Los números cuadrados
16 9
4 1 Los números triangulares
3 6 10
1
6
Sucesiones y progresiones
En muchas situaciones de la vida diaria utilizamos conjuntos de números que muestran regularidades.
Imaginemos que un nadador, cuando sale de la piscina, va al gimnasio a hacer pesas porque se encuentra en baja forma. El primer día entrena durante 30 minutos y decide aumentar cada día 5 minutos más hasta llegar a practicar una hora y media diaria.
6.1. ¿Cuánto tiempo habrá estado en el gimnasio el quinto día?
30 + 5 · 4 = 50 minutos
6.2. ¿Cuántos días pasarán hasta que consiga entrenar la hora y media que se ha propuesto?
Si n es el número de días, 30 + 5(n – 1) = 90, y despejando, n = 13. Solución: el día decimotercero.
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
6.1. Los pitagóricos, en el siglo VI antes de nuestra era, identificaban algunos números con figuras geométricas. Aquí tienes representados dos de estos tipos de números:
1. Completa la tabla de los números triangulares. Observa cómo se construye un triángulo a partir del anterior:
1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º 7.º
Números triangulares 1 3 6 10 15 21 28
a) ¿Sabrías decir cuáles son los números triangulares que ocupan las posiciones décima y decimoquinta?
b) ¿Qué operación debes hacer para obtener el número triangular que figura en la 50.ª posición? ¿Y para obtener el que figura en la posición enésima?
a) 10.ª: 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55; 15.ª: 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 55 = 120 b) Sumar los números del 1 al 50. Sumar los números del 1 al n.
2. Completa la tabla de los números cuadrados:
1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º 7.º
Números cuadrados 1 4 9 16 25 36 49
a) Estos son más fáciles. ¿Sabrías decir qué número ocupa la posición vigésima? ¿Y la posición enésima?
b) Comprueba que todos los números cuadrados se pueden escribir como suma de números impares consecutivos empezando por el 1.
a) 202 = 400; n2 b) 1 = 1; 4 = 1 + 3; 9 = 1 + 3 + 5; 16 = 1 + 3 + 5 + 7; 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9; 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11; 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
3. Compara las dos tablas y trata de encontrar alguna relación entre los números triangulares y los cuadrados.
Si quieres ser feliz, envía mañana por la mañana este mensaje a tres amigos tuyos. Si no lo haces,
¡perderás una buena oportunidad!
6.2. Elena decide empezar un juego con el teléfono móvil. Enviará a su amigo Marcos un mensaje SMS que dice:
Suponiendo que todo el mundo hace lo que dice el mensaje, ¿cuántos mensajes se habrán enviado al cabo de 10 días? Piensa que el primer día solo se envía 1; el segundo día, 3; el tercero, 9, y así sucesivamente.
1 + 3 + 32 + 33 + … + 39 = 29.524 mensajes en 10 días
ACTIVIDADES
6.1. Encuentra dos términos más de cada sucesión.
a) 3, 4, 7, 8, 11, 12… b) 2, 6, 18, 54… c) 1, -1, 2, -2, 3… d) 3 4 5, , , ...6 4 6 8 10
a) 15, 16 b) 162, 486 c) –3, 4 d) 7, 8
12 14
6.2. Dada la sucesión 4, 7, 10, 13… encuentra los términos que ocupan las posiciones octava y décima.
25 y 31, respectivamente
6.3. Construye las sucesiones siguientes (hasta 6 términos) e indica si son crecientes, decrecientes o ninguna de las dos cosas.
a) Empieza con 1 y cada término se obtiene sumándole 4 al anterior.
b) Los primeros términos son 2 y 5, y cada término sucesivo es la suma de los dos anteriores. c) Cada término de la sucesión, salvo el primero, que es 16, es la mitad del término precedente. d) El término general es an = 3n – 1.
e) a1 = 10, an = an –1 – 5.
a) 1, 5, 9, 13, 17, 21. Crec. b) 2, 5, 7, 12, 19, 31. Crec. c) 16, 8, 4, 2, 1, 2 1
. Decrec.
d) 2, 5, 8, 11, 14, 17. Crec. e) 10, 5, 0, –5, –10, –15. Decrec.
