Identification of Coherent Machines Using Modal Analysis for the Reduction of Multimachine Systems

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1Abstract— Coherent generator groups are determined by

modal analysis applied to Electric Power Systems (EPS). The oscillation modes are represented by the eigenvalues obtained from the linearization of the nonlinear equations that describe the behavior of the system. These modes are classified according to their damping frequency into two groups: the local modes and the inter-area modes. The latter are the ones of interest to the study, because their frequency is similar to that of a large perturbation and it can therefore allow the identification of coherent groups.

Keywords— Modal analysis, Identification, Coherent generators.

I. INTRODUCCIÓN

A IDENTIFICACIÓN de las máquinas coherentes se realiza utilizando el método de análisis modal y no la simulación en el dominio del tiempo como en [1] y [2]. El análisis modal permite determinar los modos de oscilación de las máquinas sincrónicas, el tipo de oscilación y las máquinas que poseen una mayor participación en cada modo oscilatorio.

El método consiste en linealizar las ecuaciones que describen la dinámica del sistema de potencia alrededor de un punto de operación estable, y bajo esta condición, se aplican perturbaciones que permiten determinar si el sistema mantiene su estabilidad frente a perturbaciones pequeñas.

Para realizar una correcta identificación de las máquinas coherentes se debe dividir el sistema en estudio en tres partes: interno, externo y las barras frontera.

Dentro de la clasificación de los modos de oscilación están los modos interárea y modos locales. Los primeros son los que se estudiarán en este trabajo, ya que estos representan una gran perturbación en el sistema e interaccionan máquinas de distintos sectores geográficos. Además, estos modos son los más peligrosos para los sistemas eléctricos de potencia (SEP), debido a la baja frecuencia y el poco amortiguamiento que poseen, lo que se traduce en problemas de estabilidad durante la operación.

1Este trabajo está financiado por el Instituto de Sistemas Complejos de

Ingeniería, Universidad de Chile, Santiago, Chile.

H. Verdejo es profesor en el Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago de Chile, Santiago, Chile (e-mail: humberto.verdejo@usach.cl)

G. Montes es Ingeniero Civil del Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago de Chile, Santiago, Chile (e-mail: gonzalo.montes@usach.cl)

G. Olguín es profesor en el Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago de Chile, Santiago, Chile (e-mail: gabriel.olguin@usach.cl)

II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS A. Análisis Modal

Una herramienta poderosa para estudiar el comportamiento oscilatorio frente a pequeñas perturbaciones y la estabilidad de voltaje, es el análisis modal. Estas perturbaciones reflejan fielmente el comportamiento habitual de un SEP, ya que en todo momento existen, por ejemplo, variaciones de carga. La estabilidad del sistema eléctrico depende del amortiguamiento que éste posee, es decir, cual es la capacidad de atenuar la oscilación cuando ocurre una perturbación. Al ocurrir el evento, el sistema es removido de su punto de equilibrio estable y dependiendo de la respuesta dinámica, las oscilaciones podrán atenuarse o crecer indefinidamente. Por ello, el amortiguamiento (D) es uno de los parámetros principales a considerar para estudiar la respuesta dinámica de los sistemas eléctricos.

En el análisis modal, un sistema eléctrico está descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones algebraico-diferenciales:

Δx = AΔx+ BΔu  Δx = AsysΔx

Δy = CΔx+ DΔu; Asys= A−CD−1B

(1) El análisis modal consiste en calcular los valores propios a través de la ecuación característica de la matriz de estado Asys, y las raíces de la ecuación característica se calculan resolviendo la ecuación (2).

det(

λ

I

− A

sys

)

= 0

(2)

Los valores propios representan los modos naturales de oscilación de un sistema físico y caracterizan su respuesta temporal ante una perturbación.

En la Fig. 1 se puede apreciar que los valores propios pueden pertenecer a los cuatro cuadrantes, donde el semiplano derecho representa los modos inestables del sistema y el semiplano izquierdo los modos estables.

Figura 1. Valores propios en el plano complejo.

H. Verdejo, Member, IEEE, G. Montes and G. Olguín

Identification of Coherent Machines Using

Modal Analysis for the Reduction

of Multimachine Systems

(2)

Sea un valor propio

λ σ

= ±

j

ω

. Se tienen las siguientes posibilidades de respuesta en función de los valores de la parte real e imaginaria.

• Si σ = 0, ω ≠ 0  Respuesta oscilatoria de amplitud constante.

Figura 2. Respuesta oscilatoria de amplitud constante.

• Si σ > 0, ω ≠ 0  Respuesta oscilatoria creciente.

