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TEMA 11: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar formalmente el concepto de azar. 11.1 EXPERIMENTOS ALEATORIOS. EL ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS
Un experimento aleatorio es aquél que, aunque se repita bajo las mismas condiciones, puede producir resultados distintos. Por ejemplo, son experimentos aleatorios:
-El lanzamiento de un dado. -El lanzamiento de una moneda.
-La extracción de cartas de una baraja. -La extracción de una bola de una urna.
-La generación de nos al azar por un ordenador. …
El espacio muestral. Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota por . Por ejemplo,
Sucesos. Se denominan sucesos a los distintos subconjuntos del espacio muestral. Cada suceso representa una cuestión que nos podemos plantear acerca de los resultados de un experimento aleatorio. Se suelen representar por letras mayúsculas A, B, C,…
•Ejemplo: Veamos varios ejemplos:
a) Al lanzar una moneda y observar el resultado, el espacio muestral es: . b) Al lanzar un dado, el espacio muestral es .
c) Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es , pues se debe especificar el resultado de cada una de las dos monedas. De la misma manera, si lanzamos tres monedas
el espacio muestral es: .
.
•Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado.
El espacio muestral es . Algunos sucesos son:
-salir un 6 →
-salir un número par → . -salir un número →
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Tipos de sucesos. Veamos el nombre de algunos sucesos especiales:
-Se denomina suceso elemental a aquél que está formado por un único elemento.
-Se denomina suceso seguro a aquél que ocurre siempre. Es igual al espacio muestral, . -Se denomina suceso imposible a aquél que no ocurre nunca. Se denota por .
Sucesos contrarios. Consideremos un suceso A. El suceso contrario de A es el suceso formado por todos los elementos del espacio muestral que no están en A. Se escribe A.
Unión e intersección de sucesos
-La unión de dos sucesos A y B es el suceso formado por los elementos que están en alguno de los dos sucesos. Se escribe AB
-La intersección de dos sucesos A y B es el suceso formado por los elementos que están en ambos sucesos a la vez. Se escribe AB.
•Ejemplo: En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, tenemos: -Los sucesos elementales son:
salir un 1 → . salir un 2 → . salir un 3 → . salir un 4 → . salir un 5 → . salir un 6 → . -El suceso seguro es:
salir un número entre el uno y el seis → . -El suceso imposible es:
salir un número mayor que seis → .
Otros sucesos no elementales serían, por ejemplo, salir un número par: , salir un número impar: , salir un número múltiplo de tres: , …
•Ejemplo: Al lanzar un dado, el espacio muestral es . Escribir los sucesos contrarios de los siguientes sucesos:
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Nota: Podemos pensar en la unión y en la intersección en términos de “ocurrencia de suce-sos”. Es decir, dados dos sucesos A y B:
-El suceso AB ocurre cuando ocurre al menos uno de los dos sucesos. -El suceso AB ocurre cuando ocurren simultáneamente los dos sucesos.
Incompatibilidad de sucesos. Dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez. Es decir, si no tienen elementos comunes:
A y B son incompatibles AB= Gráficamente:
Propiedades de las operaciones con sucesos. Veamos algunas propiedades de las operaciones con sucesos:
1) La unión de un suceso y su contrario es igual al espacio muestral: AA=. 2) La intersección de un suceso y su contrario es igual al suceso imposible: AA=.
3) (Leyes de De Morgan) El contrario de la unión de dos sucesos es igual a la intersección de los contrarios, y el contrario de la intersección es igual a la unión de los contrarios:
3.1) AB=AB. 3.2) AB=AB.
Podemos tratar de visualizar gráficamente las leyes de De Morgan con el siguiente diagrama: •Ejemplo: En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Al extraer una bola al azar, el espacio muestral es . Consideremos los sucesos A: salir un número impar y B: salir un número mayor que 6.
y La unión y la intersección son, respectivamente:
•Ejemplo: Al extraer una carta al azar de una baraja española, se consideran los sucesos: A: sacar un oro. B: sacar un rey. C: sacar una espada.
Los sucesos A y B son compatibles, pues . Los sucesos A y C son incompatibles, pues .