6.4. Encuentra los tres primeros términos de cada sucesión.
a) an = n2 + 3 b) an = 2n c) an =
+ 2
n n
a) 4, 7, 12 b) 2, 4, 6 c) 1 1 3, ,
3 2 5
6.5. Halla en cada caso el término general:
a) 2, 4, 6, 8, 10… b) 3, 5, 7, 9, 11… c) 1, 1 1 1, , ...
2 3 4 d) 1, 4, 5, 9, 14…
a) an = 2n b) an = 2n + 1 c) an = 1
6.6. Con palillos, construimos cuadrados cada vez más grandes.
a) Cópialos en el cuaderno y construye los dos cuadrados siguientes.
b) Escribe la sucesión que indica el número de palillos utilizados en cada uno de los cuadrados: 4, 8…
c) Escribe la sucesión que indica el área de cada cuadrado: 1, 4…
a)
b) 4, 8, 12, 16, 20… c) 1, 4, 9, 16, 25…
6.7. Actividad interactiva
6.8. Es muy célebre la sucesión de Fibonacci, la cual se generó a raíz del siguiente problema biológico. En una granja tenemos una pareja de conejos que acaban de nacer. Al cabo de dos meses ya pueden reproducirse y tienen una nueva pareja de conejos cada mes. Cada nueva pareja, a su vez, al cabo de dos meses tendrá una nueva pareja, y así sucesivamente.
a) Escribe los 7 primeros términos de la sucesión. b) ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un año? c) ¿Y al cabo de 18 meses?
Si quieres saber más sobre esta sucesión, entra en: www.e-sm.net/3esop13
a) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
b) La sucesión sigue con 21, 34, 55, 89 y 144, por lo que habrá 144 parejas = 288 conejos. c) Seguiría 233, 377, 610, 987, 1.597 y 2.584, por lo que son 2.584 parejas = 5.168 conejos.
6.9. Señala cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas.
a) 4, 8, 12, 16, 20… b) 10, 6, 2, –2 ,–6… c) 1, 3, 6, 10,15… d) 1 2 3 4 5, , , , ... 2 3 4 5 6
6.10. Halla el término general de una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 3. Encuentra a7 y a10
an= 5 + 3(n – 1) = 3n + 2; a7 = 23, a10 = 32
6.11. En una progresión aritmética, el primer término vale 12 y el undécimo vale 42. ¿Cuál es la diferencia de la progresión?
42 = 12 + (11 – 1)d →d = 3
6.12. ¿Cuánto suman los 20 primeros términos de esta sucesión? 4; 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5…
an = 4 + 0,5(n – 1) = 3,5 + 0,5n; a20 = 13,5; 20
(4 13,5) 20 175 2
S = + ⋅ =
6.13. Actividad interactiva
6.14. Un club tiene las taquillas dispuestas así:
1 6 11 16 21 2 7 12 17 22
3 8 13 18 23
4 9 14 19 24
5 10 15 20 25
Observadas por filas, por columnas y en diagonal, los números de los armarios forman sucesiones. ¿De qué tipo son?
Columnas: aritmética de diferencia 1 Filas: aritmética de diferencia 5
Diagonales: aritméticas de diferencias 6 y 4, respectivamente
6.15. El Ayuntamiento de San Felipe ha construido un anfiteatro al lado de la plaza del pueblo. Tiene 40 filas en total. En la primera caben 10 espectadores; en la segunda, 12; en la tercera, 14… En la inauguración, a Eva le ha tocado la fila 12. ¿Cuánta gente habrá en la misma fila que ella? ¿Y en la fila de delante? ¿Y en la de detrás?
an = 10 + 2(n – 1) = 2n + 8
a12 = 32 personas en la fila 12. a11 = 30 personas en la de delante. a13 = 34 personas en la de detrás
6.16. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas?
a) 80, 40, 20, 10, … b) 3, –9, 27, –81, … c) 3, 6, 9, 12, … d) 5, 25, 125, 626, …
La a, pues cada término es igual al anterior multiplicado por 1 2. La b, pues cada término es igual al anterior multiplicado por –3.
