CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO

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CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL.

ELEMENTOS Y MAGNITUDES

DEL MOVIMIENTO

05

Estudiar el movimiento es importante: es el fenómeno más

corriente y fácil de observar en la Naturaleza. Todo el Uni-verso está en constante movimiento: los astros que se des-plazan por el cielo, un niño que juega, un pájaro que vuela, etc. Los conceptos de vida y movimiento van íntimamente unidos, hasta el punto que consideramos su capacidad para

moverse por sí mismos como una de las características más evidentes de los seres vivos. En esta Unidad estudiarás los elementos y las magnitudes que utiliza la Cinemática para determinar el movimiento de una partícula. Y los cono-cimientos adquiridos te permitirán analizar los movimien-tos más corrientes que tienen lugar en nuestro entorno.

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188

05

cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento

■

Para repasar…

Movimiento (4.°)

Movimiento es un cambio de posición respecto de un punto fijo que se toma como referencia.

Trayectoria (4.°)

Recibe el nombre de trayectoria el conjunto de las sucesivas posiciones que va tomando el móvil. Dependiendo de la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y curvilíneos.

• Velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido por el móvil y el tiempo empleado en recorrerlo.

• Velocidad instantánea es la velocidad que posee el móvil en un momento dado. La velocidad se mide en m/s (SI) y en km/h.

Aceleración (4.°)

• Aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad que ha experimen-tado un móvil y el intervalo de tiempo que ha empleado en dicha variación, a = vt – v0

t .

Se mide en m s–2_.

• Aceleración instantánea es la aceleración que tiene un móvil en un momento dado.

Movimiento rectilíneo y uniforme (4.°)

Un móvil tiene movimiento rectilíneo y uniforme cuando se desplaza en línea recta con velocidad constante. El espacio recorrido se obtiene con la ecuación e = v t.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (4.°)

Este movimiento tiene lugar cuando el móvil se desplaza en línea recta con acelera-ción constante. Sus ecuaciones son:

• vt = v0 + a t, para hallar la velocidad en cualquier instante.

• e = v0 t + 1/2 at2, para hallar el espacio recorrido.

Caída libre de cuerpos

Cuando un cuerpo se mueve bajo la acción de la gravedad se dice que tiene movimiento de caída libre. Es un caso particular del movimiento rectilíneo y uniformemente acele-rado (a = g = –9,8 m s-2_).

Movimiento circular (4.°)

Un móvil tiene movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. Si lo hace con velocidad constante, el movimiento recibe el nombre de circular uniforme. La velocidad angular es el ángulo recorrido en la unidad de tiempo. Se mide en vueltas o revoluciones por minuto, (rpm) y en radianes por segundo.

Radián es el ángulo en que el arco correspondiente tiene una longitud igual a la del radio con que se ha trazado dicho arco. Una circunferencia (360°) corresponde a 2 p radianes.

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05 Cuestiones básicas

1>

¿En qué tipo de movimiento la velocidad media coincide con la velocidad instantánea?

Inténtalo

Recuerda que si una magnitud es constante, tendrá siempre el mismo valor en cualquier momento.

2>

Se dice que el guepardo es un animal capaz de

llegar a correr a 30 m/s. Calcula su velocidad en km/h.

Inténtalo

Para utilizar los factores de conversión, recuerda las equivalencias: 1 km = 1 000 m; 1 h = 3 600 s

3>

¿Cuánto tiempo tardará el guepardo en recorrer

1 km si mantiene la velocidad de 30 m/s?

Inténtalo

Ten en cuenta el tipo de movimiento con que se desplaza el guepardo y utiliza la ecuación corres-pondiente.

4>

Desde un puente dejas caer un objeto y observas que tarda 1,5 s en llegar al agua. ¿Cuál es la altura del puente?

Inténtalo

Se trata de una caída libre. En este caso toma el valor de la gravedad como positiva.

5>

Un automóvil pasa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s. ¿Qué aceleración tiene el coche?

Inténtalo

Te piden la aceleración media. Recuerda que se mide en m s–2_.

6>

Un coche parte del reposo con aceleración cons-tante de 1,8 m s–2_{. Después de 20 s de estar}

acele-rando, ¿qué distancia habrá recorrido el vehículo?

Inténtalo

De acuerdo con el tipo de movimiento, utiliza la ecua-ción correspondiente.

7>

Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una velocidad de 36 km/h en 10 s. ¿Cuánto vale la aceleración? ¿Qué distancia ha recorrido en el tiempo indicado?

Inténtalo

Observa que el ciclista parte del reposo; este he-cho equivale a un dato numérico. Suponemos que la calle es recta. Una vez identificado el movi-miento del ciclista, utiliza las ecuaciones corres-pondientes.

8>

Un avión que parte del reposo acelera uniforme-mente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 10 s. ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión? ¿Qué longitud de pista ha reco-rrido hasta despegar?

Inténtalo

Se trata de un movimiento rectilíneo con acelera-ción constante. Utiliza los factores de conversión para el cambio de unidades.

9>

Un disco gira a 30 rpm. Calcula esta velocidad en radianes por segundo. Calcula la frecuencia y el periodo de este movimiento.

Inténtalo

Recuerda cuántos radianes tiene una circunferen-cia. Período es el tiempo en segundos que tarda en dar una vuelta. El valor de la frecuencia coincide con el inverso del período.

10>

Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de ra-dio de un velódromo con velocidad constante de 36 km/h. ¿Qué longitud de pista recorre en un mi-nuto? ¿Qué tiempo tarda en dar una vuelta a la pista? ¿Cuántas vueltas da en 10 minutos?

Inténtalo

Aunque el movimiento es circular, te piden el es-pacio recorrido con velocidad constante. Todas las preguntas las puedes calcular utilizando la ecuación del espacio en un movimiento uniforme. Recuerda el valor de la longitud de la circunfe-rencia.

(4)

190

05

La Cinemática estudia el movi-miento sin tener en cuenta sus causas.

La Dinámica estudia el movi-miento y analiza sus causas.

■

5.1 Dos ciencias para estudiar

el movimiento

Supongamos que en un momento dado un avión sobrevuela tu casa. Si tienes curiosidad por conocer mejor este fenómeno, puedes plantearte una serie de preguntas sobre él, como ¿cuánto tiempo tardará el avión en desaparecer por el horizonte?, ¿qué distancia recorrerá en un minuto?, ¿lleva siempre la misma velocidad?, etcétera. Para contestar a estas preguntas no necesitas saber por qué se mueve el avión. En cambio, hay pre-guntas más complejas, como ¿qué fuerza ejerce el motor?, ¿qué potencia desarrolla?, ¿qué energía consume?, etc., cuya respuesta requiere más información. Debes conocer, ante todo, las características de los motores, que son los causantes del movimiento del avión.

Como ves, hay dos formas de estudiar el movimiento: prescindiendo de las causas que lo originan, que es lo que hace la Cinemática, y teniendo en cuenta estas causas, como ocurre con la Dinámica. Dedicaremos una Unidad a cada una de estas dos ciencias del movimiento.

■

5.2 ¿Qué es el movimiento?

Desde muy pequeños tenemos un concepto intuitivo que nos permite afirmar si un cuer-po, en un momento dado, está en reposo o en movimiento. ¿Qué criterio empleamos para distinguirlo? Se suele decir que un cuerpo se mueve cuando cambia de lugar. Sin embargo, este criterio no es preciso, porque existen cuerpos que se mueven sin cambiar de lugar. Por ejemplo, la polea de la Figura 5.1, cuando gira alrededor de su eje, perma-nece siempre en el mismo sitio. Debemos distinguir, pues, entre dos tipos diferentes de movimiento: el de traslación y el de rotación.

