PRACTICO N° 1
TEMA: LOGICA SIMBOLICA
I.- Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones sabiendo que el valor de verdad de las proposiciones p, q y r son respectivamente
1) {[(p v q) → (q → p)] → ~p} ↔ ~ p P = V Q = F 2) {[(q v ~ p) ↔ (p ^ q)] v (p v ~ q)} ^ (p v ~ p v q) P = F Q = F 3) {[p v (q → p)] v (p → q)} → (p v ~ q) P = V Q = V 4) {[(p ^ q) v (q ↔ p)] ↔ (p v ~ q)} v (p ↔ q) P = V Q = F 5) {[q ↔ (~ p v ~ q)] ↔ (q v p)} → p P = F Q = F 6) {[(r v p) → (p → r)] ↔ (r v q)} ↔ ~ (r ↔ p) P = V Q = F R = V 7) {[(r v q) ↔ r] ↔ [(q v ~ r) ↔ p]} → ~ (~ q ↔ p) P = F Q = F R = V 8) [(p v q) → ~ r] ↔ [(r ^ q) ↔ p] ↔ (p v r v q) P = F Q = V R = F 9) [(p v q) v (r ^ ~ r)] ↔ ~ [~ (r ↔ p) → ~ q] P = F Q = F R = F 10) ~ {{r v ~ [q ↔ (~ p → ~ r)]} → (p ^ ~ q ^ ~ r)} P = V Q = V R = V 11) {[(q v p) → (r → p)] v (̴~r v q)} ↔ ~ (r ↔ p) P = F Q = F R = V 12) {[(p v q) ↔ q] ↔ [(p v ~ r) ↔ q]} → ~ (~ q ↔ p) P = V Q = F R = V 13) [(p v q) v ~ r] → [(r ^ q) ↔ p] v [(p v r v q) ^ p] P = F Q = V R = F 14) [(r v ~q) v (r → ~ r)] ↔ ~ [~ (p ↔ q) → ~ r] P = V Q = V R = V 15) ~ {{p → ~ [r v (~ p → ~ q)]} → (p ^ ~ r)} P = F Q = F R = F 16) [(r v p) v (q ^ ~ r)] v [~ (r ↔ p) → ~ q] P = F Q = V R = V 17) ~ {{p ^ [q v (~ p → ~ r)]} → (p ^ ~ q)} P = V Q = V R = F
II.- Determinar el valor de verdad de las proposiciones v (p), v (q) y v (r) sabiendo que: 11) [(p v ~ r) ↔ (p ^ q)] v (q v ~ p) = V 12) {[(r v ~ q) → (p → q)] → ~q} → r = F 13) {[~ r v (p → q)] v (q → p)} v (p v q v r) = V 14) {[r ↔ (p → ~ q)] ↔ (p v q)} → r = F 15) [(r v q) ↔~ r] ↔ [(p v ~ r) ↔ q] = V 16) [(r v q) v (p ^ ~ r)] ↔ ~ [~ (r ↔ p) → ~ q] = F 17) ~ {{r v ~ [q ↔ (~ p → ~ r)]} → (p ^ ~ q ^ ~ r)} = V 18) {[p ↔ (~ r v ~ q)] ↔ (q v p)} → r = F 19) [(r v p) → ~ q] ↔ [(r ^ q) ↔ p] ↔ (p v r v q) = V 20) {[(r v q) → (q → p)] → ~p} ↔ ~ q = F
III.- Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, sabiendo que cada una de las proposiciones mostradas en la parte inferior estará sujeta a otras proposiciones cuyo valor de verdad ya es conocido como se muestra a continuación: 21) (p → q) v (~ p v r) v (r ↔ p) (p → q) = F y (q ↔ r) = V 22) {[r v (q ↔ p)] v (p → q)} → q (p ^ q) = V y (q ↔ r) = F 23) {[q → (~ p v ~ q)] ↔ (r v p)} v (r ^ p ^ ~ q) (~p ↔ r) = F y (q ^ r) = V 24) [(p → ~ r) v (r v q)] ↔ [(r ^ ~ p) → q] (p v q v r) = F y (p → ~ r) = F 25) {[q v (r v p)] ↔ [p v (p → ~ r)]} ↔ q (~p → ~q) = V y (p v ~r) = V 26) {[(p ^ q) v (q ↔ p)] ↔ (p v ~ q)} ↔ (p v q) ~ (~p v ~q) = F y (p v ~r) = F 28) ~ {[q → ~ (p → s)] ↔ (p → r)} → [(~ s → p) v r] (~s ^ ~q) = V y (p v ~r) = V 29) {{[p ↔ (p v q)] v (s ↔ p)} v (q → r)} v (s ^ ~ p) (~s → p) = F y (q v r) = F 30) {{p v [(q v p) → s]} v (r → p)} v [(s ↔ q) → p] (q ^ r) = V y (s ↔ p) = V
