ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
TELECOMUNICACIÓN
PROYECTO FIN DE CARRERA
ANÁLISIS, DISEÑO Y
PROTOTIPADO DE UNA LENTE
PLANA BASADA EN
ESTRUCTURAS
METAMATERIALES PARA
ANTENAS
Andrés García Aguilar
Título del proyecto: ANÁLISIS, DISEÑO Y PROTOTIPADO DE UNA LENTE PLANA BASADA EN ESTRUCTURAS METAMATERIALES PARA ANTENAS.
Autor: D. Andrés García Aguilar.
Tutor: D. José Manuel Fernández González.
Ponente: D. Manuel Sierra Castañer.
Universidad: Universidad Politécnica de Madrid.
Departamento: Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones.
Grupo: Grupo de Radiación.
Nombre de los miembros del tribunal: Presidente:
Vocal:
Secretario:
Fecha de lectura y defensa:
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
TELECOMUNICACIÓN
PROYECTO FIN DE CARRERA
ANÁLISIS, DISEÑO Y
PROTOTIPADO DE UNA LENTE
PLANA BASADA EN
ESTRUCTURAS
METAMATERIALES PARA
ANTENAS
Andrés García Aguilar
Resumen
Las antenas de array de ranuras sobre guía de placas paralelas son ampliamente utilizadas y propor-cionan una alta ganancia y eciencia. Además, su fabricación es sencilla y altamente repetible. La propia guía de placas paralelas distribuye el campo en amplitud y en fase excitando las ranuras.
Para excitar una onda plana en una guía de placas paralelas existen varios métodos: usando una bocina o un reector parabólico convencional, cuya fabricación es complicada; mediante una guía rectangular a la que se aplican una serie de ranuras o con una red de alimentación construida con tecnología microstrip, que no generan un modo TEM del todo uniforme.
Se ha propuesto recientemente una nueva forma de excitación para guías de placas paralelas basada en una lente construida con metamateriales. En particular los metamateriales zurdos presentan simultánea-mente una permitividad y una permeabilidad negativas, que derivan en un índice de refracción negativo. Los medios zurdos presentan propiedades opuestas a las de un medio convencional como, a parte de un índice de refracción negativo, la inversión del desplazamiento Doppler, cambios en las ecuaciones de Fresnel o en el principio de Fermat.
En este proyecto se propone una lente plana construida con metamateriales zurdos como una nueva forma de alimentación para antenas planas de ranuras. La lente zurda interseca con un medio convencional a través de una interfaz parabólica, lo que permite excitar una onda cilíndrica en el foco de la lente que se transforma en una onda plana por efecto de la refracción negativa en la interfaz entre el medio zurdo y el convencional. Ambos medios deben cumplir la condición de tener densidades electromagnéticas equivalentes. Para la construcción de la lente plana con un medio zurdo se ha utilizado la conocida estructura en forma de seta. Las principales ventajas de la estructura en forma de seta son su bajo coste y la facilidad de fabricación mediante tecnología planar. El diagrama de dispersión de la estructura en forma de seta muestra las bandas de frecuencias y los modos que se propagan por la estructura.
De modo que se ha diseñado una lente zurda, conformada por la estructura en forma de seta, utilizando la información contenida en los diagramas de dispersión de la celda unidad, que puede fabricarse con la tecnología habitual de circuitos impresos y que funciona como un medio zurdo a una frecuencia de 12 GHz. Sin embargo, como se comprobará, construir dicha lente con la tecnología de fabricación de que se dispone es muy complicado. De forma que paralelamente se ha diseñado otra lente zurda que se comporta como un medio zurdo a 7.5 GHz, que sí puede fabricarse. Así, se va ha construir la citada lente y ha medir el campo eléctrico en el interior de una guía de placas paralelas. Si añadimos a estas medidas la correspondiente en cámara anecoica del diagrama de radiación de la antena de array de ranuras alimentada por la lente zurda, es posible demostrar que se puede excitar una antena de ranuras con una distribución de campo mucho más uniforme en el interior de una guía de placas paralelas, mejorando la apertura de iluminación de las ranuras y aumentando la eciencia de este tipo de antenas. Por cuestiones de tiempo no se han incluido en este proyecto ninguna de las medidas ni de la guía ni de la antena alimentadas por la lente zurda, aunque la intención es la de realizarlas a posteriori.
Este proyecto se ha realizado en colaboración con el Grupo de Radiación (GR), que pertenece al departamento de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones (SSR), que posee una amplia experiencia en el diseño y medida de antenas, de circuitos de alta frecuencia y, en concreto, en el desarrollo de antenas en guía radial.
Lista de palabras clave
alimentación uniforme
antena de array de ranuras en guía de placas paralelas estructura en forma de seta o mushroom
interfaz parabólica lente zurda o left-handed medio zurdo
metamateriales refracción negativa
Agradecimientos
Se hace difícil condensar en pocas palabras todo lo que mientras escribo estas líneas viene a mi mente. Tengo tanto que agradecer y a tanta gente que simples palabras en pocas líneas no son sucientes, pero trataré de resumirlo lo mejor posible.
Primero de todo agradecer a mis padres por darme la oportunidad de llegar hasta aquí, por su esfuerzo diario y su sacricio desinteresado siempre en favor de sus hijos. Quiero tener un recuerdo muy especial para mis cuatro abuelos, que siempre me han tratado con cariño y han dado lo mejor de sí mismos por sus familias. Y gracias a mi hermana Inma, por ser tan especial, por su interés y por ayudarme a ser mejor persona.
Sería injusto olvidarme de mis tíos, mis primos y de la comunidad cristiana que me vio crecer y me formó en el compromiso, el compartir y el amor a los demás. Gracias por todo, porque sin lugar a dudas estos años de mi vida han marcado y van a marcar el resto. Como no, gracias a mi hermano Javi, a Cristina y a Laura (o a Laura y a Cristina), simplemente por estar ahí siempre.
Gracias a Santi, esté donde esté, por tantos años de amistad sincera e incondicional.
Agradecer a mis compañeros durante todos estos años de carrera, sin ellos esto se habría hecho más duro: a Noelia, Henar, Zapata, José Luis, Elisa, Dani... y muy especialmente, a Ana y a Antonio, quizás sin ellos habría sido imposible. Y como no, a Bea.
A mis amigos Dani, Peique, Marcos y Kasko, por todas las cosas que hemos compartido estos años y por las que nos quedan. A Reina por enseñarme a amar la montaña y por querer compartirla siempre conmigo. Y a todos los monitores (antiguos y actuales) y niños de Montañeros, por enseñarme y seguirme enseñando las cosas importantes de la vida, y, en especial, a Emilia por ser mi guía y mi apoyo en mo-mentos difíciles.
Agradecer muy especialmente a todo el Grupo de Radiación su buena acogida, su compañerismo y su ayuda constante: Alfonso, Nacho, Lara, Silvia, Jesús, Alex, Alberto, Francisco, Sara, Jony, Carlos, Luis, Pablo, Miguel, Yasar, Edi... A Manuel Sierra Castañer (Manolillo) por escucharnos, comprendernos y tratar de ayudarnos. Y en especial a mi tutor José Manuel (Suizo), con quien he trabajado muy agusto todo este tiempo y sin el que este proyecto no habría salido adelante: gracias por haber conado en mi. Sin olvidarme de los profesores que siempre prestan su apoyo a los que somos novatos en casi todo: Belén, Ramón, Leandro, José Luis Besada, Jambrina y Manuel Sierra Pérez. Y como no, agradecer el trabajo de Armando en el taller, de Jesús con los circuitos impresos, de Cristian y Pablo en las cámaras y de María en la secretaría del grupo, sin su trabajo y experiencia nada saldría adelante.
Índice general
Índice de guras 9
Índice de tablas 13
Nomenclatura 14
1. Introducción 17
1.1. Estado del arte . . . 17
1.2. Objetivos del proyecto . . . 18
1.3. Organización del proyecto . . . 20
2. Fundamentos teóricos 21 2.1. Metamateriales . . . 21
2.1.1. Medios zurdos . . . 22
2.2. Estructura en forma de seta . . . 26
2.2.1. Teoría de líneas de transmisión aplicada a una estructura en forma de seta . . . . 26
2.2.2. Extracción del diagrama de dispersión . . . 32
2.3. Interfaz parabólica . . . 34
2.4. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes . . . 35
3. Análisis y diseño de la celda unidad de la estructura de seta 37 3.1. Validación del software de simulación electromagnético . . . 37
3.2. Estudio paramétrico a partir de la celda para validar el software . . . 41
3.3. Dimensionamiento de una celda unidad a 12 GHz . . . 47
3.4. Estudio paramétrico a partir de la celda unidad a 12 GHz . . . 51
3.5. Dimensionamiento de una celda con un índice de refracciónn=−1,5 a 12 GHz . . . 57
3.6. Dimensionamiento de una celda unidad a 7.5 GHz . . . 59
4. Análisis y diseño de la lente plana simple 61 4.1. Lente simple ideal . . . 61
4.2. Lente simple real . . . 61
4.3. Resultado de las simulaciones . . . 63
4.3.1. Lente simple a 7.5 GHz . . . 64
4.3.2. Lente simple a 12 GHz . . . 71
5. Prototipado y medidas en una guía de placas paralelas 79 6. Aplicación a la antena de ranuras de placas paralelas 85 6.1. Antena de ranuras . . . 85
6.2. Sección radiante . . . 86
6.2.1. Elemento radiante . . . 87
6.2.2. Array de ranuras . . . 87
6.3. Lente zurda alimentando la antena de array de ranuras de placas paralelas . . . 88
7. Conclusiones y líneas futuras 91
A. Anexos 93
A.1. Operaciones y propiedades de mallado de las simulaciones . . . 93
A.1.1. Extracción del diagrama de dispersión de la celda unidad . . . 93
A.1.2. Simulación de la lente simple . . . 94
A.2. Estudio paramétrico a partir de la celda para validar el software en HFSS . . . 95
A.3. Planos acotados . . . 101
A.3.1. Planos lentes simples . . . 101
A.3.2. Planos guía de placas paralelas . . . 107
A.4. Procesamiento de los datos obtenidos con los simuladores . . . 110
A.4.1. Procesamiento en Matlab a partir de CST . . . 110
A.4.1.1. Extracción de los datos: datoscst.m. . . 110
A.4.1.2. Diagrama de dispersión: dd_uc.m. . . 111
A.4.1.3. Índices de refracción: ir_uc.m. . . 114
A.4.1.4. Interpolación de los datos del diagrama de dispersión: interpolcst.m. . . . 119
A.4.1.5. Dibujo de la potencia en el interior de la guía de placas paralelas: linea-campo.m. . . 121
Bibliografía 131
Índice de guras
1.1. Esquemas de excitación mediante: (a) stripline y (b) ranuras excitadas por una guía de
onda rectangular. . . 18
1.2. (Arriba-izquierda) Celda unidad de la estructura en forma de seta, (arriba-derecha) varias celdas juntas y (abajo) antena de array de ranuras con la lente zurda . . . 19
2.1. Esquema de diferentes tipos de metamateriales. . . 21
2.2. Esquema de aplicaciones de los metamateriales. . . 22
2.3. (a) Características de un medio convencional o diestro y (b) de un medio zurdo. . . 23
2.4. Velocidad de fase y velocidad de grupo antiparalelas en un medio zurdo. . . 23
2.5. Condiciones de contorno en la interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo (LH). . . 24
2.6. Interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo (LH) con un ángulo de transmisión negativo. . . 25
2.7. Clasicación de los medios dependiendo de suεy de suµ. . . 25
2.8. (a) Estructura en forma de seta y (b) su celda unidad. . . 26
2.9. Esquema teórico circuital de la estructura en forma de seta comportándose (a) como medio zurdo puro y (b) como medio convencional puro. . . 27
2.10. Esquema teórico de la estructura en forma de seta comportándose como un medio dies-tro/zurdo. . . 27
2.11. Modelos equivalentes de parámetros concentrados. (a) Línea de transmisión de un medio zurdo. (b) Línea de transmisión de un medio diestro puro. (c) Línea de transmisión de un medio diestro/zurdo. . . 28
2.12. Diagramas de dispersión de las líneas de transmisión de las guras 2.11. (a) Medio zurdo. (b) Medio diestro. (c) Medio diestro/zurdo (no balanceado). Fuente: [9]. . . 29
2.13. Caso balanceado de la gura 2.11(c). (a) Equivalente circuital. (b) Diagrama de dispersión. Fuente: [9]. . . 30
2.14. Regiones del diagrama de dispersión en función del tipo de onda que se pueda propagar por el medio. . . 30
2.15. Índice de refracción típico de un medio diestro/zurdo para el caso balanceado (verde) y no balanceado (rojo). Fuente: [9]. . . 31
2.16. La irreducible zona de Brillouin de la celda unidad de una estructura en forma de seta (vista en planta). . . 32
2.17. Diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta, modo funda-mental y dos primeros modos superiores. . . 33
2.18. Concepto de conversión de onda cilíndrica a onda plana de un medio zurdo a un medio convencional. . . 34
2.19. Comparación entre un reector parabólico y una interfaz parabólica zurda. . . 34
2.20. Intersección entre el modo LH de una estructura en forma de seta y la línea de dieléctrico de un medio convencional adyacente, a cuya longitud eléctrica y frecuencia se cumple la condición de densidades electromagnéticas equivalentes. . . 36
3.1. CST: (a) celda unidad con caja de aire, (b) detalle de la vía metalizada y (c) condiciones de contorno. . . 38
3.2. HFSS: (a) condiciones de contorno PEC y (b) maestro/esclavo. . . 39
3.3. Diagrama de dispersión de la celda unidad a 5 GHz simulada para validar el software, (a) con CST y (b) con HFSS. . . 40 3.4. Índice de refracción en función de la longitud eléctrica de la celda unidad a 5 GHz simulada
para validar el software, (a) con CST y (b) con HFSS. . . 40 3.5. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del
modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el periodop. . . 42
3.6. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando la separación entre parches g. . . 43
3.7. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el espesor del sustrato h. . . 44
3.8. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el espesor de los parchest. . . 45
3.9. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el diámetro de la víadvia. . . 46
3.10. CST: (a) Diagrama de dispersión e (b) índices de refracción de la celda unidad escalada a 12 GHz a partir de la celda a 5 GHz. . . 48 3.11. Diagramas de dispersión de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12 GHz,
(a) con CST y (b) con HFSS. . . 49 3.12. Índices de refracción de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12 GHz, (a)
con CST y (b) con HFSS. . . 50 3.13. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del
modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el periodop. . . 52
3.14. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando la separación entre parches g. . . 53
3.15. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el espesor del sustrato h. . . 54
3.16. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el espesor de los parchest. . . 55
3.17. CST: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γde la celda unidad,
variando el diámetro de la víadvia. . . 56
3.18. CST: Diagramas de dispersión (a) e índices de refracción (b) de la celda unidad con com-portamiento de medio zurdo a 12 GHz y un índice de refracciónn=−1,56. . . 58
3.19. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes entre los medios zurdo y diestro, con la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12 GHz y un índice de refracción
n=−1,56. . . 58
3.20. CST: Diagramas de dispersión (a) e índices de refracción (b) de la celda unidad con com-portamiento de medio zurdo a 7.5 GHz. . . 59 3.21. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes de entre los medios zurdo y diestro,
con la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 7.5 GHz. . . 60
4.1. Modelo ideal de lente zurda en el interior de una guía de placas paralelas. . . 62 4.2. Sonda coaxial en el interior de la estructura en forma de seta (vista en planta). . . 62 4.3. Modelo real de lente zurda en el interior de una guía de placas paralelas (a). Detalle de la
4.5. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5 GHz cuando
εr,LH=−2,25yεr,RH= 2,25, para los casos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC. . . 66
4.6. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tres supercies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5 GHz cuandoεr,LH =−2,25 yεr,RH = 2,25, para los
casos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC. . . 67 4.7. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5 GHz cuando
εr,LH=−2,43yεr,RH= 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC
y (d) real-PMC. . . 68 4.8. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tres
supercies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guía de placas paralelas a 7.5 GHz cuandoεr,LH =−2,43 yεr,RH = 2,25, para los
casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC. . . 69 4.9. Módulo del coeciente de reexión (|S11|) de la sonda coaxial que alimenta la lente zurda
a 7.5 GHz en los casos: (a) ideal-open, (b) ideal-PMC, (c) real-open y (d) real-PMC. . . . 70 4.10. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 12 GHz cuando
εr,LH=−2,43yεr,RH= 2,25, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC
y (d) real-PMC. . . 72 4.11. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tres
supercies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guía de placas paralelas a 12 GHz cuando εr,LH =−2,43 y εr,RH = 2,25, para los
casos: (a) ideal-open, (b) real-open, (c) ideal-PMC y (d) real-PMC. . . 73 4.12. Módulo del coeciente de reexión (|S11|) de la sonda coaxial que alimenta la lente zurda
a 12 GHz en los casos: (a) ideal-open y (b) ideal-PMC. . . 74 4.13. Amplitud del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas a 12 GHz cuando
εr,LH=−10,24yεr,RH = 4,5, para los casos: (a) ideal-open, (b) real-open y (c) real-open
a diferente escala para observar en detalle la anisotropía de la lente zurda. . . 76 4.14. Potencia transmitida por el campo eléctrico, normalizada respecto del máximo, sobre tres
supercies lineales (medidas a una distancia desde el punto de alimentación) en el interior de la guía de placas paralelas a 12 GHz cuando εr,LH =−10,24 y εr,RH = 4,5, para los
casos: (a) ideal-open y (b) real-open. . . 77
5.1. (a) Foto de los remaches de 0.8 mm de diámetro exterior. (b) Remachadora empleada. (c) Foto del conjunto remachadora, remache y recipiente con los remaches. . . 80 5.2. Foto de (arriba) la máscara y de (abajo) la lente fabricada mediante ataque químico. . . 81 5.3. Método de medida en transmisión del campo eléctrico en el interior de una guía de placas
paralelas alimentada por la lente zurda mediante sondas coaxiales. (a) Vista lateral. (b) Vista en planta. . . 82 5.4. Foto del prototipo de guía de placas paralelas rellena de polietileno construido: (a) Vista
en perspectiva. (b) Vista en planta. . . 83 5.5. Módulo del parámetroS21, normalizado respecto del máximo, de la simulación y la medida
del campo eléctrico en el interior de la guía de placas paralelas cuando se alimenta mediante ranuras excitadas por una guía de onda rectangular en la cara posterior de la antena (apartado 1.1), con condiciones de contorno laterales de: (a) conductor eléctrico perfecto (PEC) y (b) de conductor magnético perfecto (PMC). Fuente: [26]. . . 84
6.1. Principio de equivalencia para una apertura en un plano conductor eléctrico perfecto. . . 86 6.2. Estructura de la antena de ranuras para una inclinación del lóbulo principal de θ. . . 87
6.3. Elemento radiante. . . 88 6.4. Diseño del array de ranuras: fase del coeciente de transmisión y fase de los campos en la
apertura. . . 88 6.5. Antena de array de ranuras alimentada por la lente zurda. . . 89
A.1. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la direcciónΓ−X y (c) en la direcciónM−Γ de la celda
A.2. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM −Γ de la celda
unidad, variando la separación entre parches g. . . 97
A.3. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM −Γ de la celda unidad, variando el espesor del sustrato h. . . 98
A.4. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM −Γ de la celda unidad, variando el espesor de los parchest. . . 99
A.5. HFSS: (a) Diagrama de dispersión para los dos primeros modos, e índices de refracción del modo fundamental (b) en la dirección Γ−X y (c) en la direcciónM −Γ de la celda unidad, variando el diámetro de la víadvia. . . 100
A.6. Plano de la lente simple a 7.5 GHz construida. . . 101
A.7. Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple a 7.5 GHz construida. . . 102
A.8. Plano de la lente simple a 12 GHz, anisotrópica y no homogénea. . . 103
A.9. Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple a 12 GHz, anisotrópica y no homogénea. . . 104
A.10.Plano de la lente simple a 12 GHz, con un índice de refracciónn=−1,56. . . 105
A.11.Detalle de la alimentación y de la estructura en forma de seta del plano de la lente simple a 12 GHz, con un índice de refracción n=−1,56. . . 106
A.12.Plano de masa inferior de la guía de placas paralelas acotado. . . 107
A.13.Plano de masa superior de la guía de placas paralelas acotado. . . 108
Índice de tablas
1.1. Pérdidas típicas de distintas líneas de transmisión. . . 18
3.1. Parámetros de la celda unidad a 5 GHz simulada para validar el software. . . 37
3.2. Parámetros de la celda unidad escalada a 12 GHz a partir de la celda a 5 GHz. . . 48
3.3. Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12 GHz. . . 49
3.4. Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 12 GHz y un índice de refracciónn=−1,56. . . 57
3.5. Parámetros de la celda unidad con comportamiento de medio zurdo a 7.5 GHz. . . 59
Nomenclatura
AMC Articial Magnetic Conductor BZ Brillouin Zone
CRLH Composite Right/Left-Handed
CST Computer Simulation Technology software DBS Digital Broadcasting System
EBG Electromagnetic Bandgap FEM Finite-Element Method FITD Finite-Integral Time Domain FSS Frequency Selective Surface GSM Global System for Mobile
HFSS High Frequency Structure Simulator software LH Left-Handed
LHM Left Handed Medium MM Metamaterial
NRI Negative Refractive Index PBC Periodic Boundary Condition PBG Photonic Bandgap
PCS Personal Communications System PEC Perfect Electric Conductor
PMC Perfect Magnetic Conductor PPWG Parallel Plate Waveguide RH Right Handed
RH Right Handed
RHM Right-Handed Medium TE Transverse Electric
TEM Transverse Electric-Magnetic TM Transverse Magnetic
UMTS Universal Mobile Telecommunications System UPM Universidad Politécnica de Madrid
Capítulo 1
Introducción
El presente proyecto tiene como principal objetivo el análisis, diseño y prototipado de una lente plana basada en estructuras metamateriales para alimentar una antena de array de ranuras de placas paralelas, en la terminología inglesa parallel-plate slot antennas. En lo sucesivo se presentará el estado del arte, des-cribiendo las ventajas y desventajas de estas antenas, así como los diferentes tipos de alimentaciones que se vienen utilizando; los objetivos concretos que se pretenden alcanzar en este proyecto; y la organización del mismo.
1.1. Estado del arte
Las antenas planas son estructuras muy atractivas dentro de las microondas y de las ondas milimétricas debido a su robustez, a su facilidad de construcción y a su notable repetibilidad en su fabricación. Esto se debe a que una gran parte de los elementos que la constituyen son elementos impresos que se realizan por grabado fotolitográco. Así mismo, otra de las grandes ventajas de las antenas planas en guía de placas paralelas en particular, es que para agrupaciones sucientemente grandes en las que se pretende conseguir altas ganancias, presentan una gran eciencia, ya que el sistema de alimentación que forma la guía biplaca de este tipo de antenas planas tiene unas pérdidas muy bajas en comparación con otros sistemas de alimentación. Por ello, son apropiadas para un gran número de aplicaciones en las bandas de 10 a 80 GHz, donde normalmente se requieren una alta ganancia y una alta eciencia.
Sin embargo, la principal desventaja de las antenas planas es que su ancho de banda de trabajo no es muy grande. Si bien los parches pueden presentar un ancho de banda elevado (hasta el 30 % denido con un VSWR<2), cuando se utilizan redes de alimentación serie se limita el ancho de banda. Las redes de alimentación paralelo suponen un aumento considerable de las pérdidas.
La parte fundamental que tienen todas las antenas planas de este tipo en común es la guía de placas paralelas, en inglés parallel plate waveguide (PPWG), que, como su nombre indica, está formada por dos placas metálicas dispuestas paralelamente formando una guía de onda multiconductora. Entre ambos conductores se genera un frente de onda plano o modo TEM que distribuye a los elementos radiantes la amplitud y la fase deseada en función del diagrama de radiación a sintetizar [1]. El espacio intermedio entre los dos conductores se rellena con aire o con otro material dieléctrico. Los elementos radiantes que se suelen utilizar en este tipo de antenas son: ranuras, parches microstrip o hélices. La alimentación se ha venido haciendo de varias formas: mediante sondas coaxiales desde el plano de masa [2], mediante la utilización de una red de distribución stripline conectada a un conjunto de parches excitadores colocados en el interior de la guía (gura 1.1 (a)) [3] o mediante ranuras excitadas por una guía de onda rectangular en la cara posterior de la antena (gura 1.1 (b)) [4]. Todas estas formas de alimentación consiguen un campo eléctrico con un rizado superior a 10 dB. La tabla 1.1 muestra una comparación de las pérdidas para las distintas formas de alimentación [5].