En cambio, en el movimiento de rotación son los distintos puntos P1, P2... del cuerpo

los que cambian de lugar (Fig. 5.2), pero no lo hace el cuerpo en su conjunto. Un punto solamente puede tener movimiento de traslación.

Por tanto, si consideramos que el cuerpo que se mueve es un punto, el criterio que dimos anteriormente sería correcto. En este curso solamente trataremos del movimiento de traslación. Por eso estudiamos la Cinemática del punto material. Más adelante explicaremos qué se entiende por punto material.

Si de un automóvil (Fig. 5.3) solamente tenemos en cuenta su movimiento de trasla-ción, lo estamos considerando como un punto que cambia de posición respecto a, por ejemplo, un semáforo. Si esa posición no varía, diremos que está en reposo respecto al semáforo.

Un cuerpo tiene movimiento de traslación cuando todo él, tomado en su conjunto como un solo punto, cambia de lugar o de posición.

En general, cuando un cuerpo gira en torno a un eje fijo se mueve, pero no se desplaza. Este movimiento recibe el nombre de movimiento de rotación.

Fig. 5.1. Rotación y traslación. Cuando la polea se mueve no cambia de lugar. Pero sí lo hace el cubo cuando asciende.

Fig. 5.2. Rotación. En un movimiento de rotación, los puntos del sólido que gira cambian de lugar describiendo circunferencias.

Eje

P1P2

Fig. 5.3. Traslación. El automóvil se mueve porque se aleja del semáforo.

(5)

191

05

Un modelo es una idealización mental o gráfica que permite sim-plificar el estudio de un fenóme-no. Aunque es un producto de la imaginación, el modelo tiene una gran ventaja: es lo suficientemente sencillo como para analizar cómo afectan las leyes fundamentales de la Física a su comportamiento. Para que un modelo cumpla bien su misión es necesario que sea senci-llo, esté de acuerdo con los hechos experimentales y sea extrapolable; es decir, que permita aplicar sus conclusiones a otros fenómenos hasta formular nuevas leyes.

No olvides que…

• La localización de un punto en el espacio respecto de otro punto que tomamos como referencia recibe el nombre de posición.

• Movimiento de un punto es un cambio de posición respecto de otro punto que se toma como referencia.

• Reposo y movimiento son dos términos relativos, puesto que dependen del objeto que se tome como referencia (una farola está en reposo respecto de la calle, pero está en movimiento si tomamos el Sol como referencia).

• Movimiento absoluto es aquél en el que el punto de referencia se supone fijo respecto del punto que se mueve.

• Movimiento relativo es aquél en el que el punto cambia de posición respecto de otro que también se mueve.

■

5.3 Elementos fundamentales

del movimiento

En todo movimiento hay que distinguir tres elementos básicos: el objeto que se mueve, el sistema de referencia que se utiliza y la trayectoria seguida por el móvil.

El objeto que se mueve: un punto material

Para conocer el movimiento que realmente tiene un cuerpo habría que conocer el de todos sus puntos. Cuando un automóvil se desplaza por una carretera, además del movi-miento de traslación que se observa, posee otros movimovi-mientos: el de balanceo al tomar una curva, el de cabeceo en un cambio de rasante, etc., y el movimiento particular de los distintos componentes: volante, ruedas, pistones, etcétera.

No nos interesa tener en consideración estos movimientos, por lo que prescindiremos de todos los componentes del coche y sus dimensiones, y lo trataremos como si fuese un puntomaterial.

Como en la Naturaleza no existe un móvil con masa y sin dimensiones, esto es, en rea-lidad, una idealización o un modelo ideal de la existencia, los científicos recurren con frecuencia a modelos físicos para simplificar el estudio de la Naturaleza.

Hay muchos objetos que en su movimiento se comportan como puntos materiales. Todo depende del sistema de referencia elegido. Por ejemplo, un automóvil no se comporta como un punto para el que lo conduce; sin embargo, sí lo hace con respecto al agente de tráfico que sobrevuela la carretera en helicóptero.

ACTIVIDADES

1>

Indica qué afirmaciones son correctas. El movi-miento es:

a) Un cambio de lugar.

b) Un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material.

c) Un desplazamiento.

d) Un cambio de posición.

2>

Escribe tres ejemplos de movimientos absolutos y otros tantos de movimientos relativos.

3>

Señala las afirmaciones correctas. El movimiento de un coche que se desplaza por una carretera es respecto de una gasolinera:

a) Rotación c) Absoluto

b) Traslación d) Relativo

4>

Indica si el coche de la actividad anterior, respec-to de un camión al que pretende adelantar, tiene movimiento absoluto o relativo.

Llamamos punto material a un cuerpo cuyas dimensiones no se tienen en cuenta.

(6)

192

05

En resumen:

• Partícula material o punto material es un término relativo que depende de las dimen-siones que intervengan en cada problema concreto.

• Un cuerpo, por grande que sea, se considera un punto si sus dimensiones son despre-ciables, comparadas bien con la distancia que hay desde él al punto de referencia o bien con la trayectoria. Así, un barco se puede considerar como un punto respecto a la costa. Un coche se puede considerar como un punto respecto a la longitud de la ca-rretera. La Tierra en su movimiento de traslación se puede considerar como un punto.

El sistema de referencia

Para determinar la posición de un punto en cualquier instante es necesario fijar otro punto en el espacio como referencia. El punto de referencia elegido se toma como origen O de tres ejes cartesianos (Fig. 5.4), que constituyen un sistema de referencia cartesiano. Así, la posición del punto P vendrá determinada por las coordenadas x, y y z de dicho punto.

No olvides que:

• El punto O de referencia puede ser cualquier objeto, real o imaginario, que esté en reposo relativo respecto al punto P.

• Un sistema de referencia es inercial cuando el punto O está en reposo o se mueve con velocidad constante.

• La Tierra se puede considerar como un sistema de referencia inercial, aunque realmen-te no lo es, ya que tiene movimiento de rotación sobre sí misma. Sin embargo, esrealmen-te movimiento nos pasa inadvertido.

Fig. 5.4. Sistema cartesiano de referencia. Este sistema está formado por un punto del espacio y tres ejes cartesianos concurrentes en dicho punto.

5>

Indica si es falso o verdadero:

a) Se puede estudiar el movimiento prescindiendo del sistema de referencia.

b) El movimiento es un cambio de lugar.

c) Un punto solamente puede tener movimiento de traslación.

d) La Tierra se puede considerar un punto material cuando se mueve alrededor del Sol.

6>

Observa la barca de la Figura 5.5 e indica cuál es la afirmación correcta:

a) Tiene movimiento relativo respecto del agua y de la orilla.

b) Tiene movimiento absoluto respecto de la orilla y relativo respecto del agua.

c) La barca solamente tiene movimiento absoluto.

7>

Para determinar la posición de un punto sobre un plano, ¿cuántos ejes cartesianos necesitas?

8>

Para determinar la posición de un barco en el

océa-no, ¿cuántas coordenadas necesitas? ¿Qué nombre reciben?

9>

Un coche parte desde un semáforo y se mueve por una calle recta. ¿Cuántas coordenadas necesitas para determinar la posición del automóvil respecto al semáforo?

10>

Además del punto material, ¿qué otros modelos utilizados por la Física o la Química conoces?

ACTIVIDADES

Fig. 5.5. El movimiento relativo de la barca depende del punto de referencia.

