polinomios

(17)

en el \parametro"D. Sabemos que en este proceso de \triangulacion"se reemplaza una

la (o columna) por la que se obtiene al sumar a dicha la una \combinacion lineal"de

las restantes, en tendiendo aqu por \combinacion lineal"la \multiplicacion"de las por

operadoresdiferencialespolinomiales P

j c

j D

j

arbitrarios(nonecesariamenteconstantes).

Enelsiguientecaptuloestudiaremoslasecuacionesdemovimientodesistemasdeosci-

ladoresarmonicosacoplados,quepueden verse comocasosparticularescomolossistemas

de EDOs linealesde orden 2de laforma

L(~y)=MD 2

~y+CD~y+K~y =

~

F(x);

donde M se denomina matriz de masas, K es la matriz de resortes o de constantes de

acoplamiento,Ceslamatrizde constantesdeamortiguamiento,

~

F esun vectorde fuerzas

externas, e ~y(x) denota el vector de posicion~y del sistema en funcion deltiempo x. En

vez de aplicar el algoritmode triangulacionde Gauss, aqu es masconveniente (desde el

punto de vista interpretativo) ensayar una solucion deltipo ~y(x) =e

!x

~

 para el sistema

homogeneo

(M

2

+C+K)~=

~

0;

el cual tendra solucion si det(M

2

+C+K) = 0, que constituye una ecuacion carac-

terstica paraelsistema. Uncaso particularmenteinteresanteescuandoC =0oC /K.

Entalcaso, el sistema seconvierte es una ecuacionde autovalores

M 2

~

 = K~;

con autovalores 

j

=i!

j

(\frecuencias naturales de vibracion") complejos puros (debido

a que M y K son en general matrices simetricas de nidas positivas) y autovectores ~

j

(\modos normales de vibracion"). Por razones de tiempo, no trataremos aplicaciones

fsicas concretas de esta parte en el siguientecaptulo.

(18)
(19)

Aplicaciones a la Ingeniera Civil

2.1 Problemas de V.I.: vibraciones mecanicas y electricas

Estudiaremos el movimiento unidimensional de una partcula de masa m sometida

a fuerzas de diferente naturaleza: elasticas o restauradoras F

e

(t;x), viscosas o resistivas

F

v

(t;x;x)_ yotrasfuerzasexternasF

ext

(t)dependientesdeltiempo. Laecuaciondiferencial

que describe la evolucion de la posicion x(t) en funcion del tiempo viene dada por la

segunda ley de Newton:

mx=F

e

(t;x)+F

v

(t;x;x )_ +F

ext

(t); (2.1)

quees una EDO de orden 2 cuyas condicionesiniciales

x(t

0 )=x

0

; v(t

0

)=x (t_

0 )=v

0

;

consisten en especi car la posicionx(t) y la velocidad v(t) = dx(t)

dt

 x (t)_ en un instante

inicialt

0 .

Pasemos a discutir distintas expresiones de dichas fuerzas y sus aproximaciones li-

neales, las cuales tomaremos como punto de partidapara un tratamiento analtico de la

ecuacion (2.1)

1. Fuerzas recuperadoras o elasticas F

e

. Hemos permitido,en general, fuerzas restau-

radorasF

e

(t;x)dependientesde laposicionydeltiempo. Supongamosquexdenota

un desplazamientoalrededor de una posicionde equilibrioy que F

e

(t;x)admiteun

desarrolloen serie alrededor de dichaposicionde equilibrio de la forma:

F

e

(t;x)= k

1

(t)x k

3 (t)x

3

+:::;

dondesolointervienenpotenciasimparesdeldesplazamientox debidoque lafuerza

restauradoradebe ser impar F

e

(t;x)= F

e

(t; x).

