Ensayo a tensión de un material

(1)

2.6 Criterios de falla

2.6. Criterios de falla

2.6.1. Ensayo a tensión de un material

En una prueba a tensión de un material dúctil realizado en laboratorio, Fig. 2.23, existen seis magnitudes que, cuando inicia lafluencia, se alcanzan simultáneamente, tomando cada una de ellas los siguientes valores.

Figura 2.23: Prueba uniaxial a tensión: a) diagráma esfuerzo-deformación y b) representación en el círculo de Mohr.

1. El esfuerzo principal alcanza el límite de fluencia a tensión del material. Este esfuerzo principal es máximo, pues las otras dos son nulas:

1 = (2.69)

2. Elesfuerzo cortante máximo toma el valor de:

m´ax=



2 (2.70)

3. Ladeformación longitudinal unitaria máxima alcanza el valor:

 = 

 (2.71)

4. Laenergía de deformación absorbida por unidad de volumen es:

 = 1 2· = 2  2 (2.72)

5. La energía de distorsión, la energía debida al cambio de forma, absorbida por unidad de volumen es: = 1 + 3  2  = 2_ 6 (2.73)

(2)

 = √

2

3  = 047 (2.74)

Estas seis magnitudes alcanzan los valores indicados simultáneamente en el ensayo a tensión que originan en el material un estado a tensión simple. Pero si el estado a tensión es dos o tres direcciones, estos seis valores no se alcanzarán simultáneamente. Por lo que surge la necesidad de establecer si alguna de estas magnitudes puede considerarse limitativa de las cargas que actúan sobre una pieza de material elástico para que no se produzcan en la misma deformaciones plásticas.

2.6.2. Teoría del esfuerzo principal máximo

La teoría del esfuerzo principal máximo, atribuida a Rankine, establece que en un punto de un sólido el estado límite del estado de esfuerzos inicia cuando uno de los esfuerzos principales alcanza un valor igual al esfuerzo límite a tensión o compresión, obtenido de pruebas a tensión o compresión simples. Este criterio se representa como

1 =  (2.75)

|3| = ||

donde  es el esfuerzo de fluencia a tención y  a compresión. En el espacio de esfuerzos principales, si  = ||, la superficie de fluencia sería un cubo, cuyo centro coincidiría con el origen de las coordenadas, Fig. 2.24a. Como comúnmente ocurre   ||, en la que la superficie de fluencia es un cubo, el que su centro no coincide con el origen Fig. 2.24b.

Figura 2.24: Superficie defluencia con la teoría del esfuerzo principal máximo. La teoría del esfuerzo principal máximo puede expresarse por la función defluencia

() = m´ax(_|1|, |2|, |3|)− donde el esfuerzo efectivo es= m´ax(|1|,|2|,|3|)

(3)

2.6.3. Esfuerzo cortante máximo

Se le denomina comúnmente como Criterio de Tresca-Guest, o únicamente criterio de Tresca, el cual expresa el estado límite en un punto de un sólido en el que el estado de esfuerzos comienza afluir cuando el esfuerzo cortante máximo alcanza un valor igual al alcanzado en un ensayo de tracción cuando se llega al esfuerzo último, esto es:

 = 1−3 2 =  2 o simplemente 1−3 =

Por lo que la función defluencia de Tresca-Guest se puede definir como:

() =− (2.76)

donde el esfuerzo efectivo representa el valor máximo de las siguente ecuaciones:

1−2 = ±

2−3 = ± (2.77)

3−1 = ±

la función defluencia de Tresca-Guest también se puede representar mediante la ecuación:

() =h(1−2)2−2 i h (2−3)2−2 i h (3−1)2−2 i (2.78) que corresponde a la ecuación de la superficie de plastificación, formada por seis planos, paralelos dos a dos y todos éstos paralelos a la trisectriz o línea hidrostática,1=2=3, Fig. 2.25:

(4)

Para estado de esfuerzos planos,3= 0, la expresión 2.77 se reduce a: 1−2 = ± 2 = ± (2.79) 1 = ± y la 2.78 a: () =h(1−2)2−2 i ¡ 2₂₋2_¢ ¡2₁₋2_¢ (2.80) La representación gráfica, en el plano1,2 , de la ec. (2.79) se muestra como un hexágono en

la Fig. 2.26.