(7)

193

05 Trayectoria

Fíjate en el punto P (x, y, z) de la Fig. 5.6. Este punto estará en reposo respecto al pun-to O si sus coordenadas permanecen constantes con el tiempo, y estará en movimiento cuando al menos una coordenada varíe con respecto a él.

Cuando el punto P se mueve, sus coordenadas van tomando distintos valores. El conjun-to de punconjun-tos correspondientes a esconjun-tos valores forman una línea que recibe el nombre de trayectoria.

Las magnitudes son las variables que intervienen en un fenómeno o las características de un cuerpo que se pueden medir. Las magni-tudes físicas pueden ser escalares o vectoriales.

http://teleformacion.edu. aytolacoruna.es/FISICA/ document/applets/Hwang/ ntnujava/vector/vector_s.htm Se trata de una simulación applet para sumar vectores en dos y tres dimensiones.

Trayectoria es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando un punto móvil en el espacio.

Un punto se mueve en el plano Oxy según las ecuaciones:

x = t – 1; y = 2 t

a) ¿Qué significado tienen estas ecuaciones?

b) Dibuja la trayectoria de ese punto. Solución

a) Al moverse el punto en un plano, su posición en todo momento viene deter-minada por dos coordenadas (x, y). Las ecuaciones dadas indican cómo varía esa posición con el tiempo. Por tanto, las distintas posiciones que va tomando el punto en el transcurso del tiempo se obtienen dando valores a t en dichas ecuaciones.

b) Las posiciones (–1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) son puntos de la línea que forma la trayectoria (Fig. 5.7). Se trata de una recta.

EJEMPLO 1

Fig. 5.7. Trayectoria rectilínea del punto descrito en el Ejemplo 1.

t 0 1 2 3

x –1 0 1 2

y 0 2 4 6

Fig. 5.6. Coordenadas de un punto en el espacio. Si ese punto se mueve, sus coordenadas varían, dando lugar a una línea llamada trayectoria.

(8)

194

05 ■

5.4 Magnitudes del movimiento

Ya sabes que existen ciertas características de los cuerpos y de los fenómenos naturales, llamadas magnitudes, que se pueden medir o evaluar en todo momento. Para entender el movimiento es importante que conozcas las magnitudes que utiliza la Cinemática en su desarrollo. Además del tiempo, son las siguientes: posición, desplazamiento, espacio recorrido, velocidad y aceleración. El espacio recorrido es una magnitud escalar, mien-tras que las demás son magnitudes vectoriales.

Posición

Ya hemos dicho que la posición de un punto P es su localización en el espacio. Existen dos formas de localizar un punto en el espacio: mediante tres coordenadas cartesianas P (x, y, z) y mediante un vector →r, o también OP⎯→, que une el origen del sistema de referencia con el punto P y que recibe el nombre de vector de posición. El origen de este vector se halla siempre en el origen de coordenadas y su extremo coincide en cada instante con la posición del punto móvil (Fig. 5.8). Ambas formas están relacionadas. Para que com-prendas la relación que existe entre las coordenadas x, y, z de un punto y su vector de posición, debes recordar algunas nociones de cálculo vectorial.

Unas nociones de cálculo vectorial

Un vector u→se dice que es unitario cuando su módulo vale 1: |u→| = 1. Supongamos que el vector a→ de la Figura 5.9 tiene cinco unidades de longitud. Por tanto, su módulo es cinco veces mayor que el módulo del vector unitario u→. De acuerdo con esto, se puede escribir: |a→| = 5 · |u→| = 5. En general, un vector cualquiera se puede expresar en función de un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido mediante el producto v→= |v→|

u→, siendo |v→| el módulo o longitud del vector v→y u→el vector unitario de igual dirección y sentido que v→.

Si llamamos u→x, u

→

y y u

→

z a los vectores unitarios que tienen la misma dirección y sentido

que los semiejes cartesianos (Fig. 5.10), podremos expresar el vector de posición de un punto en función de dichos vectores.

La suma de dos vectores v→1 y v→2 viene dada por la diagonal del paralelogramo construido

sobre dichos vectores, tomándolos como lados que parten del mismo vértice (Fig. 5.11):

s

→

= v→1 + v→2. La posición del punto P (x, y) de la Figura 5.12 viene determinada por el vector →r.

El vector →r es la diagonal del paralelogramo OAPBO. Por tanto, se cumple que:

r → = OA⎯→ + OB⎯→ = |OA⎯→| u→x + |OB ⎯→ | u→y = x u → x + y u → y ya que |OA⎯→| = x, |OB⎯→| = y.

Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular el módulo de un vector si conocemos x e y, ya que |→r|2₌_x2₊_y2_→_|→_r_|=

Î

_x2₊_y2_.

v v

Fig. 5.11. Suma de vectores. Se aplica la regla del paralelogramo. Fig. 5.8. Vector de posición. La posición

de un punto P queda definida por el vector que une el punto O con el punto P.

Fig. 5.12. El vector r→en función de los vectores OA⎯⎯, OB⎯⎯: r→= OA⎯→ + OB⎯→.

Fig. 5.9. Un vector se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido.

Fig. 5.10. Representación de los vectores unitarios según los ejes cartesianos.

(9)

195

05

En el espacio, el vector de posición del punto P (x, y, z) será r→= x u→x + y u

→

y + z u

→

z.

Cuando el punto P se mueve, su vector de posición variará con el tiempo, lo que se puede expresar de la siguiente forma:

r→(t) = x (t) u→x + y (t) u

→

y + z (t) u

→

z

Esta expresión recibe el nombre de posición instantánea. Dando valores a t se obtienen las distintas posiciones de la partícula móvil durante un intervalo de tiempo.

El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones x = 4 t, y = 2 t – 2, en donde x e y se miden en metros y t, en segundos. Calcula:

a) La posición de la partícula en cualquier instante.

b) La posición en los instantes t = 0, t = 2.

c) ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 segundos?

d) ¿A qué distancia del origen del sistema de referencia se encuentra la partícula en ese instante?

Solución

a) La posición de la partícula en cualquier instante viene determinada por el vector de posición: →r= x u→x + y u → y = 4 t u → x + (2 t – 2) u → y.

b) En la expresión anterior sustituimos los valores del tiempo que nos indican: Para t = 0 r→0 = (4 · 0) u → x + (2 · 0 – 2) u → y = –2 u → y Para t = 2 r→2 = 8 u → x + 2 u → y

En los instantes t = 0 y t = 2 s, la partícula se encuentra en los puntos P0 (0, –2),

P2 (8, 2).

c) A los 5 s la partícula se encontrará en la posición r→5 = 20 u

→

x + 8 u

→

y, es decir, en

el punto (20,8).

d) La distancia pedida viene dada por el módulo del vector →r5:

|→r5| =

Î

x2 + y2 =

Î

202 + 82= 21,5 m

EJEMPLO 2

El vector es un segmento que está orientado:

Tiene un punto de origen, O, y un extremo, P, que determina el sen-tido del vector OP⎯→. La dirección de un vector viene determinada por la recta sobre la que se apoya. El módulo es un número real positivo que indica la longitud del vector y que determina el valor de la magnitud asociada. Una magnitud vectorial se representa algebraicamente con una flecha sobre su valor, v→, o bien escri-biéndolo en negrita, v. En este libro hemos optado por la primera fórmula por considerarla más fácil de reconocer.

ACTIVIDADES

11>

Escribe los vectores de posición correspondientes a los siguientes puntos respecto al origen:

a) P1 (2, –3, 5)

b) P2 (–1, 0, 6)

c) P3 (0, 0, –2).