Las primeras aplicaciones de estas antenas planas pueden encontrarse en la recepción de TV vía satélite mediante Digital Broadcasting System (DBS), que en España comenzó a lanzarse a principios de los años noventa. Desde entonces se han desarrollado diferentes aplicaciones como los sistemas de comunicación personal (PCS), las comunicaciones mediante teléfono móvil (GSM, UMTS...), redes de área local inalámbricas (WLAN), enlaces de microondas entre estaciones bases de telefonía móvil o radares anticolisión en vehículos.
(a) (b)
Figura 1.1: Esquemas de excitación mediante: (a) stripline y (b) ranuras excitadas por una guía de onda rectangular.
Tipo de alimentación Pérdidas (dB/m) Guía de onda 0.2
Línea suspendida 1.8 - 3 Línea triplaca 2.7 - 5.6 Línea microstrip 4 - 6
Tabla 1.1: Pérdidas típicas de distintas líneas de transmisión.
1.2. Objetivos del proyecto
Recientemente, se ha propuesto una nueva forma de excitación de guías de placas paralelas basada en una lente plana parabólica construida con metamateriales [6]. En particular los llamados metamateriales zurdos, presentan simultáneamente una permitividad (ε) y una permeabilidad (µ) negativas, que derivan
en un índice de refracción negativo. Como se verá en el apartado 2.1.1, los medios zurdos presentan propiedades opuestas a las de un medio convencional o diestro.
La lente plana construida con metamateriales zurdos se ha propuesto como una nueva forma de alimentación para antenas de array de ranuras de placas paralelas [7]. La lente zurda interseca con un medio convencional a través de una interfaz parabólica, lo que permite excitar una onda cilíndrica en el foco de la lente, mediante una sonda coaxial, que se transforma en una onda plana por efecto de la refracción negativa en la interfaz entre el medio zurdo y el convencional. De esta forma se reduce el rizado y se consigue una distribución de campo más uniforme en el interior de la guía de placas paralelas, mejorando la apertura de iluminación y aumentando la eciencia de este tipo de antenas. Para la construcción de la lente plana con un medio zurdo ha sido propuesta por Caloz la conocida estructura en forma de seta [8], de bajo coste y fácil de fabricar mediante tecnología planar. En la gura 1.2 se muestra la estructura en forma de seta descrita, su celda unidad y un esquema de la antena plana de ranuras alimentada por la lente zurda.
paralelas. Sin embargo, como se verá a lo largo de este proyecto, debido a las limitaciones de los medios tecnológicos de que se disponen para la fabricación de dicha lente zurda a 12 GHz, se hace necesario reducir la frecuencia de trabajo a 7.5 GHz. Por tanto, dos lentes zurdas se analizan y diseñan a 12 GHz y a 7.5 GHz, aunque sólo la segunda se fabrica, se monta alimentando una guía de placas paralelas y se mide el campo eléctrico en el interior de la guía.
Además, este proyecto puede ser considerado como un paso más en el conocimiento sobre las estruc-turas metamateriales y su empleo en la mejora de los sistemas de microondas y de ondas milimétricas, que no puede ser conseguido mediante las técnicas convencionales.
1.3. Organización del proyecto
Capítulo 2
Fundamentos teóricos
2.1. Metamateriales
Los llamados metamateriales (MM) son estructuras articiales que pueden ser diseñados para cumplir algunas propiedades electromagnéticas singulares dentro de un rango de frecuencias determinado: propa-gación de ondas de retroceso, refracción negativa, presencia de bandas prohibidas. . . El prejo meta signica después, más allá y también de una clase más alta. Por ello, estas estructuras son consideradas como un tipo de materiales con propiedades superiores a las que se pueden encontrar en la naturaleza.
Este tipo de estructuras son materiales articiales electromagnéticos y funcionales basados en es-tructuras periódicas y creados para cumplir determinados requisitos. Como ejemplos de metamateriales existen un amplio número de conceptos modernos, como las estructuras de supercie selectiva en fre-cuencia (FSS), los materiales electromagnetic/photonic bandgap (EBG/PBG), las estructuras plasma, los medios zurdos llamados en inglés left-handed medium (LHM) cuyas propiedades eléctricas y magnéti-cas (su permitividad y su permeabilidad, respectivamente) son negativas, los conductores magnéticos articiales (AMC) o los elementos fractales. En la gura 2.1 se puede ver un resumen de los diferentes metamateriales que existen [10].
Figura 2.1: Esquema de diferentes tipos de metamateriales.
Las novedosas y ventajosas propiedades que presentan este tipo de estructuras articiales han dado lugar a numerosos componentes y sistemas fundamentalmente en el campo de las antenas, ltros y circuitos de microondas. Se puede ver en la gura 2.2 un esquema de las aplicaciones potenciales que permiten los metamateriales en diferentes áreas [11].
Figura 2.2: Esquema de aplicaciones de los metamateriales.
2.1.1. Medios zurdos
Los metamateriales zurdos, en la literatura inglesa left-handed (LH), presentan simultáneamente una permitividad (ε) y una permeabilidad (µ) negativas, y han recibido mucha atención de cientícos e
ingenieros en los últimos años.
Fue inicialmente el físico ruso Veselago, en 1968, quien investigó algunas de las propiedades electro-dinámicas de los medios zurdos, como la inversión de la ley de Snell, la desviación Doppler o el efecto Cerenkov1[12]. Sin embargo esta idea se abandonó debido a la imposibilidad de construir este tipo de
materiales, quedando simplemente como una curiosidad cientíca. Recientemente, Pendry descubrió una estructura llamada microwave-plasma thin-wire que mostraba una permitividad negativa por debajo de la frecuencia electrónica del plasma y un resonador magnet-free split-ring con una permeabilidad negati-va por debajo de la frecuencia magnética del plasma [13, 14]. Poco después Shelby realizó las primeras demostraciones experimentales del comportamiento de un medio zurdo combinando ambas estructuras [15].
Un medio zurdo presenta propiedades opuestas a las de un medio convencional, llamado también medio diestro o en inglés right-handed medium (RHM). El vector de campo eléctrico −→E, el vector de
campo magnético −→H y el número de onda −→k forman una triada zurda, lo cual supone que la luz se
propague en sentido contrario al ujo de energía, representado por el vector de Poynting−→S.
Como muestra la gura 2.3(b), en un medio zurdo el vector de Poynting−→S y el número de onda−→k
tienen sentidos opuestos, mientras que en un medio convencional tienen el mismo sentido (gura 2.3(a)). Consecuentemente, en medios convencionales y en medios zurdos la energía se propaga alejándose de la fuente, pero en un medio zurdo los frentes de onda se desplazan hacia la fuente. Por ello, en dichos medios, las ondas se denominan ondas de retroceso, donde la velocidad de fase−→vϕy la velocidad de grupo−→vgr
tienen sentidos opuestos (gura 2.4).
Todo lo anterior se traduce en que un medio zurdo presenta una permitividad (ε) y una permeabilidad
(µ) negativas, que derivan en un índice de refracción también negativo. Esto supone cambios en algunas
leyes de la física, como la inversión del desplazamiento Doppler, cambios en las ecuaciones de Fresnel y en el principio de Fermat. Además, uno de los principios más básicos de la óptica como es la ley de Snell también sufre cambios en la interfaz entre un medio zurdo y uno convencional, ya que las ondas electromagnéticas que atraviesen dicha interfaz sufrirán una refracción negativa.
Se puede demostrar que cuando ε < 0 y µ < 0 el índice de refracción también es negativo [16].
Partiendo de las ecuaciones de Maxwell:
∇ ×−→E =−jω−→B , (2.1)
∇ ×−→H =jω−→D . (2.2)
1Radiación electromagnética producida por el paso de una partícula que se mueve a velocidades superiores a la de la luz
(a) (b)
Figura 2.3: (a) Características de un medio convencional o diestro y (b) de un medio zurdo.
