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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

PROFESOR: ÁLVARO ELIZONDO MONTOYA

Instrucciones:

Verique las siguientes identidades trigonométricas.

1. cos4_A−sen4_{A+ 1 = 2cos}2_A

cos4A−sen4A+ 1 = (cos2A+sen2A)·(cos2A−sen2A) + 1

= 1·(cos2A−sen2A) + 1

= cos2A−(1−cos2A) + 1

= cos2A−1 +cos2A+1

= 2cos2A

2. (senA+cosA)(1−senAcosA) = sen3_A+cos3_A

sen3A+cos3A = (senA+cosA)(sen2A−senAcosA+cos2A)

= (senA+cosA)(1−senAcosA)

3. senA

1 +cosA +

1 +cosA

senA = 2cscA

senA

1 +cosA +

1 +cosA senA =

senA

1 +cosA ·

1−cosA

1−cosA +

1 +cosA senA

= senA(1−cosA) 1−cos2_A +

1 +cosA senA

= senA(1−cosA)

sen2_A +

1 +cosA senA

=

senA(1−cosA)

sen2_A +

1 +cosA senA

= 1−cosA

senA +

1 +cosA senA

= 1−cosA+ 1 +cosA

senA

= 1−

cosA+ 1 +cosA senA

= 2

senA

4. cos6_A+sen6_{A= 1−3sen}2_Acos2_A

cos6A+sen6A = (cos2A)3+ (sen2A)3

= (cos2A+sen2A)·(cos4A−cos2Asen2A+sen4A)

= 1·(cos4A−cos2Asen2A+sen4A)

= cos4A+sen4A−cos2Asen2A

= (cos2A)2+ (sen2A)2−cos2Asen2A

= (cos2A)2+2cos2Asen2A+ (sen2A)2−cos2Asen2A−2cos2Asen2A

= (cos2A+sen2A)2−3cos2Asen2A

= 12−3cos2Asen2A

= 1−3cos2Asen2A

5.

r

1−senA

1 +senA =secA−tanA

r

1−senA

1 +senA = r

1−senA

1 +senA ·

1−senA

1−senA =

r

(1−senA)2

1−sen2_A

=

r

(1−senA)2 cos2_A

=

p

(1−senA)2

√

cos2_A

= |1−senA|

|cosA|

= 1−senA

|cosA| Si cosA >0

= 1−senA

cosA

= 1

cosA − senA cosA

6. cscA

cscA−1+

cscA

cscA+ 1 = 2sec

2_A

cscA cscA−1+

cscA

cscA+ 1 = cscA

1

cscA−1 + 1

cscA+ 1

= cscA

cscA+1 + cscA−1 (cscA−1)(cscA+ 1)

= cscA 2cscA csc2_A−1

= 2csc

2_A

cot2_A

=

2 sen2A

cos2_A

sen2A

= 2

cos2_A

= 2sec2A

7. cscA

cotA+tanA =cosA

cscA

cotA+tanA =

1

senA cosA senA +

senA cosA

=

1

senA cos2_A+sen2_A

senAcosA

=

1 senA

1 senAcosA

= cosA 1

= cosA

8. (secA+cosA)(secA−cosA) =tan2A+sen2A

(secA+cosA)(secA−cosA) = sec2A−cos2A

= 1 +tan2A−(1−sen2A)

= 1 +tan2A−1 + sen2A

= tan2A+sen2A

9. 1

cotA+tanA =senAcosA

1

cotA+tanA =

1

cosA senA +

senA cosA

= _cos2_A+1_sen2_A

senAcosA

= 1₁

senAcosA

10. 1

secA−tanA =secA+tanA

1

secA−tanA =

1

secA−tanA·

secA+tanA secA+tanA

= secA+tanA

sec2_A−tan2_A

= secA+tanA 1

= secA+tanA

11. 1−tanA

1 +tanA =

cotA−1

cotA+ 1

1−tanA

1 +tanA =

1−tanA

1 +tanA ·

cotA cotA

= cotA−1

cotA+ 1

12. 1 +tan2A

1 +cot2_A =

sen2_A cos2_A

1 +tan2_A

1 +cot2_A =

sec2_A csc2_A

=

1

cos2_A

1

sen2_A

= sen

2_A

cos2_A

13. secA−tanA

secA+tanA = 1−2secAtanA+ 2tan 2_A

secA−tanA secA+tanA =

secA−tanA secA+tanA ·

secA−tanA secA−tanA = (secA−tanA)