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11.2 LA PROBABILIDAD DE UN SUCESOLa probabilidad de un suceso A es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la facilidad con la que ocurre dicho suceso (en el anexo puede verse una explicación más detallada). La probabilidad del suceso A se denota por P(A). Veamos cómo se calcula:
La regla de Laplace: Si en un experimento aleatorio todos los resultados posibles son igualmente probables, la probabilidad del suceso A es:
( )
= = de elementos de n A de elementos de n posibles resultados favorables resultados A P º º Veamos ejemplos:•Ejemplo: Al lanzar un dado, el espacio muestral es:
(Hay 6 resultados posibles). Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: A: salir un 5.
B: salir un número impar.
C: salir un número mayor que 1.
D: salir un número mayor que 6.
E: salir un número entre 1 y 6.
•Ejemplo: Al lanzar una moneda, el espacio muestral es . Por tanto, si la moneda no está trucada, la probabilidad tanto de que salga cara como de que salga cruz es .
•Ejemplo: Se lanzan dos monedas. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: A: Sacar dos caras.
B: Sacar al menos una cara. C: Sacar una cara y una cruz.
El espacio muestral es . Calculamos las probabilidades de A y B. .
.
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Probabilidad del suceso contrario: La probabilidad del suceso contrario a A es:
( )
A P( )
A P =1−Veamos por último una forma de interpretar qué es la probabilidad de un suceso:
Interpretación frecuentista de la probabilidad: Si repetimos un experimento aleatorio sucesivas veces, la probabilidad de un suceso A será el número al que se va aproximando la proporción de las ocasiones en las que ocurre A.
•Ejemplo: En una urna hay 4 bolas rojas, 1 bola blanca y 3 bolas negras. Calcula la probabilidad de que la bola sea roja, de que la bola sea blanca y de que la bola no sea negra. El espacio muestral es . Calculamos las probabilidades:
A: la bola es roja.
B: la bola es blanca.
C: la bola no es negra.
•Ejemplo: Al extraer una carta de una baraja española, el espacio muestral está formado por las 40 cartas. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
A: extraer un rey. B: extraer una copa.
C: extraer una carta que no sea una copa. Se tiene:
•Ejemplo: Al extraer una carta de una baraja española, calcula la probabilidad de que “A: la carta sea un as” y “ : la carta no sea un as”:
y
•Ejemplo: Un tahúr ha fabricado una moneda trucada. Para calcular la probabilidad de que salga cara la ha lanzado 3000 veces, de las cuales 1806 han sido cara. Así, podemos afirmar que:
Es decir, la probabilidad de que salga cara será aproximadamente del 60%, y la probabilidad de que salga cruz será aproximadamente del 40%.
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11.3 PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS SUCESOS La probabilidad de la unión de los sucesos A y B es igual a:
(
A B)
P( )
A P( )
B P(
A B)
P = + −
Donde restamos P
(
AB)
porque el suceso AB se está contando dos veces.Nota (probabilidad de la unión sucesos incompatibles): Si los sucesos son incompatibles se tiene que P
(
AB)
=P( )
=0, por lo que la probabilidad de la unión es simplemente:(
A B)
P( )
A P( )
BP = + .
•Ejemplo: Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio de los que se sabe que:
Calcula la probabilidad de que suceda .
•Ejemplo: Se extrae al azar una carta de una baraja española. Sean los sucesos: A: la carta es un rey.
B: la carta es una espada.
Calcula , , y :
a) .
b) .
c) (pues sólo contiene al rey de espadas). d)
También podíamos haber obtenido el último resultado directamente: como está formado por 13 cartas, se tiene que .
•Ejemplo: De los alumnos de 2º de Bachillerato de ciencias de un instituto, el 60% cursa Física y el 20% cursa Dibujo Técnico. Se observa además que el 15% de los alumnos cursa a la vez Física y Dibujo Técnico. Elegimos un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que curse alguna de las asignaturas Física o Dibujo Técnico?
Sean los sucesos:
A: El alumno está matriculado en Física. → B: El alumno está matriculado en Dibujo Técnico. → Sabemos además que P(AB) = 0,15. Calculemos :
. Es decir, un 65% de los alumnos cursa al menos una de las dos asignaturas.
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Tablas de contingencia. Las tablas de contingencia son tablas de doble entrada que nos permiten estudiar la relación entre las uniones e intersecciones de dos sucesos y sus contrarios.
•Ejemplo: En una urna hay bolas de diferentes colores. En particular, se sabe que el 20% de las bolas son blancas, el 45% son negras, el 25% son azules y el 10% son rojas. Se extrae una bola al azar y se mira su color. Considera los sucesos:
B: la bola es blanca, . N: la bola es negra, . A: la bola es azul, . R: la bola es roja, . Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) La bola es blanca o negra, :
b) La bola es azul o roja, :
c) La bola es blanca, negra o roja, :
(observamos que el este último suceso es no ser azul, ).