Figura 2.4: Velocidad de fase y velocidad de grupo antiparalelas en un medio zurdo.
Es necesario adaptarlas a un medio zurdo, así aplicando las soluciones homogéneas a las ecuaciones 2.1 y 2.2 se obtiene
− →
k ×−→E =ω−→B =
(
+ω|µ|−→H para µ >0 (convencional o diestro),
−ω|µ|−→H para µ <0 (zurdo); (2.3)
− →
k ×−→H =−ω−→D =
(
−ω|ε|−→E para ε >0 (convencional o diestro),
+ω|ε|−→E para ε <0 (zurdo). (2.4)
Siendo en las ecuaciones 2.3 y 2.4 µ =µ0µr y ε =ε0εr. Esto da lugar a las triadas (
− →
E ,−→H ,−→k) en un
medio convencional y en uno zurdo de la gura 2.3.
Para ser coherente con las ecuaciones de Maxwell y cumplir con la condición en un medio zurdo, a partir del número de onda−→k se tiene que
− →
k ·−→k =|→−k|2=µεω2, (2.5)
y por lo tanto
k2
ω2 =µε, (2.6)
k ω =±
√
µε. (2.7)
Tiene sentido escoger la raíz cuadrada negativa cuandoεyµson valores negativos simultáneamente. Por
lo que de la ecuación 2.7 se obtiene que
k ω =−
√
Y, sabiendo que el índice de refracción se dene como
n= kc
ω, (2.9)
siendoc = √ 1
εrε0µ0 la velocidad de la luz en el medio, nalmente se obtiene la expresión que reeja un
índice de refracción negativo en un medio zurdo:
n=−√µrεr. (2.10)
Con estas características es posible reconsiderar todos los fenómenos asociados a la propagación de ondas electromagnéticas.
Se pueden examinar cuales son las condiciones de contorno en la interfaz entre un medio convencional y un medio zurdo [17]. Como se observa en la gura 2.5 las componentes tangenciales Et, Ht y kt no
ven la discontinuidad por lo que no se ven afectadas. Por el contrario, las componentes normales a la discontinuidadEn,Hnykn sufren un cambio de signo al cambiar de un medio a otro. El cambio de signo
en las componentesEn yHn viene directamente de las condiciones de contorno:
ε1En1=ε2En2, con ε2<0, (2.11)
µ1Hn1=µ2Hn2, con µ2<0. (2.12)
El cambio de signo de la componente normalkn es consecuencia de la ecuación 2.10.
Figura 2.5: Condiciones de contorno en la interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo (LH).
Se puede determinar también el signo de la impedancia intrínseca en un medio zurdoηLH. Para ello se
considera una onda incidente en la interfaz entre un medio convencional y un medio zurdo, como muestra la gura 2.6, donde las densidades electromagnéticas sean iguales en ambos medios, esto es
(εr,LH, µr,LH) =−(εr,RH, µr,RH), (2.13)
para que la energía sea la misma en cada medio. Entonces el coeciente de reexión en la interfaz debe ser cero, es decir, para incidencia normal al plano (θi = 0)
ρv=
ηLH−ηRH
ηLH+ηRH
= 0. (2.14)
Por lo tanto
ηLH =ηRH>0. (2.15)
Luego la impedancia intrínseca en un medio zurdo sigue siendo positiva:
ηLH= +
rµ
LH
εLH
>0. (2.16)
Finalmente, se puede comprobar la inversión de la ley de Snell:
Ya que si el índice de refracción en un medio zurdo esnLH <0, entonces el ángulo de transmisión es
θt= arcsin
n
RH
nLH
sinθi
<0. (2.18)
Luego la energía es refractada hacia el mismo lado de la normal en que incide la onda incidente, como se muestra en la gura 2.6. En la gura 2.7 se puede ver una clasicación de los diferentes medios que existen y como se comportan en la interfaz con un medio convencional como el aire, dependiendo de su permitividadεy de su permeabilidadµ.
Figura 2.6: Interfaz entre un medio convencional (RH) y un medio zurdo (LH) con un ángulo de trans-misión negativo.
Figura 2.7: Clasicación de los medios dependiendo de suεy de suµ.
del sistema completo. Aun así hay algunas restricciones en las dimensiones de la celda unidad, ya que la estructura es fuertemente dependiente de la frecuencia.
2.2. Estructura en forma de seta
Una vez demostrada la existencia de medios zurdos y sus propiedades se hace necesaria la búsqueda de estructuras prácticas que presenten este comportamiento. Una de ellas es la estructura en forma de seta, también conocida como mushroom en la terminología anglosajona. Inicialmente fue utilizada por Sievenpiper [18] como supercie de alta impedancia, ya que presentaba una banda prohibida que impedía la propagación de ondas en determinadas bandas de frecuencias, útil por ejemplo para la supresión de ondas espurias de supercie en antenas planas.
La estructura en forma de seta ha sido propuesta recientemente para la realización de lentes planas por Caloz [8]. Se ha demostrado apropiada para diseñar lentes con un índice de refracción positivo/negativo en su banda de paso con un diseño de parámetros adecuado. Las principales ventajas de la estructura en forma de seta son su bajo coste, la facilidad de fabricación mediante tecnología de circuitos impresos y la exibilidad para escalarla a cualquier frecuencia. En la gura 2.8(a) se presenta dicha estructura, formada por un array de parches microstrip, conectados al plano de masa a través de un sustrato mediante vías metalizadas situadas en el centro de cada parche. La gura 2.8(b) muestra en detalle la celda unidad, rodeada de una caja de aire con condición de contorno de conductor eléctrico perfecto (PEC) en la cara superior (como si la celda unidad estuviera en el interior de una guía de placas paralelas), y la nomenclatura de sus parámetros.
(a) (b)
Figura 2.8: (a) Estructura en forma de seta y (b) su celda unidad.
Se denota como p al periodo de la estructura en forma de seta, g se llama a la separación entre
parches,hes el espesor del sustrato,tes el espesor del parche metalizado,dvia es el diámetro de las vías
metalizadas,hmasa es el espesor del plano de masa inferior y hppwg es el espesor de la guía de placas
paralelas donde irá la lente plana.
2.2.1. Teoría de líneas de transmisión aplicada a una estructura en forma de
seta
Una tensión aplicada en la estructura en forma de seta provoca los siguientes efectos cuando se comporta como un medio zurdo puro:
Cargas eléctricas se almacenan entre parches adyacentes, como se muestra en la gura 2.9(a), en su comportamiento como medio zurdo. Ello da lugar a una capacidad CLH en serie, como se observa
en el circuito equivalente de la gura 2.11(a).
El ujo de cargas eléctricas a través de la vía metálica y el plano de masa, mostrado en la gura 2.9(a), produce una inductancia LLH paralela que genera un campo magnético, reejado también
en la gura 2.11(a).
(a) (b)
Figura 2.9: Esquema teórico circuital de la estructura en forma de seta comportándose (a) como medio zurdo puro y (b) como medio convencional puro.
Cuando la estructura en forma de seta se comporta como un medio diestro puro:
El ujo de corriente en la cara superior de los parches genera una inductanciaLRHen serie, como se
muestra en la gura 2.9(b), que se ve reejada en el circuito equivalente de un medio convencional en la gura 2.11(b).
Las cargas eléctricas que se almacenan entre los parches y el plano de masa generan una capacidad
CRH en paralelo, como se observa en la gura 2.9(b), que se reeja en el circuito equivalente de la
gura 2.11(b).
El comportamiento de la estructura cuando se comporta como un medio diestro/zurdo puede describirse como la superposición de ambos efectos, como muestra la gura 2.10.
Figura 2.10: Esquema teórico de la estructura en forma de seta comportándose como un medio dies-tro/zurdo.
(a) (b)
(c)
Figura 2.11: Modelos equivalentes de parámetros concentrados. (a) Línea de transmisión de un medio zurdo. (b) Línea de transmisión de un medio diestro puro. (c) Línea de transmisión de un medio dies-tro/zurdo.
En realidad, una estructura que se comporte como un medio zurdo puro no puede existir, pues siempre habrá una inductancia serie y una capacidad paralelo parásitas. Por lo que el modelo de medio diestro/zurdo es el más general para estructuras con atributos de medio zurdo, como es la estructura en forma de seta.