2

sec2_A−tan2_A

= sec

2_{A−2secAtanA+tan}2_A

1

= 1 +tan2A−2secAtanA+tan2A

14. tanA

1−cotA+

cotA

1−tanA =secAcscA+ 1

tanA

1−cotA+

cotA

1−tanA =

senA cosA

1− cosA senA

+

cosA senA

1− senA cosA

=

senA cosA senA−cosA

senA

+

cosA senA cosA−senA

cosA

= sen

2_A

cosA(senA−cosA) +

cos2A

senA(cosA−senA)

= sen

2_A

cosA(senA−cosA) −

cos2A

senA(senA−cosA)

= sen

3_A−cos3_A

cosAsenA(senA−cosA)

= ((((

((((

(senA−cosA)(sen2_{A+senAcosA+cos}2_A) cosAsenA

((((

((((

(senA−cosA)

= 1 +senAcosA

cosAsenA

= 1

cosAsenA + 1

= 1

cosA ·

1

senA + 1

= secAcscA+ 1

15. cosA

1−tanA +

senA

1−cotA =senA+cosA

cosA

1−tanA +

senA

1−cotA =

cosA

1− senA cosA

+ senA 1− cosA

senA

= _cosAcosA_−senA

cosA

+ _senAsenA_−cosA

senA

= cos

2_A

cosa−senA +

sen2_A senA−cosA

= cos

2_A

cosa−senA −

sen2_A cosA−senA

= cos

2_A−sen2_A

cosA−senA

= ((((

((((

(cosA−senA)(cosA+senA)

(((( ((( cosA−senA

16. (senA+cosA)(cotA+tanA) = secA+cscA

(senA+cosA)(cotA+tanA) = (senA+cosA)

cosA senA +

senA cosA

= (senA+cosA)

cos2_A+sen2_A senAcosA

= (senA+cosA)

1

senAcosA

= senA+cosA

senAcosA

=

senA

senAcosA

+

cosA senAcosA

= 1

cosA +

1

senA

= secA+cscA

17. sec4_A−sec2_A=tan4_A+tan2_A

sec4A−sec2A = sec2A(sec2A−1)

= sec2A·tan2A

= (1 +tan2A)tan2A

= tan2A+tan4A

18. cot4_A+cot2_A=csc4_A−csc2_A

cot4A+cot2A = cot2A(cot2A+ 1)

= cot2A·csc2A

= (csc2A−1)csc2A

= csc4A−csc2A

19. √csc2_{A−1 =cosAcscA}

√

csc2_{A−1 =} √_cot2_A

= |cotA|

= |cosA|

|senA|

= cosA

senA Si senA·cosA >0

= cosA· 1

senA

20. sec2_Acsc2_A=tan2_A+cot2_{A+ 2}

tan2A+cot2A+ 2 = 1 +tan2A+ 1 +cot2A

= sec2A+csc2A

= 1

cos2_A +

1

sen2_A

= sen

2_A+cos2_A

cos2_Asen2_A

= 1

cos2_Asen2_A

= 1

cos2_A ·

1

sen2_A

= sec2Acsc2A

21. tan2A−sen2A=sen4Asec2A

tan2A−sen2A = sen

2_A

cos2_A −sen 2_A

= sen2A

1

cos2_A −1

= sen2Asec2A−1

= sen2Atan2A

= sen2Asen 2_A

cos2_A

= sen

4_A

cos2_A

= sen4Asec2A

22. B = (1 +cotA−cscA)(1 +tanA+secA) = 2

B = (1 +cotA−cscA)(1 +tanA+secA)