Figura 2.26: Superficie de fluencia de Tresca en 2D.

2.6.4. Teoría de la deformación longitudinal unitaria máxima

Esta teoría, conocida como de Saint-Venan, expresa que el estado de esfuerzos en un punto de un sólido inicia su estado límite cuando la deformación longitudinal unitaria máxima es igual al valor, obtenida de una prueba a tensión, cuando el material alcanza el esfuerzo último.

 = 

 (2.81)

La expresión de la deformación unitaria máxima es:

1=

1

[1−(2+3)] = 

 (2.82)

Asumiendo que1 en ec. 2.82 es la deformación principal con la magnitud más grande, igualando |1|con, se obtiene la siguiente función de fluencia :

(5)

Considerando que las deformaciones principales están desordenadas, que1 o 1 puede tener la

magnitud mayor. Se obtiene las posibilidades adicionales siguientes:

2() = |2−(1+3)|− = 0o2−(1+3) =± 3() = |3−(1+2)|− = 0o3−(1+2) =± Por lo que, el esfuerzo efectivo se puede definir como:

 = m´ax

₆=₆=|−(+)| (2.83) y la función defluencia:

() =− (2.84)

La superficie defluencia para el criterio de la deformación longitudinal unitaria máxima para el caso de un estado de esfuerzo plano, 3 = 0, se muestra 2.27. La superficie de fluencia ABCD

ilustra que, bajo un estado biaxial de esfuerzo a tensión o compresión, los esfuerzos principales individuales son mayores, por lo que el esfuerzo defluencia  puede ocurrir sin causar fluencia.

Figura 2.27: Superficie de fluencia de la deformación longitudinal unitaria máxima,  = 0.

2.6.5. El criterio de la densidad de energía de deformación

El criterio de la densidad de energía de deformación, propuesto por Beltrami, establece que la fluencia en un punto de un sólido inicia cuando la energía de deformación en el punto es igual a la densidad de energía de deformación defluencia de una prueba uniaxial en tensión o compresión. En términos de esfuerzos principales, la energía de deformación es:

0= 1 2 £ 2₁+2₂+2₃₋2(12+13+23) ¤ 0 (2.85)

El criterio de la densidad de energía de deformación establece que la fluencia inicia cuando la densidad de energía de deformación de la ec. (2.85), para cualquier estado de esfuerzo, es igual

(6)

a la densidad obtenida de una prueba uniaxial a tensión ec. (2.72). La función de fluencia para el criterio de la densidad de energía de deformación se obtiene igualando la densidad 0 de la

ec. (2.85) con la de la ec. (2.72).

2₁+2₂+2₃₋2(12+13+23)−2 = 0 Así, la función defluencia tiene la forma:

() =2_₋2_ = 0 (2.86)

donde el esfuerzo efectivo es:

 =

q

2

1+22+23−2(12+13+23)

La ec. (2.86) corresponde a una a un elipsoide en revolución cuyo eje coincide con la trisectriz, Fig. 2.28.

Figura 2.28: Superficie defluencia de la criterio de la densidad de energía de deformación, = 0. Las longitudes de los ejes son:

= _√

1₋; =  √

1 + (2.87)

2.6.6. Criterio de la densidad de energía de distorsión- Criterio de Von Mises

El criterio de la densidad de energía de distorsión, atribuida a von Mises, establece que lafluencia inicia cuando la densidad e energía de distorsión en un punto es igual a la densidad de energía de distorsión de una prueba uniaxial en tensión o compresión, ec. (2.73). La densidad de energía de distorsión es la asociada al cambio de forma del medio continuo. La densidad de energía total de deformación 0, dada en la ec.(2.85), puede separarse en dos partes: una que produce un

cambio volumétrico y la otra que produce distorsión . Manipulando algebraicamente la ec.(2.85), se tiene

(7)

2.6 Criterios de falla 0 = (1+2+3)2 18 | {z }  +(1−2) 2 + (2−3)2+ (3−1)2 12 | {z }  (2.88)

donde el módulo está definido como=[3 (1₋2)]. Bajo un estado de esfuerzo uniaxial, la densidad energía de distorsión está definida por la ec. (2.73), por lo que para un estado de esfuerzos multiaxial, el criterio de la densidad de energía de distorsión establece que lafluencia inicia cuando la densidad energía de distorsión dada en la ec. (2.88) es igual a 26. El criterio de la densidad de energía de distorsión puede expresarse en términos del segundo invariante de esfuerzos2 como:

= 1 22 (2.89) donde 2 = 1 6 h (1−2)2+ (2−3)2+ (3−1)2 i

Igualando la ec. (2.89) y la ec.(2.73), se tiene

() = 1 6 h (1−2)2+ (2−3)2+ (3−1)2 i −1₃2_ (2.90)

La expresión obtenida del criterio de von Mises en la ec. (2.90) indica que la superficie de plastificación es un cilindro en revolución, cuyo eje es la trisectriz1 =2 =3Fig. (2.29).

