Solucionario de las actividades propuestas en el libro del alumno

Solucionario de las actividades propuestas en el libro del alumno 7.2. LEY DE COULOMB

Página 147

1. La distancia que separa entre sí los dos protones de un núcleo de helio es del orden de 1 fm (10−15_m).

a) Calcula el módulo de la fuerza que ejerce cada uno de los protones so-bre el otro.

b) Esta fuerza, ¿es de atracción o de repulsión?

c) ¿Cómo podemos justificar la estabilidad nuclear de un átomo que tenga más de un protón en el núcleo?

Dato: q_p=1,6 · 10−19_C

a) El módulo de la fuerza que ejercen entre sí dos cargas eléctricas viene dado por:

b) La fuerza es de repulsión, dado que las cargas son del mismo signo.

c) La estabilidad nuclear la produce la fuerza nuclear fuerte, que mantiene uni-dos entre sí a los nucleones, a pesar de la repulsión electrostática. Estudiamos esta interacción en la última parte del libro, en el tema de física atómica y nu-clear.

Si mantenemos constantes las demás variables (tipo de partículas, carga, masa y distancia a que se encuentran), la intensidad de la fuerza nuclear fuerte que actúa entre dos partículas es más de cien veces superior a la intensidad de la fuerza electrostática.

7.3. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO Página 149

1. Calcula la intensidad del campo eléctrico que crea en el origen del sistema de referencia un dipolo formado por dos cargas, de +1 mC y –1 mC, situa-das en el vacío en los puntos (1,0) y (–1,0) m, respectivamente.

x (m) q_{1 = –1mC} (–1, 0) (1, 0) q_{2 = 1mC} y (m) u2 u1 F K Q q r = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − 2 9 19 19 15 2 9 10 1 6 10 1 6 10 1 10 230 4 , , ( ) , N

La situación de las cargas es la que se representa en la figura anterior.

En primer lugar, calculamos los vectores unitarios que unen las cargas con el ori-gen del sistema de referencia:

La intensidad del campo eléctrico es una magnitud aditiva, por lo que, aplicando el principio de superposición en el origen del sistema de referencia, tendremos:

2. Calcula el lugar geométrico de los puntos del plano XOY en los que se anula el campo eléctrico que crean dos cargas iguales situadas en (1,0) y (–1,0) m.

La posición de las cargas es la misma que la representada en la cuestión anterior, pero en este caso las dos cargas tienen idéntico valor.

El campo eléctrico creado en cada punto por las dos cargas es la suma de los campos creados por cada una de ellas en ese punto, por lo que podemos aplicar el principio de superposición para calcular la intensidad del campo eléctrico en cualquier punto:

donde hemos tenido en cuenta que las dos cargas son iguales. Por tanto, en los puntos en que se anula el campo eléctrico tenemos:

Es fácil comprobar que el único punto para el que se cumple esta relación es el punto medio entre las dos cargas, que en este caso es el origen de coordenadas, para el cual:

3. Para resolver la cuestión anterior, ¿necesitas conocer el valor de las car-gas? ¿Y el medio en que se encuentran? ¿Por qué?

No es necesario conocer ni el valor de las cargas ni el medio en que se encuen-tran, puesto que, como vimos en la cuestión anterior, estos dos valores afectan proporcionalmente al campo eléctrico creado por las dos cargas.

r r u u 1 2 1 2 = = r _–r ET = →0 r u +r u = 1 1 0 1 2 1 2 2 2 r r r r _{r r r r} E E k Q r u Q r u K Q r u r u T i i = = ⋅ +    = ⋅ ⋅ +     =

∑

1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 r _{r r} r r r E k q r u q r u i i i T i = = ⋅ ⋅ +    = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅   = − ⋅ ⋅ ⋅ = − − −

∑

1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 9 3 2 3 2 6 1 9 10 1 10 1 1 10 1 ( 1 ) 18 10 N C r r r r u i u i 1 2 1 1 = ⋅ = − ⋅

7.4. POTENCIAL ELÉCTRICO Página 151

1. Calcula el vector campo eléctrico que crea una carga puntual negativa de 1 µC en puntos situados a 10 cm de distancia de ella, si el medio es el vi-drio. Dibuja las líneas de fuerza del campo en las proximidades de la carga puntual.

La permitividad eléctrica del vidrio es ε =60 · 10−12 _{U.I. Por tanto, la constante K}

del vidrio resulta:

El campo eléctrico que nos piden es, por tanto:

La dirección del vector campo es radial, estando su sentido dirigido hacia la car-ga que lo crea.

2. Si a 10 cm de la carga de la cuestión anterior situamos otra carga, de 500 µC positiva, ¿qué energía potencial adquiere? ¿Y si fuese negativa la carga, pe-ro del mismo valor?

Al resolver esta cuestión, seguiremos suponiendo que el medio es el vidrio. En primer lugar, calculamos el potencial:

Conocido este, resulta sencillo calcular la energía potencial: E_p=q · V=500 · 10−6_{· 1,33 · 10}4=_{6,65 J}

Si la carga fuese de signo contrario:

E_p=q · V= −500 · 10−6_{· 1,33 · 10}4= −_{6,65 J} V K Q r = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − − 1 33 10 10 10 10 1 33 10 9 6 2 4 , , V −Q E E E E E E E E E K Q r = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − 2 9 6 2 5 1 1 33 10 1 10 0 1 1 33 10 , , , N C K = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ 1 4 1 4 60 10 12 1 33 10 9 π ε π , U.I.

3. ¿Puede ser nulo el potencial eléctrico en un punto del espacio sin que lo sea el campo eléctrico en dicho punto? Pon un ejemplo que lo aclare.

Sí, puede ocurrir. Veamos un ejemplo.

Supongamos dos cargas iguales, de valor q, pero de signo opuesto, separadas una distancia d. El potencial que crean en cualquier punto de la línea que las une es:

Veamos si se anula el potencial en algún punto:

Como vemos, el potencial se anula en el punto medio.

Por otra parte, el campo eléctrico en cualquier punto de la línea que une las car-gas es:

Por tanto, en el punto en que se anula el potencial (x=d/2) resulta:

En este punto el campo no es nulo, lo que demuestra que existen puntos en los que el potencial es nulo, sin serlo el campo eléctrico asociado.