La constante de propagación de una línea de transmisión es
γ=α+jβ=
√
Z0Y0. (2.19)
Donde Z0 e Y0 son, respectivamente, la impedancia y la admitancia por unidad longitud. En el caso
particular de un medio diestro/zurdo se denen como
Z0(ω) =j
ωL0RH−
1
ωCLH0
, (2.20)
Y0(ω) =j
ωCRH0 − 1
ωL0LH
. (2.21)
DondeCRH,LH0 yL0RH,LH son las capacidades e inductancias por unidad de longitud.
La dispersión,β en función deω, para una línea de transmisión de un medio diestro/zurdo es
β(ω) =s(ω)
s
ω2L0
RHC
0
RH+
1
ω2L0
LHC 0 LH − L0 RH
L0LH + CRH0 CLH0
, (2.22)
donde
s(ω) =
−1 if ω < ωΓ1=min
1
√
L0RHCLH0 ,
1
√
L0LHCRH0
,
+1 if ω > ωΓ2=max
1
√
L0RHC0LH,
1
√
L0LHC0RH
.
La constante de fase β en la ecuación 2.22 puede ser real o imaginaria pura, según si el radicando
es positivo o negativo, respectivamente. En el rango de frecuencias donde β es real, se encuentra una
banda de paso y se tiene queγ=jβ. Por el contrario, siβ es imaginaria pura existe una banda prohibida
en ese rango de frecuencias donde γ =α. Esta banda prohibida es una característica única en medios
diestros/zurdos, que no se encuentra presente en medios diestros puros o zurdos puros. La gura 2.12 (a), (b) y (c) muestran los diagramas de dispersión ω−β para las líneas de transmisión de un medio
zurdo, un medio diestro y un medio diestro/puro, respectivamente. Estos diagramas muestran como en un medio diestro la velocidad de grupo (vgr = ∂ω∂β) y la velocidad de fase (vϕ = ωβ) son paralelas, es
decir,vgrvϕ>0. Mientras que en un medio zurdo son antiparalelas, esto es vgrvϕ <0. El diagrama de
dispersión de un medio diestro/zurdo muestra que existe una región de medio zurdo (vgrvϕ<0), con un
índice de refracción negativo ya queβ lo es en esta región, y otra región de medio diestro (vgrvϕ>0);
además se observa que hay una banda prohibida justo donde la constante de propagaciónγ es real. En
dichas guras+βcy−βccorresponden con la dispersión en el espacio libre relleno de dieléctrico, siendo cla velocidad de la luz en el medio.
(a) (b)
(c)
Figura 2.12: Diagramas de dispersión de las líneas de transmisión de las guras 2.11. (a) Medio zurdo. (b) Medio diestro. (c) Medio diestro/zurdo (no balanceado). Fuente: [9].
En el caso más general, las resonancias serie y las paralelo son diferentes, es decir, los valores de las capacidades y de las inductancias no coinciden. A este caso se le denomina no balanceado. Cuando las resonancias serie y paralelo son iguales, es decir,
L0RHCLH0 =L0LHCRH0 , (2.24)
entonces las contribuciones del medio diestro y zurdo se compensan la una con la otra a una determinada frecuencia. Éste es el caso balanceado y da lugar a una simplicación del modelo circuital de la estructura, que se muestra en la gura 2.13.
Bajo la condición impuesta por la ecuación 2.24, la ecuación 2.22 de la constante de fase se simplica
β(ω) =βRH(ω) +βLH(ω) =ω
q
L0RHCRH0 − 1
ωqL0LHCLH0
, (2.25)
donde podemos descomponer la constante de fase β en dos términos: una constante de fase para medio
diestroβRH y una constante de fase para medio zurdoβLH.
(a) (b)
Figura 2.13: Caso balanceado de la gura 2.11(c). (a) Equivalente circuital. (b) Diagrama de dispersión. Fuente: [9].
La gura 2.13(b) muestra que la transición de medio zurdo a diestro ocurre a una frecuencia
ω0
no balanceado
= 1
4
q
L0RHCRH0 L0LHCLH0
balanceado
= √ 1
L0
C0. (2.26)
No se observa en el caso balanceado una banda prohibida. Además, a pesar de que cuandoω=ω0la
constante de faseβ es cero la propagación de la onda se mantiene ya que la velocidad de grupovgr no
es cero aω0. La fase de una onda propagándose por una línea de transmisión de un medio diestro/zurdo
de longitudda ω0 es cero (φ=−β(ω0)d= 0). La fase se adelantará (φ >0) en el rango de frecuencias
del medio zurdo (ω < ω0) y se retrasará (φ <0) en el rango de frecuencias del medio diestro (ω > ω0).
El diagrama de dispersión nos ofrece, además, información sobre si un medio, sea zurdo o diestro, soporta una onda guiada o una onda radiada [23], tal y como muestra la gura 2.14.
Figura 2.14: Regiones del diagrama de dispersión en función del tipo de onda que se pueda propagar por el medio.
La impedancia característica de una línea de transmisión cualquiera es
Z0=
r
Z0
Y0. (2.27)
Y para un medio diestro/zurdo es
Z0
no balanceado
= ZLH
s
L0RHCLH0 ω2−1
L0LHCRH0 ω2−1
balanceado
= ZLH =ZRH. (2.28)
DondeZLH yZRH son las impedancias característica de un medio zurdo y un medio diestro,
ZLH =
s
L0LH
CLH0 , (2.29)
ZRH =
s
L0RH
CRH0 . (2.30)
De las ecuaciones 2.28 a 2.30 se concluye que mientras la impedancia característica del caso no balanceado es dependiente de la frecuencia, para el caso balanceado es independiente de la frecuencia, por lo que es posible hacer que las densidades electromagnéticas en una interfaz entre un medio zurdo y uno diestro sean equivalentes en un ancho de banda amplio sólo en el caso balanceado.
Utilizando todo lo anterior es posible conocer los parámetros primarios de una línea de transmisión de un medio diestro/zurdo. La constante de propagaciónγ=jβ=√Z0Y0, donde
−ω2µε=Z0Y0. (2.31)
Y la impedancia característica de la líneaZ0=
q
Z0
Y0, que se relaciona con la impedancia intrínseca del
medioη=pµ ε por
Z0=η, (2.32)
o lo que es lo mismo
Z0 Y0 =
µ
ε. (2.33)
De las ecuaciones 2.31 y 2.33 puede deducirse la permitividad y la permeabilidad de un medio dies-tro/zurdo:
µ= Z
0
jω =L 0
RH−
1
ω2C0
LH
, (2.34)
ε= Y
0
jω =C 0
RH−
1
ω2L0
LH
. (2.35)
El índice de refracción (n=cβω) para el caso balanceado y no balanceado de un medio diestro/zurdo
se muestra en la gura 2.15. Se observa un índice negativo para la región de medio zurdo (ω < ωΓ1) y
positivo para la región de medio diestro (ω > ωΓ2).
Figura 2.15: Índice de refracción típico de un medio diestro/zurdo para el caso balanceado (verde) y no balanceado (rojo). Fuente: [9].
su longitud de onda sea mucho mayor que la dimensión de las discontinuidades. Esto se traduce en el caso de una estructura en forma de seta en que debe cumplirse que el periodopde la estructura sea [21]:
pλ. (2.36)
Al menos debe darse que
p < λg
4 ⇒ |β|p <
π
2rad. (2.37)
En este caso la estructura es considerada completamente homogénea e isotrópica, se permiten los efectos de la refracción negativa y la propagación se puede describir mediante teoría de rayos.
La teoría de líneas de transmisión permite conocer las características de un medio zurdo. Sin embargo, nada se dice sobre como dimensionar la estructura en forma de seta para obtener un índice de refracción negativo a cierta frecuencia. De modo que el único método para encontrar las dimensiones de la celda unidad es mediante simulación y mediante construcción y medida.
Aquí se usará software de simulación electromagnético para conseguir el diagrama de dispersión de una celda unidad de la estructura en forma de seta, que servirá para conocer el rango de frecuencias en que presenta un índice de refracción negativo. Y de esta forma se dimensionará una celda que funcione como medio zurdo a la frecuencia deseada.
2.2.2. Extracción del diagrama de dispersión
Como ya se ha indicado, conseguir el diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta, como elemento de una estructura innitamente periódica, sirve para conocer el rango de frecuencias en el que tiene un comportamiento de medio zurdo. Para ello se hace uso de algún tipo de software de simulación electromagnético de onda completa.