Figura 2.29: Superficie de fluencia de von Mises, = 0. Una forma más compacta del criterio de von Mises en la ec. (2.90) es:

() =2_₋2_ = 0 (2.91)

donde el esfuerzo efectivo es:

 = r 1 2 h (1−2)2+ (2−3)2+ (3−1)2 i (2.92)

(8)

2.6.7. Teoría del esfuerzo cortante octaédrico

El esfuerzo octaédrico se expresa, en función de los esfuerzos principales, como:

= 1 3

q

(1−2)2+ (2−3)2+ (3−1)2 (2.93)

En un ensayo a tensión, cuando se alcanza el esfuerzo defluencia, el esfuerzo cortante octaédrico toma el valor de la ec. (2.74)

 = √

2

3  = 047 (2.94)

La Teoría del esfuerzo cortante octaédrico se puede enunciar como: la acción inelástica en un punto de un sólido inicia cuando el esfuerzo cortante octaédrico alcanza el valor de047. Esto es, al igualar las ecs. (2.93) y (2.93):

1 3 q (1−2)2+ (2−3)2+ (3−1)2 = √ 2 3  (2.95) que es lo mismo: (1−2)2+ (2−3)2+ (3−1)2= 22 (2.96) Esta teoría, en términos de estado de esfuerzos, es equivalente a la de la energía de distorsión de von Mises en dada en la ec. (2.90), por lo que será indistinto utilizar una u otra.

2.6.8. Coeficiente de seguridad

El coeficiente de seguridad, se determina como:

 =   si  _≥ 1 Rango elástico   1 Rango inelástico Tarea

1. Grafique cada una de las superficies defluencia en el plano de Rankine, Tresca, von Mises, deformación longitudinal máxima y densidad energía de deformación considerando: a) Esfuerzo defluencia en tensión= 250 kg cm2 y compresión =−250 kg cm2. b) Esfuerzo defluencia en tensión= 50 kg cm2 y compresión =−50 kg cm2.

(9)

c) Esfuerzo defluencia en tensión= 50 kg cm2 y compresión =−250 kg cm2. d) En todos los casos el coeficiente de Poisson= 020.

2. Determine los esfuerzos principales de los siguientes tensores de esfuerzo y represéntelos en las gráficas del inciso c).

σ= " 48 12 12 30 # kg cm2; σ= " 42 ₋6 −6 ₋30 # kg cm2; σ= " −1508 ₋16 −16 ₋195 # kg cm2;

3. Determine los coeficientes de seguridad de los estados de esfuerzo anteriores para cada estado de esfuerzos.

(10)

En un sólido de acero, se tiene el estado de esfuerzos planos dado por los tensores

σ

a

,

σ

b

y

σ

c.

a) Calcule el estado de esfuerzos principales.

a)

Compare los criterios de Rankine, Tresca y de von Mises.

b) Represente los estado de esfuerzos en las gráficas de estos criterios

σa 4000 1000 1000 2500

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ := σb 3500 550 − 550 − 2500 −

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ := σc −2500 275 275 3250 −

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ := Esfuerzo de fluencia Coeficiente de Poisson υ:= 0.30 σy 4200 kgf cm2 ⋅ :=

Cálculo de esfuerzos principales

a) Tensor σa σxx σa 0 0, := σyy σa 1 1, := τxy σa 0 1, := σ1 σxx+ σyy 2 σxx− σyy 2

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

2 τxy2 + + 4500 kgf cm2 ⋅ = := σ2 σxx+ σyy 2 σxx− σyy 2

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

2 τxy2 + − 2000 kgf cm2 ⋅ = := σa σ1 0 0 σ2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:= σa 4500 0 0 2000

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ = b) Tensor σb σxx σb 0 0, := σyy σb 1 1, := τxy σb 0 1, := σ1 σxx+ σyy 2 σxx− σyy 2

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

2 τxy2 + + 3550 kgf cm2 ⋅ = := σ2 σxx+ σyy 2 σxx− σyy 2

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

2 τxy2 + − −2550 kgf cm2 ⋅ = := σb σ1 0 0 σ2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:= σb 3550 0 0 2550 −

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ = c) Tensor σc σxx σc 0 0, := σyy σc 1 1, := τxy σc 0 1, := σ1 σxx+ σyy 2 σxx− σyy 2

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

2 τxy2 + + −2409.973 kgf cm2 ⋅ = := σ2 σxx+ σyy 2 σxx− σyy 2

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

2 τxy2 + − −3340.027 kgf cm2 ⋅ = := σc σ1 0 0 σ2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:= σc −2409.97 0 0 3340.03 −

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ =

(11)

1. Criterio de Rankine f(σ)=max(σ1,σ2)-σy a) Tensor σa σe maxσa 0 0, , σa1 1,

(

)

:= f σe −σy 300 kgf cm2 ⋅ = := Inelástico σy σe =0.933 b) Tensor σb σe maxσb 0 0, , σb1 1,

(

)

:= f σe −σy −650 kgf cm2 ⋅ = := Elástico σy σe =1.183 c) Tensor σc f σe −σy −650 kgf cm2 ⋅ = := σe maxσc 0 0, , σc1 1,

(

)

:= σy σe =1.743 Elástico

El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa Nota

Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elástico Si f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluencia Si f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal

2. Criterio de Tresca "f(σ)=[(σ₁-σ₂)²-σy²][σ₂²-σy²][σ₁²-σy²]=0"

a) Tensor σa σe max σa 0 0, − σa1 1,

(

)

σa 0 0,

(

)

, σa 1 1,

(

)

,

⎡⎣

⎤⎦

:= f σe− σy 300 kgf cm2 ⋅ = := Inelástico σy σe =0.933 b) Tensor σb σe max σb 0 0, − σb1 1,

(

)

σb 0 0,

(

)

, σb 1 1,

(

)

,

⎡⎣

⎤⎦

:= f σe− σy 1900 kgf cm2 ⋅ = := Inelástico σy σe =0.689 c) Tensor σc σe max σc 0 0, − σc1 1,

(

)

σc 0 0,

(

)

, σc 1 1,

(

)

,

⎡⎣

⎤⎦

:= f σe− σy −859.97 kgf cm2 ⋅ = := Inelástico σy σe =1.257

(12)

3. Criterio de von Mises f(σ)=1/6[(σ1-σ2)²+(σ1)²+(σ2)²]-1/3σy² a) Tensor σa σe 1 2

(

σa0 0, −σa1 1,

)

2 σa 0 0,

(

)

2 + σa 1 1,

(

)

2 +

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ := f σe2−σy2 −2390000kgf 2 cm4 = := Elástico σy σe = 1.076 b) Tensor σb σe 1 2

(

σb0 0, −σb1 1,

)

2 σb 0 0,

(

)

2 + σb 1 1,

(

)

2 +

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ := f σe2−σy2 10517500kgf 2 cm4 = := Elástico σy σe = 0.792 c) Tensor σc σe 1 2

(

σc0 0, −σc1 1,

)

2 σc 0 0,

(

)

2 + σc 1 1,

(

)

2 +

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ := f σe2−σy2 −8725625kgf 2 cm4 = := Elástico σy σe = 1.407

(13)

(14)

En un sólido metálico, que tiene valores de esfuerzo de fluencia a tensión y

compresión con el mismo valor absoluto, se tienen los tres estados de esfuerzo: a, b y c en kg/cm². Determine cuál de los estados tiene menor coeficiente de seguridad aplicando los diversos criterios de fluencia. Considere un coeficiente de Poisson de v=0.3 y el esfuerzo de fluencia es de 4200 kg/cm².

Estado a Estado b Estado c

σa 5000 0 0 0 1600 0 0 0 800

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ := σb 3500 0 0 0 1000 0 0 0 1000 −

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ := σc 4000 0 0 0 1500 0 0 0 0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kgf cm2 ⋅ :=

Esfuerzo de fluencia Coeficiente de Poisson

υ:= 0.30

σy 4200 kgf

cm2

⋅ :=

1. Criterio del Esfuerzo Principal máximo f(σ)=max(|σ1|, |σ2|, |σ3|)-σy a) Tensor σa f max(σa)− σy 800 kgf cm2 ⋅ = := Inelástico σy max(σa) = 0.84 b) Tensor σb σy max(σb) = 1.2 f max(σb)− σy −700 kgf cm2 ⋅ = := Elástico c) Tensor σc f max(σc)− σy −200 kgf cm2 ⋅ = := Elástico σy max(σc) = 1.05

El coeficiente de seguridad menor corresponde al estado de esfuerzo con mayor esfuerzo principal σ1, que corresponde al tensor σa

2. Criterio de Tresca f(σ)=(σ1-σ3)-σy a) Tensor σa σe σa 0 0, −σa2 2,

(

)

:= f σe− σy 0 kgf cm2 ⋅ = := σy σe = 1 Superficie b) Tensor σb σe σb 0 0, − σb2 2,

(

)

:= f σe− σy 300 kgf cm2 ⋅ = := Inelástico σy σe = 0.933 c) Tensor σc σe σc 0 0, −σc2 2,

(

)

:= f σe− σy −200 kgf cm2 ⋅ = := Elástico σy σe = 1.05

El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb Nota

Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elástico Si f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluencia

(15)

Si f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal

3. Criterio de formación longitudinal unitaria máxima f(σ)=|σ1-v(σ2+σ3)|-σy a) Tensor σa σe σa 0 0, − υ σ⋅

(

a1 1, + σa2 2,

)

:= f σe− σy 80 kgf cm2 ⋅ = := Inelástico σy σe = 0.98 b) Tensor σb σe σb 0 0, − υ σ⋅

(

b1 1, + σb2 2,

)

:= f σe− σy −700 kgf cm2 ⋅ = := Elástico σy σe = 1.2 c) Tensor σc σe σc 0 0, − υ σ⋅

(

c1 1, + σc2 2,

)

:= f σe− σy −650 kgf cm2 ⋅ = := Elástico σy σe = 1.18

El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa

4. Criterio de la densidad de energía de deformación f(σ)=σ1²+σ2²+σ3²-2v(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3)-σy² a) Tensor σa σe σa 0 0,

(

)

2 σa 1 1,

(

)

2 + σa 2 2,

(

)

2 + 2υ σa 0 0, ⋅σa1 1, +σa0 0, ⋅σa2 2, + σa1 1, ⋅σa2 2,

(

)

⋅ − := f σe2−σy2 2592000 kgf 2 cm4 ⋅ = := Inelástico σy σe = 0.93 b) Tensor σb σe σb 0 0,

(

)

2 σb 1 1,

(

)

2 + σb 2 2,

(

)

2 + 2υ σb 0 0, ⋅σb1 1, +σb0 0, ⋅σb2 2, + σb1 1, ⋅σb2 2,

(

)

⋅ − := f σe2−σy2 −2790000 kgf 2 cm4 ⋅ = := Elástico σy σe = 1.09 c) Tensor σc σe σc 0 0,

(

)

2 σc 1 1,

(

)

2 + σc 2 2,

(

)

2 + 2υ σc 0 0, ⋅σc1 1, +σc0 0, ⋅σc2 2, + σc1 1, ⋅σc2 2,

(

)

⋅ − := σy σe = 1.1 f σe2−σy2 −2990000 kgf 2 cm4 ⋅ = := Elástico

(16)

4. Criterio de von Mises f(σ)=1/6[(σ1-σ2)²+(σ2-σ3)²+(σ3-σ1)²]-1/3σy² a) Tensor σa σe 1 2

(

σa0 0, −σa1 1,

)

2 σa 1 1, −σa2 2,

(

)

2 + σa 2 2, −σa0 0,

(

)

2 +

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ := f σe2−σy2 −2720000 kgf 2 cm4 ⋅ = := Elástico σy σe = 1.09 b) Tensor σb σe 1 2

(

σb0 0, −σb1 1,

)

2 σb 1 1, −σb2 2,

(

)

2 + σb 2 2, − σb0 0,

(

)

2 +

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ := f σe2−σy2 −2390000 kgf 2 cm4 ⋅ = := Elástico σy σe = 1.08 c) Tensor σc σe 1 2