Circuitos Rc y Rl

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Universidad de Oriente  Universidad de Oriente 

N ú ú cleo de Anzo cleo de Anzo á á tegui tegui 

Extensi 

Extensi ó ó n Regi n Regi ó ó n Centro Sur n Centro Sur 

Anaco, Estado Anzo 

Anaco, Estado Anzo á á tegui tegui 

Profesor: Bachilleres: 

Profesor: Bachilleres: 

Luis

Luis Rojas Rojas Golindano Golindano Yutxy Yutxy 

  20.712.313 

  20.712.313 

  Gonz 

  Gonz á á lez Nathaly lez Nathaly 

  20.712.114 

  20.712.114 

Abreu

Abreu Elias Elias 

  22.567.321

(2)

 : 

1.1. Funciones Elementales: Funcion Rampa; Funcion Escalon; Funcion Impulso; Funcion Parabola. 

1.2. Propiedades de las funciones elementales.  1.3 Aplicaciones de las funciones elementales. 

2.1. Respuestas Naturales de Circuitos RL y RC.  2.2. Constante de Tiempo y Respuesta Exponencial. 

2.3. Respuesta de estado cero de Circuitos RL y RC. Respuestas Completa. 

3.1 Resolucion general para casos Subamortiguado y Sobreamortiguado.  3.2. Respuesta completa del circuito RLC. 

3.3 Resolucion para caso de Amortiguamiento Critico. Respuesta Completa. 

  Mayo/2014

Tema: “Solucion de Circutos y Sistemas caracterizados por Ecuaciones Diferenciales”

Topicos a Investigar

1.- Se ales Continuas y Discretas.

2.- Circuitos de er Orden. RL y RC)

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Uno de los dos tipos b á sicos de se ñ ales, para las cuales la variable independiente es contin ú a, es decir son se ñ ales

que est á n definidas para un intervalo continu ó  de valores de su variable independiente. 

Ejemplos: 

Una Se ñ al de voz como una funci ó n del

tiempo. 

Presi ó n atmosf  é rica como una funci ó n de la

altura.  Notaci ó n: 

Para nombrar este tipo de se ñ ales se usan

letras min ú sculas y el s í mbolo "t" para denotar

la variable de tiempo continu ó 

La variable independiente, adem á s, se

encerrar á  entre par é ntesis "(.)" 

El otro tipo b á sico de se ñ ales, para el cual la variable independiente (tiempo) es discreta, es decir que est á n

definidas para un conjunto de valores discretos de su variable independiente. 

Ejemplos:  Representaci ó n Gr á  fica: 

Los valores semanales delí ndice burs á til "Dow

Jones". 

Los valores de Ingresos Promedios de la  poblaci ó n seg ú n su nivel de instrucci ó n. 

1.- Se ales contin as y discretas: Se ales contin as

Representaci n Gr fica:

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Notaci ó n: 

Para nombrar este tipo de se ñ ales se usan

letras min ú sculas y el s í mbolo "n" para denotar

la variable de tiempo discreto. 

La variable independiente, adem á s, se

encerrar á  entre corchetes "[.]" 

Es una

1.1 Funciones Elementales:  La funci n rampa:

 funci ó n elemental real de un s ó lo argumento, contin ú a y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto

(inicio de la rama) f  á cilmente computable a partir de la funci ó n m í nimo o la funci ó n valor absoluto .

Es una funci ó n matem á tica que tiene como caracter í stica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su

argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matem á ticamente seria de la forma: 

Para

cambia de un valor negativo a uno positivo. 

Algunos sistemas mec á nicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensi ó n el é ctrica en el caso de

los circuitos el é ctricos) de gran magnitud, que solamente act ú a durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una

descarga el é ctrica podr í a caer sobre el ala vibrante de un avi ó n; a un cuerpo sujeto a un resorte podr í a d á rsele un

 fuerte golpe con un martillo, una pelota (de b é isbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podr í a ser enviada

velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bate de b é isbol, un bast ó n de golf o

una raqueta de tenis. La funci ó n impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.  La funci n escal n:

t = 0 se tiene que el proceso ocurre instant á neamente, puesto que el argumento de u t es el tiempo t, que

 La funci n impulso.

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Existen algunas propiedades importantes que ser  á n explicadas en clase:  

a) 

S

 se  a) + cos  a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de f  ó rmula fundamental de la trigonometr í a).

(Se demuestra f   á cilmente aplicando el teorema de Pit á  goras al tri á ngulo rect á ngulo OPQ) 

b)tan a) = sen a)/cos a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)  c) los valores del seno y del coseno est á n comprendidos entre -1 y 1. 

En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias: 

1. Usar una identidad trigonom é trica  y simplificar , esú til cuando se presentan funciones trigonom é tricas. 

2. Eliminar una ra í z cuadrada , se presenta normalmente despu é s de completar un cuadrado o una sustituci ó n

trigonom é trica. 

3. Reducir una fracci ó n impropia. 

4. Separar los elementos del numerador de una fracci ó n entre el denominador de la fracci ó n. 

5. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x). 

6. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)). 

Es necesario tener siempre a la mano una tabla de identidades trigonom é tricas y sustituyendo adecuadamente, llegar á s

a las “f  ó rmulas b á sicas”. 

Se aplica el seno  y coseno  del á ngulo mitad: 

1.3 Aplicaciones de las funciones elementales:

Potencias pares de sen x o cos x

2 Circuito de 1 er Orden. RL y RC)

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Los energ í a

(puede ser un condensador o inductor), y que adem á s pueden describirse usando solamente una ecuaci ó n diferencial de

 primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden:  1.  Circuito RC (Resistor y Condensador) 

2.  Circuito RL (Resistor e Inductor)  Respuesta 

Los circuitos serie RL y RC (figura 1) tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensi ó n, respectivamente. 

Al cerrar el interruptor S en el circuito serie RL, la bobina  crea una fuerza electromotriz  (f.e.m.) que se opone a la corriente que circula por el circuito, denominada por ello fuerza contraelectromotriz. Como consecuencia de ello, en el

Figura 1: Circuito RL (arriba) y circuito RC (abajo). 

Figura 2: Comportamiento de los circuitos serie RL y RC en CC. 

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mismo instante de cerrar el interruptor (t0 en la figura 2) la intensidad ser á  nula e ir á  aumentando exponencialmente

hasta alcanzar su valor m á ximo, (de t0 a t1). En el mismo circuito abre S (donde el circuito

ser á abierto en la red RL),y el valor de no desaparecer í a instant á neamente, sino que ir í a disminuyendo de forma

exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3). 

Por otro lado, en el circuito serie RC, al cerrar el interruptor S (t0 en la figura 2), el condensador comienza a cargarse, aumentando su tensi ó n exponencialmente hasta alcanzar su valor m á ximo E0 (de t0 a t1), que coincide con el valor de

la f.e.m. E de la fuente. Si a continuaci ó n, en el mismo instante de abrir S (t2 en la figura 2) se har á  corto circuito en la

red RC, el valor de Eo no desaparecer í a instant á neamente, sino que ir í a disminuyendo de forma exponencial hasta

hacerse cero (de t2 a t3).  R  é  gimen de Funcionamiento : 

En ambos circuitos se da por lo tanto dos tipos de r é  gimen de funcionamiento (figura 2):  • : desde t0 a t1 (carga) y desde t2 a t3 (descarga). 

• : desde t1 a t2. 

La duraci ó n del r é  gimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de la resistencia , R, la capacidad , C, del

condensador y de la autoinductancia, L de la bobina. El valor de esta duraci ó n se suele tomar como , donde es la

denominada , siendo su valor en cada circuito: 

Si R est á  en ohmios , C en faradios y L en henrios ,  estar á  en segundos . Matem á ticamente se pueden obtener

las ecuaciones en r é  gimen transitorio de cada circuito que se muestran en la siguiente tabla: 

Transitorio Permanente

constante de tiempo

a n a n a n a n

2.2 Constante de tiempo y Respuesta Exponencial.

. La constante de tiempo, t, es un par á metro muy importante en este tipo de circuitos y se expresa en unidades de

tiempo. En un circuito RL, t=L/R  Th , y en un circuito RC, t=R  Th C, donde R  Thes la resistencia equivalente de Th é venin

vista desde las terminales del elemento de almacenamiento. 

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El voltaje o corriente en cualquier lugar de un circuito RL o RC se obtiene resolviendo una ecuaci ó n diferencial de

 primer orden. 

Recordar que cualquier circuito de primer orden puede reducirse a uno equivalente en la forma de Th é venin o Norton

conectado a un ú nico inductor o condensador equivalente, como se muestra a continuaci ó n: 

cuya soluci ó n es: 

cuya soluci ó n es: 

Circuitos RL:

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se demuestra entonces, que la expresi ó n de la soluci ó n general es: 

• Donde la variable desconocida es i(t) (o v(t))para circuitos RL (o RC). Una vez que se encontr ó  la expresi ó n

de i(t) para el inductor, se calcula v(t) como L di(t)/dt. O cuando se encontr ó  la expresi ó n de v(t) para el

capacitor, se calcula i(t) como C dv(t)/dt. 

• Cuando se quiere encontrar la respuesta natural del circuito, el valor final de la variable ser á  cero, entonces:

• Si inicialmente, el elemento no tiene energ í a almacenada, entonces el valor inicial de la variable ser á cero. Y la

respuesta al escal ó n ser á 

• Generalmente, el tiempo de conmutaci ó n es cero. 

Se consideran ahora los circuitos RLC en donde las fuentes de CD se conmutan dentro de la red

 produciendo respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo tiende a infinito.  La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calculan las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes. 

