Experiencias de Aula

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 559

Proyecto Silueta: delineando el mundo con herramientas

tecnológicas ... 561

Calculo del área, a través de determinantes... 566

Probabilidad clásica ligada a la geométrica ... 571

Incorporación de las regletas de Cuisenaire para la enseñanza

del número en grado sexto: el caso de los estudiantes de la IED

Restrepo Millán ... 577

El aula taller y el modelo de Van Hiele como base para el

desarrollo del pensamiento y el aprendizaje de la Geometría

Analítica en la Educación Superior ... 585

El parqués como estrategia para la enseñanza-aprendizaje de

números enteros en grado séptimo ... 591

Una expresión algebraica que genera infinitos números primos ... 596

Colaboración entre profesores de estadística e investigadores:

Una experiencia de aula ... 602

Facebook, una alternativa en la socialización del conocimiento

disciplinar ... 608

Resolución de problemas: Estrategia de aula para el desarrollo

de operaciones con expresiones algebraicas ... 616

Movimientos en el plano a través de teselados ... 623

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 560 0

Una propuesta de enseñanza del área y perímetro con

pentominós y Cabri para una población de discapacidad auditiva ... 634

Una aproximación a la comprensión de la proporcionalidad

directa. Reporte de una experiencia ... 640

Descripción de los argumentos logrados por estudiantes de

grado noveno al realizar una tarea de generalización ... 646

¿Qué tan a menudo siente un estudiante que la fórmula no es

suficiente para resolver un problema?: Una experiencia de aula

del Club Matemático Euler, UIS ... 652

Propuesta de enseñanza para grado once, introducción al

concepto de derivada ... 658

Implementación del software libre GeoGebra como herramienta

en el aula para la enseñanza de las matemáticas en educación

básica secundaria en la ciudad de Fusagasugá ... 664

Interacciones y relaciones con estudiantes de grado cuarto para

la comprensión de las transformaciones geométricas de

congruencia ... 669

Aproximación a la comprensión del número natural y racional a

partir de la información numérica contenida en los empaques ... 675

Caracterización de las interacciones en medios asincrónicos y

su relación con el pensamiento crítico a partir de la literatura

matemática en el grado undécimo de la Institución Educativa

José Miguel de Restrepo y Puerta ... 680

Indagación sobre la comprensión de la suma de fracciones en

estudiantes de grado noveno ... 685

La trigonometría como herramienta para medir nuestro entorno ... 690

Representaciones de fraccionarios en un juego de cartas ... 697

Una experiencia de aula potencializando las habilidades de

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Proyecto Silueta: delineando el mundo con

herramientas tecnológicas

ASTRID LIZBETH TORREGROZA OLIVERO

[email protected] Colegio Abraham Lincoln (Docente)

Resumen. En la clase de cálculo, se ha venido empleando diferentes herramientas tecnológicas para complementar, reforzar y potenciar el estudio y las aplicaciones de las funciones reales, relacionando las representaciones gráficas de las siluetas de paisajes, de cuerpos, de rostros, entre otros, con sus representaciones algebraicas. Los estudiantes plasman en un dibujo algunos de sus intereses y posteriormente son ubicados en el plano cartesiano de manera estratégica, buscando, de ser posible, principios de simetría; traducen al lenguaje matemático cada una de los segmentos y curvas de sus dibujos y delimitan los espacios que ocupan en el plano. Posteriormente utilizan un software para introducir sus modelaciones algebraicas y de esta manera, logran darle vida a su idea inicial, a su creación.

Palabras clave: Blog proyecto silueta.

1. Introducción

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 562 El presente proyecto aplicado con los estudiantes de grado undécimo, en la clase de cálculo, describe el proceso de planteamiento y desarrollo de estrategias centradas en el Aprendizaje Significativo1, empleando el software DERIVE5, como una herramienta didáctica facilitadora de la enseñanza de las Matemáticas que complementa, refuerza y potencia las competencias interpretativa, argumentativa y propositiva; tomando como contenido esencial las funciones reales. El objetivo primordial es que el estudiante pueda elaborar representaciones abstractas relacionadas con figuras de su entorno y logre aplicar los conceptos fundamentales del análisis gráfico de funciones reales.

2. Marco teórico

Los cambios en las concepciones acerca de la naturaleza de la matemática escolar están relacionados con cambios significativos en cuanto al carácter de la enseñanza y el aprendizaje y en consecuencia con los cambios en el tipo de prácticas de los docentes. En la actualidad, por ejemplo, el único referente de trabajo en el aula no debe ser la cátedra del profesor y el libro de texto, muy por el contrario los estudiantes deben tener una participación activa en la construcción y aplicación de las ideas matemáticas; el énfasis en la memorización árida de hechos y destrezas debe dar paso, como lo plantean los lineamientos curriculares propuestos desde el MEN, a que el eje fundamental del trabajo en matemáticas sea el planteamiento y resolución de problemas; se hace necesario cambiar el trabajo excesivo en tareas rutinarias por la generación de ambientes que fomenten la formulación y análisis de preguntas y la interacción con los estudiantes; fortaleciendo uno de los propósitos de la educación matemática que es formar al estudiante para que adquiera fluidez representacional, entendida esta, como la representación verbal, gráfica, geométrica, tabular, icónica, algebraica, pictórica; mediante la que exprese conceptos y procedimientos matemáticos (Orozco, 2009). El avance en los descubrimientos científicos y tecnológicos hace necesario cambiar el trabajo repetitivo en tareas de tipo aritmético con lápiz y papel por el uso de la calculadora y los computadores como herramientas para hacer matemáticas, y que permita la construcción personal del razonamiento lógico, tal como lo referencia en sus ideas constructivistas los planteamientos de George Cantor (1845-1918): “La esencia de las matemáticas es su libertad: Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis”

(Davis, Hersh, 1988).

Las tecnologías para la enseñanza de las matemáticas. Acorde con la misión institucional del colegio Abraham Lincoln que se centra en “promover el desarrollo humano y pluricultural de la comunidad educativa, así como una mejor calidad de vida fundamentada

1

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 563 en el respeto a la dignidad de las personas y en la prevalencia del interés general conforme al marco legal vigente, propendiendo por una formación integral, orientada al fortalecimiento de la capacidad para crear y construir individual y socialmente conocimientos y convivencia armónica; fortaleciendo la visión de futuro y la conciencia de existir y trascender, en términos de reciprocidad e interdependencia con su entorno”, las Nuevas Tecnologías en la Educación Matemática fortalecen la generación de reciprocidad e interdependencia con su entorno al aplicar de manera práctica, en su día a día, el razonamiento lógico matemático que se pretende desarrollar a través de la implementación de las herramientas tecnológicas, el Área de Matemáticas se ha dado la tarea de consolidar una propuesta de innovación o cambio educativo a través de la implementación herramientas tecnológicas con propósito pedagógico.