7.5. SIGNIFICADO FÍSICO DEL POTENCIAL Página 153

1. Se traslada una carga de 5 µC desde el infinito hasta cierto punto, P. Para ello debemos realizar un trabajo externo de 0,05 J.

a) Calcula el potencial que existe en el punto P si nos encontramos en el vacío.

b) ¿Qué variación experimenta la energía potencial de la carga?

a) El trabajo que realizamos al trasladar la carga viene dado por la expresión: W = −q · ∆V=q · (V_i−V_f)

En el infinito, el potencial es nulo. Por tanto:

W q V V q V V W q i f f f = ⋅ − = − ⋅ → → = − = − − ⋅ − = ( ) , 0 05 5 106 10 000 V r E K q d q d d K q d K q d = ⋅    + −             = ⋅ ⋅    = ⋅ ⋅ ≠ 2 2 2 2 8 0 2 _{( / )}2 2 2 r r r E K q r u K q x q d x u i i r i r = ⋅ ⋅ = ⋅ + −   ⋅ =

∑

2 1 2 2 _{( )}2 V K q x q d x q x q d x x d = ⋅ − −    = → ⋅ = ⋅0 ( − )→ = 2 V K q r K q x q d x i i i = ⋅ = ⋅ − −    =

∑

1 2

b) La variación que experimenta la carga en su energía potencial es:

∆E_p=q · (V_f−V_i) =q · V_f =5 · 10−6_{· (10 000} −₀₎ =_{0,05 J}

Como vemos, la energía potencial de la carga aumenta.

2. ¿Qué resultados habríamos obtenido si hubiésemos trasladado, en las mis-mas condiciones, una carga de −5 µC?

Procediendo igual que en la cuestión anterior, el potencial será ahora:

siendo la variación de energía potencial:

∆E_p=q · (V_f−V_i) =q · V_f = −5 · 10−6_{· (}−_{10 000} −₀₎ =_{0,05 J}

El resultado nos indica que la energía potencial de la carga aumenta, pues el enunciado dice que el trabajo se realiza en las mismas condiciones; es decir, rea-lizando un trabajo exterior.

3. Conocido el potencial que crea un campo en un punto, ¿puedes predecir cómo será la fuerza que actúe sobre una carga al situarla en ese punto? ¿Necesitas algún otro dato?

Conocido el potencial que crea el campo en un solo punto y el valor de la carga que colocamos en dicho punto, no podemos determinar la fuerza que actúa so-bre la carga.

Necesitamos saber:

• El valor de la carga que crea el campo y la distancia a que se encuentra del punto considerado. Si el campo está creado por varias cargas, necesitamos co-nocer el módulo, la dirección y el sentido del vector campo eléctrico.

• El signo de la carga que situamos en el punto del que conocemos el potencial, para establecer si la fuerza es de atracción o de repulsión.

4. La d.d.p. entre dos puntos, A y B, de un campo eléctrico es de 220 V. Calcu-la el trabajo que debemos realizar para trasCalcu-ladar una carga de 10 µC de A a

B, y el trabajo que realiza el campo en ese mismo proceso.

Siendo V_AB=V_A−V_B=220 V, el trabajo que realizamos para trasladar la carga re-sulta:

W =q · (V_f−V_i)=q · (V_B−V_A)=q · V_BA=10 · 10−6_{· (}−₂₂₀₎= −_{2,2 · 10}−3_J

El trabajo que realiza el campo tiene el mismo valor, aunque es de signo opues-to: W_campo=2,2 · 10−3_J W q V V q V V W q i f f f = ⋅ − = − ⋅ → → = − = − − − ⋅ − = − ( ) , 0 05 5 10 6 10 000 V

7.7. CAMPO GRAVITATORIO Y CAMPO ELÉCTRICO Página 157

1. Calcula el valor del campo gravitatorio creado por una esfera maciza y ho-mogénea, de masa M y radio R, en puntos situados más allá de su superficie.

Calculemos el flujo neto que crea dicha esfera en un punto situado más allá de su superficie. Para ello, aplicamos el teorema de Gauss tomando como superficie la que se indica. De ese modo:

El vector superficie y el vector campo forman un ángulo de 180°. Ello explica el signo negativo del resultado.

Conocido el flujo, vamos a calcular el campo gravitatorio en puntos exteriores a la propia esfera. Para ello, aplicamos el teorema de Gauss a una superficie de ra-dio r >R centrada en la esfera:

Desarrollando la integral anterior:

r r g dS⋅ = − ⋅g

∫

dS = − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅g S g r G M

∫

4 π 2 4 π R M O g r dS φ=

∫

g dSr r⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅4 π G M r r r r g dS G M g dS g dS cos g dS g r g G M r ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ° = − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅      → = ⋅

∫

∫

∫

∫

4 180 4 2 2 π π g dS g g g g g g g g

obtenemos una expresión que nos permite calcular el valor del campo gravitato-rio, g:

2. Calcula el valor del campo gravitatorio que crea esa misma esfera en pun-tos situados en su interior.

Si queremos calcular el campo gravitatorio en un punto interior de la esfera, si-tuado a una distancia r <R del centro de la misma, aplicaremos el teorema de Gauss a una esfera de radio r cuyo centro debe coincidir con el de la esfera que nos proporcionan.

En este caso, solo influirá en el campo gravitatorio la masa encerrada en el inte-rior de la esfera de radio r. Por tanto:

de donde, al despejar g:

Ahora se trata de poner la masa interior en función de la masa total. Para ello, re-cordemos que la densidad de una esfera homogénea, de masa M y radio R, es:

De acuerdo con ello, la masa interior encerrada por la esfera de radio r resulta:

Con ello, el campo gravitatorio en el interior de la esfera resulta:

g G M r G M r r R G M R r int = − ⋅ ₂ = − ⋅₂ ⋅ 3₃ = − ⋅₃ ⋅ M r r M R M r R int = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅   4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 π ρ π π r M_int O g R dS ρ π = ⋅ ⋅ M R 4 3 3 g G M r G M r int int = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ 4 4 2 2 π π φ=

∫

g dSr r⋅ = −g dS

∫

= − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅g S g 4 π r2 4 π G M_int g G M r G M r = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ 4 4 2 2 π π

Como vemos, el campo gravitatorio aumenta linealmente a medida que nos aleja-mos del centro de la esfera.

3. Calcula el valor del campo eléctrico creado por una carga esférica homo-génea, de carga Q y radio R, en puntos situados en el exterior de la propia carga.

Calcularemos el flujo neto que crea dicha esfera en un punto situado más allá de su superficie. Para ello, aplicamos el teorema de Gauss tomando como superficie la que se indica. De ese modo:

En esta expresión, K es la constante dieléctrica del vacío.

4. Calcula el valor del campo eléctrico que crea esta misma carga en puntos situados en el interior de ella.

Si queremos calcular el campo eléctrico en un punto interior de una esfera, que se encuentre a una distancia r <R, consideraremos una esfera de radio r con el mismo centro que la esfera que nos proporcionan, a la que aplicaremos el teore-ma de Gauss. En este caso, solo influirá la carga encerrada en el interior de la es-fera de radio r :

Despejando E, resulta:

Si suponemos que es una esfera conductora y tenemos en cuenta que en un con-ductor la carga se distribuye por su superficie, siendo nula la carga neta en el in-terior del mismo, resulta:

E K Q r K Q r int int = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 4 4 2 2 π π r Q_int O R dS E φ=

∫

⋅ =

∫

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅π π r r E dS E dS E S E 4 r2 4 K Q_int r r r r E dS q K q E dS E dS E dS E r K q E r E K q r e e e e ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅       → → ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ → = ⋅

∫

∫

∫

∫

ε π π π π 0 2 2 2 4 4 4 4 R O Q r dS E

En el interior de un conductor cargado el campo eléctrico es nulo.

