Unidad 16 Probabilidad

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Unidad 16 – Probabilidad

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SOLUCIONES 1. El azar no tiene memoria. Por cualquiera de las dos, cara o cruz.

2. La probabilidad queda: 2 2 4 1 1 3 (2 hembras) · · 2 2 2 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ P =_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. El resultado más probable es 2 caras y 2 cruces, se presentará 6 veces de cada 16 por término medio.

4. Recopilamos la información en la siguiente tabla: Inglés Francés Total

Chicos 27 4 31 Chicas 63 6 69 Total 90 10 100 69 P(Chica) 0,69 100 = =

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SOLUCIONES 1. La suma queda: _{1 3 5 7 ... 2} ₁ 1 (2 1)_· 2 2 n n + − n + + + + + − = =n 2. La solución queda:

1.er piso: se necesitan 2 naipes. 2.º piso: se necesitan 5 naipes. 3.er piso: se necesitan 8 naipes. 4.º piso: se necesitan 11 naipes.

Luego en el enésimo piso habrá (3n−1) naipes. Una torre con n pisos tendrá: (3 1)·

2

n+ n

naipes. Una torre con 15 pisos tendrá: (3·15 1)·15 345

2

+ ₌

naipes. Veamos cuántos pisos tendrá un castillo de 3 775 naipes:

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3. Imaginamos que la rueda del padre tarda 6 segundos en dar una vuelta y la del hijo 6 segundos en dar vuelta y media.

En la situación de partida vuelven a estar al cabo de 12’’, pero en ningún momento coincidirán las marcas azules sobre el suelo.

4. El cuadrado de cualquier número entero termina en 0, 1, 4, 5, 6, 9. Si el número entero es par, su cuadrado es múltiplo de 4.

Así, 2

14 =196=4.

i

Si el número entero es impar, su cuadrado es múltiplo de 4 1+ . Así, 132=169= +4 1.

i

Ahora bien, si el número al cuadrado termina en 111, 555, 666 ó 999, éstos no son ni múltiplos de 4 ni múltiplos de 4 1+ , luego no pueden ser.

Veamos, pues, los que terminan en 000 ó 444.

Efectivamente: 1444 38= 2, luego también se verifica si no son cero las cifras. 5. La demostración queda:

[

]

2

(2 )! 2 ·(2 1)·(2 2)·...·3·2·1

Veamos si es cierta la igualdad anterior transformada en otra : 2 ·(2 1)·(2 2)·...·3·2·1 1·3· 5·...· (2 1) · 2 1 2 2 ·(2 2)·...·6· 4·2 2 1 1·3· 5·...· (2 1) (2 1)·...5· n n n n n n n n n n n n n n n = − − − − > − + ⇒ − ⇒ > + ⇒ − − 3·1 2 1

Esto es lo que vamos a demostrar por el método de inducción : Para 1 2 2·1 1 2 3

2 ·(2 2)·...·6· 4·2

Supongamos que es cierto para : 2 1 (2 1)·...5·3·1

(2 2)·(2 )·(2 Veamos que es cierto para 1: ¿

n n n n n n n n n n n > + = ⇒ > + ⇒ > − _> ₊ − + − + 2 2)·...·6· 4·2 2 3 ? (I) (2 1)·(2 1)·...5·3·1 (2 2)·(2 )·(2 2)·...·6· 4·2 (2 2) (2 )·(2 2)·...·6· 4·2 (2 2) · 2 (2 1)·(2 1)·...5·3·1 (2 1) (2 1)·...5·3·1 (2 1) Elevando al cuadrado : (2 2) (2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n > + + − + − + − + = > + − + − + + + _{) (2} _{1) (2} _{1) (2}2 ₃₎ 16 4 14 3 2 1 0

Esto siempre es cierto, pues es cierta la desigualdad (I) es cierto el enunciado.

n n n n n n n > + > + + ⇒ ⇒ + > + ⇒ + > ∈ ⇒ ⇒ 1 2 3 + > +

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SOLUCIONES 1. El espacio muestral tiene ₂3₌₈ elementos:

{

}

( )( )( )( )( )( )( )( ) E= ccc ccx cxc xcc cxx xxc xcx xxx . 2. Quedan:

{

}

{ }

{

}

{

}

a) sacar oros b)

c) sacar oros o rey d) rey de oros A C A B C A B B A ∩ = ∩ ∩ = ∅ ∪ = ∩ = 3. Quedan:

a) No es una probabilidad pues P( ) P( ) P( ) P( ) 77 1 60

A + B + C + D = ≠

b) Es una probabilidad pues P(A) P( ) P( ) P( )+ B + C + D =1 c) No es una probabilidad pues P( ) 1 0

3 B = − < 4. Quedan: 1 P( ) 1 P( ) P( ) 2 A = − B − C = b) Llamando P( ) P( ) 6 ; P( ) 2 ; P( ) P( ) P( ) 1 1 2 9 1 P( ) 9 3 C x A x B x A B C x x A = ⇒ = = + + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 5. La probabilidad es P(cruz) 1 4 = 6. Queda: 11 P(Al menos un seis)

36 3 1 P(Suma 10) 36 12 = = =

7. El espacio muestral tiene 16 elementos.

6 1

a) P(2 caras y 2 cruces) c) P(alguna cara)

16 16

5 5

b) P(como máximo una cruz) d) P(como mínimo 3 caras)

16 16 = = = = 5 8. Queda: 1 12 3 16 4

a) P(copas) b) P(figura) c) P(oros o sota)

4 52 13 52 13

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9. Queda: 5 4 10 a) P(2 negras) · 14 13 91 9 5 45 b) P(1 roja y 1 negra) · ·2 14 13 91 5 4 81 c) P(al menos 1 roja) 1 ·

14 13 91 = = = = = − = 10. Queda: 6 7 5 35 Con devolución : · · ·6 18 18 18 162 6 7 5 35 Sin devolución : · · ·6 18 17 16 136 = = 11. Queda: 6 5 3 6 8 4 5 34

a) P(2 de aluminio) · ; P(materiales distintos) · ·

10 13 13 10 13 10 13 65 1 4 3 1 8 7 16 b) P(2 monedas de cobre) · · · · 2 10 9 2 13 12 65 = = = + = = + =

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SOLUCIONES 12. Introducimos los datos en una tabla:

Mujeres Hombres Total

Gafas 62,5 600 662,5 No gafas 187,5 400 587,5 Total 250 1000 1250 13. Queda:

Alumnas Alumnos Total Ciencias 300 300 600 Letras 250 150 400 Total 550 450 1000 14. Queda:

(

₃

)

1

(

_par

)

2 a) P b) P

impar =₃ mayor que 3 =₃ 15. Queda:

Hombres Mujeres Total 40 años 60

≥ 70 130

< 40 años 40 30 70 Total 100 100 200

16. Queda:

Hombres Mujeres Total

Enfermo 12 11 23 No enfermo 188 89 277 100 300 Total 200

(

)

200 a) P(hombre) 0,67 300 23 b) P(enfermo) 0,77 300 12 hombre c) P 0,52 enfermo ₂₃ = = = = = =

(

)

1 a) P(mujer) 0,5 2 7 b) P( 40 años) 0,35 20 70 7 mujer c) P 40 años _{130 13} = = < = = = = ≥ 600 3 P(ciencias) 1000 5 = = 587,5 a) P(persona sin gafas) 0, 47

1250 600

b) P(mujer con gafas) 0, 48 1250

= =

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17. Sean A y B respectivamente la primera y la segunda prueba.

