Pla Director Integral
de Sanejament de la ciutat
de Barcelona (PDISBA)
BC
N
ÍNDEX
1
ANTECEDENTS ... 1
1.1
I
NTRODUCCIÓ I OBJECTIUS
... 1
1.2
E
STUDIS DE PLUJA PREVIS
... 2
2
CONCEPTES D’HIDROLOGIA D’APLICACIÓ ... 3
2.1
C
ORBES INTENSITAT
–
DURACIÓ
-
FREQÜÈNCIA
... 3
2.1.1
Construcció de les IDF ... 8
2.2
T
EORIA D
’
EXTREMS
... 10
2.2.1
Distribucions geomètriques i binomials ... 12
2.2.2
Dades reals com a distribució binomial ... 13
2.2.3
Distribucions estadístiques d’extrems ... 17
2.3
C
ONSTRUCCIÓ DE LES PLUGES DE DISSENY
... 18
2.3.1
Blocs alterns ... 18
2.3.2
Corbes “S” ... 19
3
MOTIUS DE LA MODIFICACIÓ DE LA PLUJA DE DISSENY... 20
4
DADES DE PARTIDA ... 21
5
CORBES INTENSITAT – DURACIÓ - FREQÜENCIA ... 23
5.1
T
RACTAMENT DE LES DADES DELS PLUVIÒMETRES
... 23
5.2
C
REACIÓ DE MATRIU DE PRECIPITACIONS I INTENSITATS MÀXIMES ANUALS
... 24
5.3
D
ISTRIBUCIÓ EMPÍRICA DE LA MOSTRA
... 25
5.3.1
Teoria probabilística d’aplicació ... 25
5.3.2
Interpolació per períodes de retorn de 1 any fins a 10 anys ... 28
5.4
D
ISTRIBUCIÓ ESTADÍSTICA D
’
EXTREMS
... 31
5.4.1
Teoria estadística d’aplicació ... 31
5.5
C
ORBES IDF PER LA CIUTAT DE BARCELONA
... 34
5.6
A
NÀLISIS D
’
EPISODIS DE PLUGES AMB LES CORBES IDF
... 43
6
PATRO DE LA PLUJA A LA CIUTAT DE BARCELONA ... 47
7
PLUJA DE DISSENY ... 56
7.1
P
ARAMETRES DURACIÓ I SITUACIÓ DE LA INTENSITAT PUNTA
... 56
Document 2.- Estudi de pluges
2
8.1.3
El projecte RESCCUE ... 77
8.2
P
REVISIÓ D
’
ESCENARI HIDROLÒGIC EXTRAORDINARI CONSIDERANT EL CANVI CLIMÀTIC
... 84
8.2.1
Metodologia ... 84
8.2.2
Previsió de pluges de disseny considerant el canvi climàtic ... 88
8.2.3
Comparació de pluja de disseny per T = 10 anys actual i futura amb el canvi climàtic ... 91
9
REFERENCIES ... 93
ANNEX DE CÀLCULS REALITZATS I RESULTATS ... 1
1
DADES DE PLUGES ANUALS PER CADA PUNT D’OBSERVACIÓ ... 3
1.1
T
AULES D
’
INTENSITATS MÀXIMES ANUALS PER DIFERENTS DURACIONS DE PLUJA
... 3
2
ESTUDI INTENSITAT – DURACIÓ – FREQÜÈNCIA EMPÍRIC ... 13
2.1
T
AULES D
’
INTENSITATS MÀXIMES ANUALS PER DIFERENTS DURACIONS DE PLUJA I PERÍODES DE RETORN
ASSOCIATS PER CADA PUNT D
’
OBSERVACIÓ
... 13
2.2
T
AULES D
’
INTENSITAT
–
DURACIÓ
–
FREQÜÈNCIA EMPÍRICS INTERPOLADES DE PERÍODE DE RETORN DES DE
1
ANY FINS A
10
ANYS PER CADA PUNT D
’
OBSERVACIÓ
... 23
2.3
G
RÀFIQUES DE INTENSITAT
–
DURACIÓ
–
FREQÜÈNCIA EMPÍRICS PER CADA PUNT D
’
OBSERVACIÓ
... 44
2.4
G
RÀFIQUES DE DISPERSIÓ DE LES DADES OBTINGUDES A CADA PUNT D
’
OBSERVACIÓ AMB DIAGRAMES DE
CAIXES PER CADA PERÍODE DE RETORN DE
1
A
10
ANYS
... 65
2.5
T
EST DE NORMALITAT DE LES DADES PER DURACIÓ I PERIODE DE RETORN T
=10
ANYS
... 70
2.6
A
NÀLISIS ESTADÍSTIC DE LES IDF EMPÍRIQUES DE LA CIUTAT DE BARCELONA PER CADA T DE
1
A
10
ANYS
. 84
2.7
G
RÀFIQUES DE CORBES IDF EMPÍRICS DE LA CIUTAT DE BARCELONA PER CADA PERÍODE DE RETORN DE
1
A
10
ANYS
... 99
3
ESTIMACIÓ D’INTENSITAT – DURACIÓ – FREQÜÈNCIA PROBABILISTIC AMB GUMBEL ... 105
3.1
T
AULES D
’
ESTIMACIÓ IDF PROBABILÍSTIQUES AMB GUMBEL EN FUNCIÓ DEL PERÍODE DE RETORN PER CADA
PUNT D
’
OBSERVACIÓ
... 105
3.2
G
RÀFIQUES D
’
EXTRAPOLACIÓ D
’
IDF PROBABILÍSTIQUES SEGONS GUMBEL PER PERÍODES DE RETORN DE
10
A
500
ANYS PER CADA PUNT D
’
OBSERVACIÓ
... 125
3.3
G
RÀFIQUES DE DISPERSIÓ DE LES DADES OBTINGUDES A CADA PUNT D
’
OBSERVACIÓ AMB DIAGRAMES DE
CAIXES PER CADA PERÍODE DE RETORN DE RETORN
... 145
3.4
G
RÀFIQUES DE LES CORBES IDF PROBABILÍSTIC SEGONS GUMBEL DE LA CIUTAT DE BARCELONA PER CADA
PERÍODE DE RETORN T ENTRE
10
I
500
ANYS
... 150
4
ANÀLISIS DE LES PLUGES INTENSES DES DE 2013 A 2018 ... 154
1
ANTECEDENTS
1.1
Introducció i objectius
El punt de partida per la realització d’un estudi de pluja és la disponibilitat de dades enregistrades
de pluja, la seva qualitat, fiabilitat i la distribució a l’espai dels punts de mesura.
Afortunadament Barcelona
disposa d’un ampli registre de dades de pluja, des de l’any 1927
disposa a l’Observatori Fabra situat al cim del Tibidabo d’un pluviògraf que registre la intensitat
de pluja en continu. Posteriorment, des de 1994, la ciutat ha desenvolupat un pla de gestió
destinat al control de la xarxa de clavegueram, instal·lant un total de 25 nous pluviòmetres que
cobreix tota la seva superfície.