Marco conceptual. El Proyecto Silueta tiene sus referentes conceptuales en el Pensamiento Variacional y por ende en los Sistemas Algebraicos y Analíticos, que con la implementación del software DERIVE, ayuda a que los estudiantes visualicen la representación gráfica de expresiones algebraicas y funcionales. Se inicia con el planteamiento de preguntas: ¿Cómo representar y resolver situaciones de ciencias y negocios utilizando desigualdades? ¿Es posible obtener una función que se ajuste a un conjunto de datos? ¿Cómo realizo transformaciones en el plano de funciones dadas? ¿Una caja abierta y una caja cerrada tienen el mismo modelo funcional? ¿Qué fenómenos de la naturaleza se ajustan a modelos funcionales exponencial y logarítmico?

3. Problema

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4. Metodología

Población y muestra. El proyecto silueta se desarrolla con los estudiantes que cursan undécimo grado y que toman su clase de cálculo. En promedio son 70 estudiantes por grado en cada promoción y en el proyecto han participado las últimas cinco promociones, para un total de 350 estudiantes que han aportado sus talentos en el desarrollo de este proyecto.

Operacionalización de la propuesta. Para la implementación de la propuesta en el aula de matemáticas se diseñaron una serie de etapas que pretendían organizar la secuencia didáctica, de tal manera que se logran alcanzar los objetivos propuestos. Conceptualización, se abordan los referentes teóricos propuestos en el plan bimestral. Desarrollo, se organizan los equipos, se presentan los bocetos, se realiza la modelación algebraica y se grafica con el software. Socialización, se exponen los trabajos a los miembros de la comunidad interna y externa.

Técnicas de recolección de datos. Para efectuar la evaluación y seguimiento del proyecto se diseñaron matrices de evaluación, en los que se miden criterios tales como: Evidencias del proceso: boceto, modelación matemática, manejo Derive 5, manejo de Paint, otros. Puntualidad en la entrega de las evidencias del proceso. Exposición del proyecto: Presentación PPT y comunicación matemática. Se aplicó una matriz de evaluación diseñada para exposiciones.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 565 hizo parte de la propuesta presentada al Premio Compartir al Maestro y por la Fundación Telefónica en mayo de 2013.

5. Conclusiones y aplicaciones

El uso de mediadores tecnológicos en el aprendizaje de las matemáticas facilita en los estudiantes la visualización de imágenes que tienen representación geométrica y modelación algebraica. A través del proyecto silueta se logró crear un ambiente que posibilitó promover la investigación en el aula a partir de los intereses de los estudiantes. El uso de tecnología, en este caso el Derive 5, permitió abordar situaciones de mayor rigor matemático por su precisión y por salirse de los contextos típicos que proponen los docentes en el aula que carecen de estas herramientas didácticas. Se abordaron en un único proyectos muchos conceptos y contenidos del currículo de matemáticas, lo cual permite que el estudiante consolide sus conocimientos adquiridos durante los diferentes cursos de matemáticas. El Proyecto Silueta es una propuesta didáctica que podría ser implementada en cada uno de los cursos de matemáticas, con la utilización de diferentes herramientas tecnológicas, como calculadoras graficadoras y CabriGeometry. Los productos de los estudiantes pueden ser utilizados para crear actividades de clase que permitan ir de la gráfica a la función o de la función a la gráfica. El proyecto silueta, además de ser significativo, es llamativo por su colorido e ingenio, con lo que motiva a los estudiantes al estudio de las matemáticas, bajo didácticas alternativas.

Referencias bibliográficas

 Davis, P.J. Hersh, R. 1982. The Mathematical Experience, Boston Birkhauser, (traduc. esp.: Experiencia Matemática, Barcelona, Centro de Publicaciones del MEC y Editorial LABOR, 1988)

 Nuevas Tecnologías y currículo de matemáticas. Apoyo a los lineamientos curriculares. Bogotá 1999.

 Matemáticas. Lineamientos curriculares. Bogotá 1998.

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Calculo del área, a través de determinantes

JORGE ALEJANDRO ROJAS GÓMEZ

[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Estudiante)

AURA ALEJANDRA ARIZA DAZA

[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Estudiante)

Resumen. El presente informe, pretende mostrar el abordaje realizado para hallar el área bajo una curva sin utilizar las sumas de Riemann, esto con el fin de resaltar la posibilidad de utilizar otros procesos que quizás para muchos son desconocidos, sin embargo, como profesores e investigadores debemos reconocer diferentes maneras de abordar una situación, permitiéndonos así identificar algunos procesos de los estudiantes, al momento de trabajar bajo la metodología de resolución de problemas.

Palabras clave: Área, exhausción y determinantes.

1. Contextualización

La presente experiencia de aula tiene lugar en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, dentro de la carrera de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas y específicamente en el espacio de formación “Matemática del movimiento III”, la situación a abordar consistía en hallar el área de una figura curvilínea, con la condición de no utilizar las sumas de Riemann. Para abordar ésta, los estudiantes Resolutores decidieron ponerle otras condiciones, la primera fue que la figura iba a estar definida en el plano cartesiano y la segunda fue que ésta iba a ser una parábola, dando de ese modo inicio al proceso de abordaje.

2. Referentes teóricos

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 567 magnitud que será menor que la magnitud dada”, permitiéndonos ver que este proceso no superara el área de la figura a medir.

También es necesario comprender la interpretación geométrica de los determinantes mostrada por Grossman & Flores (2012), en la cual nos permitirá evidenciar la relación entre el área de un paralelogramo y el determinante de una matriz (2x2), esta visión será adaptada para aplicarla en un polígono de 𝑛 lados, conociendo las coordenadas de sus vértices, sin embargo se trabajará siempre ½ en la columna 3 porque de esta manera podemos realizar la medición de la figura a partir de triángulos, para esto es necesario plantear lo siguiente:

𝐴 = 𝐷𝑒𝑡[𝑥₁𝑦₁1 2𝑥2𝑦2

1 2

⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝑛𝑦𝑛1₂

]

Se debe tener en cuenta que los vértices deben estar dados en un orden específico, el cual consiste en elegir un primero, el cual nos permitirá ordenar el resto, de acuerdo a su posición con respecto a éste en dirección igual al movimiento de las manecillas del reloj. El orden es importante debido a que este puede ser considerado un proceso de triangulación, con el fin de cubrir el área completa de la figura con n vértices.

3. Descripción general

Para el abordamiento de la situación se buscó integrar un proceso de exhausción junto con una generalización haciendo uso de determinantes, para esto se partió de querer hallar el área de una parábola cuya función es 𝑓(𝑥) = −𝑥2+ 2, en el intervalo [−√2, √2].