6.17. En una progresión geométrica, a4 = 135 y a5 = 405. Encuentra el primer término y el décimo. r = 405
135= 3; a1 = 3
135
3 = 5 y a10 = 5 · 3
9 7
3
9 5
1 14
6.18. Halla la suma de los 8 primeros términos de estas progresiones geométricas.
a) 6, 18, 54, … b) 0,8; 0,4; 0,2…
a) S8 =
8
6 · (3 1) 3 1
−
− = 19.680 b) S8 =
18
0,8 · 1 2 1 1 2
−
−
= 1,59375
6.19. Actividad interactiva
6.20. Observa esta espiral:
Ha sido construida a partir de una semicircunferencia cualquiera y añadiendo cada vez una semicircunferencia de radio la mitad del anterior.
a) Construye la misma figura en tu cuaderno y escribe la sucesión de radios que vas obteniendo.
b) ¿Es una progresión geométrica? ¿Por qué?
a) Supongamos que el radio mayor es de 4 cm, la sucesión sería: 4, 2, 1, 1 1, ... 2 4
b) Sí, de razón 1
2, pues los radios van siendo la mitad del anterior.
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN
6.21. Cajas con bolas
Halla el número de las bolas que faltan:
a) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 b) 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37
6.22. Adivina, adivinanza
¿Cómo se forman estas sucesiones? Puedes explicarlo o escribir el término general.
a) 24, 12, 36, 18, 54… b) 5, –6, 7, –8… c) 2, 4, 6, 10, 16…
a) Se va alternando dividir entre 2 y multiplicar por 3.
6.23. El triángulo de Tartaglia: Observa este triángulo.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
a) ¿Sabes cómo se obtiene cada fila respecto a la anterior? Una pista: en los extremos siempre colocamos 1. Por tanto, solo es necesario que adivines cómo se consiguen los interiores. b) Fíjate en las diagonales, ¿ves alguna sucesión conocida?
a) Cada número se obtiene sumando los dos de la fila superior que tiene justo encima.
b) Aparte de la sucesión de unos y la de los números naturales, podemos encontrar la sucesión de los números triangulares. Si tomamos diagonales menos inclinadas, la suma de cada una de ellas forma la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 1 + 3 + 1 = 5, 3 + 4 + 1 = 8…
6.24. La T
Observa esta sucesión:
a) Construye el siguiente término.
b) Escribe la sucesión numérica que se forma contando el número de cuadrados de cada figura. ¿Es una progresión aritmética? ¿Por qué?
a) b) 4, 7, 10, 13, 16… Sí es aritmética de diferencia 3.
6.25. Repasa
a) Escribe 5 términos de cada progresión:
a1 = 5 y d = 6 a1 = 4 y d = –3 a1 = 0,5 y d = 2 a1 = –4 y d = 3
b) De una progresión aritmética, conocemos que a1 = 1, a2 = 3
4 y a5 = 0. Calcula a3 y a4.
c) De una progresión aritmética conocemos a10 = 52 y a11 = 57. Calcula el primer término de la progresión y escribe el término general.
d) Escribe el término general de una progresión aritmética que empiece por 4 y que tenga como sexto término 8.
e) ¿Qué lugar ocupa el número 152 en la progresión anterior?
f) Encuentra la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 5, 8, 11, …
a) 5, 11, 17, 23, 29 4, 1, –2, –5, –8 0,5; 2,5; 4,5; 6,5; 8,5 –4, –1, 2, 5, 8
b) a3 = 2 4 =
1 2, a4 =
1
4 c) d = 5; a1 = 7; an = 5n + 2 d) d = 4
5→ an =
4 16 5n+ 5
e) 152 = 4 16
5n+ 5 →n = 186 f) a10 = 32; S10 =
(5 32) · 10 2
6.26. Piezas de construcción
Un niño ha construido un triángulo con piezas de madera. En la fila de abajo ha puesto 12 piezas, una al lado de la otra; en la de encima, 11; en la de encima de esta, 10, y así sucesivamente, reduciendo una pieza cada vez. ¿Cuántas piezas habrá colocado en total cuando acabe el triángulo?