ACTIVIDADES DE LA UNIDAD Cuestiones

1. En un campo eléctrico constante de signo positivo, el potencial eléctrico: a) Es nulo.

b) Es constante.

c) Disminuye de forma constante. d) Aumenta de forma constante.

e) Disminuye con el cuadrado de la distancia.

El campo y el potencial están relacionados mediante la siguiente expresión: dV = −Er· drr

Si el campo es constante y el desplazamiento es en el sentido de Er:

Si el campo eléctrico es constante, el potencial disminuye linealmente con la distancia. La respuesta correcta es c).

2. Cierta distribución de cargas, que se encuentra en el interior de una esfe-ra de 1 m de esfe-radio, crea un campo eléctrico, perpendicular en todo mo-mento a la superficie de la esfera, que viene dado por:

siendo E₀=1 000 V · m−1_{y r la distancia a que nos encontramos del centro}

de la esfera.

Calcula la carga que existe en el interior de la esfera, suponiendo que está en el vacío.

En la superficie de la esfera, r =R. Por tanto, el campo eléctrico en su superficie es:

Aplicando el teorema de Gauss a la superficie esférica:

φ ε π π ε = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

∫

∫

r r r r E dS Q E dS E S E R R E Q 0 0 2 2 0 0 4 4 E r( =R)=E0⋅R2 1 E E r = 0⋅ 2 1 dV = − ⋅E dr →

∫

dV = − ⋅E

∫

dr →∆V = − ⋅E ∆r E K Q r int = ⋅₂ =0

Despejando la carga Q, y sustituyendo los datos del enunciado: Q =E₀· 4 · π· ε₀=1 000 · 4 · π· 8,84 · 10−12 =_0,11 µ_C

3. Aplica el teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico que se pro-duce a una distancia b de un hilo cargado, indefinido y cuya densidad li-neal de carga es 8.

Nota: Para aplicar el teorema de Gauss, toma una superficie cilíndrica cuyo eje de simetría coincida con el hilo cargado.

Tomaremos como superficie de Gauss una superficie cilíndrica de radio b y al-tura L, cuyo eje de simetría coincide con la recta soporte de la carga.

El flujo total a través de dicha superficie es:

φ = φ₁+ φ₂+ φ₃

En este caso, tanto φ₁como φ₂son nulos, al ser perpendiculares el vector campo eléctrico y el vector superficie:

Er₁⊥Sr₁ ; Er₂⊥Sr₂→Er₁· Sr₁=Er₂· Sr₂=0 En cambio, para la superficie 3, resulta:

Sustituyendo cada término por su valor:

A continuación, podemos sustituir la densidad lineal de carga, λ, por el valor que se proporciona en el enunciado del problema, que en las unidades con las que estamos trabajando en todo el libro, las unidades S.I., es de 8 C · m−1_{. Al}

ha-cer esto, obtenemos la expresión que permite calcular la intensidad del campo eléctrico en función de la distancia al hilo:

donde el campo eléctrico se expresa en N · C−1_{si b se expresa en metros.}

E b b b = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − λ π ε π 2 8 2 8 84 10 1 44 10 0 12 11 , , E b L L E b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 0 0 π λ ε λ π ε φ ε 3 3 3 3 0 =

∫

E dSr r⋅ = ⋅E

∫

dS = ⋅ =E S q L q=λ.L S₁ E₃ E2 E₁ S3 S2 b

Ejer cicios

4. Se tienen tres bolitas, A, B y C, del mismo radio, dispuestas horizontal-mente. Las bolitas A y B están fijas, se encuentran separadas 50 cm y están cargadas negativamente, siendo la carga de A ocho veces mayor que la de B. La bolita C está inicialmente en estado neutro y puede mover-se en la recta que une A con B.

Se coge la bolita C con unas pinzas aislantes y se pone en contacto con A, dejándola después libre en la línea que une A con B. Calcula la carga de las esferas A y C tras el contacto.

La capacidad de un conductor esférico viene dada por la expresión: C =4 · π· ε_o· R

Por tanto, en el caso que nos proponen, las tres bolitas tienen la misma capaci-dad.

Al poner en contacto las dos esferas, se produce una transferencia de electrones de A a C, ya que la carga de A es negativa. Dicha transferencia finaliza cuando ambas esferas quedan al mismo potencial, ya que, en ese caso, al no existir d.d.p. entre ambas, cesa el flujo de electrones.

Al tener la misma capacidad y el mismo potencial, ambas esferas (A y C ) que-darán con la misma cantidad de carga eléctrica:

q'_A=q'_C

Como la carga es una magnitud conservativa, la carga inicial es la suma de am-bas tras el contacto:

q_A=q'_A+q'_C=2 · q'_A Por tanto:

q'_A =0,5 · q_A

Como vemos, la carga inicial de la esfera se reparte por igual entre las esferas A y C.

Si tenemos en cuenta que:

q_A=8 · q_B=2 · q'_A la relación entre las cargas de las tres esferas es:

q'_A =q'_C=4 · q_B

5. En el sistema de encendido de un motor de coche hay dos electrodos se-parados 0,7 mm. Si el aire comienza a ionizarse cuando el campo eléctri-co alcanza un valor de 3,5 · 106_{V · m}−1_{, ¿cuál es la diferencia de potencial}

que hemos de aplicar entre los dos electrodos para que se produzca la chispa?

El objetivo del encendido es provocar una chispa que haga detonar la mezcla aire-gasolina que se encuentra en el interior del cilindro. Para ello, el campo eléc-trico entre los electrodos ha de ser suficientemente intenso. De este modo, se ioniza el aire y se establece una corriente de cargas eléctricas a través de él.

Los dos electrodos y el aire que se encuentra entre ellos, que actúa como die-léctrico, forman un condensador. Por ello, al fenómeno consistente en ionizar el aire se lo denomina también “perforar el dieléctrico”.

La diferencia de potencial mínima que debemos aplicar en este caso es: V =d · E= 0,7 · 10−3_{· 3,5 · 10}6= _{2 450 V}

6. En el plano inclinado de la figura, en el que se pueden despreciar los ro-zamientos, se encuentran dos masas de 1 g cada una. Una de ellas, m₁, se encuentra fija en la base del plano, mientras que la otra, m₂, permanece, sin caer, a cierta altura h. Ambas masas están cargadas positivamente, siendo su carga 1 mC.

¿A qué altura se encuentra la masa m₂respecto de la base del plano?

