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ARTE Y MATEMÁTICA: ESENCIA, CREACIÓN Y DIVERSIÓN EN EL AULA

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Academic year: 2021

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ARTE Y MATEMÁTICA: ESENCIA, CREACIÓN Y DIVERSIÓN EN EL AULA María del Carmen dos Santos Farías, Nibia Navarro Pastor

maria2santosf@gmail.com, nibianavarro@yahoo.com.ar CETP (UTU) – CFE Uruguay

Consejo de Educación Técnico Profesional – Consejo de Formación en Educación

Modalidad: Taller

Nivel: primaria (de 6 a 11 años) Tema: pensamiento geométrico

Palabras claves: arte – papiroflexia – contenidos geométricos – demostración

Resumen

En un entorno de constantes cambios, los docentes procuramos usar tecnologías que hagan más atractivas nuestras clases. En esa vertiginosa carrera vamos dejando atrás un recurso que puede colaborar en el desarrollo de la creatividad, estimular habilidades manuales, contribuir al surgimiento de conjeturas estimulando la necesidad de demostrarlas, amalgamar conceptos matemáticos que muchas veces parecen quedarse en una etapa muy teórica.

Realizando pliegues y despliegues de un material tan concreto y antiguo como el papel, y “mirando mucho”, se hacen visibles unos cuantos contenidos geométricos: rectas, triángulos, simetrías y poliedros.

I. Introducción

Algunas versiones ubican el origen del papel en China y otros en Egipto pero hay coincidencia en que el arte de doblar papel, conocido como Papiroflexia, se originó en Japón. La palabra papiroflexia proviene, etimológicamente, del latín papiro, que se traduce como papel y flectere, como doblar. También se la conoce como origami, término de origen japonés (ori – doblar, kami – papel). Según el diccionario significa “Arte y técnica de realizar figuras doblando sucesivamente una hoja de papel”.

Esta técnica se ha difundido al resto del mundo y mantiene su vigencia tanto en el ámbito artístico como en el educativo según la intencionalidad de quienes la practican. En cualquiera de los casos, las representaciones logradas con el papel abarcan diversos temas y pueden ser objeto de exposiciones, publicaciones, talleres e incluso se utiliza como soporte para la venta de algunos artículos.

Entre los papiroflectas reconocidos internacionalmente se encuentra el uruguayo Román Díaz siendo su obra “Origami para intérpretes” uno de los puntos más altos del origami contemporáneo. En el 2010 fue invitado especial a la convención de Origami USA en la ciudad de Nueva York y para conocer su producción artística basta consultar en la web, por ejemplo en dosisdiaria.blogspot.com

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Se puede hacer una clasificación de la papiroflexia según varios aspectos: la finalidad, la forma de papel inicial y la cantidad de piezas utilizadas.

Como ya se dijo, puede ser artístico o educativo según el plegado se oriente a lo puramente ornamental o al análisis de las propiedades geométricas implícitas.

Se parte de un trozo de papel de diferentes formas (cuadrada, rectangular o triangular) y aunque lo tradicional es plegar una única pieza, también se pueden plegar varias unidades, en general iguales, que se ensamblan para formar figuras más complejas (módulos).

II. La papiroflexia en la educación matemática

La papiroflexia es uno de los diversos lenguajes que permite un aprendizaje dinámico de la geometría, donde los conceptos aparecen y reaparecen integrando manipulación, teoría y arte, facilitando así la consolidación y estimulando mayores niveles de abstracción. Razonar correctamente, representar, abstraer, investigar, conjeturar y demostrar son actividades medulares del pensamiento matemático.

Si bien la esencia de la papiroflexia desde este punto de vista, es descubrir elementos geométricos y sus relaciones, conjuga además arte y ciencia, creatividad y diversión, motricidad y perseverancia.

III. Plegar, pensar y demostrar

Para el taller se han seleccionado actividades organizadas en tres bloques: construcciones básicas, polígonos y plegados tridimensionales. En cada uno de ellos se ha incluido la descripción de los conceptos implicados y en ocasiones, líneas para su demostración.

A. Construcciones básicas

Se parte de una hoja de bordes irregulares.

Recta por dos puntos: incluimos los dos puntos en el mismo doblez. Este procedimiento

se respalda en el axioma de determinación de la recta:

“Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen”.

Usualmente se enuncia: “Dos puntos distintos determinan una recta que pasa por ellos”.

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Una recta perpendicular a una dada por un punto determinado: doblamos haciendo

coincidir la recta consigo misma e incluyendo al punto en el doblez. Es decir, trazamos uno de los infinitos ejes de simetría de la recta.

Definición implícita: “la recta a es perpendicular a la recta b si y sólo si a es simétrica de a respecto a b”

Una recta paralela a una dada por un punto determinado: repetimos dos veces el

procedimiento anterior. La fundamentación se sustenta en el teorema: “si dos rectas son perpendiculares a una tercera, ellas son paralelas”.

Mediatriz de un segmento: llevamos un punto del papel sobre otro y doblamos.

En esta acción entra en juego la definición habitual de mediatriz: “recta perpendicular al segmento por su punto medio”. También aprovecharse para deducir la propiedad que respalda la construcción habitual: “lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento”.

Bisectriz de un ángulo: plegamos un lado del ángulo sobre el otro.

Las consideraciones hechas para la mediatriz de un segmento se extienden análogamente para este concepto.

En ambos plegados se consideran los ejes de simetría de las figuras.

B. Algunos polígonos

1) CUADRADO

a) Se parte de una hoja de bordes irregulares con la representación de un segmento.

Construir (mediante plegados):

• Un cuadrado cuyo lado sea el segmento representado.

