Campo Giratorio.
1. Refracción de campo magnético en la interface de dos materiales magnéticamente distintos.
Condiciones de frontera impuestas por las ecuaciones de Maxwell:
𝐻𝑡1= 𝐻𝑡2 = 𝐻𝑡 Valido si en la frontera entre los materiales no hay corrientes: 𝐵𝑛1= 𝐵𝑛2= 𝐵𝑛
Entonces calculando el ángulo de refracción de los campos se tiene: 𝑡𝑔 ∝1= 𝐻𝑡1 𝐻𝑛1= 𝜇1 𝐻𝑡 𝐵𝑛 𝑡𝑔 ∝2= 𝐻𝑡2 𝐻𝑛2 = 𝜇2 𝐻𝑡 𝐵𝑛 Se tiene: 𝑡𝑔 ∝1=𝜇1 𝜇2. 𝑡𝑔 ∝2 Si μ1 ≪ μ2 => 𝑡𝑔 ∝1≅ 0 => ∝1≅ 0
Cuando se pasa de un medio de alta permeabilidad a otro de mucho menor permeabilidad el campo magnético, en el medio de menor permeabilidad, es normal a la interface de los medios
Ejemplo: Medio 1: aire μr = 1 Medio 2: hierro μr = 1000 Entonces: 𝑡𝑔 ∝1=𝜇𝜇1 2. 𝑡𝑔 ∝2= 10 −3𝑡𝑔 ∝ 1≅ 0 siempre que ∝2≠ 𝜋2 α 2 α 1 µ 2 µ 1 B2 H2 B1 H1
2. Campo Radial.
En general se puede poner:
𝐻⃗⃗ (𝑟, 𝜃, 𝔷) = 𝐻𝑟(𝑟, 𝜃, 𝔷)𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝑟 𝜃(𝑟, 𝜃, 𝔷)𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝜃 𝔷(𝑟, 𝜃, 𝔷)𝑢⃗⃗⃗ 𝔷
Si la dimensión axial es mucho mayor que la radial entonces se puede pasar a un problema en dos dimensiones:
𝐿 ≅ "∞" => 𝐻𝔷 = 0
Teniendo en cuenta lo estudiado en (1) se puede afirmar que el campo magnético deja el rotor para entrar en el entrehierro con un ángulo de 90° y con el mismo ángulo incide en el estator al dejar el entrehierro.
Si el entrehierro de la maquina es pequeño entonces se puede decir que el campo magnético tiene dirección radial en el mismo.
Entonces:
𝐻⃗⃗ (𝑟, 𝜃, 𝔷) = 𝐻𝑟(𝑟, 𝜃, 𝔷)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑟
Además:
No depende de 𝔷 si 𝐿 ≅ "∞"
Si se calcula el campo 𝐻 medio a lo largo de 𝑒, no depende de 𝑟. => 𝐻⃗⃗ = 𝐻𝑟(𝜃)𝑢⃗⃗⃗⃗ Para un instante dado. Además puede depender de 𝑡. 𝑟
Observación:
Convención de signos 𝐻 > 0 para 𝑟 crecientes => 𝐻 > 0: saliente del rotor “Polo Norte” del rotor
3. Campo Magnético en el entrehierro para una bobina diametral, concentrada.
Entonces aplicando la ley de Ampere a curvas como las de la figura: ∮ 𝐻⃗⃗ . 𝑑𝑙 = {∮ 𝐻⃗⃗ . 𝑑𝑙 } 𝐹𝐸 + {∮ 𝐻⃗⃗ . 𝑑𝑙 } 𝐸𝐻 = ∯ 𝐽 . 𝑛⃗ 𝑑𝑆 𝐵 = 𝜇𝐹𝐸𝐻𝐹𝐸 => 𝐻𝐹𝐸 ≅ 0 Entonces: 𝐻(𝜃1). 𝑒 − 𝐻(𝜃2). 𝑒 = { 2𝑛𝐼 0 −2𝑛𝐼 Además se debe cumplir:
∬ 𝐵⃗ . 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = 0 Donde S es la superficie que delimita el volumen de la máquina.
Bobina diametral de 2n vueltas, concentrada en la posición indicada en la figura.
En el entrehierro se cumple: 𝐵⃗ = 𝜇0𝐻⃗⃗
Entonces: 𝜇0𝐿𝑅 ∫ 𝐻(𝜃)𝑑𝜃 = 002𝜋
La curva de 𝐻(𝜃) tiene valor medio nulo.
Por lo tanto se tiene:
Con 1 bobina diametral se tiene una onda cuadrada para 𝐻(𝜃). 4. Fuerza Magneto Motriz de Entrehierro (f.m.m.).
Definición: 𝜀(𝜃, 𝑡) 𝜀(𝜃, 𝑡) = 𝐻(𝜃, 𝑡). 𝑒 Observaciones:
Si la maquina es de rotor cilíndrico entonces el entrehierro es constante (e = cte). Máquinas de polos salientes el entrehierro no es constante pero entonces es una
función periódica de la coordenada angular.
𝑒(𝜃) = 𝑒𝑜+ ∑ 𝑒𝑘cos 𝑘𝜃 ∞
𝑘=1
5. Contenido armónico de la f.m.m. de entrehierro.
Para el caso de entrehierro constante la f.m.m. correspondiente a una bobina diametral es una onda cuadrada como se estudió en (3).
A continuación se presenta su contenido armónico.
Dada la simetría de la onda la misma solo presenta un desarrollo en cosenos.
𝜀(𝜃) = ∑ 𝜀𝑘cos 𝑘𝜃
∞
𝜀𝑘 = 1 𝜋∫ 𝜀(𝜃). 𝜋 −𝜋 cos 𝑘𝜃 . 𝑑𝜃 =4𝑁𝑖 𝜋 ∫ cos 𝑘𝜃 𝜋/2 0 . 𝑑𝜃 =4𝑁𝑖 𝜋𝑘 . sin 𝑘𝜋 2 = {± 4𝑁𝑖 𝜋𝑘 𝑠𝑖 𝑘 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 0 𝑠𝑖 𝑘 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 Para k = 1 se tiene: 𝜀1 = 4 𝜋. 𝑁. 𝑖(𝑡)
Entonces teniendo en cuenta que los coeficientes son decrecientes con k una primera aproximación para la f.m.m. de entrehierro es quedarse con el primer término del desarrollo de Fourier y despreciar los de mayor orden.
Entonces:
𝜀(𝜃) =4
𝜋. 𝑁. 𝑖(𝑡). 𝑐𝑜𝑠𝜃
El próximo termino que aparece en el desarrollo en series de Fourier es el correspondiente a k = 3 pero el mismo pero el mismo es un tercio del correspondiente a k =1.
En lo que sigue se realizara un estudio considerando solo el termino correspondiente a k =1 y luego se verán técnicas para que esto sea una mejor aproximación.
6. Campo Giratorio Bipolar – Teorema de Ferraris.
La f.m.m. producida por las bobinas son: 𝜀𝑎(𝜃, 𝑡) =4𝜋. 𝑛𝑎′. 𝑖𝑎(𝑡). 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜀𝑏(𝜃, 𝑡) =𝜋4. 𝑛𝑏′. 𝑖 𝑏(𝑡). 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 −2𝜋3) 𝜀𝑐(𝜃, 𝑡) =4 𝜋. 𝑛𝑐 ′. 𝑖 𝑐(𝑡). 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 −4𝜋3)} 3 bobinas iguales 𝑛𝑎′ = 𝑛𝑏′ = 𝑛𝑐′ = 𝑛𝑠′ 𝜀(𝜃, 𝑡) = 𝐻(𝜃, 𝑡). 𝑒, 𝑒 = 𝑐𝑡𝑒. Maquina con entrehierro constante. Tres bobinas (a, b, c) diametrales
concentradas en un punto con ejes magnéticos desfasados 120°.
