Diseño de trayectorias caóticas en robots móvilesChaotic trajectory design for mobile robots

(1)

Superior de Ensenada, Baja California

MR

Maestr´ıa en Ciencias

en Electr ´

onica y Telecomunicaciones con orientaci ´

on

en Instrumentaci ´

on y Control

Dise ˜

no de trayectorias ca ´

oticas en robots m ´

oviles

Tesis

para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias

Presenta:

Juan Jos ´e Cetina Denis

(2)

Juan Jos ´e Cetina Denis

y aprobada por el siguiente Comit ´e

Dr. C ´esar Cruz Hern ´andez

Codirector del Comit ´e

Dr. Adri ´an Arellano Delgado

Codirector del Comit ´e

Dr. Vasili Spirine

Dr. Rafael de Jes ´us Kelly Mart´ınez

Dr. Gustavo Olague Caballero

Dr. Miguel ´Angel Alonso Arevalo

Coordinador del Programa de Posgrado en Electr ´onica y Telecomunicaciones

Dra. Rufina Hern ´andez Mart´ınez

Directora de Estudios de Posgrado

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Resumen de la tesis que presentaJuan Jos é Cetina Denis como requisito parcial para la obten-ci ón del grado de Maestro en Cienobten-cias en Electr ónica y Telecomunicaobten-ciones con orientaobten-ci ón en Instrumentaci ón y Control.

Dise ño de trayectorias ca óticas en robots m óviles

Resumen aprobado por:

Codirector de Tesis

En este trabajo de tesis se aborda el problema de dise ño de trayectorias ca óticas en robots m óviles diferenciales. En particular, se utiliza como base el mapa ca ótico de H énon, el cual in-duce comportamientos ca óticos mediante sincronizaci ón a las velocidades lineales y angulares de un robot m óvil diferencial tipo Khepera III. Una de las posibles aplicaciones, aprovechando las propiedades del caos, es el patrullaje. Se reportan tanto resultados num éricos como experi-mentales. Por último, se demuestra que las trayectorias resultantes de la sincronizaci ón entre los estados del mapa ca ótico de H énon y las velocidades lineales y angulares del robot Khepera III son impredecibles.

(4)

Abstract of the thesis presented byJuan Jos ´e Cetina Denis as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Master in Electronics and Telecommunications in Electronics and Telecommunications.

Chaotic trajectory design for mobile robots

Abstract approved by:

Thesis Co-Director

In this work we aproach the chaotic trajectory design for mobile robots problem. In particular, chaotic behavior is induced in a Khepera III differential robot by synchronizing the states of the Henon chaotic map with its linear and angular velocities. A posible aplication, using the properties of chaotic systems, is patrolling. In this work, numerical and experimental results are reported. In addition, we show that the resulting trajectories from the synchronization between the states of the Henon chaotic map and the linear and angular velocities of the Khepera III differential robot are unpredictable.

(5)

Dedicatoria

A mi madre y a mi futura esposa, los dos amores de

(6)

Agradecimientos

A ...

Al Centro de Investigaci ón Cient´ıfica y de Educaci ón Superior de Ensenada, que me di ó la

oportunidad de superarme y me permiti ´o encontrar algo m ´as a lo que aspirar.

A mi familia, cuyo apoyo incondicional fue indispensable. En especial a mi madre Cecilia

Noem´ı por haber estado ah´ı siempre que lo necesit ´e.

Al amor de mi vida y futura esposa, Mariana Alejandra Chan Ley, por todo el tiempo, paciencia,

cari ˜no, apoyo, consejos y momentos inolvidables que me ha brindado. Sin ella este trabajo no

hubiera visto su fin.

A mis directores de tesis, el Dr. C ésar Cruz Hern ández y el Dr. Adri án Arellano Delgado,

quienes me guiaron con paciencia a lo largo de este trabajo. Sus consejos y ense ˜nanzas fueron

invaluables y me inculcaron amor por el ´area y la investigaci ´on.

A los miembros de mi comit ´e de tesis, Dr. Rafael de Jes ´us Kelly Mart´ınez, Dr. Vasili Spirine

y Dr. Gustavo Olague Caballero, por el tiempo, sugerencias y aportaciones que me permitieron

realizar un trabajo de calidad.

A mis compa ˜neros de estudio en CICESE, que recorrieron este arduo camino conmigo.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONACyT) a trav ´es del proyecto de

investiga-ci ón en investiga-cieninvestiga-cia b ásica entre instituinvestiga-ciones, Ref. 166654 ”Sincronizainvestiga-ci ón de sistemas complejos y

algunas aplicaciones”.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONACyT) por brindarme el apoyo econ ´omico

(7)

Tabla de contenido

P ´agina

Resumen en espa ˜nol . . . ii

Resumen en ingl ´es . . . iii

Dedicatoria . . . iv

Agradecimientos . . . v

Lista de figuras . . . vii

Lista de tablas . . . ix

Cap´ıtulo 1. Introducc´ıon . . . . 1

1.1 Antecedentes . . . 2

1.2 Justificaci ´on . . . 3

1.3 Hip ´otesis . . . 4

1.4 Objetivos . . . 4

1.5 Organizaci ´on de la tesis . . . 5

Cap´ıtulo 2. Sistemas Ca ´oticos . . . . 6

2.1 Caracter´ısticas del caos . . . 6

2.1.1 Mapa ca ´otico de H ´enon . . . 7

2.2 Fractales . . . 8

2.2.1 Dimensi ´on fraccionaria . . . 12

2.3 Aplicaciones de la teor´ıa del caos en la ingenier´ıa . . . 13

2.4 Conclusiones del cap´ıtulo . . . 15

Cap´ıtulo 3. Robot M ´ovil Diferencial . . . . 16

3.1 Modelo matem ´atico del robot diferencial . . . 16

3.1.1 Simulaci ´on de movimientos b ´asicos . . . 17

Cap´ıtulo 4. Resultados . . . . 20

4.1 Algoritmo generador de trayectorias ca ´oticas . . . 20

4.2 Resultados num ´ericos . . . 25

4.2.1 Simulaciones . . . 26

4.2.2 Porcentaje de cobertura del ´area de trabajo . . . 28

4.2.3 Prueba 0-1 Gottwald-Melbourne para determinaci ´on de caos de la trayecto-ria del robot m ´ovil . . . 31

4.2.4 Prueba de conteo de cajas (“Box-Counting”) . . . 33

4.2.5 Simulaci ón: Aplicaci ón a b úsqueda y detecci ón de objetos . . . 39

Cap´ıtulo 5. Implementaci ´on experimental . . . . 45

5.1 Robot m ´ovil Khepera III . . . 45

5.2 Resultados experimentales . . . 46

5.2.1 Porcentaje de cobertura experimental del ´area de trabajo . . . 49

5.2.2 Prueba 0-1 Gottwald-Melbourne para resultados experimentales . . . 50

5.2.3 Prueba de conteo de cajas (“Box-Counting”) para resultados experimentales 51 5.3 Conclusiones del cap´ıtulo . . . 55

Cap´ıtulo 6. Conclusiones . . . . 56

6.1 Trabajo futuro . . . 56

(8)

Lista de figuras

Figura P ´agina

1 Serie de tiempo del primer estado de dos circuitos de Chua con diferentes

condi-ciones iniciales. . . 7

2 Atractor de Lorenz. . . 8

3 Atractor ca ´otico del mapa de H ´enon generado con 1000 iteraciones. . . 9

4 Fractal de Mandelbrot. . . 9

5 Fractal natural formado por la l´ınea divisoria entre el mar y la porci ´on de tierra en una isla, D´ıas Brecia (2009). . . 10

6 Fractal sint ´etico, Helecho de Barnsley. . . 11

7 Fractal generado por el m ´etodo de Julia. . . 12

8 Vista superior de un robot m ´ovil diferencial. . . 16

9 Movimientos b ´asicos del robot diferencial. . . 18

10 Diagrama a bloques del algoritmo implementado para la generaci ón de trayectorias ca óticas para el robot m óvil. . . 20

11 Histogramas de velocidades de las ruedas izquierdavly derechavr. . . 22

12 Histogramas resultantes con dispersion de velocidades lineales de las ruedas iz-quierdavdly derechavdr. . . 22

13 Trayectoria ca ótica del robot m óvil generada por el algoritmo propuesto paran= 20. 23 14 Delimitaci ón del área de trabajo, mesa de 900 mm de ancho por 1500 mm de largo. Laboratorio de Sincronizaci ón y Sistemas Complejos. . . 24

15 Estrategia reflexiva de evasi ´on de bordes del robot m ´ovil diferencial. . . 25

16 Trayectoria del robot m ´ovil con las mismas condiciones iniciales(x0, y0) = (0,0)y diferente n ´umero de iteraciones: a) 10 iteraciones, b) 100 iteraciones, c) 300 itera-ciones y d) 500 iteraitera-ciones. . . 27

17 Trayectorias generadas por el robot diferencial para diferentes condiciones iniciales con 100 iteraciones. . . 28

18 Porcentajes del ´area de trabajo cubiertas por el robot m ´ovil diferencial para a) 100, b) 200 y c) 300 iteraciones. . . 29

19 Porcentajes del ´area de trabajo cubiertas por el robot m ´ovil diferencial para diferen-tes condiciones iniciales arbitrarias para 200 iteraciones. . . 30

20 Series de tiempo resultantes con condiciones inicialesx0 = 0, y0 = 0. . . 32

21 Series de tiempo resultantes con condiciones inicialesx0 = 0.01, y0 = 0. . . 32

22 Series de tiempo resultantes con condiciones inicialesx0 = 200, y0= 400. . . 32

(9)

Figura P ´agina

24 Resultado de la prueba de conteo de cajas para las condiciones inicialesx0 = 0,

y0= 0. . . 37

25 Resultado de la prueba de de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovilx0= 0.01,y0 = 0. . . 38

26 Resultado de la prueba de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovil x0 = 200,y0= 400. . . 39

27 Resultados de b úsqueda y detecci ón de objetos para diferentes posiciones del ob-jeto y condiciones iniciales del robot m óvil:x0 = 0, y0 = 0. . . 40

28 Resultado de b úsqueda y detecci ón de un objeto con ubicaci ón fija (xobj = 0, yobj = 0) y condiciones iniciales arbitrarias del robot m óvil diferencial en el área de trabajo. 42 29 Resultado de b úsqueda y detecci ón de objeto con ubicaci ón arbitraria y condiciones iniciales arbitrarias del robot m óvil diferencial en el área de trabajo. . . 43

30 Robot m ´ovil diferencial Khepera III, Laboratorio de Sincronizaci ´on y Sistemas Com-plejos. . . 45

31 Software Motive ®. . . 47

32 Resultados experimentales: 3 diferentes trayectorias generadas por 3 diferentes condiciones iniciales del robot Khepera III. . . 48

33 Porcentajes del ´area de trabajo cubiertas por trayectorias del robot Khepera III ge-neradas con diferentes condiciones iniciales. . . 49

34 Series de tiempo resultantes con condiciones iniciales del inciso a). . . 50

35 Series de tiempo resultantes con condiciones iniciales del inciso b). . . 50

36 Series de tiempo resultantes con condiciones iniciales del inciso c). . . 51

37 Resultado experimental de la prueba de conteo de cajas del inciso a). . . 52

38 Resultado experimental de la prueba de conteo de cajas del inciso b). . . 53

(10)

Lista de tablas

Tabla P ´agina

1 Porcentajes de cobertura del ´area de prueba con posiciones iniciales arbitrarias para 200 iteraciones. . . 31

2 Resultados num ´ericos de la prueba 0-1 de Gottwald-Melbourne. . . 33 3 Prueba de conteo de cajas para las condiciones iniciales del robot m ´ovil x0 = 0,

y0= 0. . . 36

4 Prueba de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovilx0= 0.01,y0 = 0. 37

5 Prueba de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovil x0 = 200,

y0= 400. . . 39

6 Resultados de b úsqueda y detecci ón de un objeto en diferentes posiciones y condi-ciones iniciales del robot m óvil:x0 = 0, y0= 0. . . 41

7 Resultados de b úsqueda y detecci ón de objeto con ubicaci ón fija (xobj = 0, yobj= 0)

y condiciones iniciales arbitrarias del robot m óvil diferencial. . . 41 8 Resultados de b úsqueda de objeto con ubicaci ón y condiciones iniciales arbitrarias

del robot m ´ovil diferencial. . . 44 9 Resultados de la prueba 0-1 de Gottwald-Melbourne para resultados experimentales. 51

10 Prueba de conteo de cajas para experimento de las condiciones iniciales del inciso a). . . 51

11 Prueba de conteo de cajas para experimento de las condiciones iniciales del inciso b)). . . 53 12 Prueba de conteo de cajas para experimento de las condiciones iniciales del inciso

(11)

Cap´ıtulo 1.

Introducc´ıon

En este cap´ıtulo se proporciona una introducci ón al estudio de los sistemas ca óticos, as´ı como el estado del arte y los objetivos generales y particulares de este trabajo de tesis. Se pretende dar al lector un panorama general de trabajos realizados en el pasado que involucran las propiedades de los sistemas ca óticos y su importancia, de manera que se comprenda el alcance y la relevancia de esta tesis.

Elcaoses un t érmino que ha acompa ñado a la humanidad desde el principio de su existencia. En el pensamiento popular, se asocia al caos con una situaci ón azarosa que, generalmente, deriva en infortunio. El diccionario de la Academia de la Lengua Espa ñoladefine al caos como “estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenaci ón del cosmos; tambi én lo define como confusi ón, desorden”.

La llamada teor´ıa de caos nace de la mano de matem áticos interesados en la vinculaci ón entre sistemas din ámicos y su topolog´ıa, como Jules Henri Poincar é y Stephen Smale; de f´ısicos de campos tan dispares como la meteorolog´ıa o la astronom´ıa, como Edward Lorenz y Michel H énon, respectivamente; de biologos estudiosos del crecimiento de poblaciones, como Robert May.

El estudio de la teor´ıa de caos r ápidamente se ha arraigado en la sociedad cient´ıfica en las últimas d écadas, al grado tal que se han creado diversas revistas cient´ıficas dedicadas al tema. Es una rama de las matem áticas que involucra el estudio de los sistemas din ámicos, los cuales se definen como un conjunto de elementos interconectados entre s´ı y destinados a cumplir una tarea espec´ıfica. Este conjunto de elementos describe un comportamiento cuya evoluci ón depende del tiempo, ya sea de forma expl´ıcita o impl´ıcita y de forma continua o discreta.

(12)

Por otra parte, la interacci ón entre la teor´ıa del caos y la rob ótica m óvil se estudi ó intensa-mente en la última d écada, debido a la riqueza de comportamientos din ámicos que caracterizan a los sistemas ca óticos. Las din ámicas ca óticas se pueden utilizar para guiar robots aut ónomos en exploraci ón de terrenos, vigilancia, b úsqueda, etc. La principal caracter´ıstica de los sistemas ca óticos que se aprovecha para lograr estos objetivos eficientemente, es la sensibilidad a las condiciones iniciales, la cual permitir á al robot adoptartrayectorias altamente impredecibles.

En condiciones adversas, la impredecibilidad en la trayectoria de un robot es muy importante. Se puede dise ñar una trayectoria ca ótica a un robot m óvil para que éste siga una secuencia de puntos generados de manera aleatoria o de manera ca ótica. En ambos casos, entidades enemigas (en el caso de patrullaje) no podr´ıan predecir la trayectoria futura, desconociendo las condiciones iniciales. Sin embargo, debido a su naturaleza determinista, el camino ca ótico representa una mejor opci ón. El motivo es que las entidades aliadas, conociendo las ecuaciones de estado y condiciones iniciales del sistema ca ótico, podr´ıan predecir esta trayectoria y tomar las decisiones pertinentes para realizar la tarea que se requiera llevar a cabo.

1.1. Antecedentes

Los estudios de comportamientos de b úsqueda de alimentos en grupos de animales (especial-mente de las hormigas), son de gran ayuda en la soluci ón de gran n úmero de problemas abier-tos, sobre todo de optimizaci ón. Recientemente, los bi ólogos han descubierto que las hormigas realizan actividades de b úsqueda de manera ca ótica, ver por ejemplo (Liet al., 2014), (Miramon-tes Vidal, 2000) y las referencias citadas dentro de este art´ıculo.

Tratando de imitar este comportamiento ca ótico, se han realizado diversos trabajos en el di-se ño de trayectorias ca óticas para robots m óviles. En la literatura podemos encontrar diferentes soluciones al problema en cuesti ón. Nehmzow y Walker (Nehmzow y Walker, 2003) estudiaron el comportamiento de los robots m óviles, aplicando algoritmos de evasi ón de obst áculos y segui-miento de paredes y observando cuantitativamente el movisegui-miento de estos. Concluyeron que el comportamiento de estos robots es ca ótico.