(12 1) 12 78 2
+ ⋅ = piezas
6.27. Términos que faltan
Busca los términos que faltan para que estén en progresión aritmética: 4, … , … , … , … , 29
29 = 4 + (6 – 1)d → d = 5; la sucesión es 4, 9, 14, 19, 24, 29.
6.28. Vacaciones
Un grupo de amigos que están de vacaciones en un apartamento tienen un fondo común de 600 € para comprar comida y para otros gastos. Calculan que gastan una media de 35 € al día. a) Halla la fórmula que nos permite obtener el dinero que les queda según van pasando los días de vacaciones.
b) ¿Al cabo de cuántos días deberán volver a poner dinero en el fondo?
a) an = 600 – 35n b) 0 = 600 – 35n →n = 17,14; por tanto, al cabo de 18 días
6.29. Repasa
a) Calcula la razón y el término general de las progresiones geométricas siguientes:
2, 10, 50… –3, 6, –12… 1 1, , ...1
2 6 18 5; 2; 0,8; 0,32…
b) Halla a5 y el término general de una progresión geométrica donde a3 = 18 y a4 = 54.
c) Halla la suma de los 12 primeros términos de una progresión geométrica de razón 1,5 y término inicial 3.
d) Calcula la suma de los infinitos términos de la progresión 8; 2,4; 0,72; 0,216…
a) r = 5, an = 2 · 5n – 1 r = –2, an = –3 · (–2)n – 1 r = 1 3, an =
1
1 1 2 3
n−
⋅
r = 0,4; an = 5 · (0,4)
n – 1
b) r = 3, a5 = 162, an = 2 · 3n – 1
c) S3 =
(
)
12
3 1,5 1 1,5 1
⋅ −
− = 772,478
d) r = 0,3; S = 8
1 0,3− = 11,428
6.30. Rebotes
Dejamos caer una pelota desde la azotea de un bloque de pisos de 48 m. Después de cada rebote, la pelota llega a la mitad de la altura anterior.
a) Escribe la sucesión de las alturas que alcanza la pelota en los sucesivos rebotes. b) ¿En qué rebote podemos decir que se para?
a) 48, 24, 12, 6, 3…
Cn Cn ⫺2
Cn ⫺1
6 4 2 0
7 5 3 1
6.31. La hucha
Los padres de Miguel deciden poner 1 € en una hucha el día que su hijo cumpla un año, y duplicar esta cantidad cada cumpleaños. ¿Cuánto dinero deberán poner en la hucha el día que cumpla 18 años? ¿Cuánto dinero habrá en total?
El dinero que le dan cuando cumple n años es an = 2n – 1.
a18 = 217 = 131.072 € deben meter en la hucha al cumplir 18 años.
S18 =
18
1 · (2 1) 1
− = 262.143 € en total.
6.32. La fotocopiadora
A principio de curso se ha comprado una fotocopiadora para el instituto que ha costado 12.000 €. Se calcula que al final de cada curso escolar la máquina pierde el 12% del valor que tenía al principio del curso. ¿Cuál será su valor dentro de 4 años?
El valor al cabo de n años es an = 12.000 · (0,88)n.
a4 = 12.000 · (0,88)4 = 7.196,34 € valdrá al final del cuarto curso.
6.33. No se acaba nunca
Calcula el valor de la suma de esta progresión: 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001…
Es una progresión geométrica de razón r = 0,1. Como |r | < 1, tiene sentido hacer la suma de todos
sus términos, cuyo valor es S = 1,1 1 , 0 1
1
=
− .
6.34. Teléfonos móviles
Dos socios han creado una empresa de telefonía móvil. El primer año de instalarse vendieron 5.000 unidades de teléfonos. Se dieron cuenta de que cada año triplicaban las ventas respecto al año anterior.
a) ¿Cuántas unidades venderán el próximo año, que será el séptimo de la existencia de la empresa?
b) ¿A partir de qué año, desde su creación, venderán más de un millón de móviles anuales?
a) El número de unidades de teléfonos vendidos el año n es an = 5.000 · 3n – 1.
a7 = 5.000 · 36 = 3.645.000 unidades
b) Como a5 = 5.000 · 34 = 405.000 y a6 = 5.000 · 35 = 1.215.000, se superará el millón el sexto año.