(a) Resortelineal. Cuando losdesplazamientossonpeque~nos, podemosdespreciar



ordenes superiores en eldesarrollode F

e

y considerar

F

e

(t;x)= k

1 (t)x:

(20)

i. Ley de Hooke. El caso mas sencillo e ideal es aquel en el cual las carac-

tersticas fsicas del resorte no cambian con el tiempo, es decir, cuando

k

1

(t) = k > 0 es independiente del tiempo, con lo cual la fuerza elastica

queda:

F

e

(t;x)= kx:

ii. Resortedesgastable. Sinembargo,enelmundoreal eslogicoesperar queel

resortededebilite(o\pierdabro")conformepasa eltiempo;porejemplo,

de la forma k

1

(t) = ke t

; k; > 0. En este caso, la EDO del sistema

\masa-resorte"

mx+ke t

x=0

setransforma en una

Ec: de Bessel( =0): s 2

d 2

x

ds 2

+s dx

ds +s

2

x=0:

medianteel cambiode variable

s= 2

r

k

m e

t=2

:

Lasoluciondeesta ecuacionseobtienepordesarrolloenserie depotencias

(nosotros notrataremos este metodoaqu) y puede escribirse en terminos

de las funcionesde Besselde primeray segunda clase de la forma:

x(t)=c

1 J

0 2

r

k

m e

t=2

!

+c

2 Y

0 2

r

k

m e

t=2

!

:

iii. Resorte que se endurece. Cuando un resorte se somete a un ambiente en

quelatemperaturadecrece rapidamente, laconstanteelasticacrececon el

tiempo, porejemplo, de formalineal k

1

(t)=kt. En estecaso, la EDOdel

sistema\masa-resorte"viene descrito porla

Ec: de Airy: mx+ktx=0:

que se resuelve por series de potencias. Dicha ecuacion tambien aparece

al estudiar la difraccion de la luz, la difraccion de las ondas de radio en

torno a la super cie de la Tierra, en aerodinamica y en el pandeo de una

columnaverticaluniforme que se exiona bajo supropio peso.

(b) Resorte no lineal. Para desplazamientos no tan peque~nos, el muelle abandona

sucomportamientolinealy lafuerza elasticaadopta(en el casoindependiente

del tiempo) laforma F

e

(x)= kx k

3 x

3

, donde hemosdespreciado terminos

de orden superior. DuÆng estudiolas oscilaciones forzadas de una masa pun-

tual sometida a una fuerza recuperadora no lineal modelada por la ecuacion

diferencial:

Ec: de DuÆng : mx+kx+k

3 x

3

=F

0

cos!t:

(21)

2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 21

i. Resorte duro. k

3

> 0, para el cual la fuerza recuperadora es mayor (en

valorabsoluto) quela delresorte lineal.

ii. Resorte suave. k

3

< 0, para el cual la fuerza recuperadora es menor (en

valorabsoluto) quela delresorte lineal.

x F x

Blando Duro Lineal

Figura2.1: FuerzaF

e

(x)= kx k

3 x

3

para unresorte lineal(k

3

=0), unoduro(k

3

>0)y

unoblando (k

3

<0)

2. Fuerzas resistivas o viscosas F

v

. Supongamos que F

v

(t;x;x)_ admite un desarrollo

en serie de laforma:

F

v

(t;x;x)_ = c

1

(t;x)x_ c

2

(t;x)jxj_ x_ c

3

(t;x)jxj_ 2

_

x+:::;

donde los valores absolutos garantizan que la fuerza viscosa se oponga siempre al

movimiento.

(a) Fuerzaviscosalineal. Paravelocidadespeque~nas,sepuedendespreciarterminos

de ordensuperior y tomar

F

v

(t;x;x)_ = c

1

(t;x)x :_

Caben varias posibilidades aqu:

i. Coe ciente de viscosidad constante. c

1

(t;x)=c=constante> 0.

ii. Coe ciente de viscosidad variable. Dentrode lasposibilidadesdestacamos

el caso c

1

(t;x)=c(x 2

a 2

)que dalugar a la

Ec: de vander Pol: mx+c(x 2

a 2

)x_ +kx=0:

El hecho de que la fuerza viscosa sea F

v

(jxj>jaj)<0 y F

v

(jxj<jaj)>0

(22)

(o, de otra forma, la partcula absorbe energa cuando jxj < jaj y disipa

cuando jxj >jaj) tendiendo, por tanto, permanecer en oscilacionestacio-

naria. Este eselresultado delTeoremade Lienard(vease [Simmons], pag.

