REFUERZO TEMAS 3 Y 4 3º ESO

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

1

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1

a) Define lo que es un monomio.

b) ¿A qué llamamos grado de un monomio?

c) En cada uno de los siguientes casos, indica si son monomios y di cuál es su grado:

=− 2 = =3 4 = 2 3

A 5 B 2 C D

5

x y x x y z

Solución:

a) Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras.

b) Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal.

c) A→ es un monomio de grado 3. B→ es un monomio de grado 0. C→ es un monomio de grado 4. D→ es un monomio de grado 6.

Ejercicio nº 2

a) ¿Qué diferencia hay entre una identidad y una ecuación?

b) Entre las siguientes igualdades, razona cuáles son identidades y cuáles son ecuaciones:

(

)

2

2

I) 3 II) 6

III) 7 2 7 IV) 2 2

x x x x x x

a a a x x x x

+ + = + =

+ + = + + = +

Solución:

a) Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para valores cualesquiera de las letras que intervienen.

Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es cierta para algún valor (o algunos valores) de la incógnita.

b) I, III y IV son identidades, el segundo miembro se obtiene operando el primero, las igualdades son ciertas para cualquier valor de x.

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

2

Ejercicio nº 3

Dados los polinomios A = −3x2 + 2x − 1 y B = x2 + 3x + 1 calcula:

a) 2A − B b) A · B

Solución:

a) 2A − B = 2(−3x2 + 2x − 1) − (x2 + 3x + 1) =

= −6x2 _{+ 4x − 2 − x}2 _{− 3x − 1 = −7x}2 _{+ x − 3}

b) − 3x2+ 2x − 1 x2+ _3x + ₁ − _3x2_{+ 2x − 1} − 9x3+ 6x2− 3x −_3x4_{+ 2x}3_{− x}2 −_3x4_{− 7x}3_{+ 2x}2_{− x −1}

A · B = −3x4 – 7x3 + 2x2 – x − 1

Ejercicio nº 4

Efectúa y simplifica el resultado:

(

2

)

⋅

(

)

a) 3x −2x+1 −2x+3

(

)

⎡_⎢ ⎤_⎥

⎣ ⎦

3 1 1

b) 2

4 2 2 3 2

x x

x− + − +

Solución:

(

− +

)

⋅ −

(

+

)

=− + + − − + =

=− + − +

2 3 2 2

3 2

a) 3 2 1 2 3 6 9 4 6 2 3

6 13 8 3

x x x x x x x x

x x x

(

−

)

+ ⎡_⎢ − + ⎤_⎥= − + − + =

⎣ ⎦

= − + − + = − = −

3 1 1 3 3 1

b) 2

4 2 2 3 2 4 2 4 6 4

9 18 3 2 3 10 15 5 5

12 12 12 12 12 12 12 6 4

x x x x x

x

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

3

Ejercicio 5

a) Extrae factor común en cada caso:

P = 9x4 − 6x3 + 3x2 Q = 3x2y2 − 3x2y + 3xy2 b) Efectúa y reduce:

(

2

)

(

) (

)

2

1 ₁ 1 _{2 3 2}

2 x − +3 x− x+ − x

Solución:

a) P = 9x4 _{− 6x}3 _{+ 3x}2 _{= 3x}2 _(3x2 _{− 2x + 1)} Q = 3x2y2 − 3x2y + 3xy2 = 3xy (xy − x + y)

(

−

)

+

(

−

)(

+

)

− = − +

(

+ −

)

− =

= − + + − − = − + + − − =

=− + − =− + −

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

1 1 1 1

b) 1 2 3 2 6 2

2 3 2 2 3

1 3 3 2 2 12 12

2 2

2 2 3 3 6 6 6 6 6 6

7 2 15 7 5

6 6 6 6 3 2

x

x x x x x x x

x x x x x x x

x

x x x x

Ejercicio 6

a) Desarrolla: P = (x2 − 2) (x2 + 2) Q =(2x + 1)2

b) Reduce:

(x − 2)2 + (x − 2) (x + 2) − x (x + 2)

