Método del spline cúbico. Cuando un número grande de datos tiene que ajustarse a una curva suave, la interpolación de Lagrange no es adecuada.

Ing. Juan Carlos Sabido Alcántara 1

Método del spline cúbico.

Cuando un número grande de datos tiene que ajustarse a una curva suave, la interpolación de Lagrange no es adecuada.

Para esto se emplea el método del spline cúbico, este ajusta un polinomio cúbico en cada intervalo entre dos puntos consecutivos.

El spline cúbico es una técnica que ha cobrado mucha importancia, inicialmente se

conocía como ajuste de datos con curvígrafo cúbico, este nombre se tomó de las

plantillas de dibujo. Un curvígrafo es una plantilla flexible que se puede sostener por pesos, de manera que pase a través de cada uno de los puntos dados, pero conservando la lisura en cada intervalo de acuerdo con las leyes de la flexión del material. El procedimiento real matemático es una adaptación de esta idea.

Algoritmo.

Las condiciones para un ajuste con spline cúbico, son que se pase un conjunto de polinomios cúbicos a través de los puntos, utilizando un nuevo polinomio cúbico en cada intervalo. Para corresponder con la idea del curvígrafo, se requiere que tanto la pendiente como la curvatura, sean las mismas para el par de polinomios cúbicos

que se unen en cada punto. El polinomio cúbico para el i-ésimo intervalo, el cual

cae entre los puntos



xi,yi



y



xi1,yi1



en la forma:



i



i



i



i



i



i

i x x b x x c x x d

a

y   3   2    …1

Puesto que esta se ajusta en los dos puntos extremos del intervalo:



i i



i



i i



i



i i



i i i x x b x x c x x d d a y  3   2     …2



i i



i



i i



i



i i



i i x x b x x c x x d a y _   _   _1  2 1 3 1 i i i i i i ih bh ch d a     3 2 _…3

En donde hi es el x en el i-ésimo intervalo. Se necesitan las primeras y segundas

derivadas para relacionar las pendientes y curvaturas de los polinomios que se unen, de manera que se deriva la ecuación 1:



i



i



i



i i x x b x x c a y' 3  2 2   …4



i



i i x x b a y'' 6  2 …5

El procedimiento matemático se simplifica si se escriben las ecuaciones en términos

de las segundas derivadas de los polinomios cúbicos interpolantes. Sea Si la

representación de la segunda derivada en el punto



xi,yi



y Si1 en el punto

Ing. Juan Carlos Sabido Alcántara 2







i i



i i i i i i i i i i i i b h a b x x a S b b x x a S 2 6 2 6 2 2 6 1 1            Reescribiendo: 2 i i S b  …6





i i i i h S S a 6 1    _…7

Ahora sustituyendo a_i, b_i y d_i dadas por las ecuaciones 2, 6 y 7 en la ecuación 5:

i i i i i i i i i i h ch y S h h S S y _            1 1 3 2 2 6 Resolviendo para ci: 6 2 ₁ 1    _   i i i i i i i i S h S h h y y c …8

Ahora es necesario definir la condición de que las pendientes de los dos polinomios

cúbicos, que se unen en



xi,yi



, sean las mismas. Para la ecuación en el i-ésimo

intervalo, la ecuación 4 se hace, con x xi:



i i



i



i i



i i

i x x b x x c c

a

y' 3  2 2   

En el intervalo anterior, de xi1 a xi, la pendiente en su extremo derecho será:









1 1 1 2 1 1 ' 1 1 1 2 1 1 ' 2 3 2 3                   i i i i i i i i i i i i c h b h a y c x x b x x a y

Igualando a estas y sustituyendo a,b,c,d en términos de S e y, se obtiene:

6 2 ₁ 1 '     i i  i i i i i i S h S h h y y y 6 2 2 2 6 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ' i i i i i i i i i i i i i i S h S h h y y h S h h S S y           _{ }  _                Simplificando:

Ing. Juan Carlos Sabido Alcántara 3





_       _             1 1 1 1 1 1 1 2 2 6 i i i i i i i i i i i i i h y y h y y S h S h h S h …9

La ecuación 9 se aplica a cada punto interno, de i2 hasta in1; siendo n el

número total de puntos. Esto da n2 ecuaciones que relacionan a los n valores

de Si. Se obtienen dos ecuaciones adicionales involucrando a S1 y Sn cuando se

especifican las condiciones pertenecientes a los intervalos extremos de la curva. Hasta cierto punto estas condiciones en los extremos son arbitrarias. Las tres elecciones alternativas que se suelen utilizar son:

1. S1 0,Sn 0. Esto equivale a suponer que los extremos de los

polinomios cúbicos se tornan lineales.

2. S1 S2,Sn Sn1. Esto equivale a suponer que los extremos de los

polinomios cúbicos se aproximan a parábolas.

3. S1 como una extrapolación lineal de S2 y S3, y Sn como una

extrapolación lineal de Sn1 y Sn2. Con esta suposición para un conjunto

de datos que se ajustan a una sola ecuación todos los curvígrafos cúbicos serán la misma cúbica. Las otras condiciones no tienen esta propiedad.

Las relaciones para la condición 3 en los extremos son:

➢ Extremo izquierdo: 2 2 3 1 1 2 h S S h S S    ,





2 3 1 2 2 1 1 h S h S h h S    …10a ➢ Extremo derecho: 2 2 1 1 1      _   n n n n n n h S S h S S ,





2 2 1 1 1 2          n n n n n n n h S h S h h S …10b

Escribiendo las ecuaciones para S2,S3,,Sn1 de la ecuación 9 en forma matricial

Ing. Juan Carlos Sabido Alcántara 4

















                                                                                             2 2 1 1 1 3 3 4 4 4 5 2 2 3 3 3 4 1 1 2 2 2 3 1 4 3 2 1 1 2 2 1 3 4 4 3 2 3 3 2 1 2 2 1 6 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n h Y Y h Y Y h Y Y h Y Y h Y Y h Y Y h Y Y h Y Y S S S S S S h h h h h h h h h h h h h h h h       …11

En el arreglo dado por 10 solo hay n2 ecuaciones, pero se tienen n incógnitas.

Se pueden eliminar dos incógnitas



S₁yS_n



utilizando las relaciones que

correspondan a las condiciones en los extremos.

En cada caso se reduce el vector S a n2 elementos, y la matriz de coeficientes

se hace cuadrada, de tamaño



n2

 

* n2



.

Además, la matriz se vuelve tridiagonal y, por tanto, se puede almacenar y resolver con rapidez.

Para cada condición en el extremo, la matriz de coeficientes se convierte en:

➢ Condición 1 S1 0,Sn 0:

















                       1 2 2 1 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 n n n n h h h h h h h h h h h h h h    …12 ➢ Condición 2 S1 S2,Sn Sn1:

















                       1 2 2 1 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 n n n n h h h h h h h h h h h h h h    …13

Ing. Juan Carlos Sabido Alcántara 5

➢ Condición 3 S1 y Sn son extrapolaciones lineales:





















                                       2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h    …14

Con la condición 3 después de resolver el conjunto de ecuaciones, se calcula S1 y

n

S utilizando las ecuaciones 10 a y b. Para cada caso el vector de los términos

independientes es el mismo y está dado por 11. Una vez que se han calculado los

i

S valores, se obtienen los valores de ai, bi, ci y di para cada intervalo si se desea

interpolar para nuevos valores:

i i i i i i i i i i i i i i i i Y d S h S h h Y Y c S b h S S a            6 2 2 6 1 1 1 …15

IV.IV.II Ejemplo.

12

Ajustar los datos de la siguiente tabla por medio del spline cúbico, haciendo uso de las tres condiciones de los extremos. La función que proporciona los valores de

dicha tabla es y x3 8. X Y 0 -8 1 -7 2 0 3 19 4 56

Ejemplo Spline Cúbico.

Ing. Juan Carlos Sabido Alcántara 6                                108 72 36 4 1 0 1 4 1 0 1 4 4 3 2 S S S Resolviendo: 00 . 0 , 4285 . 24 , 2857 . 10 , 4285 . 6 , 00 . 0 2 3 4 5 1  S  S  S  S  S