518), elcual asegura para ecuacionescomo la de van der Pol laexistencia

de una unica trayectoria cerrada que rodea al origen en elplano de fases,

alaquetiendenen formade espiralestodaslasdemastrayectoriascuando

t!1.

(b) Fuerza viscosa no lineal. Para velocidades no tan peque~nas, y dependiendo

del tipo de medio viscoso, a veces es necesario a~nadir nuevos terminos en el

desarrollode F

v

, por ejemplo:

F

v

(x )_ = c

1 _ x c

2 jx j_ x:_

En la siguiente seccion solo consideraremos el caso lineal independiente del tiempo, con

lo cual, laecuacion aestudiar es:

mx+cx_ +kx=F

ext

(t)!x+2 x_+! 2

0 x=F

ext (t)=m;

donde hemos puesto 2 = c=m y !

0

= q

k

m

por comodidad de calculo (vease mas ade-

lante). Como fuerzas externas F

ext

(t) utilizaremos, por simplicidad, funciones de tipo

periodico F

ext

(t)=F

ext

(t+T).

2.1.1 Oscilador armonico simple

Comencemos considerando el caso en que no existe fuerza viscosa ( =0) ni fuerzas

externas F

ext

(t)=0. As,la ecuaciona estudiares:

 x+!

2

0 x=0:

Ensayando la solucionx(t)=e

t

obtenemos la ecuacioncaracterstica

 2

+! 2

0

=0)



=i!

0

;

luego, por elteorema 1.2.1, lasoluciongeneral es:

x(t)=c

+ sen (!

0

t)+c cos(!

0

t)=Acos(!

0 t Æ);

donde las constantes de integracionA;Æ representan la amplitud y eldesfase, respectiva-

mente. Estas constantes se determinan atraves de las condiciones iniciales

x(0)=x

0

_

x (0)=v

0



)Æ=arctan(

v

0

!

0 x

0

); A=x

0 s

1+



v

0

x

0

!

0



2

:

Elresultado esun movimientosinusoidalde periodoT =2=!

0

. Lasorbitasenelespacio

de lasfases x (x)_ son elipseso vortices yaque

x(t) 2

C 2

+ _ x (t)

2

C 2

! 2

=1:

(23)

2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 23

2.1.2 Oscilador armonico amortiguado

Introduzcamos ahoraunafuerzaviscosa enelosciladorarmonicosimple,de formaque

laecuaciona estudiares:



x+2 x_ +! 2

0 x=0:

Ensayando la solucionx(t)=e

t

obtenemos la ecuacioncaracterstica

 2

+2 +! 2

0

=0)



=  q

2

! 2

0 :

Caben diferentes posibilidades aqudependiendo de losvalores relativosde y !

0

. Estu-

diemoscada uno porseparado.

a) Oscilador armonico subamortiguado ( <!

0 )

En este caso tenemos dos races complejas 



= i p

! 2

0

2

= i! y la

soluciongeneralpuede escribirse como:

x(t)=e t

(c

1

sen (!t)+c

2

cos (!t))=e t

A

| {z }

~

A(t)

cos (!t Æ); ! q

! 2

0

2

:

Las constantes de integracion A;Æ (amplitud y desfase) se determinan a traves de las

condicionesiniciales

x(0) =x

0

_

x(0) =v

0



)A=x

0 s

1+



x

0 +v

0

!x

0



2

; Æ=arctan



x

0 +v

0

!x

0



:

El resultado es un movimiento oscilatorio de frecuencia !  p

! 2

0

2

(menor que la

frecuencianatural!

0

)y amplituddecreciente

~

A(t) =e t

A!0 cuandot!1(vease la

gura2.2). Lasorbitas en elespacio de lasfasesx(x)_ son espirales (vease la gura2.3).

b) Oscilador armonico crticamente amortiguado ( =!