6.35. Los caminos
Cuenta el número de caminos diferentes que se pueden seguir desde cada uno de los vértices hasta llegar al 0 sin retroceder.
La sucesión an que cuenta los caminos desde el vértice enésimo es una sucesión recurrente donde
a1 = 1, a2 = 2, an = an – 1 + an – 2. Es la sucesión de Fibonacci (sin el primer término).
6.36. Ahorrar
Un chico ahorra cada mes 5 € más que el anterior. En cinco años, sus ahorros suman 9.330 €. ¿Cuántos euros puso el primer mes? ¿Y el último?
a60 = a1 + 59 · 5; S60 = 9.330 = + + ⋅ ⋅ → 2
60 ) 5 59 (a1 a1
6.37. Producto de términos
Considera la progresión geométrica siguiente.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
5 10 20 40 80 160 320
a) Calcula a1 · a7.
b) Busca si alguna otra pareja tiene el mismo producto. Nota: Recuerda qué propiedad se
cumplía en las progresiones aritméticas.
c) Aprovecha el resultado anterior para encontrar el producto de estos siete términos.
d) Multiplica los 10 primeros términos de una progresión geométrica donde a1 = 1 y la razón es 2.
a) 5 · 320 = 1.600
b) a2 · a6 = a3 · a5 = a4 · a4 = 1.600
c) Reordenando los factores de la multiplicación a1 · a2 · a3 · a4 · a5 · a6 · a7, el producto queda: (a1 · a7) · (a2 · a6) · (a3 · a5) · a4 =1.6003 · 40 = 163.840.000.000
d) (1 · 29)5 = 245 = 35.184.372.088.832
6.38. Decide
Di de qué tipo es cada una de las siguientes sucesiones y encuentra el término general, si es posible.
a) 1 1 1, , ...
2 4 6 b) 7, 4, 1, –2… c) 10, 8, 2, 6, –4… d) 10; 12; 14,4; 17,28…
a) an =
n
2
1 . Decreciente
b) an = 7 – 3(n – 1) = –3n + 10. Progresión aritmética decreciente c) a1 = 10, a2 = 8, an = an – 2 – an – 1. Sucesión recurrente
d) a1 = 10, a2 = 12, an =
2 1 2
n
n
a a
−
−
. Sucesión recurrente, creciente
6.39. Tratos entre economistas
Dos economistas hacen este trato durante un mes:
- Sara dará a Pablo 2.000 € el primer día, 4.000 € el segundo, 6.000 € el tercero, y así sucesivamente.
- Pablo dará a Sara 2 céntimos de euro el primer día, 4 céntimos el segundo, 8 céntimos el tercero, 16 céntimos el cuarto…
¿Cuál de los dos obtendrá mejores beneficios?
El dinero que da Sara a Pablo es una progresión aritmética con a1 = 2.000 y d = 2.000. El término general es an = 2.000 + 2.000(n – 1) = 2.000n.
En total, Sara dará a Pablo S30 = (2.000 2.000 30) · 30 930.000 2
+ ⋅ = € al finalizar el mes.
El dinero que Pablo da a Sara es una progresión geométrica con a1= 0,02 y r = 2. El término general es an = 0,02 · 2n – 1.
En total, Pablo dará a Sara S30 =
30
0,02 · (2 1)
21.474.836,46
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3
6.40. La escalera
Juan dibuja una escalera con cuadrados:
a) ¿Cuántos cuadrados formarán la escalera de nivel 10?
b) ¿Qué perímetro tendrá esta escalera si contamos como unidad el lado de un cuadrado?
a) En el nivel 1 hay 1 cuadrado, en el nivel 2 hay 2 + 1 = 3 cuadrados, en el nivel 3 hay 3 + 2 + 1 = 6…
El número de cuadrados del nivel n es an = (1 ) · 2
n n
+ , pues es la suma de los n primeros números
naturales, que forman una progresión aritmética con a1 = 1 y d = 1.
Por tanto, a10 =(1 10) · 10 2
+ = 55 cuadrados
b) Los perímetros forman la sucesión 4, 8, 12, 16…, que es una progresión aritmética con an = 4n. El perímetro será a10 = 4 · 10 = 40 unidades.