Solución:

a) P = (x2 − 2) (x2 + 2) = x4 − 4 Q = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

4

Ejercicio 7

Aplica las identidades notables y reduce las siguientes expresiones:

(

)

2

(

)(

)

a) 2 3x−2 + 3x−2 3x+2

(

)

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2

b) 3 1

2 x

x

+ − +

Solución:

(

)

2

(

)(

)

₍

2

₎

2

2 2 2

a) 2 3 2 3 2 3 2 2 9 12 4 9 4

18 24 8 9 4 27 24 4

x x x x x x

x x x x x

− + − + = − + + − =

= − + + − = − +

(

)

(

)

2 ₂

2 ₂

2 2

2

b) 3 1 3 9 2 1

2 4

3

3 9 2 1 8

4 4

x x

x x x x

x _{x x x} x _x

⎛ ⎞

+ − + = + + − + + =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + + − − − =− + +

Ejercicio 8

Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) El triple del resultado de sumar un número con su inverso. b) El doble de la edad que tendré dentro de cinco años. c) El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.

d) El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura.

Solución:

1 3

a) 3 x 3x

x x

⎛ ₊ ⎞_{= +}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(

)

b) 2 x+5 =2x+10

2 c) 5x

2 2 d)

2 4

x x⋅ _x

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

5

Ejercicio 9

Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:

a) El 30% de un número.

b) El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida. c) El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida. d) El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente.

Solución:

a) 0,3x

b) 3x

c) 6 + 2x

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

6

Ejercicio 10

a) ¿Qué es una ecuación?

b) Dada la ecuación:

1 1

2 5 3 7

2 2

x x

x − x +

− + + + = +

responde razonadamente:

I) ¿Qué valor obtienes si sustituyes x= 3 en el primer miembro?

II) ¿Qué obtienes si sustituyes x= 3 en el segundo miembro?

III) ¿Es x= 3 solución de la ecuación propuesta?

IV) ¿Es x= 1 solución de la ecuación?

Solución:

a) Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene una letra (o más) llamada

incógnita (o incógnitas).

3 1

b) I) 2 3 5 3 3 6 5 1 9 9 2

−

− ⋅ + + + ⋅ =− + + + =

3 1

II) 7 2 7 9

2

+

+ = + =

III) Sí, puesto que cumple la igualdad según acabamos de ver.

IV) Sustituimos x= 1 en la ecuación y vemos que no la cumple:

− ⎫

− + + + = _⎪⎪

⎬

+ _⎪

+ =

⎪⎭

1 1

2 5 3 6

2 1 1 _{7 8}

2

No coinciden.

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

7

Ejercicio 11

Resuelve las siguientes ecuaciones:

2 5 1 3

a) 2

3 15 5

x− x+ x

− + =

(

)

⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠

2 2 5

b) 2 5 7 3

3 x x+ −x + =x − x−

Solución:

2 5 1 3

a) 2

3 15 5

10 25 1 9 30

15 15 15 15

x x x

x x x

− +

− + =

− +

− + =

10x − 25 − x − 1 + 9x = 30 10x − x + 9x = 30 + 25 + 1 18x = 56

= 56=28 → =28

18 9 9

x x

(

+

)

− + = −⎛_⎜ − ⎞_⎟

⎝ ⎠

+ − + = − +

+ = −

=−

=−

2 2

2 2 2

5

b) 2 5 7 3

3 5

2 10 7 3

3 5

10 3 7

3 16 13

3 16 39

x x x x x

x x x x x

x x

x

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

8

Ejercicio 12

Resuelve las ecuaciones siguientes:

(

)

2 3 1 3

a) 2 4

5 2 5

x− x+ _{x x}

− + = −

(

)

(

)

5 1 3 1

b) 3 2 6

2 5 10

x x+ − x− = −

Solución:

(

)

− +

− + = −

− +

− + = −

− +

− + = −

2 3 1 3

a) 2 4

5 2 5

2 3 1 3

2 8

5 2 5

4 6 5 5 6 20 80

10 10 10 10 10

x x x

x

x x x

x

x x x x

4x − 6 − 5x − 5 + 6x = 20x − 80

4x − 5x + 6x − 20x = 6 + 5 − 80

−15x = −69

69 23 23

15 5 5

x= = → x=

(

)

