Fecha de Examen: 2013-06-28
5014 Mecánica
Primer Apellido: Matrícula: Segundo Apellido: Nombre:
NOTA: en el enunciado las magnitudes vectoriales se escriben en negrita (V), aunque en la solución Vd. Debe representarlas con una flecha (V ). No se permite el uso de calculadora. La ponderación de este ejercicio en el examen es del 25%. Todos los recuadros tienen la misma ponderación. Conteste a cada pregunta sólo con un resultado.
Segunda Parte (90 minutos) : Ejercicio nº 1
Un círculo homogéneo de masa m y radio r se mantiene siempre sobre un plano vertical rodando sin deslizar sobre una circunferencia de radio R = 4r contenida en un plano vertical. En el instante t = 0 el círculo se encuentra en reposo en la posición de la figura:
α
(t=0)=60º. Se pide determinar, considerando como datos del problema m, g (aceleración de la gravedad) y r: α r R’ RO
w
γ
g
1) El módulo vC de la velocidad del centro del
círculo y la velocidad angular w del círculo, ambos en función de
α
=dα
/dt y de los datos del problema :( )
Cv
α
=3
C
v
=
r
α
( )
w
α
=3
w
= − α
2) La energía potencial U y la energía cinética EC
del círculo en función de α y
α
=dα
/dt y de los datos del problema : (tómese como origen de energías potenciales el punto O)( )
U
α
=3
( )
cos
U
α = −
mgr
α
C( , )
E
α α
= 2 21 27
2
2
( )
CE
α =
⎛
⎜
mr
⎞
⎟
α
⎝
⎠
3) La velocidad angular w del círculo y su
aceleración angular
γ
=w en función de α y delos datos del problema:
( )
w
α
= 1 22
g
w
r
= ±
⋅
cos
α −
( )
γ α
=2
3
g
r
γ = +
sin
α
A partir de este punto, supóngase conocido el valor de
w
(
α
=
0)
=
w
0 yw
(
α
=
0)
=
0
ambos en α = 0 : 4) Módulo vI* de la velocidad de sucesión de polos ymódulo vA de la velocidad del punto A del
círculo situado en una posición diametralmente opuesta al punto de contacto entre el círculo y la circunferencia de radio R : I*
(
0)
v
α
=
= 04
3
Iv
*=
rw
(
0)
Av
α
=
=0
2
A
v
=
w r
5) Módulo aI de la aceleración del CIR y módulo aA
de la aceleración del punto A :
I
(
0)
a
α
=
= 2 04
3
Ia
=
rw
(
0)
Aa
α
=
= 2 02
3
Aa
=
rw
Nota:
Considérense para el ángulo α , la velocidad angular w y la aceleración angularγ
=w del círculo, como sentidos positivos los representados en la figura con una flecha.Fecha de Examen: 2013-06-28
5014 Mecánica
Primer Apellido: Matrícula: Segundo Apellido: Nombre:
NOTA: en el enunciado las magnitudes vectoriales se escriben en negrita (V), aunque en la solución Vd. Debe representarlas con una flecha (V ). No se permite el uso de calculadora. La ponderación de este ejercicio en el examen es del 25%. Todos los recuadros tienen la misma ponderación. Conteste a cada pregunta sólo con un resultado.
Segunda Parte (90 minutos) : Ejercicio nº 2
El motor de la figura está formado por un estator Σ y un rótor Δ de masa despreciable. El rotor tiene acoplada una polea de radio Rm
(también de masa despreciable) que transmite el giro, a través de una correa inextensible y masa despreciable, a una polea C que posee dos gargantas de radios R1 > R2. La correa se arrolla
alrededor de la garganta de mayor radio R1 de la polea C. Las
ramas superior e inferior de la correa forman ambas un ángulo α respecto de la horizontal. La garganta de menor radio R2 de la
polea C transmite el movimiento a un hilo inextensible de masa despreciable del que pende una masa m conocida. El momento de inercia IC de la polea C respecto de su eje de giro es conocido,
así como su masa M = 2m.
También son conocidos Rm y R2. Sin embargo, tanto el motor
como el radio R1 deben elegirse de forma óptima. La curva de par
del motor responde a al gráfico situado en la posición inferior izquierda de la figura, siendo n el régimen de giro del motor, nMAX
su régimen máximo de giro (conocido) y c el parámetro (a elegir) que determina el tamaño (y coste económico) del motor.
m
α α Σ ∆ T0 H z C ( ) M n nMAX n MAX 1 ( ) n M n c n ⎛ ⎞ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c ( ) M n nMAX n MAX 1 ( ) n M n c n ⎛ ⎞ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c T1 R 1 R2 Rmg
Se desea que, partiendo del reposo en t = 0 ( cuando z t( =0)=0 ), la masa m ascienda con velocidad v t( )=at entre los instantes t1 = 0 y t2, donde a es una aceleración conocida e igual a a=g/ 2, siendo g la aceleración de la gravedad.
Sabiendo que Rm = R2 = r y que IC = mr2, se pide determinar, en función del tiempo t y de los datos del problema m, g, H, r, nMAX y t2:
1) Las energías potencial Um y cinética ECm de la
masa m: (tómese U = 0 para z = 0) :
m
( )
U
t
= 2 21
4
mU
=
mg t
Cm( )
E
t
= 2 21
8
CmE
=
mg t
2) Las energías potencial UC y cinética ECC de la
polea C (tómese U = 0 para z = 0):
C
( )
U t
=2
C
U
=
mgH
CC( )
E
t
= 2 21
8
CCE
=
mg t
3) Derivada respecto del tiempo
E t
T( )
de la energía mecánica totalE
T del conjunto formado por la masa m y la polea CT
( )
=
E t
2
T
E
=
mg t
4) Tensión del hilo Tm del que pende la masa m y
potencia P suministrada por el motor :
m
( )
T t
=3
m
2
T
=
mg
( )
P t
=2
P t
( )
=
mg t
5) Régimen de giro n* al que debería girar el motor en el instante t2 si R1 y c se hubieran elegido de
modo que el tamaño del motor fuera el menor posible (a mayor c, mayor tamaño).
*
n
=1
MAX
2
*
n
=
n
6) Elección óptima del radio R1 y del parámetro c
del motor para que el tamaño de éste sea el menor posible. 1
R
= MAX 21
4
rn
gt
⋅
c
= 2 2 MAX4
mg t
n
Nota:
La situación más desfavorable en la que el motor se vería obligado a trabajar sería la correspondiente al instante t2.Resolución Propuesta Ejercicio nº1
1) La velocidad
v
Cdel centro C del círculo puede escribirse utilizando las dos
ecuaciones siguientes:
'
Cv
= + α = −
R
wr
Por tanto,
w
R
'
r
= −
α
Particularizando para
R
'
=
3
r
, se obtiene
v
C=
3
r
α y
w
= − α
3
2) La energía potencial del círculo será la debida exclusivamente a la energía
potencial gravitatoria:
(
'cos )
U
=
mgz
=
mg R
−
α particularizando para
R
'
=
3
r
:
U
( )
α = −
3
mgr
cos
α
La energía cinética del círculo será
2 2 2 2 2
1
1
1
1 1
2
2
2
2 2
'
( ' )
C CR
E
mv
Iw
m R
mr
r
⎛
⎞⎛
⎞
=
+
=
α +
⎜
⎟⎜
−
α
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
Particularizando para
R
'
=
3
r
y simplificando se obtiene
1 27
2 22
2
( )
C
E
α =
⎛
⎜
mr
⎞
⎟
α
⎝
⎠
3) El sistema es conservativo (la única fuerza aplicada presente, el peso, deriva de una función potencial y no existe
deslizamiento) por lo que la energía mecánica se conserva:
2 2
1 27
3
cte
2
2
cos
CE
= +
U
E
= −
mgr
α +
⎛
⎜
mr
⎞
⎟
α =
⎝
⎠
En el instante t = 0,
α =
(
t
0
)
=
60
º
y
α =
(
t
0
)
= , por tanto
0
cte
0
3
2
(
)
E
=
=
E t
=
= −
mgr
Consiguientemente la ecuación de la energía mecánica queda en la forma :
2 2
1 27
3
3
2
2
2
cos
mgr
⎛
mr
⎞
mgr
−
α +
⎜
⎟
α = −
⎝
⎠
Despejando
α
se obtiene
1 2 1 2 23
3
4
2
2
1 27
9
3
2
2
cos
(cos
)
cos
mgr
mgr
g
g
r
r
mr
−
+
α
α −
α =
=
=
⋅
α −
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∓
∓
∓
Dado que
w
= − α
3
,
1 22
g
w
r
= ±
⋅
cos
α −
α r R’ RO
w
γ
Si se deriva la ecuación de la energía mecánica respecto del tiempo:
2 2 21 27
3
27
3
3
0
2
2
2
2
d
d
mgr
mr
mgr
mgr
mr
dt
dt
⎡
−
α +
⎛
⎞
α =
⎤
⎡
−
⎤
⇒
α
α +
⎛
⎞
αα =
/
/
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎝
⎠
⎥
⎢
⎣
⎥
⎦
⎝
⎠
⎣
cos
⎦
sin
Simplificando y despejando
α
se tiene
2
3
2
27
9
2
sin
sin
mgr
g
r
mr
α = −
α = −
α
Dado que
w
= − α
3
, se tendrá que
γ =
w
= − α y por tanto
3
2
3
g
r
γ = +
sin
α
4)
Apartir de este punto, se supone conocido el valor de
w
(
α
=
0)
=
w
0y
w
(
α
=
0)
= , ambos en α = 0 .
0
La velocidad de sucesión de polos puede obtenerse utilizando la siguiente expresión:
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
4
1
1
1
1
1
3
4
Iw
w
rw
r
R
r
r
×
×
×
=
⋅
=
=
=
×
−
−
−
ρ
ρ
k
n
w n
k
n
v
k
n
n n
*(
)
(
)
(
)
Por tanto su módulo será:
4
03
I
v
*=
rw
La velocidad del punto A responde a la siguiente expresión:
AIA
(
w
0 1) (2
r
1)
2
w r
0(
1 1)
→
= ×
=
×
=
×
v
w
k
n
k
n
Por tanto su módulo sería
v
A=
2
w r
0,
5) La aceleración del centro instantáneo de rotación sería
0 14
0 1 14
02 13
3
I Iw
rw
rw
⎡
⎤
= − ×
= −
×
⎢
×
⎥
=
⎣
⎦
a
w v
*(
k
)
(
k
n
)
n
Su módulo sería
2 04
3
Ia
=
rw
La aceleración del punto A puede calcularse utilizando la siguiente expresión:
2 2 2 0 1 0 1 0 1
4
2
IA
IA
2
3
3
A Irw
rw
rw
→ →=
+ ×
+ ×
×
=
+ −
= −
a
a
w
w
(
w
)
n
0
n
n
Por tanto, su módulo sería:
2
023
Aa
=
rw
n1 n I AResolución Propuesta Ejercicio nº2
1) La masa m posee un movimiento uniformemente acelerado (posee
aceleración constante
v
= =
a
cte
), por tanto:
2
0 0 0 0
1
2
(
)
(
)
z
=
a t
−
t
+
v t
−
t
+
z
Pero en este caso,
t
0=
0
,
z
0=
0
y
v
0=
0
. Consiguientemente:
2
1
2
z
=
at
La energía potencial de la masa m es :
2 2 2
1
1
2
4
mU
=
mgz
=
mg
⎛
⎜
at
⎞
⎟
=
mg t
⎝
⎠
(recuérdese que
a
=
g
/
2
)
La energía cinética de la masa m es :
1
21
( )
21
2 22
2
8
Cm
E
=
mv
=
m at
=
mg t
2) La velocidad de rotación w de la polea C es
w
=
v R
/
2=
v r
/
=
at r
/
=
gt
/(
2
r
)
La energía potencial de la polea C es :
U
C=
MgH
=
2
mgH
La energía cinética de la polea C es :
( )
2 2 2 2 2
1
1
1
2
2
2
8
CC Cgt
E
I w
mr
mg t
r
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
=
⎝
⎠
3) Por tanto la energía mecánica total del sistema formado por la polea C y la masa m será:
2 2 2 2 2 2 2 2
1
1
1
1
2
2
4
8
8
2
(
) (
)
T m Cm C CCE
=
U
+
E
+
U
+
E
=
mg t
+
mg t
+
mgH
+
mg t
=
mg t
+
mgH
Consiguientemente la derivada de
E respecto del tiempo será
T 2 TE
=
mg t
4) La ecuación correspondiente a la dinámica vertical de la masa m es:
3 1 m 2 m 2
z
F
=
mz
⇒ +
T
−
mg
=
ma
=
mg
⇒
T
=
mg
∑
Dado que los únicos elementos con masa (y por tanto con energías cinéticas y potenciales no nulas) son la polea C
y la masa m, la energía mecánica total del sistema formado por rotor+correa+polea+hilo+masa_m coincide con
T
E . En estas condiciones, y sabiendo que no existen pérdidas energéticas debido a la presencia de rozamiento, toda
la energía suministrada por el motor se invertirá en aumentar
E . Por tanto:
T2
( )
T( )
P t
=
E t
=
mg t
m
α α Σ ∆ T0 H z C ( ) M n nMAX n MAX 1 ( ) n M n c n ⎛ ⎞ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c ( ) M n nMAX n MAX 1 ( ) n M n c n ⎛ ⎞ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c T1 R 1 R2 Rm5) En la situación más desfavorable (instante t
2) es motor deberá suministrar la siguiente potencia máxima:
2
2 2
P
max=
P t
( )
=
mg t
Si el motor se elige de forma óptima en ese instante (t2) deberá estar girando al régimen de potencia máxima y
desarrollando su máxima potencia
W
max. La curva de potencia
W
=
W n
( )
del motor es :
MAX
( )
( )
1
n
W n
M n n
c
n
n
⎛
⎞
=
⋅ = ⋅ −
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
Esta curva toma un valor nulo en
n
=
0
y en
n
=
n
MAX. En un punto intermedio se alcanzará el máximo
W
max. Para
determinar el valor de
W
maxy el régimen de giro
n al cual se alcanza se deriva y se iguala a cero:
W1 MAX 2
1
MAX MAX max 4 MAX
1
1
0
(
)
W W W Wn
n
n
dW
c
n
c
dn
n
n
W
W n
cn
=
⎧
⎛
⎞
= − ⋅
⋅
+ ⋅ −
⎜
⎟
= ⇒ ⎨
=
=
⎝
⎠
⎩
Por tanto, si se realiza una elección óptima de
R y c, en el instante
1t el motor debería estar girando al régimen:
21 MAX 2
*
Wn
=
n
=
n
6) Así mismo, el valor óptimo del parámetro c sería aquel para el cual se igualaran la potencia máxima
suministrable por el motor (
1max 4 MAX
W
=
cn
) con la máxima potencia demandada por el sistema
(
2 2 2P
max=
P t
( )
=
mg t
) :
2 2 2 1 MAX 2 4 MAX4
mg t
cn
mg t
c
n
=
⇒ =
Por otro lado, el motor en el instante
t estaría girando con velocidad angular
2 1 MAX 2*
Wn
=
n
=
n
. Pero la polea lo
estaría haciendo con velocidad angular
w t
( )
2=
v t
( ) /
2R
2=
gt
2/ (2 )
r
. Por tanto:
1 MAX 2 2 MAX 2 2 1 1 2 2 2