PAUTA
CERTAMEN
Nº01
FISICA GENERAL
ELECTROMAGNETISMO
(FIS 331)
Prof. Rodrigo
Vergara Rojas
PRIMER
SEMESTRE
2009
Miércoles 22 de Abril de 2009
A-1) Considere tres bolas conductoras iguales aisladas del suelo, y eléctricamente neutras. Dispone de una barra inductora con carga neta negativa. Explique detalladamente, y usando la menor cantidad de pasos posibles, el procedimiento que emplearía para dejar dos de las bolas con carga negativa, y la restante con carga positiva.
Desarrollo:
Un procedimiento posible es el ilustrado en la figura.
Paso 1) Se disponen las esferas de manera de que B y C estén en contacto con A, pero no estén en contacto entre sí.
Paso 2) Se acerca la barra inductora al conjunto de bolas. Las cargas positivas se concentran en A, mientras B y C se reparten las negativas.
Paso 3) Se separan A de B y C sin sacar el inductor.
Paso 4) Resultado: bola A cargada positivamente, y las bolas B y C cargadas negativamente.
(10 puntos)
A B
C
A B
C
-+
+
+
−−
−
−−
−
Paso1 Paso2
A B
C
-+
+
+
−−
−
−−
−
Paso2 Paso4
A B
C
+
+
+− −
−
−−
−
A-2) En la figura 1 se observan dos bolas A y B descargadas y de masa despreciable. La B está unida a la pared a través de un resorte ideal de constante de elasticidad k y longitud natural L. Al cargar la bola A con una carga +Q y la bola B con una carga –Q, el sistema queda en equilibrio de fuerzas, tal como se muestra en la figura 2. Exprese Q en función de k, L y
ε0.
Desarrollo:
Al cargar las bolas, el resorte se estira en L/4 para equilibrar su fuerza a la de atracción eléctrica entre A y B.
(3 puntos)
La magnitud de fuerza interna del resorte tiene magnitud res
L
F = k
4
⋅
, mientras que la magnitud de la fuerza deatracción entre las bolas estará dada por:
2
AB 2
0
1
Q
F =
4
3 L
4
π ε
⋅
⋅ ⋅
⋅
(4 puntos)
Igualando FAB = Fres:
2 2
2 3
0
2 2
0 0
3
0 0
1
Q
L
16
Q
9
k
k L
Q
k L
4
3 L
4
9 L
16
4
9
3 L
Q =
k L
k L
16
4
π ε
π ε
π ε
π ε
π ε
⋅
= ⋅
⇒
⋅
= ⋅
⇒
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⇒
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅
(3 puntos)
L L
3 L 4
⋅ 5 L
4
A-3) En la figura se observa una carga positiva q0 de masa m que
viaja en línea recta en dirección a un plano infinito cargado con densidad superficial de carga +σ. En el punto A lleva una velocidad de magnitud vA > 0, mientras que en el punto B se detiene. Usando
cinemática y dinámica, exprese σ en función de ε0, L, m, q0 y vA.
Desprecie el efecto de la gravedad.
Desarrollo:
El campo eléctrico del plano cargado infinito tiene magnitud
0
E=
2
σ
ε
⋅
y apunta desde el plano hacia fuera. Su fuerza eléctricasobre q0 frena a la carga, por lo que su aceleración es negativa.
Aplicando la ecuación independiente del tiempo (cinemática)
2 2
B A
v - v = 2 a d
⋅ ⋅
(3 puntos)
Donde vB = 0, d = L y eléctrica 0 0
0
F
q
E
q
a = -
= -
=
-m
m
2
m
σ
ε
⋅
⋅
⋅ ⋅
. Reemplazando:2 0 2 0
A A
0 0
-q
q
L
0 - v = 2
L
v
2
m
m
σ
σ
ε
ε
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⇒
=
⋅ ⋅
⋅
(4 puntos)
Finalmente, despejando σ:
2
2 0 A 0
A
0 0
q
L
v
m
v
m
q
L
σ
σ
ε
ε
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⇒
=
⋅
⋅
(3 puntos)
+
0 qPlano infinito cargado
+
A B
0
q
σ
+A
v >0 vB=0
L
L
A-4) La estrella de la figura está formada por un cuadrado central de lado “a” y por cuatro triángulos equiláteros que surgen de los cuadrados. En los vértices hay cargas +2q (grises) y -3q (negras). Calcule la magnitud del campo eléctrico en el centro de gravedad de uno de los triángulos equiláteros debido solamente a las cargas que están en sus vértices.