Nakamura y Sekiguchi en (Nakamura y Sekiguchi, 2001) desarrollaron un m étodo que integra las ecuaciones de movimiento del robot m óvil y el sistema din ámico de Arnold para definir un sistema de control de lazo abierto utilizando variables de estado del sistema ca ótico. De manera similar, Bae, Lee y Gatton (Baeet al., 2006) integraron los sistemas ca óticos deLorenz,Hamilton

(13)

Tambi én, se ha estudiado el caso donde la trayectoria del robot consiste en una serie de pun-tos generada ca óticamente. Volos, Kyprianidis y Stouboulos (Voloset al., 2012), utilizando TRBG ca ótico (True Random Bit Generator) crearon puntos de seguimiento de manera ca ótica para ser seguidos por el robot y miden el porcentaje del terreno recorrido por sus sistemas dividi éndolo en celdas y midiendo la cantidad de veces que cada una es visitada, mientras que Filho y Macau (Martins-Filhoet al., 2005) (Martins-Filho y Macau, 2007) utilizan el mapa est ándar (tambi én co-nocido como el mapa de Taylor-Chirikov) para generar los puntos. Filho (Martins-Filhoet al., 2004) implementa los resultados obtenidos al utilizar el sistema deLorenz en una simulaci ón del robot m óvil diferencial Khepera II.

Otro caso que se ha estudiado es cuando se requiere que el robot m óvil siga, de manera ca ótica, la frontera de un área predeterminada para misiones de patrullaje (Curiac y Volosencu, 2014). En este caso, se utiliza el mapa de H énon (adaptado utilizando transformaciones afines) para definir el movimiento ca ótico a trav és de la frontera.

De igual manera, se ha utilizado el mapa log´ıstico como un generador de n úmeros aleatorios en (Li et al., 2013) con el fin de definir la trayectoria del robot. En este caso, se mantiene la velocidad del robot constante, mientras que su direcci ón est á determinada por el mapa log´ıstico. Por otro lado, Lin y Huang (Linet al., 2009) combina los sistemas ca óticos concolmenas de abejas artificiales(artificial bee colonies) para el dise ño de trayectorias en robots m óviles.

1.2. Justificaci ´on

(14)

1.3. Hip ´otesis

Es posible generar trayectorias no predecibles con base en sistemas ca óticos, para robots m óviles tipo Khepera III en aplicaciones pr ácticas de detecci ón, b úsqueda y rescate eficiente.

1.4. Objetivos

Con la realizaci ´on de la presente tesis de maestr´ıa, se pretende alcanzar el siguiente objetivo general:

Dise ñar un algoritmo generador de trayectorias basadas en din ámicas ca óticas para robots m óviles tipo Khepera III con aplicaciones exploraci ón eficiente de terrenos inh óspitos, detec-ci ón r ápida de objetos peligrosos y rescate de victimas en cat ástrofes.

Objetivos particulares:

Seleccionar el sistema ca ótico apropiado para el dise ño de trayectorias en robots m óviles tipo Khepera III.

Realizar pruebas num éricas del comportamiento b ásico del modelo de robot m óvil diferencial tipo Khepera III.

Generar trayectorias basadas en din ámicas ca óticas para robot m óvil diferencial tipo Khepe-ra III.

Realizar aplicaciones en la exploraci ón eficiente de terrenos inh óspitos, detecci ón r ápida de objetos peligrosos o rescate de v´ıctimas en cat ástrofes.

Entre las contribuciones de este trabajo de tesis se encuentra el siguiente art´ıculo:

J. J. Cetina-Denis, A. Arellano-Delgado, A. L ópez-Parra, R. M. L ópez-Guti érrez, C. Cruz-Hern ández

Dise ño de trayectorias ca óticas en robots m óviles.

(15)

Ademas de la participaci ´on en el evento:

J. J. Cetina-Denis, A. L ópez-Parra, W. Pecasso-Rubio, E. Cos´ıo. Impartici ón del taller:Sincronizaci ón de robots m óviles.

INGENIUM - Sexto Simposium Internacional Regional de Ingenieria Industrial. Instituto Tecnol ´ogico Superior de Puerto Pe ˜nasco, Sonora. 12 - 15 de Abril 2016.

1.5. Organizaci ´on de la tesis

(16)

Cap´ıtulo 2.

Sistemas Ca ´

oticos

En este cap´ıtulo se presentan las propiedades m ás importantes que distinguen a los sistemas ca óticos. En particular, se describe el mapa ca ótico de H énon y las ecuaciones de estado que rigen su comportamiento din ámico. Se habla tambi én de los fractales, dando una definici ón de los mismos y sus caracter´ısticas.

Para el lector interesado en profundizar en el t ´opico de caos, se recomienda consultar, por ejemplo, las referencias (Moon, 2008), (Williams, 1997), (Gleick, 1988), (Bertuglia y Vaio, 2005) y (Hilbornet al., 1994).

2.1. Caracter´ısticas del caos

La teor´ıa de caos puede definirse como el estudio cualitativo del comportamiento din ámico aperi ódico mostrado por algunos sistemas deterministas no lineales. Puede observarse su mani-festaci ón en gran cantidad de sistemas naturales e ingenieriles.

Los sistemas ca ´oticos poseen caracter´ısticas que los identifican, algunas de ellas son las siguientes:

Presentan alta sensibilidad a las condiciones iniciales.

Son deterministas, con comportamiento aparentemente aleatorio.

Presentan transitividad topol ´ogica.

Presentan comportamientos oscilatorios, pero no peri ´odicos.

Alta sensibilidad a las condiciones inicialesimplica que el mismo sistema ca ´otico tendr ´a

evo-luciones temporales sumamente diferentes, a pesar de que ´estas partan de condiciones iniciales ligeramente diferentes. Esta caracter´ıstica es altamente deseable en robots de patrullaje, ya que ocasionar´ıa que la trayectoria generada ca ´oticamente del mismo seaaltamente impredecible.

(17)

Latransitividad topol ógicaimplica la existencia de valores de entrada en un sistema que, dadas ciertas iteraciones, pueden moverse entre diferentes conjuntos abiertos. Es debido a esta última propiedad, que se puede garantizar que un robot m óvil pueda recorrer un espacio cerrado de trabajo por completo. En la figura 1 se pueden apreciar estas propiedades en el sistema ca ótico de Chua, en especial la sensibilidad a las condiciones iniciales.

tiempo

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

voltaje

-3 -2 -1 0 1 2 3

Comparativo Chuas con diferentes Cond. Iniciales

Chua 1 Chua 2

(a)a) Serie de 0 a 50 unidades de tiempo.

tiempo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

voltaje

-3 -2 -1 0 1 2 3

Comparativo Chuas con diferentes Cond. Iniciales

Chua 1 Chua 2

(b)b) Serie de 0 a 18 unidades de tiempo.

Figura 1.Serie de tiempo del primer estado de dos circuitos de Chua con diferentes condiciones iniciales.

Tomando en cuenta las caracter´ısticas anteriormente mencionadas, podemos decir que un robot cuya trayectoria sea ca ótica ser á altamente impredecible para el observador externo, pero transparente para el dise ñador y para cualquier observador autorizado que tenga conocimiento de las ecuaciones de estado del sistema, los valores de los par ámetros y los valores iniciales utilizados para su dise ño. Tambi én ser´ıa sensible a las condiciones iniciales, que en el caso del robot m óvil ser´ıan las posiciones enxyyen las que este iniciar´ıa su recorrido.

Tambi én, se puede identificar a un sistema ca ótico por la presencia de un atractor extra ño, como el de la figura 2. De forma general, se puede decir que un atractor es una regi ón o conjunto cerrado en el espacio de fase, al cual convergen las trayectorias de un sistema, entendi éndo-se por trayectoria la evoluci ón temporal del sistema a partir de una condici ón inicial espec´ıfica (Mart´ınez-Clark, 2016). Por último, los sistemas ca óticos poseen al menos un exponente de Lya-punov positivo.

2.1.1. Mapa ca ´otico de H ´enon

(18)

Figura 2.Atractor de Lorenz.

un punto (xh(n), yh(n)) en el plano y lo mapea a un nuevo punto. Est ´a representado por las

siguientes ecuaciones de estado no lineales en diferencias (H ´enon, 1976):

xh(n+ 1) = 1−ax2h(n) +yh(n+ 1),

yh(n+ 1) =bxh(n).