(

)

5 1 3 1

b) 3 2 6

2 5 10

5 15 2 6 3 1

2 5 10

25 75 4 12 3 1

10 10 10

x

x x

x x x

x x x

−

+ − − =

+ − −

− =

+ − −

− =

25x + 75 − 4x + 12 = 3x − 1

25x − 4x − 3x = −1 − 75 − 12

18x = −88

88 44 44

18 9 9

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

9

Ejercicio 13

a) Busca dos pares de valores que sean solución de la ecuación 5x − 4y= 1.

b) Representa gráficamente la recta 5x − 4y= 1.

c) ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?

Solución:

5 1

a) 5 4 1 5 1 4

4 x

x− y= → x− = y → y = −

Le damos valores a x y obtenemos, por ejemplo, los puntos: x= 1 → y= 1 → Punto (1, 1)

x=−3 → y=−4 → Punto (−3, −4)

b) Utilizamos los dos puntos obtenidos en a):

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

10

Ejercicio 14

a) Representa en los mismos ejes el siguiente par de rectas e indica el punto en el que se cortan:

⎧ ⎨ ⎩

2 2

1 + =

− =

x y x y

b) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior?

Solución:

a) Representamos las dos rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:

+ = → = − − = → = −

−

2 2 2 2 1 1

0 2 0 1

1 0 1 0

x y y x x y y x

x y x y

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

11

Ejercicio 15

a) Representa en los mismos ejes las rectas:

⎧ ⎨ ⎩

2 1

2 2

− + =

− =

x y x y

b) ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior?

Solución:

a) Obtenemos dos puntos de cada una de las rectas para representarlas:

2 1 2 1 2 2 2 2

0 1 0 2

1 3 1 0

x y y x x y x y

x y x y

− + = → = + − = → − =

−

Son paralelas.

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

12

Ejercicio 16

a) Resuelve por sustitución:

⎧ ⎨

− ⎩

3 5 15

2 3 9

+ =

− =

x y

x y

b) Resuelve por reducción:

⎧ ⎨ ⎩

4 6 2

6 5 1

+ = + =

x y

x y

Solución:

+ = ⎫ ⎬ − =_{− ⎭} a) 3 5 15

2 3 9

x y x y

15 5 3 15 5

2 3 9

3

y x

y _y

−

=

−

⎛ ⎞_{− =−}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

30 10 _{3 9 30 10 9 27}

3

57

19 57 3 0

19

y _{y y y}

y y x

−

− =− → − − =−

−

− =− → = = → =

−

Solución: x = 0 ; y = 3

+ = ⎫ ⎬

+ = _⎭ b) 4 6 2

6 5 1

x y

x y ( )

×

× −

⎯⎯⎯→ + =

− − =−

⎯⎯⎯→

5

6

20 30 10

36 30 6

x y

x y

4 1

Sumando : 16 4

16 4

x x

− = → =− =−

+ = → − + = → = → = 3= 1

4 6 2 1 6 2 6 3

6 2

x y y y y

1 1

: ;

4 2

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

13

Ejercicio 17

a) Resuelve por igualación: ⎧

⎨ ⎩

5 2 11 2 3 12

+ =

− =

x y

x y

b) Resuelve por reducción: ⎧

⎨ ⎩

2 4 7

3 5 4

− + =

− =

x y

x y

Solución:

a) 5 2 11

2 3 12

x y

x y

+ = ⎫

⎬

− = _⎭

− ⎫

= _⎪

− +

⎪

= ⎬

+ _⎪

=

⎪⎭

11 2

11 2 12 3 5

5 2

12 3 2

y x

y y

y x

38

22 4 60 15 38 19 2 3

19

y y y y x

− = + → − = → =− =− → =

Solución: x= 3 ; y=−2

− + = ⎫ ⎬ − = _⎭

b) 2 4 7

3 5 4

x y

x y

×

×

⎯⎯→ − + =

⎯⎯→ − =

3 2

6 12 21

6 10 8

x y

x y

= → =29

Sumando : 2 29

2

y y

−2 +4 =7 → −2 +58 7= → −2 =−51 → = 51

2

x y x x x

=51 =29

: ;