Desarrollo:
A partir de la figura, se pueden establecer los vectores de campo eléctrico debido a las cargas de los vértices, los cuales estarían dados por
ˆ
1 2
2 q
E = -k
y
d
⋅
⋅
(2 puntos)
( )
ˆ
( )
ˆ
ˆ ˆ
2 2 2
3 q
3 q
E = k
-sen 60º x-cos 60º y
k
- 3 x-y
d
2 d
⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅
⋅
⋅
⋅
(2 puntos)
( )
ˆ
( )
ˆ
ˆ ˆ
3 2 2
3 q
3 q
E = k
sen 60º x-cos 60º y
k
3 x-y
d
2 d
⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅
⋅
⋅
⋅
(2 puntos)
Donde
0
1
k =
4
⋅ ⋅
π ε
y2
3
3
d =
a =
a
3
⋅
2
⋅
3
⋅
(distancia entre cada vértice y el centro de gravedad del triángulo equilátero)(1 punto)
Sumando los campos eléctricos, vemos que por simetría las componentes x se anulan, quedando el campo total en dirección –y:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
tot 1 2 3 2 2 2 2 2 2
2 q 3 q 5 q 5 q 5 q 15 q
E E E E - k 2 k y= -k y= -k y = -k y = -k y
a
d 2 d d 3 a
3 a
3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= + + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
Finalmente, la magnitud del campo eléctrico es tot 2
15 q
E = k
a
⋅
⋅
.(1 punto)
Se obtiene la misma magnitud al operar en los otros tres triángulos equiláteros
a a
a
a a
a a
a a
a a
a +2 q⋅
-3 q⋅
+2 q
⋅
-3 q
⋅
1
E
2
E
60º 60º
30º 30º
30º 30º
3
E
A-5) [OBLIGATORIA] En la figura el disco tiene radio R y densidad superficial de carga σσσσ positiva constante, mientras que la línea de carga infinita tiene densidad lineal de carga λλλλ positiva constante. Exprese λλλλ en función de σσσσ y R de manera que el campo eléctrico en el punto P tenga magnitud cero.
Desarrollo:
El campo eléctrico del disco en el punto P está dado por:
( )
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
discoP 2 2
0 0 0 0
2 -1
R
R
1
E
=
1-
y
1-
y
1-
y
y
2
R +R
2
2 R
2
2
2
2
σ
σ
σ
σ
ε
ε
ε
ε
⋅
⋅
⋅ =
⋅
⋅ =
⋅
⋅ =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
(3 puntos)
Por otra parte, el campo eléctrico de la línea de carga infinita en el punto P es:
ˆ
líneaP
0
E
= -
y
2
R
λ
π ε
⋅
⋅ ⋅ ⋅
(3 puntos)
El campo eléctrico neto en P debe ser cero, es decir:
(
)
ˆ
ˆ
P discoP líneaP
0 0
2 -1
E = E
+ E
0
y -
y = 0
2
R
2
2
σ
λ
π ε
ε
⋅
=
⇒
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
(2 puntos)
Para que esto se cumpla:
( )
(
)
0 0
2 -1
2 -1
=
R
2
R
2
2
2
σ
λ
λ
σ π
π ε
ε
⋅
⇒
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
(2 puntos)
σ
+
λ
+
B-1) El clindro de la figura está inmerso en una zona de campo eléctrico dado por E y = 20 y -50 y
( )
(
2)
y ˆ Vm
⋅ ⋅ ⋅
a) Calcule el flujo eléctrico total a través del cilindro.
b) ¿La carga neta en el interior del cilindro es positiva o negativa? Explique brevemente
Desarrollo:
a) Como el campo tiene dirección y, el flujo a través del manto del cilindro es igual a cero.
En la cara con y = 5 [m], la magnitud del campo eléctrico está dada por
( )
(
2)
ˆ ( ) ˆ ˆ1
V V V
E = E y=5 = 20 5 -50 5 y = 500-250 y = 250 y
m m m
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(1 punto)
El vector de área en dicha cara es 2 ˆ 2 ˆ 2
1
A = - π⋅ ⋅5 y m =- 25⋅ ⋅π y m
(1 punto)
El flujo de campo eléctrico a través de esa cara es Φ1 = E1•A1=-6250⋅π V m
[
⋅]
(1 punto)
En la cara con y = 20 [m], la magnitud del campo eléctrico está dada por
( )
(
2)
ˆ ( ) ˆ ˆ2
V V V
E = E y = 20 = 20 20 -50 20 y = 8000-1000 y = 7000 y
m m m
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(1 punto)
El vector de área en dicha cara es 2 ˆ 2 ˆ 2 2
A = π⋅ ⋅5 y m =25⋅ ⋅π y m
El flujo de campo eléctrico a través de esa cara es Φ2 = E2•A2=175000⋅π V m
[
⋅]
(1 punto)
Finalmente, el flujo total a través del cilindro es:
(
)
[
]
[
]
total = 1 + 2 -6250+175000 π V m 168750 π V m
Φ Φ Φ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
(2 puntos)
b) Como el flujo total a través del cilindro es mayor que cero, en su interior hay una fuente de campo eléctrico, es decir, una carga neta positiva.