12>

Un punto móvil se desplaza en el espacio de acuerdo con las siguientes ecuaciones expresadas en el SI:

x = t + 2; y = 4 t – 2; z = t2

a) Completa la siguiente tabla de valores:

b) Halla la posición del punto móvil para t = 15 s.

c) Escribe el vector correspondiente a esa posición.

t 0 1 2 3 4

x y z

(10)

196

05 Desplazamiento

Si en un instante dado un móvil se encuentra en la posición P0 (x0, y0, z0) y al cabo de

un tiempo su posición es P1 (x1, y1, z1), diremos que el móvil se ha desplazado desde el

punto P0 al punto P1. Este desplazamiento viene definido por un vector, llamado vector

desplazamiento, Dr→, que tiene las siguientes características:

Tiene su origen en el punto de partida o posición inicial y su extremo en el punto de llegada o posición final, P⎯0

⎯

P→1 (Fig. 5.13).

El desplazamiento entre dos posiciones es siempre el mismo, cualquiera que sea la trayectoria que una dichas posiciones (Fig. 5.14).

El vector desplazamiento se obtiene restando del vector de posición final el vector de posición inicial (Fig. 5.15):

D→r=r→1–r → 0 Por tanto, si r → 1 = x1 u → x + y1 u → y + z1 u → z r → 0 = x0 u → x + y0 u → y + z0 u → z

el vector desplazamiento será: D→r= (x1– x0) u → x + (y1– y0) u → y + (z1– z0) u → z = Dx u → x + Dy u → y + Dz u → z siendo Dx = x1 – x0; Dy = y1 – y0; Dz = z1– z0.

Esto quiere decir que el desplazamiento total equivale a la suma de desplazamientos parciales a lo largo de los ejes cartesianos.

Fig. 5.15. Vector desplazamiento. Se obtiene restando los vectores de posición correspondientes al punto de llegada y al punto de partida.

Fig. 5.13. Vector desplazamiento. Une la

posición inicial y final del móvil. Fig. 5.14. Diferentes trayectorias para un mismo desplazamiento.

Fig. 5.16. Representación del movimiento del automóvil del Ejemplo 3.

x

Un automóvil se mueve en línea recta por una carretera. A las nueve de la mañana se encuentra en el punto kilométrico 40 y media hora más tarde se encuentra en el punto kilométrico 100. Calcula el desplazamiento que ha experimentado el coche en el tiempo indicado.

Solución

Si el coche se mueve en línea recta, podemos tomar como sistema de referencia el punto kilométrico 0 y la dirección de la carretera como eje cartesiano Ox. Por tanto, el vector de posición en este caso será: r→= x u→x.

El coche en media hora se ha desplazado desde el punto P0 (40 km, 0) al punto

P1 (100 km, 0) (Fig. 5.16).

Por tanto, el desplazamiento será: Dr→= →r1 –r → 0 = (x1 – x0) u → x = 60 u → x km

El coche se ha desplazado 60 km alejándose del origen.

(11)

197

05

ACTIVIDADES

13>

Carlos sale de su casa a comprar el periódico en una papelería situada a 120 m de la vivienda y luego regresa a su casa. ¿Qué afirmación es la correcta?

a) Carlos se ha desplazado 120 m.

b) Carlos se ha desplazado 240 m.

c) Carlos no se ha desplazado.

d) Carlos ha recorrido 240 m.

14>

Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1 250 m del punto de re-ferencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición situada a:

a) 750 m del punto de referencia. b) 1 250 m del pun-to de referencia. c) 500 m del punto de referencia.

d) No se puede hallar la posición de partida. Elige la respuesta correcta.

Espacio recorrido

No debes confundir espacio recorrido con desplazamiento. Espacio recorrido es la longitud de trayectoria que ha seguido el móvil. Es una magnitud escalar que coincide con el módu-lo del desplazamiento, solamente en el caso de que el movimiento sea rectilíneo y que ade-más no cambie de sentido. Si lanzas una pelota hacia arriba, el espacio recorrido coincide con el desplazamiento mientras la pelota está subiendo; pero cuando inicia el descenso, el desplazamiento disminuye, y cuando la pelota llega al punto de partida, el desplazamiento es nulo. En cambio, el espacio recorrido es igual al doble de la altura alcanzada.

EJEMPLO 4

Una partícula material se mueve en el espacio de forma que su posición en cualquier instante viene dada por las ecuaciones x = t2_{; y = t – 2, expresadas}

en el SI. Calcula:

a) Dónde se encuentra la partícula en los instantes t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s.

b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo com-prendido entre cero y dos segundos.

Solución

a) La posición de la partícula en cualquier instante viene dada por el vector r→ = (t2) u

→

x + (t – 2) u

→

y, que

para los instantes dados toma los valores →r0 = –2 u

→ y; r → 1 = u → x – u → y; r → 2 = 4 u → x.

Es decir, se encuentra en los puntos (0, –2), (1, –1) y (4, 0), respectivamente.

b) Para hallar el desplazamiento basta restar los vectores

r → 2 y r → 0 : Dr → = r→2 – r → 0 = (4 – 0) u → x + (0 – (–2)) u → y = 4 u → x + 2 u → y

Una persona sale de paseo. Recorre 2 km hacia el norte, después se dirige hacia el este y recorre 1 km, y por último, se dirige hacia el sur y recorre 4 km. Calcula:

a) ¿Qué espacio ha recorrido?

b) ¿Cuánto vale el desplazamiento? Solución

a) En la Fig. 5.17 están representados los distintos desplazamientos. El espacio total recorrido es de 7 km.

b) El desplazamiento es un vector con sentido sur-este, y vale: |P⎯0 ⎯ P→1| = |Dr → | =

Î

(4 – 2)2_{+ 1}2₌

Î

_{5 = 2,24 km} EJEMPLO 5

Fig. 5.17. Desplazamiento total. Corresponde al vector P⎯0

⎯ P →

(12)

198

05 15>

Una vez iniciado el movimiento, ¿el espacio reco-rrido puede ser cero? ¿Puede ser cero el desplaza-miento? Cita un ejemplo en que el espacio recorri-do y el desplazamiento tengan el mismo valor.

16>

Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de

ra-dio partiendo del punto O en el sentido que indica la flecha de la Fig. 5.18.

Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento:

a) Cuando el ciclista está en el punto A.

b) Cuando se halla en el punto B.

c) Cuando se encuentra en C.

d) Cuando ha dado una vuelta completa.

ACTIVIDADES

Fig. 5.18

Velocidad

Para determinar el movimiento de una partícula es necesario conocer cómo varía la posi-ción de esa partícula en el transcurso del tiempo. A la variaposi-ción de la posiposi-ción la hemos llamado desplazamiento. Para relacionar el desplazamiento que ha experimentado un móvil con el tiempo transcurrido introducimos una magnitud muy importante en Cinemá-tica: la velocidad. Podemos distinguir entre velocidad media y velocidad instantánea.