Figura 3. Respuesta oscilatoria creciente.

• Si σ > 0, ω = 0  Respuesta monótona creciente.

Figura 4. Respuesta monótona creciente.

• Si σ < 0, ω ≠ 0  Respuesta oscilatoria amortiguada.

Figura 5. Respuesta oscilatoria amortiguada.

• Si σ < 0, ω = 0  Respuesta monótona decreciente.

Figura 6. Respuesta monótona decreciente.

A partir de un valor propio se puede definir la frecuencia natural (fn) de oscilación que se muestra en la ecuación (3) y el coeficiente de amortiguamiento de la oscilación del modo (ζ), el que se presenta en la ecuación (4). Considerando estos factores se puede representar el valor propio como función de su amortiguamiento y frecuencia natural, tal como se presenta en la ecuación (5).

2

n n

f

ω

π

=

(3) 2 2

σ

ζ

σ

ω

=

+

(4) 2

1

n n

j

λ σ

= ±

ω ζω ω

=

±

ζ

(5)

El coeficiente de amortiguamiento (ζ) representa la

disminución que existe entre los peak sucesivos de la

onda sinusoidal amortiguada. Mientras mayor es el

coeficiente de amortiguamiento, el polo se encuentra

más cercano al eje real.

B. Vectores propios

Para cada valor propio existe un vector propio que satisface la ecuación matricial (6),

(3)

Se pueden calcular dos clases de vectores propios, el primero y que será de interés, es el conjunto de los vectores propios derechos y el segundo grupo llamado vectores propios izquierdos.

a) Vectores propios derechos Para cualquier

λ

i existe el vector columna

Φ

i que

satisface la ecuación (7). Con una solución distinta de la trivial, es decir, sea un vector distinto de cero.

A

Φ

i

=

λ

i

Φ

i (7)

Al vector propio derecho se le conoce también como mode shapes o vectores de observabilidad. Los elementos del vector miden la actividad de las variables de estado en un modo determinado. La magnitud de los elementos

Φ

i da la actividad de las

n

variables de estado en el modo i. Estos indicadores aportan información valiosa sobre la medida en que cada generador del sistema oscila de acuerdo a cada modo y las máquinas desde las que es más efectiva una acción de amortiguamiento. Por ejemplo, mediante señales de los estabilizadores de potencia (PSS en inglés).

b) Vectores propios izquierdos Dado un valor propio

λ

i, entonces existirá un vector fila

Ψ

i que satisface la ecuación (8),

Ψ

i

A

=

λ

i

Ψ

i (8)

y que es llamado vector propio izquierdo de la matriz de estado, asociado con el valor propio

λ

i. El k-ésimo elemento

de

Ψ

i da una medida de contribución de la variable de estado

x

k en el modo i-ésimo.

Este vector mide la eficiencia de una acción de control real bajo diferentes oscilaciones del sistema, es por esto que los vectores propios izquierdos son conocidos como vectores de controlabilidad.

Los vectores propios derechos e izquierdos que pertenecen a diferentes valores propios son ortogonales, por lo tanto se cumple que:

Ψ

i

Φ

i

= 0

(9)

En cambio en los vectores propios izquierdos y derechos que pertenecen al mismo valor propio, se verifica que:

Ψ

i

Φ

i

= C

i

(10)

Donde los

C

i se denominan factores de participación, los cuales miden la relación entre las variables de estado y los modos de oscilación.

c) Clasificación de los modos electromecánicos Los modos electromecánicos u oscilaciones electromecánicas se pueden dividir en 3 grupos clasificándolos por la frecuencia de oscilación. Estos modos son:

1. Modo máquina – sistema: Son las más comunes de las tres oscilaciones y se presentan cuando una máquina sincrónica oscila contra el resto del sistema, tal como si fuera una barra infinita. Son causadas generalmente por las altas ganancias de los reguladores de tensión (AVR), y como bien dice su nombre, la máquina oscila en contra del resto del sistema. Son comunes en los sistemas radiales y de gran longitud.

2. Modo intermáquinas: Es aquella situación donde un grupo pequeño de generadores oscila en fase o en contra de otros grupos de generadores de la misma área. Este modo de oscilación se denomina como oscilación rápida, ya que el rango de frecuencia corresponde a

[0,8

− 2,0](Hz)

[3]. 3. Modos inter – áreas: Es la forma de oscilación más peligrosa para el sistema ya que poseen un menor amortiguamiento y menor frecuencia de oscilación, típicamente en el rango de

[0,1

−0,8](Hz)

. Por esto se denominan oscilaciones lentas. En este modo de oscilación las máquinas de una parte del sistema oscilan en contra de otro grupo de máquinas que se encuentran en otra parte del sistema, entre los cuales hay conexión mediante un enlace débil.