Aquest fet ens permet disposar d’una sèrie suficientment llarga i complerta de dades de pluja
(uns 24 anys enregistrats per 25 pluviògrafs) per poder desenvolupar tota la metodologia
estadística recolzada en les dades reals i reduir notablement la dependència dels valors
bibliogràfics.
L’objectiu d’un pla director es determinar les deficiències d’una infraestructura i proposar i valorar
les mesures correctores. En aquest cas, les pluges són el mecanisme que evidencia les
deficiències de la xarxa de clavegueram
en el control d’inundacions. Per tant s’ha de fer una
definició precisa dels escenaris pluviomètrics que requeriran el correcte funcionament de la
xarxa. Per tractar d’establir una escala que ens determini com d’extrem es un episodi de pluja
fem servir un concepte estadístic anomenat “període de retorn”.
Un dels objectius del present document és l’estudi de la variabilitat temporal i espacial de la pluja
i
el càlcul d’una distribució estadística pel període de retorn de disseny expressat en anys (T)
amb la que construir les corbes Intensitat – Duració – Freqüència (IDF) per períodes de retorn
baixos (T ≤ 20 anys). Per períodes de retorn més alts caldrà realitzar una extrapolació dels valors
de la precipitació utilitzant la teoria de funcions de distribucions de probabilitat d’extrems.
A partir de les IDF s’ha construït pluges de disseny bassades en el patró temporal de les dades
de pluges disponibles, realitzant una selecció de les mateixes d’acord a l’actual barem de
perillositat de les pluges de BCASA. Els mètodes utilitzats han sigut el mètode dels blocs alterns
i el mètode de les Corbes S.
Document 2.- Estudi de pluges
2
1.2
Estudis de pluja previs
Històricament s’han realitzat diversos estudis de caracterització de la pluja a la ciutat de
Barcelona utilitzant les dades disponibles de l’observatori Fabra amb tres objectius principals:
Anàlisis de la tendència de la precipitació a Barcelona.
Determinació de les corbes IDF, Intensitat
– Duració – Freqüència, de l’observatori
Fabra.
Definició d’una pluja de disseny per a la simulació del funcionament de la xarxa de
clavegueram.
Per la redacció del Pla de Clavegueram a l’any 1988 (PECB 1988) ja es va realitzar un estudi de
pluges a partir dels registres pluviomètrics des de 1927 fins 1987 que va concloure a les corbes
IDF de l’observatori Fabra. Posteriorment, per la redacció del Pla Especial de Clavegueram de
Barcelona al 1997 (PECLAB’97) es va actualitzar les corbes amb les dades disponibles en el
període 1927-1992 per obtenir les IDF de l’observatori Fabra. Diversos estudis posteriors han
anat actualitzant aquesta corba IDF. Però fins ara no s’ha realitzat un estudi de la resta de punts
de mesura.
Figura 1.
Corbes IDF de l’observatori Fabra amb les dades 1927-1993
El mètode utilitzat per obtenir les IDF incloses al PECLAB’97 i les seves posteriors actualitzacions
va ser la realització d’una estimació estadística tipus Gumbel de les intensitats mitges màximes
anuals en intervals de duració de 5 minuts a 120 minuts, calculades amb la mitjana mòbil, ajustant
2
CONCEPTES D’HIDROLOGIA D’APLICACIÓ
Entenem com a hidrologia, en l’àmbit del drenatge urbà, com la part de la ciència i la tècnica que
ens pot descriure uns escenaris de pluviometria i de cabals per a les conques agregades.
Aquests escenaris acostumen a estar associats a unes probabilitats d’excedència, anomenades
“períodes de retorn”. Per contra el càlcul dels cabals a l’interior dels col·lectors o a les superfícies
dels carrers queda integrat en la hidràulica que de forma addicional ens determina calats i
velocitats.
En un model de drenatge urbà com el de InfoWorks ICM o el SWMM els càlculs inclouen de
forma integrada la hidrologia i la hidràulica. Al model se li subministren les pluges i aquest fa una
primera transformació a cabal i modela el pas d’aquest per l’interior de la xarxa, calculant les
velocitats.
Aquesta particularitat es deu a que en inundacions urbanes el mateix àmbit que recull la pluja és
el que queda afectat per la inundació i en convivència dels dos processos els models d’inundació
acostumen a reproduir millor el que passa a la superfície, per tant s’amplia el model hidràulic
amb certes característiques hidrològiques i es fa córrer.
Fins i tot, quan en entorns urbans es desacobla la pluja del model hidràulic i es tracta de forma
independent, també es costum fer servir equacions hidràuliques com la ona difusiva per a
reproduir les micro-conques urbanes, a diferencia d’ambients rurals on es fan servir mètodes
hidrològics específics clarament diferenciats dels hidràulics. Es conegut que la hidrologia en
espais naturals te una forta component geomorfològica (Leopold et al. 2012, Rodriguez-Iturbe &
Rinaldo 2001), en entorns urbans aquesta geomorfologia ha estat substituïda per l’urbanisme,
per tant es normal i lògic que s’utilitzen aproximacions diferents al problema.
La pluviometria serà l’anàlisi que ens portarà a definir les pluges de disseny i les “Conques rurals”
serà la descripció metodològica de les tècniques de modelització de les conques agregades.
2.1
Corbes intensitat – duració - freqüència
La primera pregunta que s’ha de respondre és: ¿Quins aspectes de la pluja hem d’estudiar?
Ja s’ha dit en l’apartat anterior que interessa la vessant extremal de la pluja, però s’ha de decidir
quina es la variable quantitativa de la pluja que podem considerar com “extremal”.
Document 2.- Estudi de pluges
4
El que acaba inundant els carrers es la quantitat d’aigua que baixa per la xarxa, i aquesta no es
directament la precipitació sinó el cabal. El cabal s’ha d’entendre com la quantitat d’aigua per
unitat de temps i sembla que podria tenir una relació amb la precipitació per unitat de temps,
anomenada “intensitat de pluja”.
Aquesta relació no es immediata ni biunívoca, no existeix una relació universal entre la quantitat
d’aigua que plou per unitat de temps i el cabal a que dona lloc. Aquest procés que connecta
ambdós elements s’anomena “transformació pluja escorrentiu” i és una part fonamental de la
hidrologia descrita a l’apartat anterior.
El que si que es clar és que es busca la pluja que donarà lloc al major escorrentiu de la xarxa.
S’ha de definir una intensitat de pluja que sigui capaç de maximitzar el cabal que circula per la
xarxa. Ja en aquest punt es pot pensar que això dependrà de la xarxa, i és totalment cert.
Per tant a priori, sense modelar la xarxa, és impossible conèixer la pluja més desfavorable
.
Això deixa en la paradoxa inevitable de que no podem definir una pluja extrema per a la xarxa
només basant-nos en la precipitació, es necessita informació de la xarxa per a definit la pluja que
més la perjudica.