(1)

El mapa depende de dos par ámetros ay b, los cuales, para el mapa cl ásico de H énon tiene valores dea= 1.4yb= 0.3. Para los valores cl ásicos, el mapa de H énon (1) es ca ótico. Para otros valores deaybel mapa puede presentar otras din ámicas, por ejemplo converger a un ciclo l´ımite o presentar un punto fijo. Una visi ón general del tipo de comportamiento del mapa de H énon en valores de par ámetros diferentes puede obtenerse de su diagrama de fase, ver figura 3.

2.2. Fractales

Siempre que un sistema manifiesta din ámica ca ótica, ésta aparece asociada con un tipo de objetos geom étricos caracterizados por su dimensi ón no entera, los objetos fractales. El t érmino

fractal fue acu ñado por el matem ático franc és de origen polaco Benoit Mandelbrot (Torres, 2005).

(19)

X (mm)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Y (mm)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

0.4 Mapa de Hénon

Figura 3.Atractor ca ´otico del mapa de H ´enon generado con 1000 iteraciones.

Figura 4.Fractal de Mandelbrot.

LaReal Academia Espa ˜noladefine a los fractales como “Figura plana o espacial, compuesta

(20)

manera que las secciones m ´as peque ˜nas son similares a las grandes (Torres, 2005).

Son muchas las entidades que presentan esta estructura, algunas son las galaxias, monta ñas, al igual que los bosques, tambi én las l´ıneas divisorias entre pa´ıses y las plumas de las aves (Barnsley, 2014). A manera de ejemplo, a trav és de los fractales se puede estudiar la forma de las nubes, o ¿es qu é son c´ırculos perfectos? cuando nos acercamos visualmente a una nube, observamos que est á formada por muchos fragmentos de nubes y estos fragmentos a su vez en otros y as´ı sucesivamente (D´ıas Brecia, 2009). Se puede considerar tambi én, la l´ınea que se forma en las costas, en donde se une la tierra con el mar, en gran escala se puede observar que la l´ınea divisoria esta formada por pen´ınsulas (entradas de tierra en el mar) y ensenadas (partes del mar que entran en la tierra) y a medida que la escala se hace m ás peque ña se observa que cada pen´ınsula y ensenada est án formadas por pen´ınsulas y ensenadas m ás peque ñas y, si se reduce a ún m ás la escala, se observa el mismo fen ómeno, ver figura 5.

(21)

Los fractales tienen tres propiedades definitorias (Torres, 2005):

Autosimilaridad. Sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo.

Autorreferencia. Determina que el propio objeto aparece en la definici ´on de s´ı mismo.

Dimensi ´on fraccionaria.

La primera propiedad se manifiesta en que las sucesivas ampliaciones del objeto fractal de cual-quier detalle de la misma son indistinguibles de los originales, es decir, son semejantes. La se-gunda propiedad implica que la forma de generar un fractal es mediante un algoritmo recurrente o regla de construcci ón. Por último, la dimensi ón fraccionaria alude al hecho de que los objetos fractales se encuentran en un espacio geom étrico de dimensi ón no entera (Torres, 2005).

Es posible encontrar objetos fractales en la naturaleza, por ejemplo, las hojas de los helechos, el br ócoli, copos de nieve, la corteza de los árboles y la coliflor, o el caso del helecho sint ético creado por computadora de Barnsley (figura 6). Adem ás de esto, es posible generarlos mediante algoritmos iterativos, como los generados por medio del m étodo de Julia (figura 7), los cuales se generan mediante un algoritmo computacional.

(22)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 20

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Figura 7.Fractal generado por el m ´etodo de Julia.

2.2.1. Dimensi ´on fraccionaria

Desde un punto de vista topol ógico sabemos que la circunferencia y un segmento rectil´ıneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie (pues es posible transformar una en la otra mediante una deformaci ón continua, es decir, sin que sea preciso someter a ninguna de las dos a manipulaciones “no topol ógicas”).

Ahora bien, desde un punto de vista m étrico no son la misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra el c´ırculo, son finitos y en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita.

Analicemos brevemente lo que significa la dimensi ón topol ógica, que es un t érmino que intro-dujo Henri Poincar é para discernir sobre cuestiones de este tipo. La definici ón inductiva dada por Poincar é al introducir este concepto fue la siguiente:

El conjunto vac´ıo tiene dimensi ´on –1.

(23)

As´ı, seg ´un Poincar ´e, se tiene:

Conjunto vac´ıo: Dimensi ´on topol ´ogica: D=-1.

Punto: Dimensi ´on topol ´ogica: D=0.

Segmento de l´ınea: Dimensi ´on topol ´ogica: D=1.

Cuadrado: Dimensi ´on topol ´ogica: D=2.

Cubo: Dimensi ´on topol ´ogica: D=3.

Hipercubo: Dimensi ´on topol ´ogica: D=4.

Una definici ón distinta de dimensi ón topol ógica es la definici ón por semejanza, llamada tam-bi én deautosemejanza, que sugiri ó Felix Hausdorff en 1919 (Hausdorff, 1919), readaptada pos-teriormente por Besicovich (dimensi ón de Hausdorff-Besicovich) (Besicovitch, 1929):

Si al obtener desde un enteH,N entes iguales, semejantes al original, con raz ´on de

seme-janzal, entonces la dimensi ón topol ógica deHes el n úmero realDque verifica,

N +lD = 1. (2)

Es decir,

D= log(N)

log1_l . (3)

La dimensi ón topol ógica en el sentido de Poincar é coincide en general con la dimensi ón por se-mejanza de Hausdorff-Besicovich. Pero hay ciertos objetos geom étricos en los que no ocurre as´ı. A estos objetos geom étricos los denominaremos, usando la terminolog´ıa de Benoit Mandelbrot, fractales. Diremos que la dimensi ón definida por Poincar é o Devlin es su dimensi ón topol ógica, la cual siempre es un entero y que la dimensi ón por semejanza de Hausdorff-Besicovich es su

Dimensi ´on Fraccionaria, la cual ser ´a utilizada en cap´ıtulos posteriores de este trabajo de tesis.

2.3. Aplicaciones de la teor´ıa del caos en la ingenier´ıa

(24)

En los casos presentados hasta este momento, el papel de la teor´ıa del caos es el de explicar un fen ómeno que se presenta naturalmente, el cual no puede ser entendido por t écnicas conven-cionales. La mayor´ıa de estas aplicaciones involucran el an álisis de series de datos obtenidos en los experimentos para buscar por ejemplo, un atractor extra ño o calcular la dimensi ón fraccionaria y los exponentes de Lyapunov positivos.

En el caso de la ingenier´ıa, se aprovechan las caracter´ısticas ca óticas de algunos sistemas para crear caos y aplicarlo por ejemplo a las comunicaciones seguras, el dise ño de antenas o la planeaci ón de trayectorias. A continuaci ón se presentan algunos casos en los que se aplica la teor´ıa del caos en sistemas de ingenier´ıa.

Dise ño de radares. La baja predictibilidad, caracter´ıstica de los sistemas ca óticos, es desea-ble en el dise ño de antenas. La teor´ıa del caos se utiliza para procesar la se ñal de regreso, generar c ódigos binarios, implementar sistemas codificados e implementar radares de se ñal ruidosa (NSR por sus siglas en ingl és). Ejemplo de esto se puede encontrar en (Liu et al., 2007) y (Lin y Liu, 2004).

Control de movimiento en robots m óviles. Los sistemas ca óticos, aplicados a la rob ótica m óvil, son utilizados para guiar robots aut ónomos para exploraci ón de terrenos, vigilancia, b úsqueda y desactivaci ón de bombas. Existen trabajos que reportan todo tipo de resultados, tanto num éricos como experimentales, empleando diversas metodolog´ıas. Algunos ejemplos se pueden encontrar en (Voloset al., 2012) y (Zhu y Leung, 2007).