(2 puntos)
1
E
2
E
1
A
2
A
B-2) La estrella de la figura está formada por un cuadrado central de lado “a” y por cuatro triángulos equiláteros que surgen de los cuadrados. En los vértices hay cargas +2q (grises) y -3q (negras). Dibuje superficies gausseanas que contengan al menos una carga y cuyo flujo total de campo eléctrico sean iguales a:
a) 0 b) -9q/ε0
c) +q/ε0
d) -4q/ε0
e) +3q/ε0
Desarrollo:
En la figura se aprecia una de tantas posibilidades. En general, para lograr los flujos solicitados, las respecticas superficies gausseanas deben encerrar:
a) Tres cargas grises y dos negras
(2 puntos)
b) Tres cargas negras y ninguna gris(2 puntos)
c) Dos cargas grises y una negra(2 puntos)
d) Dos cargas negras y una gris (o encerrando todas las cargas)(2 puntos)
e) Tres cargas grises y una negra
(2 puntos)
a a
a
a a
a a
a a
a a
a +2 q⋅
-3 q⋅
+2 q
⋅
-3 q
⋅
0
Φ=
Φ= ⋅
-9 q
ε
00
- 4 q
ε
Φ = ⋅
0
+3 q
ε
Φ= ⋅
0
+q
ε
Φ =
B-3) [OBLIGATORIA] Considere un cascarón esférico con carga total +q y radio R, y una esfera maciza con densidad volumétrica de carga +ρρρρ0 constante y radio 2R. Determine el valor de ρρρρ0 de manera que la magnitud del
campo eléctrico en r = 3R/2 sea el mismo para ambas configuraciones.
Desarrollo:
En el cascarón esférico, el campo eléctrico en r =3R/2 tiene magnitud:
casc 2 2
k q
4 k q
E
=
9 R
3 R
2
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
⋅
(2 puntos)
Donde
0
1
k =
4
⋅ ⋅
π ε
.En la esfera cargada uniformemente, el radio r = 3R/2 está dentro de ella, por lo que encierra parte de la carga de la esfera.
La carga Q total encerrada entre r = 0 y r =3R/2 es
3
3
0 0
4
3 R
9
Q =
=
R
3
2
2
ρ
⋅ ⋅ ⋅
π
⋅
ρ
⋅ ⋅ ⋅
π
(2 puntos)
El campo eléctrico en r=3R/2 para la esfera es
esf 2 2
k Q
4 k Q
E
=
9 R
3 R
2
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
⋅
(2 puntos)
Igualando ambos campos eléctricos:
3
casc esf 2 2 0
4 k q
4 k Q
9
E
= E
q = Q =
R
9 R
9 R
ρ
2
π
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⇒
=
⇒
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
(2 puntos)
Finalmente, despejando ρ0:
3
0 0 3
9
2 q
q =
R
2
9
R
ρ
π
ρ
π
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⇒
=
C-1) La estrella de la figura está formada por un cuadrado central de lado “a” y por cuatro triángulos equiláteros que surgen de los cuadrados. En los vértices hay cargas +2q (grises) y -3q (negras). Calcule
el trabajo necesario para traer una carga +q desde el infinito hasta el centro del cuadrado.
Desarrollo:
De la pregunta C-2), se puede establecer que el potencial eléctrico en el centro del cuadrado está dado por:
0
2.78 q
V
a
π ε
⋅
≈ −
⋅ ⋅
(8 puntos)
Por definición,
V =
U
- W
W = -q V
q
q
∆ =
⇒
⋅
, donde ∆U es el cambio de energía potencial eléctrica que se produce al traer la carga Q, y W es el trabajo necesario para ello. Finalmente:2
0
2.78 q
W =
a
π ε
⋅
⋅ ⋅
(2 puntos)
a a
a
a a
a a
a a
a a
a +2 q⋅
-3 q⋅
C-2) [OBLIGATORIA] La estrella de la figura está formada por un cuadrado central de lado “a” y por cuatro triángulos equiláteros que surgen de los cuadrados. En los vértices hay cargas +2q (grises) y -3q (negras). Calcule el potencial eléctrico en el centro del cuadrado debido a todas las cargas.