Este método se basó en ir inscribiendo polígonos irregulares dentro de la parábola, de la siguiente manera:

 Se partirá la base de la parábola en 𝑛 partes (𝑛 ≥ 2), cada parte tendrá una longitud de

𝑝_𝑛 = 2√2_𝑛 , y respectivamente cada coordenada estará dada por:

(√2(2𝑖 − 𝑛)

𝑛 , 0)𝑐𝑜𝑛 𝑖 ∈ 𝑁, 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

 La cantidad de lados que ira teniendo el polígono irregular estará dado 2𝑛+ 1.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 568 (√2(2𝑖 − 𝑛)

𝑛 , 𝑓(

√2(2𝑖 − 𝑛)

𝑛 ))=(

√2(2𝑖 − 𝑛)

𝑛 ,

−8𝑖2+ 8𝑖𝑛

𝑛2 )

 Luego se partirá de una matriz 𝑀_{(𝑛+2) 𝑥 2} con el fin de determinar el área, la cual estará dada por:

𝐴 ≈1

2 𝐷𝑒𝑡|

√2(2𝑖 − 𝑛) 𝑛

−8𝑖2_{+ 8𝑖𝑛}

𝑛2 ⋮⋮

√2(2𝑛 − 𝑛)

𝑛 =

√2𝑛

𝑛 = √2

−8𝑖2_{+ 8𝑖𝑛}

𝑛2

= −8𝑛2 𝑛2 +

8𝑛2

𝑛2 = 0

√2(2𝑖 − 𝑛) 𝑛

−8𝑖2_{+ 8𝑖𝑛}

𝑛2 |

≈1

2|𝑎11∙ 𝑎22+ 𝑎21∙ 𝑎32+ ⋯ + 𝑎𝑛1∙ 0 −(𝑎12∙ 𝑎21+ 𝑎22∙ 𝑎31+ ⋯ + 𝑎𝑛2∙ −√2)|

≈1

2|𝑎11∙ 𝑎22+ 𝑎21∙ 𝑎32+ ⋯ + 𝑎𝑛1∙ 0 − 𝑎12∙ 𝑎21+ 𝑎22∙ 𝑎31+ ⋯ + 𝑎𝑛2∙ −√2|

Se llegó a establecer ésta nueva igualdad durante el proceso de calculación de áreas específicas, debido a que nos dimos cuenta que el ½ colocado en la columna 3, al momento de calcular el determinante lo podíamos sacar como un factor común, estableciendo lo siguiente, siendo concordante con lo realizado en el paso anterior.

𝐴 = 𝐷𝑒𝑡[𝑥1𝑦1

1 2𝑥2𝑦2

1 2

⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝑛𝑦𝑛1₂

] =1

2𝐷𝑒𝑡[𝑥1𝑦1𝑥2𝑦2 ⋮ ⋮ 𝑥𝑛𝑦𝑛𝑥1𝑦1]

En estos momentos se observaba el área calculada a través de los determinantes funcionaba correctamente, sin embargo, era necesario mostrar que esta aproximación, nunca iba a superar al área de la parábola, siendo necesario mostrar lo propuesto en la proposición I del libro X de Euclides, en la cual se observa que siempre al momento de ampliar la cantidad de lados de nuestro polígono iremos sustrayendo una parte mayor a la mitad, del pedazo faltante, llegando a que nunca sobrepasaremos el área de la parábola.

(11)

𝐴 =1

2|𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑

𝑛

𝑖=1

(√2(2(𝑖 − 1) − 𝑛)

𝑛 ∙

−8𝑖2 _{+ 8𝑖𝑛}

𝑛2 ) − (

−8(𝑖 − 1)2_{+ 8(𝑖 − 1)𝑛}

𝑛2

∙√2(2𝑖 − 𝑛)

𝑛 ) |

Realizando diferentes procesos algebraicos se llega a establecer que el área es:

𝐴 =8√2

3

La cual se comprobó a través de un proceso de integración, el cual permitió evidenciar que la respuesta es correcta y exacta.

4. Logros y dificultades

Durante y después del abordaje a la situación, se establecieron los siguientes logros y dificultades, sin embargo diremos que toda dificultad se tendrá en cuenta como un logro que permite potenciar el ser profesional:

 Se logró reconocer otras maneras de calcular el área bajo una curva, sirviéndonos este método como base para entender diferentes acciones pensadas por los estudiantes, al abordar problemas de área en figuras curvilíneas, de las cuales no hay una forma específica y rápida de hacerlo.

 Se dificultó comprender la manera en que funcionaba los determinantes de una matriz al momento de calcular el área, sin embargo, se comprendió la existencia de un proceso de triangulación, que da como resultado el área de un polígono de n lados; resaltando la importancia de la modelación y matematización de los aspectos trabajados, durante cualquier situación.

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5. Reflexión final

El abordaje de situaciones, trabajando bajo la metodología de resolución de problemas, tiene como intención el que los estudiantes pongan en manifiesto sus conocimientos previos con el fin de generar otros nuevos, esta generación de conocimientos si se realiza de una manera apropiada, teniendo presente la idea de modelación y matematización permitirán la generación de muchos aspectos matemáticos y un desarrollo significativo del pensamiento matemático, permitiendo a los estudiantes avanzar en su conocimiento tanto como lo quieran.

Por otra parte esta metodología nos permite relacionar nuestros procesos de abordaje con los que nuestros estudiantes realizan, evidenciando que el conocimiento pasa por muchas fases, unas en las cuales no sabemos qué hacer, y otras en las cuales podemos avanzar demasiado, siendo esta una constante vista no solo en nosotros, sino también en el desarrollo de la humanidad.

Esta metodología y específicamente la situación nos permiten observar que no existe una única manera de solucionar un problema, y que así como nosotros propusimos una manera de solución, existen muchas otras, quizás alguna más complejas o sencillas, sin embargo, debemos reconocerlas como mecanismo de solución, que pueden ser utilizadas por nuestros estudiantes, y mas no por esto debemos homogeneizarlos en la impartición y utilización de un solo método.

Referencias bibliográficas

 Euclides. (1996). Elementos de euclides libros X-XIII. Madrid: Credos.

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Probabilidad clásica ligada a la geométrica

YEIMY RODRÍGUEZ GARCÍA

[email protected] Colegio Nuestra Señora del Pilar (Docente)

PEDRO ROCHA SALAMANCA

[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Docente)

Resumen. Se presenta una propuesta didáctica centrada en la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad conjugada con elementos de la geometría y el pensamiento métrico, todo ello contenido en una situación problema donde se combina la observación de la obra de “los niños llorones”, los cuadros malditos de Bruno Amadío, con el aprendizaje de la probabilidad.

Palabras clave: Diseño, implementación y evaluación, propuesta didáctica, probabilidad, recursos didácticos.

1. Contextualización

Se diseña, gestiona y evalúa una secuencia didáctica enfocada en la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad clásica ligada a la geométrica; la propuesta se implementa con estudiantes de grado noveno del colegio Instituto Técnico Distrital Juan del Corral, de la ciudad de Bogotá.

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2. Marco Conceptual

Se parte de que el empleo de las probabilidades indica que existe algún elemento aleatorio o de incertidumbre relativo a la ocurrencia o no ocurrencia de algún evento futuro. La probabilidad geométrica extiende la idea de que el cálculo de probabilidades está sólo asociado con la enumeración, ya que para calcular probabilidades geométricas hace falta medir. Para la resolución del problema que se plantea a los alumnos en la experiencia de aula, es necesario que ellos expresen relaciones entre áreas, y la probabilidad buscada se determina mediante la siguiente definición:

p= área A/ área S

p= área de determinado color / área total del rectángulo.

Para la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad, Godino, J. (2004), propone actividades de experimentación y estimación frecuencial, donde se facilita a los alumnos “dispositivos generadores de resultados aleatorios”, como dados, monedas, fichas, ruletas, etc., con la finalidad de que experimenten y adquieran una experiencia de lo aleatorio. En este proceso se recomienda que el profesor organice la recolección de datos, la representación gráfica de los resultados y la discusión de los mismos, animando a los alumnos a expresar sus creencias previas sobre los fenómenos aleatorios y contrastarlas con los resultados experimentales.