Sistemas de comunicaciones seguras. En este caso, la sensibilidad a las condiciones

iniciales y la “semejanza al ruido” de los sistemas ca óticos permite el cifrado de mensajes para su env´ıo por canales p úblicos. La ventaja principal es la baja probabilidad de decodifi-caci ón del mensaje en caso de intercepci ón. Ejemplos de estas aplidecodifi-caciones las podemos encontrar en (Cruz-Hern ández, 2004), (Cruz-Hern ández y Romero-Haros, 2008), (G ámez-Guzm án et al., 2009), (Trejo-Guerraet al., 2009), (Stavrinides et al., 2009) y (Cuomoet al., 1993),

Dise ño de antenas fractales. La evoluci ón de los sistemas de comunicaci ón obligan a los

(25)

2.4. Conclusiones del cap´ıtulo

(26)

Cap´ıtulo 3.

Robot M ´

ovil Diferencial

En este cap´ıtulo se describe de manera general el robot m óvil diferencial, mencionando sus caracter´ısticas y las ecuaciones matem áticas que describen su comportamiento din ámico. Se habla en particular del robot m óvil diferencial Khepera III, el cual ser á utilizado para la validaci ón experimental de este trabajo.

3.1. Modelo matem ´atico del robot diferencial

Un robot m óvil diferencial es aquel cuyo desplazamiento est á basado en dos ruedas de tracci ón independientes colocadas en ambos lados del cuerpo del robot, ver figura 8. El movimiento se consigue aplicando velocidades a cada una de las ruedas motrices. De esta forma, podemos hacer que el robot avance en l´ınea recta fijando ambos motores a la misma velocidad, puede girar en una u otra direcci ón aplicando velocidades diferentes, y haci éndolas girar en sentido inverso una rueda respecto a la otra, el robot girar á sobre su eje.

Figura 8.Vista superior de un robot m ´ovil diferencial.

En el trabajo (Suster, 2010) se reporta un modelo matem ´atico para un robot m ´ovil diferencial, tomando en cuenta las siguientes consideraciones, ver figura 8:

El robot se mueve en una superficie perfectamente plana sin deslizamiento, despreciando la resistencia de las llantas.

(27)

La posici ón y la rotaci ón del robot en el plano est án basadas en las siguientes ecuaciones, formando el modelo cinem ático del robot (Kumar-Malu y Majumdar-Jharna, 2014):

˙

x=vcos(θ),

˙

y=vsen(θ),

˙ θ=ω,

(4)

conv yω definidas como:

v= vl+vr

2 ,

ω = vr−vl l ,

(5)

donde:

v: Velocidad lineal del robot m óvil. ω: Velocidad angular del robot m óvil. θ: Ángulo de orientaci ón del robot m óvil. l: Distancia entre las ruedas.

vr: Velocidad de la rueda derecha.

vl: Velocidad de la rueda izquierda.

Despejandovlyvrde la ecuaci ´on (5) obtenemos:

vl =v−(l∗ω),

vr =v+ (l∗ω).

(6)

Estas ecuaciones (6) ser án útiles para realizar las simulaciones num éricas reportadas en seccio-nes y cap´ıtulos posteriores de la tesis.

3.1.1. Simulaci ´on de movimientos b ´asicos

Utilizando el programa Matlab se realizaron simulaciones del modelo matem ´atico (con las ecuaciones (4) y (6)) del robot m ´ovil diferencial para tres casos:

(28)

b)vl = 10mm/s,vr= 20mm/syl= 88.41mm.

c)vl= 20mm/s,vr= 20mm/syl= 88.41mm.

Estas velocidades se ingresan al modelo matem ático mostrado en la ecuaci ón (4) por medio de (5). En la figura 9 se muestran los resultados de estas simulaciones num éricas. Se puede apreciar que el robot m óvil diferencial (ecuaciones (4)-(6)), se comporta seg ún lo descrito al inicio de la secci ón 3.1.

x (mm)

-300 -200 -100 0 100 200 300

y (mm)

-500 -400 -300 -200 -100 0

(a)vl= 20mm/syvr= 10mm/s.

x (mm)

-300 -200 -100 0 100 200 300

y (mm)

0 100 200 300 400 500

(b)vl= 10mm/syvr= 20mm/s.

X (mm)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Y (mm)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(c)vl= 20mm/syvr= 20mm/s.

(29)

(30)

Cap´ıtulo 4.

Resultados

En este cap´ıtulo se describe el proceso realizado para llevar a cabo la generaci ón de trayecto-rias no predecibles con base en sistemas ca óticos para robots m óviles diferenciales. Se describe el algoritmo propuesto y las consideraciones que se tomaron para elaborarlo. Se muestran resul-tados num éricos de algunas aplicaciones, as´ı como un an álisis de éstos para poder determinar si las trayectorias generadas en el robot son efectivamente ca óticas y si presentan las propiedades deseadas del caos en ellas.

4.1. Algoritmo generador de trayectorias ca ´oticas

Para lograr la generaci ón de trayectorias ca óticas en el robot m óvil diferencial, en esta tesis se propone el dise ño del siguiente algoritmo (ver figura 10) tanto para las simulaciones num éricas como para el proceso experimental.

Figura 10. Diagrama a bloques del algoritmo implementado para la generaci ´on de trayectorias ca ´oticas

(31)

Las ecuaciones correspondientes a las etapas del diagrama de bloques de la figura 10 son las siguientes:

Paso 1 x0: Posici ´on inicialxdel robot m ´ovil,

y0: Posici ´on inicialydel robot m ´ovil,

xh(0) =x(0)/1000,

yh(0) =y(0)/1000,

n= 0.

Paso 2 xh(n+ 1) = 1−axh2(n) +yh(n),

yh(n+ 1) =bxh(n).

Paso 3 v(n) =xh(n+ 1),

ω(n) =yh(n+ 1).

Paso 4 vl=v(n)−(lω(n)),

vr=v(n) + (lω(n)).

Paso 5 vdl=f loor(((100vl)−f loor(100vl))180) + 20,

vdr=f loor(((100vr)−f loor(100vr))180) + 20.

Paso 6 t= 2segundos.

El proceso seguido por el algoritmo generador de trayectorias ca óticas propuesto es el siguien-te: En el paso 1 se toman las condiciones iniciales del robot m óvil diferencial en el planox-yy las utiliza como condiciones iniciales para el mapa de H énon (ecuaci ón (1)). El motivo de la divisi ón por 1000 es dar mayor énfasis en la sensibilidad a las condiciones iniciales. Por ejemplo, si el robot comienza en la posici ón(x0, y0) = (1,1)mm, las condiciones iniciales del mapa ca ótico de H énon

ser ´anxh(0) = 0.001yyh(0) = 0.001.

Con las condiciones iniciales obtenidas, en el paso 2 se calculan los valores actuales de los estados del mapa ca ótico de H énon (iteraci ónn), los cuales se asignan a las velocidades lineal y angular en el paso 3. De esta manera, los estados del mapa de H énon influyen en su totalidad en el comportamiento de las velocidades del robot m óvil diferencial.

Posteriormente, en el paso 4, se calculan las velocidades de las ruedas izquierdavly derecha

(32)

paso 5 se realiza la dispersi ón de los datos de manera homog énea obteniendo los histogramas mostrados en la figura 12. Esta dispersi ón nos permite realizar un escalamiento de los datos para ajustar las velocidades obtenidas a los valores m áximos y m´ınimos soportados por el robot m óvil diferencial. A estas velocidades dispersas las llamaremosvdlyvdr.

Velocidades de la rueda izquierda (mm/s)

-150 -100 -50 0 50 100 150

R e p e tic io n e s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100 Histograma de velocidades

(a)Izquierda.

Velocidades de la rueda derecha (mm/s)

-150 -100 -50 0 50 100 150

R e p e tic io n e s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

(b)Derecha.

Figura 11.Histogramas de velocidades de las ruedas izquierdavly derechavr.

Velocidades de la rueda izquierda (mm/s)

40 60 80 100 120 140 160 180 200

R e p e tic io n e s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

(a)Izquierda.

Velocidades de la rueda derecha (mm/s)

40 60 80 100 120 140 160 180 200

R e p e tic io n e s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

(b)Derecha.

Figura 12.Histogramas resultantes con dispersion de velocidades lineales de las ruedas izquierdavdly

derechavdr.

(33)

Despejando las velocidades de las ruedas izquierda (vl) y derecha (vr) del sistema de

ecua-ciones (5), descrito en la secci ´on 3.1, obtenemos los histogramas mostrados en la figura 11. Se puede observar que los valores devlson mayormente negativos y que los devrson

principalmen-te positivos, lo cual es indicio de que las trayectorias del robot se basar ´an principalmenprincipalmen-te en giros cerrados hacia la izquierda. Debido a esto, a los valores devl yvr se les realiza una dispersi ´on

de manera que el histograma de las velocidades de las ruedas sea uniforme, como se mostr ó en la figura 12. Adem ás, la dispersi ón permite realizar un re-escalamiento de los valores a un rango utilizable por el robot m óvil diferencial, limitando sus velocidades m´ınimas y m áximas que puede alcanzar.