0 )

Enestecasotenemos unarazrealdoble= ylasoluciongeneralpuedeescribirse

como:

x(t)=c

1 e

t

+c

2 te

t

:

Lasconstantes de integracionc

1

;c

2

se determinan atraves de lascondiciones iniciales

x(0)=x

0

_

x(0)=v

0



)c

1

=x

0

; c

2

=v

0 + x

0 :

Elresultadoesunmovimientonooscilatorioen elquex(t)decrece coneltiempode forma

exponencial(vease la gura 2.4). Notese que la partcula puede pasar por laposicionde

(24)

t x t

Figura2.2: La amplituddelas oscilaciones decrececonel tiempo paraun oscilador subamor-

tiguado

x v x

Figura 2.3:



Orbita espiral en el plano de fases \velocidad-posicion"para un oscilador suba-

mortiguado

c) Oscilador armonico sobreamortiguado ( >!

0 )

En este caso tenemos dos races reales 



=  p

2

! 2

0

y la solucion general

puede escribirse como:

x(t)=c e

 t

+c

+ e



+ t

=e t



c

+ e

p

2

! 2

0 t

+c e p

2

! 2

0 t



;

Las constantes de integracionc



se determinana traves de las condicionesiniciales

x(0) =x

0

_

x(0) =v

0



)c

+

= v

0

 x

0



+



; c = v

0 +

+ x

0



+

 :

Elresultadoesunmovimientonooscilatorioen elquex(t)decrece coneltiempodeforma

exponencial,aligualqueen elcasocrticoanterior. Noobstante,lamayorviscosidadpara

elosciladorsobreamortiguadohace quelaamplitudvayaa ceromaslentamente(vease la

(25)

2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 25

t x t

Figura 2.4: La amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo para un oscilador

crticamente amortiguado

t xt

ΒΩ 0

ΒΩ 0

Figura 2.5: Comparacion entre elosciladorcrticamente amortiguado ysobreamortiguado

Las orbitasen elespacio de lasfases x(x)_ son nodos.

2.1.3 Oscilador armonico forzado: pulsaciones y resonancia pu-

ra

Supongamosprimeramentequenoexisteamortiguamientoeintroduzcamosunafuerza

externadetiposinusoidalde laformaF

ext

(t)=F

0 cos(!

e

t),donde!

e

denotalafrecuencia

de lafuerza externa. Laecuaciona estudiares:

 x+!

2

0 x=

F

0

m cos (!

e t):

Aplicandoelmetododeloscoe cientes indeterminados (teorema1.2.2),ensayaremos una

la solucion particular del tipo x

p

(t) = A

1 cos (!

e

t) +A

2 sen(!

e

t). Introduciendo esta

solucionparticular en la ecuaciondiferencial obtenemos que A

1

= F

0

=m

! 2

! 2

e

; A

2

=0, con lo

(26)

cual, la solucion general de la ecuacion no homogenea es la suma de la solucion general

de lahomogenea (s.g.h.) mas una particular de la nohomogenea (s.p.n.h.):

x(t)=c

1 cos!

0 t+c

2 sen!

0 t

| {z }

s:g:hh

+ F

0

=m

! 2

0

! 2

e cos!

e t

| {z }

s:p:n:h:

:

Caben estudiar aqu dos fenomenos interesantes dependiendo de los valores relativos de

la frecuencia natural !

0

y lafrecuencia externa !

e .

a) Pulsaciones !

e

 !

0

t x t

Figura2.6: Fenomeno de las pulsaciones

Tomemos,porejemplo, como condicionesiniciales

x(0)=0

_

x(0)=0



)x(t) = F

0

=m

! 2

0

! 2

e (cos!

e

t cos!

0 t)

= F

0

=m

! 2

0

! 2

e 2sen



!

0

!

e

2 t



| {z }

A(t)

sen



!

0 +!

e

2 t



;

dondesehautilizadolaidentidadtrigonometrica: cosa cosb= 2sen 1

2

(a b)sen 1

2 (a+

b). La solucion anterior se interpreta como una oscilacion rapida de frecuencia

!

0 +!

e

2

(la media aritmetica de la frecuencianatural y la externa) modulada o envuelta poruna

oscilacionlenta de frecuenciapeque~na

!

