Funciones trigonométricas de un arco.
Para obtener los valores de la funciones trigonométricas de un arco de circunferencia unitaria, o de un número real asociado a un arco de circunferencia unitaria, cerciórate de que tu calculadora este en el modo de radianes (deben aparecer en la pantalla las indicaciones rad o r) Como ya habrás notado, en tu calculadora no es posible obtener directamente los valores de las funciones cotangente, secante y cosecante (tu calculadora no cuenta con estas teclas).Para solucionar este problema, deberás hacer uso de las siguientes identidades trigonométricas:
Te sugerimos que obtengas los valores de las razones trigonométricas por parejas, es decir sen u y csc u; cos u y sec u & tan u y cot u. Por ejemplo, obtienes el sen u y para obtener la csc u oprimes la tecla 1/x o bien x -1. Procedes de la misma manera con cos u y sec u &
tan u y cot u.
Problemas.
1. Determina el valor de las razones trigonométricas del arco
Solución:
Verifica que la calculadora esté en el modo de radianes.
sen = 0.7818
cos = -0.6235
tan = -1.2540
cot = -0.7975
sec = -1.6039
2. Determina el valor de las razones trigonométricas del arco
Solución:
Verifica que la calculadora esté en el modo de radianes.
sen = -0.9937
cos = -0.1120
tan = 8.8752
cot = 0.1127
sec = -8.9314
csc = -1.0063
Obtención de un arco a partir de una función trigonométrica
Para obtener un arco cuando se conoce el valor de una de sus funciones trigonométricas es necesario “deshacer” dicha función trigonométrica. Para tal efecto, debes aplicar la función trigonométrica inversa correspondiente.
La función inversa de la función sen u es arcsen u o bien. sen-1u La función inversa de la función cos u es arccos u o bien cos-1u.
La función inversa de la función tan u es arctan u o bien tan-1u.
Si cot u = x, entonces cot-1u o bien arccot u = tan-1(1/x) Si secu = x, entonces sec-1u o bien arcsec u = cos-1(1/x)
Si cscu = x, entonces csc-1u o bien arccscu = sen-1(1/x)
Problemas.
1. Si cot u = 5.1423, Determina el valor del arco u , si 0 u 2 (dos soluciones)
Solución:
Como cot u = 5.1423 es un valor positivo, los arcos de circunferencia unitaria que satisfacen la igualdad anterior estarán en los cuadrantes CI y CIII porque en estos cuadrantes la cot u tiene signo positivo.
Para “deshacer” la función cotangente en cot u = 5.1423 es necesario aplicar la función cotangente inversa en ambos miembros de la igualdad anterior, esto es:
arccot (cot u) = arccot (5.1423) u = arccot (5.1423)
Pero, arccot (5.1423) = arctan(1/5.1423) = 0.1921rad
Para obtener la solución de CIII se considera que 0.1921 es el arco reducido del arco requerido en CIII. Recuerda que en CIII, ur = u -
En este caso, 0.1921 = u - ; despejando u de la ecuación anterior:
u = + 0.1921 = 3.3337rad
Por lo tanto, la solución de CIII es u = 3.3337rad
2. Si csc u = 3.5142, Determina el valor del arco u , si 0 u 2 (dos soluciones)
Solución:
Como csc u = 3.5142 es un valor positivo, los arcos de circunferencia unitaria que satisfacen la igualdad anterior estarán en los cuadrantes CI y CII porque en estos cuadrantes la csc u tiene signo positivo.
Para “deshacer” la función cosecante en csc u = 3.5142 es necesario aplicar la función cosecante inversa en ambos miembros de la igualdad anterior, esto es:
arccsc(csc u) = arccsc (3.5142) u = arccsc (3.5142)
Pero, arccsc (3.5142) = arcsen(1/3.5142) = 0.2885rad
Por lo tanto, la solución de CI es u = 0.2885rad
Para obtener la solución de CII se considera que 0.2885 es el arco reducido del arco requerido en CII. Recuerda que en CII, ur = - u
En este caso, 0.2885 = - u; despejando u de la ecuación anterior:
u = - 0.2885 = 2.8530rad
Por lo tanto, la solución de CII es u = 2.8530rad
Tema 3. Gráficas de funciones trigonométricas
Gráficas de las funciones de la forma: y = a sen x & y = a cos x
Las funciones trigonométricas, y en particular las funciones y = a sen x & y = a cos x son periódicas, es decir, los valores de la función se repiten para cada intervalo de valores de la variable independiente (x).