Intencionalmente el rango de velocidades no incluye velocidades negativas, de manera que el robot no se mueva en reversa, as´ı, la trayectoria generada abarcar ´a una mayor ´area de cobertura en menor tiempo.

Al realizar las simulaciones num éricas del algoritmo, realizando 20 iteraciones del mismo, ob-tenemos un resultado mostrado en la figura 13. La linea de colores representa la trayectoria ge-nerada, donde cada color representa un segmento de la trayectoria recorrida por el robot m óvil, generado por cada iteraci ón del algoritmo.

Posicion en X (mm)

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Posicion en Y (mm)

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Figura 13.Trayectoria ca ´otica del robot m ´ovil generada por el algoritmo propuesto paran= 20.

(34)

aplica-ci ón real existen l´ımites f´ısicos (muros, puertas, obst áculos, etc.) que impiden un movimiento libre del robot. El siguiente paso es determinar una superficie de trabajo en la que el robot desempe ñe su trayectoria. El área de trabajo elegida es una mesa que se encuentra en elLaboratorio de

Sin-cronizaci ´on y Sistemas Complejos(Departamento de Electr ´onica y Telecomunicaciones, CICESE)

de 900 mm de ancho por 1500 mm de largo que cuenta con bordes de 35 mm de altura. La mesa se muestra en la figura 14.

Figura 14.Delimitaci ´on del ´area de trabajo, mesa de 900 mm de ancho por 1500 mm de largo. Laboratorio

(35)

El objetivo es que el robot m óvil diferencial se desplace sobre la superficie de esta mesa de manera ca ótica. El robot debe cambiar su trayectoria cuando llega a alguno de los l´ımites del área de trabajo (bordes de la mesa) para evitar colisionar con ellos. En este caso, se adopta un movimiento reflexivo. Cuando el robot sensa una aproximaci ón a uno de estos l´ımites, el robot cambia su direcci ón de movimiento siguiendo la estrategia mostrada en la figura 15. Es decir, toma una trayectoria de salida en un ángulo α que refleja el de entrada, donde α es el ángulo formado entre el frente del robot m óvil y el borde el área de trabajo.

Figura 15.Estrategia reflexiva de evasi ´on de bordes del robot m ´ovil diferencial.

Tomandoθecomo el ´angulo de entrada formado entre el frente del robot m ´ovil y el eje horizontal

tenemos:

α =θe, (7)

Por lo tanto, el ángulo de salidaθsdel robot m óvil ser á:

θs= 270 +α. (8)

De manera similar se realiza la operaci ´on para todos los l´ımites del ´area de trabajo.

4.2. Resultados num ´ericos

(36)

10), as´ı como diferentes pruebas que nos indican, entre otras cosas, el porcentaje de cobertu-ra del ´area de tcobertu-rabajo realizada por el robot m ´ovil diferencial al seguir la tcobertu-rayectoria genecobertu-rada y determinar si existe o no caos en ellas.

4.2.1. Simulaciones

Una vez considerados los l´ımites del área de trabajo, se realizaron simulaciones num éricas del algoritmo generador de trayectorias ca óticas propuesto en esta tesis. Iniciando la trayectoria del robot m óvil diferencial en el origen(x0, y0, θ0) = (0,0,0°), se realizan simulaciones num éricas del

algoritmo generador de trayectorias ca ´oticas para 10, 100, 300 y 500 iteraciones.

El cuadro en negro representa los l´ımites del área de trabajo (mesa en el laboratorio) descrita anteriormente (figura 14). En las trayectorias del robot m óvil, cada color representa un lapso de tiempo de dos segundos durante el cual, el robot utiliza las velocidades obtenidas del mapa ca ótico de H énon, esto por cada iteraci ón antes de pasar a las siguientes.

En la figura 16 se aprecia que la trayectoria del robot es impredecible y que con 300 iteraciones cubre (patrulla) gran parte del ´area de trabajo.

(37)

Posicion en x (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n y (m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

(a)10 iteraciones.

Posicion en x (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n y (m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

(b)100 iteraciones.

Posicion en x (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n y (m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

(c)300 iteraciones.

Posicion en x (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n y (m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

(d)500 iteraciones.

Figura 16.Trayectoria del robot m ´ovil con las mismas condiciones iniciales (x0, y0) = (0,0) y diferente n ´umero de iteraciones: a) 10 iteraciones, b) 100 iteraciones, c) 300 iteraciones y d) 500 iteraciones.

Por otra parte, se realiza la simulaci ´on utilizando tres diferentes posiciones iniciales (en mil´ıme-tros) con la misma orientaci ´on(θ0 = 0°) en los casos a) x0 = 0, y0 = 0; b)x0 = 0.01, y0 = 0 y

c) x0 = 200, y0 = 400. Para cada caso, se realizan 100 iteraciones del algoritmo con el fin de

comparar las trayectorias generadas por estas condiciones iniciales. Los resultados se muestran en la figura 17.

(38)

Posicion en x (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

(a)x0= 0, y0= 0, θ0= 0°.

Posicion en x (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

(b)x0= 0.01, y0= 0, θ0= 0°.

Posicion en x (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

800 Trayectoria Generada

(c)x0= 200, y0= 400, θ0= 0°.

Figura 17. Trayectorias generadas por el robot diferencial para diferentes condiciones iniciales con 100

iteraciones.

4.2.2. Porcentaje de cobertura del ´area de trabajo

Para poder estimar el área de trabajo cubierta por las trayectorias ca óticas impuestas al robot m óvil, se dividi ó el área de trabajo en una cuadr´ıcula de 12x20 (240) cuadros con medidas latera-les de76.66mm, esto para tener una idea m ás precisa de la efectividad de cobertura del algoritmo propuesto en aplicaciones a tareas de exploraci ón o b úsqueda.

En la figura 18 se muestra el porcentaje de cobertura del área de prueba por el robot m óvil diferencial para 100, 200 y 300 iteraciones del algoritmo, cuando las condiciones iniciales son x0 = 0, y0 = 0, θ0 = 0°. Podemos observar que apenas con 100 iteraciones el robot patrulla m ás

(39)

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

800 Porcentaje de area cubierta: 77.9167

(a)

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(b)

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(c)

Figura 18.Porcentajes del ´area de trabajo cubiertas por el robot m ´ovil diferencial para a) 100, b) 200 y c) 300 iteraciones.

(40)

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(a)x0= 138.4283, y0= 331.0927, θ0= 0°.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(b)x0=−251.5774, y0= 233.6135, θ0= 0°.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(c)x0= 89.5882, y0=−438.6047, θ0= 0°.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(d)x0= 26.7410, y0=−59.0445, θ0= 0°.

Figura 19.Porcentajes del ´area de trabajo cubiertas por el robot m ´ovil diferencial para diferentes condicio-nes iniciales arbitrarias para 200 iteraciocondicio-nes.

En la tabla 1 se reportan los porcentajes de cobertura por el robot m ´ovil diferencial obtenidos en 10 trayectorias diferentes generadas con condiciones iniciales elegidas arbitrariamente.

(41)

Tabla 1.Porcentajes de cobertura del ´area de prueba con posiciones iniciales arbitrarias para 200 iteracio-nes.

Porcentajes de ´area de cobertura

xo yo % de ´area de cobertura

168.8192 −140.1049 89.1667

89.9301 −427.4573 92.9167

135.4415 −608.6173 97.0833

−250.7693 −589.9773 93.7500

−412.5814 420.4952 92.5000

125.3458 −237.7700 95.0000

355.1998 −605.2201 97.0833

−105.1301 −153.9740 94.1667

188.9651 383.7599 91.2500

−98.9724 190.2068 90.4167

4.2.3. Prueba 0-1 Gottwald-Melbourne para determinaci ´on de caos de la trayectoria del robot m ´ovil

Para comprobar que las trayectorias generadas por el algoritmo propuesto en esta tesis pa-ra el robot, son efectivamente ca óticas, utilizamos la prueba 0-1 Gottwald-Melbourne (Gottwald y Melbourne, 2004). Ellos describen una prueba para determinar si un sistema din ámico deter-minista discreto es ca ótico o no. Al contrario del m étodo usual de calcular el m áximo exponente de Lyapuov, este m étodo se aplica directamente a la serie de tiempo y no requiere reconstruc-ci ón espareconstruc-cio-fase. Adem ás, la dimensi ón del sistema din ámico y la forma de sus ecuareconstruc-ciones son irrelevantes.

