SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO

SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO

LUIS EDO GARCÍA JAIMES

POLITÉCNICO COLOMBIANO J.I.C

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL

ESPACIO DE ESTADO

Este método tiene como objetivo la descripción de

un sistema en función de

𝑛

ecuaciones en

diferencias o diferenciales de primer orden, las

cuales

pueden

combinarse

para

formar

una

ecuación matricial en diferencias o una diferencial

de primer orden.

CONCEPTOS BÁSICOS

• Estado: el estado de un sistema dinámico es el conjunto

más pequeño de variables, tales que el conocimiento de

dichas variables en

𝑡 = 𝑡

_𝑜

junto con el conocimiento de la

entrada

para

𝑡 ≥ 𝑡

_{𝑜 ,}

determinan

completamente

el

comportamiento dinámico del sistema para

𝑡 ≥ 𝑡

_𝑜

.

• Variables de Estado: son las variables que conforman el

conjunto más pequeño de variables que determinan el

estado de un sistema dinámico: 𝑥

₁

, 𝑥

₂

. . . 𝑥

_𝑛

.

• Vector de Estado: es el vector formado por el conjunto de

las

𝑛 variables de estado 𝑥

₁

, 𝑥

₂

. . . 𝑥

_𝑛

que sean necesarias

para determinar completamente el comportamiento del

sistema.

REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DE

UN SISTEMA CONTINUO

Las variables 𝑢_𝑖(𝑡), 𝑖 = 1. . . 𝑟, representan las entradas

Las variables 𝑦_𝑖(𝑡), 𝑖 = 1. . . 𝑚, representan las salidas

Las variables 𝑥_𝑖(𝑡), 𝑖 = 1. . . 𝑛, representan las variables de estado

𝑢 𝑡 = ) 𝑢₁(𝑡 𝑢₂ 𝑡 ∙ ∙ 𝑢_𝑟 𝑡 y 𝑡 = ) 𝑦₁(𝑡 ) 𝑦₂(𝑡 ∙ ∙ ) 𝑦_𝑚(𝑡 𝑥 𝑘𝑡 = ) 𝑥₁(𝑡 ) 𝑥₂(𝑡 ∙ ∙ ) 𝑥_n(𝑡 y2(t) y3(t) ym(t) Variables de estado u1(t) u2(t) u3(t) ur(t) y1(t) x1(t) x2(t) x3(t) xn(t)

u(t) Vector de y(t) Estado

ECUACIÓN DE ESTADO

En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo continuo, se puede escribir en la forma:

ሶ𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡)

La salida del sistema se puede dar como:

𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡)

Para los sistemas lineales, de tiempo continuo e invariantes en el tiempo, la ecuación de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así

ሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

En donde:

𝑥(𝑡) = Vector de estado (vector 𝑛) 𝑦(𝑡) =Vector de salida (vector 𝑚) 𝑢(𝑡) = Vector de entrada (vector 𝑟)

𝐴 =Matriz de estado (matriz 𝑛 × 𝑛) 𝐵 = Matriz de entrada (matriz 𝑛 × 𝑟) 𝐶 = Matriz de salida (matriz 𝑚 × 𝑛) 𝐷 = Matriz de transmisión directa (matriz 𝑚 × 𝑟)

DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA CONTINUO

ሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡 + + + + B A D C u(t) _y(t) x(t) x(t)



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DE UN SISTEMA DISCRETO

Las variables 𝑢_𝑖(𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑟, representan las entradas

Las variables 𝑦_𝑖(𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑚, representan las salidas

Las variables 𝑥_𝑖(𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑛, representan las variables de estado

𝑢 𝑘 = ) 𝑢₁(𝑘 𝑢₂ 𝑘 ∙ ∙ 𝑢_𝑟 𝑘 𝑦 𝑘 = ) 𝑦₁(𝑘 ) 𝑦₂(𝑘 ∙ ∙ ) 𝑦_𝑚(𝑘 𝑥 𝑘 = ) 𝑥₁(𝑘 ) 𝑥₂(𝑘 ∙ ∙ ) 𝑥_n(𝑘 y2(k) y3(k) ym(k) Variables de estado u1(k) u2(k) u3(k) ur(k) y1(k) x1(k) x2(k) x3(k) xn(k)

u(k) Vector de y(k)

Estado

ECUACIÓN DE ESTADO SISTEMA DISCRETO

En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo discreto, en el instante 𝑘 + 1 se puede escribir en la forma:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑓 𝑥 𝑘 , 𝑢(𝑘)

Así mismo, la salida del sistema se puede dar como: 𝑦 𝑘 = 𝑔 𝑥 𝑘 , 𝑢(𝑘)

Para los sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la ecuación de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

En donde:

𝑥(𝑘) = Vector de estado (vector 𝑛) 𝑦(𝑘) =Vector de salida (vector 𝑚) 𝑢(𝑘) = Vector de entrada (vector 𝑟)

𝐴 =Matriz de estado (matriz 𝑛 × 𝑛) 𝐵 = Matriz de entrada (matriz 𝑛 × 𝑟) 𝐶 = Matriz de salida (matriz 𝑚 × 𝑛) 𝐷 = Matriz de transmisión directa (matriz 𝑚 × 𝑟)

DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA DISCRETO

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘 + + + + B A D C z-1 u(k) x(k+1) x(k) y(k)

EJEMPLO

Considere el movimiento angular de deflexión de un avión respecto a la horizontal. Dicho sistema puede representarse, para ángulos pequeños, mediante la ecuación diferencial: 𝑑2𝛼(𝑡) 𝑑𝑡2 + 1 𝑇 𝑑𝛼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐴𝛿(𝑡)

Los alerones son accionados mediante un servomecanismo que responde a la ecuación diferencial:

𝑑𝛿(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝐾𝑒(𝑡)

Siendo 𝛼(𝑡) el ángulo del avión con respecto a la horizontal, 𝛿(𝑡) el ángulo de deflexión de los alerones y e(t) es el voltaje de alimentación del servo que mueve los alerones

Hallar una representación del sistema en el espacio de estado. Asuma que 𝛼(𝑡) es la salida del sistema y 𝑒(𝑡) su entrada

EJEMPLO

La figura representa el sistema de control de un depósito de sección constante y altura máxima de 1m alimentado por una caudal de entrada 𝑞_𝑒. La salida del líquido se controla mediante una válvula de modo que el caudal de salida depende del producto de su velocidad por el factor de apertura de la válvula 𝑤. El factor de apertura responde a la señal eléctrica proporcionada por un amplificador diferencial que amplifica, con una ganancia 𝐾, la diferencia entre la señal eléctrica 𝑛, proporcional al nivel de líquido en el depósito (𝑛 = 𝑁ℎ) y la señal de referencia 𝑟. a) Obtenga la representación en el espacio de estado para el sistema y calcule la

altura de equilibrio que alcanza el líquido cuando 𝑞_𝑒 = 0.02 𝑚3 y 𝑟 = 7 𝑉. 𝑠 b) Obtenga el un diagrama de bloques para el sistema.

SOLUCIÓN AL EJEMPLO

𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎 = 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑆𝑎𝑙𝑒 𝐴𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 𝑞𝑒 − 𝑞𝑆 𝑞_𝑆 = 𝑤 ∗ 𝑣 = 𝑤 2𝑔ℎ 𝑤 = 𝐾 𝑁𝐻 − 𝑟 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 𝑞𝑒 − 𝐾 𝑁𝐻 − 𝑟 2𝑔ℎ Reemplazando los valores dados:

0.5𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 𝑞𝑒 − 0.005 10ℎ − 𝑟 19.6ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑞𝑒 − 0.442ℎ ℎ + 0.0442𝑟 ℎ Se define como variable de estado 𝑥 = ℎ

Así la representación en el espacio de estado es: 𝑥ሶ = 2𝑞 − 0.442𝑥 + 0.0442𝑟 𝑥

SOLUCIÓN AL EJEMPLO (2)

En el equilibrio el cambio de altura es igual a cero: 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 0 y con 𝑟 = 7 resulta: 0 = 0.04 − 0.442ℎ ℎ + 0.3094 ℎ Organizando la ecuación:

0.1953ℎ3 − 0.2735ℎ2 + 0.09572ℎ = 0.0016 Resolviendo se obtiene: ℎ = 0.802𝑚 , ℎ = 0.58 𝑚 𝑦 ℎ = 0.0175𝑚. La solución válida es ℎ = 0.802 𝑚

FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN EL

ESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO

Sea el sistema en tiempo discreto definido por la ecuación de diferencias:

𝑦 𝑘 + 𝑎₁𝑦 𝑘 − 1 + 𝑎₂𝑦 𝑘 − 2 + ⋯ 𝑎_𝑛𝑦 𝑘 − 𝑛 = 𝑏_𝑜𝑢 𝑘 + 𝑏₁𝑢 𝑘 − 1 ⋯ + 𝑏_𝑛𝑢 𝑘 − 𝑛

En donde 𝑢(𝑘) es la entrada y 𝑦(𝑘) es la salida del sistema.

La función de transferencia de pulso correspondiente a la ecuación anterior está dada por: 𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑈(𝑧) = 𝑏_𝑜 + 𝑏₁𝑧−1 + 𝑏₂𝑧−2 ⋯ + 𝑏_𝑛𝑧−𝑛 1 + 𝑎₁𝑧−1 _{+ 𝑎} 2𝑧−2 ⋯ + 𝑎𝑛𝑧−𝑛 𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑈(𝑧) = 𝑏_𝑜𝑧𝑛 + 𝑏₁𝑧𝑛−1 + 𝑏₂𝑧𝑛−2 ⋯ + 𝑏_𝑛 𝑧𝑛 + 𝑎₁𝑧𝑛−1 + 𝑎₂𝑧𝑛−2 ⋯ + 𝑎_𝑛

TIPOS DE FORMAS CANÓNICAS

Existen diferentes formas para representar el sistema discreto definido por las ecuaciones dadas.

Las más utilizadas son las llamadas formas canónicas a saber: • Forma canónica controlable (FCC).

• Forma canónica observable (FCO). • Forma canónica diagonal (FCD). • Forma canónica de Jordan (FCJ).

FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto definido por las funciones de transferencia dadas se puede expresar en la forma: 𝑥₁(𝑘 + 1) 𝑥₂(𝑘 + 1) 𝑥₃(𝑘 + 1) ∙ ∙ 𝑥_𝑛(𝑘 + 1) = −𝑎₁ −𝑎₂ ∙ −𝑎_𝑛−1 −𝑎_𝑛 1 0 ∙ 0 0 0 1 ∙ 0 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 0 ∙ 1 0 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) 𝑥₃(𝑘) ∙ ∙ 𝑥_𝑛(𝑘) + 1 0 ∙ ∙ 0 0 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑜 𝑏2 − 𝑎2𝑏𝑜 ∙ 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛𝑏𝑜 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) ∙ ∙ 𝑥_𝑛−1(𝑘) 𝑥_𝑛(𝑘) + 𝑏_𝑜𝑢(𝑘)

FORMA CANÓNICA OBSERVABLE

La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto,

definido por las funciones de transferencia dadas, se puede expresar en la

forma:

𝑥₁(𝑘 + 1) 𝑥₂(𝑘 + 1) ∙ ∙ 𝑥_𝑛−1(𝑘 + 1) 𝑥_𝑛(𝑘 + 1) = −𝑎₁ 1 0 ∙ 0 −𝑎₂ 0 1 ∙ 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ −𝑎_𝑛−1 0 0 ∙ 1 −𝑎_𝑛 0 0 ∙ 0 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) ∙ ∙ 𝑥_𝑛−1(𝑘) 𝑥_𝑛(𝑘) + 𝑏₁ − 𝑎₁𝑏_𝑜 𝑏₂ − 𝑎₂𝑏_𝑜 ∙ ∙ 𝑏_𝑛−1 − 𝑎_𝑛−1𝑏_𝑜 𝑏_𝑛 − 𝑎_𝑛𝑏_𝑜 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 1 0 0 ∙ 0 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) ∙ ∙ 𝑥_𝑛−1(𝑘) 𝑥_𝑛(𝑘) + 𝑏_𝑜𝑢(𝑘

FORMA CANÓNICA DIAGONAL

Si los polos de la función de transferencia de pulso dada son todos distintos, es decir, si ella se puede expandir en fracciones parciales en la forma:

𝐺 𝑧 = 𝐶1 𝑧 − 𝑝₁ + 𝐶₂ 𝑧 − 𝑝₂ + ⋯ 𝐶_𝑛 𝑧 − 𝑝_𝑛 + 𝑏𝑜

La representación en el espacio de estado definido se puede expresar en la forma: 𝑥₁(𝑘 + 1) 𝑥₂(𝑘 + 1) ∙ ∙ ∙ 𝑥_𝑛(𝑘 + 1) = 𝑝₁ 0 ∙ 0 0 0 𝑝₂ ∙ 0 0 0 0 ∙ 0 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 0 ∙ 0 𝑝_𝑛 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) ∙ ∙ ∙ 𝑥_𝑛(𝑘) + 1 1 ∙ ∙ ∙ 1 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 𝐶₁ 𝐶₂ ∙ ∙ 𝐶_𝑛 𝑥₁ 𝑘 𝑥₂ 𝑘 ∙ ∙ ∙ 𝑥_𝑛 𝑘 + 𝑏_𝑜𝑢 𝑘

FORMA CANONICA DE JORDAN

Si al descomponer en fracciones parciales la función de transferencia dada se obtiene un polo múltiple de orden 𝑟 en 𝑧 = 𝑝₁ y todos los demás polos son distintos, es decir:

𝐺 𝑧 = 𝐶1 (𝑧 − 𝑝₁)𝑟 + 𝐶₂ (𝑧 − 𝑝₁)𝑟−1 + ⋯ 𝐶_𝑟 𝑧 − 𝑝₁ + 𝐶_𝑟+1 𝑧 − 𝑝_𝑟+1 + 𝐶_𝑟+2 𝑧 − 𝑝_𝑟+2+ ⋯ 𝐶_𝑛 𝑧 − 𝑝_𝑛 + 𝑏0 La representación en el espacio de estado se puede expresar en la forma

𝑥₁(𝑘 + 1) 𝑥₂(𝑘 + 1) ∙ 𝑥_𝑟(𝑘 + 1) 𝑥_𝑟+1(𝑘 + 1) ∙ ∙ 𝑥𝑛(𝑘 + 1) = 𝑝₁ 1 0 0 0 𝑝₁ 1 0 ∙ ∙ ∙ ∙ 0 0 0 𝑝1 0 0 ∙ 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 0 ∙ 0 0 ∙ 0 0 ∙ 0 ∙ ∙ 0 0 ∙ 0 𝑝_𝑟+1 ∙ 0 0 ∙ 0 ∙ ∙ ∙ 0 ∙ 𝑝𝑛 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) ∙ 𝑥_𝑟(𝑘) 𝑥_𝑟+1(𝑘) ∙ ∙ 𝑥𝑛(𝑘) + 0 0 ∙ 1 1 ∙ ∙ 1 𝑢 𝑦 𝑘 = 𝐶1 𝐶2 ∙ ∙ 𝐶𝑛 𝑥₁ 𝑘 𝑥₂ 𝑘 ∙ ∙ ∙ 𝑥_𝑛 𝑘 + 𝑏_𝑜𝑢 𝑘

EJEMPLO

Obtenga tres representaciones en el espacio de estado para el sistema descrito

mediante la ecuación en diferencias dada. Considere condiciones iniciales

iguales a cero.