Los adolescentes, pueden hacer juicios probabilísticos, en situaciones sencillas eligiendo aquella que ofrezca más posibilidades, comienzan resolviendo problemas que impliquen comparación de probabilidades de un mismo suceso A en dos experimentos diferentes sólo en situaciones donde el número de casos favorables o el número de casos no favorables a A son iguales en ambos experimentos. Posteriormente pasan a resolver problemas en que los casos se pueden poner en correspondencia mediante una proporción. Godino, J. (2004) p. 229.

Por otra parte y en concordancia con lo anterior, Glayman y Varga (1975), citado por Batanero, Cañizares y Godino (1996), recomiendan un proceso de enseñanza de la probabilidad en tres etapas: la experimentación, el razonamiento elemental y la medida de la probabilidad.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 573 implica el uso de fracciones, surgidas de las frecuencias, como medida de la probabilidad, Batanero, C. Cañizares, M. J. y Godino, J., (1996) p.55

Para el estudio del desarrollo del razonamiento probabilístico son relevantes tres etapas:

Preoperatoria, Operaciones concretas, Operaciones abstractas, Batanero, Cañizares y Godino (1996) p.55

3. Marco Metodológico

La metodología bajo la cual se diseña y gestiona secuencia didáctica es la resolución de problemas desde la Teoría de Situaciones Didácticas propuesta por Brousseau, donde se plantea de una situación fundamental, que para ser resuelta por los estudiantes, estos debe pasar por cuatro escenarios en el aula: situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización.

Las situaciones didácticas buscan que el alumno construya con sentido un conocimiento matemático a partir de la solución de un problema. Es importante que el maestro realice una serie de modificaciones a la situación didáctica, a medida que el estudiante avanza, y por mera conveniencia para desarrollar el concepto matemático esperado; estas son las denominadas variables didácticas.

4. Descripción general de la experiencia

La propuesta está centrada en la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad conjugada con elementos de la geometría y el pensamiento métrico, todo ello contenido en una situación problema. Inicialmente se presenta a los alumnos la leyenda de los cuadros de los niños llorones del pintor Bruno Amadío, para contextualizar la situación fundamental que se presenta a continuación:

¿A qué color le apostarías?

Se tiene una fotografía impresa en una hoja rectangular de un cuadro de la obra “los niños llorones”, de Bruno Amadío, se propone ahora el siguiente experimento aleatorio:

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 574 Figura 1.

Para la realización del experimento aleatorio propuesto, cada estudiante cuenta con una imagen impresa a color de un cuadro de la obra “los niños llorones” de Bruno Amadío (figura 1), para marcar puntos al azar en su interior. Ahora bien la actividad propuesta toca la etapa de experimentación, ya que se familiariza al alumno con el mundo probabilístico, llevando a cabo el experimento aleatorio manipulando material concreto. El escolar repite el experimento aleatorio muchas veces en las mismas condiciones, para luego tratar de predecir el resultado, captando las propiedades inherentes a fenómenos aleatorios.

El alumno registra y organiza la información obtenida en tablas o diagramas, estableciendo un sistema de observación que le permita inferir, de manera intuitiva que el color de la imagen que ocupa mayor área es el que tiene mayor probabilidad de salir, que el que ocupa un área media, tendrá una probabilidad intermedia y el color que ocupa menor área en la imagen tendrá menor posibilidad de salir… etc. en esta parte entra en juego la etapa de razonamiento elemental que recomiendan Glayman y Varga (1975), citados por Batanero (1996), para la enseñanza de la probabilidad, en la que los estudiantes comparan cualitativamente las probabilidades de ciertos sucesos.

Por otra parte se cuestiona a los estudiantes sobre la relación que hay entre el área total del rectángulo (en que está contenida la imagen), con cada una de las sub-áreas de colores contenidas en éste, ello teniendo en cuenta los resultados obtenidos del experimento aleatorio ya realizado; aquí el estudiante identifica cuál es el espacio muestral en el experimento aleatorio y cuáles los eventos.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 575 enmarcados en el pensamiento métrico y geométrico. En el desarrollo de la actividad los estudiantes definen la paleta de colores de la imagen y calculan las áreas de ocupan cada color, proponiendo diversas formas para segmentar la imagen en figuras planas (triángulos, rectángulos, cuadrados…cuadrículas de uno por uno).

Una vez hechos los cálculos pertinentes, los estudiantes entran representar los datos obtenidos relacionando el color vs la cantidad de área que ocupa o recubre de la pintura; dicha relación es expresada mediante un diagrama de barras o torta, llegando así a formular la regla de Laplace para calcular la probabilidad de los diferentes eventos de manera formal (ver figura 2).

Figura 2.

5. Logros y dificultades evidenciadas

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 576 Con la determinación de la paleta de colores puestos en la imagen los alumnos identifican que estos están indicando los eventos o sucesos del experimento aleatorio propuesto y además al establecer el área que ocupa cada color lo asocian directamente con la probabilidad de acertar en cada uno de ellos. Reconocen el cardinal del espacio muestral del experimento aleatorio (indicado por el listado de colores puestos en la imagen ó paleta de colores), y suman cada uno de los eventos que forman el conjunto del espacio muestral. Proponen una representación (gráfica estadística), para simbolizar la relación entre color y área que ocupa en la imagen, logrando así una sistematización y organización de datos; además hacen un análisis de dicha representación identificando cuál evento es más probable o el menos probable. En el trabajo de los alumnos se evidencian algunas dificultades al formular la regla de Laplace para calcular la probabilidad de los diferentes eventos de manera formal.

6. Reflexión final

Con la implementación de la propuesta se logró que los estudiantes adquirieran una noción de espacio muestral y evento; la gran mayoría comunica sus conjeturas respecto al problema, identificando así los eventos que tienen mayor o menor probabilidad de ocurrir.

La probabilidad geométrica extiende la idea de que el cálculo de probabilidades no está sólo asociado con la enumeración, ya que para calcular probabilidades geométricas hace falta medir. En el problema que se formula, es necesario expresar relaciones entre áreas. Establecer el área total que ocupa la imagen, sumando cada una de las áreas de ocupa cada uno de los colores. Según Batanero, C. Godino, J. (2001), el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral.

Referencias bibliográficas

 Batanero, C. Cañizares, M. J. y Godino, J., (1996). Azar y probabilidad. Fundamentos didácticos y propuestas curriculares. Madrid España. Editorial Síntesis.

 Batanero, C. Godino, J. (2001). Análisis de datos y su didáctica. Universidad de Granada, España.

 Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, VII (2), p. 33-115.

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Incorporación de las regletas de Cuisenaire para

la enseñanza del número en grado sexto: el caso

de los estudiantes de la IED Restrepo Millán

LAURA GIRALDO A.

[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Estudiante para profesor)

DEISY TORRES R.

[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Estudiante para profesor)

FERNANDO GUERRERO R.