6.41. Valor de un coche
Un coche que costó 32.000 €, pierde cada año un 10% de su valor. a) ¿Qué valor tendrá este coche al cabo de 5 años?
b) Encuentra la fórmula que permite obtener el valor del coche a medida que pasan los años.
a) 32.000 · (0,9)5 = 18.895,68 €
b) an = 32.000 · (0,9)n, donde n es el número de años que pasan.
6.42. Los atletas
Consideremos la siguiente situación. Dos atletas se preparan para una carrera de fondo. - El primer atleta empieza corriendo 1.000 m el primer día, y cada día hace 1.000 m más que el anterior.
- El segundo corredor empieza haciendo 200 m el primer día, y cada día duplica lo que ha hecho el día anterior.
¿Qué distancia recorrerá cada uno de ellos el décimo día? Expresa el resultado en las unidades que consideres más convenientes.
Primer atleta: an = 1.000n, luego a10 = 10.000 m = 10 km
Segundo atleta: bn = 200 · 2n – 1, luego b10 = 200 · 29 = 102.400 m = 102,4 km
6.43. El folio
Carmen coge un folio de 0,1 mm de grosor y lo va doblando por la mitad tantas veces como puede.
a) Después de haberlo doblado cinco veces, ¿qué grosor tendrá el papel?
b) ¿Cuántos pliegues debería poder hacer para que el grosor del papel fuera de 6,4 mm? ¿Y para que fuera de 1,28 cm?
a) 0,1 · 25 = 3,2 mm
6.44. El ajedrez
El origen del juego del ajedrez parece situarse en la India. La leyenda dice que un súbdito creó este juego para su príncipe, que se aburría mucho. El príncipe estuvo tan contento con el juego, que le dijo a su súbdito que podía pedir lo que quisiese.
Este pidió que le diese un grano de trigo en la primera casilla del tablero de ajedrez, dos granos en la segunda, cuatro granos en la tercera, ocho en la cuarta, y así sucesivamente. a) ¿Cuántos granos de trigo debería darle al llegar a la última casilla de la primera fila? b) ¿Y al llegar a la última casilla del tablero?
c) ¿Cuántos granos de trigo habría en total?
d) Analizando el resultado final, ¿crees que el inventor hizo una buena petición?
Los granos de trigo que corresponden a las diferentes casillas forman una progresión geométrica con
a1 = 1 y r = 2, por lo que su término general es an = 2n – 1, con n el número de casilla. a) En la casilla final de la primera fila habría a8 = 27 = 128 granos.
En toda la fila habría S7 = 8
2 1 255
2 1−− = granos.
b) En la última casilla habría a64 = 263 = 9.223.372.036.854.775.808 granos.
c) En total habría S64 =
64
1 · (2 1) 2 1
−
− = 2
64 – 1 = 18.446.774.073.709.551.615 granos, es decir, unos
18 trillones y medio de granos de trigo.
d) La petición le supondría una enorme riqueza al súbdito si fuera posible pagársela; sin embargo, el príncipe sería incapaz de conseguir tal cantidad de trigo, aunque comprara las existencias de todo el mundo.
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
6.45. La máquina de comer
Tenemos monedas de 1 € y de 2 €. Queremos comprarnos productos en una máquina de comida.
a) ¿De cuántas maneras diferentes podemos introducir las monedas en la máquina?
Producto Precio N.º de maneras
Lata de naranjada 1 € 1
Paquete de galletas 2 € 2 (1 + 1, 2)
Bocadillo de salchichón 3 € 3 (1 + 2, 2 + 1, 1 + 1 +1)
Bocadillo de jamón 4 € 5 (2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1)
Menú 5 € 8 (2 + 2 + 1, 2 + 1 + 2, 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
Pollo asado 6 €
13 (2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 2,
2 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
b) ¿Qué sucesión se forma con el número de maneras de pagar el precio del producto? ¿Cómo se llaman este tipo de sucesiones?
b) 1, 2, 3, 5, 8, 13… Su término general es a1 = 1, a2 = 2, an = an – 1 + an – 2. Este tipo de sucesiones se llaman recurrentes.
E
A B C D
6.46. El pentágono estrellado Observa la figura.
Se empieza por un pentágono regular y se trazan sus diagonales. Aparece un polígono estrellado que tiene un pentágono regular más pequeño en su interior. Repetimos el proceso sucesivamente.
a) Mide los lados de los pentágonos sucesivos. ¿Qué tipo de sucesión obtenemos?
b) Calcula los seis primeros términos de esta sucesión si el lado del pentágono regular inicial mide 3 cm.
c) ¿Cuál será la suma de los lados de estos infinitos pentágonos?
a) Como la diagonal del pentágono de lado a mide φa, siendo φ el número áureo, el lado del siguiente pentágono central es (2− φ)a. Por tanto, es una progresión geométrica de razón 2− φ. b) 3; 3(2 –φ) = 1,15; 3(2 –φ)2 = 0,44; 3(2 –φ)3 = 0,17; 3(2 –φ)4 = 0,06; 3(2 –φ)5 = 0,02
c) S = 3 3
1 (2− − φ)=φ −1= 4,85
6.47. Operarios
Un albañil aplica la siguiente tarifa: 30 € por desplazamiento, 35 € por hora trabajada, y el material a cargo del cliente.
a) Escribe la sucesión que nos da el precio en función de las horas trabajadas. b) ¿Cuánto cobrará por trabajar cinco horas?
c) Si ha cobrado 555 €, ¿cuántas horas habrá trabajado?
a) an = 30 + 35n b) a5 = 30 + 35 · 5 = 205 € c) 555 = 30 + 35n →n = 15 h ha trabajado.
6.48. Sucesión de rectángulos
A partir de un cuadrado de lado 1 construimos una sucesión de rectángulos de esta manera:
Escribe la sucesión que resulta al medir el lado más largo de cada rectángulo.
6.49. Las bacterias
Las progresiones geométricas también están presentes en la biología. La bacteria que produce las anginas se divide en dos cada media hora. Para estudiarla, los científicos aíslan una de ellas y esperan a que prolifere. Por ejemplo, la ponen en un medio de cultivo a las ocho de la mañana y hacen un recuento a las doce del mediodía.
a) Construye la progresión que refleja el número de bacterias que se generan cada media hora.
Hora 8 8:30 9 9:30 10 10:30 11 11:30 12
Núm.
bacterias 1 2 4 8 16 32 64 128 256
b) ¿Cuál es la razón?
c) ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo a las doce del mediodía?
d) Escribe el término general de la progresión que se ajusta a este experimento.
b) 2
c) 256 bacterias d) an = 2n – 1
AUTOEVALUACIÓN
6.1. Determina si estas sucesiones son crecientes, decrecientes o ni crecientes ni decrecientes.
a) 1, 2, 4, 7, 11, 16… b) 55, 50, 45, 40, 35, 30… c) 2, 5, –8, –11, 14, 17, –20…
a) Creciente b) Decreciente c) Ni creciente ni decreciente
6.2. Indica en cada caso de qué tipo de sucesión se trata:
a) 3, 4, 7, 11, 18… b) –2, 6, –18, 54… c) 6, 2, 2 2, , 2
3 9 27… d) –3, –13, –23, –33…
a) Recurrente b) Geométrica c) Geométrica d) Aritmética
6.3. Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones siguientes.
a) an = 6n – 4 b) an = 5 · 3n – 3 c) an = n2 + 3n – 1 d) an = 2n – 1
a) 2, 8, 14, 20, 26 b) 12, 42, 132, 402, 1.212 c) 3, 9, 17, 27, 39 d) 1, 2, 4, 8, 16
6.4. Encuentra el término general de las progresiones.
a) 3, 7, 11, 15… b) 8, 4, 2, 1, 0,5…
a) an = 3 + 4(n – 1) = 4n – 1 b) an = 8 ·
1
4
1 1
2 2
n
n
−
−
=
6.5. Encuentra los términos que faltan en estas progresiones aritméticas.
a) 7, , , , 22… b) , 12, , , , , 57…
a) 22 = 7 + 4d; d = 3,75; la sucesión es 7; 10,75; 14,5; 18,25; 22… b) 57 = 12 + 5d; d = 9; la sucesión es 3, 12, 21, 30, 39, 48, 57…
6.6. Los dos primeros términos de una progresión geométrica son 6 y 1. Calcula el cuarto. r = 1
6; a4 = 6 ·
3
1 1
6 36
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 m
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 m
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 m
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 m
6.7. En un túnel hay diferentes teléfonos de emergencia por si surge algún problema con el vehículo. El primero se encuentra colocado a 2 km de la boca de entrada, y la distancia entre dos teléfonos consecutivos es siempre la misma, 2,5 km. Si hay 8 teléfonos a lo largo de todo el túnel, ¿cuál es la distancia mínima de este?
an = 2 + 2,5(n – 1), donde n indica el número de teléfonos, y an, la distancia a la entrada.
a8 = 19,5 km entre la entrada y el último teléfono, es decir, la longitud mínima del túnel.
6.8. Si cada día estudiamos el doble de tiempo que el día anterior y empezamos con 10 minutos, ¿cuánto habremos estudiado al cabo de una semana?
an = 10 · 2n – 1; en total habremos estudiado S7 =
7
10 · (2 1)
1.270
2 1− − = minutos = 21 h 10 min.
APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS
La paradoja de Aquiles y la tortuga
El filósofo griego Zenón (siglo V a. C.) ideó la paradoja de Aquiles y la tortuga. Aquiles, gran héroe de la guerra de Troya, era famoso, entre otras cosas, por su velocidad.
Aquiles y una tortuga deben competir en una carrera. La tortuga empieza con 100 m de ventaja. Cuando Aquiles recorre los 100 m que los separan, la tortuga ya se ha distanciado del punto de partida. Cuando Aquiles llega a este nuevo punto, la tortuga ya ha avanzado hasta otro punto, y así sucesivamente, de manera que Aquiles no podrá atrapar nunca a la tortuga.
¿Cómo es posible? Para entenderlo bien, podemos suponer que Aquiles corre dos veces más rápido que la tortuga. Así pues, cuando Aquiles ha recorrido 100 m, la tortuga ha avanzado 50 m, y cuando Aquiles ha recorrido estos 50 m para atraparla, la tortuga ya ha recorrido 25 m más. Observando el recorrido de cada uno, obtenemos dos sucesiones:
• RecorridoAquiles: 100; 50; 25; 12,5; … m • Recorridotortuga = 50; 25; 12,5; 6,25; … m
El recorrido total de cada uno es la suma infinita de una progresión geométrica de razón 0,5:
SAquiles = −
100
= 200
1 0,5 Stortuga = −
50
= 100 1 0,5
Teniendo en cuenta que la tortuga ha salido con 100 m de ventaja, ¿crees que Aquiles la atrapará?
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate, Fernando Alcaide, Ana Mª Álvarez, F. José Valencia
Edición: Javier Calvo, Eva Béjar
Corrección: Ricardo Ramírez
Ilustración: Félix Anaya, R. Aranda, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, IDEM, Félix Moreno, A. Muñoz
Fotografía: Javier Calbet, Sonsoles Prada, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, María Pía Hidalgo, Juan Baraja, Yolanda Álvarez, José Manuel Navia / Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Tomàs; Gonzalo Martínez Azumendi; M. García; Javier Jaime; Pedro Carrión; Montse Fontich; Fran Panadero; Almudena Esteban; Andrés Hernández Zuazo; María Galán; Peter Rey; Albert Heras / PRISMA; Skip Nall, Doug Menuez, Sean Thompson, David Buffington, Emma Lee, Nancy R. Cohen, Janis Christie, Glenn Allison, Don Farrall, C. Sherburne, Andrew Ward, PHOTOLINK, SIEDE PREIS, STOCK-TREK / PHOTODISC; T. Brain – SCIENCE PHOTO LIBRARY / AGE PHOTOSTOCK; CORBIS / CORDON PRESS; ÍNDEX; ORONOZ; IMAGIN; FOTOTECA 9 X 12; FIRO FOTO; LATINSTOCK; SPAINSTOCK; GETTY IMAGES; 6 X 6 P. F.; DIGITAL VISION; PHOTONONSTOP; INGRAM
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
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