0

!

e

2

cuandolasfrecuenciasexternay naturalson

muy parecidas !

e

!

0

(<pero distintas!). Vease gura 2.6.

Este fenomeno recibe el nombre de latidos o pulsaciones y esla base de la frecuencia

modulada (FM) en lasemisoras de radio, donde el sonido audible (de menor frecuencia)

modula o envuelve a las ondas de radio (de alta frecuencia). Tambien es facilmente

(27)

2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 27

b) Resonancia pura !

e

=!

0

t x t

Figura 2.7: Crecimiento linealen el tiempo dela amplitud para una resonancia pura

Cuandolafrecuenciaexterna!

e

coincideexactamenteconlafrecuencianaturaldelsis-

tema!

0

(enausencia derozamiento),elmetodode loscoe cientes indeterminados(teore-

ma1.2.2)nossugiereunasolucionparticulardeltipox

p

(t)=t(A

1 cos(!

e t)+A

2 sen (!

e t)).

Introduciendo esta solucion particular en la ecuacion diferencial obtenemos que A

1

=

0;A

2

= F

0

=m

2!

e

, con lo cual, la solucion general de la ecuacion no homogenea es la suma

de la solucion general de la homogenea (s.g.h.) mas una particular de la no homogenea

(s.p.n.h.):

x(t)=c

1 cos!

0 t+c

2 sen!

0 t

| {z }

s:g:hh

+ F

0

=m

2!

0

tcos!

0 t

| {z }

s:p:n:h:

:

Tomemos,por ejemplo, comocondiciones iniciales

x(0)=x

0

_

x (0)=v

0



)x(t)=



x

0 +

F

0

=m

2!

0 t



| {z }

A(t)

cos!

0 t+

v

0 F0

2m!

0

!

0

sen!

0 t:

En este caso, el coe ciente A(t) es lineal en el tiempo y ello supone que la amplitudde

lasoscilaciones crezca inde nidamente(vease la gura2.7).

Este fenomeno se denomina resonancia pura, y puede conllevar la rotura del resorte

cuandola amplitudde lasoscilaciones alcanza ellmite elasticodelmaterial delque esta

fabricado dicho resorte. Esta es la vertiente \negativa"de la resonancia, la cual puede

presentarse como un efecto \pernicioso"en lasvibraciones de ciertas estructurasen cons-

truccion. Noobstante, este fenomenotambiensubyace alafabricacionde sintonizadores,

comolos de una radio, que \ ltranunadeterminada frecuencia(vease seccion 2.1.5 sobre

(28)

2.1.4 Oscilador armonico amortiguado y forzado: factor de am-

pli cacion

1 2 3 4 5 r

1 2 3 4 Ρr

Β 1

 8 Β 1

 4 Β 1

 2 Β1

Figura 2.8: Dependencia del factor de ampli cacion (r) con r 

!e

!

0

para distintos valores

de viscosidad

Supongamos ahora que existe amortiguamiento e introduzcamos una fuerza externa

de tiposinusoidal de la formaF

ext

(t) =F

0 cos(!

e

t), donde !

e

denota la frecuencia de la

fuerza externa. La ecuaciona estudiares:



x+2 x_ +! 2

0 x=

F

0

m cos(!

e t):

Aplicandoelmetodode loscoe cientes indeterminados(teorema 1.2.2),ensayaremosuna

la solucion particular del tipo x

p

(t) = A

1 sen (!

e

t) +A

2 cos (!

e

t). Introduciendo esta

solucionparticular en la ecuaciondiferencialanterior obtenemos que

x

p (t) =

2 !

e F

0

(!

2

0

! 2

e )

2

+4 2

! 2

e sen (!

e t)+

(!

2

0

! 2

e )F

0

=m

(!

2

0

! 2

e )

2

+4 2

! 2

e cos (!

e t)

=

F

0

=m

p

(!

2

0

! 2

e )

2

+4 2

! 2

e

| {z }

A(!

e )

cos (!

e

t Æ)=(r) F

0

k

| {z }

A(r)

cos(!

e t Æ);

donde se hade nido:

Factor de ampli cacion: (r)=

1

p

(1 r 2

) 2

+4 2

r 2

; r

!

e

!