IV.- Determinar mediante una tabla de verdad utilizando cualquier método el valor de verdad de las siguientes proposiciones y de acuerdo a su tabla de verdad clasificarlas en (Tautología, Anti Tautología o Contingencia)
31) [(p v ~ q) ↔ (p ^ q)] v (q v ~ p) 32) [(q v ~ p) ↔ (p ^ q)] v (p v ~ q) 33) {[(p ^ q) v (q ↔ p)] ↔ (p v ~ q)} ↔ (p v q) 34) ~ {[p ↔ (~ p v ~ q)] ↔ (q v p)} → (p ↔ ~ q) 35) {[(p → ~ r) v (r v q)] ↔ [(r ^ ~ p) → q]} → (r v ~ p v ~ q) 36) {[q v (r v p)] ↔ [p v (p → ~ r)]} ↔ ~ q 37) {[r ↔ (p → ~ q)] ↔ (p v q)} → {r v ~ [p → (~ q ^ ~ r)] 38) {[(r v s) ↔~ r] ↔ [(p v ~ r) ↔ q]} ↔ (q v ~ p v ~ s) 39) ~ {[q → ~ (p → s)] ↔ (p → q)} → [(~ s → s) v r] 40) {[(p → q) v (~ r ↔ s)] → (r ↔ ~ p)} ↔ ~ [(s v ~ p) → (q ^ r)]
V.- Simplificar mediante las leyes lógicas a su mínima expresión las siguientes proposiciones y de acuerdo al resultado obtenido clasificarlas en (Tautología, Anti Tautología o Contingencia) 41) {[(p v q) → p] ^ (q → p)} → ~ (p → ~ q) 42) {[(p ↔ q) v p] v q} → [q → (~ p ^ q)] 43) ~ [q v (~ p ^ ~ q)] → [(p → q) ↔ ~ q] 44) {[(p v q) ^ (p v ~ q)] ↔ (p → q)} → ~ q 45) [(p v q) ^ p] → [(p ^ q) → q] 46) {[r v (p → q)] ↔ r} v (p → q) 47) {r → [q v (~ q ^ p)]} ↔ {[p → (~ r → p)] v (q → p)} 48) {{p v [(q ^ p) → q]} v (r → p)} v [(p ↔ q) → p] 49) {[p v (~ q v r)] ↔ (p v r)} → {q ↔ [(r v p) ^ (r v ~ p)]}
50) {{[p ↔ (p → q)] v (q ↔ p)} v (q → r)} v (r ^ ~ p)
VII.- Dadas las siguientes proposiciones lógicas representarlas mediante un circuito lógico 54) [p → (~ q ^ p)] → [(p v q) → ~ p] 55) [(p v q) → (p v ~ q)] → [p ^ (q → ~ p)] 56) {~ p → [p → (~ p ^ q)]} → [p ^ (q v ~ p)] 57) [(p v r) ↔ q] ^ [~ r → (p → ~ q)] 58) {r v [p → (p v q)]} ^ [(p ^ r) v (q ^ p)] 59) [~ (p v q) ↔ p] ^ ~ [(r v p) → (p → q)] 60) ~ {{r v ~ [q ↔ (~ p → ~ r)]} → (p ^ ~ q ^ ~ r)} ↔ ~ (p → q)
VIII.- Dados los siguientes circuitos lógicos realizar las operaciones indicadas
a) Determinar su respectiva formula proposicional
b) Simplificar dicha fórmula proposicional hasta su mínima expresión c) Diseñar el nuevo circuito equivalente
61) 62) 63) 64) p q ~ p p q p ~ q q p q q ~ p p q p ~ q p r q ~ p r ~ p q p r p ~ r p q r p r r q ~ p q q p r q s p q ~ r p q
65)
66)
67)
68)
X.- Determinar mediante inferencia lógica la validez de los siguientes razonamientos aplicando los métodos Directo e Indirecto respectivamente
74) Demostrar: q 1) p → q 2) ~ p → r 3) ~ r 75) Demostrar: ~ r 1) ~ p v ~ q 2) p 3) r → q 76) Demostrar: p p q ~ r p q ~ p p p q p q ~ p s q p q ~ p p ~ q p q ~ p r q p r q r p q r p p q r ~ r p q r ~ r ~ p p r q ~ r p r ~ p ~ q t ~ q ~ p r q q p r ~ q r
1) p v ~ q 2) r ↔ ~ q 3) p v ~ r 77) Demostrar: t 1) ~ p → q 2) ~ r → ~ q 3) ~ (p ^ ~ t) 4) ~ r 78) Demostrar: u ^ ~ v 1) v → ~ p 2) p ^ ~ t 3) s → r 4) q → u 5) s v (q ^ r) 79) Demostrar: g ^ f 1) c → b 2) ~ d → (e ^ f) 3) a ^ ~ b 4) (a ^ e) → g 5) c v ~ d 80) Demostrar: r v s 1) p → ~ c 2) a ^ ~ b 3) (~ p v q) → (r ^ t) 4) b v d