𝑦 𝑘 − 1.3 𝑘 − 1 + 0.4𝑦 𝑘 − 2 = 𝑢 𝑘 − 1 + 0.5𝑢(𝑘 − 2) Tomando la transformada z:

1 − 1.3𝑧−1 + 0.4𝑧−2 𝑌 𝑧 = 𝑧−1 + 0.5𝑧−2 𝑈(𝑧) La función de transferencia es:

𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑈(𝑧) = 𝑧−1 + 0.5𝑧−2 1 − 1.3𝑧−1 + 0.4𝑧−2 ∴ 𝑏₀ = 0 𝑏₁ = 1 𝑏₂ = 0.5 𝑎₁= −1.3 𝑎₂ = 0.4

SOLUCIÓN

a) FORMA CANÓNICA CONTROLABLE (FCC) 𝑥₁(𝑘 + 1) 𝑥₂(𝑘 + 1) = 1.3 −0.4 1 0 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) + 1 0 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 1 0.5 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) b) FORMA CANÓNICA OBSERVABLE (FCO)

𝑥₁(𝑘 + 1) 𝑥₂(𝑘 + 1) = 1.3 1 −0.4 0 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) + 1 0.5 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 1 0 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) c) FORMA CANÓNICA DIAGONAL (FCD)

𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑈(𝑧) = 𝑧−1 + 0.5𝑧−2 1 − 1.3𝑧−1 + 0.4𝑧−2 = 4.333 𝑧 − 0.8 − 3.333 𝑧 − 0.5 𝑥₁(𝑘 + 1) 𝑥₂(𝑘 + 1) = 0.8 0 0 0.5 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘) + 1 1 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 4.333 −3.333 𝑥₁(𝑘) 𝑥₂(𝑘)

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO PARA UN SISTEMA CONTINUO

La representación en el espacio de estado de un sistema continuo es: ሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡

Tomando la transformada de Laplace con CI=0 se obtiene 𝑆𝑋 𝑆 = 𝐴𝑋 𝑆 + 𝐵𝑈(𝑆) 𝑆𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑆 = 𝐵𝑈(𝑆) Despejando 𝑋(𝑆) : 𝑋 𝑆 = 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈(𝑆) Es decir: 𝑌 𝑆 = 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈 𝑆 + 𝐷𝑈 𝑆

Como 𝑢(𝑡) es la entrada al sistema e 𝑦(𝑡) su salida, la función de transferencia es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆)

𝑈(𝑆) = 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA CONTINUO Por definición: 𝐴−1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐴 Para la expresión: 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆) = 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1_𝐵 Se obtiene: 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆) = 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1_{𝐵 =} 𝐶 ∗ 𝐴𝑑𝑗 𝑆𝐼 − 𝐴 ∗ 𝐵 𝑆𝐼 − 𝐴 La ecuación característica del sistema es:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y REPRESENTACIÓN

EN EL ESPACIO DE ESTADO DISCRETO

La representación en el espacio de estado de un sistema discreto es: 𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘 Tomando la transformada z con CI=0 se obtiene:

𝑧𝑋 𝑧 = 𝐴𝑋 𝑧 + 𝐵𝑈(𝑧) 𝑧𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑧 = 𝐵𝑈(𝑧) Despejando 𝑋 𝑧 : 𝑋 𝑧 = 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈(𝑧) Es decir: 𝑌 𝑧 = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈 𝑧 + 𝐷𝑈 𝑧

Como 𝑢(𝑘) es la entrada al sistema e 𝑦(𝑘) su salida, la función de transferencia es:

𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧)

𝑈(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA DISCRETO

Por definición: 𝐴−1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐴 Para la expresión: 𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑈(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1_𝐵 Se obtiene: 𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑈(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1_{𝐵 =} 𝐶 ∗ 𝐴𝑑𝑗 𝑧𝐼 − 𝐴 ∗ 𝐵 𝑧𝐼 − 𝐴 La ecuación característica del sistema es:

EJEMPLO

Hallar la función de transferencia de pulso del sistema cuyo comportamiento dinámico está descrito mediante la ecuación:

𝑥 𝑘 + 1 = 0.8 0.5

−0.4 0.3 𝑥 𝑘 +

0.6

0.6 𝑢(𝑘) 𝑦 𝑘 = 1 0.5 𝑥(𝑘)

La función de transferencia del sistema es:

𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑈(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1_𝐵 𝑧𝐼 − 𝐴 = 𝑧 0 0 𝑧 − 0.8 0.5 −0.4 0.3 = 𝑧 − 0.8 −0.5 0.4 𝑧 − 0.3 𝑧𝐼 − 𝐴 −1 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) 𝑧𝐼 − 𝐴 = 𝑧 − 0.3 0.5 −0.4 𝑧 − 0.8 𝑧 − 0.8 𝑧 − 0.3 + 0.2 = 𝑧 − 0.3 0.5 −0.4 𝑧 − 0.8 𝑧2 − 1.1𝑧 + 0.44 𝐺 𝑧 = 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴)−1𝐵 = 1 0.5 𝑧 − 0.3 0.5 −0.4 𝑧 − 0.8 0.6 0.6 𝑧2 − 1.1𝑧 + 0.44 𝐺 𝑧 = 0.9𝑧 − 0.24 𝑧2 _{− 1.1𝑧 + 0.44}

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO

• El diseño de un sistema de control digital consiste en determinar un

algoritmo que permita generar una secuencia de valores de las

variables de control de la planta

𝑢(𝑘), de manera que las salidas

𝑦(𝑘)

cumplan

con

las

especificaciones

de

funcionamiento

establecidas.

• En esta sección se presenta el diseño de controladores en el

espacio de estado, utilizando el método de asignación de polos.

Para su aplicación se requiere que el sistema sea completamente

CONTROLABILIDAD

Sea el sistema discreto:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

Se dice que dicho sistema es de

“estado completamente

controlable”, si es posible transferir el sistema desde un estado

inicial arbitrario a cualquier otro estado deseado en un intervalo

de tiempo finito mediante la aplicación de una señal de control,

no restringida,

𝑢(𝑘𝑇).

CONDICIÓN DE CONTROLABILIDAD

El sistema descrito por la ecuación:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

Es controlable si:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2_{𝐵 ⋯ 𝐴}𝑛−1_{𝐵 = 𝑛}

Siendo 𝑛 × 𝑛 el orden de la matriz A.

Una condición suficiente y necesaria para la controlabilidad completa del estado, es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de transferencia del sistema.

OBSERVABILIDAD

Sea el sistema discreto definido por:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

Se dice que dicho sistema es de

“estado complemente

observable” si cualquier estado inicial 𝑥(0) puede determinarse

a partir de la observación de

𝑦(𝑘) en 𝑛 períodos de muestreo

como máximo.

CONDICIÓN DE OBSERVABILIDAD

El sistema discreto definido por la ecuación:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

Es de estado completamente observable sí:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

𝐶

𝐶𝐴

𝐶𝐴

2

⋮

𝐶𝐴

𝑛−1

= 𝑛

Una condición suficiente y necesaria para la observabilidad completa

del estado es que no se presente cancelación de ceros y polos en la

función de transferencia de pulso.

EJEMPLO DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

Dado el sistema en tiempo discreto definido por:

𝑥 𝑘 + 1 = 0 1 0 0 0 1 −0.5 −0.4 −0.8 𝑥 𝑘 + 1 0 0 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 1 0 0 𝑥 𝑘

a) Es el sistema completamente controlable?

b) Es el sistema completamente observable?

Solución:

a) La matriz de controlabilidad es:

_{𝐶𝑜 = 𝐵 𝐴. 𝐵 𝐴}2_{. 𝐵}

𝐶𝑜 = 1 0 0 0 0 −0.5 0 −0.5 0.4 det 𝐶𝑜 = −0.25 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐶𝑜 = 3 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒

MATRIZ DE OBSERVBILIDAD

b) La matriz de observabilidad para el sistema dado es:

𝑂

_𝑏

=

𝐶

𝐶𝐴

𝐶𝐴

2

𝑂𝑏 =

1 0

0

0 1

0

0 0

1

det 𝑂𝑏 = 1

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑂

_𝑏

= 3

𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒.

CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO

Y ASIGNACIÓN DE POLOS

• El método de asignación de polos, comienza con la

determinación de los polos de lazo cerrado deseados,

utilizando

especificaciones

basadas

en

la

respuesta

transitoria y/o en los requerimientos de respuesta en

frecuencia.