Velocidad media

La velocidad media se define como el desplazamiento que experimenta el punto móvil en la unidad de tiempo. Es un vector que resulta de divi-dir el desplazamiento producido entre el intervalo de tiempo empleado y que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento, ya que el tiempo es una magnitud escalar positiva.

v

→

= Dr→

Dt

Una araña se mueve sobre el cristal de una ventana siguiendo una trayectoria definida por x = t2_{e y = t + 2 en el SI. Calcula:}

a) El vector de posición de la araña en cualquier instante.

b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 s y t = 3 s.

c) La velocidad media con que se ha desplazado la araña durante ese tiempo. Solución

a) El vector de posición viene dado por r→= x u→x + y u

→ y = t2 u → x + (t + 2) u → y

b) Hallamos las posiciones correspondientes a los instantes que se indican: Para t = 1 s; r→1 = ux + 3 u → y Para t = 3 s; r → 3 = 9 u → x + 5 u → y El desplazamiento será: Dr→= →r3–r → 1 = (9 – 1) u → x + (5 – 3) u → y = 8 u → x + 2 u → y

c) La velocidad media vendrá dada por: v→ = Dr → Dt = 8 u→x + 2 u → y 2 = 4 u → x + u → y m/s EJEMPLO 6 http://newton.cnice.mec. es/4eso/trayectoria/trayec0.htm En esta página se recoge una expli-cación con simulaciones interac-tivas de la diferencia entre des-plazamiento y trayectoria (espacio recorrido).

Si r→(t) representa la posición del punto móvil en el instante t y r→ (t + Dt) representa la posición al cabo de un intervalo de tiempo

Dt, la velocidad media también se obtiene: v→ = Dr → Dt = r → (t + Dt) – r→ (t) Dt

(13)

199

05

Una partícula se mueve a lo largo del eje Ox según la ecuación x = t2_{+ 2. Calcula su velocidad media.}

Solución

En este caso, el vector de posición es →r(x, 0) y no se especifica el intervalo de tiempo. Por ello hallaremos la velocidad media utilizando la expresión:

|v→| = |Dr → | Dt = |r→(t + Dt) – →r(t)| Dt = [(t + Dt)2_{+ 2 – (}_t2_{+ 2)]} Dt = t2_{+ 2}_t_D_t_{+ (D}_t₎2_{+ 2 –}_t2_{– 2} Dt = 2 t + Dt EJEMPLO 7

Velocidad instantánea es la que tiene una partícula en un instante determinado o en un punto determinado de la trayectoria.

ACTIVIDADES

17>

La rapidez de un móvil se mide en m/s en el SI, y en la práctica, en km/h. Expresa en m/s la rapidez con la que se mueve un coche que va a 144 km/h.

18>

Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿cuál será la velocidad de un avión en km/h cuan-do rompe la barrera del sonicuan-do?

En general, la velocidad media depende del instante inicial y del intervalo de tiempo considerados. Si estos valores están determina-dos, la velocidad media toma un valor concreto, como ha ocurrido en el Ejemplo 6. Pero si el instante inicial y el intervalo de tiempo no están definidos, la velocidad media es indeterminada, como sucede en el Ejemplo 7.

Fig. 5.19. Velocímetro. Instrumento que mide el módulo de la velocidad instantánea del vehículo.

Observa cómo el resultado es indeterminado porque depende de dos variables: el instan-te t y el intervalo de tiempo Dt. Si el intervalo de tiempo se hace infinitamente pequeño (Dt → 0), la velocidad media toma el valor |v→| = 2 t y solamente depende del instante que se considere. Por ello recibe el nombre de velocidad instantánea. Y se suele defi-nir como el valor que toma la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a 0: →vi = lim Dr

→

Dt · Este límite se conoce en Matemáticas como la derivada del vector de

posición respecto al tiempo.

Velocidad instantánea

En la resolución del ejemplo anterior se ha visto cómo la velocidad media, en general, es indeterminada. Además, nos da poca información del movimiento que tiene lugar. Solamente relaciona el desplazamiento total producido con el intervalo de tiempo em-pleado. No nos dice nada sobre la trayectoria que ha seguido la partícula, ni si ha lle-vado la misma velocidad durante todo el intervalo de tiempo.

Por ejemplo, si un coche ha tardado 5 horas en desplazarse desde Madrid a Valencia, a 350 km de distancia, diremos que ha hecho el recorrido con una velocidad media de 70 km/h. Pero este dato no nos responde a preguntas como: ¿ha sido ésa la velocidad real del coche?, ¿ha hecho el recorrido manteniendo siempre la misma velocidad?, ¿qué carretera ha seguido?, ¿qué velocidad tenía el coche cuando pasó por el punto kilomé-trico 100?, ¿y cuando faltaban 20 minutos para llegar a Valencia?

La verdadera velocidad del coche es la que marca el velocímetro en el instante en que obser-vas dicho aparato (Fig. 5.19). El velocímetro mide el módulo de la velocidad instantánea.

La velocidad instantánea es un vector cuyo módulo recibe el nombre de rapidez y representa el espacio recorrido en la unidad de tiempo, cuya dirección es tangente a la trayectoria y cuyo sentido coincide con el sentido del movimiento.

(14)

200

05 Aceleración

Cuando un automóvil se desplaza no siempre lo hace con la misma velocidad. Cuando un coche, por ejemplo, aumenta de velocidad decimos que acelera. Si el aumento de ve-locidad se produce en menos tiempo, intuitivamente decimos que el coche tiene mayor aceleración. Por tanto, la aceleración relaciona la velocidad con el tiempo.

Mediante algunos ejemplos, vamos a ver cuándo un movimiento tiene aceleración: 1. Se lanza una pelota a 10 m/s contra la pared de un frontón. La pelota rebota y sale a

10 m/s en la misma dirección. ¿La velocidad es la misma antes y después del rebote? No, la pelota se mueve con la misma rapidez antes y después del rebote, pero no con la misma velocidad. Existe aceleración porque la velocidad ha cambiado de sentido.

2. Un coche se mueve por una pista recta. En un momento dado su velocímetro marca 90 km/h y en un instante posterior 100 km/h. Existe aceleración porque ha cambia-do el módulo de la velocidad. El coche no se mueve con la misma rapidez.

3. El coche anterior toma una curva con una rapidez constante de 45 km/h. Existe ace-leración porque la dirección de la velocidad está cambiando continuamente.

La velocidad es una magnitud vectorial. Por tanto, existirá ace-leración siempre que la velocidad varíe en cualquiera de sus elemen-tos: módulo, dirección o sentido.

El módulo de la aceleración se mide en m/s2_.

Aceleración, en general, es la variación de la velocidad con el tiempo.

19>

Cita algún ejemplo en que la velocidad de un

vehí-culo cambia en módulo y dirección.

20>

En el movimiento de un péndulo, ¿qué elementos de la velocidad se modifican?

ACTIVIDADES

Aceleración media y aceleración instantánea

Para determinar el movimiento de una partícula no basta saber que la velocidad varía. Es necesario saber cómo se produce esta variación en el transcurso del tiempo. Por ello, se introducen los conceptos de aceleración media y aceleración instantánea.

Si la pelota del ejemplo citado anteriormente ha estado en contacto con el frontón durante una décima de segundo, ha experimentado una aceleración media:

v → 1 = +10 u → x m/s v → 2 = –10 u → x m/s a → = v → 2 – v → 1 Dt = (–10 u→x) – (10 u → x) 0,1 s = –200 u → x m/s2

La aceleración media se define como el vector que resulta de dividir la variación de la velocidad que se ha producido en un intervalo de tiempo entre el valor de dicho intervalo:

a → = Dv → Dt = v → 2 – v → 1 Dt

(15)

201

05 Componentes intrínsecas de la aceleración

Sabemos que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria (Fig. 5.20). Por tanto, en cada punto se conoce bien su dirección. Pero ¿cuál es la dirección de la ace-leración instantánea? ¿Es también tangente a la trayectoria?

En la Figura 5.21 se ha obtenido gráficamente el vector Dv→. Se observa cómo este vec-tor no es tangente a la trayecvec-toria. Su dirección es variable.