= 1 +tanA+secA+cotA+ 1 +cotAsecA | {z }

cscA

−cscA−cscAtanA | {z }

secA

−cscAsecA

= 1 +tanA+secA+cotA+ 1 +cscA−cscA−secA−cscAsecA

= 2 +tanA+cotA−cscAsecA

= 2 + senA

cosA + cosA senA−

1

senAcosA

= 2 + sen

2_A+cos2_A−1

senAcosA

= 2 + 0

senAcosA

23. 1

cscA−cotA−

1

senA =

1

senA −

1

cscA+cotA

MIEMBRO IZQUIERDO:

1

cscA−cotA −

1

senA =

1

1

senA − cosA senA

− 1

senA

= _1−cosA1

senA

− 1

senA

= senA 1−cosA −

1

senA

= senA 1−cosA ·

1 +cosA

1 +cosA − 1

senA

= senA(1 +cosA) 1−cos2_A −

1

senA

=

senA(1 +cosA)

sen2_A −

1

senA

= 1 +cosA−1

senA

= cosA

senA

= cotA

MIEMBRO DERECHO:

1

senA −

1

cscA+cotA =

1

senA −

1

1

senA+ cosA senA

= 1

senA −

1

1+cosA senA

= 1

senA −

senA

1 +cosA

= 1

senA −

senA

1 +cosA ·

1−cosA

1−cosA = 1

senA −

senA(1−cosA) 1−cos2_A

= 1

senA −

senA(1−cosA) sen2_A

= 1−1 +cosA

senA

= cosA

senA

24. cotAcosA

cotA+cosA =

cotA−cosA cotAcosA

cotAcosA cotA+cosA =

cosA senAcosA cosA

senA +cosA

=

cos2A

senA

cosA+senAcosA

senA

= cos

2_A

cosA+senAcosA

= cos

2_A

cosA(1 +senA)

= cosA 1 +senA·

1−senA

1−senA = cosA(1−senA)

1−sen2_A

=

cosA(1−senA)

cos2_A

= 1−senA

cosA ·

cotA cotA

= cotA−cosA

cosAcotA

25. cotA+tanB

cotB+tanA =cotAtanB

cotAtanB = cotAtanB· cotB+tanA

cotB+tanA

= cotA

tanB_cotB+

cotAtanB tanA cotB+tanA

= cotA+tanB

26. B =

1

sec2_A−cos2_A +

1

csc2_A−sen2_A

cos2Asen2A = 1−cos

2_Asen2_A

2 +cos2_Asen2_A

B =

1

sec2_A−cos2_A +

1

csc2_A−sen2_A

cos2Asen2A

= cos

2_Asen2_A

sec2_A−cos2_A +

cos2_Asen2_A csc2_A−sen2_A

= cos

2_Asen2_A

sec2_A−cos2_A ·

cos2_A

cos2_A +

cos2_Asen2_A csc2_A−sen2_A ·

sen2_A

sen2_A

= cos

4_Asen2_A

1−cos4_A +

cos2_Asen4_A

1−sen4_A

= cos

4_Asen2_A

(1−cos2_{A)(1 +cos}2_A) +

cos2_Asen4_A

(1−sen2_{A)(1 +sen}2_A)

= cos

4_Asen2_A

sen2_{A(1 +cos}2_A)+

cos2Asen4A cos2A(1 +sen2A)

= cos

4_A

1 +cos2_A +

sen4A

1 +sen2_A

= cos

4_{A(1 +sen}2_{A) +sen}4_{A(1 +cos}2_A)

(1 +cos2_{A)(1 +sen}2_A)

= cos

4_A+cos4_Asen2_A+sen4_A+sen4_Acos2_A

1 +sen2_A+cos2_A+cos2_Asen2_A

= (cos

2_A+sen2_A)2_−2cos2_Asen2_A+sen2_Acos2_A(cos2_A+sen2_A)

2 +cos2_Asen2_A

= 1−2cos

2_Asen2_A+sen2_Acos2_A·1

2 +cos2_Asen2_A

= 1−cos

2_Asen2_A

2 +cos2_Asen2_A

27. sen8A−cos8A= (sen2A−cos2A)(1−2sen2Acos2A)

sen8A−cos8A = (sen4A+cos4A)(sen4A−cos4A)

= (sen4A+cos4A)(sen2A−cos2A)(sen2A+cos2A)