•Ejemplo: Un periódico deportivo ha encuestado a 160 chicos de quince años acerca de sus preferencias deportivas: a 84 les gusta el fútbol y el baloncesto, a 35 les gusta el fútbol pero no el baloncesto, a 12 les gusta el baloncesto pero no el fútbol, y al resto no les gusta ninguno de los dos deportes.
Sean:
: al alumno le gusta el fútbol. : al alumno no le gusta el fútbol. : al alumno le gusta el baloncesto. : al alumno no le gusta el baloncesto. Construyamos una tabla de contingencia:
F
B 84 12 96
35 29 64
119 41 160
Calculemos las probabilidades de que eligiendo un alumno al azar se cumplan los siguientes sucesos:
a) le guste el baloncesto: b) le guste el fútbol y el baloncesto: c) Le guste el baloncesto pero no el fútbol: d) Le guste alguno de los dos deportes:
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11.4 PROBABILIDAD CONDICIONADASean A y B dos sucesos, con P
( )
A 0. Se denomina probabilidad de B condicionada a A a la probabilidad de que ocurra B suponiendo que ha ocurrido A. Se denota por P(
B/A)
.Fórmula de la probabilidad condicionada: En general, la probabilidad de B condicionada a A satisface la siguiente relación:
𝑃(𝐵/𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴)
Es decir, 𝑃(𝐵/𝐴) es igual a la probabilidad de 𝐴 ∩ 𝐵 relativa a la ocurrencia de 𝐴.
Independencia de sucesos. Se dice que el suceso B es independiente del suceso A si la ocurrencia de B no se ve condicionada por la de A, es decir, si P
(
B/A)
= P( )
B . Es fácil demostrar la siguiente equivalencia:B es independiente de A P
(
AB)
= P( )
A ·P( )
BCon ello se comprueba que si B es independiente de A, entonces también A es independiente de B, de manera que se puede hablar simplemente de que A y B son independientes.
•Ejemplo: Se extraen consecutivamente y sin reposición dos cartas de una baraja española. Si suponemos que la primera carta es un as, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea un as?
•Ejemplo: Recordemos de un ejemplo anterior que la siguiente tabla recoge los gustos deportivos de un grupo de alumnos de 15 años:
F
B 84 12 96
35 29 64
119 41 160
(F: al alumno le gusta el fútbol, B: al alumno le gusta el baloncesto)
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) a un alumno le guste el baloncesto suponiendo que le gusta el fútbol:
b) a un alumno le guste el baloncesto suponiendo que no le gusta el fútbol:
Nota: observemos que no hemos necesitado utilizar la fórmula de la probabilidad
condicionada, aunque también podríamos haberlo hecho con ella.
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11.5 EXPERIMENTOS COMPUESTOS. DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Se denomina experimento compuesto a un experimento aleatorio que está formado por dos o más experimentos aleatorios más sencillos. Por ejemplo:
-Extraer dos cartas de una baraja. -Extraer dos bolas de una urna. -Lanzar una moneda y luego un dado. …
El resultado de un experimento compuesto se puede expresar siempre como intersección de sucesos, AB. A su vez, para calcular P
(
AB)
despejamos en la fórmula de la probabilidad condicionada:(
)
(
( )
)
P(
A B) ( ) (
P A P B A)
A P B A P A B P / = = /•Ejemplo: Se extraen consecutivamente y sin reposición dos cartas de una baraja española. Calcular la probabilidad de que las dos cartas sean ases.
Consideremos los siguientes sucesos:
A1: La 1ª carta es un as,
A2: La 2ª carta es un as,
Queremos calcular . Aplicando la fórmula anterior:
El ejemplo se visualiza mejor con un diagrama de árbol:
Donde deben multiplicarse las probabilidades del “itinerario” que hemos seguido.
•Ejemplo: Se reparten tres cartas de una baraja española. Calcular la probabilidad de obtener tres reyes.
Consideremos los sucesos:
R1: La 1ª carta es un rey. R2: La 2ª carta es un rey. R3: La 3ª carta es un rey.
