Universidad de Oriente Universidad de Oriente
N
N ú ú cleo de Anzo cleo de Anzo á á tegui tegui
Extensi
Extensi ó ó n Regi n Regi ó ó n Centro Sur n Centro Sur
Anaco, Estado Anzo
Anaco, Estado Anzo á á tegui tegui
Profesor: Bachilleres:
Profesor: Bachilleres:
Luis
Luis Rojas Rojas Golindano Golindano Yutxy Yutxy
20.712.313
20.712.313
Gonz
Gonz á á lez Nathaly lez Nathaly
20.712.114
20.712.114
Abreu
Abreu Elias Elias
22.567.321
:
1.1. Funciones Elementales: Funcion Rampa; Funcion Escalon; Funcion Impulso; Funcion Parabola.
1.2. Propiedades de las funciones elementales. 1.3 Aplicaciones de las funciones elementales.
2.1. Respuestas Naturales de Circuitos RL y RC. 2.2. Constante de Tiempo y Respuesta Exponencial.
2.3. Respuesta de estado cero de Circuitos RL y RC. Respuestas Completa.
3.1 Resolucion general para casos Subamortiguado y Sobreamortiguado. 3.2. Respuesta completa del circuito RLC.
3.3 Resolucion para caso de Amortiguamiento Critico. Respuesta Completa.
Mayo/2014
Tema: “Solucion de Circutos y Sistemas caracterizados por Ecuaciones Diferenciales”
Topicos a Investigar
1.- Se ales Continuas y Discretas.
2.- Circuitos de er Orden. RL y RC)
Uno de los dos tipos b á sicos de se ñ ales, para las cuales la variable independiente es contin ú a, es decir son se ñ ales
que est á n definidas para un intervalo continu ó de valores de su variable independiente.
Ejemplos:
Una Se ñ al de voz como una funci ó n del
tiempo.
Presi ó n atmosf é rica como una funci ó n de la
altura. Notaci ó n:
Para nombrar este tipo de se ñ ales se usan
letras min ú sculas y el s í mbolo "t" para denotar
la variable de tiempo continu ó .
La variable independiente, adem á s, se
encerrar á entre par é ntesis "(.)"
El otro tipo b á sico de se ñ ales, para el cual la variable independiente (tiempo) es discreta, es decir que est á n
definidas para un conjunto de valores discretos de su variable independiente.
Ejemplos: Representaci ó n Gr á fica:
Los valores semanales delí ndice burs á til "Dow
Jones".
Los valores de Ingresos Promedios de la poblaci ó n seg ú n su nivel de instrucci ó n.
1.- Se ales contin as y discretas: Se ales contin as
Representaci n Gr fica:
Notaci ó n:
Para nombrar este tipo de se ñ ales se usan
letras min ú sculas y el s í mbolo "n" para denotar
la variable de tiempo discreto.
La variable independiente, adem á s, se
encerrar á entre corchetes "[.]"
Es una
1.1 Funciones Elementales: La funci n rampa:
funci ó n elemental real de un s ó lo argumento, contin ú a y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto
(inicio de la rama) f á cilmente computable a partir de la funci ó n m í nimo o la funci ó n valor absoluto .
Es una funci ó n matem á tica que tiene como caracter í stica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su
argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matem á ticamente seria de la forma:
Para
cambia de un valor negativo a uno positivo.
Algunos sistemas mec á nicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensi ó n el é ctrica en el caso de
los circuitos el é ctricos) de gran magnitud, que solamente act ú a durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una
descarga el é ctrica podr í a caer sobre el ala vibrante de un avi ó n; a un cuerpo sujeto a un resorte podr í a d á rsele un
fuerte golpe con un martillo, una pelota (de b é isbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podr í a ser enviada
velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bate de b é isbol, un bast ó n de golf o
una raqueta de tenis. La funci ó n impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza. La funci n escal n:
t = 0 se tiene que el proceso ocurre instant á neamente, puesto que el argumento de u t es el tiempo t, que
La funci n impulso.
Existen algunas propiedades importantes que ser á n explicadas en clase:
a)
S
se a) + cos a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de f ó rmula fundamental de la trigonometr í a).
(Se demuestra f á cilmente aplicando el teorema de Pit á goras al tri á ngulo rect á ngulo OPQ)
b)tan a) = sen a)/cos a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente) c) los valores del seno y del coseno est á n comprendidos entre -1 y 1.
En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias:
1. Usar una identidad trigonom é trica y simplificar , esú til cuando se presentan funciones trigonom é tricas.
2. Eliminar una ra í z cuadrada , se presenta normalmente despu é s de completar un cuadrado o una sustituci ó n
trigonom é trica.
3. Reducir una fracci ó n impropia.
4. Separar los elementos del numerador de una fracci ó n entre el denominador de la fracci ó n.
5. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).
6. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).