= ((sen2A+cos2A)2 −2sen2Acos2A)·(sen2A−cos2A)·1

= (1−2sen2Acos2A)(sen2A−cos2A)

28. cosAcscA−senAsecA

cosA+secA =cscA−secA

cscA−secA = (cscA−secA)· cosA+senA

cosA+senA

= (cscA−secA)(cosA+senA)

cosA+senA

= cscAcosA+1−1−secAsenA cosA+senA

29. tanA+secA−1

tanA−secA+ 1 =

1 +senA cosA

tanA+secA−1

tanA−secA+ 1 =

tanA+secA−1

tanA−secA+ 1 · cosA cosA

= senA+ 1−cosA

senA−1 +cosA

= (senA−cosA) + 1 (senA+cosA)−1·

(senA+cosA) + 1 (senA+cosA) + 1

= sen

2_A+

(((( ((

senAcosA+senA−(((( ((

senAcosA−cos2A−cosA+senA+cosA+ 1 (senA+cosA)1₋₁

= sen

2_{A+ 2senA−cos}2_{A+ 1}

sen2_{A+ 2senAcosA+cos}2_A−1

= sen

2_{A+ 2senA+cos}2 _−2cos2_{A+ 1}

2senAcosA

= 2 + 2senA−2cos

2_A

2senAcosA

= 1 +senA−cos

2_A

senAcosA

= sen

2_A+

cos2A+senA−cos2A senAcosA

= sen

2_A+senA

senAcosA

=

senA(senA+ 1)

senAcosA

= senA+ 1

cosA

30. C = (tanA+cscB)2−(cotB−secA)2 = 2tanAcotB(cscA+secB)

C = (tanA+cscB)2−(cotB−secA)2

= tan2A+ 2tanAcscB+csc2B−cot2B+ 2cotBsecA−sec2A

= sec2A−csc2B+ 2tanAcscB+csc2B+ 2cotBsecA−sec2A

= 2(tanAcscB+cotBsecA)

= 2tanAcotB

tanAcscB tanAcotB

+

cotBsecA tanAcotB

= 2tanAcotB(cscBtanB+secAcotA)

= 2tanAcotB

1

senB senB

cosB +

1

cosA cosA senA

= 2tanAcotB( 1

cosB +

1

senA)

31. 2sec2_A−sec4_A−2csc2_A+csc4_A=cot4_A−tan4_A

2sec2A−sec4A−2csc2A+csc4A = sec2A+sec2A−sec4A−csc2A−csc2A+csc4A

= sec2A+sec2A(1−sec2A)−csc2A−csc2A(1−csc2A)

= sec2A+sec2A· −tan2A+−csc2A−csc2A· −cot2A

= tan2A−cot2A−sec2Atan2A+csc2Acot2A

= tan2A−sec2Atan2A+csc2Acot2A−cot2A

= tan2A(1−sec2A) +cot2A(csc2A−1)

= tan2A· −tan2A+cot2A·cot2A

= −tan4A+cot4A

= cot4A−tan4A

32. 1−senA

1 +senA = 1 + 2tanA(tanA−secA)

1−senA

1 +senA =

1−senA

1 +senA ·

1−senA

1−senA = (1−senA)

2

1−sen2_A

= 1−2senA+sen

2_A

cos2_A

= 1

cos2_A − senA cos2_A +

sen2A cos2_A

= sec2A−2tanAsecA+tan2A

= 1 +tan2A−2tanAsecA+tan2A

= 1 + 2tan2A−2tanAsecA

= 1 + 2tanA(tanA−secA)

33. B = (1 +cotA+tanA)(senA−cosA) = secA

csc2_A − cscA sec2_A

B = (1 +cotA+tanA)(senA−cosA)

= senA−cosA+cotAsenA−cotAcosA+tanAsenA−tanAcosA

= senA−cosA+ cosA

senA

·senA− cosA

senA·cosA+ senA

cosA ·senA− senA

cosA

·cosA

= senA−cosA+cosA− cos2_A

senA +

sen2_A

cosA − senA

= sen

2_A

cosA − cos2A

senA

= secA

csc2_A − cscA