• Si se desea ubicar los polos de lazo cerrado en 𝑧 = 𝑧

₁

, 𝑧 =

𝑧

₂

, … 𝑧 = 𝑧

_𝑛

es posible elegir una matriz de ganancia de

realimentación K adecuada, que force al sistema a tener los

polos de lazo cerrado en el lugar deseado siempre y cuando

el sistema sea de estado completamente controlable y

completamente observable.

CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO

Sea el sistema de control en lazo abierto de la fig a, definido por la

ecuación de estado:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

Si se elige como ley de control:

𝑢 𝑘 = −𝐾𝑥 𝑘

Se obtiene el sistema de control realimentado de la fig b. A este

esquema se le denomina “sistema con realimentación de estado”.

Sistema en lazo abierto

Sistema en lazo cerrado

u(k) B + + x(k+1) x(k) z-1_I A -K b.

MATRIZ DE REALIMENTACIÓN K

La matriz 𝐾 = 𝑘₁ 𝑘₂

⋯ 𝑘𝑛 se llama “matriz de ganancia de

realimentación” y convierte al sistema en un sistema de control en lazo

cerrado, con sus polos ubicados en el lugar deseado.

Reemplazando la ley de control: 𝑢 𝑘 = −𝐾𝑥(𝑘):

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 − 𝐵𝐾𝑥(𝑘) 𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴 − 𝐵𝐾 𝑥 𝑘

Tomando la transformada z a la ecuación se obtiene: 𝑧𝑋 𝑧 − 𝑧𝑥 0 = 𝐴 − 𝐵𝐾 𝑋(𝑧) 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 𝑋 𝑧 = 𝑧𝑥 0

𝑋 𝑧 = 𝑧. 𝑎𝑑𝑗 𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 . 𝑥(0)

𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾

Así, la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:

𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 = 𝑧𝑛 + 𝛼₁𝑧𝑛−1 + 𝛼₂𝑧𝑛−2 ⋯ + 𝛼_𝑛−1𝑧 + 𝛼_𝑛 = 0

CÁLCULO DE LA MATRIZ DE GANACIA DE REALIMENTACIÓN K

La matriz de ganancia de realimentación

𝐾 se puede obtener por

diferentes métodos. Uno de los más utilizados es el de la Formula de

Ackerman el cual permite calcular directamente la matriz de ganancia

de realimentación, a partir de la ecuación:

𝐾 = 0 0 ⋯ 1 𝐵 𝐴𝐵 𝐴

2

_𝐵

_{⋯ 𝐴}

𝑛−1

_𝐵

−1

_{𝜙 𝐴}

En donde:

𝜙 𝐴 = 𝐴

𝑛

+𝛼

₁

𝐴

𝑛−1

+ 𝛼

₂

𝐴

𝑛−2

⋯ + 𝛼

_𝑛−1

𝐴 + 𝛼

_𝑛

𝐼

Siendo

𝛼

₁

, 𝛼

₂

⋯ 𝛼

_𝑛

los coeficientes de la ecuación característica

deseada:

SISTEMA CON REALIMENTACIÓN DEL ESTADO

Y ENTRADA DE REFERENCIA

El sistema de control anterior no tiene entrada de referencia. Este tipo de

control se denomina “sistema de control tipo regulador”. En la mayoría

de los casos, es necesario que la salida 𝑦(𝑘) siga a una entrada de

referencia 𝑟(𝑘) , este sistema se denomina “sistema de control tipo

Servo” y su configuración básica se muestra en la figura

u(k) B + + x(k+1) x(k) z-1_I A -K + + r(k) Ko v(k) y(k) C

CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko

Considerando el sistema de la figura anterior, se tiene: Co𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝑐𝑥(𝑘) La señal de control está dada por:

𝑢(𝑘) = 𝐾_𝑜𝑟(𝑘) − 𝐾𝑥(𝑘)

En donde 𝐾_𝑜 es una constante que se debe determinar y r(k) es la referencia. 𝑌(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1𝐵𝐾_𝑜𝑅(𝑧)

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es: 𝐺_𝑤(𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝑅(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1_𝐵𝐾 𝑜 = 𝐾₀𝐻𝐺(𝑧) 1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)

Para obtener error de estado estable igual a cero se debe cumplir que: 𝑦_𝑆𝑆 = 𝑟 por lo tanto: 𝐾_𝑜 lim 𝑍→1 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1_{𝐵 = 1 𝐾} 0 ∗ lim 𝑧→1 𝐻𝐺(𝑧) 1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧) = 1

EJEMPLO

La dinámica del sistema de flujo que se muestra en la figura 2.2 está dada por: 𝐺_𝑓(𝑆) = 2.372𝑒

−0.45𝑆

1.64𝑆 + 1

Obtener para este proceso: a) la matriz de ganancia de realimentación de modo que el sistema en lazo cerrado, tenga un tiempo de establecimiento de 3 𝑠 y coeficiente de amortiguamiento igual a 0.8. b) El factor de corrección de error 𝐾_𝑜 para que el error de estado estable sea igual a cero.

SOLUCIÓN

La función de transferencia de pulso del sistema, con 𝑇 = 0.3 𝑠 está dada por: 𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)𝑧−𝑁ℑ_𝑚 𝐺(𝑆) 𝑆 𝐺(𝑆) = 2.372 1.64𝑆 + 1 𝐻𝐺(𝑧) = 0.2073𝑧 + 0.1892 𝑧3 _{− 0.8328𝑧}2 = 0.2073(𝑧 + 0.9126) 𝑧2_{(𝑧 − 0.8328)}

La representación en el espacio de estado en tiempo discreto es: 𝑥(𝑘 + 1) = 0.8323 0 0 1 0 0 0 1 0 𝑥(𝑘) + 1 0 0 𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 0 0.2073 0.1892 𝑥(𝑘)

La ubicación de los polos de lazo cerrado deseados se obtiene a partir de las especificaciones de tiempo de establecimiento y coeficiente de amortiguamiento requerido así: 𝑡_𝑠 = 4 𝜉𝑤 𝑤𝑛 = 4 𝜉𝑡 = 4 0.8 ∗ 3 𝑤𝑛 = 1.66 𝑟𝑎𝑑/𝑠

SOLUCIÓN

La ubicación de los polos se obtiene con las ecuaciones::

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 = 𝑒−0.8∗1.66∗0.3 = 0.671 Para diseño 𝑧 < 1

𝜃 = 57.3𝑤_𝑛𝑇 1 − 𝜉2 = 57.3 ∗ 1.66 ∗ 0.3 ∗ 1 − 0.82 = 17.12𝑜 Para diseño 0° ≤ 𝜃 ≤ 80°

𝑧 = 𝑧 (𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑧 = 0.671(cos 17.12º ± 𝑗 sin 17.12º) = 0.641 ± 𝑗0.197 Los polos de lazo se ubican en:

𝑧 = 0.641 + 𝑗0.197 y 𝑧 = 0.641 − 𝑗0.197.

El tercer polo se asigna en 𝑧 = 0.05 de modo que no sea polo dominante. La ecuación característica está dada por:

(𝑧 − 0.641 − 𝑗0.197)(𝑧 − 0.641 + 𝑗0.197)(𝑧 − 0.05) = 0 𝑧3 − 1.332𝑧2 + 0.5137𝑧 − 0.0224 = 0

CÁLCULO DE LA MATRIZ K

Utilizando la Fórmula de Ackerman:

𝐾 = 0 0 1 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2_𝐵 −1_𝜙(𝐴)

La ecuación característica deseada dio: 𝑧3 − 1.332𝑧2 + 0.5137𝑧 − 0.0224 = 0 Entonces: 𝜙(𝐴) = 𝐴3 − 1.332𝐴2 + 0.5137𝐴 − 0.0224𝐼 = 0.0589 0 0 0.0977 −0.0224 0 −0.4997 0.5137 −0.0224 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2_{𝐵 =} 1 0.8323 0.6927 0 1 0.8323 0 0 1 𝐾 = 0 0 1 1 0.8323 0.6927 0 1 0.8323 0 0 1 −1 0.0589 0 0 0.0977 −0.0224 0 −0.4997 0.5137 −0.0224

CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko 𝐾_𝑜 lim 𝑧→1𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1_{𝐵 = 1} 𝐺_𝑤(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1𝐵 = 0.2073(𝑧 + 0.9126) 𝑧3 _{− 1.332𝑧}2 _{+ 0.5137𝑧 − 0.0224} 𝐾_𝑜 lim 𝑧→1 0.2073(𝑧 + 0.9126) 𝑧3 _{− 1.332𝑧}2 _{+ 0.5137𝑧 − 0.0224} = 1 𝐾𝑜 = 0.4

0BSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADO

En la práctica, no todas las variables de estado de un sistema se pueden medir en forma directa. Este hecho hace necesario estimar el valor de aquellas variables de estado cuya medición directa no es posible.

El sistema que posibilita la estimación se denomina “Observador o estimador de

estado”.

El observador de un sistema dinámico lineal en tiempo discreto es otro sistema dinámico lineal en tiempo discreto que tiene como entradas la entrada y la salida del sistema discreto y como salida, los valores de las variables de estado.

TIPOS DE OBSERVADORES

Para resolver el problema de la observación son posibles dos soluciones:

a. Utilizar un observador tipo predictor que permite obtener el estado del

sistema en el instante (𝑘 + 1), estimando 𝑥(𝑘 + 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) y de la salida 𝑦(𝑘).

b. Utilizar un observador corriente que permite obtener el estado del sistema

en el instante (𝑘 + 1) estimando 𝑥(𝑘 + 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) y de la salida 𝑦(𝑘 + 1)

OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTOR

Para obtener las ecuaciones que describen a este observador, se supone que el estado real del sistema 𝑥(𝑘) no puede medirse directamente.

Si el estado 𝑥(𝑘) debe estimarse, es necesario que el estado estimado 𝑞(𝑘) y el estado real 𝑥(𝑘) sean iguales.

La figura ilustra cómo se realiza la estimación de los estados.

ECUACIÓN DEL OBSERVADOR TIPO PREDICTOR

La planta está descrita mediante la ecuación:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘) De la figura del observador se deduce que el sistema tiene dos entradas 𝑢(𝑘) e 𝑦(𝑘), entonces, su ecuación se puede escribir en la forma:

𝑞(𝑘 + 1) = 𝐹𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘) + 𝐻𝑢(𝑘) En donde 𝐹, 𝐿 y 𝐻 son matrices desconocidas.

Para que 𝑞(𝑘) = 𝑥(𝑘). Las matrices 𝐹, 𝐿 y 𝐻 deben cumplir que: 𝐻 = 𝐵 y 𝐴 = 𝐹 + 𝐿𝐶.

Entonces, la ecuación del observador predictor, se puede escribir en la forma: 𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶)𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

La matriz 𝐿 se denomina Matriz de ganancia de realimentación del observador. La ecuación característica del observador es:

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON EL OBSERVADOR TIPO PREDICTOR

La figura representa el sistema de control con la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y el observador de estado incluidos.

B x(k+1) z-1 x(k) C y(k) + + A -K C z-1 A L B + + + + + -u(k) q(k+1) q(k) ^y(k)

La ley de control es 𝑢(𝑘) = − 𝑘𝑞(𝑘) así la ecuación del observador tipo predictor de orden completo se puede escribir en la forma:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DEL CONTROLADOR

Una vez obtenida la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la matriz de ganancia del observador 𝐿, es posible obtener la función de transferencia de pulso del controlador. Para este controlador, la entrada es −𝑌(𝑧) y la salida 𝑈(𝑧).

La ecuación del observador de estado es:

𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾)𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘)

Tomando la transformada z a esta ecuación del observador con CI=0 𝑧𝑄(𝑧) = 𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 𝑄(𝑧) + 𝐿𝑌(𝑧)

𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 𝑄(𝑧) = 𝐿𝑌(𝑧) 𝑄(𝑧) = 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧)

La ley de control es: 𝑢(𝑘) = −𝐾𝑞(𝑘) 𝑈(𝑧) = −𝐾𝑄(𝑧) Entonces: 𝑈(𝑧) = −𝐾𝑄(𝑧) = −𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧) 𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧) = 𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶

FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR

Si se desea tener error de estado estable igual a cero, ante una entrada en escalón, es necesario adicionar un factor de corrección de error 𝐾_𝑜 en el circuito del set-point

+ -R(z) K_{o HG(z)} D(z) Y(z)

Sistema de control por realimentación de estados con factor de corrección de error en el circuito del set-point

De la figura se obtiene

𝐺_𝑤(𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝑅(𝑧) =

𝐾₀𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)

Para que el error sea cero debe cumplirse que 𝑦(∞) = 𝑟(𝑡), por lo tanto: 𝐾₀ ∗ lim

𝑧→1

𝐻𝐺(𝑧)

EJEMPLO

Dado el sistema de control en tiempo discreto mostrado en la figura a) Hallar la matriz de ganancia 𝐾 de modo que la respuesta del sistema en lazo cerrado tenga máximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 4 s. b) Diseñar un observador adecuado para el sistema. c) obtener la ecuación del controlador y la respuesta del sistema ante una entrada en escalón unitario. Asuma que el período de muestreo es 1 s.

SOLUCIÓN: Con 𝑇 = 1 𝑠, la función de transferencia de pulso del sistema es:

𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 𝐺𝑝(𝑆) 𝑆 𝐺𝑝(𝑆) = 0.25 𝑆(𝑆 + 0.1) 𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 0.25 𝑆2_{(𝑆 + 0.1)} 𝐻𝐺(𝑧) = 0.1209(𝑧 + 0.9672) (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9048) 0.1209𝑧 + 0.1169

SOLUCIÓN: UBICACIÓN DE POLOS

La representación del sistema en su forma canónica controlable es: 𝑥(𝑘 + 1) = 1.9048 −0.9048

1 0 𝑥(𝑘) + 1

0 𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 0.1209 0.1169 𝑥(𝑘) a) Ubicación de los polos de lazo cerrado deseados para estimar la matriz de ganancia de realimentación 𝐾. 𝑀_𝑝 = 𝑒−𝜋𝜉 1−𝜉2 𝜉 = − ln(𝑀𝑝) 𝜋2 + (ln(𝑀_𝑝))2 𝜉 = 0.59 𝑡_𝑝 = 𝜋 𝑤_𝑛 1 − 𝜉2 𝑤𝑛 = 𝜋 𝑡_𝑝 1 − 𝜉2 𝑤𝑛 = 0.972 𝑟𝑎𝑑/𝑠

La ubicación de los polos deseados es por lo tanto:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝑧 = 0.563

SOLUCIÓN: CÁLCULO DE LA MATRIZ K

La ecuación característica deseada para el sistema es, entonces:

(𝑧 − 0.398 − 𝑗0.398)(𝑧 − 0.398 + 𝑗0.398) = 𝑧2 − 0.796𝑧 + 0.3168 = 0

Utilizando la fórmula de Ackerman:

𝐾 = 0 1 𝐵 𝐴𝐵 −1𝜙(𝐴) 𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 0.796𝐴 + 0.3168𝐼 𝜙(𝐴) = 1.5241 −1.0032 1.1088 −0.5880 𝐵 𝐴𝐵 = 1 1.9048 0 1 𝐾 = 0 1 1 1.9048 0 1 −1 1.5241 −1.0032 1.1088 −0.5880 𝐾 = 1.1088 −0.588

UBICACIÓN DE POLOS PARA EL OBSERVADOR

Para diseñar el observador, se recomienda que su coeficiente de amortiguamiento sea igual al seleccionado para el cálculo de la matriz 𝐾 y que su velocidad angular

sea mayor que la del sistema. Sea 𝜉 = 0.59 y 𝑤_𝑛 = 1.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠. (La velocidad

angular para el diseño de la matriz 𝐾 fue 𝑤_𝑛 = 0.972 𝑟𝑎𝑑/𝑠). Con estos parámetros,

la ubicación de los polos deseados para el observador es: 𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝑧 = 0.412

𝜃 = 57.3𝑤_𝑛𝑇 1 − 𝜉2 𝜃 = 69.4 𝑜 Es decir, los polos deseados son 𝑧 = 0.145 ± 𝑗0.385.