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[…]Queremos calcular . Construyamos un diagrama de árbol:
Se tiene entonces:
•Ejemplo: Una urna contiene 7 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen consecutivamente y sin reposición dos bolas:
Se pide:
a) Probabilidad de que las dos sean blancas:
b) Probabilidad de que las dos sean negras.
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11.6 EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y LA REGLA DE BAYES Veamos por último dos importantes resultados. Antes vamos a introducir un nuevo concepto.
Particiones. Una partición del espacio muestral es un conjunto de sucesos A1,A2,...,An tales que:
-Son incompatibles dos a dos.
-Su unión es todo el espacio muestral, . Es decir: n A A A = 1 2 ...
De esta manera, si A1,A2,...,An es una partición, cualquier otro suceso B puede expresarse en la forma:
(
A B) (
A B)
(
A B)
B= 1 2 ... n
Veamos ya el primero de los teoremas:
Teorema de la probabilidad total: Dada una partición A1,A2,...,An del espacio muestral , para cualquier otro suceso B se cumple:
( ) ( ) (
B P A P B A)
P( ) (
A P B A)
P( ) (
An P B An)
P = 1 / 1 + 2 / 2 +...+ /
Demostración: Como los sucesos A1B, A2 B, …, An B son incompatibles y su unión es B, se cumple que P
( )
B =P(
BA1)
+P(
BA2)
+...+P(
BAn)
. Si ahora aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada a cada sumando obtenemos la expresión buscada. •Ejemplo: En una urna hay tres dados con sus caras pintadas de blanco o negro. El primero tiene tres caras blancas y tres negras, el segundo tiene dos caras blancas y cuatro negras, y el tercero tiene una cara blanca y cinco negras. Calcula la probabilidad de que al extraer un dado al azar y lanzarlo al aire se obtenga una cara blanca.
Consideremos los sucesos siguientes:
: extraer el 1er dado . B: obtener una cara blanca.
: extraer el 2º dado. : extraer el 3er dado.
Queremos calcular .
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El caso más simple de partición es la formada por dos sucesos contrarios A y A:
Veamos para acabar la regla de Bayes, que permite calcular la probabilidad de A/B a partir de la de B/A.
Regla de Bayes: Dados dos sucesos A y B con probabilidad no nula, se cumple que:
(
)
( ) (
( )
)
B P A B P A P B A P / = / Demostración:(
)
(
( )
)
( ) (
( )
)
B P A B P A P B P B A P B A P / = = / , pues P(
AB)
=P( ) (
A P B/A)
Nota: Es posible que no se conozca explícitamente la probabilidad de B, sino ésta condicionada a todas sus posibles “causas” A1,A2,...,An (que forman una partición del espacio muestral). En tal caso la regla de Bayes se escribe como:
(
)
( ) (
) ( ) (
( ) (
)
)
( ) (
)
n n i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P / ... / / / / 2 2 1 1 + + + = ,•Ejemplo: Según la agencia estatal de meteorología, AEMET, la probabilidad de que llueva el día de Navidad es 0,35. Se sabe también que, en general, la probabilidad de que haya atascos en un día de lluvia es de 0,8; y en un día sin lluvia, de 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que haya atascos el día de Navidad?
Sean los sucesos:
A: llueva el día de Navidad. y . B: haya atascos en Navidad. y . Queremos calcular . Por el teorema de la probabilidad total:
•Ejemplo: El 12% de una población animal está afectada por un virus. Se sabe además que el 75% de los animales afectados por el virus presenta ciertos síntomas, pero que, en general, el 15% de la toda la población puede mostrar esos mismos síntomas (ya sea debido al virus o a cualquier otra causa). ¿Cuál es la probabilidad de que un animal que presenta los síntomas esté afectado por el virus?
Consideremos los siguientes sucesos:
A: estar afectado por el virus. . B: presentar los síntomas. .
Sabemos que y queremos calcular . Por el teorema de Bayes:
Es decir, sólo el 60% de los animales que muestran los síntomas están realmente afectados por el virus (un resultado como este puede ser útil, por ejemplo, a la hora de decidir administrar una vacuna).
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•Ejemplo: Una pequeña fábrica de cerveza tiene tres máquinas para embotellar, A, B y C, de manera que la máquina A envasa el 40% de las botellas, la máquina B el 35% de las botellas, y la máquina C el 25% de las botellas. Se ha comprobado además que la máquina A no llena del todo la botella en un 2% de los casos, la máquina B en un 4% de los casos y la máquina C en un 1% de los casos. Se pide:
a) Probabilidad de que una botella elegida al azar no esté llena del todo. Sean los sucesos:
A: La botella procede de la máquina A. . B: La botella procede de la máquina B. . C: La botella procede de la máquina C. . D: La botella no está llena del todo.