0

;

Desfase: Æ=arctan



2 !

e

! 2

! 2



:

(29)

2.1. PROBLEMAS DE V.I.: VIBRACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS 29

En la gura 2.8 tenemos un gra co de la dependencia del factor de ampli cacion 

en funcion del cociente r 

!

e

!

0

. Observamos que (r) presenta un maximo para r =

1) !

e

=!

0

, o sea, cuando lafrecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia

naturaldeosciladordelresorte. Dichomaximoesmaspronunciadoconformeelcoe ciente

derozamiento esmaspeque~no,tendiendoalaresonanciapura(estudiadaenelapartado

anterior)enellmite !0. Enestecaso,laamplitudA(!

e

)delasoscilacionesesmaxima.

Esdecir:

Si

!

e

!

0

<< 1



)A(!

e

)>>1!Resonancia:

Lasoluciongeneralde la ecuacion nohomogenea sera lasuma de lasolucion generalde

t x t

Ω e Ω 0

e 4Ω 0

Figura2.9: Comparaciondelaamplitudparaunmovimientoamortiguado( =0:3)yforzado

con!

e

=4!

0

y enresonancia !

e

=!

0

lahomogenea(s.g.h.) maslasolucion particularde lanohomogenea (s.p.n.h.) calculada

anteriormente. Esdecir:

x

g:n:h:

(t)=x

g:h:

(t)+x

p

(t)=e t

Bcos(!t+')

| {z }

Parte transitoria

+A(r)cos(!

e t Æ)

| {z }

Parte estacionaria

;

donde B y ' son constantes arbitrarias a jar por las condiciones iniciales x(0) = x

0 y

_

x(0)=v

0

;recuerdequelafrecuenciaparaelmovimientoamortiguadonoforzadosede na

como: !  p

! 2

0

2

. La solucion general de la homogenea x

g:h:

(t) se ve fuertemente

amortiguadaporel factor e t

, de manera que es insigni cante pasado un cierto tiempo

t>>1= ysupone,porlotantoun terminotransitorio osoluciontransitoria. Pasadoese

tiempo,la soluciongeneralde la nohomogenea tendera ala solucionparticular, esdecir,

x

g:n:h:

(t)  x

p

(t); t >> 1= , que se denomina parte estacionaria o solucion de estado

(30)

2.1.5 Analogas electricas. Leyes de Kirchho

La ecuacion diferencial que modela las vibraciones electricas (variacion de la carga

q(t) en el tiempo) en un circuito RCL, con una resistencia de valor R , un condensador

de capacidad C, una bobina de inductancia L y una fuente de alimentacion de fuerza

electromotriz E(t) en serie, viene dada por la segunda ley de Kirchho (\lasuma de las

cadas de tension o voltajes en los elementos de un circuito debe ser igual a la fuerza

electromotriz aplicada"):

Lq

|{z}

V

L

+ Rq_

|{z}

V

R +

1

C q

|{z}

V

C

=E(t);

donde V

L

=Lq denota la cadade tension en la bobina, V

R

=Rq_ lacada de tensionen

la resistencia y V

C

= 1

C

q la cada de tension en el condensador. Todo lo dicho para las

vibracionesmecanicaspuedetraducirse directamentealaselectricassinmasquehacerla

siguienteidenti cacion:

CONCEPTO MEC



ANICO ! CONCEPTO EL



ECTRICO

desplazamientox(t) ! carga q(t)

masa m ! inductanciaL

viscosidadc ! resistencia R

cte. resorte k ! capacitancia1=C

fuerza externa F

ext

(t) ! fuerza electromotrizE(t)

E(t) +

R L i

C

Figura2.10: Circuito RCL

2.2 Problemas de V.F.: exion y pandeo en vigas

En los problemas de valor en la frontera que seguidamente exponemos se combinan

(31)

2.2. PROBLEMAS DE V.F.: FLEXION Y PANDEO EN VIGAS 31

cionescomo: curvatura, tensor de esfuerzos y deformaciones, Ley de Hooke, distribucion

de cargas, etc.

