Si la velocidad del avión es v, constante, hallar para ambas ruedas (alineada y desalineada):

(1)

Problema CS_9: Rodadura y deslizamiento

(febrero 2000: 30%, 50 minutos) Debido a un mal montaje, una de las ruedas del tren de aterrizaje de un avión se encuentra desalineada. En la figura puede observarse que este desalineamiento consiste en una desviación del eje de la rueda un ángulo β respecto del eje de la rueda perfectamente alineada. Ambos ejes están contenidos en un plano horizontal, situado a una altura igual al radio de las ruedas (R).

El movimiento de la rueda alineada es de rodadura sin deslizamiento y el movimiento de la rueda desalineada será aquel que haga mínima su velocidad de deslizamiento sobre el suelo.

Si la velocidad del avión es v, constante, hallar para ambas ruedas (alineada y desalineada): 1. Velocidad angular absoluta.

2. Velocidad lineal absoluta de los puntos en contacto con el suelo. 3. Eje Instantáneo de Rotación y Mínimo Deslizamiento.

4. Axoides de su movimiento respecto al suelo.

β

v

Solución:

Se numeran los sólidos del siguiente modo:

- S2: Rueda alineada

- S3: Rueda desalineada - S0: Avión

- S1: suelo

Por tanto, el movimi nto de arrastre (01) para ambas ruedas es una traslación con velocidad constante y . Los movimientos relativos (20 y 30) de cada rueda son rotaciones alrededor de sus respectivos ejes.

e

0 01

v

j

v

G

=

G

ω

G

₀₁

=

0 G

Se definen los sistemas de ejes ligados al avión pero con las direcciones que aparecen en la siguiente figura:

- Ejes X0Y0Z0 ligados al avión de forma que el eje X0 coincide con el eje de la rueda alineada

(2)

β

Y

0

v

X

0

Y

β

Rueda alineada (S2) Rueda desalineada (S3)

Avion(S0) 20

ω

30

ω

O

j

i

sen

j

sen

i

G

β

cos

0 0

+

=

−

=

Figura 1: Representación de las velocidades angulares de ambas ruedas y velocidad lineal del avión (vista superior)

Para la rueda alineada (S2):

1. Velocidad angular absoluta. La rueda alineada rueda sin deslizar, por tanto la velocidad del punto B en contacto con el suelo tiene velocidad nula en cada instante.

O

2 2 21 O

v

=

v

G

Z

O

Y

0 20 20 B

v

=

w R

B

2 01 21 B O

v

G

≡

v

G

≡

v

G

20

ω

2 21

0

01 20 21 ₂₁ ₂ B B B O

v

= =

v

+

v

≡

v

+

ω

∧

O

G

_G

JJJJG

B

j

v

Con

0 20 20 01 21

i

G

_ω

ω

=

+

=

−

20 ₂₀

(

₀

)

B

v

G

=

ω

R

−

G

₂

G

01 21 B O

v

≡

v

≡

Operando resulta

20 0

v

i

R

ω

G

= −

G

Figura 2: Representación del plano de la rueda alineada

2. Velocidad lineal absoluta de los puntos en contacto con el suelo.

Como rueda sin deslizar la velocidad lineal absoluta del punto de contacto con el suelo (B) es nula. 3. Eje Instantáneo de Rotación y Mínimo Deslizamiento.

El eirmd21 es la recta paralela a eje X0 y que pasa por el punto B 4. Axoides de su movimiento respecto al suelo.

- Axoide Fija: plano paralelo al X0 Y0 y que pasa por el punto B (suelo)

- Axoide móvil: Cilindro cuyo eje es el de la rueda alineada (X0 ) y de radio R (coincide con la propia rueda alineada)

(3)

Para la rueda desalineada (S3):

1. Velocidad angular absoluta. La rueda alineada rueda y desliza pero de forma que su velocidad de deslizamiento ha de ser mínima. Por tanto, la velocidad angular de dicha rueda será aquella que haga que la velocidad del punto de contacto con el suelo (A) sea mínima.

3 31 31 ₃₁ ₃ 01 30 A O A

v

=

v

+

ω

∧

O A

=

v

+

v

G

_G

JJJJG G

G

A

Con

ω

G

₃₁

=

ω

GK

₃₀

+

ω

G

₀₁

=

ω

G

₃₀

=

−

ω

₃₀

i

G

3 01 31

cos

A O

v

=

v

= =

v

β

j

+

vsen i

β

G

30 ₃₀

(

)

A

v

=

ω

R

−

j

G

31 A

v

G

será mínima cuando se anule la componente en

G

j

, es decir cuando

ω

₃₀

=

v

cos

β

/

R

.

Resulta por tanto

30

cos

v

i

R

β

ω

G

= −

G

O3 ₃

cos

v

β

vsen

β

Z=ZO Y 30 A

v

G

x A

cos

v

β

vsen

β

30 ω

Y

0

v

X

0

Y

β

Avion(S0) 30

ω

O

β

Y

30 A

v

G

01 A

v

G

a) b)

Figura 3: Representación de la rueda desalineada. a) vista superior, b) vista lateral

2. Velocidad lineal absoluta de los puntos en contacto con el suelo.

31

A

v

=

vsen i

β

G

Como es mínima resulta paralela a la velocidad angular

ω

G

₃₁, ya que el punto A será del eirmd31.

3. Eje Instantáneo de Rotación y Mínimo Deslizamiento.

El eirmd31 es la recta paralela a eje X y que pasa por el punto A 4. Axoides de su movimiento respecto al suelo.

- Axoide Fija: plano A X Y (suelo)

- Axoide móvil: Cilindro cuyo eje es el de la rueda desalineada (O3X ) y de radio R (coincide con la propia rueda desalineada)

(4)

JERCICIOS COMPLEMENTARIOS:

a un giro de radio H a la derecha en el sentido de la

to de la rueda alineada respecto al suelo

movimiento de la rueda alineada respecto al suelo

El punto B pertenece al eirmd21 porque su velocidad no ha cambiado ( ), aunque si la

E

Si, manteniendo esa velocidad, el avión realiz

marcha (siendo H suficientemente grande como para despreciar la separación entre las ruedas frente al

radio de giro), se pide:

5. Axoides del movimien

Solución: 5. Axoides del 21

0

B

v

=

G

dirección de

ω

G

₂₁

.

B

v

G

21

0

01 20 B

v

= =

v

+

B

Con

j

20 ₂₀

(

₀

)

B

v

=

ω

R

−

G

01 21 ₀₁ ₀₁

( )

₀ B Q

v

=

v

+

ω

∧

QB

JJJG

=

ω

H j

G

Q

0

X

Y

0

H

v

O

Q=punto fijo

01

ω

20

ω

Operando resulta

01 0

v

k

ω

G

= −

G

,

y

H

21 01 20 0 0

v

i

k

R

H

ω

G

=

ω

G

+

ω

G

= −

G

−

G

Figura 4: Rueda alineada realizando la curva de radio H

El eirmd21 será la recta que pase por el punto fijo to

Q (punto de intersección de los dos ejes de rotación a lo largo de do el movimiento) y por el punto B de contacto en cada instante entre la rueda alineada y el suelo.