La entrada son los datos de la serie de tiempo y la salida se encuentra en el rango entre 0

y 1, dependiendo si la din ámica es ca ótica o no, siendo0 no ca ótica y 1 totalmente ca ótica. La prueba se aplica a cualquier sistema din ámico determinista, ver detalles de la prueba en (Gottwald y Melbourne, 2004).

Para realizar la prueba se ejecutan 1000 iteraciones del algoritmo generador de trayectorias ca ´oticas al robot m ´ovil con 3 condiciones iniciales diferentes: a)x0 = 0, y0= 0; b)x0= 0.01, y0 = 0

y c)x0 = 200, y0 = 400, que son las mismas que se mostraron en la figura 17. De igual manera,

en los tres casos tenemos un ´angulo inicial(θ0 = 0°). Tomando en consideraci ´on los datos de las

(42)

algoritmo.

Iteración

0 100 200 300 400 500 600

P o si ci o n d e l e je x (m m ) -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

500 Evolución en el tiempo del estado x

(a)Serie de tiempo dex.

Iteración

0 100 200 300 400 500 600

P o si ci o n d e l e je y (m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

800 Evolución en el tiempo del estado y

(b)Serie de tiempo dey.

Figura 20.Series de tiempo resultantes con condiciones inicialesx0= 0, y0= 0.

Iteración

0 100 200 300 400 500 600

Iteración

0 100 200 300 400 500 600

Figura 21.Series de tiempo resultantes con condiciones inicialesx0= 0.01, y0= 0.

Iteración

0 100 200 300 400 500 600

Iteración

0 100 200 300 400 500 600

Figura 22.Series de tiempo resultantes con condiciones inicialesx0= 200, y0= 400.

(43)

series de tiempo son efectivamente ca ´oticas.

Tabla 2.Resultados num ´ericos de la prueba 0-1 de Gottwald-Melbourne.

Resultados de la prueba 0-1 de Gottwald-Melbourne Condiciones iniciales Valor de la prueba

obtenido parax

Valor de la prueba obtenido paray x0 = 0, y0 = 0, θ0 = 0° 0.9968 0.9703

x0= 0.01, y0 = 0, θ0 = 0° 0.9963 0.9665

x0= 200, y0 = 400, θ0 = 0° 0.9952 0.9430

Al realizar un promedio de los resultados obtenidos de esta prueba para 100 trayectorias ge-neradas por condiciones iniciales elegidas arbitrariamente del robot m óvil diferencial, obtenemos valores para el eje x de 0.9982 y para el eje y de 0.9733. En la siguiente subsecci ón se repor-tar á otra prueba m ás de la existencia de caos en estas trayectorias.

4.2.4. Prueba de conteo de cajas (“Box-Counting”)

La geometr´ıa fractal provee un modelo matem ático para muchos objetos complejos encon-trados en la naturaleza (Mandelbrot, 1983), tales como costas, monta ñas y nubes. Estos objetos son demasiado complejos para poseer medidas t´ıpicas y ser descritos por la geometr´ıa tradicional euclidiana. Como se mencion ó en la secci ón 2.2, la autosimilaridad es una propiedad esencial de los fractales en la naturaleza y puede ser cuantificada por ladimensi ón fraccionaria.

(44)

(Foroutan-Pouret al., 1999) est ´a dada por

log(N(l)) = log(K) +Dlog(1

l) (9)

DondeK es una constante yN(s)es proporcional a 1_l−D (Mandelbrot, 1983). DespejandoD de (9) obtenemos la siguiente expresi ´on,

D= log(N(l))

log1_l . (10)

Para realizar esta prueba, retomamos la cuadr´ıcula realizada en la secci ón 4.2.2, la cual fue utilizada para calcular el porcentaje de área cubierta por las trayectorias del robot m óvil generadas por el algoritmo dise ñado en este trabajo de tesis. El tama ño de la cuadr´ıcula con l = 1, se tomar á para el caso en el que el largo del área de trabajo (recordamos que las dimensiones del área de prueba son 900 x 1500 mm) es igual a la longitud de un cuadro de la cuadr´ıcula. Comenzamos con cuadros de tama ño l = 0.111, las cuales se ir án reduciendo hasta obtener cuadr´ıculas muy peque ñas de tama ñol= 0.0200.

Como primera prueba se toma la trayectoria del robot m ´ovil generada por las condiciones iniciales x0 = 0, y0 = 0y θ0 = 0. En la figura 23 se muestran los porcentajes de ´area cubierta

(45)

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(a)135 cuadros del= 0.0667.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(b)375 cuadros del= 0.0400.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(c)735 cuadros del= 0.0286.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

P o si ci o n e n Y ( m m ) -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(d)1500 cuadros del= 0.0200.

Figura 23.Porcentajes de cobertura para diferentes tama ˜nos de cuadro.

(46)

Tabla 3.Prueba de conteo de cajas para las condiciones iniciales del robot m ´ovilx0= 0,y0= 0.

Datos para la prueba de conteo de cajas N l log(N) log(1_l) D 59 0.1000 4.0775 2.3026 1.7709 81 0.0833 4.3944 2.4849 1.7685 108 0.0714 4.6821 2.6391 1.7742 129 0.0667 4.8598 2.7081 1.7946 164 0.0588 5.0999 2.8332 1.8000 194 0.0526 5.2679 2.9444 1.7891 223 0.0500 5.4072 2.9957 1.8050 262 0.0455 5.5683 3.0910 1.8014 303 0.0417 5.7137 3.1781 1.7979 337 0.0400 5.8201 3.2189 1.8081 378 0.0370 5.9349 3.2958 1.8007 421 0.0345 6.0426 3.3673 1.7945 457 0.0333 6.1247 3.4012 1.8007 510 0.0313 6.2344 3.4657 1.7989 557 0.0294 6.3226 3.5264 1.7929 601 0.0286 6.3986 3.5553 1.7997 643 0.0270 6.4661 3.6109 1.7907 700 0.0256 6.5511 3.6636 1.7882 740 0.0250 6.6067 3.6889 1.7910 792 0.0238 6.6746 3.7377 1.7858 848 0.0227 6.7429 3.7842 1.7819 885 0.0222 6.7856 3.8067 1.7826 943 0.0213 6.8491 3.8501 1.7789 993 0.0204 6.9007 3.8918 1.7731 1048 0.0200 6.9546 3.9120 1.7778

Al graficarlog(N(s))contralog(1_l)y realizar la regresi ´on lineal a los datos mostrados obtene-mos la figura 24. Se puede apreciar un comportamiento muy similar al de la recta dada por la ecuaci ´ony= 1.7815x+ 0.0276.

(47)

log(1/l)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

log(N)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados Numéricos y = 1.7815 + 0.0276

Figura 24.Resultado de la prueba de conteo de cajas para las condiciones inicialesx0= 0,y0= 0.

En el caso de la trayectoria del robot m ´ovil generada por las condiciones inicialesx0 = 0.01,

y0= 0yθ0 = 0°, consideramos ahora 12 valores dely medimos los valores correspondientes de

log(N),log(1_l)yD. Los valores obtenidos se reportan en la tabla 4.

Tabla 4.Prueba de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovilx0= 0.01,y0= 0.

(48)

La figura 25 nos muestra la gr áfica delog(N(s))contralog(1_l). Al realizar la regresi ón lineal a los datos mostrados obtenemos la ecuaci ón de la rectay = 1.7761x−0.0831, lo cual comprueba que la trayectoria descrita por el robot a partir dex0 = 0.01,y0 = 0yθ0 = 0° tiene unadimensi ón fractal y por lo tanto esca óticatambi én.

log(1/l)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

log(N)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados Numéricos y = 1.7761 - 0.0831

Figura 25.Resultado de la prueba de de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovilx0 =

0.01,y0= 0.

Por ´ultimo, realizamos la prueba de conteo de cajas para la trayectoria descrita por el robot generada por las condiciones inicialesx0 = 200,y0 = 400 yθ0 = 0°. los resultados obtenidos se

muestran en la tabla 5

Finalmente, la gr áfica de log(N(s)) contra log(1_l) se muestra en la figura 26. Al realizar la regresi ón lineal a los datos obtenemos la ecuaci ón de la recta y = 1.7729x −0.0048, lo cual comprueba que la trayectoria descrita por el robot m óvil esca óticatambi én.