Las dos primeras formas de oscilación solo involucran una pequeña parte del sistema, por lo cual representan un problema local y por lo tanto, son conocidos como modos locales. En cambio el modo interárea involucra a la gran parte del sistema cuando ocurre este modo de oscilación. En la Fig. 7 se puede observar gráficamente los modos de oscilación que existen y cómo interactúan en los sistemas de potencia.

Es de interés identificar los modos interárea ya que son estos los que permitirán identificar la coherencia de las máquinas sincrónicas, para esto se utilizará el diagrama de participación.

Figura 7. Modos de oscilación.

d) Diagrama de participación de los generadores Este diagrama se utiliza para determinar la influencia que tiene un generador en un modo de oscilación determinado. Lo que se puede determinar a través de los componentes de los

(4)

vectores propios derechos o los factores de participación asociados a las variables de estado, los cuales pueden ser la velocidad de las máquinas o los ángulos de los rotores. La ventaja que posee este método es que se utilizan números reales que varían entre -1 y 1, en vez de utilizar números complejos. La magnitud de la parte real de cada valor normalizado indica la participación de la máquina en el modo de oscilación, mientras que su signo permite agrupar los conjuntos de máquinas que oscilan entre sí. En la Fig. 8 se ejemplifica considerando el caso a) un modo local y en el caso b) un modo interárea.

Como se puede apreciar en la Fig. 8, cuando existe un modo de oscilación local, una máquina oscila en un sentido o con una mayor participación que el resto. No siempre las máquinas tienen una participación relevante, en ciertos modos, la participación de alguna máquina puede ser nula.

a) Modo local

b) Modo interárea

Figura 8. Diagrama de participación de generadores

En cambio en los modos interárea hay una participación de todas las máquinas sincrónicas en el modo de oscilación representado. Esto se debe a que la perturbación es severa y existe un fuerte desequilibrio en el sistema, a baja frecuencia, lo cual puede generar una condición inestable si esta perturbación no se controla.

Con este análisis se podrá llevar a cabo la identificación de las máquinas coherentes, ya que se estudiará la participación de las máquinas en los modos de oscilación locales e interárea. Para este estudio se utilizarán las variables de velocidad de las máquinas y las del ángulo del rotor. De este modo se identificará el tipo de oscilación, las máquinas que participan en la perturbación de baja frecuencia, luego que máquinas oscilan en fase y finalmente se podrá determinar las máquinas coherentes.

III. METODOLOGÍA

Se ejecuta la herramienta de análisis modal y este método calcula los valores propios, vectores propios y los factores de participación de las variables de estado que se presentan en la TABLA I.

TABLA I. VARIABLES DE ESTADO DEFINIDAS EN POWERFACTORY [6].

Nombre Unidad Descripción

S:speed p.u Velocidad S:phi Rad Ángulo rotor S:psie p.u Flujo de Excitación S:psiD p.u Flujo en el devanado D

S:psix p.u Flujo en el devanado de amortiguación S:psiQ p.u Flujo en el devanado Q

Los modos de oscilación se identifican a partir de los valores propios (λ) y su frecuencia de amortiguamiento (f), obtenidos previamente en el análisis modal.

De los autovalores calculados, se hace una selección de los que tengan forma de número complejo conjugado, ya que estos son los que representan modos electromecánicos. Estos modos poseen una frecuencia y un coeficiente de amortiguamiento.

Si la frecuencia de amortiguamiento está en el rango de 0,1 – 0,8 Hz se selecciona el modo oscilatorio, porque esta frecuencia representa a los modos interárea. De no estar en este rango de frecuencia, los modos son determinados como modos locales.

A través del diagrama de participación, se comparan las magnitudes de los vectores que pertenecen al conjunto de los factores de participación. Cada máquina posee factores de participación asociados a los valores propios que representan un modo interárea, que fue identificado con el rango de frecuencia. En este trabajo se considera como variable de estado de estudio, la velocidad de los generadores, ya que esta variable representa la evolución de la máquina luego de producirse una perturbación. Además en el análisis en el domino del tiempo, esta es la variable que se utiliza para determinar los generadores coherentes.

La correcta identificación depende de dos parámetros, el primero es considerar que los vectores correspondientes a los factores de participación de la variable de estado velocidad estén en fase. Es decir, la diferencia entre sus ángulos sea cero. Pero como se debe suponer cierto porcentaje de error, para este estudio se define un 6% de error como máximo para la diferencia de los ángulos en radianes. Lo cual se expresa en la ecuación (11).