Se alimentan las bobinas con una fuente trifásica equilibrada por lo que las corrientes que circulan por cada bobina serán:
𝑖𝑎(𝑡) = 𝐼𝑠√2𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑)
𝑖𝑏(𝑡) = 𝐼𝑠√2𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −2𝜋3)
𝑖𝑐(𝑡) = 𝐼𝑠√2𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋3)}
Sistema trifásico equilibrado directo
El campo resultante en el entrehierro es la suma (escalar) de las contribuciones de las 3 bobinas. 𝜀(𝜃, 𝑡) = 𝜀𝑎(𝜃, 𝑡) + 𝜀𝑏(𝜃, 𝑡) + 𝜀𝑐(𝜃, 𝑡) Sumando: 𝜀(𝜃, 𝑡) =4 𝜋𝑛𝑠′𝐼𝑠√2 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2𝜋 3 ) cos (𝜃 − 2𝜋 3 ) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋 3 ) cos (𝜃 − 4𝜋 3 )] Recordando la siguiente identidad trigonométrica. 𝑐𝑜𝑠(𝑎). 𝑐𝑜𝑠(𝑏) =1
2 [𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] La f.m.m de entrehierro resultante queda:
𝜀(𝜃, 𝑡) =1 2 4 𝜋𝑛𝑠′𝐼𝑠√2[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 4𝜋 3) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 −8𝜋 3 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃) ] Se debe tener en cuenta que:
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 −4𝜋
3) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 8𝜋
3) = 0 Entonces se tiene la f.m.m. resultante:
𝜀(𝜃, 𝑡) =32𝜋4𝑛𝑠′𝐼 𝑠√2𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜃 − 𝜑) Si se define: 𝜀𝑀Á𝑋 = 32𝜋4𝑛𝑠′𝐼𝑠√2 entonces: Observaciones: Si 𝜃 = 𝜃0 fijo => 𝜀(𝜃0, 𝑡)= 𝜀𝑀Á𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑′), 𝜑′= 𝜑 + 𝜃0, sinusoidal en 𝑡. Si 𝑡 = 𝑡0 fijo => 𝜀(𝜃, 𝑡0)= 𝜀𝑀Á𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜔𝑡0+ 𝜑), sinusoidal en 𝜃. 𝜀(𝜃, 𝑡) = 𝜀𝑀Á𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜃 − 𝜑)
Velocidad de sincronismo: para un observador que se desplazara por el entrehierro a una velocidad 𝛺 =𝑑𝜃𝑑𝑡, existe una velocidad 𝛺𝑠 (“de sincronismo”) tal que “vería” un campo 𝜀 = 𝑐𝑡𝑒.
𝑑𝜀 = 0 => 𝑑𝜀 = −𝜀𝑀Á𝑋𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝜃 − 𝜑)[𝜔𝑑𝑡 − 𝑑𝜃] = 0 ⇒ 𝜔𝑑𝑡 − 𝑑𝜃 = 0 𝜔 =𝑑𝜃𝑑𝑡 = 𝛺𝑠 (campo bipolar)
¿Qué sucede si en lugar de alimentar las bobinas con sistema de secuencia directa se lo hubiera alimentado con un sistema de secuencia inversa?
Secuencia Inversa {
𝑖𝑎𝑖 = √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑)
𝑖𝑏𝑖 = √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 +2𝜋3) = √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋3)
𝑖𝑐𝑖 = √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 +4𝜋3) = √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −2𝜋3)
Entonces sustituyendo en las expresiones para la f.m.m. y teniendo en cuenta que 𝜀(𝜃, 𝑡) = 𝜀𝑎(𝜃, 𝑡) + 𝜀𝑏(𝜃, 𝑡) + 𝜀𝑐(𝜃, 𝑡) Se tiene: 𝜀 =4 𝜋𝑛𝑠′√2𝐼𝑖[𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 − 2𝜋 3) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 + 4𝜋 3 ) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 −4𝜋 3 ) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 + 2𝜋 3)] 𝜀 = 4 𝜋𝑛𝑠′√2𝐼𝑖[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃 +4𝜋 3 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃 +8𝜋 3 )] Además: 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃 +4𝜋 3) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃 + 8𝜋 3) = 0 𝜀(𝜃, 𝑡) = 3 2 4 𝜋𝑛2′√2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃 − 𝜑) 𝛺𝑠 = −𝜔
El campo gira ahora en sentido opuesto al que giraba cuando se alimentaba con un sistema directo
¿Qué sucede si se alimenta con una secuencia homopolar? 𝑖𝑎 = 𝑖𝑏= 𝑖𝑐 = √2𝐼ℎ𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) Todas en igual sentido.
𝜀 = 𝜀𝑎+ 𝜀𝑏+ 𝜀𝑐 = 0
Los armónicos de corriente 3̇ son homopolares por lo tanto no producen campo magnético resultante.
7. Efecto por el aumento de número de fases.
Se consideran ahora q bobinas diametrales para formar q fases equis espaciadas 2𝜋2𝑞 =𝜋𝑞 radianes.