5) a → (c v ~d) 81) Demostrar: r v s 1) p → ~ a 2) ~ q → b 3) ~ p → r 4) a v ~ b 5) q → r 82) Demostrar: s v t 1) (p → r) → (~ a v b) 2) p → q 3) b → s 4) q → r 5) ~ a → s 83) Demostrar: ~ p v q 1) (a ^ b) → ~ (r → ~ s) 2) t → ~ s 3) r → t 4) p → a 5) p → b 84) Demostrar: ~ p 1) (p ^ q) → r 2) r → s 3) q ^ ~ s 85) Demostrar: q ^ ~ r 1) r → s
2) p v q 3) ~ (~ p → s) 4) ~ p → q 86) Demostrar: ~ q 1) p → ~ q 2) (p ^ r) v s 3) s → (t v u) 4) ~ t ^ ~ u 87) Demostrar: x≠ 3 v y ≠ 1 1) x = 3 → y ≤ 3 2) x = y ^ x ≤ y 3) x ≤ 5 v y < 3 4) x = y → (x = y + 2 v x < 5) 5) x = y + 2 → x < y 88) Demostrar: x = 5 v z > 5 1) x ≠ 7 → z ≥ x 2) x < 6 v x = 3 3) x = 3 → z > x 4) x < 6 → z > x 5) x = 5 v x≠ 7 89) Demostrar: x ≠ 0 1) x = y → x = z 2) x = z → x = 1 3) x = 0 → x ≠ 1 4) x = y
90) Demostrar: a = 0 1) a ≠ 0 → b = 1 2) a = b → b = c 3) b = c → b ≠ 1 4) (a = b) ^ (a < d) 91) Demostrar: r = 8 1) r = 10 v r < s 2) (r > 5 v t < 2) → (t < r v s = 0) 3) r < s → t < 2 4) s = 0 → ~ (r > s v t < 2) 5) r = 10 → r > 5 6) t < r → r = 8 92) Demostrar: x = 3 v y < 2 1) x = y v x < y 2) (x < 3 ^ y= x + 1) → y ≠ 8 3) x = 3 v y = 8 4) x ≠ y ^ y = x + 1 5) x ≤ 3 → x ≤ y 93) Demostrar: y ≠ 2 ^ y > 2 1) y ≥ 2 → x ≥ 2 2) x ≥ 5 v y ≠ 2 3) x = y + 3 ^ y < 4 4) (y > 2 ^ y < 4) → x > 5 5) x ≠ y + 3 v x > 2 94) Demostrar: x < 6 v z > 6
1) (x < 7 ^ x = 5) → (z > x v y < z) 2) (x < 6) → (x = 5 ^ x < 7) 3) (x > y) → ~ (y < z v z > x) 4) (x > 4) → (x = 5 ^ x < 7) 5) (x > y) → (x > 4) 6) (x > y) v (x < 6) 95) Demostrar: ~ (x < y ^ x = 1) 1) (x = y → y = 0) → x = 0 2) (x = 0 v xy = 0) → y = 0 3) x = y → x ≤ y 4) y = 0 ↔ x ≤ y
XI.- Determinar mediante Inferencia Lógica la validez de los siguientes razonamientos aplicando el Método Condicional
96) Demostrar: p → ~ s 1) p → (q v r) 2) q → ~ p 3) s → ~ r 97) Demostrar: (p ^ q) → (s ^ t) 1) m → (~ r v s) 2) m ^ n 3) ~ t →~ r 4) ~ r → u 5) ~ r → ~ q 6) f → ~ p 7) u → f
98) Demostrar: r → ~ s 1) r → (p v q) 2) p → ~ r 3) s → ~ q 99) Demostrar: s → (p v q) 1) s → t 2) r → p 3) t → r 100) Demostrar: r → t 1) ~ s v (r → t) 2) q → s 3) r → q 101) Demostrar: r → ~ j 1) r → m 2) j → ~ n 3) l → q 4) l v (m → n) 5) ~ (q v t) 102) Demostrar: p → q 1) (a ^ b) → ~ (r → ~ s) 2) t → s 3) r → ~ t 4) p → a 5) p → b 103) Demostrar: m = √3 → m ≠ √6 ^ n ≠ √3
1) m = √3 → mn = √6 2) m + n ≠ 7 → m ≠ √3 3) n = √3 v m = √6 → ~ (m + n = 7 ^ mn = √6) 104) Demostrar: b ≠ c → a ≠ 5 1) a = b → a < c 2) a = 5 → ~ (a < c) 3) a = 3 → a < c 4) ~ (a < b) → a = b 5) a = 3 v ~ (a < b)
XII.- Dar una demostración formal y completa mediante la inferencia lógica para demostrar la validez de los siguientes razonamientos
105) Evo acepta las autonomías departamentales o habrá guerra civil. Los bolivianos se enfrentaran si hay guerra civil.