Queremos calcular , y conocemos:
Utilizamos el teorema de la probabilidad total:
.
b) Si tenemos una botella que no está llena del todo, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A?
Queremos conocer . Usamos la regla de Bayes.
•Ejemplo: Entre los alumnos matriculados en el primer curso de una carrera universitaria hay 2/5 de chicas y 3/5 de chicos. Al final del curso se comprueba que han aprobado todo un 70% de chicas y un 65% de chicos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya aprobado todo? Sean los sucesos:
C: Chica: . : Chico: . T: Aprueba todo. Queremos calcular , y conocemos y . Utilizamos el teorema de la probabilidad total:
.
b) Se elige un estudiante al azar entre los que no han aprobado todo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica?
Queremos conocer . Usamos la regla de Bayes teniendo en cuenta además que se
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ANEXO: LOS AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD
Para desarrollar con absoluto rigor la teoría de la probabilidad se debe proceder de una manera axiomática, partiendo de unos pocos principios básicos (los axiomas de la teoría) y demostrando el resto de propiedades a partir de ellos.
Los axiomas de la probabilidad: Dado un espacio muestral , una asignación de probabilidades P es una regla para asignar a cada suceso A un número, su probabilidad,
( )
→ P AA ℝ
de manera que se satisfagan los siguientes axiomas.
i) La probabilidad de cualquier suceso A es mayor o igual que cero, P
( )
A 0. ii) La probabilidad del suceso seguro es 1. Es decir, P( )
=1.iii) La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles dos a dos es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos. Es decir:
,... ,
, 2 3
1 A A
A incompatibles P
(
A1A2 A3...) ( )
=P A1 +P( )
A2 +P( )
A3 +...A partir de estos tres axiomas se demuestran el resto de propiedades. Veamos algunas de ellas.
Algunas consecuencias. La probabilidad satisface las siguientes propiedades: 1. Para cualquier suceso A se cumple que P
( )
A =1−P( )
A .2. P
( )
=0.3. SiAB, entonces P
( )
A P(B)4. (principio de inclusión-exclusión) Dados dos sucesos cualesquiera A y B, se cumple que
(
A B)
P( )
A P( ) (
B P A B)
P = + − .
Demostración: 1. Como AA=, con A y A incompatibles, por el axioma iii) se tiene que
(
A A)
=P( )
A +P( )
A =P( )
P . Pero, por ii) tenemos que la probabilidad de es 1. Así:
( )
A P( )
A P( )
A P( )
AP + =1 =1−
2. Como =, por el apartado anterior se cumple que P
( )
=1−P( )
=1−1=0.3. El suceso B puede escribirse como B=A
(
AB)
, y los sucesos A y AB son claramente incompatibles. Por tanto:( )
B P(
A(
A B)
)
P( )
A P(
A B)
P( ) ( )
A PB P(
A B)
P = = + = −
Como P
(
AB)
0por el axioma i), P( )
A debe ser menor o igual que P(B).4. Dados dos sucesos A y B, se cumple que AB=
(
AB)
(
AB)
(
AB)
, con los sucesos de los paréntesis incompatibles dos a dos. Por tanto:(
A B) (
P A B)
P(
A B)
P(
A B)
P = + +
Por otro lado, es fácil ver que también se cumple que P
(
AB)
=P( ) (
B −P AB)
y que(
A B)
P( ) (
A P A B)
P = − . Así:(
AB)
=P(
AB)
+
P( )
A −P(
AB)
+
P( )
B −P(
AB)
= P( )
A P( )
B P(
A B)
P(
A B)
P + + − = . - 15 -
El espacio muestral. Sucesos
1. Extraemos sin mirar una bola de urna contiene sólo tres bolas: una blanca, una roja y una negra. Escribe el espacio muestral y todos los sucesos.
2. Un dado en forma de tetraedro regular sólo tiene cuatro caras, numeradas del 1 al 4. El espacio muestral es =
1,2,3,4
. Escribe todos los sucesos.3. Una urna contiene diez bolas numeradas: =
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
, se extrae una bola al azar y se consideran los sucesos:A: Sacar un múltiplo de 3. B: Sacar un número menor que 7.
Expresa a partir de sus elementos los sucesos A y B y escribe:
a) A. b) B. c) AB. d) AB. e) A. f) BB. 4. En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es ={1,2,3,4,5,6} se consideran los sucesos: } 6 , 5 , 2 { = A B={4,5,6} C={1,3,4,5} Expresa a partir de sus elementos los siguientes sucesos:
a) A b) B c) C d) AB e) AB f) AB g) AB h) AB i) AB j) (AB)C k) (AB)C l) A(BC) 5. Se extrae una carta de una baraja española. Indica si cada pareja de sucesos es compatible o incompatible:
a) Sacar un oro y sacar un 7. c) Sacar una figura y sacar un 2. b) Sacar un oro y sacar un basto. d) Sacar una figura y sacar una copa.
Probabilidad. La regla de Laplace
6. Un dado de quinielas es un dado cúbico normal, pero que tiene tres caras con un 1, dos caras con una X y una cara con 2. Escribe el espacio muestral y calcula la probabilidad de que salga un 1, de que salga una X y de que salga un 2.
7. Se ha fabricado una moneda trucada de manera que la probabilidad de obtener cara sea doble que la probabilidad de obtener cruz. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?, ¿y cruz?
8. A extraer una carta de una baraja española de 40 cartas calcula:
a) Probabilidad de que sea un caballo. c) Probabilidad de que sea una copa.
b) Probabilidad de que no sea un caballo. d) Prob. de que sea un oro, una copa o un basto. 9. En una urna hay bolas blancas y negras. Se sabe además que la probabilidad de extraer una bola blanca es P(B) = 0,24.
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola que no sea blanca?
b) Si nos dicen que en la urna hay 75 bolas blancas, ¿cuántas bolas negras debe haber? EJERCICIOS DEL TEMA 11
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Probabilidad de la unión de dos sucesos
10. Calcula P
(
AB)
en los siguientes casos:a) Sabiendo que P
( )
A =0,5, P( )
B =0,6 y que P(
AB)
=0,35.b) Sabiendo que P
( )
A =0,45, P( )
B =0,2 y que los sucesos A y B son incompatibles. 11. Calcula P(
AB)
sabiendo que P( )
A =0,15, P( )
B =0,6 y P(
AB)
=0,65.12. Sabiendo que P
( )
A =0,4, P( )
B =0,7 y que P(
AB)
=0,9. Calcula P(
AB)
. ¿Los sucesos A y B son incompatibles?13. En una clase de cuarto, hay un 25% de alumnos que juegan al tenis, y un 40% que juega al fútbol. Además, comprobamos que el 10% practica ambos deportes. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar:
a) Practique alguno de los dos deportes. b) No practique ninguno de los dos deportes.
Probabilidad condicionada
14. Extraemos una carta de una baraja española. Sean los sucesos: A: la carta es un rey.
B: la carta es una figura (sota, caballo, rey).
a) Calcula e interpreta P
( )
A y P(
A|B)
. b) ¿Son A y B independientes? 15. Calcula P B A(
|)
conociendo P( )
A =0,64 y P(
AB)
=0,16.16. Extraemos una carta de una baraja española. Sean los sucesos: A: la carta es un rey. B: la carta es un oro. C: la carta es as. a) Calcula P
( )
A , P(
A|B)
y P(
A|C)
. b) ¿Son A y B independientes? c) ¿Son A y C independientes?17. En una clase de ingeniería de primer año de carrera, un 60% de los alumnos ha aprobado matemáticas, un 55% han aprobado física y un 20% no ha aprobado ninguna de las dos. Elegimos a un alumno al azar. Completa una tabla de contingencia y responde:
a) ¿Cuál es la probabilidad de haya aprobado tanto matemáticas como física?
b) Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado física? c) ¿Son independientes los sucesos aprobar matemáticas y aprobar física?
18. Se ha hecho una encuesta a un grupo de 120 personas preguntando si les gusta leer y ver la televisión, y los resultados han sido que a 32 personas les gusta leer y ver la tele, a 92 personas les gusta leer, y a 47 personas les gusta ver la tele.
Organiza los resultados en una tabla de contingencia y calcula:
a) Probabilidad de que a una persona elegida al azar que no le gusta ver la tele. b) Probabilidad de que a una persona elegida al azar le guste leer, pero no ver la tele.