El diagrama de dispersión muestra la relación entre la frecuencia (f) y la fase de la onda (o la
longitud eléctrica βp), f −βp. Presenta los modos que se propagan por la estructura y las bandas de
frecuencia en que pueden existir esos modos. En una estructura periódica existirán varios modos en diferentes direcciones. Brillouin, en su teoría sobre la propagación de ondas sobre estructuras periódicas [19], estableció que para cualquier estructura periódica existen ciertos vectores, es decir, direcciones, en la celda unidad de la estructura que forman una región de contorno de propagación llamada la irreducible zona de Brillouin (BZ). Por lo que, según esta teoría, conocer los modos que se propagan en la dirección de estos vectores es suciente para cubrir todas las direcciones posibles de propagación en el entramado [20]. Así, el problema de calcular los modos de propagación a una cierta frecuencia en la celda unidad se reduce a encontrar estos modos únicamente en las direcciones denidas por los vectores de la irreducible zona de Brillouin. Para el caso de la celda unidad de la estructura en forma de seta la irreducible zona de Brillouin, también llamada triángulo de Brillouin, se muestra en la gura 2.16, y consiste en las direcciones de propagación indicadas por los puntos: deΓ aX, deX a M y deM aΓ.
Figura 2.16: La irreducible zona de Brillouin de la celda unidad de una estructura en forma de seta (vista en planta).
Por consiguiente, el diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta consistirá en tres regiones, una por cada dirección del triángulo de Brillouin. En cada región, la faseβpse
Para una onda propagándose en la direcciónΓ−X, se hace variar la fase 1 entre0oy180odejando la
fase 2 ja a0o. La direcciónX−M corresponde a dejar la fase 1 constante a180oy variar fase 2 entre
0oy180o. Esta dirección representa la segunda región en el diagrama de dispersión. En la tercera región,
dirección M −Γ, ambas fases varían al mismo tiempo desde 180o a 0o. Para el caso en el que la onda
se propague por el espacio libre relleno únicamente con dieléctrico, donde no hay dispersión, el diagrama constituirá una línea recta en cada región que se denomina línea de dieléctrico. La ecuación 2.38 dene el diagrama de dispersiónf −βppara una onda propagándose por el espacio libre relleno de dieléctrico
[20]:
f(βp) =
c
2πp(βp), Γ−X, c
2πp
q
π2+ (βp)2, X−M,
c√2
2πp(βp), M −Γ.
(2.38)
Donde pes el periodo de la estructura, como ya se ha indicado, y c = √c0
εr es la velocidad de la luz
en el medio dieléctrico. Aunque se dene la línea de dieléctrico para las tres direcciones del triángulo de Brillouin habitualmente se representan únicamente la primera y la tercera región.
El diagrama de dispersión esperado de una celda unidad de la estructura en forma de seta puede verse en la gura 2.17, obtenido mediante un simulador de onda completa. En este caso no interesa conocer las dimensiones de la celda unidad, sino identicar los modos que se propagan por la estructura [24]. El primer modo o modo fundamental que se observa presenta la esperada pendiente negativa, correspondiente al modo LH o modo zurdo, a partir de una determinada longitud eléctrica en las direcciones Γ−X y M−Γe incluyendo toda la dirección X−M, acoplándose al modo TM del aire en las inmediaciones del
puntoΓ. Consecuentemente, un modo zurdo puro no es posible, ya que el modo dominante presenta una
mezcla entre un modo zurdo y un modo diestro. Si se excita una frecuencia que esté en el rango de medio zurdo (como por ejemplo, 4 GHz), la pendiente positiva correspondiente a un medio diestro también es interceptada y, por consiguiente, efectos de un medio diestro pueden ser inducidos en la estructura si se excita fuertemente. Sin embargo, es posible que haya una concordancia de densidades espectrales entre el medio zurdo y el medio diestro adyacente, cuyo diagrama de dispersión corresponde con la llamada línea de dieléctrico, en el punto donde intersectan el modo LH y dicha línea de dieléctrico, reduciendo así las contribuciones de medio diestro en la estructura en forma de seta. Además, el primer modo superior corresponde con un modo TE, que presenta comportamiento de medio zurdo en la zona cercana aΓ, y el
segundo modo superior se trata de un modo RH o modo diestro.
2.3. Interfaz parabólica
La excitación que se propone para la antena plana de ranuras consiste en una lente plana formada por un medio zurdo con una interfaz parabólica frente a un medio convencional.
La parábola es muy utilizada en reectores, donde un rayo paralelo al eje e incidiendo en el lado cóncavo del reector es reejado hacia el foco de la parábola situado en el mismo lado. Por el principio de reciprocidad, un frente de ondas cilíndrico que emana del foco de la parábola es reejado como una onda plana por el reector. La excitación se sitúa en el lado cóncavo de la parábola y el frente de onda plano es reejado hacia el mismo lado.
Sin embargo, lo que se propone como lente construida con un medio zurdo convierte una onda cilín-drica, excitada desde el foco de la parábola, y se transmite, en lugar de reejarse, una onda plana al otro lado de la interfaz entre el medio zurdo y el medio convencional. La gura 2.18 muestra un esquema del concepto.
Figura 2.18: Concepto de conversión de onda cilíndrica a onda plana de un medio zurdo a un medio convencional.
Este nuevo concepto se entiende fácilmente si se observa la gura 2.19, donde la reexión O−P−
R conseguida con un reector parabólico convencional es reemplazada por la refracción O −P −R0
consiguiendo el efecto de la gura 2.18.
Figura 2.19: Comparación entre un reector parabólico y una interfaz parabólica zurda.
La forma parabólica se diseña siguiendo el principio de Fermat [22], que debe ser redenido para un medio zurdo. Para conseguir la transformación de onda cilíndrica a onda plana, por el principio de Fermat, debe cumplirse la condición de distancia eléctrica (según la nomenclatura de la gura 2.19):
Como la distanciaOP es igual al caminor,P P0 es igual a(f−rcosθ), dondef es la distancia focal de
la parábola, yOQ0 es igual arcosθ, la ecuación 2.39 puede expresarse como
nLH·r+nRH·(f−rcosθ) =nLH·f, (2.40)
dondenLH ynRH son los índices de refracción del medio zurdo y del convencional, respectivamente. De
forma que podemos saber cual es la distanciarde la forma parabólica en función def:
r= f(nLH−nRH)
nLH−nRHcosθ
. (2.41)
O la distancia focalf en función der:
f = r(nLH−nRHcosθ)
nLH−nRH
. (2.42)
Así, según la gura 2.19, es posible excitar mediante un coaxial una onda cilíndrica en el punto focal
O, que se transformará en una onda plana, al otro lado de la interfaz entre el medio zurdo y el medio
convencional, propagándose perpendicular a los ejes de la antena de array de ranuras de placas paralelas. Este tipo de lentes zurdas tienen dos ventajas distinas respecto a las lentes convencionales. La primera es que una lente con un índice de refracción negativo (NRI) tiene una radio de curvatura mayor comparado con una lente convencional de la misma magnitud de índice de refracción y la misma distancia focal, esto se puede comprobar a partir de la ecuación 2.41, lo que se traslada en una reducción de la aberración. La segunda ventaja es que es posible igualar las densidades electromagnéticas entre un medio zurdo y un medio diestro, de forma que la lente parabólica no tenga reexiones en la interfaz entre ambos medios y todas las ondas incidentes pasen a través de la interfaz. Esta última ventaja será discutida en el siguiente apartado.