2.2.1 Flexion en vigas: ecuacion diferencial de la curva elastica

y echa de exion

6

-

-



Y

X

Elementodiferencial de viga x

| {z }

Fibra neutra



Figura2.11: Viga encorvaday bra neutra

En la gura 2.11 mostramos el aspecto general que presenta una viga horizontal al

encorvarse bajo las cargas que soporta, las cuales se suponen verticales. Imaginemos

la viga descompuesta en delgadas laminas horizontales. Debido al encorvamiento, las

laminas situadas en la region superior de la viga se encuentran comprimidas, en tanto

quelassituadasen laregioninferiorestanestiradas. Ambasregionesestanseparadaspor

una capa cuyas bras no estan ni estiradas ni comprimidas; esa capa recibe el nombre

de capa o super cie neutra. Segun la gura 2.11, la interseccion de la super cie neutra

con el plano XY nos de ne una curva llamada bra neutra. Consideremos ahora un

elementodiferenciallongitudinaldelaviga,talcomoseilustraen la gura2.12, sometido

amomentos exores designo opuestoM(x+dx)= M(x dx) (paraqueelelementono

gire)enlosextremos. Elelementode vigaexperimentauna exiontalquesu braneutra

tomalaformadeun arcode circunferenciaderadioR . Otra brasituadaauna distancia

y por encima de la neutra tendra un radio R y; entonces, la deformacion longitudinal

unitaria (o porcentaje en cambio de longitud), de nida como el cociente: ((longitud de

la bra contrada) -(longitudde la bra neutra))/(longitudde la bra neutra), sera:



xx

=

(R y)d R d

R d

= y

R

; (2.2)

donded esel angulosubstendido porel elementode vigade longitud dx en elcentro de

(32)







)



1

1

1



xx (x;y) Fibraneutra

Fibra

- 6

Y

X d



 R



y j

j

j

j

q

i

Y

Y

9 j

M(x+dx) M(x dx)

C

Figura 2.12: Elemento longitudinal diferencial de viga y esfuerzo normal y momento exor

que soporta debido a laaccion del material situado a izquierda y derecha

encima de la bra neutra (y >0) estan comprimidas (

xx

<0) en tantoque las situadas

por debajo (y < 0) estan estiradas (

xx

> 0). La ley de Hooke generalizada dice que la

deformacion longitudinal unitaria 

xx

(x;y) es proporcional al esfuerzo normal 

xx (x;y)

(compresor o tensor) que actua en la direccion del eje X sobre una bra situada a una

altura y por encimade la bra neutra:



xx

(x;y)=E

xx

(x;y)= E

R (x) y;

donde la constantede proporcionalidad E esel modulo de Young del material.

Lafuerza normaltotal queactuasobre unasecciontransversal S (en elplano Y Z)

de lavigacomo resultado dela acciondelmaterialsituadoalaizquierda sobreelsituado

a la derecha de laseccion debe ser nula:

F = Z

S



xx

dydz = E

R (x) Z

S

ydydz =0;

ya que estamos suponiendo que todas las cargas que soporta la viga son verticales, de

modoquenopuedehaberfuerzanetahorizontalen ningunasecciontransversaldelaviga.

Puesto que R

S

ydydz = 0, sera necesario tomar el origen del eje vertical Y coincidiendo

con el centro de area o centroide de la seccion transversal S para cada valor de x, lo

que equivale a decir que la bra neutra pasa por los centroides de todas las secciones

transversales.

Aun cuando la distribucion de esfuerzos normales 

xx

sobre una seccion transversal

(33)

2.2. PROBLEMAS DE V.F.: FLEXION Y PANDEO EN VIGAS 33

dichadistribucion:

M(x)= Z

S y

xx

dydz = E

R (x) Z

S y

2

dydz

| {z }

I

z

= EI

z

R (x)

;

donde I

z

 R

S y

2

dydz es el analogo del \momento de inercia"de la seccion transversal,

con relacion al eje Z que pasa por la bra neutra, supuesta dicha seccion una \lamina

delgadade densidad super cialunidad".

Se tratade determinar laformade la bra neutrao curva elastica y(x). Recordemos

que, de acuerdo con la Geometra Diferencial, la curvatura  (el inverso del radio de

curvatura R ) de una curva plana y(x) en un punto generico x de la misma se calcula

como:

(x)= 1

R

= y

00

(x)

(1+y 0

(x) 2

) 3=2

y 00

(x);

dondesehasupuestoque,comosucedeanlamayorpartedeloscasosdeinterespractico,la

exionqueexperimentalavigaesmuypeque~na,de maneraquey 0

(x) 2

puedeconsiderarse

despreciablefrente a launidad. As, la ecuacion diferencial de lacurva elastica queda:

y 00

(x)= 1

EI

z M(x):

Teniendoen cuenta que la derivada delmomento exor M(x) es igual a menos la fuerza

cortanteF(x)= R

S



xy

dydz,yqueladerivada delafuerza cortanteesigual aladensidad

de carga q(x) (peso porunidadde longitud),

M 0

(x)= F(x); F 0

(x)=q(x);

podemos representartambien laecuacion diferencialde lacurvaelastica como:

y IV

(x)= 1

EI

z

q(x); (2.3)

dondey IV

denotala derivada cuarta.

Hay quedistinguirentre:

1. Cargasdistribuidas,dF(x)=q(x)dx=w(x)dx,talescomoelpropiopesodelaviga,

que se aplican de formauniforme a lo largo de la viga (en general, funciones w(x)

continuas atrozos).

2. Cargasconcentradas,dF(x)=q(x)dx= P

i W

i

Æ(x x

i

)dx,talescomolasreacciones

verticalesV

i

en losapoyos, queseaplicancomo cargasW

i

localizadasen los puntos

x

i .

Hemos introducidola \distribucion"(\<quenofuncion!") delta de Dirac Æ(x x

i

)dx para

dar un tratamiento matematico uni cado de cargas distribuidas y concentradas como

distribuciones dF(x)de pesosobrelaviga. Fsicamente,lascargasconcentradasW estan

(34)

localizadasenunentornopeque~nodeanchuraaalrededordelospuntosdeaplicacionx

i ,de

maneraque (\aefectos practicos")lasdensidades de cargaconcentradapueden escribirse

como

w(x)= X

i W

i Æ

a (x x

i

); donde Æ

a (x x

i )=



1

a

; si x2[x

i a

2

;x

i +

a

2 ]

0; si x62[x

i a

2

;x

i +

a

2 ]

;

de manera que el area que substiende la \funcion meseta"Æ

a

(x x

i

) es siempre igual a

uno (vease gura 2.13). La abstraccion matematica consiste en hacer tender a ! 0, es

6

-

a

1

a

1 a

2

a

2 a

3 a

3

Æ

a1 (x) Æ

a2 (x) Æ

a3 (x) Æ

0 (x)

x

Figura2.13: Delta deDirac como \lmite de funcionesmeseta"

decir, localizarmas ymaslas cargasW

i

hasta que estas actuen en un solopuntox

i . As,

la delta de Dirac tiene sentido como una distribucion, al hacer promedios (integrales),

cumpliendo que, para una funcion f(x) continuaen un punto x

0

se tiene:

Z

f(x)Æ(x x

0

)dx=f(x

0 ):

Todas estas de niciones se pueden formalizar aun masy esto constituye parte de ladoc-

trina denominada Teora de Distribuciones. Para nuestros nes sera su ciente con saber

que la fuerza cortante en un punto xde laviga puede calcularse como:

F(x)=F(0)+ Z

x

0

q(x)dx= Z

x

0

(w(l)+ X

i W

i

Æ(l x

i

))dx= Z

x

0

w(l)dl+ X

x>x

i W

i

;

donde hemos puestoF(0)W

0 y x

0

=0. Conseguimosas rebajar en uno elorden de la

ecuacion diferencial(2.3), quedando:

y 000

(x)= 1

EI F(x);

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