La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta forzada: 

que es una constante de excitaci ó n de CD, y una respuesta natural,

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As í 

Suponiendo que s1, s2 y Vf se conocen (basados en el circuito serie) se deben encontrar A, y B, sustituyendo el valor conocido de v en t=0+ se encuentra una ecuaci ó n que relaciona A y

B, ,pero esto no es suficiente, se necesita otra relaci ó n entre A y B y normalmente se

obtiene tomando la derivada de la respuesta: 

Se sustituye el valor conocido de

Podr í a tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relaci ó n entre A y B si se usara el valor

de en t=0+, sin embargo este valor no se conoce en un sistema de segundo orden, ser í a m á s ú til para encontrar el valor inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo

tendr í amos 2 ecuaciones para hallar las dos inc ó  gnitas A y B. 

Solo falta determinar los valores de v y dv/dt en t=0 + . Suponiendo que v es el voltaje en el

capacitor, vc. Como , si se puede establecer un valor inicial para la corriente del capacitor autom á ticamente se tendr á  el valor de

como respuesta, entonces el valor inicial de deber í a relacionarse con alg ú n voltaje del inductor.

Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes de inductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales de sus derivadas en t é rminos de los valores correspondientes

 para

Las variables de estos circuitos se gobiernan por ecuaciones diferenciales de segundo orden. A primera vista se pueden distinguir porque contienen dos elementos capaces de almacenar energ í a; ya sean dos

condensadores, dos bobinas (que no se puedan sustituir por una C o una L equivalente) o un

dv/dt en t=0+. 

dv/dt . Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor

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condensador m á s una bobina. Su estudio ser á  similar al empleado con los circuitos basados en una

ecuaci ó n de primer orden. 

q( t) = q0 ⋅Exp(−  γ ⋅t ) Sin ( ω1 t +φ )

donde q0 y son dos constantes cuyos valores dependen de las condiciones iniciales oφ

de borde. Por ejemplo de los valores de q(t) e i(t) para t=0. En este caso el sistema oscila con amplitudes decrecientes en el tiempo.

El primero que vamos a suponer es el caso en que tenemos una resistencia muy grande, o una inductancia muy peque ñ a. Si la resistencia es grande comparada con la inductancia, la energ í a se

disipa en seguida en forma de calor. Y si la inductancia es muy peque ñ a en relaci ó n a la resistencia

hay muy poquita energ í a de partida. En ambas situaciones se pierde la energ í a tan r á  pidamente que

no llega siquiera a ocurrir una sola oscilaci ó 

Lo que est á  ocurriendo es que

3.1 Resolucion general para casos Subamortiguado y Sobreamortiguado. 

Caso subamortiguado, si R<Rcrit= 2 L C ,

Caso sobreamortiguado: 

Oscilador sobre-amortiguado

se est á haciendo mayor que . Y el radicando se vuelve

 positivo. La ra í z de un n ú mero negativo sale un n ú mero complejo, con la soluci ó n de senos y

cosenos que vimos antes; pero la ra í z de un n ú mero positivo es real, no hay parte imaginaria, no

hay exponencial compleja: no hay oscilaci ó n. Tan s ó lo hay una exponencial real que decae

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La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calculan las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes. 

La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta forzada: 

que es una constante de excitaci ó n de CD, y una respuesta natural,

As í 

Suponiendo que s1, s2 y Vf se conocen (basados en el circuito serie) se deben encontrar A, y B, sustituyendo el valor conocido de v en t=0+ se encuentra una ecuaci ó n que relaciona A y

B, ,pero esto no es suficiente, se necesita otra relaci ó n entre A y B y normalmente se

obtiene tomando la derivada de la respuesta: 

Se sustituye el valor conocido de

Podr í a tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relaci ó n entre A y B si se usara el valor

de en t=0+, sin embargo este valor no se conoce en un sistema de segundo orden, ser í a m á s ú til para encontrar el valor inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo

3.2. Respuesta completa del circuito RLC.

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tendr í amos 2 ecuaciones para hallar las dos inc ó  gnitas A y B. 

Solo falta determinar los valores de v y dv/dt en t=0 + Suponiendo que v es el voltaje en el capacitor,vc .

Como , si se puede establecer un valor inicial para la corriente del capacitor autom á ticamente se tendr á  el valor de

como respuesta, entonces el valor inicial de deber í a relacionarse con alg ú n voltaje del inductor.

Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes de inductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales de sus derivadas en t é rminos de los valores correspondientes

 para

dv/dt . Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor

c e l. 

3.3 Resolucion para caso de Amortiguamiento Critico. Respuesta Completa

As í que cuando no oscila, y cuando es menor pues s í . Entonces tiene que haber un punto de

inflexi ó n, un punto intermedio entre una condici ó n y otra. Seg ú n vamos ajustando los valores para

que el circuito est é  un poco m á s libre llegamos a un punto en que 

Esa situaci ó n se llama amortiguamiento cr í tico. Y en un gr á  fico se ve as í 

Tiene la propiedad de que la energ í a decae m á s r á  pido que en los otros casos. ¿Y para qu é  sirve?

Pues para detener las oscilaciones en el menor tiempo posible. Si hablamos de un oscilador mec á nico nos referimos a, por ejemplo, los amortiguadores de los coches. ¿Verdad que no nos

interesa que despu é s de pillar un bache el coche bote arriba y abajo durante un rato? Pero por otro

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