La ecuación característica deseada para el observador es:

CÁLCULO DE LA MATRIZ DEL OBSERVADOR L

Utilizando la fórmula de Ackerman:

𝐿 = 𝜙(𝐴) 𝐶 𝐶𝐴 −1 0 1 𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 0.29𝐴 + 0.16925𝐼 = 2.3404 −1.4612 1.6148 −0.7356 𝐶 𝐶𝐴 = 0.1209 0.1169 0.3472 −0.1093 𝐿 = 2.3404 −1.4612 1.6148 −0.7356 0.1209 0.1169 0.3472 −0.1093 −1 0 1 𝐿 = 8.3634 5.1586 La ecuación del observador está dada por:

𝑞(𝑘 + 1) = 𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘)

CÁLCULO DE LA FTP DEL CONTROLADOR

La ecuación del controlador está dada por:

𝐷(𝑧) = − 𝑈(𝑧) 𝑌(𝑧) = 𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1_𝐿 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 = 𝑧 + 0.2151 1.2944 −0.3764 𝑧 + 0.6030 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1 = 𝑧 + 0.6030 −1.2944 0.3764 𝑧 + 0.2151 𝑧2 + 0.8188𝑧 + 0.6171 𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧) 𝑌(𝑧) = 1.1088 −0.588 𝑧 + 0.6030 −1.2944 0.3764 𝑧 + 0.2151 8.3634 5.1586 𝑧2 + 0.8188𝑧 + 0.6171 𝐷(𝑧) = − 𝑈(𝑧) 𝑌(𝑧) = 6.2403(𝑧 − 0.6916) 𝑧2 + 0.8188𝑧 + 0.6171

CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko

Para que el error sea cero debe cumplirse que:

𝐾₀ ∗ lim 𝑧→1 𝐺𝑤(𝑧) = 1 𝐾0 ∗ lim𝑧→1 𝐻𝐺(𝑧) 1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧) = 1 Con 𝐻𝐺(𝑧) = 0.1209𝑧 + 0.1169 𝑧2 _{− 1.9048𝑧 + 0.9048} 𝑦 𝐷(𝑧) = − 𝑈(𝑧) 𝑌(𝑧) = 6.2403(𝑧 − 0.6916) 𝑧2 _{+ 0.8188𝑧 + 0.6171} Resulta: 𝐺_𝑤(𝑧) = 0.1209𝑧 3 _{+ 0.216𝑧}2 _{+ 0.1704𝑧 + 0.07219} 𝑧4 − 1.086𝑧3 + 0.7169𝑧2 − 0.2266𝑧 + 0.05362 Para el caso del ejemplo se tiene:

𝐾_𝑜 ∗ lim

𝑧→1

(0.1209𝑧3 + 0.216𝑧2 + 0.1704𝑧 + 0.07219) 𝑧4 − 1.086𝑧3 + 0.7169𝑧2 − 0.2266𝑧 + 0.05362

RESPUESTAS DEL SISTEMA CONTROLADO CON Y SIN

FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR

SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR

La figura muestra un sistema de control por realimentación del estado en el cual se utiliza un integrador adicional para estabilizar adecuadamente el sistema y mejorar su exactitud B x(k+1) z-1 x(k) _C y(k) + + A K1 C z-1 A L B + + + ₊ + -u(k) q(k+1) q(k) y(k)^ K1q(k) + -Ki z-1 + + + -r(k) v(k)

DISEÑO DEL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR

La ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son, respectivamente:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘) La ley de control para el sistema es:

𝑢(𝑘) = −𝐾₁𝑥(𝑘) + 𝐾_𝑖𝑣(𝑘) 𝑣(𝑘) = 𝑟(𝑘) − 𝑦(𝑘) + 𝑣(𝑘 − 1)

Para realizar el diseño, utilizando la técnica de asignación de polos, se debe estimar la matriz 𝐾_𝑖 correspondiente al integrador y la matriz 𝐾₁ correspondiente a la matriz de ganancia de realimentación.

ECUACIONES DE DISEÑO PARA EL SISTEMA TIPO

SERVO CON INTEGRADOR

Para el cálculo de las matrices 𝐾₁ y 𝐾_𝑖 se utiliza la ecuación:

𝐾₁ ⋮ 𝐾_𝑖 = 𝐾 + 0 ⋮ 𝐼_𝑚 𝐴 − 𝐼𝑛 𝐶𝐴 𝐵 𝐶𝐵 −1 𝐾 = 0 0 ⋯ 1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 2_{𝐵 ⋯ 𝐴} 𝑛 −1_𝐵 −1_{𝜙 𝐴} ∅ 𝐴 = 𝐴 𝑛 + 𝛼₁𝐴 𝑛−1 + 𝛼₂𝐴 𝑛−2 + ⋯ 𝛼_𝑛𝐼

𝛼₁ , 𝛼₂ … 𝛼_𝑛 : son los coeficientes de la ecuación característica deseada. 𝐴 = 𝐴 0 𝐵 0 _{(𝑛+𝑚 )×(𝑛+𝑚 )} 𝐵 = 0 𝐼_{𝑚 (𝑛+𝑚 )×𝑚}

Conocidas las matrices 𝐾₁ y 𝐾_𝑖 , la ley de control para el sistema está dada por:

𝑈(𝑧) = 1 + 𝐾1 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶

−1_𝐵 −1 _𝐾

𝑖𝑧 𝑅(𝑧) − 𝑌(𝑧) − 𝐾1(𝑧 − 1) 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧)

𝑧 − 1

La matriz 𝐿, correspondiente a la matriz de ganancia del observador, se calcula en la misma como la del observador de orden completo con la fórmula de Ackerman.

EJEMPLO DISEÑO SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR

Sea el tanque con agitador representado en la figura.

El objetivo es controlar la temperatura 𝑇_𝑜 del fluido de salida 𝑓_𝑜 , manipulando el caudal de vapor 𝑞_𝑖 que pasa a través del serpentín. Mediante la aplicación de una entrada en forma de escalón, se obtuvo la función de transferencia:

𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 (%) Flujo de vapor (%) = 𝑇₀(𝑆) 𝑄_𝑖(𝑆) = 2.5𝑒−20.3𝑆 75.4𝑆 + 1

SOLUCIÓN: DISCRETIZACIÓN DEL SISTEMA

Selección del periodo de muestreo:

0.2(𝜏_𝑒𝑞 + 𝜃′) ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏_𝑒𝑞 + 𝜃′)

𝜏_𝑒𝑞 = Constante de tiempo equivalente del sistema en lazo cerrado sin el retardo. 𝜏_𝑒𝑞 = 21.54𝑠. 8.36 ≤ 𝑇 ≤ 25.1 Se asume 𝑇 = 21 𝑠 𝐺_𝑝(𝑧) = (1 − 𝑧−1)𝑧−𝑁ℑ_𝑚 𝐺𝑝(𝑆) 𝑆 𝐺𝑝(𝑧) = (1 − 𝑧 −1_)ℑ 𝑚 2.5 𝑆(75.4𝑆 + 1) 𝐺_𝑝(𝑧) = 0.0329𝑧 + 0.5747 𝑧(𝑧 − 0.7569) = 0.0329𝑧 + 0.5747 𝑧2 _{− 0.7569𝑧} Se representa el sistema en FCO:

𝑥(𝑘 + 1) = 0.7569 1

0 0 𝑥(𝑘) +

0.0329

CÁLCULO DE LA MATRIZ

La matriz 𝐾 , que permite calcular a la matriz de realimentación 𝐾₁ y a la matriz del integrador 𝐾_𝑖 se calcula a partir de la ecuación:

𝐾 = 0 0 ⋯ 1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 2_{𝐵 ⋯ 𝐴}𝑛 −1_𝐵 −1_{𝜙(𝐴 )} 𝐴 = 𝐴 0 𝐵 0 = 0.7569 1 0 0 0 0 0.0329 0.5747 0 𝐵 = 0 𝐼_𝑚 = 0 0 1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 2_{𝐵 =} 0 0.0329 0.5996 0 0.5147 0 1 0 0 𝜙 𝐴 = 𝐴 3 + 𝛼₁𝐴 2 + 𝛼₂𝐴 + 𝛼₃𝐼

La ubicación de los polos para la matriz 𝐾 , se obtiene con las ecuaciones: 𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝜃 = 57.3𝑤

𝑛𝑇 1 − 𝜉2 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃

UBICACIÓN DE LOS POLOS PARA LA MATRIZ K

El tiempo de establecimiento del sistema en lazo abierto es: 𝑡_𝑠𝐿𝐴 = 4𝜏 = 301.6 𝑠 Se selecciona el tiempo de establecimiento: 0.3𝑡_𝑠𝐿𝐴 ≤ 𝑡_𝑠 ≤ 0.8𝑡_𝑠𝐿𝐴 𝑡_𝑠 = 225 𝑠 Se selecciona el coeficiente de amortiguamiento: 0.6 ≤ 𝜉 ≤ 0.9 𝜉 = 0.8 La ubicación de los polos es:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝜃 = 57.3𝑤 𝑛𝑇 1 − 𝜉2 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡_𝑠 = 4 𝜉𝑤_𝑛 𝑤𝑛 = 4 𝜉𝑡_𝑠 = 4 0.8 ∗ 225 𝑤𝑛 = 0.0222 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑧 = 𝑒−0.8∗0.0222 ∗21 = 0.688 𝜃 = 57.3 ∗ 0.0222 ∗ 21 ∗ 1 − 0.82 _{= 16.02°}

Polos están ubicados en 𝑧 = 0.661 ± 𝑗0.1898. Se adiciona un tercer polo en 𝑧 = 0 La ecuación característica es:

CÁLCULO DE LAS MATRICES K1 Y Ki

Con la ecuación característica obtenida resulta:

𝜙 𝐴 = 𝐴 3 − 1.322𝐴 2 + 0.4729𝐴 = 0.0342 0.0451 −0.3232 0 0 0.2737 0 0 0 𝐾 = 0 0 1 0 0.0329 0.5996 0 0.5147 0 1 0 0 −1 0.0342 0.0451 −0.3232 0 0 0.2737 0 0 0 𝐾 = 0.05702 0.0753 −0.5651 𝐾₁ 𝐾_𝑖 = 𝐾 + 0 ⋮ 𝐼_𝑚 𝐴 − 𝐼𝑛 𝐵 𝐶. 𝐴 𝐶. 𝐵 −1 𝐾₁ 𝐾_{𝑖 = 0.05702 0.0753 −0.5651 + 0 0 1} −0.2431 1 0.0329 0 −1 0.5747 0.7569 1 0.0329 −1 𝐾₁ 𝐾_{𝑖 = 0.5386 0.7117 0.2483} 𝐾₁ = 0.5386 0.7117 𝐾𝑖 = 0.2483

CÁLCULO DEL OBSERVADOR

El diseño del observador se realiza utilizando la fórmula de Ackerman: 𝐿 = 𝜙(𝐴) 𝐶

𝐶𝐴

−1

0 1

Ubicación de los polos del observador: Se toma 𝑡_𝑠𝑜 < 𝑡_𝑠𝑘 . En este caso se asume 𝑡_𝑠𝑜 = 200 𝑠 y 𝜉 = 0.8 𝑤_𝑛 = 4 𝑡_𝑠𝜉 = 4 200 ∗ 0.8 = 0.025 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑧 = 𝑒−0.8∗0.025∗21 = 0.657 𝜃 = 57.3 ∗ 0.025 ∗ 21 ∗ 1 − 0.82 _{= 18.04°} 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.624 ± 𝑗0.203 Ecuación característica: 𝑧2 − 1.248𝑧 + 0.4305 = 0 𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 1.248𝐴 + 0.4305 ∗ 𝐼 = 0.0587 −0.4917 0 0.4305 𝐶 𝐶𝐴 = 1 0 0.7569 1 0.0587 −0.4917 1 0 −1 0 −0.4911

CÁLCULO DE LA LEY DE CONTROL

La ley de control es:

𝑈(𝑧) = 1 + 𝐾1 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1_𝐵 −1 _𝐾 𝑖𝑧 𝑅(𝑧) − 𝑌(𝑧) − 𝐾1(𝑧 − 1) 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧) 𝑧 − 1 𝐾₁ 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐵 = 0.4254𝑧 − 0.2103 𝑧2 − 1.248𝑧 + 0.4305 𝐾₁ 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐿 = 0.04171𝑧 𝑧2 − 1.248𝑧 + 0.4305 𝑈(𝑧) = 0.248𝑧 3 _{− 0.3098𝑧}2 _{+ 0.10689𝑧 𝑅(𝑧) − 0.248𝑧}3 _{− 0.2681𝑧}2 _{+ 0.0652𝑧 𝑌(𝑧)} 𝑧3 − 1.8226𝑧2 + 1.0428𝑧 − 0.2202

Ecuación en diferencias correspondiente a la ley de control:

𝑢(𝑘) = 0.248𝑟(𝑘) − 0.3098𝑟(𝑘 − 1) + 0.10689𝑟(𝑘 − 2) − 0.248𝑦(𝑘) + 0.2681𝑦(𝑘 − 1) − 0.0652𝑦(𝑘 − 2) + 1.8226𝑢(𝑘 − 1) − 1.0428𝑢(𝑘 − 2) + 0.2202𝑢(𝑘 − 3)

RESPUESTA DEL SISTEMA TIPO SERVO CON

INTEGRADOR

SISTEMAS NO LINEALES

Los

sistemas

no

lineales

representan

sistemas

cuyo

comportamiento no se puede expresar como la suma de los

comportamientos de sus descriptores, es decir son sistemas que

no cumplen el principio de superposición.

En los sistemas no lineales, las ecuaciones de movimiento,

evolución o comportamiento que regulan su comportamiento

dinámico son no lineales.

REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA NO LINEAL

Un sistema no lineal se puede representar mediante ecuaciones de estado en la siguiente forma: 𝑥ሶ₁ = 𝑓₁(𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝑥ሶ₂ = 𝑓₂(𝑥, 𝑢, 𝑡) ⋯ ⋯ 𝑥ሶ_𝑛 = 𝑓_𝑛(𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑢, 𝑡)

Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma matricial así: 𝒙ሶ(𝑡) = 𝒇 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝒉 𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡)

En donde 𝒙(𝑡) es el vector de estado (𝑛 × 1), 𝒖(𝑡) es el vector de entradas (𝑟 × 1) y 𝒇[𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)] es un vector que es función del vector de estado y del vector de

LINEALIZACIÓN DE UN SISTEMA NO LINEAL

Para linealizar un sistema no lineal existen diferentes métodos: uno de ellos consiste en la expansión de las ecuaciones de estado no lineales en series de Taylor alrededor de un punto o de una trayectoria de operación nominal del sistema, despreciando los términos de orden superior al primero, con lo cual resulta una aproximación lineal de las ecuaciones de estado en un punto determinado.