Ambas funciones tienen amplitud a, y periodo
Como podrás observar, en ambas graficas se muestran las curvas de la funciones y = sen x, y = 2sen x, y = 4sen x & y = -2sen x, así como y = cos x, y = 2cos x, y = 4cos x &
y = -2cos x. Se presenta una curva para cada valor de a. Los valores de a que se utilizaron en las curvas de ambas gráficas son: a = 1, a = 2, a = 4 y a = -2. La constante a se llama amplitud y su efecto sobre las funciones y = a sen x & y = a cos x es el de alargar o contraer las curvas de estas funciones en forma vertical. Si a tiene signo negativo, entonces la curva se invierte de manera vertical. El periodo de ambas funciones es , porque para cada intervalo de unidades los valores de las funciones se repiten, formando ciclos (un ciclo de estas funciones cabe exactamente en un periodo)
Gráficas de las funciones de la forma: y = a sen bx & y = a cos bx
Ambas funciones tienen amplitud a, y periodo
En la gráfica anterior, se muestran las curvas de la funciones y = sen x, y = 2sen 2x, & y = 3 sen 0.5x.
Se presenta una curva para valores diferentes de a y b . Los valores de a que se utilizaron en las curvas son: a = 1, a = 2, y a = 3. El efecto de a sobre la función y = a sen x, es el de alargar o contraer las curvas de estas funciones en forma vertical. Si a tiene signo negativo, entonces la curva se invierte de manera vertical. Así mismo, Los valores de b que se utilizaron en las curvas son: b = 1, b = 2, y b = 0.5. El efecto de b sobre la función
y = a sen bx, es el de alargar o contraer las curvas de estas funciones en forma horizontal. El periodo de la función y = sen x es , porque para cada intervalo de unidades los valores de la función se repiten, formando ciclos (un ciclo de esta función cabe exactamente en un periodo; en este caso se muestran dos ciclos de la función y = sen x). El periodo de la función y = 2sen 2x, es: , porque para cada intervalo de unidades los valores de la función se repiten (en este caso se muestran cuatro ciclos de la función y = 2sen 2x). Por último, El periodo de la función y = 3sen 0.5x, es: , porque para cada intervalo de unidades los valores de la función se repiten (en este caso se muestran un ciclo de la función y = 3sen 0.5x). Si tomamos como referencia la curva de la función y = sen x cuyo periodo es , podrás darte cuenta que caben exactamente dos ciclos de la función y = 2sen 2x en el periodo de la función y = sen x ( ), mientras que en este mismo intervalo ( ) sólo cabe la mitad de un ciclo de la función y = 3sen 0.5x, porque el periodo de ésta función es . Los puntos más representativos (puntos de ordenada y = 0, máximo y mínimo) de las funciones y = a sen bx & y = a cos bx, se encuentran al inicio de su periodo, a la cuarta parte de su periodo, a las dos cuartas partes de su periodo, a las tres cuartas partes de su periodo y al final de su periodo. Una forma de obtener estos puntos (para trazar la gráfica de la función) es dividir el periodo entre 4, evaluar x = 0 en las funciones y = a sen bx & y = a cos bx e incrementar sucesivamente en el cociente: periodo/4, hasta completar un periodo y de esta forma graficar un ciclo.
Problemas.
1. Traza dos ciclos de la gráfica de la función , y anota sus principales características:
La función es de la forma: y = a sen bx, por lo tanto tiene:
Amplitud a = 5
Periodo
Para obtener los puntos de ordenada y = 0, los máximos y mínimos dividimos el periodo entre 4, esto es:
Con la información anterior podemos construir la siguiente tabla:
x 0 0 + /6 = /6
/6 + /6= 2/6 2/6 + /6= 3/6
3/6 + /6= 4/6 = 2/3 (primer ciclo) 4/6 + /6= 5/6
5/6 + /6= 6/6 =
6/6 + /6= 7/6
7/6 + /6= 8/6 = 4/3 (segundo ciclo)
2. Traza dos ciclos de la gráfica de la función , y anota sus principales características:
Solución:
La función es de la forma: y = a cos bx, por lo tanto tiene:
Amplitud a = 4
Periodo
Para obtener los puntos de ordenada y = 0, los máximos y mínimos dividimos el periodo entre 4, esto es:
Por lo tanto, tomaremos incrementos de 2/3; iniciaremos en x = 0, y como nos piden dos ciclos, terminaremos en x = 2(8/3)= 16/3.