Aquesta és la raó fonamental de que s’inventés el “temps de concentració”, que es un paràmetre
de conca que indica les durades que te la transformació pluja-escorrentiu per a una conca. Es
pot calcular a partir d’alguns paràmetres geomètrics de la conca, que tracten d’emular el resultat
que tindria la propagació de l’aigua segons les equacions de la hidràulica. Es a dir, el temps de
concentració es una eina que permet estimar el comportament d’una conca o una xarxa a partir
d’unes variables característiques.
Pot semblar que resulta impossible reproduir un comportament complex de conca o xarxa a partir
de poques dades geomètriques de la mateixa, però s’ha de dir que en entorns rurals acostuma
a tenir un resultat bastant aproximat a la realitat.
Per a xarxes de drenatge urbanes resulta casi impossible definir un temps de concentració
universal. Per tant, en rigor, resultaria impossible definir una pluja extrema sense emprar la pròpia
xarxa.
Per tal de resoldre aquest problema es fa una simplificació, es defineix com un escenari extrem
el que ve d’una pluja extrema, no el que ve d’un cabal extrem, d’aquesta forma l’anàlisi estadístic
de les pluges pot ser suficient per a definir els escenaris.
Com a conseqüència d’aquesta decisió el problema del cabal passa a ser un problema
d’intensitat de pluja. D’aquesta manera el procediment a seguir serà analitzar el caràcter extrem
de les intensitats de pluja. Existeix una quantitat molt important de literatura tècnica sobre les
i en essència tota es refereix a un fenomen observat segons el qual les pluges llargues
acostumen a tenir una intensitat de precipitació mes baixa que les curtes.
Aquest coneixement es tradueix en un concepte anomenat “Corbes IDF” on IDF significa
Intensitat-Duració-Freqüència. La idea general es que si es tenen dos episodis amb la mateixa
excepcionalitat estadística existeix una relació analítica entre la durada i la intensitat de la
precipitació.
Figura 2.
Típiques corbes IDF (Font: Wikipedia).
La Figura 2 mostra el concepte de Corba IDF. Cada corba representa una probabilitat
d’ocurrència, expressada en unes unitats que es detallaran a la pròxima secció, anomenades
període de retorn. De moment es suficient saber que la corba identificada com a “200 y” es
correspon a una pluja que te una probabilitat del 0.5% de esser superada en un cert any. La
corba “10 y” es correspon a una pluja que te una probabilitat del 10% de superar-se en un any
tipus.
L’eix vertical és la intensitat de la pluja expressada en mm/hr i l’eix horitzontal és la durada de la
precipitació en minuts. Es pot veure com la corba és monòtona decreixent, per tant es comprova
que aquestes corbes compleixen el requisit que, a un mateix nivell d’excepcionalitat, les llargues
Document 2.- Estudi de pluges
6
Figura 3.
Precipitació associada a un episodi extrem.
Aquestes dades pluviomètriques s’han de convertir a corbes IDF. El primer pas consisteix a trobar
les precipitacions corresponents a cada durada de pluja. Per tal de fer-ho es recorre a una eina
estadística anomenada “mitjana mòbil” que consisteix a calcular la mitja dels valors a dins d’una
finestra mòbil, d’amplada igual a la durada que s’està estudiant.
La Figura 4 presenta el valor de les mitges mòbils de 10, 15, 20 minuts aplicades a l’episodi de
pluges. Es pot veure que a mesura que s’eixampla la finestra els valors punta es van esmorteint,
de forma que els màxims sempre es corresponen amb la finestra més petita.
Figura 4.
Mitges mòbils de l'episodi de pluja.
Per a cada una de les mides de la finestra de la mitja mòbil es cerca el valor màxim per al episodi
Durada
(min)
Intensitat
(mm/5 min)
5
20.00
10
13.75
15
11.00
20
9.28
25
7.67
30
6.54
Figura 5.
Intensitats màximes per a cada durada.
Aquest valor màxim es pot representar sobre les corbes IDF vistes anteriorment, el resultat de la
superposició es pot veure a la Figura 6. Veient els resultats es pot apreciar que per a 5 minuts
de durada s’assoleix el valor de la corba “50 y”, corresponent a una probabilitat del 2% de
superar-se un any normal.
Per a durades més llargues la probabilitat augmenta, el que significa que no es un episodi tan
excepcional. Estrictament parlant per a cada durada de la mitja mòbil tenim tota una corba, com
s’ha vist a la Figura 4, això significa que es te una sèrie amplia de punts per a cada durada i tots
es corresponen amb el mateix episodi pluviomètric. La Figura 7 mostra la representació sobre
les corbes IDF de tots els valors obtinguts per a cada durada. Es pot comprovar com la Figura 6
Document 2.- Estudi de pluges
8
Figura 7.
Representació del episodi de pluja complert sobre la IDF.
D’aquesta manera per a tots els episodis de pluja coneguts es pot anar construint un núvol de
punts en el pla IDF. En aquest cas les corbes presentades són una mostra d’unes reals, però no
estan relacionades amb el pluviòmetre del que s’han tret les dades de pluja. Per tant queda
pendent el com construir les corbes veritables d’aquest pluviòmetre.
2.1.1
Construcció de les IDF
L’apartat anterior ha finalitzat amb el resultat d’haver processat les pluges per a tenir dades
representatives de les intensitats, entenen que aquestes són les que determinen el caràcter
d’excepcionalitat.
A partir d’aquell resultat s’ha d’establir de forma quantitativa com d’excepcionals són les pluges,
per a poder construir els escenaris. Existeixen tres maneres de arribar a les corbes IDF a partir
de les dades reals:
1) Determinar les probabilitats empíriques de les dades de pluja i construir les corbes a
partir dels valors mesurats.
2) Fer servir una funció de distribució d’extrems per a ajustar les corbes.
3) Emprar alguna de les funcions típiques per a ajustar les corbes IDF.
De les dos primeres se n’ocupa el següent apartat, on es descriu l’estadística d’extrems i com
s’aplica al problema. El tercer mètode, l’ajust a partir de funcions tipus és el que es desenvolupa
a continuació.
Des de fa molt de temps es coneixen les corbes IDF i hi han hagut infinitat d’autors que han
Tots ells buscaven equacions que amb pocs paràmetres fossin capaces de reproduir tot el pla
IDF.
La primera que s’ha de destacar és la de Talbot:
a
I
D
b
(1)
On
I
és la intensitat de la pluja,
D
és la durada i
a b
,
són coeficients empírics. La segona que
val la pena destacar és la de Bernard:
e
a
I
D
(2)
On
e
és un altre coeficient d’ajust. En tercer lloc està la equació de Kimijima:
e
a
I
D
b
(3)
I finalment la de Sherman:
e
a
I
D
b
(4)
Totes elles es poden generalitzar com a (Nhat et al. 2006):
e
v
a
I
D
b
(5)
On
v
és de nou un paràmetre d’ajust.
Es pot comprovar com aquestes corbes descriuen correctament la relació entre intensitat i durada
però deixen al marge la freqüència o probabilitat. Per afegir aquest element a la proposta es fa
servir una proposta ampliada:
ln
a
e
I
k c
T
D b
(6)
On ja s’ha inclòs la probabilitat en forma de període de retorn
T
i apareix un paràmetre addicional
Document 2.- Estudi de pluges
10
2.2
Teoria d’extrems
Tal com s’ha descrit anteriorment s’ha de definir un concepte capaç d’identificar com és d’extrem
un episodi, aquest concepte l’anomenem “període de retorn” i té un sentit estadístic clar tal com
es veurà tot seguit.
Seguint els conceptes pluviomètrics de l’apartat anterior es proposa com a fenomen “extrem” una
quantitat de pluja extraordinària caiguda en un temps concret. Com a variable proposada per al
desenvolupament teòric s’agafa la precipitació total caiguda en 24hr
P
24
i com a funció
estadística el màxim anual.
Per tant tenim una funció de densitat de probabilitat
f P
24
i una funció probabilitat acumulada:
2424
24
0
P
F P
fdP
(7)
El fet mateix de proposar una funció de màxim anual ja implica moltes coses. Se suposa que
existeix una distribució estadística que ens diu quina es la màxima pluja caiguda en 24hr al llarg
d’un any. També suposem que aquesta funció no canvia al llarg dels anys.
Pot semblar poc rellevant però pensem en coses com la demografia, podem tenir una funció que
ens diu el màxim nombre de nens que neixen en un dia. És conegut que el creixement de la
població és geomètric, per tant, és clar que aquesta funció de màxims hauria de créixer cada
any, per tant l’anàlisi proposat no seria vàlid.
En la mateixa línia, a dia d’avui tenim el problema del canvi climàtic. Si la pluviometria està
canviant per efecte de l’increment de la temperatura no podem garantir que aquesta funció de
distribució estadística
F P
24
de màxims sigui constant.
Si aquesta funció canvia, les dades acumulades d’any en any no ens estan donant informació de
la mateixa funció, per tant no podrem ajustar-la.
Queda per justificar perquè parlem d’una funció de màxims anuals enlloc de directament fent
servir una funció de valor de pluja en 24 hores. Aquesta discussió obra la porta de las funcions
estadístiques ordinàries o d’extrems. Per a fer-ho més senzill d’entendre imaginem que tenim
una sèrie llarga de dades de pluges diàries. Suposem que aquesta sèrie ajusta a alguna mena
de distribució estadística de probabilitat, i ajustem un model.
La Figura 8 ens mostra en color blau les dades de la sèrie i la línia blava recull l’ajust de la funció
de distribució estadística escollida. Si tot va be tindrem els valors experimentals distribuïts a llarg
Figura 8.
Distribucions estadístiques ajustades a valores ordinaris i a extrems.
Cada un d’aquest valors té el mateix pes en l’ajust, de manera que la funció ajusta correctament
en tot el seu domini. La funció candidata que hem escollit per l’ajust ja està premeditadament
escollida perquè volem un ajust uniformement bo.
El fet de voler aquest ajust universalment bo penalitza als valors anormalment alts, ja que degut
a haver ajustat bé en tot el domini ens trobem que els pocs valors alts queden mal ajustats, degut
al poc pes que tenen en el conjunt de les dades.
Per tal de corregir aquest problema mirem de seleccionar únicament les dades altes i fer un ajust
específic per aquestes dades que no es vegi supeditat als valors baixos. Per escollir les dades
altes es selecciona el màxim de cada un dels anys de dades de la sèrie, son els punts que
apareixen en color verd a la figura.
A partir d’aquest punts es selecciona una distribució estadística i es fa un ajust als punts, que es
la línia que apareix en color verd a la gràfica. Aquesta ajusta molt millor els màxims que la funció
original.
A la figura es dona la particularitat de que hi ha punts ordinaris per sobre dels extremals, això és
normal, en un any hi pot haver dos episodis superiors a la resta d’anys, però només un d’ells
apareixerà a la sèrie de màxims anuals. Aquesta paradoxa obre la porta al debat entre els
mètodes que seleccionen directament els màxims de la sèrie (
Peak Over Threshold
) o els
mètodes del màxim anual (
Annual Maximum
) (Bezak et al. 2014, Mkhandi et al. 2005).
Document 2.- Estudi de pluges
12
Figura 9.
Distribució de probabilitat per als extrems, funció de densitat i funció acumulada.
A partir d’aquest moment comencen a aparèixer dubtes com: ¿Quina és la probabilitat de
superar-lo dos anys seguits? O ¿Quina és la probabilitat de que passin deu anys sense
veure-ho?
Per donar resposta a aquestes preguntes es necessiten les distribucions geomètriques.
2.2.1
Distribucions geomètriques i binomials
Arribats a aquest punt disposem d’una eina que és capaç d’assignar una probabilitat
d’excedència o no per a cada un dels valors de la nostra variable
X
que recordem que és,
inicialment, la màxima precipitació caiguda en 24 hr al llarg d’un any (
P
24
).
El fet de que la superem o no passa a ser un fet binari, per al valor 2 hem vist que teníem un
probabilitat del 95% de no superar-lo en un any, que anomenem
q
, que és el mateix que dir que
tenim una probabilitat del 5% de superar-lo. A aquest valor complementari l’anomenem
p
i
sobre ell apliquem tota la teoria de les distribucions geomètriques.
Quina és la probabilitat de no superar el valor de 2 durant 5 any seguits i superar-lo el sisè any?
Pr
q q q q q p
(8)
De forma general es pot dir que, de tots el anys
N
, si definim quins anys volem superar el llindar
P
i quins no
N P
podem calcular directament les probabilitats de que això succeeixi:
Pr
X
P p q N
, , ,
q
N P
p
P
(9)
Aquestes distribucions són les geomètriques, però resulta més pràctic considerar només el
número de vegades que volem superar el llindar, sense especificar quin any concret ho volem
Pr
q q q q q p q q q q p q q q q p q q
q q p q q q q p q q q q
p q q q q q
(10)
En aquest cas la eina estadística que ens dona suport es la distribució binomial, que afegeix un
terme combinatori a la geomètrica per a considerar totes les possibles combinacions d’anys
diferents que porten al mateix índex d’èxits i fracassos:
!
Pr
, , ,
!
!
!
N P
P
N
X
P p q N
q
p
P N
P
(11)
Tal i com es conegut
q
1
p
per tant el número de paràmetres es redueix:
!
Pr
, ,
1
!
!
!
N P
P
N
X
P p N
p
p
P N
P
(12)
Aquesta ha de ser la distribució que regeix els fenòmens observats, amb independència de si
ajusten o no a alguna funció de distribució d’extrems o de quina es tracta. Només perquè es
compleixin les hipòtesis de partida de que existeix una funció de distribució dels màxims anuals
i que es tracti d’una funció constant, ja és suficient per a garantir que la observació ha de portar
a una distribució binomial.
2.2.2
Dades reals com a distribució binomial
L’objectiu final que es té és, a partir de les dades d’observació, assignar un probabilitat
p
a
cada un dels màxims observats, d’aquesta manera s’identifica com d’extrem va ser un episodi
particular.
La formulació
definida en l’apartat anterior pot tenir una altre interpretació que ens permet
convertir-la en una eina. Imaginem que es disposa
d’una sèrie de valors de longitud
N
,
s’ordenen de major a menor i es troba un que ha estat superat
P
vegades. S’ha de respondre
la pregunta de ¿Quina
p
te un episodi que ha estat superat
P
vegades en
N
anys?
Per a poder respondre aquesta pregunta es calcula per a cada un dels valors de
p
quina es la
Document 2.- Estudi de pluges
14
Figura 10.
Per a cada valor de p es mostra la probabilitat de esser superats 1, 2, 3, 4 o 5 vegades
en 25 anys.
Es pot veure clarament que
p
0.2
és el valor més probable d’esser superat 5 vegades en 25
anys. De la mateixa manera
p
0.025
es el valor que més probablement només s’ha vist
superat un cop en 25 anys.
Aquesta aproximació es pot resoldre analíticament de forma simple, es busca un màxim de la
probabilitat per a una durada de la sèrie
N
donada i un número d’ocurrències
P
donat. Per
fer-ho es recorre a la derivada:
!
1
1
Pr
, ,
1
!
!
!
N P
P
d
N
P p N
p
p
P Np
dp
P N
P
(13)
I de forma immediata es pot veure que la arrel de la derivada es:
P
p
N
(14)
Es a dir, donada una sèrie de
N
anys, el que passa
P
vegades és el que te la probabilitat
P N
. A partir d’aquest punt s’introdueix un concepte útil, la inversa de
p
, el “període de retorn”
T
definit com:
N
T
P
(15)
Aquest valor resulta còmode perquè equival a la freqüència amb la que passa un episodi. Així el
que passa
P
5
vegades en
N
25
anys te període de retorn
T
5 25
5
i vol dir que en
mitja esperem que passi cada vegades o es el que més probablement es veurà superat 1 vegada
Queda clar que la definició es
T
1
p
per tant, la probabilitat
p
del episodi
T
5
es 0.2, així
per tant en un any concret es te una probabilitat del 20% de superar-lo. De forma addicional, ara
s’expressa la probabilitat d’ocurrència a partir de
T
:
!
1
1
Pr
, ,
1
!
!
!
N P
P
N
X
P T N
P
N
P
T
T
(16)
Ara aquesta definició es pot aplicar al cas del període de retorn de T=50 anys en una sèrie
temporal de 500 anys. La figura 9 mostra la probabilitat de tenir un nombre d’ocurrències. A la
figura es pot veure com la probabilitat màxima es tenir 10 episodis de T=50 en una sèrie de 500
anys.
Figura 11.
Probabilitat de tenir un episodi de T=50 en una sèrie de 500 anys.
Amb aquesta nova definició del “període de retorn” ja es pot repetir el procés anterior que aplicat
a la equació (13), però emprant el període de retorn:
1
1
1
!
Pr
, ,
!
!
!
N P
N
T
d
N
P T N
N
PT
dT
P N
P
T
(17)
On tot i l’aparent complexitat de la fórmula s’identifiquen clarament les arrels com a
T
N P
.
El resultat obtingut indica en línies generals que, per a cada pluja, una vegada determinat quantes
vegades es supera a la sèrie temporal, es pot establir el seu període de retorn teòric.
Aquest resultat senzill és el fonament teòric que permet analitzar les dades reals de pluja i obtenir
Document 2.- Estudi de pluges
16
2. Ordenar-los de major a menor
3. Assignar a cada element la seva posició
i
4. Suposar que
P
i
i estimar el període de retorn de cada valor
T
N P
A través del procés anterior s’ha arribat a una sèrie de parelles
P
24
i
,
T
i
que caracteritzen els
màxims anuals d’un procés, en aquest cas la pluja de 24 hores de durada. Assumim que la funció
de distribució dels màxims anuals és
F P
24
i que les sèries pluviomètriques de que es disposa
són uns estimadors.
Figura 12.
Resultats d'estimar la funció de distribució dels màxims anuals.
La figura 12 presenta un exemple de la funció real i el estimador obtingut a partir de les dades.
En aquest punt hi ha dues opcions, tractar de determinar la funció
F P
24
o directament treballar
amb la funció empírica. A la figura 12 es pot treballar amb la línia vermella o directament amb la
blava. La utilitat del procés radica en si es necessari extrapolar o no. La figura ja mostra com la
línia blava està molt esglaonada i per a valors superiors a 2 ja no te cap variació ni sensibilitat.
En hidrologia d’extrems en entorns fluvials es comú arribar a definir escenaris de 100 o 500 anys,
però en àmbits urbans es fan servir 10 anys de període de retorn. Tal i com s’ha comentat
anteriorment a BCASA es disposa de series de més de 20 anys, per tant, per treballar al voltant
d’aquests períodes de retorn no es necessari extrapolar.
En aquest cas, donat que en el context del pla director, es tractarà d’interpolacions (T10) és
2.2.3
Distribucions estadístiques d’extrems
La estadística d’extrems és una disciplina complicada. En essència es pot dir que el teorema dels
valors extrems o teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko (Fisher & Tippett 1928) enuncia que
qualsevol funció d’extrems, sota una adequada normalització, hauria de convergir a una funció
de Gumbel, Fréchet o Weibull.
Això acota molt les possibles funcions que s’han de provar per ajustar la funció de màxims a
partir de les dades que hem trobat. Per desgracia les coses no són tant senzilles i en molts casos,
degut a la falta de de series llargues no es compleixen les condicions i la distribució de probabilitat
ajusta millor a alguna de les funcions no citades en el teorema, com la Log-Pearson III o la
SQRT-MAX.
La distribució estadística d’extrems que inclou totes les distribucions citades anteriorment en una
sola equació s’anomena GEV (
Generalized Extreme Values
) i tal i com s’ha dit inclou les
distribucions de Gumbel:
; ,
e
x mF x
e
(18)
La de Fréchet:
0
; , ,
0
0
y
e
y
F x
y
(19)
Amb
1
i
y
1
x
i finalment la de Weibull:
0
; , ,
0
0
y
e
y
F x
y
(20)
Amb
y
1
x
.
La GEV se sol escriure com:
11
0
;
0
ss
e
e
F s
e
(21)
Document 2.- Estudi de pluges
18
línia obtinguda permet calcular la probabilitat d’episodis molt extrems com
X
=4, que escapava
completament a la funció empírica.
2.3
Construcció de les pluges de disseny
Acabades les tasques anteriors s’han definit correctament les pluges associades a cada període
de retorn, però falta una tasca addicional. Tal i com s’ha citat a l’apartat 2.1 aquests escenaris
probabilístics corresponen a la pluviometria no als cabals, per tant, per a poder calcular un cabal
s’ha de donar tot l’episodi complert de pluges, no només un valor puntual, construint una sèrie
temporal complerta.
Existeixen diferents maneres de construir aquestes series temporals. Les podem anomenar
paramètriques i no paramètriques. Les no paramètriques són les que es construeixen
seleccionant episodis reals. Es selecciones els episodis històrics més extraordinaris i se’ls calcula
el període de retorn associat a partir de la IDF.
Te avantatges inqüestionables com la veracitat, són episodis que ja han ocorregut, que han estat
classificats com a extrems i que la seva vàlua no és qüestionable. El principal desavantatge està
relacionat amb la longitud de la sèrie, ja que si no és prou llarga no arriba al grau d’excepcionalitat
requerit.
El mètode paramètric per a construir una pluja de disseny en basa en l’ús de les característiques
estadístiques de les pluges. Si s’ha transformat tot l’anàlisi estadístic de les pluges en un
diagrama únic anomenat IDF, ara ens falta la eina que passi d’aquest diagrama a un hietograma
o sèrie temporal de pluges.
Existeixen diferents maneres de fer-ho, però les més conegudes són el mètode dels blocs alterns
i les “Corbes S”.
2.3.1
Blocs alterns
Els blocs alterns és un mètode constructiu que parteix de la IDF i va construint un hietograma
(figura 13), garantint que per a totes les durades la pluja te el mateix període de retorn. Es una
idea semblant a suposar que un corredor de marató bat el record de la marató però també el de
totes les distancies inferiors, mitja marató, 10.000 metres, 5.000 metres...100 metres.
Aquest mètode te com a característica fonamental el que permet assegurar que totes les
subconques arriben al cabal pic en el mateix instant de temps però no dona garanties sobre el
conjunt de la conca, ja que pot existir un tipus de pluja en el que les subconques van arribant al
cabal punta de forma seqüencial, provocant una mena “ressonància”. La pluja que provocaria
aquest fenomen seria característica de la forma de la conca en estudi i no necessàriament
donaria màxims per a cada una de les subconques que integren la conca.
2.3.2
Corbes “S”
El segon mètode per a construir una pluja és
el de les “
S shapped curves
” o corbes patró.
Consisteix a analitzar les pluges cercant una distribució en el temps típica. És un dels mètodes
més populars i reconeguts, permet fer una anàlisi particular de cada un dels pluviòmetres i
caracteritzar les seves pròpies corbes.
A la figura 14
es pot veure un exemple d’aquests patrons, en aquest cas el del SCS (
Soil
Conservation Service
). L’eix horitzontal és el temps i el vertical el % de pluja acumulat. Es pot
veure com a la part central té uns pics d’intensitat molt importants.
Una vegada definit el patró característic de la pluja d’un àmbit només s’ha de fixar la pluja total
caiguda a l’episodi i ja es pot construir el hietograma. Els pendents de la corba substitueixen el
paper de la corba IDF i una vegada construïda la pluja es pot comparar amb els valors de la IDF
per a contrastar la incertesa.
Figura 14.
Patrons de pluja del SCS (font: Nicklow et al., 2006)
Document 2.- Estudi de pluges
20
3
MOTIUS DE LA MODIFICACIÓ DE LA PLUJA DE DISSENY
Fins l’actualitat els estudis realitzats de la pluja de Barcelona s’han calculat amb les dades de
pluja de l’observatori Fabra. Aquesta ubicació te una situació privilegiada a la serralada per sobre
de la ciutat però molt singular pel que no es pot assegurar a priori que sigui representativa de la
totalitat de la ciutat. La existència de múltiples punts de mesura distribuïts per tot l’àmbit d’estudi
durant els últims 24 anys ha motivat l’enfoc del present estudi, analitzar el comportament de la
pluja utilitzant totes dels dades disponibles. La xarxa de clavegueram de Barcelona disposa des
de 1994 de 25 aparells de mesura de precipitació repartit per tot el seu àmbit amb la finalitat
d’enregistrar la precipitació caiguda per un període de temps mínim d’un minut.
Donada la localització de la ciutat de Barcelona, situada entre la costa i la serralada litoral i
limitada a banda i banda per dos rius, és previsible esperar la influència d’aquest quatre elements
al comportament de la pluja. Per aquesta raó s’ha considerat necessari incloure una variabilitat
geogràfica que ens permetrà concloure quin és el comportament de la pluja a la ciutat de
Barcelona.
Les raons que justifiquen el present estudi de pluges en resum són:
1. Dades disponibles de 25 punts de mesura en front de 1 sol punt de mesura anteriorment.
2. Distribució espacial per considerar la particular orografia de la conca.
3. La disponibilitat de fins a 24 anys de dades permet realitzar un estudi probabilístic que
ens permet la construcció de les corbes IDF empíriques per períodes de retorn menor a
20 anys.
4. Realitzar un estudi dels patrons de pluja per poder concloure en una pluja de disseny per
4
DADES DE PARTIDA
Dades de pluja disponibles:
o
Precipitació diària de l’Institut Nacional de Meteorologia des de 1850 fins a 1987
o
Precipitació en continu de 25 Pluviògraf (pluviòmetre) per la gestió del
clavegueram des de 1.994 (24 anys com a màxim)
o
Precipitació en continu del pluviògraf de l’Observatori Fabra des de l’any 1.927
(90 anys)
o
Precipitació diària del pluviòmetre de l’Observatori Fabra des de l’any 1914 (103
anys)
Figura 15.
Plànol de situació dels punts de control de pluja a la ciutat de Barcelona
Document 2.- Estudi de pluges
22
Figura 16.
Dades disponibles de cada punt de control de pluja.
Figura 17.
Codificació dels punt de control de pluja i dades disponibles de cada una.
PLUVIO CODI ANY_INICI ANY_FINAL MOSTRA ANYS
CO 07 AGCO 1994 2018 24 CL 25 FABR 2009 2018 9 CL 24 DJOM 2006 2018 12 CL 23 DEIN 2001 2018 17 CL 22 ROLI 1997 2018 21 CL 21 AGTR 1997 2018 21 CL 20 ELIZ 1996 2018 22 CL 19 AJSA 1996 2018 22 CL 18 HEUR 1995 2018 23 CL 17 NABI 1995 2018 23 CL 16 COTX 1995 2018 23 CL 15 SAGR 1995 2018 23 CL 14 MONT 1995 2018 23 CL 13 NICA 1995 2018 23 CL 12 DEPU 1995 2018 23 CL 12 DTAU 2005 2018 13 CL 11 CLAB 1996 2018 22 CL 10 FCCF 1995 2018 23 CL 09 AGTI 1995 2018 23 CL 08 AGBE 1994 2018 24 CL 06 BARK 1994 2018 24 CL 05 AJNO 1994 2018 24 CL 04 AJUO 1994 2018 24 CL 03 FISI 1994 2018 24 CL 02 CATA 1994 2018 24 CL 01 CANY 1994 2018 24
5
CORBES INTENSITAT – DURACIÓ - FREQÜENCIA
Amb les dades disponibles de pluges enregistrades pels pluviòmetres de la ciutat de Barcelona
es pot avaluar la freqüència d’excedència dels valors enregistrats durant els anys considerats.
Amb aquest mètode s’obté la intensitat màxima per a períodes de retorn menors als anys
enregistrats. Pel nostre cas aquest mètode serà vàlid per a períodes de retorn fins a 20 anys de
període de retorn pels pluviòmetres amb 24 anys de dades, reduint-se pels que disposin de
menys anys de dades.
Per períodes de retorn major caldrà realitzar una extrapolació estadística mitjançant funcions de
freqüència de màxims. Per unificar el criteri a tots els pluviòmetres s’ha calculat les intensitats
màximes anuals pels períodes de retorn de 20, 25, 30, 50, 75, 100 i 500 anys.
Per poder realitzar l’anàlisi de les dades d’informació pluviomètrica s’ha pres com hipòtesis de
càlcul que el comportament de la pluja es manté com fins ara, sense considerar el canvi climàtic.
Posteriorment es considerarà la influència del canvi climàtic sobre els resultats obtinguts d’acord
amb els escenaris futurs d’altres estudis recents de l’Ajuntament de Barcelona i a diversos
models climàtics.
5.1
Tractament de les dades dels pluviòmetres
Per analitzar la pluja enregistrada l’estudi es pot enfocar sobre la intensitat màxima instantània,
la intensitat màxima d’un període de temps, el volum total de pluja, la duració de la pluja, etc. Pel
present estudi disposem de la informació de les bolcades corresponent a 1mm de pluja amb una
freqüència d’un minut. L’objectiu d’aquesta primera part de l’estudi és la creació d’una sèrie
temporal de dades homogènia de precipitació per minut pel seu posterior tractament estadístic i
Document 2.- Estudi de pluges
24
Figura 18.
Esquema tractament de les dades del pluviòmetre
5.2
Creació de matriu de precipitacions i intensitats màximes anuals
Amb l’objectiu de incloure la variabilitat geogràfica de la pluja en Barcelona a l’estudi s’ha realitzat
un estudi probabilístic de cada punt de mesura per separat considerant una duració de pluja des
de 5 minuts fins a 200 minuts en intervals creixents de 5 minuts.
Per cada duració de pluja (D) s’ha realitzat la mitjana mòbil, és a dir, la mitjana d’una finestra
d’amplada la duració de la pluja considerada (D) que es desplaça sobre cada dada disponible,
és a dir, per cada minut. L’objectiu és obtenir la màxima precipitació per cada duració de pluja de
la sèrie obtinguda amb la mitjana mòbil. El resultat és una taula de precipitacions màximes anuals
per cada duració de pluja realitzada a cada pluviòmetre amb la que podrem calcular les intensitats
màximes anuals per cada duració de pluja.
A mode d’exemple s’adjunta a continuació la sèrie d’intensitats màximes anuals per cada any per
diferents duracions de pluja corresponents al pluviòmetre CL20 situat a l’Eixample de Barcelona.
La totalitat dels resultats es recull com apèndix al present document.
Inicialdata
Dades de pluviografo
(.txt)
Lllistat de instants de
bolcades
mydata
matriu de
instants-precipitació (0,1mm)
ts
serie temporal
P=0,1 mm
final_ts
sèrie temporal
uniforme amb
precipitació
Final
matriu uniforme minuts
- precipitació
final_data
Figura 19.
Taula d’Intensitats màximes anuals obtinguda pel pluviòmetre CL20 _ ELIZ.
5.3
Distribució empírica de la mostra
5.3.1
Teoria probabilística d’aplicació
La gran disponibilitat de dades dels pluviòmetres permet realitzar un estudi basat en
procediments estadístics d’anàlisi de freqüència per determinar les intensitats de pluja associat
a un determinat període de retorn menor al número total d’anys de dades disponibles.
Amb la premissa que un cicle de pluges correspon a un any natural, s’ha calculat la màxima
intensitat anual de durada D obtenint la sèrie de intensitats màximes anuals segons la durada de
la pluja. A partir d’aquí s’ha treballat amb la probabilitat d’excedència assignada a cada valor
d’aquesta mostra ordenada de major a menor que es pot obtenir d’acord a varies expressions
recollides a continuació, tot i que en el present estudi s’ha utilitzat la expressió de Weisbull:
Expressió de Weisbull:
𝑷 =
𝒎
𝑵+𝟏
Expressió de California:
𝑃 =
𝑚
𝑁
Document 2.- Estudi de pluges
26
Per estudiar la probabilitat de la pluja cal definir el concepte de període de retorn com el temps
mig entre dos successos iguals. L’invers del període de retorn marcarà la freqüència del succés.
La probabilitat que es superi un determinat valor ve definit per la freqüència (F).
𝑃 = 𝐹 = 1 𝑇
⁄
𝑇 = 1 𝑃
⁄
Aplicant aquests conceptes a la llista de pluges disponibles s’obté una taula per pluviòmetre
de
Intensitat – duració de pluja – freqüència
per a períodes de retorn fins a 24 anys. El càlcul dels
valors corresponents als períodes de retorn de 10 anys i 20 anys s’ha realitzat per interpolació
amb les dades més pròximes disponibles.
A mode d’exemple s’adjunta a continuació la sèrie d’intensitats màximes anuals, ordenades de
major a menor, per diferents duracions de pluja corresponents al pluviòmetre CL20. La totalitat
dels resultats es recull com apèndix al present document.
Figura 20.
Taula d’intensitats màximes anuals ordenades per cada duració de pluja amb el període
de retorn associat segons Weisbull corresponent al pluviòmetre CL20 _ ELIZ (IDF)
Figura 21.
Taula intensitats màximes anuals per cada duració de pluja amb el període de retorn
associat segons Weisbull (IDF empírica) corresponent al pluviòmetre CL20 _ ELIZ (IDF)
CL20 24 anys 12 anys 8 anys 6 anys 4.8 anys 4 anys 3.43 anys 3 anys 2.67 anys 2.4 anys 2.18 anys 2 anys 1.85 anys 1.71 anys 1.6 anys 1.5 anys 1.41 anys 1.33 anys 1.26 anys 1.2 anys 5 min 165.60 163.20 150.00 140.40 116.40 106.80 105.60 105.60 104.40 99.60 99.60 98.40 97.20 93.60 88.80 86.40 84.00 82.80 80.40 75.60
10 min 141.60 139.20 138.00 135.00 112.80 91.80 91.20 90.60 88.20 86.40 85.80 83.40 71.40 71.40 67.80 63.00 61.80 61.20 58.20 57.00
15 min 123.20 121.60 112.00 110.80 107.20 85.20 83.20 78.80 78.00 76.00 74.00 70.80 63.20 58.00 51.60 51.20 50.00 49.60 48.80 44.80
20 min 120.60 107.40 104.70 104.40 86.40 75.90 70.80 69.00 64.50 64.20 63.90 58.50 52.20 49.80 46.20 45.30 45.00 42.30 38.70 38.70
25 min 115.68 105.36 96.00 91.68 70.56 68.88 65.52 57.84 55.44 55.20 52.32 51.84 49.44 48.72 43.68 38.16 37.44 36.72 36.72 34.32
30 min 101.80 101.20 85.00 80.60 66.60 62.40 59.60 51.40 51.20 48.40 46.40 44.00 43.20 43.20 40.40 37.20 34.00 32.60 32.60 32.20
35 min 92.91 88.63 74.06 73.71 69.26 56.91 51.43 49.20 47.31 44.40 39.94 39.09 38.91 38.74 37.71 35.83 32.57 32.40 30.69 30.51
40 min 88.80 78.15 70.50 67.80 67.50 51.90 47.85 45.00 44.10 41.25 36.60 36.00 35.70 35.10 33.60 33.00 31.80 30.15 29.70 28.05
45 min 83.47 69.87 69.87 61.87 61.47 47.20 44.80 40.80 40.00 37.73 36.40 32.93 32.93 31.33 31.07 29.47 29.20 28.53 27.60 26.27
50 min 79.68 67.20 63.24 56.52 56.04 44.40 41.28 38.04 36.00 35.28 34.68 30.48 30.12 29.16 28.44 27.00 26.52 26.52 25.08 24.84
55 min 74.29 64.91 58.04 51.93 51.49 41.35 37.85 35.56 35.24 32.73 32.51 28.80 27.60 27.38 27.38 25.96 24.22 24.11 23.13 23.02
60 min 71.50 62.10 53.50 49.20 47.80 42.30 34.90 33.80 33.70 30.20 30.00 28.10 26.30 25.50 25.50 23.80 22.30 22.10 21.40 21.30
65 min 67.20 61.94 49.48 46.34 45.23 40.25 32.49 32.49 31.85 28.25 27.69 26.77 24.83 24.09 23.72 22.06 20.95 20.40 20.12 19.75
70 min 64.54 60.51 45.94 43.63 42.34 38.83 31.37 30.34 30.34 26.49 25.97 25.46 25.11 23.40 22.11 20.49 19.71 19.54 18.94 18.94
75 min 63.28 58.32 42.88 42.40 40.80 36.96 30.00 28.64 28.56 24.80 24.72 24.24 24.08 22.40 20.72 19.12 18.80 18.72 18.24 17.76
80 min 62.10 56.03 43.73 40.20 38.33 35.48 28.95 27.00 26.85 23.48 23.40 23.40 22.88 21.60 19.50 18.53 18.38 18.08 17.93 17.10
85 min 59.22 53.44 43.27 37.91 36.07 34.38 27.67 25.55 25.34 23.65 22.31 22.24 21.67 20.68 18.49 18.35 17.86 17.08 17.01 16.16
90 min 56.20 52.00 42.60 35.87 34.07 32.93 26.40 24.40 24.07 23.53 21.93 21.33 20.53 19.67 18.00 17.60 17.33 16.47 16.20 15.47
95 min 53.87 50.21 41.18 34.04 32.27 31.77 25.39 24.13 23.24 22.93 21.73 20.97 19.52 18.82 17.24 16.99 16.86 15.92 15.47 15.28
100 min 51.54 49.08 39.66 33.00 30.66 30.42 24.48 23.46 22.20 21.90 21.30 21.24 18.78 18.06 16.86 16.50 16.08 15.42 14.82 14.76
105 min 50.29 49.49 38.17 32.11 31.26 29.20 24.29 23.83 21.31 21.09 20.86 20.74 18.00 17.31 16.63 15.77 15.37 14.91 14.57 14.17
110 min 49.42 49.04 36.76 31.04 30.65 27.87 24.44 23.84 20.84 20.51 20.07 19.96 17.24 16.91 16.42 15.05 14.67 14.40 14.35 13.91
115 min 48.37 48.05 36.37 29.84 29.84 26.66 24.37 23.43 20.19 19.83 19.41 19.15 16.80 16.49 16.38 14.40 14.14 14.03 13.93 13.62
120 min 46.70 46.65 35.90 29.15 28.75 25.55 24.10 23.00 19.80 19.15 18.80 18.45 16.55 15.90 15.80 13.85 13.85 13.80 13.45 13.25
125 min 45.55 45.12 34.85 28.66 27.65 24.53 24.05 22.46 19.10 18.58 18.24 17.76 16.18 15.89 15.22 13.63 13.39 13.30 12.96 12.91
130 min 44.35 44.31 33.55 27.88 26.68 23.95 23.58 21.92 18.46 18.05 17.68 17.08 15.78 15.74 14.63 13.34 12.97 12.78 12.69 12.42
135 min 43.33 42.93 32.36 27.24 25.73 23.60 22.71 21.33 17.82 17.56 17.11 16.49 15.33 15.16 14.09 13.11 12.53 12.49 12.36 11.96
140 min 42.99 41.70 31.20 26.44 24.86 23.36 21.90 20.74 17.23 17.01 16.59 15.94 14.91 14.61 13.63 12.86 12.26 12.13 12.13 11.53
145 min 43.16 40.43 30.12 25.61 24.08 23.26 21.14 20.28 16.76 16.68 16.47 15.39 14.48 14.36 13.28 13.16 12.62 11.96 11.96 11.13
150 min 43.00 39.16 29.16 24.88 23.32 22.76 20.44 19.84 17.12 16.12 15.92 14.92 14.08 13.96 13.08 12.76 12.40 11.76 11.72 10.76
155 min 42.15 37.90 28.22 24.19 22.61 22.30 19.78 19.63 17.07 15.60 15.41 14.44 13.70 13.51 12.66 12.39 12.15 11.54 11.50 10.41
160 min 41.33 36.71 27.34 23.51 21.98 21.90 19.39 19.16 16.80 15.15 14.93 13.99 13.35 13.09 12.26 12.00 11.96 11.36 11.33 10.16
165 min 40.51 35.60 26.51 22.84 21.71 21.53 19.05 18.58 16.73 14.73 14.47 13.56 13.05 12.69 11.89 11.78 11.67 11.20 11.09 10.18
170 min 39.88 34.55 25.73 22.27 21.53 21.11 18.71 18.04 16.52 14.33 14.08 13.20 12.74 12.39 11.58 11.54 11.40 11.08 10.91 10.20
175 min 39.02 33.63 24.99 21.87 21.12 20.61 18.38 17.52 16.32 13.92 13.68 12.82 12.45 12.07 11.35 11.21 11.11 10.90 10.73 10.08
180 min 38.07 32.80 24.30 21.37 20.77 20.13 18.07 17.03 16.03 13.53 13.30 12.53 12.13 11.77 11.13 10.90 10.83 10.83 10.60 9.87
185 min 37.33 31.95 23.64 20.85 20.40 19.69 17.81 16.57 15.73 13.20 12.97 12.23 11.81 11.45 10.93 10.86 10.61 10.54 10.48 9.66
190 min 36.57 31.14 23.02 20.40 19.99 19.23 17.56 16.14 15.85 12.85 12.66 11.94 11.53 11.15 10.89 10.67 10.39 10.33 10.26 9.44
195 min 36.00 30.37 22.43 19.97 19.66 18.77 17.32 16.25 15.72 12.52 12.40 11.63 11.23 10.86 10.80 10.46 10.37 10.06 10.00 9.23