Derivada parcial de un campo vectorial respecto de una variable escalar
La derivación parcial de un campo vectorial respecto de una variable escalar es discutida en este documento tomando el tiempo como ejemplo sin que ello suponga pérdida de generalidad. Las conclusiones obtenidas de dicho análisis también pueden extrapolarse a escenarios donde se usen otras variables escalares, como la frecuencia en electromagnetismo o la temperatura en termodinámica.
La dificultad de dicha derivación se hace manifiesta usando sistemas de referencia inerciales construidos a partir una base vectorial (ortonormal o no ortonormal) cuyos vectores no sean invariantes en dirección y sentido. Un ejemplo de ello son los sistemas de referencia de las coordenadas cilíndricas y esféricas, donde la dirección de los vectores unitarios puede ser diferente para cada punto del espacio-tiempo escogido en el análisis. Como veremos más adelante, en situaciones donde el espacio y el tiempo estén desacoplados, podremos realizar un cambio al sistema de coordenadas cartesianas, donde los vectores unitarios sí son constantes (en dirección y sentido) para todos los puntos del espacio tridimensional.
En este documento se analizan algunos posibles casos de interés para el estudiante de grado de ingeniería o ciencias físicas. Comenzaremos analizando los casos más simples con el fin de introducir la notación indicial y terminaremos analizando un caso general donde se tomará como válido cualquier sistema de referencia del espacio-tiempo, es decir, se analizará la derivación vectorial bajo el criterio de covarianza general.
Derivada de un campo vectorial en un sistema de referencia tridimensional ortonormal no constante
Sea un sistema de referencia ortonormal R = {O; B1} del espacio tridimensional con base 𝐵1= {𝑢̂1, 𝑢̂2, 𝑢̂3}. Sea un
campo vectorial𝐹⃗(𝑟⃗, 𝑡). El objetivo de esta sección es obtener una expresión cerrada para la derivada parcial:
,
F r t
t
(0)En este caso es evidente que la forma óptima de plantear el desarrollo de esta derivada es usar la base de nuestro sistema de referencia inicial R. De manera que, usando las componentes del campo vectorial podemos escribir:
3
3
3
1 1 1,
,
ˆ
ˆ
,
,
ˆ
iˆ
,
i i i i i i i i i iF r t
u
F r t u
F r t u
F r t
u
F r t
t
t
t
t
t
(1)El cálculo de la derivada de los vectores unitarios respecto a la variable escalar, escogido el tiempo como ejemplo, se puede resolver de dos maneras duales:
i) Realizando un cambio a un sistema de referencia que use una base vectorial constante para todos los puntos del espacio (es decir, que en todos los puntos del espacio los vectores unitarios mantengan el mismo módulo, dirección y sentido). Notando a dicho sistema de referencia como R' = {O; B2} con base cartesiana
𝐵2= {𝑒̂1, 𝑒̂2, 𝑒̂3}:
3 3 3 1 1 1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i ij j ij j ij j j ij j j jh r
e
u
h r e
h r e
e
h r
t
t
t
t
t
(i-1)donde hij(r) son los coeficientes de la matriz de cambio de base entre B1 y B2. Realmente, los coeficientes
de la matriz de cambio de base hij son funciones dependientes de las coordenadas espaciales, es decir,
hij = hij(u1,u2,u3). Sin embargo, aunque denotamos esa dependencia espacial con el vector de posición
hij = hij(r) no debemos olvidar que realmente esto supone una incoherencia en la notación. No obstante, por
simplicidad notacional asumimos esa incoherencia una vez explicada.
Si el sistema de referencia R es no inercial, la anterior expresión evidentemente se anulará y la derivación temporal del campo vectorial se limitará a una mera derivación parcial de sus componentes respecto al sistema de referencia R. En cambio, si asumimos que el sistema de referencia R es inercial, debemos calcular las dos derivadas parciales que nos aparecen en la ecuación anterior, la de los coeficientes hij(r) y
3
1 ij ij k k kh r
h r
u
t
u
t
(i-2a) 3 1 0ˆ
ˆ
0
j j k k ke
e
u
t
u
t
(i-2b)Luego la Ec. (i-1) se reduce a:
3 3 3 3 1 1 1 1ˆ
ˆ
ˆ
ij ij i k k j j j k k j k kh
r
h
r
u
u
u
e
e
t
u
t
u
t
(i-3)Y volviendo al sistema de referencia original R debemos reescribir los vectores unitarios cartesianos en función de los iniciales. Como estamos trabajando en sistemas de referencia ortonormales entonces la matriz de cambio de base es ORTOGONAL, luego:
3 1 1 2 2 1 1 3 1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i i m j j T j B B B B j mj mu
h
r e
M
M
e
h
r u
(i-4)Es decir, la Ec. (i-3) se convierte en:
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1ˆ
ˆ
ˆ
ij ij i k k mj mj j k m j k m k m m kh r
h r
u
u
u
h
r u
h
r u
t
u
t
u
t
(i-5)ii) Aplicando previamente la regla de la cadena antes de realizar el cambio de sistema de referencia a uno con base vectorial constante:
3 1
ˆ
iˆ
i k k ku
u
u
t
u
t
(ii-1)En este caso debemos centrarnos en calcular la derivada de los vectores unitarios de R respecto de sus coordenadas uk. Si el sistema fuese cartesiano dichas derivadas serían nulas dado que la dirección de los
vectores unitarios no varía. Sin embargo, como estamos considerando una base B1 ortonormal no constante,
debemos realizar un cambio de base a un sistema de referencia con base vectorial constante. Trabajemos con el sistema cartesiano por coherencia con el apartado anterior:
3 3 3 1 1 1 0 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ij j i ij j ij j j ij j j j k k k k k ij ij ij j mj mj j j m j m m m k k k
h r
e
u
h r e
h r e
e
h r
u
u
u
u
u
h r
h r
h r
e
h
r u
h
r u
u
u
u
(ii-2) Luego:
3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ij ij i i k k k mj mj k k j m j m k m k k m kh r
h r
u
u
u
u
u
h
r u
h
r u
t
u
t
u
t
u
t
(ii-3)Queda demostrado pues que por los caminos i) y ii) llegamos al mismo resultado. Finalmente, usando indistintamente cualquiera de las dos estrategias, la Ec. (1) queda desarrollada como:
3
3 3 3
1 1 1 1,
,
ˆ
,
ˆ
ij i k i i mj i j k m k mh
r
F r t
u
u
F r t
h
r u
t
u
t
F r t
t
(2)Si usamos notación indicial no es necesario distinguir entre bases vectoriales y componentes covariantes y contravariantes. Puesto que las bases B1 y B2 son ambas ortonormales, las proyecciones de un vector sobre los ejes
toman el mismo valor, es decir, el módulo del campo vectorial F se percibe igual desde ambos sistemas de referencia R y R'. Otra forma de justificar la no necesidad de bases covariantes y contravariantes es argumentar que en caso de usar sistemas de referencia ortonormales R y R', la base covariante y su dual la contravariante son las mismas. De hecho, si empleásemos notación indicial, al ser la matriz de cambio de base ortogonal llegaríamos a darnos cuenta que no es necesario distinguir entre subíndices y superíndices puesto que para poder escribir Ec. (3):
2
1 2
1 1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
j T i i j B B B B m j m j j m mu
h
r e
M
M
e
g
r u
h
r u
(3)y forzosamente se debe cumplir que j
m jm
h r h r y ˆm ˆ
m
u u .
Derivada de un campo vectorial en un sistema de referencia tridimensional no ortonormal y no constante Sea un sistema de referencia no ortonormal R = {O; BR} del espacio tridimensional con base covariante dada por los
vectores unitarios 𝐵𝑅= {𝑢̂1, 𝑢̂2, 𝑢̂3}. Sea un campo vectorial𝐹⃗(𝑟⃗, 𝑡). El objetivo de esta sección es, al igual que en el
caso anterior, obtener una expresión cerrada para la derivada parcial:
,,
tF r t
F
t
(4)omitiendo la dependencia espacial y temporal por simplicidad en la notación. En este caso es evidente que la forma óptima de plantear el desarrollo de esta derivada es usar la base covariante de nuestro sistema de referencia inicial R junto con las componentes contravariantes. De manera que, usando notación indicial podemos escribir:
, , ,
ˆ
,ˆ
ˆ
i i t i tF u
i tF
u
iF
i tF
u
(5) La ecuación (5) podría haberse planteado de forma dual usando una base vectorial contravariante con componentes covariantes. Evidentemente el análisis de la derivación no depende del tipo de base vectorial empleada. Se deja como ejercicio para el lector repetir esta sección empleando como base vectorial de partida una base contravariante. El cálculo de la derivada de los vectores unitarios respecto a la variable escalar se puede resolver (al igual que en la sección anterior) de dos formas diferentes, siendo el resultado final el mismo. Si consideramos la segunda opción debemos aplicar la regla de la cadena en el término, ˆi t u : , , ,
ˆ
i tˆ
i k k tu
u
u
(6) Si asumimos la base BR con vectores unitarios no constantes, entonces debemos realizar un cambio de base a unsistema de referencia R' = {O; BR'} con base covariante constante:
B
R
e e e
ˆ ˆ ˆ
1,
2,
3
Luego: , , , , , , , , , , 0ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
j j jˆ
jˆ
i t i k k t i j k k t i k j i j k k t i k k t ju
u
u
h
e
u
h
e
h
e
u
h
u
e
(7)donde recordemos que los coeficientes de la matriz de cambio de base son funciones dependientes de las coordenadas espaciales, es decir, hij = hij(u1,u2,u3). Por otro lado, si volvemos al sistema de referencia de partida:
ˆ m ˆ
j j m
e g u (8) siendo gjm = gjm(u1,u2,u3) los coeficientes de la matriz de cambio de base entre BR' y BR. Debemos tener en cuenta
que en este caso, al ser un cambio entre bases no ortonormales (dado que BR la hemos considerado no ortonormal),
la matriz de cambio de base NO será ORTOGONAL. Usando Ec. (8) en Ec. (7) podemos escribir:
, , ,
ˆ
j mˆ
i t i k j k t m
u
h
g
u
u
(9) Finalmente, usando Ec. (9) en Ec. (5):, , ,
ˆ
,ˆ
i t i j m i m tF
u
F h
i kg
j k tF
u
u
(10)Este análisis necesita recurrir a cambios de sistemas de referencia si el inicial dado R tiene vectores unitarios de dirección no constante. Consecuentemente la Ec. (10) solo es válida si los relojes de los sistemas de referencia R y R' son idénticos. Al considerar como punto de partida un espacio tridimensional queda implícito que el espacio-tiempo se han considerado desacoplados. Consecuentemente los relojes de los sistemas de referencia son idénticos, lo que asegura la validez de la Ec. (10).
Derivada de un campo vectorial en un sistema cuatridimensional no ortonormal y no constante
Inicialmente el análisis es prácticamente idéntico al caso anteriormente analizado. Sin embargo, ahora contamos con una dimensión adicional. Sea pues un sistema de referencia no ortonormal R = {O; BR} del espacio cuatridimensional
con base covariante 𝐵𝑅= {𝑢̂𝑖}𝑖=14 donde el cuarto vector unitario representa la dimensional temporal de dicho sistema
de referencia 𝑢̂4= 𝑡̂𝑅. Consideremos en principio los vectores unitarios de BR no constantes, es decir, su dirección y
sentido depende del propio vector de posición. Dado un campo vectorial𝐹⃗ analizado desde el sistema de referencia R, el objetivo de esta sección es obtener una expresión cerrada para la derivada parcial:
,4 RF r
F
t
(11)De manera que, si procedemos de forma análoga a las secciones anteriores obtendremos:
,4 , ,4
ˆ
,4ˆ
ˆ
4 i i i iF
u
iF u
iF
F u
(12) Al ser ahora el tiempo dependiente del espacio el análisis no es tan largo, pero debemos ir con cuidado. Nos debemos de preguntar si los vectores unitarios varían al haber un cambio en la coordenada temporal u4. De no ser constantesnada me hace presuponer que encuentre un nuevo sistema de referencia R' cuyos vectores unitarios sí sean constantes al variar la coordenada u4 de mi sistema de referencia inicial R.
Sin embargo, si suponemos un sistema de referencia R' moviéndose a la velocidad de la luz o muy próximo a ella, con base covariante 𝐵𝑅′= {𝑒̂𝑖}𝑖=14 donde 𝑒̂4= 𝑡̂𝑅′y cuyos vectores unitarios espaciales {𝑒̂𝑖}𝑖=13 mantengan la dirección
constante e independiente de un cambio en el vector de posición, según la teoría de la relatividad especial un cambio infinitesimal en u4 no debería afectar a {𝑒̂𝑖}𝑖=13 al asumir sus direcciones constantes, y tampoco debería notarse en 𝑒̂4
al ser el tiempo muchísimo más lento en este nuevo sistema de referencia. Luego:
,4
ˆ
,4 ,4ˆ
,4ˆ
j jˆ
j i i j i j i ju
h
e
h
e
h
e
(13) donde:
,4ˆ
j0;
1, 2, 3
e
j
(14a) 4,4ˆ
0
e
(14b) Consecuentemente: ,4 ,4 ,4ˆ
jˆ
j mˆ
i i j i j mu
h
e
h
g
u
(15) Y finalmente: ,4 ,4 ,4ˆ
ˆ
i i j m i i j mF
F
u
F h
g
u
(16) Desde un punto de vista matemático el tratamiento se simplifica respecto a los dos primeros casos. El problema es que la interpretación física se complica a la hora de buscar un nuevo sistema de referencia que sea invariante espacio-temporalmente a cambios en la coordenada temporal de R. Aunque matemáticamente no encontremos contradicciones sí podríamos encontrarnos con ellas analizando este escenario desde un punto de vista físico.Anexo A: Derivadas de los vectores unitarios en cilíndricas y esféricas , ˆi k u : , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
0
0
0
0
0
0
ˆ
0
sin
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
0
0
sin
co
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
s
ˆ
z z z i k r r rz
z
z
u
r
r
r
r
r
Anexo B: Matrices de cambios de base entre bases ortonormales en ℝ𝑛 ℝ-e.v.
Analicemos primero este espacio vectorial. Es un espacio vectorial finitamente generado de dimensión n, normado y asociado a una geometría euclídea. Si definimos dos bases vectoriales covariantes diferentes con vectores unitarios:
1ˆ
12
ˆ
1 n n i i i iB
u
B
e
Se cumple que: 2 1 1 2ortonormales
es ortogonal
B BB
B
M
Demostración: debemos comprobar qué pasa cuando multiplicamos la matriz de cambio de base por su traspuesta tanto por el lado izquierdo como por el lado derecho. Si probamos primero multiplicando por el lado derecho:
2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
n n T n n B B B B n n n n n n n nu e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
M
M
A
u e
u e
u e
u e
u e
u e
(b1)obtenemos que los elementos de la matriz A los podemos expresar de forma general como:
2 ˆ ˆ 1 1 2 2ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
proy
ˆ
proy
ˆ
ˆ ˆ
,
;
,
1,
,
k k n n ij i k j k i j i j L e L e k ka
u e
u e
u
u
u u
i j
n
(b2)donde los productos escalares u eˆ ˆi, k y u eˆ ˆj, k son las proyecciones de uˆi y u sobre las variedades lineales ˆj
generadas por los vectores unitarios e . Luego A = Iˆk n si y solo si se cumple que: 1
ˆ ˆ
,
es ortonormal
ij i j ij
a
u u
B
(b3) Si multiplicamos la matriz de cambio de base por su traspuesta por el lado izquierdo:
2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
n n T n n B B B B n n n n n n n nu e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
M
M
B
u e
u e
u e
u e
u e
u e
(b4)podemos escribir con carácter general para cualquier elemento bij de la matriz B que:
1 1 2 ˆ ˆ 1 2 2ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
proy
proy
,
;
,
1,
,
k k n n ij k i k j i k j k k k n i j i j L u L u kb
u e
u e
e u
e u
e
e
e e
i j
n
(b5)2
ˆ ˆ, es ortonormal
ij i j ij
b e e
B (b6) Por lo tanto, con las expresiones (b3) y (b6) hemos llegado a demostrar la proposición de partida.Anexo C: Matrices de cambios de base entre bases ortonormales en ℂ𝑛 ℂ-e.v.
En este nuevo caso ℂ𝑛 ℂ-e.v. es un espacio vectorial finitamente generado de dimensión n, normado y asociado a
una geometría euclídea. Adicionalmente, este espacio vectorial lo podríamos considerar de dimensión 2n si definimos que el cuerpo sobre el que se construye dicho espacio son los reales ℝ. Pero independientemente de qué cuerpo usemos para crear el espacio vectorial, supongamos 𝕂 = ℂpor simplicidad notacional. Sean pues dos bases vectoriales covariantes diferentes con vectores unitarios:
1ˆ
12
ˆ
1 n n i i i iB
u
B
e
Se cumple que: 2 1 1 2ortonormales
es hermítica
B BB
B
M
Demostración: debemos comprobar qué pasa cuando multiplicamos la matriz de cambio de base por su traspuesta conjugada tanto por el lado izquierdo como por el lado derecho. Si probamos primero multiplicando por el lado derecho:
2 2 1 1 * * * 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 * * * 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 * * * 1 2 1 2ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
n n H n B B n B B n n n n n n n nu e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
M
M
A
u e
u e
u e
u e
u e
u e
(c1)obtenemos que podemos escribir con carácter general un elemento aij de la matriz anterior como:
* 2 1ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
;
,
1,
,
n ij i k j k i j ka
u e
u e
u u
i j
n
(c2) Luego A = In si y solo si se cumple que:1
ˆ ˆ, es ortonormal
ij i j ij
a u u
B (c3) Si multiplicamos la matriz de cambio de base por su traspuesta conjugada por el lado izquierdo:
2 2 1 1 * * * 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 * * * 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 * * * 1 2 1 2ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
n n H n B B n B B n n n n n n n nu e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
u e
M
M
B
u e
u e
u e
u e
u e
u e
(c4)podemos escribir con carácter general que:
* * * 2 1 1ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
,
;
,
1,
,
n n ij k i k j i k j k i j k kb
u e
u e
e u
e u
e e
i j
n
(c5)Luego B = In si y solo si se cumple que:
*
2
ˆ ˆ
,
es ortonormal
ij i j ij