Pero cualquiera que sea esta dirección, siempre se puede descomponer en dos vectores: uno en la dirección de v→1 y otro perpendicular a v

→

1 (Fig. 5.22).

Si elegimos el sistema de referencia formado por un punto de la trayectoria y dos vec-tores unitarios, uno t→con la dirección de la tangente y el otro n→con la dirección de la normal (perpendicular) a la tangente en dicho punto, hemos definido un sistema de re-ferencia ligado a la propia trayectoria y que recibe el nombre de sistema de referencia intrínseco a la trayectoria (Fig. 5.23).

Utilizando este sistema de referencia, podemos escribir: Dv→= D→vt + Dv

→ n. Por tanto, la aceleración será: a→= Dv → Dt = Dv→t Dt + Dv→n Dt = a → t + a → n = |a → t| t → + |a→n|n →

La aceleración se puede descomponer en dos, una en la dirección de la tangente (acele-ración tangencial) y otra en la dirección de la normal (acele(acele-ración normal) en cada punto de la trayectoria. Estas aceleraciones reciben el nombre de componentes intrínsecas de la aceleración.

Fig. 5.21. La variación de la velocidad se obtiene gráficamente uniendo los extremos de las velocidades →v1 y v

→

2.

Fig. 5.20. Dirección de la velocidad instantánea.

Fig. 5.23. Sistema de referencia intrínseco a la trayectoria.

Fig. 5.22. Descomposición de la variación de la velocidad.

La aceleración tangencial es debida a la variación de la rapidez o mó-dulo de la velocidad.

La aceleración normal es la que se debe al cambio de dirección de la velocidad y recibe el nombre de aceleración centrípeta. Su módulo vale

v2

R , siendo v la rapidez y R el radio de la curva.

La aceleración instantánea es el valor límite que toma la aceleración media cuando el intervalo de tiempo es extremadamente pequeño.

a→i = lim Dv

→

Dt

Este límite recibe el nombre de derivada del vector velocidad respecto al tiempo.

Dt→0

ACTIVIDADES

13>

El automóvil anterior toma una curva de forma que al principio de ella el velocímetro marca 90 km/h y al final 30 km/h.

a) ¿Tiene aceleración tangencial el coche? ¿Por qué?

b) ¿Tiene aceleración normal? ¿Por qué?

c) ¿Qué tipo de aceleración hubiera tenido el coche si durante toda la curva se hubiera desplazado a 30 km/h?

c) ¿Cuánto vale la aceleración media? Para restar dos vectores se traslada uno de ellos sobre su paralela de manera que

co-incidan los orígenes de ambos. El vector diferencia es el que une el extremo del vector sustraendo, v→1, con el vector minuendo, v→2.

(16)

202

05 ■

5.5 Clasificación de los movimientos

más relevantes

Los movimientos que tienen lugar en nuestro entorno se pueden clasificar atendiendo a dos criterios principales: la trayectoria (Fig. 5.24) y la aceleración (Fig. 5.25). Según la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y curvilíneos. Como ejemplo más sencillo de estos últimos está el movimiento circular.

De acuerdo con la aceleración, los movimientos pueden ser uniformes y acelerados. De los últimos, los que más vamos a tener en cuenta en este primer curso de Bachillerato son los llamados uniformemente acelerados.

Fig. 5.24. Clasificación de los movimientos según su trayectoria.

SEGÚNLATRAYECTORIA

Fig. 5.25. Clasificación de los movimientos según su aceleración.

Fig. 5.26. Movimiento rectilíneo. En estos movimientos se puede tomar la trayectoria como eje de referencia.

x v

O

Fig. 5.27. Vector de posición de un punto P. Este vector tiene una sola componente.

x O

P (x, 0, 0)

■

5.6 Movimientos rectilíneos

La caída libre de un cuerpo, la propagación del sonido, el desplazamiento de un avión por una pista antes de despegar de un aeródromo, etc., son ejemplos de movimientos rectilíneos.

El estudio de estos movimientos resulta sencillo si utilizamos un sistema de referencia adecuado: situamos el origen O del sistema sobre la trayectoria y además hacemos que ésta coincida con uno de los ejes cartesianos (Fig. 5.26).

Con este sistema de referencia, todas las magnitudes del movimiento tienen la misma dirección del eje elegido y, por tanto, una sola componente:

Vector de posición → r (x, 0, 0) |→r| = x Vector desplazamiento D→ r (Dx, 0, 0) |Dr→| = Dx Vector velocidad v→ (vx, 0, 0) |v → | = vx = v Vector aceleración a→ (ax, 0, 0) |a → | = ax = a

De todo ello podemos sacar las siguientes conclusiones:

El módulo de estos vectores coincide con el valor de su única componente. El sentido

lo expresaremos mediante un signo (+, –) según sea el sentido del movimiento.

Por ejemplo: en lugar de →r emplearemos (+x) o (–x), en lugar de →v utilizaremos (+v) o (–v), etc., de acuerdo con el criterio de signos que te daremos. En la Fig. 5.27 se pone de manifiesto la única componente que posee el vector de posición.

Los movimientos rectilíneos se caracterizan porque su trayectoria es una línea recta. Por tanto, la dirección de la velocidad se mantiene constante.

(17)

203

05

Fig. 5.29. Módulo del desplazamiento. En el movimiento rectilíneo, el módulo del desplazamiento casi siempre coincide con el espacio recorrido, x1 – x0 = s.

En general, en los movimientos rectilíneos, el módulo del desplazamiento coincide con el espacio recorrido si no se invierte el sentido del movimiento (Fig. 5.29).

Criterio de signos para las ecuaciones

del movimiento rectilíneo

Recuerda que la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales cuya dirección coincide con la trayectoria y cuyo sentido viene determinado por los signos + y –. Para averiguar qué signo tienen en cada problema concreto utilizaremos el siguien-te crisiguien-terio:

– Para la posición. El signo de la posición coincide con el signo de los semiejes carte-sianos, como se deduce de la Fig. 5.28.

– Para la velocidad. La velocidad es positiva cuando el móvil se desplaza en el sentido del semieje Ox o del semieje Oy (hacia la derecha o hacia arriba), y es negativa si se desplaza en sentido contrario (hacia la izquierda o hacia abajo).

– Para la aceleración. Una aceleración es positiva si su sentido coincide con el de la velocidad positiva y es negativa si su sentido es contrario a la misma.

Fig. 5.28. Criterio de signos: a) para la posición en movimiento horizontal; b) para la posición en movimiento vertical; c) para la velocidad.

ACTIVIDADES

22>

Escribe el signo correspondiente a la posición y a la velocidad en los siguientes casos:

a) La partícula de la figura se encuentra en el punto P1, a 20 m del

pun-to O que se toma como referencia.

b) La partícula se halla en P2, a 10 m del punto O.

c) El coche de la Fig. 5.26 se aleja del punto O con una rapidez de 20 m/s.

d) Dicho coche retrocede a 2 m/s.

(18)

204

05 Cinemática del movimiento rectilíneo

y uniforme (MRU)

Un móvil posee MRU cuando se desplaza en línea recta y sin aceleración, es decir, manteniendo constante la velocidad. En este movimiento, la velocidad media coincide con la velocidad instantánea.

Ecuación del MRU

Se trata de obtener una expresión matemática que permita hallar en cualquier instante la posición de un móvil si conocemos la posición inicial y la velocidad. Fíjate en el sistema de referencia (Fig. 5.30): la posición del punto móvil P1, en cualquier instante,

viene dada por la distancia x que hay entre él y el origen de coordenadas.