Es necesario tener siempre a la mano una tabla de identidades trigonom é tricas y sustituyendo adecuadamente, llegar á s
a las “f ó rmulas b á sicas”.
Se aplica el seno y coseno del á ngulo mitad:
1.3 Aplicaciones de las funciones elementales:
Potencias pares de sen x o cos x
2 Circuito de 1 er Orden. RL y RC)
Los energ í a
(puede ser un condensador o inductor), y que adem á s pueden describirse usando solamente una ecuaci ó n diferencial de
primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden: 1. Circuito RC (Resistor y Condensador)
2. Circuito RL (Resistor e Inductor) Respuesta
Los circuitos serie RL y RC (figura 1) tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensi ó n, respectivamente.
Al cerrar el interruptor S en el circuito serie RL, la bobina crea una fuerza electromotriz (f.e.m.) que se opone a la corriente que circula por el circuito, denominada por ello fuerza contraelectromotriz. Como consecuencia de ello, en el
Figura 1: Circuito RL (arriba) y circuito RC (abajo).
Figura 2: Comportamiento de los circuitos serie RL y RC en CC.
mismo instante de cerrar el interruptor (t0 en la figura 2) la intensidad ser á nula e ir á aumentando exponencialmente
hasta alcanzar su valor m á ximo, (de t0 a t1). En el mismo circuito abre S (donde el circuito
ser á abierto en la red RL),y el valor de no desaparecer í a instant á neamente, sino que ir í a disminuyendo de forma
exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).
Por otro lado, en el circuito serie RC, al cerrar el interruptor S (t0 en la figura 2), el condensador comienza a cargarse, aumentando su tensi ó n exponencialmente hasta alcanzar su valor m á ximo E0 (de t0 a t1), que coincide con el valor de
la f.e.m. E de la fuente. Si a continuaci ó n, en el mismo instante de abrir S (t2 en la figura 2) se har á corto circuito en la
red RC, el valor de Eo no desaparecer í a instant á neamente, sino que ir í a disminuyendo de forma exponencial hasta
hacerse cero (de t2 a t3). R é gimen de Funcionamiento :
En ambos circuitos se da por lo tanto dos tipos de r é gimen de funcionamiento (figura 2): • : desde t0 a t1 (carga) y desde t2 a t3 (descarga).
• : desde t1 a t2.
La duraci ó n del r é gimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de la resistencia , R, la capacidad , C, del
condensador y de la autoinductancia, L de la bobina. El valor de esta duraci ó n se suele tomar como , donde es la
denominada , siendo su valor en cada circuito:
Si R est á en ohmios , C en faradios y L en henrios , estar á en segundos . Matem á ticamente se pueden obtener
las ecuaciones en r é gimen transitorio de cada circuito que se muestran en la siguiente tabla:
Transitorio Permanente
constante de tiempo
a n a n a n a n
2.2 Constante de tiempo y Respuesta Exponencial.
. La constante de tiempo, t, es un par á metro muy importante en este tipo de circuitos y se expresa en unidades de
tiempo. En un circuito RL, t=L/R Th , y en un circuito RC, t=R Th C, donde R Thes la resistencia equivalente de Th é venin
vista desde las terminales del elemento de almacenamiento.
El voltaje o corriente en cualquier lugar de un circuito RL o RC se obtiene resolviendo una ecuaci ó n diferencial de
primer orden.
Recordar que cualquier circuito de primer orden puede reducirse a uno equivalente en la forma de Th é venin o Norton
conectado a un ú nico inductor o condensador equivalente, como se muestra a continuaci ó n:
cuya soluci ó n es:
cuya soluci ó n es:
Circuitos RL:
se demuestra entonces, que la expresi ó n de la soluci ó n general es:
• Donde la variable desconocida es i(t) (o v(t))para circuitos RL (o RC). Una vez que se encontr ó la expresi ó n
de i(t) para el inductor, se calcula v(t) como L di(t)/dt. O cuando se encontr ó la expresi ó n de v(t) para el
capacitor, se calcula i(t) como C dv(t)/dt.
• Cuando se quiere encontrar la respuesta natural del circuito, el valor final de la variable ser á cero, entonces:
• Si inicialmente, el elemento no tiene energ í a almacenada, entonces el valor inicial de la variable ser á cero. Y la
respuesta al escal ó n ser á :
• Generalmente, el tiempo de conmutaci ó n es cero.
Se consideran ahora los circuitos RLC en donde las fuentes de CD se conmutan dentro de la red
produciendo respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo tiende a infinito. La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calculan las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes.
La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta forzada:
que es una constante de excitaci ó n de CD, y una respuesta natural,
As í :
Suponiendo que s1, s2 y Vf se conocen (basados en el circuito serie) se deben encontrar A, y B, sustituyendo el valor conocido de v en t=0+ se encuentra una ecuaci ó n que relaciona A y
B, ,pero esto no es suficiente, se necesita otra relaci ó n entre A y B y normalmente se
obtiene tomando la derivada de la respuesta:
Se sustituye el valor conocido de
Podr í a tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relaci ó n entre A y B si se usara el valor
de en t=0+, sin embargo este valor no se conoce en un sistema de segundo orden, ser í a m á s ú til para encontrar el valor inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo
tendr í amos 2 ecuaciones para hallar las dos inc ó gnitas A y B.
Solo falta determinar los valores de v y dv/dt en t=0 + . Suponiendo que v es el voltaje en el
capacitor, vc. Como , si se puede establecer un valor inicial para la corriente del capacitor autom á ticamente se tendr á el valor de
como respuesta, entonces el valor inicial de deber í a relacionarse con alg ú n voltaje del inductor.
Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes de inductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales de sus derivadas en t é rminos de los valores correspondientes
para
Las variables de estos circuitos se gobiernan por ecuaciones diferenciales de segundo orden. A primera vista se pueden distinguir porque contienen dos elementos capaces de almacenar energ í a; ya sean dos
condensadores, dos bobinas (que no se puedan sustituir por una C o una L equivalente) o un
dv/dt en t=0+.
dv/dt . Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor
c
condensador m á s una bobina. Su estudio ser á similar al empleado con los circuitos basados en una
ecuaci ó n de primer orden.
q( t) = q0 ⋅Exp(− γ ⋅t ) ⋅Sin ( ω1 ⋅t +φ )
donde q0 y son dos constantes cuyos valores dependen de las condiciones iniciales oφ
de borde. Por ejemplo de los valores de q(t) e i(t) para t=0. En este caso el sistema oscila con amplitudes decrecientes en el tiempo.
El primero que vamos a suponer es el caso en que tenemos una resistencia muy grande, o una inductancia muy peque ñ a. Si la resistencia es grande comparada con la inductancia, la energ í a se
disipa en seguida en forma de calor. Y si la inductancia es muy peque ñ a en relaci ó n a la resistencia
hay muy poquita energ í a de partida. En ambas situaciones se pierde la energ í a tan r á pidamente que
no llega siquiera a ocurrir una sola oscilaci ó n
Lo que est á ocurriendo es que
3.1 Resolucion general para casos Subamortiguado y Sobreamortiguado.
Caso subamortiguado, si R<Rcrit= 2 L C ,
Caso sobreamortiguado:
Oscilador sobre-amortiguado
se est á haciendo mayor que . Y el radicando se vuelve
positivo. La ra í z de un n ú mero negativo sale un n ú mero complejo, con la soluci ó n de senos y
cosenos que vimos antes; pero la ra í z de un n ú mero positivo es real, no hay parte imaginaria, no
hay exponencial compleja: no hay oscilaci ó n. Tan s ó lo hay una exponencial real que decae
La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calculan las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes.
La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta forzada:
que es una constante de excitaci ó n de CD, y una respuesta natural,
As í :
Suponiendo que s1, s2 y Vf se conocen (basados en el circuito serie) se deben encontrar A, y B, sustituyendo el valor conocido de v en t=0+ se encuentra una ecuaci ó n que relaciona A y
B, ,pero esto no es suficiente, se necesita otra relaci ó n entre A y B y normalmente se
obtiene tomando la derivada de la respuesta:
Se sustituye el valor conocido de
Podr í a tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relaci ó n entre A y B si se usara el valor
de en t=0+, sin embargo este valor no se conoce en un sistema de segundo orden, ser í a m á s ú til para encontrar el valor inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo
3.2. Respuesta completa del circuito RLC.
tendr í amos 2 ecuaciones para hallar las dos inc ó gnitas A y B.
Solo falta determinar los valores de v y dv/dt en t=0 + Suponiendo que v es el voltaje en el capacitor,vc .
Como , si se puede establecer un valor inicial para la corriente del capacitor autom á ticamente se tendr á el valor de
como respuesta, entonces el valor inicial de deber í a relacionarse con alg ú n voltaje del inductor.
Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes de inductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales de sus derivadas en t é rminos de los valores correspondientes
para
.
dv/dt . Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor
c e l.
3.3 Resolucion para caso de Amortiguamiento Critico. Respuesta Completa
As í que cuando no oscila, y cuando es menor pues s í . Entonces tiene que haber un punto de
inflexi ó n, un punto intermedio entre una condici ó n y otra. Seg ú n vamos ajustando los valores para
que el circuito est é un poco m á s libre llegamos a un punto en que
Esa situaci ó n se llama amortiguamiento cr í tico. Y en un gr á fico se ve as í :
Tiene la propiedad de que la energ í a decae m á s r á pido que en los otros casos. ¿Y para qu é sirve?
Pues para detener las oscilaciones en el menor tiempo posible. Si hablamos de un oscilador mec á nico nos referimos a, por ejemplo, los amortiguadores de los coches. ¿Verdad que no nos
interesa que despu é s de pillar un bache el coche bote arriba y abajo durante un rato? Pero por otro