Con la información anterior podemos construir la siguiente tabla:
x 0 0 +2/3 = 2/3 2/3 + 2/3= 4/3 4/3 + 2/3= 6/3
6/3 + 2/3= 8/3 = (primer ciclo) 8/3 + 2/3= 10/3
10/3 + 2/3= 12/3 12/3 + 2/3= 14/3
14/3 + 2/3= 16/3 (segundo ciclo)
Gráficas de las funciones de la forma: y = a sen( bx + c)& y = a cos (bx + c)
Ambas funciones tienen amplitud a, y periodo
Ambas funciones tienen ángulo de fase c, y defasamiento ; el defasamiento indica cuantas unidades está desplazada la curva, y el ángulo de fase indica hacia donde (si c>0, la curva se desplaza hacia la izquierda; si c<0, la curva se desplaza hacia la derecha)
Ilustraremos una manera de graficar funciones de las formas y = a sen( bx + c) & y = a cos (bx + c), a través de los siguientes problemas:
3. Traza dos ciclos de la gráfica de la función , y anota sus principales características:
Solución:
La función es de la forma: y = a cos (bx + c), por lo tanto tiene:
Amplitud a = 7
Periodo
Defasamiento ; Por lo tanto, el defasamiento nos dice que la curva está desplazada
unidades y el ángulo de fase indica que el desplazamiento es hacia la izquierda, ya que .
Para encontrar las abscisa de los puntos en los que inicia y termina el primer ciclo de la función se resuelven las ecuaciones bx + c = 0 & bx + c = 2
Para nuestro caso en particular, resolvemos las ecuaciones:
Por lo tanto, el primer ciclo de la función inicia en , termina en .
Para obtener los puntos de ordenada y = 0, los máximos y mínimos dividimos el periodo entre 4, esto es:
De esta forma, tomaremos incrementos de 2/8; iniciaremos en , y como nos piden dos ciclos,
terminaremos en
Con la información anterior podemos construir la siguiente tabla:
x
-/8 + 2/8 = /8
/8 + 2/8 = 3/8 3/8 + 2/8 = 5/8
5/8 + 2/8= 7/8 = (primer ciclo) 7/8 + 2/8= 9/8
9/8 + 2/8= 11/8 11/8 + 2/8= 13/8
13/8 + 2/8= 15/8 (segundo ciclo)
4. Traza dos ciclos de la gráfica de la función , y anota sus principales características:
Solución:
La función es de la forma: y = a sen (bx + c), por lo tanto tiene:
Amplitud a = 3
Periodo
Ángulo de fase c =
Defasamiento ; Por lo tanto, el defasamiento nos dice que la curva está desplazada
unidades y el ángulo de fase indica que el desplazamiento es hacia la derecha, ya que .
Para encontrar las abscisa de los puntos en los que inicia y termina el primer ciclo de la función se resuelven las ecuaciones bx + c = 0 & bx + c = 2
Para nuestro caso en particular, resolvemos las ecuaciones:
Por lo tanto, el primer ciclo de la función inicia en , termina en .
Para obtener los puntos de ordenada y = 0, los máximos y mínimos dividimos el periodo entre 4, esto es:
De esta forma, tomaremos incrementos de 3/18; iniciaremos en , y como nos piden dos ciclos,
terminaremos en
Con la información anterior podemos construir la siguiente tabla:
/8 + 3/18 = 4/18 4/18 + 3/18 = 7/18 7/18 + 3/18 = 10/18
10/18 + 3/18= 13/18 = (primer ciclo) 13/18 + 3/18= 16/18
16/18 + 3/18= 19/18 19/18 + 3/18= 22/18
22/18 + 3/18= 25/18 (segundo ciclo)