Supongamos que inicialmente, cuando empezamos a cronometrar el intervalo de tiempo transcurrido, el móvil se encuentra en el punto P0, cuya posición viene dada por x0,

posi-ción inicial. Si este punto se desplaza a lo largo del eje Ox con una velocidad v, al cabo de un tiempo t la posición del móvil será xt. El desplazamiento habrá sido Dx = xt – x0.

De la definición de velocidad media, v = xt – x0

t , se deduce: xt = x0 + v t

que es la ecuación del MRU, donde:

xt es la posición en cualquier instante t;

x0 es la posición inicial, para t = 0;

v es la velocidad constante del movimiento y

t es el tiempo transcurrido.

Diagramas del movimiento rectilíneo y uniforme

Las gráficas se usan para determinar la relación que existe entre dos magnitudes. Si hablamos de movimiento, los diagramas son representaciones gráficas, en función del tiempo, de las magnitudes posición, velocidad y aceleración.

El MRU tiene dos diagramas, x-t y v-t, puesto que no tiene aceleración.

• Diagrama x-t. Se trata de representar gráficamente la ecuación del movimiento tomando la posición instantánea como función y el tiempo como variable independiente: xt = x0 + vt.

La línea obtenida es una recta cuya ordenada en el origen es la posición inicial y cuya pendiente es la velocidad (Fig. 5.31).

• Diagrama v-t. Es la representación gráfica de la función v = f (t). Se trata de una recta paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.32). El área contenida debajo de la línea de la velocidad representa el desplazamiento: Dx = base · altura = t v = v t.

Fig. 5.30. Posición de partida o posición inicial. Es la distancia x0 (para t = 0).

Fig. 5.32. Diagrama v-t del MRU. El área del recinto en color representa el desplazamiento.

Fig. 5.31. Diagrama x-t del MRU.

En el MRU, normalmente, el espa-cio recorrido coincide con el des-plazamiento. Por tanto, la ecuación xt = x0 + v t también se puede

escribir:

s = xt – x0 = v t

que recibe el nombre de ecuación horaria del movimiento rectilíneo y uniforme.

23>

Un coche pasa por un punto A situado a 20 km del punto de referencia. ¿En qué punto se encontrará media hora más tarde si se desplaza con una velocidad media de 100 km/h?

(19)

205

05

ACTIVIDADES

24>

Dado el diagrama de la Fig. 5.34, indica qué afirma-ciones son falsas:

a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s.

b) En el tramo AB la velocidad es 4/5 m/s.

c) En el tramo BC la velocidad es –2 m/s.

d) En el tramo AB el móvil está parado.

25>

El movimiento rectilíneo de una partícula está des-crito en el diagrama x-t de la Fig. 5.35.

a) ¿Qué representa el valor x = 5 m?

b) ¿Qué significa el tramo horizontal?

c) ¿Qué velocidad tiene la partícula en los interva-los de t = 0 a t = 2 s y de t = 2 s a t = 4 s?

d) ¿Qué distancia recorre la partícula en 4 s?

Fig. 5.34 Fig. 5.35

El movimiento de una partícula está descrito mediante el diagrama x-t de la Fig. 5.33. Calcula:

a) La velocidad media durante los dos primeros segundos.

b) La velocidad media en el intervalo de 0 a 5 s.

c) El desplazamiento total que ha experimentado la partícula.

d) Describe el movimiento de la partícula. Solución

a) De acuerdo con la Fig. 5.33, para t0 = 0, la partícula se encuentra en la posición

x0 = 2 m, y en el instante t1 = 2 s se encuentra en la posición x2 = 4 m.

Luego, la velocidad media será: v = Dx Dt =

x1 – x0

t1 – t0

= 4 m – 2 m

2 s = 1 m/s

b) En el instante t5 = 5 s la partícula se halla en la posición x5 = 0. Por tanto,

durante el intervalo de tiempo t5 – t0 = 5 s la velocidad media ha sido:

v = x5 – x0

t5 – t0

= 0 – 2 m

5 s = –0,4 m/s

c) Recuerda que el desplazamiento viene dado por la diferencia entre las posiciones final e inicial: x5 – x0 = 0 – 2 m = –2 m.

d) Según la Fig. 5.33, la partícula inicia el movimiento desde un punto situado a 2 m del sistema de referencia. Permanece en movimiento durante 1 s hasta llegar a un punto situado a 4 m del sistema de referencia; en ese punto permanece parada durante 2 s más. Al cabo de ese tiempo, la partícula se mueve en sentido contrario dirigiéndose hacia el punto de referencia, adonde llega en el instante t = 5 s.

EJEMPLO 8

Fig. 5.33. Movimiento de la partícula del Ejemplo 8.

(20)

206

05 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

Es un movimiento rectilíneo que se realiza con aceleración constante. Por tanto, la aceleración media y la aceleración instantánea coinciden.

Ecuaciones del MRUA

Supongamos que en la posición P1 de la Fig. 5.36, una partícula tiene una velocidad

instan-tánea v0 y en otro punto P1 de la trayectoria la velocidad es vt. Si ha empleado un tiempo t

en desplazarse desde P0 hasta P1, la aceleración media de la partícula habrá sido:

a= vt – v0

t m/s

2

Ésta es la velocidad en cualquier instante, conocida la aceleración:

vt = v0 + a t (1)

La velocidad media aritmética de la partícula entre las posiciones P0 y P1 viene dada por:

v–= v0 + vt 2 = v0 + (v0 + a t) 2 = v0 + 1 2 a t

Sin consideraciones vectoriales, y como la velocidad media es constante en el intervalo, podemos aplicar la ecuación del MRU para hallar la posición instantánea:

xt = x0 + v– t = x0 +

(

v0 + 1 2 a t

)

t→ xt = x0 + v0 t + 1 2 a t 2 (2) En resumen, si conoces la aceleración constante con que se mueve una partícula, puedes averiguar la velocidad que posee en cualquier instante utilizando la ecuación (1). Además, mediante la ecuación (2) puedes hallar también la posición. Eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores se obtiene una tercera ecuación muy útil que permite calcular la velocidad en cualquier posición, si no conoces el valor del tiempo:

vt2 – v02 = 2 a (xt – x0) (3)

Un automóvil parte de una gasolinera donde estaba en situación de reposo. Después de recorrer 200 m alcanza una velocidad de 108 km/h. Calcula:

a) El valor de la aceleración, que se supone constante.

b) El tiempo que ha tardado en alcanzar la velocidad indicada. Solución

Tomamos la gasolinera como sistema de referencia. Empezamos a contar el tiempo cuando el coche. Posición inicial x0 = 0 Posición final xt = 200 m

Velocidad inicial v0 = 0 Velocidad al final de los 200 m, vt = 108 km/h = 30 m/s

a) De acuerdo con estos datos, la aceleración se obtiene a partir de la ecuación: v2t – v02 = 2 a (xt – x0).

a = v2t – v02 2 (x1 – x0) = (30 m/s) 2_{– 0} 2 (200 m – 0) = 900 m2_/s2 400 m = 2,25 m/s2

b) El tiempo transcurrido lo despejamos en la ecuación: vt = v0 + a t; t =

vt – v0

a =

30 m/s – 0

2,25 m/s2 = 13,3 s

EJEMPLO 9

Fig. 5.36. Aceleración media. Entre las posiciones P0 y P1 la aceleración es

constante. O P0 (x0) v0 vt P1 (x1) y x

(21)

207

05

Un coche al pasar por un punto A de una carretera se desplaza a 120 km/h y al hacerlo por otro punto B de la misma carretera la velocidad es de 90 km/h. Si ha tardado 5 s en desplazarse desde A hasta B, calcula:

a) El valor de la aceleración, que se supone constante.

b) La distancia entre A y B.

c) ¿A qué distancia de A se detendrá el automóvil? Solución

Tomamos el punto A como sistema de referencia. Empezamos a cronometrar cuando el coche pasa por dicho punto. De acuerdo con esto, conoces:

– La posición inicial x0 = 0.

– La velocidad inicial v0 = 120 km/h = 33,3 m/s.

– El tiempo transcurrido t = 5 s.

– La velocidad en el punto Bvt = 90 km/h = 25 m/s.

a) La aceleración se obtiene a partir de la ecuación vt = v0 + a t

a = vt – v0

t =

25 m/s – 33,3 m/s

5 s = –1,7 m/s

2

b) La distancia entre A y B viene dada por la posición del coche al cabo de 5 s:

xt = x0 + v0 t+ 1 2 a t 2_{= 33,3 m/s · 5 s +}1 2 · (–1,7 m/s 2_{) · (5 s)}2_{= 145,3 m}

c) El coche se detendrá cuando su velocidad sea cero, y eso ocurre en una posición xt que se obtiene despejando de

vt2 – v02 = 2 a (xt – x0) siendo vt = 0 xt – x0 = v2 t – v20 2 a = 0 – (33,3 m/s)2 2 (–1,7 m/s2₎= 326 m; x = x0 + 326 m = 0 + 326 m = 326 m EJEMPLO 10

Diagramas del MRUA

Diagrama a-t. Es la representación gráfica de la función a = f (t). Al ser constante la aceleración, la gráfica es una recta paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.37). El área contenida debajo de la aceleración representa el incremento de la velocidad: Dv = base · altura = t a = a t.

Diagrama v-t. Es la representación de la función v = f (t) = v0 + a t. Es una recta cuya

ordenada en el origen es la velocidad inicial y cuya pendiente representa la aceleración (Fig. 5.38). Aquí el área es el vector desplazamiento:

Dx = rectángulo + triángulo = v0t +

1

2 (vt – v0) t = v0t +

1 2 a t2

Diagrama x-t. Es la representación de la función xt = x0 + v0t+

1

2 at2. Se trata de una parábola.

Fig. 5.37. Diagrama a-t del MRUA. El área

de color representa el incremento de v. Fig. 5.38. Diagrama v-t del MRUA. El área en color representa el desplazamiento.

El diagrama x-t de un movimiento no representa la trayectoria, sola-mente indica cómo varía la posición del móvil con el tiempo.

O t (s)

(22)

208

05

Criterio de signos para la caída libre

– La posición es positiva si el móvil está por encima del nivel Ox. – La velocidad es positiva si el

cuerpo sube y es negativa si el cuerpo baja.

– La aceleración de la gravedad es siempre negativa.

26>

Un cuerpo que se mueve en línea recta posee una velocidad que varía con el tiempo, según el diagra-ma de la Figura 5.39. Indica cuáles de las siguien-tes afirmaciones son correctas:

a) Durante todo el recorrido ha tenido un MRUA.

b) La aceleración media es 4 m/s2_.

c) La velocidad máxima es 72 km/h.

d) La distancia recorrida en los diez primeros se-gundos es de 100 m.

e) En el intervalo de 0 a 5 s el cuerpo está parado.

f) En el intervalo de 10 s a 15 s el cuerpo se mueve sin aceleración.

27>

Un vehículo se mueve sobre una pista rectilínea du-rante 5 s con aceleración constante. Sigue con ve-locidad constante durante 15 s y luego frena de ma-nera constante hasta parar, lo que consigue en 20 s. Dibuja los diagramas a-t y v-t de este movimiento.

ACTIVIDADES

Fig. 5.39

■

5.7 La caída libre: un movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado

El 2 de agosto de 1971, estando en la superficie de la Luna, el astronauta David Scott dejó caer simultáneamente un martillo de geólogo y una pluma de halcón y observó que ambos cuerpos tocaban simultáneamente la superficie lunar. Había comprobado en la Luna la hipótesis de Galileo: «En ausencia de la fricción con el aire, todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración».

En la caída libre no importa el movimiento inicial que tenga el cuerpo. Todos aquellos ob-jetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, y los que se dejan caer a partir del reposo, caen libremente. Una vez que se encuentran en caída libre, todos los cuerpos están some-tidos a la aceleración de la gravedad. En las proximidades de la Tierra esta aceleración es prácticamente constante.

Si tomamos como punto de referencia un punto O de la trayectoria vertical y como eje Oy dicha trayectoria (Fig. 5.40), las ecuaciones que definen este movimiento son:

El movimiento de un cuerpo bajo la acción de la gravedad, despreciando la resistencia del aire, recibe el nombre de caída libre.

La caída libre es un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.

Velocidad media v–= v0 + 1 2 a t Velocidad instantánea vt = v0 + a t v2t – v20 = 2 a (yt – y0) Posición instantánea yt = y0 + v0t + 1 2 a t 2 _y t = y0 + 1 2 (v0 + vt) t En donde a = g = –9,8 m/s2_.

Fig. 5.40. Sistema de referencia para un movimiento en caída libre.

(23)

209

05

Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura dejas caer una pelota.

a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? Solución

Tomamos un punto del suelo que esté en la vertical de caída de la pelota como sistema de referencia. Por tanto, la posición inicial del cuerpo es 20 m. Si la pelota se suelta, quiere decir que inicia la caída partiendo del reposo (v0 =

0) y con aceleración constante.

a) La pelota llegará al suelo cuando la posición final sea cero. Por consiguiente, el tiempo transcurrido se obtiene resolviendo la ecuación: 0 = y0 + v0t + 1 2 a t 2_{0 = 20 m +}1 2 (–9,8 m/s 2₎_t2

De donde se deduce que t = 20 m

Î

4,9 m/s2 = 2 s.

b) La velocidad con que llega a la calle será:

vt = v0 + a t = 0 + (–9,8 m/s2) · 2 s = –19,6 m/s

El signo menos indica el sentido descendente.

EJEMPLO 11

Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura se cruzan?

Solución

Tomamos el suelo como referencia.

Los dos objetos se cruzarán cuando estén a la misma altura. Es decir, en la misma posición:

y = y0 + v0t + 1 2 a t 2 Objeto 1: y = 80 m – 0,5 · 9,8 m/s2_·_t2 Objeto 2: y = 20 m/s · (t – 2 s) – 0,5 · 9,8 m/s2_{· (}_t_{– 2 s)}2

Al ser común la posición de los dos objetos, la podemos eliminar igualando las dos ecuaciones: 80 m – 4,9 m/s2_·_t2_{= 20 m/s · (}_t_{– 2 s) – 4,9 m/s}2_{· (}_t_{– 2 s)}2

De donde se obtiene que se cruzan al cabo de 3,5 s desde que salió el primero. Sustituimos este valor en la ecuación del primer objeto:

y = 80 m – 4,9 m/s2_·_t2_{= 80 m – 4,9 m/s}2_{· (3,5 s)}2_{= 20 m}

Se cruzarán, pues, a 20 m del suelo.

EJEMPLO 12

Datos Primer objeto Segundo objeto

Posición inicial (y0) Velocidad inicial (v0) Aceleración (a) Tiempo transcurrido (t0) y0 = 80 m v0 = 0 m/s a = –9,8 m/s2 t1 = t s y0 = 0 m v0 = 20 m/s a = –9,8 m/s2 t2 = (t – 2) s