Si los bolivianos se enfrentaran entonces Evo no acepta las autonomías departamentales. No habrá guerra civil.
Por tanto: si hay guerra civil, se derrama sangre inocente 106) Si dices la verdad entonces te odiaran los hombres. Esquivaras los problemas si te odian los hombres.
Te odiaran los poderosos si te comprometes con la justicia. Dirás la verdad o te comprometes con la justicia.
Por tanto: esquivaras los problemas o te odiaran los poderosos 107) Si la ballena es un mamífero entonces toma oxigeno del aire. Si toma oxigeno del aire entonces no necesita branquias.
La ballena es un mamífero y habita en el océano. Por tanto: habita en el océano y no necesita branquias
108) Si la enmienda no fue aprobada entonces la constitución queda como estaba. Si la constitución queda como estaba entonces no podemos añadir nuevos miembros al comité.
Podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe se retrasara un mes. Pero el informe no se retrasara un mes.
Por tanto: la enmienda fue aprobada
109) Ella tiene muchos amigos solamente si los respeta como individuos.
Si ella los respeta como individuos entonces no puede pretender que todos se comporten de la misma manera.
Ella tiene muchos amigos.
Luego: ella no espera que todos se comporten de la misma manera
110) Si la victima tiene dinero en la billetera entonces el motivo del crimen no fue el robo. El motivo del crimen fue el robo o la venganza.
La víctima tenía dinero en su billetera.
Por tanto: el motivo del crimen debió ser la venganza
111) Si la asamblea constituyente beneficia a todos los bolivianos entonces vale la pena votar.
Pero si el ejecutivo no garantiza ello, es mejor no votar.
La asamblea constituyente beneficia a todos los bolivianos o el ejecutivo no garantiza ello.
En consecuencia: vale la pena votar o es mejor no votar 112) Si tienes trabajo puedes ser feliz.
Si tienes trabajo y eres feliz entonces vivirás muchos años o disfrutaras mucho de la vida. Si vives muchos años o disfrutas mucho de la vida entonces no tendrás una vida inútil.
Si tener trabajo implica no tener una vida inútil entonces eres una persona con suerte. Por tanto: Eres una persona con suerte
113) Si se elevan los precios o los salarios, habrá inflación.
Si hay inflación entonces el congreso debe regularla o el pueblo sufrirá. Si el pueblo sufre, los congresistas se harán impopulares.
El congreso no regulara la inflación y los congresistas no se volverán impopulares. En consecuencia: No subirán los salarios
114) No llora ríe.
Si no llora, ríe solo si tiene un juguete.
No ocurre que tenga un juguete riéndose a menos que coma un caramelo. Por tanto: Come un caramelo
115) Si practico cada semana y tengo aptitudes, llegare a ser ingeniero. Si llego a ser ingeniero, diseñare reactores.
Si diseño reactores y encuentro quien los financie, podre construir plantas industriales. Encuentro quien los financie.
Por tanto: Si no voy a construir plantas industriales, entonces querrá decir que no practique cada semana o que no tengo aptitudes
116) Algún día llegaremos a las estrellas, si la propulsión fotonica funciona y la vida humana puede ponerse en hibernación.
Podemos establecer colonias, si llegamos a las estrellas.
Si establecemos colonias y la gente quiere emigrar, no habrá problemas de sobre población.
La gente quiere emigrar.
En consecuencia: Si hay problemas de sobre población, entonces querrá decir que la propulsión foto nica no funciona o que la vida humana no puede ponerse en hibernación
117) Los alumnos de la materia MAT 100 estudian o se aplazaran en el examen. Si el docente explica bien, no necesitaran retirar la materia.
Los alumnos de la materia MAT 100 estudian entonces el docente explica bien la materia. Si practican constantemente entonces no necesitaran retirar la materia.
Los alumnos de MAT 100 estudian o practican constantemente. Se aplazaran en el examen entonces necesitaran retirar la materia. Por lo tanto: El docente explica bien la materia
118) Estudio mucho o tendré que esforzarme para aprobar el examen. Si estudio mucho entonces aprobare la materia.
Si apruebo la materia entonces tendré un merecido premio.
Si me esfuerzo para aprobar el examen entonces tendré un merecido premio.
Tendré un merecido premio o estaré con la conciencia tranquila entonces me iré de vacaciones.
Si estudio mucho entonces no tendré vacaciones.
Por lo tanto: tendré que esforzarme para aprobar el examen
119) O el ladrón atravesó la puerta o el delito fue cometido desde adentro y uno de los sirvientes debe estar implicado en el.
El ladrón pudo atravesar la puerta si y solo si el cerrojo fue descorrido desde dentro. Pero uno de los sirvientes esta con seguridad implicado si el cerrojo fue descorrido desde el interior.
Luego: Uno de los sirvientes se halla implicado en el delito
120) Si un porvenir brillante me espera entonces recibiré una gran herencia o estudiare mucho.
En consecuencia: Si no estudio mucho entonces no me espera un porvenir brillante o me es indiferente triunfar en la vida
121) Si los alumnos de MAT 100 no estudian entonces reprobaran la materia. Si reprueban la materia entonces las ayudantías fueron en vano.
Las ayudantías no fueron en vano o los alumnos no asistieron a clases. Los alumnos asistieron a clases o realizaron sus prácticas.
Si realizaron sus prácticas entonces estarán preparados para el examen. Los alumnos de MAT 100 no estudiaron.
Por lo tanto: Los alumnos de MAT 100 están preparados para el examen
122) Los alumnos de ingeniería no estudian algebra cuando tienen que estudiar calculo. Los docentes de algebra tienen maestrías y los docentes de cálculo no tienen maestrías. Los alumnos no estudian cálculo o física entonces estudian química o dibujo.
Los docentes de cálculo tienen maestrías o la Universidad tendrá que capacitarlos. Los docentes de algebra tienen maestrías entonces los alumnos de ingeniería estudian algebra o la universidad no tendrá que capacitarlos.
Por lo tanto: Los alumnos estudian química o algebra
123) Los estudiantes estarán contentos si y solo si no hay examen. Si los estudiantes están contentos, el profesor se sentirá feliz. Si el profesor se siente feliz, no está en condiciones de explicar. Si no está en condiciones de explicar, habrá examen.
Por lo tanto: los estudiantes no están contentos
124) Miguel pudo haber visto la motocicleta del asesino. Carlos fue el primer testigo de la defensa.
Miguel estaba en la fiesta o Carlos dio testimonio falso. Nadie en la fiesta pudo haber visto la motocicleta del asesino.
Por lo tanto: El primer testigo de la defensa dio testimonio falso 125) Si José va a una fiesta entonces no dejara de cepillarse el cabello. Para que José luzca elegante es necesario que este aseado.
Si José fuma cigarrillos entonces no se respeta a si mismo. Si José se cepilla el cabello, lucirá elegante.
José usa una corbata roja solamente si va a una fiesta.
No respetarse a si mismo es suficiente para que Jose no esté aseado. Por lo tanto: Si José usa una corbata roja, no fuma cigarrillos
126) Si no ocurre que si un objeto flota entonces es menos denso que el agua entonces se puede caminar por encima del agua.
Pero no se puede caminar sobre el agua.
Si un objeto es menos denso que el agua, entonces puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso.
Si puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso entonces el objeto flotara en el agua.
Por lo tanto: un objeto flotara en el agua si y solo si es menos denso que el agua
127) Si el examen es válido entonces el alumno José tendrá que repetir la materia o estará obligado a abandonar la universidad.
Si el alumno José tiene que repetir la materia entonces el examen no es válido.
Si la calificación del profesor es dudosa entonces el alumno José no estará obligado a abandonar la universidad.