(5)

(P

i

− P

j

)

P

i

⋅100% < 6%

(11)

El segundo parámetro definido es comparar las magnitudes de los vectores para identificar los generadores coherentes, lo que se lleva a cabo considerando las máquinas del sistema externo y luego comparando sucesivamente todas las máquinas hasta obtener todas las diferencias entre las participaciones. Los generadores se identificarán coherentes si la diferencia entre los módulos de los vectores es menor a 10%, tal como lo expresa la ecuación (12).

P

i

− P

j

P

i

⋅100% <10%

(12)

Donde

P

i representa la participación de la variable de estado de una máquina sincrónica en el modo oscilatorio determinado.

Los porcentajes de error establecidos anteriormente permiten tener un parámetro de referencia, ya que de esta forma se puede obtener resultados que representen máquinas que no son coherentes.

IV. CASO DE ESTUDIO

En el proceso de identificación de máquinas coherentes, se deben definir las áreas de estudio. En la Fig. 9 se muestra que las barras frontera son aquellas que aparecen en rojo, es decir, las barras 3, 9 y 27. El sistema interno será el que está aguas arriba de las barras frontera o la parte superior de la línea verde punteada. Finalmente el sistema externo será el que se encuentra bajo la línea punteada. Cabe resaltar que fueron las mismas que se utilizaron en [1] para realizar una comparación con los resultados obtenidos.

Figura 9. Áreas de estudio del Sistema de New England.

Una vez definidas las áreas de estudio se procede a ejecutar el análisis modal en el sistema de New England, se obtienen los valores propios, vectores propios y factores de participación. En la tabla 2 se presentan los modos oscilatorios, donde se destaca con negro, los modos interárea, ya que su frecuencia de amortiguamiento es menor a 0,8 Hz.

TABLA II. MODOS OSCILATORIOS DEL SISTEMA DE NEW

ENGLAND. Nombr e Parte real Parte imaginaria Frecuencia de amortiguación (Hz) Coeficiente de amortigua-miento (ζ) Mode 00020 -1,629 -11,670 1,857 0,138 Mode 00024 -3,610 -7,287 1,160 0,444 Mode 00026 -2,711 -6,656 1,059 0,377 Mode 00028 -2,333 -6,534 1,040 0,336 Mode 00030 -1,825 -6,687 1,064 0,263 Nombr

e Parte real imaginariaParte

Frecuencia de amortiguación (Hz) Coeficiente de amortigua-miento (ζ) Mode 00032 -1,551 -6,545 1,042 0,231 Mode 00034 -1,552 -6,370 1,014 0,237 Mode 00036 -0,918 -4,970 0,791 0,182 Mode 00038 -1,666 -4,995 0,795 0,316

La coherencia de los modos interárea se determinará a través de la comparación de las magnitudes de los vectores que se presentan en los diagramas de participación.

En la Fig. 10 se presenta el diagrama de participación del modo Nº36, donde se puede observar que todas las contribuciones están en fase ya que los ángulos varían entre 169,8º – 169,9º. Por lo tanto, sólo basta con comparar las magnitudes de los vectores para determinar la coherencia de las máquinas.

Los generadores que pertenecen al sistema externo son G2, G3, G4, G5, G6 y G7, desde luego, las máquinas restantes no participarán en el estudio de identificación de coherencia por pertenecer al sistema interno.

(6)

Figura 10. Diagrama de participación del modo Nº36.

Las comparaciones de las magnitudes se presentan en la tabla 3, en la cual se destaca con negro la menor diferencia, la cual determinará los grupos de generadores coherentes. TABLA 3. COMPARACIÓN DE LAS MAGNITUDES DE LAS PARTICIPACIONES.

(Gi - Gj) Diferencia (Gi - Gj)/Gi Porcentaje

G2 - G3 0,010 0,069 7% G2 - G4 0,164 1,131 113% G2 - G5 0,691 4,766 477% G2 - G6 0,171 1,179 118% G2 - G7 0,195 1,345 134% G3 - G4 0,154 0,994 99% G3 - G5 0,681 4,394 439% G3 - G6 0,161 1,039 104% G3 - G7 0,185 1,194 119% G4 - G5 0,527 1,706 171% G4 - G6 0,007 0,023 2% G4 - G7 0,031 0,100 10% G5 - G6 0,520 0,622 62% G5 - G7 0,496 0,593 59% G6 - G7 0,024 0,076 8%

Los grupos de generadores coherentes son dos, el primero lo conforman G2 con G3 y el segundo lo forman G4, G6 y G7. Mientras que el generador G5 no resulta coherente con ninguna otra máquina.

Se realiza una falla trifásica en la barra 1 perteneciente al sistema interno, la duración de la falla es de 6 ciclos y la gráfica de las velocidades de las máquinas es la que se presenta en las Figs. 11 y 12.

Figura 11. Velocidades del primer grupo coherente, G2 y G3.

Figura 12. Velocidades del segundo grupo coherente, G4, G6 y G7.

Los resultados han permitido validar la metodología, ya que en un sistema de gran envergadura como lo es el sistema de New England, el método de identificación de máquinas coherentes funciona con eficacia.

V. CONCLUSIONES

El análisis modal es un método que permite estudiar cómo afectan las oscilaciones en diversos sistemas, no sólo eléctricos, sino que también sistemas estructurales, mecánicos, etc. En particular en este trabajo se utilizó para determinar los modos de oscilación cuando el SEP es sometido a pequeñas perturbaciones. Esto habitualmente se realiza para estudiar la estabilidad de tensión, ya que se identifican los modos inestables o más peligrosos para el sistema y de esta forma tomar una acción de control para evitar que el sistema colapse. El análisis modal calcula los valores propios, vectores propios y los factores de participación. Con estas variables se construye el diagrama de participación, el cual permite determinar la coherencia entre las máquinas sincrónicas sin realizar una simulación en el dominio del tiempo. El método toma ventaja por el fácil manejo del software PowerFactory ya que el módulo de análisis modal que tiene incorporado calcula de forma rápida y sencilla los valores propios, vectores propios y factores de participación.

La metodología tiene un valor agregado sobre las demás técnicas de identificación de las máquinas coherentes, ya que el análisis modal permite extender el análisis a la estabilidad de tensión y a la correcta sintonización de los sistemas de control de las máquinas y estabilizadores de potencia. Esta

(7)

metodología fue validada a través del sistema de New England, donde se obtuvieron resultados aceptables.

Como trabajo futuro se compararán los resultados obtenidos con métodos alternativos distintos de los procesos de simulación, como por ejemplo la identificación por medio de series de Fourier. Se analizarán los beneficios y desventajas comparativos de cada uno.

REFERENCIAS

[1] F. Pacheco, “Reducción de redes eléctricas para estudios de estabilidad transitoria”, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Santiago de Chile. 2010. [2] P. Reyes “Reducción del SIC para estudios de estabilidad transitoria

de primera oscilación”, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Santiago de Chile. 2011. [3] G.Rogers “Power System Oscillations” Kluwer Academic Publishers

2000.

[4] G. Argüello, H. Flores “Estudio de estabilidad de pequeña señal en sistema nacional interconectado aplicando el método de análisis modal”, Escuela Politécnica Nacional. XIX Jornadas en Ingeniería Eléctrica y Electrónica. JIEE, Vol. 19, 2005.

[5] M Artenstein, R. Franco, A. Giusto, P. Monzón, C.Sena. “Estudios de estabilidad de escenarios a corto plazo del sistema eléctrico uruguayo”, Instituto de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad de la Republica, 2008.

[6] PowerFactory Manual, DIgSILENT Version 14.0,Gomaringen, Germany, 2009.

[7] V. Agudelo, D. Parra “Control de oscilaciones electromecánicas en sistemas eléctricos de potencia usando el análisis modal” Universidad Tecnológica de Pereira, Facultad de Ingeniería Eléctrica, 2008.

Humberto Verdejo Ingeniero Electricista, Universidad de Santiago de Chile, Chile 2006 y Ph.D. en Ingeniería Eléctrica, Universidad de Chile, Chile. Desde 2012 es profesor asistente en el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Santiago de Chile. Áreas de interés: Estabilidad de Sistemas Eléctricos y Modelamiento de fenómenos aleatorios en Sistemas Eléctricos para estudios de estabilidad.

Gonzalo Montes Ingeniero Electricista, Universidad de Santiago de Chile, Chile 2012. Desde 2012 es Ingeniero en estudios en Transelec S.A. Áreas de interés: Estabilidad de Sistemas Eléctricos y Sistemas de Protecciones.

Gabriel Olguín Ph.D. en Ingeniería Eléctrica, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Suecia, 2005. Desde 2009 es profesor adjunto en el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Santiago de Chile. Actualmente es Senior Executive Consultant, HVDC & Power Electronics Sinclair Knight Merz (SKM). Áreas de interés: Estabilidad de Sistemas Eléctricos y Sistemas de Transmisión en HVDC.

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