𝑥ሶ(𝑡) = 𝐴 𝑥(𝑡) + 𝐵 𝑢(𝑡) En donde: 𝐴 = 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₁ 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₂ ⋮ 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥_𝑛 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₁ 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₂ ⋮ 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥_𝑛 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑥₁ 𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑥₂ ⋮ 𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑥_{𝑛 𝑃𝑜} 𝐵 = 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑢₁ 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑢₂ ⋮ 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑢_𝑛 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑢₁ 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑢₂ ⋮ 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑢_𝑛 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑢₁ 𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑢₂ ⋮ 𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑢_{𝑛 𝑃𝑜}

𝑃𝑜: corresponde al punto de equilibrio alrededor del cual se va a linealizar el sistema. Los valores de 𝑥(𝑡) y de 𝑢(𝑡) deben mantenerse siempre lo más cerca

EJEMPLO DE LINEALIZACIÓN

Las siguientes ecuaciones corresponden al modelo matemático de un giroscopio electrostático:

𝑥 ሶ₁ = 𝑥₂

𝑥ሶ = −𝑥₁ − 𝑥₃2 + 1 𝑥ሶ₃ = 𝑥₃ − 𝑥₁𝑥₃ − 𝑢 𝑦 = 𝑥₁

El punto de operación deseado es 𝑢_𝑜 = 8

a) Linealice el sistema en el punto de operación deseado. b) Discretice el modelo lineal obtenido utilizando un período de muestreo 𝑇 = 0.5 𝑠 a) Diseñe un controlador discreto utilizando técnicas de realimentación de estado, de modo que el sistema en lazo cerrado tenga sus polos en el origen. d) Grafique la respuesta del sistema no lineal con el controlador diseñado.

SOLUCIÓN: LINEALIZACIÓN DEL MODELO

La linealización se debe realizar alrededor del punto de operación 𝑢_𝑜 = 8. Para los puntos de equilibrio se tiene:

𝑥ሶ _𝑜𝑖 = 𝑓_𝑖(𝑥_𝑜, 𝑢_𝑜) = 0 𝑥₂ = 0

−𝑥₁ − 𝑥₃2 + 1 = 0 𝑥₃ − 𝑥₁𝑥₃ − 𝑢 = 0

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene el punto de equlibrio: 𝑃_𝑂 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑢0 𝑇 = −3 0 2 8 𝑇

Las matrices 𝐴 y 𝐵 se evalúan con las ecuaciónes

𝐴 = 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₁ 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₂ 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₃ 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₁ 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₂ 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₃ 𝜕𝑓₃ 𝜕𝑓₃ 𝜕𝑓₃ 𝐵 = 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑢 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑢 𝜕𝑓₃

SISTEMA LINEALIZADO

Evaluando las derivadas parciales en el punto de equilibrio se obtiene:

𝜕𝑓1 𝜕𝑥₁ = 0 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₂ = 1 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₃ = 0 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₁ = −1 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₂ = 0 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥₃ = −2𝑥3 = −4 𝜕𝑓₃ 𝜕𝑥₁ = −𝑥3 = −2 𝜕𝑓₃ 𝜕𝑥₂ = 0 𝜕𝑓₃ 𝜕𝑥₃ = 1 − 𝑥1 = 4 𝜕𝑓₁ 𝜕𝑢 = 0 𝜕𝑓₂ 𝜕𝑢 = 0 𝜕𝑓₃ 𝜕𝑢 = −1

Así, el sistema linealizado es: 𝑥ሶ₁(𝑡) 𝑥ሶ₂(𝑡) 𝑥ሶ₃(𝑡) = 0 1 0 −1 0 −4 −2 0 4 𝑥₁(𝑡) 𝑥₂(𝑡) 𝑥₃(𝑡) + 0 0 −1 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 1 0 0 𝑥₁(𝑡) 𝑥₂(𝑡) 𝑥₃(𝑡)

La función de transferencia del sistema continuo equivalente es: 𝐺_𝑝(𝑆) = 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵

DISCRETIZACIÓN DEL MODELO

La discretización del modelo, con 𝑇 = 0.5 𝑠 da:

𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 𝐺𝑝(𝑆) 𝑆 = (1 − 𝑧 −1_)ℑ 4 𝑆(𝑆3 _{− 4𝑆}2 _{+ 𝑆 − 12)} Utilizando el MATLAB: 𝐻𝐺(𝑧) = 0.1491𝑧 2 _{+ 1.0206𝑧 + 0.3906} 𝑧3 − 10.2337𝑧2 + 11.9419𝑧 − 7.3891

La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en la forma canónica observable es:

𝑥(𝑘 + 1) = 10.2337 1 0 −11.9419 0 1 7.3891 0 0 𝑥(𝑘) + 0.1491 1.0206 0.3906 𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 1 0 0 𝑥(𝑘)

DISCRETIZACIÓN DEL MODELO

La discretización del modelo, con 𝑇 = 0.5 𝑠 da: 𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 𝐺𝑝(𝑆) 𝑆 = (1 − 𝑧 −1_)ℑ 4 𝑆(𝑆3 _{− 4𝑆}2 _{+ 𝑆 − 12)} Utilizando el MATLAB: 𝐻𝐺(𝑧) = 0.1491𝑧 2 _{+ 1.0206𝑧 + 0.3906} 𝑧3 − 10.2337𝑧2 + 11.9419𝑧 − 7.3891

La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en la forma canónica observable es:

𝑥(𝑘 + 1) = 10.2337 1 0 −11.9419 0 1 7.3891 0 0 𝑥(𝑘) + 0.1491 1.0206 0.3906 𝑢(𝑘) _{𝑦(𝑘) = 1 0 0 𝑥(𝑘)}

CÁLCULO DE LA MATRIZ DE REALIMENTACIÓN K

Utilizando la fórmula de Ackerman:

𝐾 = 0 0 1 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2_𝐵 −1_𝜙(𝐴)

La ecuación característica deseada para el sistema en lazo es: 𝑧3 = 0 𝜙(𝐴) = 𝐴3 𝜙(𝐴) = 834.7 92.8 10.2 1032.4 −114.8 −11.9 685.6 75.6 7.4 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2_{𝐵 =} 0.1491 2.5464 24.6696 1.0206 −1.3899 −29.3077 0.3906 1.1017 18.8159 𝐾 = 0 0 1 0.1491 2.5464 24.6696 1.0206 −1.3899 −29.3077 0.3906 1.1017 18.8159 −1 834.7 92.8 10.2 1032.4 −114.8 −11.9 685.6 75.6 7.4 𝐾 = 38.5915 4.2449 0.3774

CÁLCULO DE LA MATRIZ DEL OBSERVADOR L

Utilizando la fórmula de Ackerman:

𝐿 = 𝜙(𝐴) 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴2 −1 0 0 1

La ecuación característica deseada para el observador es: 𝑧3 = 0 𝜙(𝐴) = 𝐴3 = 834.7 92.8 10.2 1032.4 −114.8 −11.9 685.6 75.6 7.4 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴2 = 1 0 0 10.2337 1 0 92.7867 10.2337 1 𝐿 = 834.7 92.8 10.2 1032.4 −114.8 −11.9 685.6 75.6 7.4 1 0 0 10.2337 1 0 92.7867 10.2337 1 −1 0 0 1 𝐿 = 10.2337 −11.9419

CONTROLADOR Y FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR

La ecuación del controlador con observador de orden completo tipo predictor es: 𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧) 𝑌(𝑧) = 𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1_𝐿 𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧) 𝑌(𝑧) = 347.03𝑧2 − 429.4896𝑧 + 285.1561 𝑧4 _{+ 10.2337𝑧}2 _{+ 41.0445𝑧 + 15.0738} La función de transferencia del sistema en lazo cerrado está dada por:

𝐺_𝑤(𝑧) = 𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)

𝐺_𝑤(𝑧) = 0.1491𝑧

5 _{+ 2.5464𝑧}4 _{+ 16.9548𝑧}3 _{+ 48.1348𝑧}2 _{+ 31.4163𝑧 + 5.8878} 𝑧6

El valor del factor de corrección de error 𝐾_𝑜 esta dado por: 𝐾_𝑜lim 𝑧→1 𝐺_𝑤 (𝑧) = 1 𝐾_𝑜 lim 𝑧→1 0.1491𝑧5 + 2.5464𝑧4 + 16.9548𝑧3 + 48.1348𝑧2 + 31.4163𝑧 + 5.8878 𝑧6 = 1

RESPUESTA DEL SISTEMA AL ESCALÓN UNITARIO

+ -R(z) K_o HG(z) D(z) Y(z) 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t [s] R e s p u e s ta