( )

a) P( ) P( ) P( ) P( ) 0,6 0,8 0,5 0,9 b) P(no pase ninguna) 1 P(pase al menos una) 1 0,9 0,1 c) No son independientes puesP( )·P( ) P( )

P( ) P( ) P( ) 0,3 d) P 0,75 1 P( ) 0, 4 P( ) A B A B A B A B A B A B B A B B A A A ∪ = + − ∩ = + − = = − = − = ≠ ∩ ∩ − ∩ = = = = − 18. Queda:

Diurno Nocturno Total Defectuosa 4 8 12 No defectuosa Total 200 100 300

(

)

(

)

12 a) P(defectuosa) 0,04 300 8 2 nocturno b) P _defectuosa 12 3 4 1 diurno c) P defectuosa ₁₂ ₃ = = = = = = 19. Queda: 2 1 1 1 2 ₂ ₂ 1 1 1 1 2 4 P( )·P · ₄ 4 6 P 2 4 2 3 7 P( )·P P( )·P · · 4 6 4 6 B B B B B _B _B B _B R _R ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ _{⎞ =} ₌ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞₊ ⎛ ⎞ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

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SOLUCIONES 20. Queda:

(

)

50 1 a) P(defectuoso y por A) · 0,25 100 2 50 1 25 1 25 1 17 b) P(defectuoso) · · · 100 2 100 4 100 6 48 25 5 · 10 100 6 C c) P _{no defectuoso} 25 5_· 50 1_· 25 3_· 31 100 6 100 2 100 4 = = = + + = = = + +

21. Las configuraciones de las urnas son:

1a urna: Dos bolas blancas con probabilidad de salir dos caras.

2a urna: Una bola blanca y otra negra con probabilidad de salir cara y cruz. 3a urna: Dos bolas negras con probabilidad de salir dos cruces.

a 1 ·1 1 1 urna 4 P 0 blanca 1_·1 1 1_· 1_·0 2 4 2 2 4 ⎛ _{⎞ =} ₌ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ₊ ₊ = ,5 22. Queda:

Ingeniero Economista Otros Total Directivo 15 10 12 37 No directivo 5 10 48 63 Total 20 20 60 100

(

_ingeniero

)

15 P 0 directivo =₃₇= , 41 23. Queda: 1 0,20·0,5 5 N P pérdidas _{0,20·0,5 0,04·0,5} ₆ ⎛ _{⎞ =} ₌ ⎜ ⎟ ₊ ⎝ ⎠

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24. Queda: a 5 4 · 5 4 3 7 41 1 roja 8 9 20 a) P(2 roja) · · b) P 2 roja 5 4 3 7 8 9 8 9 72 _· _· 41 8 9 8 9 a a ⎛ ⎞ = + = _⎜ _⎟= = ⎝ ⎠ ₊ 25. Queda:

(

)

1 1 1 1 1 1 a) P(acierte llave) · · · 0,16 3 5 3 7 3 8 1 7 7 b) P( y no abra) · 0,29 3 8 24 1 1 · 56 3 5 A c) P _{llave abre} 0, 43 1 1 1 1 1 1 131 · · · 3 5 3 7 3 8 C = + + = = = = = = + + = 26. Queda:

(

_1º

)

_{100 100}45 · 5 225 P 0 fallo 45 _· 5 55 _· 8 665 100 100 100 100 = = + ,34 = 27. Queda:

( )

P( ) 0,2 2 a) P( ) 0, 4 0,3 0,2 0,5 c) P P( ) 0,3 3 b) P( ) P( ) 1 0,2 0,8 d) P( ) P( ) P( ) 0,3 0,2 0 A B A A B B _B A B A B A B B A B ∩ ∪ = + − = = = = ∪ = ∩ = − = ∩ = − ∩ = − = ,1 28. Queda: 1 3 3 1 7 a) P( ) P( ) P( ) P( ) c) P( ) P( ) 2 8 4 8 8 1 7 b) P( ) P( ) d) P( ) 4 8 A B A B A B A B A B A B A B A B ∩ = + − ∪ = + − = ∪ = ∩ = ∩ = ∪ = ∩ = 29. Queda:

y son compatibles pues P( ) 0 1 1 5 1

a) P( )

y son independientes pues P( ) P( )·P( ) 4 2 8 8 A B A B A B A B A B A B ∩ ≠ ⎧ ∩ = + − = _{⇒ ⎨} ∩ = ⎩