LA DERIVADA. Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x))

(1)

x y x _x+h h f (x) f (x+h ) (x,f (x)) (x+h ,f (x+h )) LA DERIVADA

La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por:

Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x)) y ((x + h), f( x +h)) así , es decir Ejercicio 22

Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades esta dado por C(x)= 0.01x2_{+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para:} Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100)

La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.

(2)

Mis Notas de Clase – Cálculo Diferencial Lic. Esp. José F. Barros Troncoso

2

Las segundas 100 unidades producidas

Ejercicio 23

Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x) (en pies) se obtiene mediante la ecuación

f(x)=96+64x-16x2 Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h

Ejercicio 24

Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2_{en el punto (2,4)}

Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto en el momento x es:

, si este límite existe

Pendiente de la Tangente A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es

Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1.

DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para cualquier valor de x, denotada f`(x), es

Si este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c. Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o

o

(3)

3

Ejercicio 25

Encuentre la derivada de cada función

f(x) = 2x f(x) = x2 _{f(x) = x}3₊₁ _{f(x) = 3x}2_-2x+1 Problema 14

La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número de unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:

Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por

Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.

 Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x.

 Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20. Remplazando Como x=20

Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mil dólares

(4)

Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄR

Tipo Función Derivada Ejemplos

Constante f(x)=k f´(x)=0  Si f(x)=5, f´(x)=0  Si f(x)=-2, f´(x)=0 Múltiplo constante f(x)=kx f´(x)=k  Si f(x)=3x, f´(x)=3  Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5x Potencia f(x)=xn _f´(x)=nxn-1  _{Si f(x)=x}4_{, f´(x)=4x}3  _{Si f(x)=x}_-3_{, f´(x)=-3x}_-4 Múltiplo y Potencia f(x)=kxn _f´(x)=k.nxn-1  _{Si f(x)=5x}4_,f´(x)=20x3  Si f(x)=-6x5_,f´(x)=-30x4 Suma f(x) = [g(x) ± h(x)] f´(x)=g´(x) ± h´(x)  Si f(x)= x3_+4x2_{-3x+2, f´(x)=3x}2_+8x-3  - _{, -}- - Multiplicación f(x) = [g(x).h(x)] f´(x)=g´(x) ± h´(x)  f(x)=(x2_+2)(3x-1) f´(x)=2x(3x-1)+(x2_{+2)3 = 6x}2_-2x+3x2_{+6 = 9x}2_+2x+6  f(x)=x3/2_(3x2_-x-1₎ f´(x)= - - - - - - = - - Cociente k  , - Cociente  

(5)

5

Ejercicios 26

Derivar cada una de las siguientes funciones

f(x) = - 4 f(x) = 0.25 f(x)=21x _f(x)= _x f(x)=x5 _f(x)= _f(x)=4x3 _f(x)= f(x)=4x2_{+ 5x + 3 f(x)= 6 – x}-2_{+ x}1/2 _{f(x)= (x}3 -1)(5x2_+6x) f(x)=(x2₊₁₎2 f(x)= f(x)= f(x)= - f(x)= Problemas 15

1. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=5000 + 10x + 0.05x2_.

Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando x=100.

2. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=200 + 3x + 0.01x2_+0.0002x3 a. Encuentre la función costo marginal.

b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? c. Calcule C(101) – C(100)

d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?

3. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2_{+ 0.003x}3 a. Encuentre la función costo marginal.

2. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra? 4. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es

C(x)=920 + 2x – 0.02x2_+0.00007x3 a. Encuentre la función costo marginal.

(6)

6

Problemas 16

1. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es

, determine:

a. La función ingreso marginal (R´(x))

b. Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades

2. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula

S(t)=10 000 + 2 000t -200t2

, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana determine la tasa de cambio cuando

a. t=4 y ¿qué significa? b. t=8 y ¿qué significa?

c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

3. El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora de discos, esta dado por C(x)=1 500 - 3x + x3_,

a. Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad. b. Calcule C´(100), ¿qué significa?

4. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores pequeños sea

, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 600

5. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación

R(x) = 100x – x2

, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)

6. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto, su ingreso esta dado por

R(x) = 1 500x – 0.02x2_{c n}

, donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal en x=500, interprete el resultado.

(7)

7

Q(x)= 200x + 6x2

, donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado