COMPARACIÓN DEL CONTROL NO-LINEAL Y LINEAL EN REACTORES CONTINUOS DE TANQUE AGITADO
E. Peralta Reyesa, C. A. González Rugeriob y A. Regalado Méndezb*
a
Instituto de Ecología, Ingeniería Ambiental, Universidad del Mar
b
Instituto de Industrias, Ingeniería Ambiental, Universidad del Mar Ciudad Universitaria S/N, Puerto Ángel, Distrito de San Pedro Pochutla,
C.P. 70902, Oaxaca, México.
Tel. (958) 58-43078. Ext. 112. Fax. (958) 58-43078. E-mail: [email protected] Modalidad: Cartel
Área de Trabajo: Simulación y Control
RESUMEN
En este trabajo se presenta la implementación de un control PI clásico y un control no lineal PI en un reactor continúo de tanque agitado, se muestra el desempeño y eficiencia de ambas leyes de control en un caso de estudio, los parámetros de control son obtenidos por la teoría interna de control moderna. Se encontró que el tiempo de asentamiento para el control no lineal PI es la mitad del tiempo de asentamiento en del control PI, pero estos tiempos de asentamiento son mucho menores al tiempo de asentamiento a lazo abierto. De acuerdo a los perfiles de desempeño que se muestran en este trabajo se concluye que el control no lineal PI es más robusto ante cambios de setpoint, pero ambas leyes son robustas ante perturbaciones. También se presenta el retrato de fases para ambas leyes de control, en las cuales se observan figuras clásicas de puntos de equilibrio inestables.
INTRODUCCIÓN
La ingeniería de control moderna es un área muy amplia, ya que se relaciona con la ingeniería eléctrica, electrónica, y la ingeniería química. Todas estas ingenierías emplean los mismos principios básicos del control. La ingeniería de control se ha diversificado a tal punto que hoy se aplica incluso en campos como la biología y las finanzas.
En especial nos interesa el control de procesos, el cual se ocupa del control de variables como temperatura, concentración, presión, caudal, etc., ya sea en un proceso químico especifico de una planta o de toda la planta.
En los sistemas de control lineal solo se requiere el uso de matemática elemental y la transformada de Laplace, de tal forma que el análisis que se hace en estos sistemas esta en el dominio de la frecuencia y del tiempo, mientras que en los sistemas no lineales se requiere el uso del álgebra lineal.
En los años cincuenta Aris y Admunson comenzaron el diseño y análisis de controladores proporcionales integrales (PI), para mantener y determinar la estabilidad de reactores continuos de tanque agitado CSTRs. Desde entonces existe un gran número de publicaciones del estudio de control de CSTRs (Puebla, 2002).
Hoy en día existe una infinidad de leyes de control que van desde las más simples hasta las más sofisticadas, las cuales son empleadas en procesos digitales, electrónicos o de químicos, por tal motivo en este trabajo emplearemos un control lineal clásico y uno no-lineal el cual fue diseñado para el control de la fuerza del brazo de un robot; este control lo adaptaremos e implementaremos en un proceso químico. Los parámetros los obtendremos mediante la técnica del control moderno interno IMC.
Los reactores químicos son el cerebro de los procesos químicos. En especial los CSTRs son muy empleados en la industria de procesos químicos. Ejemplos comunes son: en la polimerización para la producción de plásticos y pinturas, producción de acetato de sodio para la formación de jabones, producción de etílglicol para anticongelantes, entre otros (Regalado, 2001).
Estos sistemas suelen tener hasta tres puntos de equilibrio y si el punto de equilibrio deseable es inestable el cual corresponde a la producción optima en el proceso de reacción, si las perturbaciones desaparecen lentamente, o si el tiempo de asentamiento es muy grande, se puede uno preguntar si es posible hacerlo estable, mejorar su estabilidad o disminuir el tiempo de asentamiento. La respuesta es si, por ejemplo para mejorar la estabilidad se aumenta la pendiente de la línea de eliminación de calor (Perlmutter, 1972).
Descripción del sistema
El modelo dinámico de un CSRT con m reacciones y n especies químicas implicando que (n > m) puede ser escrito por las ecuaciones (1).
(
)
(
)
(
)
(
) (
, , in in C C C Er C T T T T Hr C T u T θ θ γ = − +)
= − + + − & & (1) Donde: • nC∈R es el vector de concentraciones de las especies químicas.
• n
in
C ∈ R es el vector no-negativo de concentraciones de alimentación.
• T ∈R es el vector temperatura. • Tin∈ R es el vector de temperatura.
• r C T
(
,)
∈ Rm es el vector de las cinéticas de reacción, con r C T(
,)
= 0 ∀ t≤0.• n m
es la matriz estequiométrica.
E∈R ×R
• H C T
(
,)
∈ Rm es el vector columna de entalpías de reacción, con H C T(
,)
= 0 ∀0
t≤ .
• θ es la tasa de disolución (i.e. velocidad de flujo/volumen). • γ es el coeficiente de transferencia de calor.
• u es la temperatura la pared de la chaqueta, esta es propensa a un sistema de control.
Las no-linealidades del modelo de las ecuaciones. (1) son introducidos comúnmente por la cinética de reacción , puede ser un polinomio o presentar dependencia racional con respecto a C, o la función de Arrhenius con respecto a T. además de estas cinéticas, los CSTRs puede variar debido a la dinámica de la multiplicidad de estados estacionarios y oscilaciones presentadas (Álvarez-Ramírez y col., 2002).
(
,)
r C T r C T
(
,)
TEORÍA Designación del control lineal
La expresión de un control proporcional (P) esta representado por la ecuación (2), el
control integral (I), esta representado por la ecuación (3) y un controlador proporcional
integral (PI), esta representado por la ecuación (3) (Luyben, 1995, Corripio, 1994).
(
)
p s u= +u k T −T (2)(
)
I u=K∫
Ts T dt− (3)(
)
(
)
p s I u= +u k T −T +K∫
Ts T dt− (4) Donde:u Temperatura nominal de la chaqueta de enfriamiento, unidades de temperatura s
T Temperatura de referencia, unidades de temperatura p
k Ganancia del proporcional, 1
unidades de temperatura−
I
K Ganancia integral, 1
Para encontrar los parámetros del controlador PI, tomaremos como referencia a una
ecuación diferencial lineal ordinaria, en términos de variables de desviación de tal forma que esta puede ser expresada de la siguiente manera:
1 pr o o k T =⎛⎜ τ ⎞⎟u−τ−T ⎝ ⎠ & (5) Donde: pr
k Ganancia del proceso, unidades de temperatura
o
τ Tiempo del proceso, 1
unidades de tiempo−
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (2) y (5) e igualándolas, encontramos los parámetros del controlador P, mediante el método de la teoría interna
de control moderno (IMC) (Regalado y Álvarez-Ramírez, 2005) como se representa en
la siguiente ecuación: 1 1 1 pr kp k α − ⎛ ⎞ =⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ (6)
Analizando el termino 1α, tenemos que no puede valer cero, ya que 1α≈ ∞ , y esto no puede ocurrir en estos procesos, en tanto que el otro limite extremo seria donde 1α = , 1 esto seria solo sí α =1, esto significa que el control se apagaría, entonces α indica la
rapidez de la respuesta a la acción de control, así que: 0< ≤α 1.0 (Regalado y Álvarez-Ramírez, 2005).
La ecuación (8) representa el control PI una vez sustituidos sus parámetros y en la
figura 1 se muestra el diagrama de bloques del control PI.
(
)
(
)
1 1 1 1 s pr pr o u u T T Ts T dt k k α α τ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + − +∫
− (7)Designación del control no-lineal
A continuación se muestra un control no-lineal PI el cual fue desarrollado por Xu y col.
para controlar la fuerza del brazo de un robot. Esto control no-lineal también puede ser empleado en procesos químicos (Xu, 1999).
(
)
( )(
)
2 1 s abs T T s p p s I s T T u u k G T T e K dt T T λ μ ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = + + − + ⎜ ⎟ ⎡ + − ⎤ ⎜⎣ ⎦⎟ ⎝ ⎠∫
1 1 p pr k k α ⎛ ⎞ =⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ; 1 1 p I pr o o k K k (8) τ α τ ⎛ ⎞ = =⎜ − ⎟ ⎝ ⎠Donde: μ Constante, 25 2 unidades de temperatura− λ Constante, 5 1 unidades de temperatura− p G Constante, 10 Caso de estudio
Considérese el caso de una reacción simple A⎯⎯k→ , que se lleva acabo en un CSTR. B
A continuación se presenta en la ecuación (9) el modelo del reactor al que sé le implementarán acciones de control. En la tabla 1 se muestran los parámetros del sistema (Aris y Amundson, 1958).
(
)
(
)
(
)
(
) (
(
)
)
, , , A in c in rxn c E R c o dC C C r C T dt dT T T H r C T u T dt r C T k Ce θ θ γ ⎡− ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − − = − + Δ + − = (9) 1 1 min θ = − 25 1 min o k =e − 1 1 min γ = − 10000 A E K R= 3 1 200 rnx H m K mol− Δ = ⋅ ⋅ 3 1 in C = mol m⋅ − 350 s T = K Tin =350KTabla 1. Parámetros del Sistema.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN Multiplicidad de estados estacionarios
Sustituyendo los valores de los parámetros del modelo matemático del CSTR y haciendo que y , además reordenando las ecuaciones para encontrar los puntos de equilibrio, se tiene:
0 C& = T&=0 10000 25 0 1= −C⎛1+e − T ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10000 25 0 100 C = e − T − +T 350 (10)
Resolviendo el sistema de ecuaciones no-lineales por el método de Newton encontramos que los puntos de equilibrio son:
3 1 0.964 353.630 C mol m p T K − ⎡ ⋅ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 2 0.500 400 C mol m p T K − ⎡ ⋅ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 3 0.088 441.150 C mol m p T K − ⎡ ⋅ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (11)
Se puede observa que tenemos multiplicidad de estados estacionarios de acuerdo a los tres puntos de equilibrio encontrados, los puntos de equilibrio p y p1 3 son estables y
que el punto de equilibrio es inestable (Aris y Amundson, 1958). Por este motivo usaremos el punto de equilibrio para implementar las leyes de control designadas anteriormente, ya que los CSTRs traban en puntos de equilibrio inestables ya que corresponden a la producción óptima del proceso, así que el setpoint es el vector
2 p 2 p
[
]
3 , T 0.500 / 400 C T = ⎣⎡ mol m K⎤⎦ . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 .960 0 .965 0 .970 0 .975 0 .980 0 .985 0 .990 0 .995 1 .000 1 .005 C o n ce n tra ció n T e m p e ra tu ra d e l R e a cto r T ie m p o (m in ) C ( m ol /m 3) 34 9 .0 34 9 .5 35 0 .0 35 0 .5 35 1 .0 35 1 .5 35 2 .0 35 2 .5 35 3 .0 35 3 .5 35 4 .0 Te mp er atu ra ( K) τA = 7 m inFig. 1. Simulación del proceso de reacción a lazo abierto.
La figura 1 representa la simulación numérica del proceso de reacción a lazo abierto. En este grafico podemos observar que el tiempo de asentamiento del reactor es aproximadamente τA ≈7 min.
Valores de parámetros de control
Se realizaron pruebas considerando un escalón como función de la temperatura para la chaqueta de enfriamiento de la siguiente forma:
350 5% s T δ δ = + = ± (12)
Aplicando la ecuación (12) obtenemos la Figura 2, y con base a estas gráficas obtenemos los parámetros del control PI.
5 6 7 8 9 10 11 12 13 440.0 442.5 445.0 447.5 450.0 452.5 455.0 457.5 460.0 T (K ) t (min) Escalon Positivo del 5% en Ts 1.4 min 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 437.0 437.5 438.0 438.5 439.0 439.5 440.0 440.5 441.0 441.5 442.0 EScalon Negativo del - 5% en Ts T ( K ) t (min) 2.6 min
Fig. 2. Respuesta Escalón negativa y positiva de la temperatura del reactor.
En el escalón positivo se observa que tarda aproximadamente 1.4 min entre el estado estacionario inicial y el final, mientras que en el escalón negativo tarda aproximadamente 2.6 min. Comparando con un tiempo teórico, el cual puede calcularse matemáticamente como τ =4 1
(
θ)
, que no es más que cuatro veces el inverso de la tasa de dilución es τ =4 min donde θ =1min−1 y 1θ=1min. De tal forma queτ τ τ
+< <
−, donde τ+ =1.4 min y τ− =2.6 min.Con base a la teoría IMC los parámetros del control son y
. Los cuales serán empleados en las dos leyes de control designadas anteriormente. 0.0023 pr k = K 1 0.42 min o τ = − 1 2 3 4 5 6 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C (mo l/ m 3) t (min) PI con IMC NPI
En la figura 3 se muestra el funcionamiento de las leyes de control, en ella se observa que el control PI tarda en responder 5.5 min para llegar al setpoint 3
0.500
C= mol m⋅ − ,
y T =400Kmientras que el control NPI tarda aproximadamente 2.7 min cuando
0.1
α = .
También cabe mencionar que el tiempo de asentamiento es 1
2
control NPI control PI
A A A
τ
≈τ
τ
. En cuanto a la controlabilidad y operabilidad del sistemadinámico, de acuerdo a la variable controlada, cumple con las condiciones de diseño establecidas en las leyes de control.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 α = 0.1 NPI PI C ( m ol/m 3) t (min) α = 0.4 PI NPI
Fig. 4. Desempeño de las leyes de control, cuando es expuesto a cambios de setpoint. En la figura 4 se muestra el desempeño de las leyes de control propuestas en α =0.1 y
0.4
α = cuando existe cambio de setpoint en la temperatura del reactor de T = 400 K a 420 K. en dicha figura se observa que el control NPI realiza menor esfuerzo en llegar al
setpoint, mientras que el control PI hace un mayor esfuerzo y además presenta
demasiadas oscilaciones, como es el caso cuando α =0.4, lo que quiere decir que el control NPI tiene un mejor desempeño.
En la figura 5 se muestra el desempeño de las leyes de control propuestas cuando se somete a perturbaciones del sistema para un valor de α =0.2. En esta figura se observa que ambas leyes de control se estabilizan rápido a los cambios de perturbaciones en el sistema, es decir son robustas ante perturbaciones.
12 13 14 15 16 17 18 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 0.62 C (mo l/m 3) t (min) α = 0.2 PI NPI
Fig. 5. Desempeño de las leyes de control, cuando es expuesto a perturbaciones. En la figura 6 se muestra el retrato fase de ambas leyes de control cuando α =0.2, en estas figuras se observa claramente como todas las curvas convergen hacia el setpoint. Esto quiere decir que el setpoint realmente es inestable.
280 320 360 400 440 480 520 560 600 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 C (mol /m 3) T (K) (400, 0.5) Control PI 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 C (mo l/m 3) T (K) (400, 0.5) Contro, NPI
Figura 6. Retrato fase de las leyes de control NPI y PI.
En el diseño del controlador se hizo la suposición de que todas las variables de estado están disponibles en la retroalimentación. Sin embargo, en la práctica no todas las variables de estado están disponibles para su retroalimentación. Entonces, necesitamos estimar las variables de estado que no están disponibles como es el caso de la composición. Es importante señalar que debemos evitar diferenciar una variable de estado para generar otra. La diferenciación de una señal siempre decrementa la relación señal a ruido, porque este ultimo por lo general fluctúa más rápidamente que la señal de comando. En ocasiones, la relación señal a ruido se decrementa varia veces mediante un
proceso único de diferenciación. Existen métodos para estimar las variables de estado que no se miden mediante un proceso de diferenciación. La estimación de semejantes variables de estado se denomina observación en el ámbito del control. Un dispositivo que estima u observa las variables estado, se denomina observador. Entonces un observador estima las variables de estado con base a las mediciones de las variables de salida y de control. Aquí es donde juega un papel importante la observabilidad.
CONCLUSIONES
• El control NPI es más robusto que ante cambios de setpoint que el control PI. • Ambas leyes de control (NPI y PI) son robustas ante perturbaciones del sistema. • Lel tiempo de asentamiento del reator a lazo abierto es aprocimadamente 2.6
veces el tiempo de asentamiento con control NPI.
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