(49)

Tabla 5.Prueba de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovilx0= 200,y0= 400.

Datos para la prueba de conteo de cajas N l log(N) log(1_l) D 83 0.0833 4.4188 2.4849 1.7783 127 0.0667 4.8442 2.7081 1.7888 187 0.0526 5.2311 2.9444 1.7766 247 0.0455 5.5094 3.0910 1.7824 318 0.0400 5.7621 3.2189 1.7901 391 0.0345 5.9687 3.3673 1.7726 473 0.0313 6.1591 3.4657 1.7771 566 0.0286 6.3386 3.5553 1.7828 651 0.0256 6.4785 3.6636 1.7684 723 0.0238 6.5958 3.7377 1.7647 833 0.0222 6.7250 3.8067 1.7666 915 0.0204 6.8189 3.8918 1.7521

log(1/l)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

log(N)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados Numéricos y = 1.7729 x - 0.0048

Figura 26.Resultado de la prueba de conteo de cajas para condiciones iniciales del robot m ´ovilx0= 200,

y0= 400.

4.2.5. Simulaci ón: Aplicaci ón a b úsqueda y detecci ón de objetos

(50)

Para alcanzar este objetivo, se coloc ó un objeto en el área de trabajo con ubicaci ón en el plano (xobj, yobj) elegida de manera arbitraria y se almacen ó la informaci ón referente al tiempo que tarda

el robot m ´ovil diferencial en encontrarlo (como se muestra en la figura 27). El robot inicia su curso normal en las mismas condiciones iniciales (x0 = 0, y0= 0, θ0 = 0°) para todos los casos.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

800 Objeto encontrado en 117.96 segundos

(a)xobj= 411.4503, yobj=−19.0117.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(b)xobj=−70.4148, yobj= 540.4562.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(c)xobj= 262.9866, yobj= 597.3402.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(d)xobj= 218.8192, yobj=−140.1049.

Figura 27.Resultados de b ´usqueda y detecci ´on de objetos para diferentes posiciones del objeto y

condi-ciones iniciales del robot m ´ovil:x0= 0, y0= 0.

(51)

Tabla 6.Resultados de b úsqueda y detecci ón de un objeto en diferentes posiciones y condiciones iniciales del robot m óvil:x0= 0, y0= 0.

Resultados de b úsqueda de objetos en el área de trabajo x_obj y_obj Tiempo de detecci ón (s)

185.4415 −608.6173 131.79

−362.5814 420.4952 90.37

188.4283 331.0927 67.37

139.5882 −438.6027 126.85

−342.9021 −2.1267 48.06

413.7696 −207.4986 119.36

390.6096 −481.1219 134.85

−304.0359 382.5699 79.74

−243.9207 537.3386 81.25

285.5729 479.3031 98.07

Al realizar 1000 repeticiones del algoritmo se obtuvo que, en promedio el robot m ´ovil diferencial tarda96.94segundos en encontrar el objeto ubicado en el ´area de trabajo.

De igual manera, se realiz ó la simulaci ón para el caso en el que el robot inicia su recorrido con condiciones iniciales elegidas de manera arbitraria y el objeto a encontrar se mantiene en la misma posici ón (xobj= 0, yobj = 0) para todos los casos, como se muestra en la figura 28.

En la tabla 7 se reportan los resultados obtenidos para 10 repeticiones del algoritmo generador de trayectorias ca ´oticas del robot m ´ovil diferencial.

Tabla 7.Resultados de b úsqueda y detecci ón de objeto con ubicaci ón fija (xobj = 0, yobj = 0) y condiciones iniciales arbitrarias del robot m óvil diferencial.

Resultados de b úsqueda de objetos en el área de trabajo x0 y0 Tiempo de detecci ón (s)

143.2002 −66.0764 60.86

28.1356 −55.7375 71.19

360.4146 478.5965 139.4

−264.2510 522.1088 134.33

188.2259 −478.4909 105.25

−67.3158 209.8807 52.8

−260.41767 −403.4963 84.11

−16.4184 −363.1242 38.76

−177.7508 −465.6737 70.1

(52)

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(a)x0=−33.2616, y0=−433.0473, θ0= 0°.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(b)x0= 378.1495, y0=−376.6018, θ0= 0°.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(c)x0=−246.0532, y0= 538.8058, θ0= 0°.

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(d)x0=−401.6753, y0= 278.7064, θ0= 0°.

Figura 28. Resultado de b úsqueda y detecci ón de un objeto con ubicaci ón fija (xobj = 0, yobj = 0) y

condiciones iniciales arbitrarias del robot m ´ovil diferencial en el ´area de trabajo.

Al repetir el proceso 1000 veces, se obtuvo un promedio de84.77segundos para encontrar el objeto por el robot m ´ovil diferencial en el ´area de trabajo en este escenario.

Por ´ultimo, en la figura 29 se muestran resultados de la simulaci ´on para el caso en que tanto el robot como el objeto a encontrar inician en posiciones arbitrarias.

(53)

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(a)(x0 = −127.9422,y0 =−59.8161,θ0 = 0°),(xobj =

120.2790, yobj=−127.5524).

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(b)(x0 =−65.9902,y0 =−315.9654,θ0 = 0°),(xobj =

−365.3393, yobj= 431.2903).

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(c) (x0 = 415.3020,y0 =−567.6080,θ0 = 0°),(xobj =

−95.3034, yobj= 100.2629).

Posicion en X (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Posicion en Y (mm)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

(d)(x0 =−274.3342,y0 = 516.9683,θ0 = 0°),(xobj =

197.4907, yobj = 522.6123).

Figura 29.Resultado de b úsqueda y detecci ón de objeto con ubicaci ón arbitraria y condiciones iniciales

arbitrarias del robot m ´ovil diferencial en el ´area de trabajo.

(54)

Tabla 8.Resultados de b úsqueda de objeto con ubicaci ón y condiciones iniciales arbitrarias del robot m óvil diferencial.

Resultados de b ´usqueda de objetos en el ´area de trabajo

x0 robot y0robot xobj objeto yobj objeto Tiempo de detecci ´on (s)

−345.6779 631.4614 89.2485 491.3595 120.84

156.0968 −478.5885 −443.4993 −364.0416 39.52

−124.0528 1601.3787 183.9127 −129.6489 81.29

−78.6440 265.1067 −371.1880 −317.6409 97.93

243.1153 417.6995 −176.1055 580.0826 195.55

83.3384 −636.1013 −346.6957 −385.6962 68.1

269.0843 339.0313 179.8035 −352.1774 97.55

187.9034 −121.6191 −143.3225 −349.6585 81.28

−264.2920 653.5212 2177.7217 −509.8866 165.04

38.1595 −644.3030 −265.7645 −597.3148 104.53

(55)

Cap´ıtulo 5.

Implementaci ´

on experimental

En este cap´ıtulo se presentan resultados experimentales de la implementaci ón del algoritmo de generaci ón de trayectorias ca óticas a un robot m óvil propuesto en este trabajo de tesis. Se habla en particular de la implementaci ón del algoritmo en el robot m óvil diferencial Khepera III, del cual se describen sus principales caracter´ısticas.

5.1. Robot m ´ovil Khepera III

El Khepera III (figura 30) es un robot circular y peque ño que tiene dos ruedas y un soporte deslizante. El di ámetro es de aproximadamente 130 mm, una altura de 70 mm y un peso de 650 gramos. Cuenta con 11 sensores infrarrojos (9 alrededor y 2 por debajo) y 5 ultras ónicos que le permiten detectar objetos y obst áculos que se encuentran alrededor de él. Las ruedas cuentan con encoders incrementales. Permite la comunicaci ón v´ıa Serial, USB y Bluetooth.

Figura 30.Robot m ´ovil diferencial Khepera III, Laboratorio de Sincronizaci ´on y Sistemas Complejos.

Por medio de cualquiera de sus opciones de comunicaci ón es posible conectarse al robot m óvil diferencial con una computadora para obtener los valores de los sensores. Obteniendo las mediciones de los encoders podemos estimar la posici ón del robot Khepera III. Sin embargo, este m étodo obliga a depender de una computadora para realizar las operaciones necesarias para la localizaci ón del robot.