[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Profesor de práctica docente)

Resumen. El siguiente trabajo describe y analiza la experiencia en el aula implementada en los estudiantes del grado 602 J.M., del IED Restrepo Millán respecto a la comprensión y significado del número, a partir del uso de materiales didácticos estructurados, en particular, las regletas de Cuisenaire. El propósito era evidenciar logros y dificultades que se encontraron durante el desarrollo de la propuesta didáctica, por ejemplo, observar si el estudiante a través de la incorporación de materiales didácticos estructurados logra comprender con más habilidad el número como operador, también se quiere observar el papel que juegan los materiales didácticos estructurados en el proceso de enseñanza-aprendizaje en este caso del número relativo.

Palabras clave: Regletas de Cuisenaire, materiales didácticos estructurados, número relativo.

1. Propuesta para la actividad matemática en el aula

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 578 el tercer bloque llamado aplicación y profundización y el cuarto bloque llamado evaluación, esto por el método de resolución de problemas. A partir del segundo bloque mencionado se realiza la incorporación de las regletas de Cuisenaire teniendo en cuenta que uno de los resultados obtenidos en el desarrollo del primer bloque fue la dificultad referente a la comprensión del número relativo.

El diseño de la planeación de la actividad propone trabajar con diferentes situaciones, atendiendo a lo que (Goutard, 1964) indica sobre el uso de los números de colores donde nos señala ciertos momentos a seguir a la hora de trabajar con esta clase material, el primer momento es la acción el cual es utilizado para la primera situación planteada (Anexo 1) que pretende la exploración lúdica libre del material por parte del estudiante es decir, que a través del material didáctico estructurado como las regletas pueda expresar sus gustos, experiencias o algún dibujo relacionado con la realidad.

La segunda situación se plantea con el fin de que el estudiante identifique el número que representa cada regleta esto por medio de figuras, dando como pista las no subdivisiones dentro de esta. Luego resolverían el siguiente punto que consiste en identificar las diferentes longitudes del material asociando con el color. La siguiente situación pretende que el estudiante modele una imagen (jirafa), con la previa familiarización del material, a lo que los estudiantes respondieron coloreando el color de la regleta que creía que debía ir en cada espacio, se tiene en cuenta nuevamente uno de los aspectos de (Goutard, 1964) esta vez es sobre la comprensión donde el ver y el actuar llevan a que el estudiante comprenda y retenga los resultados creándose imágenes visuales precisas. A partir de esto se proponen dos situaciones que involucran la composición y descomposición del número, haciendo uso delas regletas.

Para esta propuesta se tienen en cuenta los siguientes objetivos:

 Promover el aprendizaje de las operaciones básicas por medio de material tangible como las regletas de Cuisenaire.

 Lograr por medio de las magnitudes del material regletas de Cuisenaire, que el estudiante identifique relaciones de equivalencia.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 579 cuántas debe devolver. El tercer momento se llama: Desarrollo de la actividad. Cada estudiante tomara las regletas y empezara a formar figuras, y luego pasaran a resolver cada uno de los puntos propuestos en las guías.

Así mismo se tendrán en cuenta los siguientes indicadores para la evaluación de esta actividad:

Conceptual:

 C1: Identifico los valores de cada una de las regletas de Cuisenaire y las relaciono con cada color.

 C2: Realizo las operaciones sustracción y adición con ayuda de las regletas de Cuissinare.

 C3: Identifico con cuales regletas puedo descomponer y componer una ya establecida

 C4: Realizo la estimación al realizar una suma o resta con las regletas

Procedimental:

 C1: Utilizo adecuadamente el material de apoyo para resolver cada una de las situaciones propuestas en la guía.

 C2: Resuelvo y muestro el proceso de cada una de las situaciones propuestas.

 C3: Recurro al material manipulativo cuando surja dudas o situaciones de conflicto.

 C4: Manipulo el material donde evidencio la respuesta

Actitudinal:

 C1: Llevo adecuadamente el material de apoyo para resolver cada una de las situaciones propuestas en la guía.

 C2: Encuentro en las regletas un material de apoyo para la realización de las operaciones suma y resta.

 C3: Hago buen uso del material manipulativo llegando a las respuestas.

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2. Análisis de la experiencia

Para el desarrollo de la guía se realiza un trabajo individual, iniciando con una exploración lúdica libre del material como menciona (Goutard, 1964), efectúa una clasificación por colores y longitud identificando en las regletas que el color va asociado con una longitud (medida) siendo unas más largas que otras, al hacer la escalera descubre una ordenación de mayor a menor de las regletas. Con esto se pasa al primer punto de la guía, realizar un gráfico con las regletas, haciendo una descripción (ver figura 1), estos dibujos fueron hechos de acuerdo al contexto que lo rodea según sus gustos y/o sus propias experiencias (ver figura 2), atendiendo esto a lo que (Goutard, 1964) resalta en el trabajo con regletas: La acción: como la necesidad del niño a actuar con potencial en la exploración del material realizando libremente numerosas combinaciones. Encontrando estudiantes que realizan una descomposición total de la figura viéndola como una adición de unidades (ver figura 2), no como el número en su totalidad asociada al color como se observa en la imagen 4, aunque el color no haga correspondencia establece dos longitudes.

Figura 1. Los estudiantes identifican cada regleta con un color.

Figura 2. Dibujos realizados por los estudiantes como primer acercamiento con las regletas.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 581 para realizarlo “ profe tomo como unidad medida la blanca, para decir que regleta es”, por medio de esta composición llega a establecer diferencias y equivalencias, pero ignorando que con 2 o más regletas se llega a la composición de una regleta determinada, como en otros estudiantes “ profe contando en la cuadrícula” a través de la representación gráfica y la cuadrícula establecieron las siguientes relaciones por ejemplo algunas intervenciones por parte de los estudiantes:

“profe primero conté y mire la tabla y me di cuenta que son rojas porque tienen 2 cuadritos, y en la tercer figura hay dos regletas rojas son iguales al tener dos blancas”

“profe en la imagen 2 la regleta amarilla es equivalente a tener una roja más una verde claro”

Figura 3. Los estudiantes colorean correspondientemente.

A partir de esto los estudiantes llegan a hacer algunas deducciones, identifica que existen regletas del mismo color, que todas las del mismo color tienen la misma longitud por ejemplo en la indicación de rodear las regletas de igual tamaño identificaron que era las de color rojo, que hay de diferente color y que éstas son de diferente tamaño, lo que quiera que el construya corresponde a un número total de regletas blancas (unidad de referencia), aquí se logra uno de los primeros objetivos y es que el estudiante por sí mismo identifique el número y empiece el proceso de comprensión de este.

A. Coloca el color adecuado de cada una de las regletas siguiendo las siguientes indicaciones:

* La regleta menos larga. * Las regletas de igual tamaño.

* La regleta más larga * Las regletas menos largas.

Como se observa en las figuras 5 y 6.

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Figura 5. Procesos realizados por los estudiantes para la construcción de distintas regletas

Figura 6. Descripción de los procesos que los estudiantes realizar para la construcción de cierta regleta.

Los estudiantes describen los diferentes tipos de composiciones que se pueden realizar (figura 7).