La masa m₂no se mueve, debido al equilibrio de fuerzas entre la componente del peso en la dirección del plano inclinado, que la haría caer, y la fuerza elec-trostática de repulsión, que la aleja de la otra carga:

F_eléctrica=P_x Los valores de estas dos fuerzas son:

Por tanto:

Despejando, obtenemos la distancia, l, que separa ambas masas:

Por tanto, la masa 2 se encuentra a una altura:

h =l · sen 30°=1 354,57 · 0,5 =677,285 m l K q m g sen = ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ ⋅ = − − 2 9 3 2 3 30 9 10 10 10 9 81 0 5 1 354 57 m ( ) , , , K q l m g sen ⋅ ₂2 = ⋅ ⋅ 30° F K q l P m g sen eléctrica x = ⋅ = ⋅ ⋅ ° 2 2 30 m1 30° h m2

7. La figura representa un condensador de placas paralelas. ¿En cuál de las gráficas se muestra cómo varían el campo eléctrico y el potencial eléctrico con la distancia, si toma-mos como origen de potenciales la placa negativa?

El campo eléctrico que existe en un condensador de placas paralelas puede considerarse constante. Por tanto:

Es decir, cuando el campo eléctrico es constante, el potencial varía linealmente con la distancia. En nuestro caso tomamos la placa negativa como origen de potenciales (V = 0) y de distancia, estando la placa cargada positivamente a potencial superior. Por tanto:

dV = −Er · drr = −E · dr · cos 180° =E · dr→V =E · r

Al alejarnos de la placa negativa, el potencial aumenta linealmente, desde V=0, permaneciendo constante el campo en el interior del condensador. La gráfica correcta es c).

8. Se tiene una gota de mercurio de forma esférica y radio R cuya carga ini-cial es nula. ¿Qué figura muestra correctamente cómo varía la distribu-ción del campo eléctrico en fundistribu-ción de la distancia a que nos encontra-mos del centro de la esfera?

De acuerdo con el teorema de Gauss, el campo eléctrico en un conductor cargado y en equilibrio es nulo. Por tanto, desde el centro de la esfera hasta la distancia r =R, el campo eléctrico es nulo.

Sin embargo, para la superficie de la esfera y en puntos situados a una distancia del centro de la esfera superior al radio, el campo eléctrico tiene un valor:

lo que se corresponde con la gráfica a).

E Q r = ⋅ ⋅ ⋅ 4 π ε₀ 2 E d R a) E d R b) E d R 2.R c) E d R d) dV = − ⋅E dr →

∫

dV = − ⋅E

∫

dr →∆V = − ⋅E ∆r E a) b) c) d) x E x E x E x V x V x V x V x + + + + + + + – – – – – – – d

Pr oblemas

9. Las nubes de una tormenta y la Tierra forman un condensador cuya ca-pacidad es de 0,4 µF. La nube alcanza un potencial de 2 · 108_{V respecto a}

tierra antes de descargar rayos. Si estos se producen cada 5 segundos, calcula la potencia que se desarrolla en la nube.

A efectos de cálculo, supondremos que el sistema físico se comporta como si se tratase de un condensador de placas planas. En dicho condensador, las placas cargadas son las nubes y la superficie de la Tierra, siendo el dieléctrico el aire. Calculemos en primer lugar la energía almacenada en este “condensador”:

La nube es capaz de cargar toda esa energía en tan solo 5 segundos, ya que, a continuación, la descarga mediante un rayo. Por tanto, la potencia de la nube debe ser:

10. El núcleo de un átomo de plata tiene carga positiva, debido a los 47 pro-tones que lo forman. Calcula el potencial que crea esta carga en un punto situado a 6 · 10−13_{m del centro del núcleo.}

Debido a la proximidad a la que se encuentran unos de otros, supondremos el conjunto de protones como una carga puntual. El potencial que crea esta carga viene dado por:

Teniendo en cuenta que la carga de un protón es q=1,6 · 10−19_{C, el potencial será:}

11. Cerca de la superficie de la Tierra, el campo eléctrico tiene un valor apro-ximado de 150 N · C−1_{, y está dirigido hacia el centro de esta. Calcula el}

va-lor de la fuerza (módulo, dirección y sentido) que experimenta el núcleo de un átomo de plomo, que contiene 82 protones, al encontrarse sobre la superficie terrestre. La carga del protón es de 1,6 · 10−19 _C.

La situación que describe el problema es la que se muestra en la figura.

La relación entre fuerza y campo eléctrico es:

Fr_eléctrica=q · Er

Teniendo en cuenta la carga del núcleo del átomo de plomo, así como la direc-ción y sentido del vector campo, resulta:

Fr_eléctrica=q · Er =82 · 1,6 · 10−19 _{· (}−_{150 · k}r₎ = −_{1,968 · 10}−15 _{· k}r _N V = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − 9 10 47 1 6 10 6 10 112 800 9 19 13 ( , ) V V K q r = ⋅ P E t =∆ = ⋅ = ⋅ ∆ 8 10 5 1 6 10 9 9 , W ∆ E = ⋅ ⋅1 C V = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ 2 1 2 0 4 10 2 10 8 10 2 _, 6 ₍ 8 2₎ 9 _J E X Y Z

12. Dos cargas eléctricas puntuales, de −20 y 90 µC se encuentran en el aire, separadas 15 cm.

a) Calcula el potencial en el punto medio de la recta que une ambas car-gas.

b) Calcula, si existe, el punto entre ambas cargas en el que el potencial eléctrico se anula.

a) El potencial creado por una carga puntual es:

Por tanto, el potencial creado por ambas en el punto medio de la recta que las une será:

b) Si existe, supondremos que dicho punto se encuentra a una distancia de la carga negativa que representaremos por x. De este modo:

Despejando x en esta expresión, resulta:

Como vemos, a 2,73 cm de la carga de −20 µC, el potencial eléctrico se anula.

13. Una bolita, cargada eléctricamente, de 1 gramo de masa, es atraída por una placa cargada de modo que forma un ángulo de 45° con la vertical.

a) Dibuja un diagrama con las fuerzas que actúan sobre la bola cuando se encuentra en equilibrio. + + + + + + + 45° 20 10 90 10 0 15 3 20 90 3 110 2 73 10 2 73 6 6 2 ⋅ ₌ ⋅ − → − ⋅ = ⋅ → → = = ⋅ = − − − x x x x x , , , cm V K q r K x x i i i = ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ −    = = − −

∑

1 2 _{6 6} 20 10 90 10 0 15, 0 V K q r medio i i i = ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅     = = = ⋅ − − − −

∑

1 2 9 6 2 6 2 6 9 10 20 10 7 5 10 90 10 7 5 10 8 4 10 , , , V V K q r = ⋅

b) Si el campo eléctrico en las proximidades de la placa es de 1 050 V · m−1_,

calcula el módulo y el signo de la fuerza que actúa sobre la bolita. c) Calcula la carga que posee la bola cuando se encuentra en equilibrio.

a) Sobre la bolita actúan las fuerzas que se indican: • Su propio peso.

• La fuerza eléctrica de atracción que se produce entre cargas de distinto signo.

• La tensión que soporta el hilo, cuya dirección y sentido se indican en la ilustración.

b) Planteamos el equilibrio de fuerzas en direcciones OX y OY: OX → −T · sen 45°+ F_eléctrica= 0 →T · sen 45°=q · E

OY→T · cos 45° −m · g =0 →T · cos 45° =m · g Sustituyendo en la segunda expresión, podemos calcular la tensión:

Conocida la tensión, resulta inmediato calcular la fuerza eléctrica: F_eléctrica=T · sen 45°= 1,387 · 10−2_{· sen 45°} = _{9,81 · 10}−3 _N

c) Una vez calculada la fuerza eléctrica, podemos despejar la carga de la bolita:

14. Tres cargas iguales, de +100 µC, están situadas en el vacío, en los puntos

A (0,0), B (0,4) y C (3,0). Las coordenadas se expresan en metros.

a) Calcula la fuerza que las dos primeras cargas ejercen sobre la tercera. b) Calcula el vector intensidad del campo eléctrico en el punto (3,0).

a) La situación de las cargas es la que se muestra en la figura de la página siguiente. F q E q F E eléctrica eléctrica = ⋅ → = = 9 81 10⋅ − = ⋅ − 1 050 9 34 10 3 6 , , C T cos m g T m g cos cos ⋅ ° = ⋅ → → = ⋅ ° = ⋅ ° = ⋅ − − _N 45 45 10 9 81 45 1 387 10 3 2 , ,

+

+

+

+

+

+

+

45° T Tx Ty OY OX P F_eléctrica

Para determinar la fuerza total que actúa sobre la carga C debido a la acción de A y B, aplicamos el principio de superposición, calculando por separado la fuerza que ejerce cada carga (A y B) sobre C, y sumando ambos resultados. La fuerza que ejerce A sobre C es:

Para calcular la fuerza que ejerce B sobre C, calculamos en primer lugar el vector unitario de la dirección en que está dirigida esa fuerza:

La fuerza que ejerce B sobre C es, por tanto:

Al sumar ambas fuerzas, resulta:

Fr =Fr_AB+Fr_BC=12,16 · ir −2,88 · jr N

b) Para calcular la intensidad del campo eléctrico, aplicamos, al igual que en el apartado anterior, el principio de superposición.

Para la carga A resulta:

Mientras que para la carga B: r _r r r E K Q r u i i AC = ⋅ ⋅ r = ⋅ ⋅ ⋅ − _{⋅ = ⋅ ⋅} − 2 9 6 2 1 9 10 100 10 3 100 000 N C r _r r r r r F K Q q r u i j i j BC = ⋅ ⋅ ⋅ r = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ − − 2 9 6 6 2 2 9 10 100 10 100 10 3 4 0 6 0 8 2 16 2 88 ( , , ) ( , , ) N r r r r r r r u i j i j i j r = + ⋅ − + ⋅ = = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ 3 3 4 4 3 4 3 5 4 5 0 6 0 8 2 2 2 2 , , r _r r r F K Q q r u i i AC = ⋅ ⋅ ⋅ r = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − _{⋅ = ⋅} 2 9 6 6 2 9 10 100 10 100 10 3 10 N B (0,4) y (m) x (m) A (0,0) C (3,0) FAC FBC

Al sumar ambos campos, obtenemos el resultado que nos piden: Er =Er_AB+Er_BC=(121,6 · ir −28,8 · jr) · 103_{N · C}−1

15. Una partícula de polvo de 1,0 · 10−11_{g de masa posee una carga total que}

equivale a la de 20 electrones y se encuentra en equilibrio entre dos placas paralelas horizontales entre las que existe una diferencia de potencial de 153 V. Calcula la distancia que separa las placas.

¿En qué sentido y con qué aceleración se moverá la partícula de polvo si aumentamos la diferencia de potencial entre las placas hasta 155 V? Dato: Carga del electrón =1,6 · 10−19_C.

PAU. Navarra. Junio, 1997.

La figura se encuentra en equilibrio bajo la acción de la fuerza electrostática y de su propio peso:

F_eléctrica=P

La intensidad del campo eléctrico que existe entre dos placas paralelas cargadas es constante. Por tanto:

Al despejar la distancia entre placas, d, y sustituir los datos del enunciado, resul-ta:

Para calcular la aceleración con que se moverá la partícula al aumentar la dife-rencia de potencial, aplicamos la segunda ley de Newton:

F'_eléctrica−P =m · a

Al despejar y sustituir, obtenemos para la aceleración el valor:

a F P m q V d m g m eléctrica = ′ − = ⋅ ′ − ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − − − − 20 1 6 10 155 0 005 1 10 9 81 10 0 11 19 14 14 2 , , , , m s d q V m g = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − 20 1 6 10 153 1 0 10 9 8 0 005 19 14 , , , , m F q E E V d q V d m g eléctrica = ⋅ =     → ⋅ = ⋅ P d F_eléctrica r _r r r r r E K Q r u i j i j BC = ⋅ ⋅ r = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − 2 9 6 2 2 1 9 10 100 10 3 4 0 6 0 8 21 6 28 8 ( , , ) ( , , ) 10 N C3

La aceleración será en sentido ascendente, ya que aumentamos el campo eléc-trico ascendente.

16. Tres cargas puntuales iguales, de 5 µC, están situadas en el vacío, dispues-tas en los vértices de un cuadrado de 20 m de lado, como se muestra en la figura:

a) Calcula el vector intensidad del campo eléctrico en el cuarto vértice. b) Calcula el potencial eléctrico en el cuarto vértice.

c) ¿Cómo se modifica la solución si las tres cargas son negativas?

a) Para resolver el problema, numeramos las cargas en sentido antihorario, em-pezando por la esquina superior izquierda, y aplicamos el principio de su-perposición para calcular la intensidad del campo sobre el cuarto vértice. De ese modo, para la carga 1:

Para la carga 2, el vector unitario es:

Por tanto, el campo que crea sobre el cuarto vértice es:

Para la carga 3:

Sumando estos valores, obtenemos el resultado final:

r r r r r r r r E E i i j j i j i i = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = −

∑

1 3 1 112 5 56 25 2 112 5 152 3 , , ( ) , , ( ) N C r r r r E K Q r ur j j 3 2 9 6 2 1 9 10 5 10 20 112 5 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = _, ⋅ _{N C}⋅ − r r r r r r E K Q r u i j i j r 2 2 9 6 2 1 9 10 5 10 20 2 1 2 1 2 56 25 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(

)

⋅ ⋅ + ⋅   = = ⋅ + ⋅ − − , ( ) N C r r r r r u_r = i j i j + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + 20 20 20 20 20 20 1 2 2 2 2 2 ( ) r r r r E K Q r ur i i 1 2 9 6 2 1 9 10 5 10 20 112 5 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = _, ⋅ _{N C}⋅ − 20 m 20 m q =5µC q =5µC q =5µC E?,V?

b) Para el potencial resulta:

c) En este caso, tanto el campo eléctrico como el potencial cambian de signo:

17. La energía de cierto campo conservativo es E_p=C/x, siendo C una cons-tante positiva.

a) Dibuja una gráfica que muestre cómo varía E_p en función de x. Para ello, asigna a C un valor arbitrario.

b) Deduce la expresión de la fuerza, F, y dibuja una gráfica que muestre cómo varía en función de x.

PAU. Cantabria. Junio, 1997.

a) Asignaremos el valor C =1. Dando valores a x, tenemos:

r r r r r r r r E E i i j j i j V V K Q r i i i i i i i = = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ = = − ⋅ + ⋅ = = ⋅ = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅     = − = − = = −

∑

∑

∑

1 3 1 1 3 1 3 9 6 112 5 56 25 2 112 5 152 3 9 10 5 10 1 20 1 20 1 20 2 6 091 , , ( ) , , ( ) ( ) N C V V V V K Q r i i i i i = = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅     = = = −

∑

∑

1 3 1 3 9 6 9 10 5 10 1 20 1 20 1 20 2 6 091 V x E_pot=1/x ∞ 20 10 5 2 1 0 0 0,05 0,1 0,2 0,5 1 ∞

Al representar gráficamente estos valores, resulta:

E_p

1 1

b) Al tratarse de un campo conservativo, la energía potencial y la fuerza están relacionadas por medio de la expresión:

dW =F · dx = −dE_p Al despejar de la igualdad anterior la fuerza, resulta:

Al igual que en el apartado anterior, asignamos a C el valor 1 y damos valo-res a x: F dE dx d dx C x C x C x p = − = − _ _= − ⋅ −_ 1₂_= ₂

Al representar gráficamente estos valores, el resultado que obtenemos ahora es:

18. Se tienen tres bolitas, A, B y C, del mismo radio, dispuestas horizontal-mente. Las bolitas A y B están fijas, se encuentran separadas 50 cm y es-tán cargadas negativamente, siendo la carga de A ocho veces mayor que la de B. La bolita C está inicialmente en estado neutro, y puede moverse en la recta que une A con B.

Se coge la bolita C con unas pinzas aislantes y se pone en contacto con A dejándola después libre en la línea que une A con B. Calcula la posición de equilibrio en que quedará finalmente la carga C.

Para resolver este problema, partimos de la relación entre las cargas que obtuvi-mos en el ejercicio 4 de la página 162 del libro del alumno.

Al dejar libre la carga C, esta se ve repelida por las otras dos.

F 1 1 5 10 15 20 x x Fuerza =1/x2 ∞ 20 10 5 2 1 0 0 0,0025 0,01 0,04 0,25 1 ∞

No obstante, en el punto de equilibrio, las fuerzas de repulsión son iguales: F_A=F_B

Las expresiones que permiten calcular cada fuerza son, respectivamente:

Si tenemos en cuenta las relaciones entre cargas, podemos escribir:

Al sustituir y simplificar:

19. Se dispone de un conductor como el de la figura, en el que se ha practica-do un hueco interior.

a) Si el conductor está cargado y en equilibrio, ¿puede haber cargas en la superficie S del hueco interior? Justifica tu respuesta.

b) ¿En qué condiciones podría encontrarse cargada la superficie interior del conductor? ¿Por qué? Utiliza el teorema de Gauss para resolver el problema.

a) En general, no podría haber cargas eléc-tricas, pues el campo en el interior de un conductor cargado y en equilibrio es nulo, con lo cual, al aplicar el teore-ma de Gauss a la superficie S', que encierra la superficie S, resulta:

Por tanto, la carga en el interior de S' es nula. φ=

∫

⋅ =ε → ⋅ = ⋅ =ε → = r r E dS Q E S S Q Q o o 0 0 S x = ⋅2 d−x → = ⋅ = ⋅x 2 d = 3 2 0 5 3 0 33 ( ) , , m 4 1 2 1 2 2 x =(d−x) →x =(d−x) F F K q q x K q q d x A B A C B C = → ⋅ ′ ⋅ ′ = ⋅ ⋅ ′ − 2 _{( )}2 A F_BC x d d — x C F_AC B S’ S

b) A pesar de ello, la superficie S podría estar cargada. Bastaría que existiese otra carga en el interior de S', igual y de signo contrario, para que la carga to-tal en el interior de S' fuese nula y siguiese cumpliéndose el teorema de Gauss. Si suponemos que la carga en la superficie de S es Q', y que existe otra carga −Q', ocurre lo siguiente:

20. Dos esferas metálicas, de 2 y 4 cm de radio, respectivamente, se encuen-tran en el vacío. Cada una de ellas posee una carga de 50 nC.

a) Calcula el potencial a que se encuentra cada esfera.

En cierto instante, se unen ambas esferas mediante un conductor. Calcula: b) El potencial a que se encuentra cada esfera tras unirse.

c) La carga que posee cada esfera tras la unión.

a) El potencial de una esfera cargada es:

Por tanto, para cada una de las esferas del enunciado obtenemos:

b) Cuando ambas esferas se unen, se inicia una transferencia de carga eléctrica, que cesa cuando las dos se encuentran al mismo potencial. En ese caso, se cumple la siguiente relación:

Teniendo en cuenta, además, que la carga se conserva, resulta: Q'₁+Q'₂=Q + Q =2 · Q =100 nC (2)

Las ecuaciones (1) y (2) forman un sistema de dos ecuaciones con dos in-cógnitas, Q'₁y Q'₂. Para resolver el sistema, despejamos Q'₁ en (2) y sustitui-mos en (1). De ese modo, obtenesustitui-mos la carga de la esfera de 4 cm de radio tras la unión: 100 2 4 2 400 4 400 6 66 67 2 2 2 2 2 − ′ ₌ ′ _{→ ⋅ ′ = − ⋅ ′ →} → ′ = = Q Q Q Q Q , nC V V Q R Q R Q R Q R 1 2 1 0 1 2 0 2 1 1 2 2 4 4 = → ′ ⋅ ⋅ ⋅ = ′ ⋅ ⋅ ⋅ → ′ ₌ ′ π ε π ε (1) V K Q R V K Q R 1 1 9 9 2 2 2 9 9 2 9 10 50 10 2 10 22 500 9 10 50 10 4 10 11250 = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − − V V V K Q R = ⋅ φ ε ε = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ′ − ′ → = ′ − ′ =

∫

∫

r r r r E dS Q E dS E S S Q Q Q Q Q o o 0 0

y, por tanto, la carga de la esfera de 2 cm resulta: Q'₁=100 − 66,67 =33,33 nC c) El potencial al que quedan ambas esferas es:

21. En el interior de una nave espacial existen las siguientes cargas: 5 µC, −9 µC, 27 µC, −84 µC. Suponiendo que la constante dieléctrica del medio es ε₀, calcula el flujo de campo eléctrico que atraviesa las paredes de la nave. Compara el número de líneas de campo que salen de la nave con el número de líneas que entran en ella.

PAU. Cádiz. Junio, 1993.

El teorema de Gauss permite calcular el flujo que atraviesa una superficie cerra-da, S. Para el campo eléctrico, el teorema de Gauss se enuncia en la forma:

expresión en la que Q_intes la carga total que encierra en su interior la superficie S, y ε, la constante dieléctrica del medio en que se encuentra dicha superficie. El número de líneas que atraviesan la superficie por unidad de superficie es proporcional al flujo que existe. Podemos hablar de un flujo que entra (cuando las cargas eléctricas que encierra la superficie son negativas) y de un flujo que sale (cuando las cargas eléctricas que encierra son positivas).

De acuerdo con lo dicho, el flujo total que atravesará las paredes de la nave se-rá:

siendo el flujo que entra (correspondiente a las cargas negativas):

El flujo que sale (que corresponde a las cargas positivas) resulta ser:

En cuanto a la relación que existirá entre las líneas de campo que salen y las que entran, esta será:

φ ε + + − − − = = + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Q_{int ( )} ( ) , , 5 27 10 8 85 10 3 62 10 6 12 6 _{N m}2 _C 1 φ ε − − − − − = = − − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ Q_{int ( )} ( ) , , 9 84 10 8 85 10 10 51 10 6 12 6 _{N m}2 _C 1 φ ε total int Q = = − + − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − − − ( ) , , 5 9 27 84 10 8 85 10 6 89 10 6 12 6 _{N m}2 _C 1 φ ε =Qint V V V V K Q R K Q R = = → → = ⋅ ′ = ⋅ ′ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − − 1 2 1 1 2 2 9 9 2 9 9 2 9 10 33 33 10 2 10 9 10 66 67 10 4 10 15 000 , , V

lo que significa que, por cada 10 líneas de campo que salen, entran 29.

22. Debido a la fricción, una canica de acero de 0,5 cm de radio adquiere una carga de 30 nC. ¿Qué potencial adquiere la canica?

El potencial que adquiere una esfera de radio R al cargarse se calcula mediante la expresión:

Sustituyendo valores, en el caso que nos ocupa resulta:

23. Dado un campo vectorial definido en cada punto por el vector:

en el que K es una constante.

a) Calcula el flujo de dicho campo a través de una superficie esférica cen-trada en el origen de coordenadas, de radio 3 cm.

b) Repite el problema suponiendo ahora que el radio de la esfera es de 4 cm.

c) ¿Se crean, o desaparecen líneas de campo entre ambas esferas?

d) ¿Es conservativo el campo de fuerzas derivado de dicho campo vecto-rial?

PAU. Castellón. Junio, 1994.

a) Para calcular el flujo, utilizamos la expresión:

El vector superficie tiene dirección radial, al igual que el vector campo; es decir, ambos vectores son paralelos. Por tanto:

Para r=3 obtenemos: φ= ⋅ ⋅4 π 3 K . r r r r A dS A dS cos A dS A dS A dS A S A r K r r K r ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ → → = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫

∫

0 4 4 4 2 3 2 φ π π π φ =

∫

A dSr r⋅ r r A K u r r = ⋅ ₃ V = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − 30 10 4 8 85 10 0 5 10 53 951 9 12 2 π , , V V Q R o = ⋅ ⋅ ⋅ 4 π ε φ φ−₊ = ⋅ ⋅ = 10 51 10 3 62 10 2 90 6 6 , , ,

b) Del mismo modo, para r =4: φ = π· K.

c) En los apartados anteriores se ha obtenido un valor para el flujo que dismi-nuye con la distancia. Teniendo en cuenta que el flujo es proporcional a las líneas de fuerza del campo que atraviesan la superficie, en este caso desapa-recen líneas de fuerza al pasar de la primera a la segunda esfera.

d) El resultado obtenido en el apartado anterior nos permite afirmar que el campo de fuerzas no es conservativo.

24. Dos cargas eléctricas puntuales, de 50 µC cada una, se encuentran en el aire, separadas 100 cm. En un punto situado a 130 cm de cada una de ellas se deja en libertad una partícula de 0,1 g, cargada con −5 nC.

Debido a la atracción que existe entre cargas de distinto signo, la partícu-la se mueve libremente hacia el punto medio de partícu-la recta que une partícu-las dos cargas positivas.

Con estos datos, calcula:

a) La velocidad con que llegará la partícula al punto medio de la recta que separa las dos cargas positivas.

b) El tiempo que transcurre desde que se deja en libertad la partícula has-ta que llega al punto medio de la rechas-ta que une las dos cargas positivas.

a) La disposición de cargas es la que se muestra en la figura:

En el instante inicial, cuando la partícula es abandonada, carece de energía cinética. El aumento de energía cinética de la partícula se produce gracias a la variación de energía potencial que tiene lugar entre el punto del que parte la carga y el punto al que llega (punto medio entre las dos cargas que crean el campo), ya que el campo eléctrico es conservativo. El balance energético es, por tanto: m1, q1 F 2.F.cosα Y X q 2 q 2 d 2 d 1 100 cm F α

La diferencia de potencial entre ambos puntos es:

Con estas expresiones y con los datos que proporciona el enunciado, pode-mos despejar la velocidad y calcular su valor:

b) Si calculamos el valor medio de la aceleración que actúa sobre la partícula a lo largo de su recorrido:

el tiempo que tarda la partícula en llegar al punto medio de la recta que une las dos cargas positivas es:

25. Una esfera de 0,5 g de masa, cargada eléctricamente, es repelida por una placa cargada. Debido a esa repulsión, el hilo del que cuelga la esfera for-ma un ángulo de 37° con la vertical.

a) Dibuja un diagrama con las fuerzas que actúan sobre la esfera cuando esta se encuentra en equilibrio.

b) Si el campo eléctrico en las proximidades de la placa es 2 000 V · m−1_,

calcula el módulo y el signo de la fuerza que actúa sobre la esfera.

v v a t t v v a f f = + ⋅ → =₀ − 0 =10 52= 46 11 0 228 , , , s v v a s a v v s f f 2 0 2 2 0 2 ₂ 2 2 2 2 2 10 52 2 1 3 0 5 46 11 − = ⋅ ⋅ → → = − ⋅ = ⋅ − = ⋅ − , , , , m s v q V m q K q d d m v = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −    = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −    ⋅ = = ⋅ − − − − 2 2 2 1 1 2 5 10 9 10 2 50 10 1 1 3 1 0 5 0 1 10 10 52 1 1 2 1 2 9 9 6 3 1 ( ) ( ) , , , , ∆ m s − = − = ⋅ ⋅ ⋅ −    ∆V V V K q d d i f 2 1 1 2 1 2 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ E E E E q V m v p + c = → − p = c − ⋅ = ⋅ ⋅ 0 1 2 1 2

c) Calcula la carga que posee la esfera. ¿Dé que signo es dicha carga?

a) La esfera está sometida a las siguientes fuerzas:

• Su peso, dirigido verticalmente hacia abajo.

• La fuerza eléctrica de repulsión, en dirección horizontal y sentido hacia la derecha. (Si fuese de atracción, se dirigiría hacia la izquierda, donde se en-cuentra la placa cargada que crea el campo eléctrico).

• La tensión que ejerce el hilo sobre ella, cuya dirección es la que indica el hilo, siendo su sentido hacia el punto en que este está sujeto al techo. b) Para obtener la fuerza que actúa sobre la esfera, analizamos el equilibrio de

fuerzas (Tr+Fr_e +m · gr =0r) en las direcciones OX y OY:

OX→ −T · sen 37°+F_eléctrica =0 →T · sen 37°= F_eléctrica OY→T · cos 37° −m · g =0 →T · cos 37° =m · g La segunda expresión nos permite calcular la tensión:

Por tanto, la fuerza eléctrica resulta:

F_eléctrica =T · sen 37°=6,14 · 10−3_{· sen 37°} =_{3,7 · 10}−3 _N

c) Conocida la fuerza eléctrica, podemos despejar la carga de la esfera, cuyo signo será igual que el de la carga de la placa:

F q E q F E eléctrica eléctrica = ⋅ → = = 3 7 10⋅ − = ⋅ − 2 000 1 85 10 3 6 , , C T m g cos cos = ⋅ °= ⋅ ⋅ ° = ⋅ − − _N 37 0 5 10 9 81 37 6 14 10 3 3 , , , + + + + + + + + + T Tx 5 cm Ty P=m.g Feléctrica E 37° 37° + + + + + + + 5 cm 37° q

26. Si añadimos a la esfera del problema anterior una carga igual a la que ya posee, del mismo signo, ¿cuál será ahora el ángulo que formará con la vertical el hilo del que pende?

Ahora, la carga de la esfera es q=2 · 1,85 · 10−6=_{3,7 · 10}−6_C.

Analicemos, de nuevo, las condiciones de equilibrio de la esfera: OX→ −T · sen α + F_eléctrica= 0 →T · senα = q · E OY→T · cosα − m · g =0 →T · cosα = m · g Dividiendo entre sí ambas expresiones, resulta:

27. En los vértices de un hexágono regular de 1 m de lado se colocan sendas cargas de 100 nC cada una. Calcula:

a) El valor que corresponde a la intensidad del campo eléctrico en el cen-tro del hexágono.

b) El potencial eléctrico en dicho punto.

c) El trabajo que debemos realizar para trasladar una carga de 10 nC des-de el infinito hasta el centro des-del hexágono.

a) Debido a que todas las cargas son del mismo signo y se encuentran a la mis-ma distancia del centro del hexágono, los vectores del campo eléctrico que origina cada una de las cargas se anulan dos a dos.

El campo que crea la carga 1 se anula con el que crea la carga 4; el que crea la carga 2 se anula con el que crea la carga 5, y el que crea la carga 3 se anula con el que crea la carga 6.

Podemos afirmar, por tanto, que el campo eléctrico que crean las seis cargas de 100 nC en el centro del hexágono es nulo.

b) En un hexágono regular, la medida del lado coincide con la distancia del vér-tice al centro. Además, como todas las cargas son del mismo signo y se en-cuentran a la misma distancia, el potencial en el centro es:

q1=100 nC q2=100 nC q₃=100 nC q4=100 nC q5=100 nC q₆=100 nC r=1m s=1m 1 2 3 4 5 6 E1 E2 E3 E₄ E₅ E₆ tg q E m g α = ⋅ α ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = → = ° − − 3 7 10 2 000 0 5 10 9 8 1 51 56 5 6 3 , , , , ,

c) El trabajo exterior que nos piden se puede obtener haciendo uso de la ex-presión:

W_ext=q ·∆V=q · (V_f−V_i)=10 · 10−9_{· (5 400}−₀₎=_{5,4 · 10}−5_J

ya que, en el infinito, el potencial eléctrico es nulo.

28. Resuelve de nuevo el problema anterior, suponiendo ahora que los vérti-ces 1, 3 y 5 del hexágono poseen una carga de 100 nC, y los vértivérti-ces 2, 4 y 6, una carga de −100 nC. ¿Qué variaciones se producen respecto a la si-tuación anterior al cambiar el signo de tres de las cargas?

a) En este caso, los vectores unitarios que hemos de calcular son tres, que lla-maremos ur₁₄, ur₂₅y ur₃₆.

Recordemos que, en un hexágono regular, el ángulo entre la línea centro-vértice y el apotema mide 30°.

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, los vectores unitarios re-sultan:

En todos los casos, el módulo del vector campo eléctrico, E_i, es el mismo, pues todas las cargas tienen el mismo valor, y la distancia al centro desde cualquier carga es también la misma. Si sumamos todos los vectores, resulta:

r r _{r r r} r r r r r r r r E E E u u u E i j i j i E i j T i i i i i = = ⋅ ⋅ + + = = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅    = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = =

∑

1 6 14 25 36 2 2 0 5 3 2 0 5 3 2 1 2 0 0 0 ( ) , , ( ) r r r r r r r r r r r r u sen i cos j i j u sen i cos j i j u i 14 25 36 30 30 0 5 3 2 30 30 0 5 3 2 1 = °⋅ − °⋅ = ⋅ − ⋅ = °⋅ + °⋅ = ⋅ + ⋅ = − ⋅ , , q1=100 nC q2=–100 nC q3=100 nC q4=–100 nC q5=100 nC q6=–100 nC r=1m E₂≡ E₅ E3≡ E6 E₁≡ E₄ u₂₅ u36 u14 30° 30° 30° O Y X V V V K Q R T i i i i i = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = −

∑

1 6 9 9 6 6 6 9 10 100 10 1 5 400 V

Como vemos, el campo eléctrico en el centro es nulo.

b) El potencial en el centro será la suma de los potenciales creados por cada una de las cargas:

El potencial en el centro del hexágono también es nulo.

c) El trabajo que nos piden que calculemos se obtiene haciendo uso de la ex-presión:

W_ext=q · ∆V =q · (V_f−V_i) =10 · 10−9_{· (0} −₀₎ = _{0 J}

ya que, en el infinito, el potencial eléctrico es nulo. Consideraciones respecto al caso anterior:

• En este caso, el potencial también es nulo, al haber cargas de ambos signos simétricamente dispuestas.

• Debido a ello, el trabajo para desplazar la carga desde el infinito también resulta nulo, pues ambos puntos (el infinito y el centro) están al mismo potencial (V=0). V V k R Q T i i i i = = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ − + − + − =

∑

∑

= − 1 6 9 9 9 10 10 (100 100 100 100 100 100) 0V