Desarrollo:
Dada la simetría de la configuración, la distancia entre las cargas grises y el centro del cuadrado es la misma, y lo mismo sucede con la distancia entre las cargas negras y el centro del cuadrado.
El potencial eléctrico total en dicho punto está dado por:
(
)
gris negra gris negra
V = 4 V + 4 V
⋅
⋅
= 4 V + V
⋅
(2 puntos)
Donde
gris
0
2 q
V
=
a
4
h +
2
π ε
⋅
⋅ ⋅ ⋅
(2 puntos)
Si 3
h = a 2
⋅ es la altura del triángulo equilátero, entonces:
(
)
(
)
gris
0 0
2 q
2 q
V
=
a
2
a
3+1
4
3+1
2
π ε
π ε
⋅
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(2 puntos)
Por otra parte negro
0 0
-3 q
-3 q
V
=
a
2
2
2
a
4
2
π ε
π ε
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
(2 puntos)
Finalmente:
( )
00
0 0
2 q
3 q
V = 4
-
2
2
a
2
a
3+1
2 q
2
3
2.78 q
a
3+1
2
a
π ε
π ε
π ε
π ε
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
−
≈ −
⋅ ⋅
(2 puntos)
a a
a
a a
a a
a a
a a
a +2 q⋅
-3 q⋅
C-3) En la figura se observa una carga positiva q0 de masa m que
viaja en línea recta en dirección a un plano infinito cargado con densidad superficial de carga +σ. En el punto A lleva una velocidad de magnitud vA > 0, mientras que en el punto B se detiene. Usando
conservación de la energía, exprese σ en función de ε0, L, m, q0 y vA.
Desprecie el efecto de la gravedad.
Desarrollo:
En los puntos A y B:
(2 puntos)
A B
Energía Cinética 2
A
1
m v
2
⋅ ⋅
0
Energía Potencial Eléctrica
0 A
q V
⋅
q V
0⋅
BPor conservación de la energía, EA = EB.
(
)
2 2
A 0 A 0 B A 0 B A
1
1
m v
q V
q V
m v
q
V
V
2
⋅ ⋅
+ ⋅
=
⋅
⇒
2
⋅ ⋅
=
⋅
−
(2 puntos)
Donde B A
0
L
V
V
E L =
2
σ
ε
⋅
−
= ⋅
⋅
(2 puntos)
Reemplazando:
2 2 0
A 0 A
0 0
q
L
1
L
m v
q
m v
2
2
σ
σ
ε
ε
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
⇒
⋅
=
⋅
(2 puntos)
Finalmente, despejando σ:
2
2 0 A 0
A
0 0
q
L
v
m
m v
q L
σ
σ
ε
ε
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
=
⇒
=
⋅
(2 puntos)
+
0 qPlano infinito cargado
+
A B
0 q
σ
+A
v >0 vB=0
L
L
C-4) El potencial eléctrico en [Volts] en cierta región del espacio está dado por
(
)
2 3 2V x,y,z =42 y⋅ ⋅x - 21 x z + 25 z y⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Determine la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el punto (-3, 1, 8) donde todas las distancias indicadas están en metros.
Desarrollo:
Se sabe que
E = -
dV
x
ˆ
dV
y+
ˆ
dV
z
ˆ
dx
dy
dz
+
(2 punto)
, donde:(
)
2 3 2 3
dV
42 y - 21 z
21 2 y -z
dx
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
(1 punto)
(
)
dV
84 y x - 50 z y = 2 y
42 x + 25 z
dy
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
(1 punto)
2 2
dV
- 63 x z + 25 y
dz
=
⋅ ⋅
⋅
(1 punto)
Reemplazando los valores x = -3, y = 1 y z = 8 en las expresiones anteriores:
(
2 3)
dV
V
21 2 1 -8
-10710
dx
m
=
⋅ ⋅
=
(1 punto)
( )
(
)
dV
V
2 1 42 -3 + 25 8 = -148
dy
m
= ⋅ ⋅
⋅
⋅
(1 punto)
( )
2 2dV
V
- 63
-3 8 + 25 1
12121
dz
m
=
⋅
⋅
⋅ =
(1 punto)
El vector campo eléctrico solicitado será:
ˆ
ˆ
ˆ
V
E = 10710 x 148 y-12121 z
m
⋅ +
⋅
⋅
(1 punto)
Cuya magnitud es igual a
2 2 2