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Diagramas de árbol
19. Extraemos sin reposición dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que ninguna sea un rey.
20. Extraemos sin reposición tres cartas de una baraja española:
a) Calcula la probabilidad de extraer tres figuras (recuerda que las figuras de una baraja son las sotas, los caballos y los reyes).
b) Calcula la probabilidad de extraer tres figuras distintas (es decir, una sota, un caballo y un rey, sin importar el orden).
21. Tenemos dos urnas A y B. En las urnas A hay 3 bolas blancas y 7 bolas rojas, y en las urnas B hay 6 bolas blancas y 2 bolas rojas. Sin mirar, sacamos una bola de A y la pasamos a B, y después extraemos una bola de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
22. Una urna contiene 8 bolas blancas, 3 bolas rojas y 9 bolas negras. Se extraen consecutivamente y sin reposición dos bolas de la urna. Se pide:
a) Probabilidad de extraer una bola roja y negra, sin importar el orden. b) Probabilidad de extraer al menos una bola blanca.
Teorema de la probabilidad total y regla de Bayes
23. Tengo dos monedas en el bolsillo: una está trucada de manera que la probabilidad de que salga cara es de 2/3 y la de que salga cruz es de 1/3, y la otra no está trucada, de manera que la probabilidad de que salga cara y la probabilidad de que salga cruz son ambas iguales a 1/2. Las monedas son prácticamente indistinguibles a la vista y al tacto. Si saco al azar una moneda del bolsillo y la lanzo, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?, ¿y de que salga cruz?
24. En cierta localidad se prevé que durante el próximo mes de abril se prevé que haya 15 días de lluvia, 5 días con niebla y que el resto de días esté despejado. Se sabe además que la probabilidad de que haya accidentes de coche en un día de lluvia es 0,01, en un día de niebla es 0,005 y en un día despejado es 0,002. ¿Cuál es la probabilidad de que haya accidentes de coche en el próximo mes de abril?
25. (EvAU, junio de 2016-2017, uclm) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:
a) El libro elegido sea de matemáticas.
b) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.
26. (EvAU, septiembre de 2016-2017, uclm) En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electrónicos en placas de circuito impreso. El 25% de los componentes son soldados por el robot A, el 20% por el B y el 55% por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga un defecto de soldadura es de 0,03 si ha sido soldado por el robot A, 0,04 por el robot B y 0,02 por el robot C:
a) Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura.
b) Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C.
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27. (EvAU, septiembre de 2016-2017, uclm) De una urna contiene tres bolas blancas dos bolas rojas extraemos, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcula razonadamente la probabilidad de:
a) Que la segunda bola extraída sea blanca.
b) Si la segunda bola extraída ha sido blanca, que la primera fuera roja.
28. (EvAU, julio de 2017-2018, uclm) En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A suministra el 20%, B el 10% y C el resto. De las lámparas de A salen defectuosas el 5%, de las de B el 4% y de las de C el 2%. Elegida una lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad de que:
a) No salgan defectuosas.
b) Si resultó ser defectuosa, que fuera suministrada por B.
Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU
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30. (EvAU. Junio. 2018-2019. uclm. apartado a). Una alarma de seguridad tiene instalados dos sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer sensor es de 0,98 y de que se active el segundo es de 0,96. Calcula razonadamente la probabilidad de que ante una emergencia:
a1) Se active al menos uno de los dos sensores. a2) Se active solo uno de los sensores.
31. (EvAU. Julio. 2018-2019. uclm. apartado a). Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio cuyas probabilidades son P A
( )
=0, 75 y P B( )
=0,35. Calcula razonadamente las probabilidades que deben asignarse a los sucesos P A(
B)
y P A(
B)
en cada uno de los siguientes casos:a1) Si A y B fuesen independientes. a2) Si P A B
(
|)
=0,6.32. (EvAU. Junio. 2017-2018. uclm. apartado a). Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 500 condensadores diarios, con un 3% defectuosos, la máquina B produce 700 con un 4% de defectuosos y la C produce 800 con un 2% de defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar.
a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuoso.
a2) Si es defectuosos, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A.
33. (EvAU. Julio. 2017-2018. uclm. apartado a). En una clase el 80% aprueba la asignatura de Biología, el 70% aprueba la asignatura de Matemáticas y el 60% aprueba Biología y Matemáticas. a1) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe alguna de las asignaturas?
a2) Si se elige un estudiante y ha aprobado Biología, ¿cuál es la probabilidad de que también haya aprobado Matemáticas?