Con esto se logra que el estudiante establezca relaciones que permite dar respuesta a que una regleta puede ser construida por medio de otras regletas es decir con la composición, teniendo dos magnitudes de la misma naturaleza, donde algunos estudiantes empezaron a expresar frases como “profe agrupo 3 regletas de color rojo que son igual a 6 que es una

regleta verde oscuro, y 8 regletas de color blanco es igual a 8 ya que cada una de ellas es una unidad”, Se pudo evidenciar que los estudiantes no hacen uso de una estructura multiplicativa o de suma reiterada (ver figura 8) como las planteadas por (Vergnaud, 1991) sino que se limitan hacer una comparación , una cantidad de referencia una comparativa y una de diferencia.

Figura 7. Los estudiantes hacen uso de una estructura para explicar el proceso de construcción.

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Figura 8. Desarrollo de operaciones con regletas.

3. Conclusiones

De acuerdo a lo presentado se concluye que respecto a la comprensión y significado del número relativo, por medio de la incorporación de las regletas de Cuisenaire (Goutard, 1964), los estudiantes por si mismos se dieron cuenta del número como operador, es decir, un número con signo el cual puede ser positivo o negativo, evidenciándolo en las situaciones propuestas de pérdidas o ganancias, juegos como el ascensor, trabajo introductorio que se realizó; igualmente los estudiantes lograron comprender la composición y descomposición del número a través de materiales estructurados.

Se presentaron ciertas falencias en cuanto al uso del material, debido a las fichas de menor tamaño, ya que se prestaban para el juego brusco entre los estudiantes, lo cual se logra controlar con un llamado de atención y advertencia de finalizar la actividad.

Se evidencias ciertos logros en el mejoramiento del ambiente del aula teniendo en cuenta el papel que juega el material proporcionado a los estudiantes, ya que logran captar su atención y así el estudiante logra la comprensión del número relativo.

Referencias bibliográficas

 Castro, E., Rico, l., & Castro, E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Bogotá: Iberoamérica.

 Educación, M. d. (2002). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas.  Goutard, M. (1964). Catorce charlas sobre números de color. Madrid.

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El aula taller y el modelo de Van Hiele como

base para el desarrollo del pensamiento y el

aprendizaje de la Geometría Analítica en la

Educación Superior

JORGE ELIÉCER VILLARREAL FERNÁNDEZ

[email protected] Universidad de Antioquia (Profesor) Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid (Profesor)

Resumen. El presente trabajo muestra el diseño, puesta en práctica y análisis de una propuesta de enseñanza de la geometría analítica en estudiantes de primer año de ingeniería del Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid. El proyecto, tiene como base el “Modelo de niveles de desarrollo de Van Hiele para la enseñanza de la Geometría” y utiliza material didáctico diseñado dentro de la metodología de aula taller, buscando con ello articular los conceptos matemáticos y el mundo real, recuperando el concepto de lugar geométrico. Los resultados dan cuenta no solo del proceso de enseñanza y aprendizaje si no que trasciende a analizar las habilidades de pensamiento inmersas en la implementación de la propuesta por parte de los estudiantes participantes.

Palabras clave: Educación Superior, enseñanza geometría analítica, desarrollo del pensamiento, aula taller, Van Hiele.

1. Contextualización

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 586 propiedades que cumplen. Además de esta situación en el proceso de enseñanza se enfrenta un problema mayúsculo que tiene que ver con el desfase que se presenta entre la forma en que se enseñan los conceptos geométricos y la manera en que se desarrollan los procesos de aprendizaje de los estudiantes, situación que se ve reflejada en las formas de razonamiento que dejan ver los alumnos, se presenta pensamiento concreto donde se deberían estar haciendo abstracciones o habilidades de pensamiento requeridas para la comprensión de los conceptos no se activan en los momentos requeridos. Por todo esto se plantea el problema de la enseñanza de la Geometría Analítica en la Educación Superior recuperando el lugar geométrico como esencia del análisis de las relaciones que se encuentran en cada una de las figuras a estudiar. De este problema surge una pregunta sobre el cómo lograr que este proceso de aprendizaje se dé ordenadamente de acuerdo a la forma en que se desarrollan las habilidades de pensamiento de los estudiantes, por lo que se propone una estrategia para esto.

2. Referentes teórico prácticos

Para el desarrollo de la propuesta se tienen en cuenta varias perspectivas teóricas, cada una de ellas referidas a la situación en particular que se trate, es decir a la enseñanza de la geometría, a las habilidades de pensamiento y a la metodología utilizada: el aula taller.

La enseñanza de la geometría. Se trabajó con el modelo de Van Hiele, el cual describe el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría como un desarrollo que parte de formas intuitivas de razonamiento hasta una formalización profunda de los conceptos. Jaime y Gutiérrez (1990) lo caracterizan diciendo que se pueden encontrar varios niveles de perfección en el razonamiento de los estudiantes, pero un estudiante solo puede comprender aquello que se le presente de acuerdo a su razonamiento; se debe trabajar sobre este nivel, alcanzar exigencia requerida para poder comprender las diferentes relaciones matemáticas es base para el aprendizaje. El modelo de Van Hiele plantea tres elementos, la percepción, que tiene que ver con el interés en el tema (Van Hiele, 1986); los niveles de razonamiento, son una estratificación del razonamiento humano en una jerarquía de niveles, en los cuales es progresiva la capacidad de razonamiento matemático de los sujetos y las fases. Los niveles de razonamiento son: Nivel 0, predescriptivo; nivel I, de reconocimiento visual; nivel II, de análisis; nivel III, de clasificación; nivel IV, de deducción formal. Las fases del aprendizaje son: la información, la orientación dirigida, la explicitación, la orientación libre y la integración (Burger y Shaughhnessy, 1986).

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 587 formar competencia (Sánchez, 2002). La cadena del desarrollo de las habilidades de pensamiento inicia por la observación y finaliza en la contrastación de leyes y teorías, cada habilidad de pensamiento involucra inmediatamente anteriores, es decir, para realizar una clasificación es necesario que la persona haya desarrollado la habilidad de realizar comparación, descripción y observación.

El aula taller. La metodología de la experiencia fue la realización de actividades en ambiente de taller. Es una estrategia para la gestión del conocimiento, la innovación y la transformación de los ambientes de aprendizaje. En este tipo de trabajo el aprendizaje se obtiene por descubrimiento y asimilación propios (Pasel, 1993), teniendo como base el despertar la curiosidad en torno al problema o concepto, es decir, se busca que se aprenda haciendo. Permite el trabajo en equipo, y utiliza material didáctico para la exploración de situaciones concretas, en el caso de la propuesta se utilizó material concreto y guías de trabajo, que conlleva al desarrollo de las habilidades de pensamiento y a la integración de los diferentes pensamientos matemáticos (Jaramillo, 2012).