2.4. Condición de densidades electromagnéticas equivalentes
Para que la transformación de una onda cilíndrica a una onda plana se realice correctamente es necesario satisfacer la condición de que los dos medios, zurdo y convencional, tengan densidades electro-magnéticas equivalentes, es decir
nLH =−nRH. (2.43)
Lo cual implica, según 2.10, que
εr,LH·µr,LH=εr,RH·µr,RH. (2.44)
De manera que cumpliendo esta condición se consigue una adaptación perfecta entre los dos medios y sus impedancias características deben ser las mismas:
ZLH =ZRH. (2.45)
Lo cual implica que
µr,LH
εr,LH
=µr,RH
εr,RH
. (2.46)
Esta condición de adaptación entre un medio zurdo y el medio diestro adyacente puede verse en el diagrama de dispersión como el punto en el que intersectan el modo zurdo de la celda unidad de la estructura en forma de seta y la línea de dieléctrico del medio convencional. Idealmente la intersección debería producirse en el mismo punto de fase en todas las direcciones del triángulo de Brillouin. Por ejemplo, si se observa la gura 2.20, aunque la línea de dieléctrico no coincide en el mismo punto con las direccionesΓ−X yM −Γ, la condición de densidades electromagnéticas equivalentes se cumple a una
frecuencia en torno a los 5 GHz y a una longitud eléctrica de0,38πrad. Cuanto más cercanas estén estas
Figura 2.20: Intersección entre el modo LH de una estructura en forma de seta y la línea de dieléctrico de un medio convencional adyacente, a cuya longitud eléctrica y frecuencia se cumple la condición de densidades electromagnéticas equivalentes.
De modo que la permitividad y la permeabilidad del medio zurdo han de diseñarse con la precisión su-ciente para evitar reexiones indeseadas en la interfaz de la lente y teniendo en cuenta las propiedades del medio convencional. Dichas reexiones pueden cuanticarse según el coeciente de reexión en potencia en la discontinuidad entre un medio zurdo y uno diestro, que es
ρpot=
Pref
Pinc
=
ηRH−ηLH
ηRH+ηLH
2
, (2.47)
donde, teniendo en cuenta la ecuación 2.16, las impedancias intrínsecas de cada medio son
ηLH = +
rµ
r,LH
εr,LH
, (2.48)
ηRH = +
rµ
r,RH
εr,RH
. (2.49)
Y nalmente si, como es habitual,µr,LH =−1yµr,RH= 1y sustituyendo en las ecuaciones 2.48 y 2.49,
se tiene que
ρpot=
n
LH+nRH
nLH−nRH
2
Capítulo 3
Análisis y diseño de la celda unidad de
la estructura de seta
En este capítulo se va a caracterizar la celda unidad de la estructura en forma de seta, utilizando para ello su diagrama de dispersión, y se va a desarrollar un método de diseño basado en dichos diagramas que permita dimensionar una celda a la frecuencia deseada, siempre bajo ciertas restricciones que más adelante se concretarán.
3.1. Validación del software de simulación electromagnético
Para la obtención del diagrama de dispersión de la celda unidad de la estructura en forma de seta se cuenta con dos simuladores electromagnéticos de onda completa: Ansoft HFSS 10.1, que usa el Método de los Elementos Finitos (FEM), y CST Microwave Studio 2006, basado en el Método de las Integrales Finitas en el Dominio del Tiempo (FITD) para estructuras electromagnéticas en 3D. Además ambos simuladores mallan las estructuras de forma distinta, lo que los hace más o menos aptos según la estructura geométrica que se quiera analizar. En nuestro caso los dos simuladores son válidos para analizar la celda unidad, ya que ésta tiene una geometría muy rectilínea, es decir, no presenta formas curvas, por lo que ambos mallados son óptimos.
Con el objetivo de validar ambos simuladores y comprobar que se pueden utilizar para extraer el diagrama de dispersión de la celda unidad correctamente, simulamos una celda de la que conocemos su diagrama de dispersión. Ésta es la celda utilizada en [8], donde se demuestra que a una frecuencia de 5 GHz esta celda tiene un índice de refracción negativo. Las dimensiones y demás parámetros de esta celda unidad, según la nomenclatura utilizada en la gura 2.8(b), son los indicados en la tabla 3.1. El espesor del plano de masahmasay la altura de la guía de placas paralelashppwg no inuyen en el comportamiento
de la celda unidad, pero se indican las magnitudes con las que se han simulado con carácter meramente informativo.
Para simular la celda y obtener su diagrama de dispersión es necesario denir unas condiciones simi-lares a las que tendrá cuando se integre dentro de la lente plana completa y en la guía de placas paralelas.
Parámetro Magnitud (mm)
p 5
g 0.2
h 1.57
t 0.5
dvia 0.2
hmasa 1
hppwg 6
εr 2.17
Tabla 3.1: Parámetros de la celda unidad a 5 GHz simulada para validar el software.
Para ello, en CST, se rodea la celda con una caja rellena de aire cuya altura, desde el plano de masa, es de hppwg = λ10g = 6mm1, y se jan las condiciones de contorno del plano superior e inferior como
de conductor eléctrico perfecto (PEC), lo cual se acerca a las condiciones en el interior de la guía de placas paralelas. Además, se establecen condiciones de contorno periódicas (PBC) en todos los lados de la celda, ya que la mayoría de las celdas estarán rodeadas de otras celdas por sus cuatro lados cuando se integren dentro de la lente plana. Esta condición no es válida para las celdas que se encuentren en los extremos de la lente, pero supondremos que la aproximación es correcta asumiendo que en los extremos el comportamiento no va a ser el esperado pero que se le acercará bastante. Con las condiciones de contorno periódicas es posible jar las diferencias de fase entre los lados de la celda, lo que va a permitir hacer los barridos de fase sobre cada lado para calcular las frecuencias a las que se propagan ondas electromag-néticas en el interior de la estructura. Puede verse en la gura 3.1 el dibujo en CST de la celda unidad y las condiciones de contorno jadas.
(a) (b)
(c)
Figura 3.1: CST: (a) celda unidad con caja de aire, (b) detalle de la vía metalizada y (c) condiciones de contorno.
Ahora puede hacerse un barrido de parámetros con el Eigenmode solver del CST, que calcula los modos que se propagan por una estructura, variando fase 1 y fase 2, según se indica en al apartado 2.2.2, para cada lado del triángulo de Brillouin.
En HFSS el proceso es similar [23]. Se rodea la celda por una caja rellena de aire, de altura hppwg
igual a la jada en CST, y se establecen condiciones de contorno de conductor eléctrico perfecto en las caras superior e inferior. HFSS no tiene condiciones de contorno periódicas como tal, sino lo que se llaman condiciones de contorno maestro/esclavo. Este tipo de condiciones de contorno modelan planos con alguna periodicidad, donde el campo eléctrico en cada punto de la supercie esclava se fuerza para que coincida con el campo eléctrico en la supercie maestra con una cierta diferencia de fase. De modo que se jan dos de los lados de la celda no enfrentados entre sí como maestros y los otros dos como esclavos y se hace
1En este casoλg se reere a la longitud de onda de la guía de placas paralelas que, en principio, estará rellena de foam,
es decir,εr '1. Más adelante se verá que no será foam el sustrato que se empleará, pero aquí se utiliza para partir de
un barrido con las diferencias de fase entre ambos lados (fase 1 y fase 2 ) para determinar el diagrama de dispersión. En la gura 3.2 se pueden ver las condiciones de contorno impuestas con HFSS.
(a)
(b)
Figura 3.2: HFSS: (a) condiciones de contorno PEC y (b) maestro/esclavo.
Los diagramas de dispersiónf−βpobtenidos pueden verse en la gura 3.3. Muestran los tres primeros
modos (el fundamental y los dos primeros modos superiores) que se propagan por la celda unidad en las tres direcciones del triángulo de Brillouin, además del modo de propagación en el espacio libre relleno de dieléctrico o línea de dieléctrico, que corresponde con el medio convencional. Únicamente se observa comportamiento de medio zurdo, es decir, una pendiente negativa en el diagrama de dispersión, en el modo fundamental a partir de una determinada longitud eléctrica en las direcciones Γ−X y M −Γ
y en toda la dirección X −M, intersectando con la línea de dieléctrico del medio convencional en las
inmediaciones deΓ; y en el primer modo superior en la zona cercana aΓ. Los resultados son prácticamente
idénticos en CST y en HFSS2 a los obtenidos en [8], existiendo comportamiento de medio zurdo a una
frecuencia de 5 GHz con una longitud eléctrica aproximada deβp'0,4π < π2rad.
2En el diagrama de dispersión calculado con HFSS se ha suprimido el valor de fase0o, ya que no simula bien para esta
diferencia de fase, como se señala en el anexo A.1.1. Sin embargo, para el modo fundamental, aunque no se ha simulado con fase0o, se sabe que corresponde con una frecuencia de0GHz, por lo que se ha añadido posteriormente este punto para