Generalizando lo desarrollado hasta ahora se puede ver que la f.m.m. de entrehierro producida por cada bobina es:
{ 𝜀1=4 𝜋𝑛2′𝑖1𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒) 𝜀2=4 𝜋𝑛2′𝑖2𝑐𝑜𝑠 (𝜃𝑒− 2𝜋 𝑞 ) 𝜀3= 4 𝜋𝑛2′𝑖3𝑐𝑜𝑠 (𝜃𝑒− 2. 2𝜋 𝑞 ) … … … … 𝜀𝑞 =4 𝜋𝑛2′𝑖𝑞𝑐𝑜𝑠 (𝜃𝑒− (𝑞 − 1). 2𝜋 𝑞 )
A las q bobinas se las alimenta con un sistema de corrientes q-fasico perfecto del tipo:
{ 𝑖1= √2𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) 𝑖2= √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −2𝜋𝑞 ) 𝑖3= √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2. 2𝜋 𝑞) … … … … 𝑖𝑞= √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − (𝑞 − 1).2𝜋𝑞)
Esto es, un sistema de corrientes de igual modulo pero desfasadas en el tiempo 2𝜋𝑞 radianes.
Sustituyendo se la corriente en la f.m.m. individual de cada bobina y teniendo en cuenta que la f.m.m. resultante es:
𝜀 = 𝜀1+ 𝜀2+ … + 𝜀𝑞 Se tiene: 𝜀(𝜃, 𝑡) =𝑞 2. 4 𝜋𝑛2′(√2𝐼)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜃𝑒− 𝜑) 8. Observaciones.
Para una bobina diametral 𝜀𝑚𝑎𝑥=𝜋4𝑛2′(√2𝐼)
Para tres bobinas diametrales con ejes magnéticos desfasados 2𝜋3 radianes la fm.m. resultante tiene un máximo 𝜀𝑚𝑎𝑥𝑟 =32.𝜋4𝑛2′(√2𝐼) =32𝜀𝑚𝑎𝑥.
Generalizando para q bobinas con ejes magnéticos desfasados espacialmente 2𝜋
𝑞 radianes
recorridas por corrientes desfasadas en el tiempo 2𝜋𝑞 se llega al siguiente resultado: 𝜀𝑚𝑎𝑥𝑟 =𝑞 2. 4 𝜋𝑛2 ′(√2𝐼) =𝑞 2𝜀𝑚𝑎𝑥 Ejercicio.
Se tienen 6 bobinas diametrales conectadas en estrella recorridas por un sistema de corrientes exafasico.
Se abre una bobina. ¿Qué sucede?
Supongamos se abre la bobina 6 por lo cual la mencionada bobina no producirá f.m.m. Se tendrá la f.m.m. producida por las restantes 5 bobinas.
𝜀𝑟 = 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 − 2𝜋 6 ) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2𝜋 6) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 − 2.2𝜋 6 ) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2. 2𝜋 6) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 − 3.2𝜋 6 ) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 3. 2𝜋 6) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 − 4.2𝜋 6 ) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 4. 2𝜋 6)] 𝜋/6 { 𝑖1= √2𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) 𝑖2= √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −2𝜋6 ) 𝑖3 = √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2. 2𝜋 6) 𝑖4 = √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 3.2𝜋6) 𝑖5 = √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 4. 2𝜋 6) 𝑖6 = √2𝐼𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 5.2𝜋6)
Cada sumando da origen a dos campos que giran en sentido opuesto: 𝜀𝑟 =4 𝜋𝑛2′√2𝐼. 1 2[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 4𝜋 6) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 −8𝜋 6)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 2𝜋)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 −16𝜋6 )+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃)] Agrupando: 𝜀𝑟 =5 2 4 𝜋𝑛2 ′√2𝐼.𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃)+1 2 4 𝜋𝑛2 ′√2𝐼 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 4𝜋 6)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 8𝜋 6)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 2𝜋)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 16𝜋 6 )]
Agrupando el segundo término: 𝜀𝑟 =5 2 4 𝜋𝑛2′√2𝐼.𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃)+ 1 2 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃 − 𝜋 3)]
Se concluye que la fuerza magneto motriz resultantes está compuesta por dos campos que de distinta magnitud que giran en sentido opuesto.
9. Estudio de los armónicos espaciales 3, 5 y 7.
El campo producido por tres bobinas diametrales concentrada en un punto y desfasadas
2𝜋
3 vale se expresa a continuación teniendo en cuenta el fundamental y los tres primeros
armónicos espaciales del desarrollo. 𝜀𝑎= 4 𝜋𝑛2′. 𝑖𝑎(𝑡) [cos 𝜃 − 1 3cos 3𝜃 + 1 5cos 5𝜃 − 1 7cos 7𝜃 + ⋯ ] 𝜀𝑏 =4 𝜋𝑛2′. 𝑖𝑏(𝑡) [cos(𝜃 − 2𝜋 3) − 1 3cos 3(𝜃 − 2𝜋 3) + 1 5cos 5(𝜃 − 2𝜋 3 ) − 1 7cos 7(𝜃 − 2𝜋 3) + ⋯ ] 𝜀𝑐 =4 𝜋𝑛2′. 𝑖𝑐(𝑡) [cos(𝜃 − 4𝜋 3 ) − 1 3cos 3(𝜃 − 4𝜋 3) + 1 5cos 5(𝜃 − 4𝜋 3) − 1 7cos 7(𝜃 − 4𝜋 3 ) + ⋯ ] Al alimentar las bobinas con un sistema trifásico de corrientes se vio que el fundamental produce un campo giratorio de amplitud 𝜀𝑚𝑎𝑥𝑟 =32.𝜋4𝑛2′(√2𝐼); a continuación se estudiará
Armónico 3. 𝜀3𝑟 = −1 3. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [cos 3𝜃. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) + cos 3 (𝜃 − 2𝜋 3) . 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2𝜋 3) + cos 3 (𝜃 −4𝜋3 ) . 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋 3 )] = −1 3. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [cos 3𝜃. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) + cos(3𝜃 −2𝜋). 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2𝜋 3) + cos(3𝜃 −4𝜋) . 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋 3 )] = −1 3. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼. cos 3𝜃 . [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) +𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2𝜋 3 ) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋 3 )] = 0
La f.m.m. resultante debida a los terceros armónicos espaciales es nula. Armónico 5. 𝜀5𝑟 =1 5. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [cos 5𝜃. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) + cos 5 (𝜃 − 2𝜋 3 ) . 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2𝜋 3 ) + cos 5 (𝜃 −4𝜋3) . 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋 3 )] =1 5. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 5𝜃)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 5𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 5𝜃 − 6.2𝜋3)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 5𝜃 + 42𝜋3 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 5𝜃 − 6.4𝜋3)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 5𝜃 + 4.4𝜋3 )]
Sumando por columnas, la segunda columna da cero mientras que la primera da 3. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 5𝜃); entonces: 𝜀5𝑟 = 1 5. 3 2. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼.𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 5𝜃)
El quinto armónico produce una f.m.m. de entrehierro que gira en sentido opuesto al que gira la f.m.m. producida por el primer armónico, su velocidad es 1/5 de la del primer armónico y su amplitud también.
Armónico 7. 𝜀7𝑟 =1 7. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [cos 7𝜃. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) + cos 7 (𝜃 − 2𝜋 3 ) . 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 − 2𝜋 3 ) + cos 7 (𝜃 −4𝜋3) . 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑 −4𝜋 3 )] =1 7. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 7𝜃)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 7𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 7𝜃 − 8.2𝜋3)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 7𝜃 + 62𝜋3 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 7𝜃 − 8.4𝜋3)+ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 7𝜃 + 6.4𝜋3 )]
Sumando por columnas, la primera columna da cero mientras que la segunda da 3. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 7𝜃); entonces: 𝜀7𝑟 =1 7. 3 2. 4 𝜋𝑛2′√2𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 7𝜃)
Se concluye que el séptimo armónico produce una f.m.m. que gira en el mismo sentido que la f.m.m. producida por el primer armónico, su velocidad es 1/7 de la f.m.m. producida por el primer armónico y su amplitud también.
Conclusiones.
Las terceras armónicas espaciales no producen f.m.m resultante por lo cual no van a producir par.
Las 5 armónicas espaciales producen un campo inverso. Las 7 armónicas espaciales producen un campo directo.
Es importante reducir el efecto de las armónicas 5 y 7 ; fundamentalmente la que produce campo inverso.
Generalizando esto: las armónicas 3̇ no producen campo magnético resultante. De igual forma la armónica 11 produce campo inverso y el 13 directo.
10. Espira diametral en el rotor.
La f.m.m producida por esta bobina es: 𝜀(𝜃, 𝛼) =4
𝜋. 𝑁. 𝑖(𝑡). cos (𝜃 − 𝛼) Observar que ahora el máximo se da en: 𝜃 = 𝛼
Si ahora 𝛼(𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝛼𝑜
Entonces se tiene un campo giratorio: 𝜀(𝜃, 𝑡) =4
𝜋. 𝑁. 𝑖. cos (𝜃 −𝜔𝑡 + 𝛼𝑜) Además 𝑖(𝑡) = 𝑖 = 𝑐𝑡𝑒
Esta es otra forma de obtener un campo giratorio.
Siempre está implícito el no considerar los armónicos de mayor orden a 1. 𝛼
𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜
𝜃 = 0 2𝑛𝑖
11. Campo Giratorio Elíptico.
Supongamos que se tiene un sistema de corrientes desequilibrados por lo cual puede tener componentes d, i y h: { 𝑖𝑎(𝑡) = √2𝐼𝑑𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑𝑑) + √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑𝑖) + √2𝐼ℎ𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑ℎ) 𝑖𝑏(𝑡) = √2𝐼𝑑𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑𝑑− 2𝜋 3 ) + √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑𝑖+ 2𝜋 3 ) + √2𝐼ℎ𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑ℎ) 𝑖𝑐(𝑡) = √2𝐼𝑑𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑𝑑 − 4𝜋 3) + √2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑𝑖 + 4𝜋 3) + √2𝐼ℎ𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑ℎ) F.m.m. resultante: 𝜀 = 𝜀𝑎+ 𝜀𝑏+ 𝜀𝑐
Puedo descomponerlo como: 𝜀 = 𝜀𝑑+ 𝜀𝑖 + 𝜀ℎ Tenía que 𝜀ℎ = 0. {𝜀𝑑 = 4 𝜋𝑛′√2𝐼𝑑𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜃 − 𝜑𝑑), (√2𝐼𝑑 = 𝐼𝑑𝑀Á𝑋) 𝜀𝑖 = 4 𝜋𝑛′√2𝐼𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃 − 𝜑𝑖), (√2𝐼𝑖 = 𝐼𝑖𝑀Á𝑋) 𝜀(𝜃, 𝑡) = 𝜀𝑑(𝜃, 𝑡) + 𝜀𝑖(𝜃, 𝑡)
Supongo 𝐼𝑑 > 𝐼𝑖, consideremos el lugar geométrico que describe el siguiente punto del
entrehierro: 𝜃 = 0.
𝜀𝑑 describe una circunferencia que gira en un sentido y 𝜀𝑖 describe otra circunferencia que gira en sentido opuesto al de la primera.
El radio de la circunferencia descripto por 𝜀𝑖 es menor.
El efecto de superponer ambos lugares geométricos da una elipse. O sea el campo resultante describe una elipse cuando el sistema esta desequilibrado.
Esto introduce vibraciones generalmente perjudiciales.
12. Bobinado monofásico.
Un bobinado monofásico genera una F.m.m. de la siguiente forma: 𝜀(𝜃) = 𝜀𝑀Á𝑋. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 4 𝜋 𝑛2′𝑖𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜃) Si la corriente es: 𝑖𝑎 = √2𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑) Se tiene: 𝜀(𝜃, 𝑡) =4 𝜋𝑛2′√2𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑)
Se tiene 𝑐𝑜𝑠(𝜃)por un factor que varía con 𝑡. No es un campo giratorio. No hay desplazamiento en el espacio. Si se descompone: 𝜀(𝜃, 𝑡) = 4 𝜋𝑛2′√2𝐼 1 2[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃)] 𝜀𝑖 = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝜃) 𝜀𝑑 = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑 − 𝜃)
Se puede interpretar como la superposición de dos campos giratorios, uno directo y uno inverso, de igual velocidad, frecuencia y amplitud.
Ejemplo: Máquinas monofásicas de inducción:
El estator generará un 𝜀𝑑 y 𝜀𝑖, se alimenta de la red monofásica. Deberé tener entonces un rotor polifásico (si no, no gira), por ejemplo de jaula. Se “engancha” con 𝜀𝑑
El rotor polifásico crea un campo polifásico propio del rotor, directo. Pero:
Hay un 𝜀𝑖 superpuesto del estator, que molesta.
La velocidad de rotación media es la misma que en campo “circular”, pero con pulsaciones “superpuestas”.