3. Descripción de la experiencia

El aspecto metodológico de la propuesta tiene como centro llevar a la práctica el modelo de Van Hiele, teniendo como estrategia el aula taller y como herramienta para la implementación técnica de las guías de trabajo, a partir de niveles básicos de razonamiento, la comprensión de los conceptos de la Geometría Analítica, la importancia del concepto de lugar geométrico y la activación de las habilidades de pensamiento que se requieren para ello. Se muestra a los estudiantes como se fueron construyendo históricamente los conceptos básicos de la Geometría Analítica, así como lo importantes que son hoy en día en diversos campos de la Ingeniería. Para lograr esto se trabajó en dos sentidos; primero en un diálogo guiado por el docente y luego con la visualización de dos videos que parten de ver la geometría analítica desde lo histórico para luego mostrar las posibilidades de aplicación en muchos campos, centrando en la Ingeniería que es el campo en que se van a mover los futuros profesionales.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 588 proceso de identificación de semejanzas de lo visto con objetos cotidianos, se reconoce la forma física de los objetos, aunque aún no es posible que se determinen las propiedades de estos objetos o de las figuras vistas (reconocimiento visual).

La presentación de la primera guía de trabajo inicia el segundo momento de la experiencia, que tiene como objetivo que el estudiante caracterice y establezca algunas de las propiedades generales de las secciones cónicas, para ello se utiliza el doblado de papel que se realiza a partir de instrucciones e imágenes que presenta el material de trabajo (nivel de análisis). Al finalizar la actividad los estudiantes tienen el espacio para compartir las experiencias que tuvieron con el trabajo de doblado de papel, generando un debate que permita la construcción colectiva de los conceptos.

La segunda guía de trabajo presenta una actividad cuyo objetivo se focaliza en el trazado de la parábola, la elipse y la hipérbola, con regla y compás, identificando en el proceso de construcción de las mismas sus propiedades fundamentales, articulando estas propiedades de orden geométrico con la representación analítica de estas curvas, conocidas como ecuaciones canónicas (nivel de clasificación). La forma en que se plantea este trabajo, permite que cada participante construya las tres curvas posibles, las que él decida y alcanzase en el tiempo disponible. Así cada uno podrá desarrollar y estudiar sus propias construcciones, siguiendo las indicaciones impresas en las guías para las actividades, y además, observar los hallazgos realizados por sus compañeros. El debate sobre lo conseguido permite que se establezcan relaciones entre unas propiedades y otras, determinando a que cónica corresponde cada propiedad, cuáles tienen similitudes y cuáles son las diferencias que presentan.

La última actividad tiene como objetivo la interpretación de las ecuaciones canónicas de las figuras cónicas, identificando el procedimiento algorítmico para llegar a ellas y teniendo en cuenta las propiedades antes descubiertas (fase de deducción formal). Luego de desarrollar estos pasos se plantea identificar relaciones entre estas curvas y fenómenos de la naturaleza, buscando que se le un mayor sentido a estas ecuaciones.

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4. Logros y dificultades

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5. Reflexión final

La enseñanza de la geometría debe tener en cuenta cuáles son las habilidades de pensamiento o el tipo de razonamiento que interviene en el proceso de aprendizaje de estos conceptos, ya que de no hacerlo podría no permitirse que exista una adecuada relación entre exigencia y capacidad. Las estrategias de enseñanza se deben diseñar a partir del conocimiento de la forma, el nivel tanto matemático como cognitivo en el que se desarrolla la tarea planteada, con el fin de no contradecir formas de enseñanza con estilos de aprendizaje. El desarrollo de habilidades de pensamiento es un elemento esencial en el aprendizaje de los conceptos geométricos, el no tener en cuenta esto y si presionar porque las cosas se aprenda, conllevan a la búsqueda de aprendizajes memorísticos y faltos de significatividad. Las guías diseñadas permiten a los estudiantes realizar su trabajo con un alto grado de independencia respecto del docente, y que aquellos más rezagados encuentren en sus compañeros más adelantados un soporte para sus propios procesos, lo cual posibilita a su vez que el maestro focalice su acompañamiento en los estudiantes que más lo necesitan. Es por esto que para esta propuesta, la metodología del aula taller se ha erigido en una herramienta muy importante en el propósito de hacer de las Matemáticas un área más inclusiva. La actividad de aula taller dinamiza la activación de las diversas habilidades de pensamiento, por lo que se dispone el razonamiento para estar al nivel de los conceptos que se van a aprender.

Referencias bibliográficas

 Burger, W. y Shaughhnessy, J. (1986). Characterizing the Van Hiele Levels of Development in Geometry.

Research in Mathematics Education, 17(1), 31-48.

 Jaime, A. & Gutiérrez, A. (1990). Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo de Van Hiele. En: S, Llenares, M. V. Sánchez, Teoría y práctica en Educación Matemática. España: Alfar.

 Jaramillo, L. (2012). La proporcionalidad y el desarrollo del pensamiento matemático. (Tesis de Maestría). Recuperada de http://www.bdigital.unal.edu.co/6969/.

 Pasel, S. (1993). Aula taller. Buenos Aires: Aique Grupo Editor.

 Sánchez, M. (2002). La investigación sobre el desarrollo y la enseñanza de las habilidades de pensamiento. Revista Electrónica de investigación Educativa, 4 (1).

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El parqués como estrategia para la

enseñanza-aprendizaje de números

enteros en grado séptimo

DIEGO ALFREDO GARZÓN LENNIS

[email protected] Universidad de Cundinamarca (Estudiante)

NOÉ JIMÉNEZ RODRÍGUEZ

[email protected] Universidad de Cundinamarca (Profesor)

Resumen. El parqués es uno de los juegos de mesa más populares en Colombia, de muy poca complejidad y, un juego para casi todas las edades, mientras que por el contrario las matemáticas son una ciencia abstracta en la cual hay grandes dificultades a la hora de su aprendizaje. Por esta razón se decide unir el juego y la ciencia visto desde hace mucho como la forma más práctica para la enseñanza-aprendizaje, con el fin de que los estudiantes quieran las matemáticas y la vean de forma divertida y sencilla. Además para que logren entender que las matemáticas y el juego van de la mano, ver un poco de ciencia en el juego y un poco de juego en la ciencia.

Palabras clave: Parqués, juegos de mesa, matemáticas, enseñanza – aprendizaje, ciencia.

1. Contextualización

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educativos, esto llevo a que los residentes del barrio que, entre otras cosas eran en su gran mayoría familias de bajos recursos, exigieran el funcionamiento del colegio puesto que no había ruta de transporte y las otras instituciones se encontraban muy retiradas, el resultado; que la alcaldía municipal tomara una decisión un poco acelerada pero recursiva de arrancar el colegio en una de las sedes de primaria, la cual no estaba adaptada para la demanda de estudiantes, no habían docentes ni materiales de trabajo, es decir, el colegio arranco en precarias condiciones, lo que conllevo a que fuera una institución de baja calidad educativa. Hoy en día sigue siendo un colegio joven con muchas necesidades pero maduro y con gran actitud, el cual está abierto al cambio y a mejorar a cualquier “costo” su calidad educativa porque el pensamiento de ellos es graduar estudiantes con altas competencias pero a su vez estudiantes que sean personas y ciudadanos competentes matemáticamente.

2. Referentes teórico-prácticos

Con el proyecto se busca el aprendizaje significativo en los estudiantes que, según el teórico norteamericano David Ausubel, es el tipo de aprendizaje en que un estudiante relaciona la información nueva con la que ya posee, reajustando y reconstruyendo ambas informaciones en este proceso. Dicho de otro modo, la estructura de los conocimientos previos condiciona los nuevos conocimientos y experiencias, y éstos, a su vez, modifican y reestructuran aquellos. Este concepto y teoría están enmarcados en el marco de la psicología constructivista.