La justificación de este plegado está en la construcción de perpendiculares y bisectriz de un ángulo recto.

• Un cuadrado cuya diagonal sea el segmento representado.

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b) Se parte de una hoja de bordes irregulares con un cuadrado dibujado. Construir (mediante plegados):

• Un cuadrado cuya área sea la mitad del área del cuadrado ‘dibujado’.

Al considerar las paralelas medias se obtienen los puntos medios de los lados, vértices del cuadrado buscado.

Una aproximación a la justificación de la relación entre las áreas puede hacerse plegando los vértices del cuadrado original de modo que coincidan con su centro.

Aritméticamente, la demostración puede hacerse calculando el área del cuadrado hallado cuyo lado mide la mitad de la diagonal del cuadrado original (por ser paralela media del triángulo “mitad” del cuadrado inicial).

• Un cuadrado cuya área sea el doble del área del cuadrado ‘dibujado’.

Para deducir este plegado basta razonar “marcha atrás” sobre el plegado anterior (construcción de diagonales y perpendiculares).

Las justificaciones referidas a la relación entre las áreas son análogas al caso anterior.

2) TRIÁNGULO EQUILÁTERO

a) A partir de un segmento AB construir un triángulo equilátero ABC.

Plegar la mediatriz de AB, y en ella ubicar C a distancia AB de uno de los extremos del segmento. Observar que el punto que resulta de la intersección de los plegados es el centro del triángulo, es decir, punto de concurrencia de todas sus líneas notables. Recortando el triángulo y plegando pueden compararse los seis triángulos en los que queda dividido ABC. En este caso particular, además de la igualdad de las áreas, puede comprobarse la congruencia de dichos triángulos.

Para la demostración de la igualdad de áreas es necesario referirse a la propiedad del baricentro.

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1. Se inicia con una tira larga de papel: 2. Dobla hacia ARRIBA en cualquier ángulo:

3. Desdobla: 4. Dobla hacia ABAJO siguiendo el doblez anterior:

5. Desdobla nuevamente: 6. Vuelve a doblar hacia ARRIBA siguiendo el

doblez anterior:

7. Desdobla otra vez: 8. Otra vez dobla hacia ABAJO siguiendo el doblez

anterior:

9. Desdobla: 10. Continúa doblando alternativamente hacia

ARRIBA y hacia ABAJO, siempre siguiendo el doblez anterior:

¿Por qué se generan triángulos equiláteros si se continúa el procedimiento?

La justificación involucra: ángulo exterior a un triángulo, bisectriz de un ángulo y ángulos determinados por una secante a dos paralelas.

3) HEXÁGONO

Construir, mediante plegados, un hexágono regular a partir de un triángulo equilátero inicial.

Para la resolución es necesario determinar el centro del triángulo y hacer coincidir con él los vértices del triángulo. La justificación, de la igualdad de lados y de ángulos del hexágono, pasa por identificar una semejanza de razón 1/3 entre el triángulo original y los que quedan plegados “hacia el centro”.

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C. Plegados tridimensionales

1) TETRAEDRO

a) A partir de un triángulo equilátero construir un tetraedro regular.

Los cuatro triángulos congruentes en los que queda dividido el inicial, según sus paralelas medias, representan las caras del tetraedro.

b) A partir de un cuadrado, plegar según la secuencia de la figura adjunta:

IMGEN 1. Aquí va un diagrama cuyo tamaño excede el permitido para adjuntarse. También se entregará en el taller.

¿Qué tipo de pirámide representa? ¿Es regular? ¿Cuál es su altura? ¿Y el volumen?

La búsqueda a las respuestas brinda la oportunidad para discutir sobre definiciones, conjeturar, justificar y calcular.

2) CUBO SOPLADO

1) Pliega la “pelota” siguiendo las instrucciones de los diagramas adjuntos

IMAGEN 2. Aquí corresponde que vaya el primer diagrama cuyo nombre habitual en la papiroflexia es base de la bomba de agua.

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IMAGEN 3. Después de plegar la base se siguen los 6 pasos del segundo diagrama, que por razones de tamaño del documento se entregará en el taller pues no pudo incluirse aquí aún.

2) CUBO MODULAR

Construir un cubo con seis módulos de Sonobe.

Para la construcción de los módulos se seguirá la secuencia establecida en

http://www.grupoalquerque.es/ferias/2010/archivos/webquest_2/documentos/moduloSO NOBE.pdf

El módulo Sonobe puede considerarse el punto de origen de la papiroflexia modular. Su fundador, Mitsunobu Sonobe, lo denominaba “caja de color”, aunque hoy día el término empleado no es otro que módulo de Sonobe. Se puede construir, además de poliedros convexos, poliedros estrellados plegando más módulos y ensamblándolos convenientemente.

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REFERENCIAS

Alsina, C. y otros. (1997) Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid: Síntesis S.A.

Castelnuovo, E. (1963) Geometría intuitiva. Barcelona: Labor S.A.

Hirota, J. (2008) Papiroflexia-origami para grandes y chicos. Buenos Aires: Albaratos Kasahara, K. (2005) Papiroflexia creativa. Madrid: EDAF.

Palacios, A., Giordano, E. (1996). Geometría de papel, el arte del bien plegar. Buenos Aires: Serie Eureka.

Rodríguez, E. (2005) Geometría del espacio. Definiciones, propiedades. Montevideo Blanco García, C., Otero Suárez, T. (2005) [45]. Geometría con papel (papiroflexia matemática) Obtenido de:

webpages.ul.es/users/imarrero/sctm05/modulo3tf/1/cblanco.pdf Fecha de acceso: 5/09/2011

Larios Osorio, V. Taller Polígonos con Papel. (2001) [8]. Obtenido de:

Referencias

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