2 2

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

14

EJERCICIOS PARA RESOLVER Y ENTREGAR EL DÍA DEL EXAMEN

EXPRESIONES POLINÓMICAS

1º. Reduce.

a)

₋

3

x

5

₊

2

x

5

₋

7

x

5 b)

x

5

₊

x

4

₋

3

x

5

₋

2

x

4 c)

_x

6

_⋅

( )

_3x

2 d)

₍

₋

₈

_x

2

_y

₎

_⋅

₍

₋

₄

_xy

3

₎

e)

(

(

2

x

5

)

2

)

3

f)

3 7

5

30

x

x

_g)

₍

₅₄

_x

3

_y

2

₎

_:

₉

_xy

2

−

h)

_{2 2}

3 4

54

81

y

x

y

x

2º. ¿Cuál es el polinomio de grado 2, con término independiente igual a -3 y con los coeficientes de grado 1 y 2 iguales a 7?

3º. Contesta:

a) ¿Qué grado tiene el polinomio

P

(

x

)

₌

x

4

₋

3

x

3

₊

5

x

₋

7

? b) ¿De cuantos términos está compuesto?

c) ¿Es completo? Justifícalo.

4º. Halla el valor numérico de:

a)

x

2

₊

x

₋

2

para x = 3. b)

2

π

r

para r = 2.

c)

x

3

−

3

x

2

y

+

3

xy

2

−

y

3 para x = 2 e y = -1

d)

)

3

2

(

)

3

(

)

7

5

(

)

3

(

2

_x

y

x

y

x

y

x

+

−

⋅

−

+

⋅

−

_{para x = -1 e y = -2}

5º. Sean:

P

(

x

)

₌

3

x

3

₋

x

2

₊

3

;

Q

(

x

)

₌

4

x

3

₊

x

2

₋

5

x

₋

7

. Calcula: a)

P

(

x

)

₋

Q

(

x

)

.

b)

Q

(

x

)

₋

P

(

x

)

.

c) ¿Qué relación existe entre los resultados?

6º. Sean:

_P

₍

_x

₎

₌

_x

5

₋

₅

_x

₊

₁

;

_Q

₍

_x

₎

₌

_x

4

₊

_x

3

₋

_x

₋

₁

;

_R

₍

_x

₎

₌

_x

6

₊

_x

5

₋

_x

3

₊

₂

_x

2

₊

₇

_x

₊

₃

. Calcula:

a)

P

(

x

)

₊

Q

(

x

)

b)

P

(

x

)

−

Q

(

x

)

c)

R

(

x

)

−

3

Q

(

x

)

d)

−

P

(

x

)

−

3

Q

(

x

)

+

R

(

x

)

7º. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a)

2

x

2

_⋅

(

x

4

₋

3

x

3

₊

5

x

₋

7

)

b)

(

2

x

₊

1

)

_⋅

(

5

x

₋

2

)

c)

(

x

2

₋

3

x

₊

1

)

_⋅

(

x

2

₋

5

)

d)

(

x

₋

7

)

_⋅

(

x

2

₋

3

x

₋

2

)

_⋅

(

₋

2

x

₊

5

)

8º. Saca factor común, factorizando los siguientes polinomios:

a)

9

x

2

₋

3

x

b)

81

x

2

₋

49

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

15

d)

₄

_x

2

₋

₁₂

_xy

₊

_y

2

e)

₁₈

_x

3

_y

2

₋

₁₂

_x

2

_y

3

f)

20

a

4

b

2

c

₊

36

a

2

b

3

9º. Desarrolla, sin operar, las siguientes igualdades notables:

a)

(

x

₊

2

y

)

2 b)

(

3

x

₋

2

)

2

c)

(

2

x

₋

5

)

_⋅

(

2

x

₊

5

)

d)

(

3

x

3

₋

7

)

2

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1º. Clasifica las siguientes igualdades algebraicas en identidades o ecuaciones:

a)

5

(

a

₊

b

)

₌

5

a

₊

5

b

b)

2

x

₋

5

₌

3

c)

a

₊

8

₌

2

a

₋

4

d)

3

x

₊

2

₌

2

(

x

₊

1

)

₊

x

e)

2

3

2

6

4

+

=

+

_x

x

f)

(

2

x

₊

3

)

2

₌

4

x

2

₊

11

x

₊

8

2º. Une con flechas las ecuaciones que sean equivalentes entre sí:

a)

3

x

+

1

=

0

1)

x

+

5

=

11

−

2

x

b)

x

+

3

=

9

−

2

x

2)

2

x

−

9

=

5

x

−

18

c)

3

x

−

9

=

6

x

−

18

3)

4

x

+

2

=

x

+

1

3º. Halla la solución de las ecuaciones siguientes:

a)

7

(

13

₋

2

x

)

₌

x

₊

4

(

12

₊

3

x

)

b)

5

(

2

x

₊

3

)

₋

4

(

2

₋

3

x

)

₌

2

(

2

₊

3

x

)

c)

6

2

3

4

5

3

2

1

+

−

=

−

−

x

x

d)

2

1

4

2

1

6

3

3

−

+

=

+

−

−

x

x

x

e)

1

5

2

4

3

5

3

1

+

=

+

−

+

x

x

x

f)

4

3

1

2

3

=

+

−

x

x

g)

5

)

1

3

(

3

2

5

3

−

=

−

x

x

h)

x

x

x

7

3

x

8

)

4

(

3

6

5

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

16

4º. ¿Tienen solución estas ecuaciones? Justifica tu respuesta:

a)

3

(

x

₋

8

)

₋

2

x

₌

6

₊

x

b)

6

2

3

6

)

1

(

2

3

−

=

+

−

x

x

x

SISTEMAS DE ECUACIONES

1º. Une con flechas cada pareja de números con el sistema del que es solución:

a) x = -8 e y = -5 1)

⎩

⎨

⎧

=

−

=

+

3

6

3

2

y

x

y

x

b) x = 3 e y = 0 2)

⎩

⎨

⎧

=

+

=

−

5

15

6

0

5

3

y

x

y

x

c) x = 1/3 e y = 1/5 3)

⎩

⎨

⎧

−

=

+

−

=

−

7

3

1

5

3

y

x

y

x

2º. Halla 3 soluciones distintas de la ecuación de la ecuación de primer grado con 2 incógnitas:

0

5

3

x

+

y

=

3º. Une con flechas aquellos sistemas de ecuaciones que sean equivalentes entre sí:

a)

⎩

⎨

⎧

=

−

=

+

3

5

2

5

3

y

x

y

x

1)

⎩

⎨

⎧

−

=

−

−

=

+

3

5

2

18

6

4

y

x

y

x

b)

⎩

⎨

⎧

−

=

−

=

+

6

15

3

10

6

6

y

x

y

x

2)

⎩

⎨

⎧

−

=

+

−

=

+

15

25

10

10

6

2

y

x

y

x

c)

⎩

⎨

⎧

=

+

=

+

6

10

4

9

3

2

y

x

y

x

3)

⎩

⎨

⎧

−

=

−

=

+

2

5

5

3

3

y

x

y

x

4º. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:

⎩

⎨

⎧

=

−

=

+

3

5

2

5

3

y

x

y

x

5º. Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación:

MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4

17

6º. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:

⎩

⎨

⎧

−

=

−

=

+

1

3

3

3

2

y

x

y

x

7º. Resuelve los sistemas siguientes por el método que quieras o consideres más adecuado.

a)

⎩

⎨

⎧

=

+

−

=

+

2

3

1

3

2

y

x

y

x

b)

⎩

⎨

⎧

−

=

−

=

+

1

3

3

2

y

x

y

x

c)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

−

−

=

+

−

4

2

)

(

3

1

2

x

y

x

y

x