3. Descripción general de la experiencia de aula

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 593 Las operaciones que más se trabajaron fueron la suma, resta, multiplicación y división en las cuales hay muchas deficiencias incluso en curso más avanzados que el mismo séptimo.

4. ¿Cómo se trabajó con los jóvenes?

La intervención se inició con una de prueba o diagnóstico de observación para determinar qué tan desarrollado tienen los estudiantes el pensamiento lógico-matemático; dentro de la actividad se observó un alto grado de interés y atención por parte de los estudiantes ya que estaban conociendo cosas nuevas o más bien estaban aplicando unos pocos conocimientos anteriores para desarrollar dicha lógica y así conseguir lo que nuestro proyecto busca. Con el fin de hacer una introducción a las operaciones con números enteros a los estudiantes de grado séptimo y hacer un esboce de los conocimientos previos y las debilidades que podrían tener, junto con el profesor titular del área de matemáticas se les pidió a los estudiantes en grupos aleatorios traer una variante del parques con el cual creerían que podrían aprender más fácil las operaciones con números enteros, no había restricción de materiales ni de ideas, lo que entusiasmó a los estudiantes.

Para garantizar una mayor recepción de los conocimientos en los estudiantes, a todos los grupos se les presto el mayor apoyo y acompañamiento posible de parte de los organizadores de la actividad y en la explicación de una forma estándar de aprender con los colores de los dados los números negativos y positivos y luego lanzarlos para observar que operación debían aplicar con un tercer dado antes de hacer cualquier movimiento con las fichas.

Aquí pudimos observar la gran capacidad receptora de los estudiantes y la poca motivación que tenían a la hora de recibir esa misma clase de forma común, además de las dificultades que tuvieron al comienzo a la hora de aplicar las operaciones puesto que es un tema que en esa edad es difícil comprenderlo.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 594 fortalecen en este tema tan importante, y el grado de complejidad a la hora de aprender, que representa este tema, influye en los bajos resultados de las pruebas que les realizan a los estudiantes en matemáticas. La propuesta la acogieron de tal manera que Los estudiantes comenzaron a solicitar a los docentes más clases de este tipo porque sentían que era una manera sencilla de aprender, además que sentían que estaban cumpliendo con los objetivos propuestos y que era más fácil de percibir y captar la solución de ciertos problemas cuando podían asociarlos con algo muy fácil, es decir no solo se consolido como un proyecto si no como parte de muchas de las clases para los docentes de matemáticas en la institución educativa, que también sintieron que el aprendizaje podía ser más significativo si se realizaban varias sesiones y no solo en grados séptimos, si no en otros grados donde el parques trabajaba de forma implícita en el aprendizaje de otros conocimientos como la geometría y la estadística, por esta razón, siento que el trabajo que comenzó inicialmente en grado séptimo se puede desarrollar en otros contextos de ahí el nombre alterno como propuesta incluyente.

5. Logros y dificultades evidenciadas

Los logros son más evidentes que las dificultades ya que se lograron los objetivos propuestos, en donde el estudiante aprendió temas a las cuales no les encontraba lógica y los desarrollaba por intuición o repetición. Los estudiantes sintieron que este tipo de actividades son realmente una manera de enseñanza, sienten que los juegos de mesa son una herramienta muy práctica y lúdica a la hora de enseñar matemáticas y se sienten libres, sin complejos y sin presión, fue muy notorio percibir lo que se buscaba, el estudiante implícitamente resuelve problemas con la ayuda de herramientas matemáticas que son fáciles de comprender y aplicar y que están en la mayoría de los entornos familiares.

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Número 1, Vol. 1 Junio - diciembre de 2015 ISSN 2500-5251 (En línea) http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME 595 Uno de los factores que pueden acrecentar este interés de los jóvenes a desarrollar el pensamiento lógico-matemático es el uso de actividades lúdicas, pues La lúdica como experiencia cultural es una dimensión transversal que atraviesa toda la vida, no son prácticas, no son actividades, no es una ciencia, ni una disciplina, ni mucho menos una nueva moda, sino que es un proceso inherente al desarrollo humano en toda su dimensionalidad psíquica, social, cultural y biológica. Desde esta perspectiva, la lúdica está ligada a la cotidianidad, en especial a la búsqueda del sentido de la vida y a la creatividad humana.

6. Reflexión final

El desarrollo de esta actividad estaba enmarcada a lograr la atracción de los estudiantes hacia las matemáticas, a hacerles entender que las matemáticas no son una ciencia compleja si no que por el contrario es una herramienta la cual podemos aplicar en cualquier entorno, sin importar la edad, la raza, el sexo, estrato social ni mucho menos los conocimiento que cada uno tenga, todos tenemos algo nuevo que aportar a la hora de aprender; esto es muy bueno porque los estudiantes y maestros comprenden que los conocimientos no solo los tiene el maestro si no que, el alumno tiene algo que compartir y mostrar, esto llena de motivación las clases y hace que los estudiantes encuentren el equilibrio entre las matemáticas y su comprensión y genera en el maestro una aptitud más amena y constructiva, es decir, abierta al cambio en pro del mejoramiento de cada uno de sus estudiantes.

Por lo tanto podemos concluir que la metodología lúdica con juegos de mesa como el parques sí funciona en la solución de operaciones básicas de números enteros, y a su vez actúa en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático de los estudiantes de la institución educativa Eben-Ezer.

Referencias bibliográficas

 Ausubel, D. (1963). The Psychology of Meaningful Verbal Learning. New York: Grune & Stratton.

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Una expresión algebraica que genera

infinitos números primos

SAULO MOSQUERA LÓPEZ

[email protected] Universidad de Nariño (Profesor Asociado)

Resumen. Es un resultado conocido que no existe un polinomio que genere todos los números primos, sin embargo con la integración de las tecnologías computacionales en el aula de clase, en el marco de la asignatura Teoría de Números en el cuarto semestre del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Nariño, se desarrollaron una serie de actividades, indagaciones, experimentos y conjeturas alrededor de la “búsqueda” de una fórmula que permita generar tal clase de números. En esta presentación se sintetizan los esfuerzos realizados en esta dirección.

Palabras clave: Números primos, algoritmos, competencias, estándares.

1. Contextualización

En la formación de un Licenciado en Matemáticas es indispensable un curso en Teoría de Números en el cual se presenten los elementos básicos de esta área de las Matemáticas que le permitan orientar y potenciar, en el ejercicio de su labor, algunos de los procesos generales de la actividad matemática, en particular, la formulación, tratamiento y resolución de problemas y el razonamiento (Estándares básicos de Competencias, Ministerio de Educación Nacional, 2006).

De otro lado, la utilización de la TIC en Educación Matemática, proporciona elementos para la reflexión, el análisis y la práctica que permiten buscar alternativas las cuales posibiliten superar las dificultades en el aula. En particular, el uso de un CAS (Computer Algebra System, por sus siglas en inglés) posibilita: