K:::. A l'a- = al' AL' = A«bi == A l' b

CAPITULO VI

TENSORES

El concepto de tensor surge naturalmente como una generalización de las canti-dades escalares y vectoriales; en los escalares el valor de la cantidad penna-nece ina¡terada para trarisfórmación de coordenadas; por ejemplo si en el inte-rior de u:;. 8uerpo la temperatura se puede expresar corno una función de punto

t-

j (

J.

::h

13 ) y si el mismo punto se expresa en otro sistema de 'coordenadas Xi comó ':)!., J

X1.J~~

entonces la temperatura será

-C;t.

(x.

I

:r".

:x:~)

;

obviamente la tempera tura en cada punto tiene un valor de terminado independien-te del sisindependien-tema coordenado utilizado para localizarlo por lo tanto:

-t~

('J,

'f

~

'j

~)::::

tx.

(~I

I X 1 , X:, )

E ste tipo de transformación es la mas elemental que existe; en ella las

compo-nentes de la cantidad (la cantidad escalar tiene una sola "componente" : su mag-nitud) permanecen invariables al cambiar de coordenadas.

También sabernos que las componentes de un vector se transforman al cambiar coordenadas; esta transformación puede ser covariante o contravariante para ca-da vector; es decir sus componentes I ya sean

AJ'

ó

AJ'

según que esten

ex-presadas en la base recíproca o directa respectivamente r se transforman en Al!, ó

A

l.:

al cambiar del sistema

Jl'

al

-:t.l':

estas dos transformaciones son

~

aSl:

,

,

A

t.' :::.

,

A

t..' ;:::

Recordemos que lo que se transfonna por medio de las anteriores ecuaciones son cierto tipo de componentes del vector pero no el vector mismo ya que este permanece fijo o inalterado,es un invariante, en cuanto a magnitud y dirección con respecto a algún sistema "absoluto" de coordenadas. Entonces el vector

A~

se puede expresar según las coordenadas

::t,'

o según las ~ L' Y en cada uno de

estos sistemas se expresa según los vectores base directos o según los

recípro-cos; por lo tanto: \. .

, _ ? (

K:::.

A

l'a-

=

AL'

al'

=

A«

bi

==

A

l'

b

siendo

at',

ti

z: :

base s directa y recíproca en -::::l L'

=

::r'l'

l

'3',

'j t

;j-:;)

--¡; -;:

t..'

tJ

t:,

(V : bases directa y recíproca en

~

t:::.

'1

l:

(::L "Xl,

X3)

• componentes contrava.riantes y covariantes refeddas a

I

,

Podemos generalizar ahora y suponer que existen cantidades, también invarian-tes como la magnitud de un escalar o como un vector fijo, cuyas componeninvarian-tes se transformc:1 de manera completamente similar a como se transforman las compo-nentes de un vector; por ejemplo podemos suponer la existencia de una cierta

cantidad A talq.¡e:

A=

En esta cantidad (Íormada por nueve componentes: 32) los términos

A

I'J'

se lla-man las componentes de A según

aL'

5.1;

la expresión

(!t@'

no es un pro-ducto Ele vectores ( ni escalar ni vectorial) simplemente es la colocación de los dos vectores uno a continuación del otro para indicar que la componente

!'1IJ

corresponde o pertenece tanto a

a.~'

como a

O:! ,

Reco!1ocemos un tipo de tal cantidad en el tensor de tensiones el cual como sabemos se acostumbra

escri-bir como la matriz:

~ll

cf"23

Q;2

Este conjunto de nueve cantidades nos permite encontrar la tensión ( fuerza / area) para cualquier superficie infin itesimal en el entorno de un punto P Para

el cual se conocen los

<f(f

referidos obviamente a un cierto sistema coorde-nado ;:(l; la tensión en esa superficie no cambia, es invariante, si en P

re-ferimos los

Ot-J'

a un nuevo sistema de coordenadas; en el tensor de tensiones

cada

0

_J

'esté5. adscrito a un par de direcciones

Ql'Si ,

el índice

T

señala la cara sobre la cual actúa

G(

una cara es representada por el vector base

nor-mal a ella, en este caso

aL')

y el índice

J

señala la dirección que tiene ~

en e SF.l. cara i .

Otra cantidad de este tipo es el conocido tensor de inercia •

,/

38

~l

1

13

I : .

1

22

1.

23

,

Si en un sistema coordenado

'jt ,

tenemos un punto P en el cual hay una masa

puntual m y además existe una recta

:A

entonces el producto m

el

'2. (siendo

cl

la distancia de P a la recta

1.

)

es un invariante, es decir no cambia si

referimos el punto y la recta a .un nuevo sistema de coordenadas ;t,.' : esta

can-tidad m

d,"2..

es función de los ,términos de la matriz,.I y al cambiar de

coor-denadas cambiarán los

"lij'

a I~' pero la cantidad

/Md..

~ (que es propiamen~e

a~ tensor de inercia) no cambia. En este caso los índices i, j representan los

ejes a los cuales si baja la perpendicular desde P, es decir

ILJ'

'está también

~. --...,.

adscrito a dos direcciones

a\

o..J

No nos interesa por ahora profundizar en los tensores de tensiones y de inercia,

lo que se quiere resaltar: es el hecho de que hay cantidades que tienen varias

componentes , (componentes que pueden pertenec:er"a más de una dirección) y

que al cambiar de coordenadas cambia el valor de esas componentes pero la

can-tidad misma es invariante ( por ejemplo: la tensión sobre una superfiCie

infini-tesimal o el producto de inercia m

d'Z. );

estas cantidades las llamaremos

ten-sores.

Como en un tensor cada componente pertenece a varias direcciones ( ó a una

si la cantidad invariante es un vector) entonces la transformación de cada

com-ponente I al cambiar de coordenadas, hay que hacerla teniendo en cuen ta la

per-tenencia de ella a esas varias direcciones; esto es: si en un tensor cada

compo-nente

A¿j'

corresponde a los vectores

D",

o/

y como para estos vectores

bases contravariantes las componentes de cualquier vector son componentes

cova-riantes (ver 5-15 a) entonces las

A'J"

se deben transformar covariantemente tanto

~. ::.iP'.

por p¡ntenecer a

D

L

como por pertenecer a

C»

es

decir,A

IJ'

se transforma

en Ald~ al cambiar de coordenadas ~l,: a las :XI' según la ley doblemente

co-variante:

,

6-1 )

•

a:r'

9'1.

J.

AIJ'

(3

:;c!:

O

..:í .(

Decimos entonces que las

Alj'

son las componentes de un tensor covariante de

..

ma

j

/.'

al

::ú'

por lo tanto:

6-2.

)

--,

Podemos también considerar cantidades invariantes cuyas componentes (

A

t{ )

corresponden cada una a un vector base covariante (

a:r·

)

y a un' vector base

contravariante(

ZI/

)

y por lo tanto se transformarán en forma mixta es decir

-";1

contravariantemente por su pertenencia al vec tor covariante

at'

y covariantemen-te por su percovariantemen-tenencia al vector contravariancovariantemen-te

al'

t así que:

6-3)

Se puede apreciar de lo anterior que una cantidad inv~iante puede tener sus com-ponentes referidas tanto a las bases covariante ( l I t ' ) como a la

contravarian-..-l\P

te( O J ) o también a ambas al mismo tiempo; por ejemplo, para coordenadas

curvilíneas en el tensor de tensiones podemos tomar sus componentes referidas a

las

al.'

solamente, serán las

\).J'

,o referidas a las

a .. ;'

solamente, serán

, , -="'> ~ • t.:

las ~Jo podernos ref~rirlas tanto a las

at'

corno a las

a

r , serán las

C5J' ;

en

este último caso

t;S'"J'

representa la tensión en la cara cuya normal está en la

di-rección de

á.:'

la tensión misma tomada en la dirección de

11..J'

,

Las cantidades cuyas componentes se transforman como en 6-1,6-2 I 6-3 las

lla-mamos respectivamente tensor covariante de rango dos I tensor contravariante de rango dos y tensor mixto de rango dos, (la palabra tensor se usó por primera vez

en relación con el tensor de tensioner:;) . Sin embargo no debemos perder de vista que los adjetivos covariarie, contravariante y mixto se refieren exclusivamente a las componentes del tensor no al tensor, este es un invariante. De ahora en

ade-lante designaremos un tensor

A

por su componente genérica¡ por lo tanto si el

'-.J

L'

tensor es de rango dos podemos representarlo por

Aü' ,

Al ,

A

J ;

esos tres símbolos representan al mismo tensor solo que en el primer caso se dan sus

com-ponentes covariantes, en el segundo las contravariantes y en el último las

mix-tas.

En las ecuaciones (6-1,6-2, 6-3) que nos definen tensores de rango dos (o de

segundo orden) los índices que aparecen pueden tomar los valore s de 1,2 I 3 si estamos en un espacio tridimensional; y tornarían los valores 1-2 si estamos en

, 40 1 C)

l'

.2í

_Q

A

11

é)'i'.

~8'í-:

A

.1- lo

~

~

A,)

A

~1

--

... é):::L 't..

a

.;í. l

éJ;:i.

K

81R..

~;tl(

a..:t

0.f:

~

AZJ

S?1:

d~~

A21

-t

~ j~

?

j~

A

22-

-r

.J. 8::Ll( 8:1-14 B;i..K

ax

é):L""

o.x

~

8'j'

A31

-r

_01

3

_~'t.

A32.

;-

SJ'f:

~A:H

8;iK

a.xR.

é):t)(. -é>;i~

8z"

a~14

Una de estas ecuaciones se obtiene para cada par de valores (J<.)

i );

por lo ta,T1-to corno los rangos de k y 1 son también de 1,2,3 resultan 32 componentes

;11<1. •

Las ecuaciones 6-1,6-2, 6-3 se pueden generalizar si es necesario de modo

que sean aplicables a espacios de más de tres dimensiones I por ejemplo n; en este caso lo único que hay que tener en cuenta

,

e s que el rango de los índices va de 1 hasta n; por lo tanto habrá n2 términos

A

K.i.

cada uno conteniendo n 2 tér-minos funciones de los

AlJ;

en la teoría de la relatividad por ejemplo, n= 4 ya que fuera de las tres dimensiones espaciales se considera una cuarta dimensión, el tiempo constituyéndose así un espacio -tiempo de cuatro dimensiones.

Podernos generalizar mas aún el concepto de tensor y entrar a definir tensores co-variantes f contravariantes y mixtos de orden 3 f 4, ... etc.; por ejemplo, un tensor

covariante de orden 4 en el espacio n- dimensional trasnforma sus componentes

A(!'lIC!

al pasar del sistema (YI'Y2 ... Yn ) al sistema (XII x2 ... _{x n )} según la

re-gla:

•

~JJ'

Bit(_

a

.:t. ,;.

-a;(

l' I

Este tensor tiene n 4 componentes que contienen a los

AtJ'K

1. .

forma sus componentes

A

L_'.¡'t4fl.

A

I'fl\ N'I

~

9¡-

cada una formada por n 4 sumandos

Un tenEor contravariante de rango cuatro trans-en las

A

rrn mp

~

al pasar del sistema J'L'al sis terna xi según la ley:

I 11"1'\ '"

A

rM""~~:::

;::,.::(. r

ª

X-:

'a~r

8jJ

.Q:i~

<;3.:t

~~

'0:$1<

BjJl.

A

¿'J'K1{ • )

Un tensor mixto de cuarto orden puede expreSélrse

/)'

de varias maneras:

A

K':'"

por ejemplo:

)

"

rm

,Il\

r,

9r

De la reg

l

a anterior para transformar las diversas componentes de tensores de

distintos

órdenes podemos apreciar que un escalar es un tensor de orden cero

y un vector es un tensor de orden 1 ( puede ser covariante o contravariante);

así mismo el cero es un tensor de cualquier orden, es decir se puede

conside-rar escalar, vector

I

tensor de orden 2,

...

tensor de orden n ya que se

trans-forma así:

6-4)

..

_•

•

aquí está cons

i

derado

co-mo tensor mixto de orden

4.